ACCOPPIAMENTO INDUTTIVO•I circuiti accoppiati e il coefficiente di mutua induzione;•Esempi ed applicazioni: il trasformatore semplice, il trasformatore toroidale.

LE EQUAZIONI DI MAXWELL IN FORMA DIFFERENZIALE

I CIRCUITI ACCOPPIATI E IL COEFFICIENTE DI MUTUA INDUZIONE

Prendiamo due circuiti (1) e (2) di geometria notae posti in due punti fissi dello spazio.Nel circuito (1) circola la corrente I1

nel circuito (2) circola la corrente I2.

La corrente I1 crea intorno al circuito (1) un campomagnetico B1(P). Alcune linee di forza di B1 sonoconcatenate al circuito (2) (cioè danno origine ad unflusso del vettore B1 attraverso una superficie S2 cheha come contorno il circuito (2).Si può dimostrare che il flusso di B1 attraverso la superficie S2 vale:

12 MI

21 MI

Il coefficiente M è funzione solo della forma deicircuiti, della loro posizione relativa e del mezzocircostante.

Se consideriamo adesso il circuito (2) in cuicircola la corrente I2, esso crea intorno a se un campo magnetico B2(P). Alcune linee di forza di B2 sono concatenate al circuito (1) (cioè danno origine ad un flusso del vettore B2 attraverso una superficie S1 cheha come contorno il circuito (1).Si può dimostrare che il flusso di B2 attraverso la superficie S1 vale:

Dove la costante M è la stessa del caso precedenteed è detta coefficiente di mutua induzione.

L’unità di misura nel S.I. del coefficiente M è l’Henry [H].

In conclusione: se abbiamo due circuiti (1) e (2) in cui circola corrente il flusso di B1 attraverso ilcircuito (2) dovuto a una corrente unitaria in (1) è uguale al flusso di B2 attraverso (1) dovuto aduna corrente unitaria in (2).

Se la corrente nel circuito (1) I1 è variabile nel tempoil flusso di B1 attraverso il circuito (2) 2 cambia.Nel circuito (2) si induce una f.e.m.

dt

dIMV 1

2

Se la corrente nel circuito (2) I2 è variabile nel tempoil flusso di B2 attraverso il circuito (1) 1 cambia.Nel circuito (1) si induce una f.e.m.

dt

dIMV 2

1

Quindi tra due circuiti si effettua uno scambiodi energia mediante il campo elettromagnetico.

Su questo principio si basano applicazioni come:il trasformatore o la trasmissione del segnale (antenne).

Esempio:Il trasformatore toroidale.

Il trasformatore costituito da due solenoidi

La forma differenziale delle equazioni di Maxwellpoteva essere ottenuta dando per scontati

DUE TEOREMI RELATIVI AI CAMPI VETTORIALI

TEOREMA DELLA DIVERGENZA

dato un campo vettoriale C in una zona dello spazioil flusso di C attraverso una superficie chiusa S éuguale all’integrale della divergenza di C esteso alvolume racchiuso in S detto V(S).

dVCSdCSVS

)(

CCdidivergenza

TEOREMA DI STOKES

dato un campo vettoriale C in una zona dello spaziola circuitazione di C lungo una curva chiusa L éuguale al flusso del rotore di C attraverso una superficie S che ha come contorno L detta S(L).

SdCldCLSL

)(

CCdirotore

Applichiamo i teoremi alle quattro equazionidi Maxwell per ottenerne la forma differenziale!

•Legge di Gauss per il campo E

0

)(0)(

)(00

1

1

E

dVdVESdE

dVq

SdE

SVSVS

SVS

•Legge di Gauss per il campo B

0 B

•Legge di Faraday-Henry

t

BE

Sdt

BSdEldE

SdBdt

dldE

LSLSL

LSL

)()(

)(

•Legge di Ampere-Laplace

t

EjB

SdEdt

dSdjSdB

ldB

LSLSLS

L

000

)(

00

)(

0

)(