Acceleratori di particelle nella fisica delle alte energiecobal/lezione_16.pdf · A.A. 2007-2008 S....

Acceleratori di particelleAcceleratori di particellenella fisica delle alte energienella fisica delle alte energie

Stefano PassaggioStefano PassaggioLezioni per il corso di Fisica delle Particelle

Dottorato in Fisica – XXI CicloA.A. 2007-2008

A.A. 2007A.A. 2007--20082008 S. Passaggio S. Passaggio -- Acceleratori di particelleAcceleratori di particelle 22

IntroduzioneIntroduzioneRagion d’essere degli acceleratoriLo studio sperimentale dei nuclei e delle particelle elementari e delle loro interazioni consiste in larga parte nello studio di processi di collisione tra particelle ad energie sufficientemente elevate (λ=h/p; ) e/o con statistica sufficientemente grande ( studio di processi di decadimento rari)Un ingrediente fondamentale per questo settore della fisica sperimentale è quindi costituito da apparati in grado di fornire fasci continui o impulsati di particelle (cariche o neutre) di energia e intensità opportune per il tipo di ricerca che ci si propone di realizzareIn certi casi, come vedremo, diverse ragioni di carattere cinematico e/o dinamico rendono necessaria (o quantomeno preferibile) la disponibilità di due fasci da portare in collisione uno contro l’altro (colliders), anziché di un solo fascio incidente su un bersaglio fisso

s( );sσ


e+e- annihilationcross-section

2-1 3 4

[GeV]s

La sezione d’urtodi annichilazione

non risonantedipende da

come 1/ss

p-(anti)p cross-sections

e.g.: produzione di SM Higgs

Parton distribution functionsin the proton


La natura mette in realtà a nostra disposizione delle sorgenti naturali di particelle più o meno energetiche e/o intense (sorgenti radioattive, raggi cosmici)

Per taluni studi, tali sorgenti (RC) sono le uniche disponibili…

Come vedremo, gli acceleratori attuali (e anche quelli concepibili in futuro in base alle tecniche di accelerazione attualmente disponibili)sono limitati in energia (fino ad oggi E(e±) ≤ 104.5 GeV [LEP2000], E(p) ≤ 1.0 TeV [Tevatron]; nel futuro prossimo si raggiungeranno energie E(p) = 7.0 TeV [LHC, a partire dal 2007], E(e±) ~ 500 GeV [collider lineare di nuova generazione, non ancora approvato])

I raggi cosmici incidenti sull’atmosfera terrestre, viceversa, hanno uno spettro in energia che raggiunge valori ≥ 1018 ÷ 1019 eV (ossia 106 ÷ 107 TeV), anche se con intensità molto piccole

Le limitazioni dei raggi cosmici come fasci naturali di particelle energetiche in termini di intensità e di dispersione in energia e direzione rendono comunque necessaria la costruzione di “sorgenti artificiali” (acceleratori, accumulatori, colliders)


CaratteristicheCaratteristicheEnergia o impulso del fascio o dei fasci (e loro dispersione)

IntensitàIntensità istantanea (particelle per impulso o “bunch”), numero di “bunches” accumulati (in un accumulatore/collider)

Luminosità (per i colliders, in unità di cm-2 s-1), Corrente media (mA)

intR Lσ=

1 2

4 x y

N NL f k

π σ σ=

dove R = numero di eventi per unità di tempoσint = sezione d’urto di interazione (invariante per

boosts longitudinali)

In un collider con k bunches per fascio, frequenza di rivoluzionedei bunches pari a f, N1 particelle per bunch in un fascio e N2particelle per bunch nell’altro fascio, distribuzione gaussiana didensità nei due fasci (dev. std. σx, σy nelle due direzioni trasv.):


Fattore di utilizzazione“Duty cycle” (nel caso di un acceleratore impulsato, con fascio su bersaglio fisso, è la frazione di tempo in cui l’acceleratore fornisce particelle all’esperimento)Intervallo temporale tra due “bunch crossings” consecutivi (nel caso di un collider)


Elementi fondamentaliElementi fondamentaliUna sorgente di ioni o elettroni

Una camera a vuoto all’interno della quale le particelle si muovono nel corso del processo di accelerazione e/o durante il periodo nel quale restano accumulate (accumulatore/collider)

la qualità del vuoto è un elemento particolarmente critico nel caso degli accumulatori/colliders, nei quali il o i fasci accumulati circolano per un tempo lungo (dell’ordine di ore)O.d.G.: 10-6 Torr per secondo di tempo di presenza delle particelle

nella camera a vuoto (10-11 Torr/giorno per un accumulatore)

Un dispositivo di guida e focalizzazione, che di solito utilizza per entrambi gli scopi dei campi magnetici, per mantenere le particelle in prossimità di un’orbita o traiettoria di riferimento

Un sistema di accelerazione, mediante campi elettrici (nella maggior parte dei casi oscillanti), per accelerare le particelle ed eventualmente compensare le perdite di energia (dovute prevalentemente ad emissione di radiazione di sincrotrone)


Dispositivi di misura e correzione, per controllare l’intensità, la posizione e le dimensioni del o dei fasci nel corso del processo di accelerazione ed eventualmente del periodo in cui i fasci restano accumulati e, se necessario, correggere automaticamenteposizione, dimensioni e dispersione in energia del o dei fasci

Nel caso di acceleratori che producono un fascio da utilizzare su bersaglio fisso, un bersaglio interno all’accumulatore o un sistema che consenta l’estrazione del fascio e lo convogli su uno o piùbersagli esterni; nel caso di un collider il “bersaglio” e’ costituito da un secondo fascio accumulato, circolante in senso opposto al primo


Classificazione ed evoluzioneClassificazione ed evoluzioneAcceleratori a tensione continua

Si applica una ddp (costante) elevata tra una sorgente di ioni e il bersaglio (o, come ora avviene, l’ingresso di uno stadio di accelerazione successivo)

L’acceleratore di questo tipo costruito da Cockroft e Walton nel 1932 (E = 600 keV) rappresenta il primo esemplare di acceleratore dienergia sufficiente per gli scopi della fisica nucleare, e consentì di produrre la prima reazione di scissione di nuclei (p + Li → 2 He)

Principio di funzionamento: alimentatore di tensione ACsistema di raddrizzatori a diodi

Caratteristiche e limiti: può fornire correnti continue di qualche mAenergia limitata (ddp max: ~ MV)dispersione in energia abbastanza elevata

L’acceleratore di Cockroft e Walton viene oggi utilizzato come stadio di ingresso di energia limitata (~ 750 keV) per acceleratori lineari (che a loro volta possono costituire uno stadio di pre-accelerazione per acceleratori circolari)


All’incirca negli stessi anni in cui Cockroft e Walton svilupparono il loro acceleratore, Van de Graaff realizzò un altro tipo di acceleratore a tensione continua, basato sul trasporto e l’accumulo di carica su un elettrodo metallico isolato

Caratteristiche e limiti: piccola dispersione in energiafornisce una corrente continua o impulsataenergia limitata (ddp max: ~ 10 MV)debole intensità di corrente (~ μA)

È possibile raddoppiare la ddp efficace per l’accelerazione sfruttando un’idea proposta da Alvarez negli anni ’50: acceleratore Tandem

Caratteristiche e limiti: v. Van de Graaff (ddp efficace max: ~20÷30 MV)


CockroftCockroft--WaltonWalton

Van de Van de GraaffGraaff

TandemTandem


Accelerazione mediante campi e.m. variabili nel tempo: principio e motivazioni

L’energia raggiungibile con un acceleratore a tensione continua èlimitata da fenomeni di scarica

È possibile però evitare questo tipo di problemi utilizzando un campi e.m. variabili nel tempo

AEt

ϕ ∂= −∇ −

∂

descrive il campo elettrico statico delle macchine di

Cockroft-Walton e Van de Graaff

descrive un campo variabile nel tempo

B dE E dl B dSt dtγ Σ

∂∇ ∧ = − ⇒ ⋅ = − ⋅

∂ ∫ ∫

In particolare

Per accelerare una particella su un’orbita chiusasono necessari campi dipendenti dal tempo


Accelerazione mediante campi e.m. variabili nel tempo: betatrone

Doppio ruolo del campo magnetico:

mantiene il fascio di particelle da accelerare su un’orbita circolare

variando nel tempo, accelera il fascio

Affinché il fascio venga accelerato a ρ = cost, deve essere:

( )dp Bq E v B Edt t

∂= + ∧ ∇∧ = −

∂

orbit orbit orbitdp pqv B p q B Bdt q

ρρΔ

= ∧ ⇒ = ⇒ Δ = (per mantenere ρ costante)

avgavg;

2 dt 2C

dBdp d dp q qqE E dl B dS p Bdt dt dtρ ρ

ρ ρΣ

= ⋅ = − ⋅ ⇒ = ⇒ Δ = Δ∫ ∫

avgorbit 2

BB

ΔΔ =

Insensibile agli effettirelativistici ⇒ OK per elettroniDifficile estrazione del fascioE d 300 MeVAffidabile e poco costoso


Accelerazione mediante campi e.m. variabili nel tempo: accelerazione risonante

campo elettrico oscillante, in fase con il passaggio delle particelleil fascio presenta conseguentemente una struttura discontinua nella coordinata longitudinale (“bunches”: gruppi di particelle vicine tra loro nellacoordinata longitudinale, separati da intervalli spopolati)

tre implementazioni fondamentali

acceleratore lineare (LINAC): no Btraiettoria rettilineaserie lineare di tubi di drift,

intervallati da “gap” acceleratrici(sincro)ciclotrone: B costante

traiettoria a spirale (ρ crescente)elettrodi “a D”frequenza di rivoluzione costante solo per

energie non relativistichesincrotrone: B cresce ~ linearmente con E

traiettoria circolare (ρ costante)una o più cavità acceleratrici, attraversate

ripetutamente dalle particelle


Acceleratori lineari (LINAC)

Le particelle devono essere schermate dal campo quando questo è deceleranteAcceleratori lineari per ioni (vengono attualmente utilizzati, nel campo della fisica delle alte energie, come iniettori per acceleratori circolari di alta energia)Struttura Wideroe (κ = 1; L < λ)

2 2n

n nvTL vcλκ κ= =

n n+1

Ln

dove: periodolunghezza d'onda

sfasamento tra due gap successivevelocità dello ione al centro della n-ma gapn

T

v

λκπ

====cresce al crescere di n


Se: L = lunghezza totale dell’acceleratoreK = energia cinetica finaleΔK = guadagno in energia per gap (N = K/ΔK = numero di gaps) m = massa del protoneA = numero atomico dello ione accelerato

La lunghezza dei tubi di drift cresce al crescere della velocità, e diventa proibitivamente grande abbastanza rapidamente

e.g.: per un protone di en. cinetica K = 1 MeV (β = 4.6 10-2)se νRF = 7 MHz

la particella percorrerà circa 1 m in mezzo ciclo RF

La via d’uscita da questo problema consiste nell’aumentare νRF, ma ad alte νRF la struttura a tubi di drift aperti irradia una energia e.m. sempre maggiore

3

2 2KL

K Amcκ λ

=Δ


A sua volta, il problema della perdita di energia per emissione di radiazione e.m. viene risolto racchiudendo la struttura a formare una serie di cavità

Tali cavità possono essere disposte adiacenti una all’altra, e, scegliendo κ = 2 (ossia gap tutte in fase tra loro), si ottiene che la corrente che scorrerebbe nelle pareti divisorie tra una cavità e l’altra si annulla

Le pareti tra due cavitàadiacenti possono essere

eliminate

Modo π(κ = 1)

Modo 2π(κ = 2)


Struttura Alvarez (κ = 2; frequenza ~ 102 ÷ 103 MHz; λ < L)

Acceleratori lineari per elettroni

Già ad energie abbastanza piccole gli elettroni si muovono con βpraticamente uguale a 1 ⇒ la lunghezza dei tubi di drift rimane costante

Per νRF sufficientemente elevate (e.g. νRF ~ 3 GHz), λ0~10 cm

L’idea fondamentale per particelle UR consiste nell’accelerarequeste ultime mediante onde e.m. progressive guidate

Onda stazionaria = sovrapposizione di due onde progressive (+z, -z)

Se la velocità di fase delle onde è uguale alla velocità delle particelle che vengono “accelerate” l’onda che si propaga nella stessa direzione delle particelle le “accelererà” in maniera continua (l’altra onda ha un effetto medio nullo)


Il problema è che i modi TM (con il campo elettrico parallelo alla direzione di propagazione) in guide d’onda cilindriche o a sezione rettangolare hanno velocità di fase sempre maggiore di c

Per ottenere una velocità di fase uguale alla velocità degli elettroni (ve~c) il metodo più semplice consiste nell’utilizzare una cavità a sezione variabile

Scegliendo i parametri a e b in maniera opportuna, la fase cambia da cavità a cavità lungo l’acceleratore in maniera da dare una velocità di fase efficace corrispondente a ve


Il LINAC di Il LINAC di FermilabFermilab (400 (400 MeVMeV, , protoniprotoni))

Drift tube (Alvarez) LINAC750 keV → 116 MeV

Side-coupled cavity LINAC116 MeV → 401 MeV


Il LINAC di SLAC (Il LINAC di SLAC (e+ee+e--))

Emax = 50 GeV (per fascio)

L = 2.5 1030 cm-2s-1

SLC

Può anche essere utiizzato come stadio di iniezione per anelli di

accumulazione (PEP-II)Ee- = 9 GeVEe+ = 3.1 GeV

Raffreddamento dei fasci medianteradiazione di sincrotrone (necessitadi accumulatori ad anello)

Produce il fascio di e+

facendo collidere partedel fascio originario di e-

con un opportuno bersaglio

SLC (SLAC Linear SLC (SLAC Linear ColliderCollider))

Colliderasimmetrico


(Sincro)Ciclotrone

2

revRFqBc qB

E Mω ω= =

Nel limite NR

Principio di funzionamento del focheggiamento verticale

t

Ekin


Uno dei primi ciclotroni(Lawrence - 11” – 1 MeV)


Il sincrociclotrone da 184” di Berkeley

340 MeV (protoni)


SincrotroneFacendo variare

BνRF

in maniera opportuna con El’orbita delle particelle rimanestabile (ρ=cost), e le particellerimangono sincrone con la fasedel campo acceleratore

E/Mc2 or time (arb.units)

ρ (arb. units)

B (arb. units)

β, or f (arb. units)

Dato che l’orbita rimane stabile, ilcampo magnetico necessario per mantenere chiusa l’orbita deveessere creato solo in corrispondenzadi essaCiò consente di realizzare macchine acceleratrici di dimensioni anche molto grandi (LEP, LHC: L ~ 27 km) Il fascio di particelle vieneaccelerato mediante una o piùcavità a RF (con questa geometria, l’effetto betatronico fornisce un contributo assai minore, anchese non completamente trascurabile)

BevatronBevatron(Berkeley)(Berkeley)

6 GeV


Bevatron (6 GeV)

Alvarez linac(iniettore)

Cockroft-Walton(sorgente)


SincrotroneSincrotrone: : dinamicadinamica deidei fascifasciDato che le particelle compiono un numero molto elevato di rivoluzioni, il problema di base è quello della stabilità dei fasci, ossia quello di mantenere i fasci nella macchina con proprietà adeguate (intensità, sezione trasversale) per tempi lunghi

Focheggiamento trasversaleCorreggere le inevitabili deviazioni dall’orbita ideale per particelle di energia pari all’energia nominale del fascio, in modo da mantenere il fascio su un’orbita stabileRidurre il più possibile le dimensioni trasversali del fascio, specialmente(per i collider) in corrispondenza delle regioni di interazione:

Stabilità di fase (focheggiamento longitudinale, o in impulso)Il fatto che particelle di energie diverse possiedono frequenze di rivoluzione diverse, in assenza di opportune condizioni, porterebbe ad amplificare progressivamente lo sfasamento delle particelle dal picco della tensione RF, finendo per distruggere la sincronia di accelerazione e facendo così diminuire progressivamente l’ intensità del fascio

1 2

4 x y

N NL f kπ σ σ

=


ρ

O

P

Qs

Orbita

DinamicaDinamica trasversaletrasversaleFocheggiamentoFocheggiamento

Sistema di riferimento

Focheggiamento nel piano orizzontale (y=0)

( , , ) ; ( , 0, 0) ( )( , , )y

pR s x y R s x y sqB s x y

ρ= = = =

00

( )( , 0, 0) ( , 0, 0)( , 0, 0)

y y

xy yy

B BR dR ss x y s x yx dB x B s x y x

ρ==

∂ ∂⎛ ⎞∂= = = = = = − ⎜ ⎟∂ ∂ = = ∂⎝ ⎠

Assumiamo ancheq > 0

velocità diretta come l’asse s

ρ = ρ(s) = raggio di curvatura (eventualmente locale) della traiettoria di riferimento (“orbita”, chiusa) e distanza della stessa dall’asse y passante per il punto O(s)

r = r(s) = distanza della traiettoria generica dall’asse y passante per O(s)

x = x(s) = r(s) – ρ(s) = coordinata radiale della traiettoriagenerica relativamente all’orbita

R = R(s,x,y) = raggio di curvatura (locale) della traiettoriagenerica nel piano orizzontale

y = y(s) = coordinata ortogonale al piano dell’orbita(coordinata “verticale”)

s = lunghezza d’arco(misurata sull’orbita) tra un punto arbitrariofissato Q dell’orbitastessa e un puntogenerico P di quest’ultima(identifica la posizione di P sull’orbita)


Posto:

e omettendo per semplicità di notazione la dipendenza da s, l’ultimaespressione diventa:

La condizione di stabilità dell’orbita nel piano orizzontale può essereformulata come:

Dato che, per x piccolo (x << ρ):

e dato che r = ρ + x, la condizione di focheggiamento nel piano orizzontale diventa:

0

000

( ) ( , 0, 0)

( )( )( )

y

y

xy

B s B s x y

Bsn sB s xρ

==

= =

∂⎛ ⎞− ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(indice di campo: dipende da s)

( ) per 0( )

( ) per 0r x x

R xr x x

< >⎧⎨> <⎩

0

( )x

RR x xx

ρ=

∂⎛ ⎞= + ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

( 0)R x nx

∂= =

∂

1n < N.B. in generale: n = n(s)


Si noti che la condizione di focheggiamento orizzontale è soddisfattaanche per n ≤ 0; per la precisione, quanto minore è n, tanto più “forte”sarà l’effetto di focheggiamento orizzontale

Il caso n = 0 corrisponde in particolare alla condizione di campo omogeneo: siparla allora di focheggiamento geometrico (nel piano orizzontale)

Focheggiamento nel piano verticale (x=0)Supponendo che:

Il campo magnetico non abbia componenti “s”Nel piano dell’orbita di riferimento (y=0) sia:

la forza di Lorentz sarà data da:

Se α è l’angolo di deviazionedell’orbita generica da quelladi riferimento (nel punto in cui avviene la deflessione), ilmassimo scarto tra le due orbite, per α << 1, vale αR(dove R è il raggio dell’orbita, supporta circolare)

La lunghezza d’onda dell’oscillazionedella traiettoria generica attorno a quella di riferimento è uguale a 2πR

ˆ ˆ ˆ( )s y x s x y x y y x sF qv B qv B e qv B e q v B v B e= ∧ = − + + − y s xF qv B=

ˆ( , , 0) ( , )y yB s x y B s x e= =


La condizione di focheggiamento nel piano verticale è data da:

Ma da: segue che: , e quindi la condizione di focheggiamento nel piano verticale diventa: , ovvero:

Si noti infine che quanto maggiore è n, tanto più “forte” saràl’effetto di focheggiamento verticale

Focheggiamento debole (B, n indipendenti da s)In tali condizioni, entrambe le condizioni di focheggiamento (orizzontalee verticale devono essere soddisfatte simultaneamente:

0 per 0 0 per 00

0 per 0 0 per 0y x y x

y yF B B

y y< > < >⎧ ⎧

⇒ ⇒ ∂ <⎨ ⎨> < > <⎩ ⎩Per la seconda dellehp formulate sopra

(Bx(y=0) = 0)

In quanto: vs > 0q > 0

0B∇∧ = x y y xB B∂ = ∂0x yB∂ <

0n >

0 1n< <

y

y

yR

N.B. in generale: n = n(s)


Come già osservato, tale condizione è tuttavia una condizione di focheggiamento debole in entrambi i piani

Si dimostra che la lunghezza d’onda delle oscillazioni dell’orbita genericaattorno a quella di riferimento (in entrambi i piani) sono sotto talicondizioni sempre maggiori della lunghezza dell’orbita di riferimento

Inoltre, analogamente al caso del focheggiamento geometrico, lo scartomassimo dell’orbita generica rispetto a quella di riferimento scala con le dimensioni dell’orbita

Al crescere delle dimensioni della macchinale dimensioni trasversali della camera a vuoto el’apertura dei magneti diventano molto grandi

(e i magneti diventano molto costosi)

All’inizio degli anni ’50 si stimava che l’energiamassima praticamente ottenibile con sinrotroni a focheggiamento debole

fosse intorno ai 10 GeV


Focheggiamento forte (o “a gradiente alternato”)Come si è visto, una condizione di focheggiamento forte nel piano orizzontale (n << -1) è sinonimo di forte defocheggiamento nel piano verticale, e viceversa (n >> 1)Ciò nonostante, una sequenza di magneti caratterizzatialternativamente da n << -1 e da n >> 1 può dar luogo a una situazione complessivamente focheggiante in entrambi i piani

Se si apprestano opportune condizioni affinché ciò accada, è possibilerealizzare il campo magnetico necessario per:

ottenere un’orbita di riferimento chiusafocalizzare attorno all’orbita di riferimento le traiettorie che si discostanoda quella ideale ( in entrambi i piani: orizzontale e verticale)

mediante l’impiego di magneti individualmente specializzati per l’una o l’altra delle due funzioni indicate

y y


Tali magneti sono, rispettivamente:dipoli:assicurano che l’orbita di riferimento sia chiusa, ma non possiedono alcunafunzione di focheggiamento (se non quella, molto debole, dovuta all’effetto di focheggiamento geometrico nel piano orizzontale)

quadrupoli, rispettivamente con n << -1 e con n >> 1:sono caratterizzati da un campo magnetico nullo sull’asse di simmetria (per cui, a rigore: n = -∞ e n = +∞, rispettivamente); se disposti in maniera tale che l’orbita di riferimento passi per tale asse, non hanno alcun effettosull’orbita di riferimento e svolgono soltanto una funzione di focheggiamento(quando si consideri l’azione combinata di una successione di quadrupoli con polarità alternate: il singolo quadrupolo, come già visto, focheggia in un piano e defocheggia nel piano ortogonale)

ˆ( , ) (uniforme in e )y yB x y B e x y=

Nuclei di ferro, sagomati comeiperboli equilatere nel piano x-y

0ˆ ˆ( , ) ( , ) x y

B B V

V x y axy B x y aye axe

∇ ∧ = ⇒ = −∇

= ⇒ = − −

Nel caso in figura: a < 0 (B’ > 0)

; 0y yx xB BB BB ax y x y

∂ ∂∂ ∂′ = = − = =∂ ∂ ∂ ∂

Caso focheggiante nel piano orizzontalee defocheggiante nel piano verticale (n = -∞)

x xs s


LEP (e+,e-: ~ 50 GeV)

PEP-IILER (e+: 3.1 GeV)

HER (e-: 9 GeV)

DipoliQuadrupoli

SincrotroniSincrotronia a gradientegradientealternatoalternato


Per discutere le condizioni sotto le quali uno schema di questo generepossiede proprietà focheggianti in entrambi i piani trasversali, bisognainnanzitutto:

specificare la struttura della successione di elementi magnetici lungol’orbita di riferimento

tale struttura è tipicamente periodica, e consiste essenzialmente nellaripetizione di una cella fondamentale, per cui si parla di “reticolomagnetico”, o “magnetic lattice”

la cella fondamentale costituita da dipoli e quadrupoli ha tipicamente la struttura “FODO”, dove (con riferimento a uno dei due piani trasversali: p.es. quello orizzontale):

F = quadrupolo Focheggiante

O = dipolo (dal punto di vista del focheggiamento equivale a un tratto di drift libero)

D = quadrupolo Defocheggiante

introdurre un linguaggio per la descrizione del moto nei due pianitrasversali, insieme con opportune approssimazioni

Coordinate per descrivere il moto nei due piani trasversali (@ p fissato)

Piano orizzontale:

Piano verticale:

; dxx xds

′

; dyy yds

′


Considerando il moto (a p fissato) nelle coordinate orizzontali (x, x’), la sola componente del campo magnetico che ci interessa è quella verticale (By), il cui valore dipende (linearmente, in un quadrupolo) soltanto da x (il moto nei due piani trasversali risulta così disaccoppiato)

Se lo spessore l dei quadrupoli è piccolo rispetto al raggio di curvatura Rdella traiettoria da essi indotto, il campo magnetico sulla traiettoria èuniforme e il suo valore può quindi essere considerato come funzionedella coordinata xin della traiettoria all’ingresso nel quadrupolo (approssimazione di lente sottile: xout = xin)

( )yB x B x′=

( )yp qB x R qB xR′= =

( )in inl qB l B lx xR p B

θρ

′ ′= =

( ) pBq

ρ

Ovvero, tenendo conto dei segni:

( )out in inB lx x x xBρ′

′ ′ ′Δ − −

(rigidità magnetica)

cost (se p è fissato)

R

~


L’effetto di un quadrupolo sulle coordinate (x, x’) può quindi essere rappresentato come:

con l’identificazione: (distanza focale)

In tale linguaggio, l’evoluzione di una traiettoria nello spazio di drift (o di campo magnetico uniforme) di lunghezza L tra due quadrupoli consecutivi è rappresentata da:

Tale linguaggio consente inoltre di esperimere l’evoluzione di una traiettoria tra due punti qualsiasi dell’asse longitudinale s

out in

1 01 1

x xx x

f

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−′ ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠( )B

fB lρ′

f > 0 nel caso focheggiantef < 0 nel caso defocheggiante

out in

10 1

x L xx x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠


dove M(s1,s2) è la matrice 2×2 che si ottiene moltiplicando tra loro le matrici corrispondenti a tutti gli elementi magnetici (quadrupoli, dipoli, spazi di drift) compresi tra s1 e s2:

Per una cella FODO, con quadrupoli F e D aventi uguale modulo delladistanza focale f e con uguali spazi di drift L, la matrice M corrispondente all’attraversamento della cella è:

In un sincrotrone, indicando con M la matrice che rappresenta il trasporto su una rivoluzione completa, la condizione di stabilità per le oscillazioni trasversali può essere espressa come la richiesta che la quantità:

2 1

1 2( , )s s

x xM s s

x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2( , ) ii

M s s M=∏

2 2

FODO

2

1 0 1 0 1 21 11 11 10 1 0 1

1

L L LLL L f f fML Lf ff f

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

NB: det(M) = 1, dato che det(Mi) = 1 ∀i

in

n xM

x⎛ ⎞⎜ ⎟′⎝ ⎠

rimanga finita per n arbitrariamente grande


Esprimendo la generica condizione iniziale mediante i due autovettori V1 e V2 di M:

si ha che:

e quindi la condizione di stabilità è equivalente alla richiesta che λ1n e λ2

n

non crescano con nPoiché M ha determinante 1, i due autovalori sono uno il reciprocodell’altro (λ2 = 1/λ1), ovvero:

La condizione necessaria affinché né λ1n né λ2

n cresca con n è quindi che μsia reale

Vediamo ora come tale condizione si traduce in una richiesta su M e i suoi parametri

Gli autovalori di M devono soddisfare:ovvero: (det M = 1)

1 2in

; i i i

xAV BV MV V

xλ

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟′⎝ ⎠

1 1 2 2in

n n nxM A V B V

xλ λ

⎛ ⎞= +⎜ ⎟′⎝ ⎠

1

2

i

i

ee

μ

μ

λλ −

⎧ =⎨

=⎩dove μ è in generale un numero complesso

det( ) 0M Iλ− =( ) ( )2 2Tr det Tr 1 0M M Mλ λ λ λ− + = − + =


Tale equazione implica che sia:il che, nella notazione precedentemente adottata, si traduce in:

La condizione di stabilità (μ∈) si riscrive quindi nella forma:

Nel caso particolare di un reticolo costituito dalla ripetizione periodica della cella FODO, usando l’espressione di M già ricavata sopra, tale condizione diventa:

1 Tr Mλ λ−+ =

=2cos Tri ie e Mμ μ μ−+ =

1 Tr 12

M ≤

12Lf≤


MagnetiMagnetiMagneti convenzionali (a nucleo di ferro): B ≤ 2T

Dipolo

Quadrupolo

Sestupolo Magnetea funzioni combinate

(focheggiamentodebole)


Magneti superconduttori HERAdipolo: B = 5T

LHCdipoli: B = 8.3T


DinamicaDinamica trasversaletrasversaleOscillazioniOscillazioni di di betatronebetatrone

Equazioni del moto (a p fissato (p = pS): (Bρ)=cost)

Equazione di HillSimile all’equazione del moto di un oscillatore armonico, ma con una “costante” di richiamo Ki(s) che dipende da s (i = x, y)

Per un acceleratore circolare, le Ki(s) sono periodiche:Ki(s + C) = Ki(s) (C = lunghezza dell’orbita ideale)

Focheggiamentogeometrico

Quando un quadrupolofocheggia in x defocheggia in y,

e viceversa

(equazione di Hill)

Kx = Kx(s), in quantoB’ = B’(s) e ρ = ρ(s)

Ky = Ky(s), in quantoB’ = B’(s)

( )SpB

qρ

Schematizzazionesincrotrone a gradiente

alternato:ρ(s), B’(s) cost. a tratti

1/ρ ≠ 0: dipoliB’ ≠ 0: quadrupoli

ρ(s) = raggio di curvaturadell’orbita (ideale: p = pS)


Soluzione generale dell’equazione di Hill

Simile alla soluzione del moto armonico, ma:

Ampiezza dipendente da sFase che non evolve linearmente con s

Determinazione di w(s) e ψ(s):

( ) ( ) cos[ ( ) ]x s A w s sψ δ= +

Costanti di integrazione(condizioni iniziali)

2

2 2

2

(2 )sin( )( )cos( ) 0

2 0 2 ( ) 00

x

x

x

x K x A w wA w w K w

w w ww w ww w K w

ψ ψ ψ δψ ψ δ

ψ ψ ψ ψ ψ

ψ

′′ ′ ′ ′′+ = + + +′′ ′+ − + + =

′ ′ ′′ ′ ′ ′′ ′ ′+ = ⇒ + = =

′′ ′− + =

2( )( )hs

w sψ ′ =3 2( )xw w K w h′′ + =

affinché w e ψ siano indipendenti da δ

h = costante diintegrazionearbitraria


L’espressione trovata per x(s) può alternativamente essere scrittanella forma:

da cui, posto:

si ottiene che:

1 2

2 11 2

( ) ( )( cos ( ) sin ( ))

( ) ( ) cos ( ) ( ) sin ( )( ) ( )

x s w s A s A s

A h A hx s A w s s A w s sw s w s

ψ ψ

ψ ψ

= +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′= + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

02

0 0 0 0

0 0 0 0

( ) ( ) 0( )

( ) ( )( ) ( )

s

s

hs ds sw s

x s x w s wx s x w s w

ψ ψ≡ ⇒ =

= =′ ′ ′ ′= =

∫

01

0

0 0 0 02

xAwx w x wA

h

=

′ ′−=


Sostituendo ora queste espressioni per A1,2 nelle espressioni di x(s) e x’(s), si ottiene che:

dove si è imposto che sia w(s0+C) = w0 e w’(s0+C) = w’0, e dove si èposto:

0 00 0

20

0

20 0

0 020

0 00

( ) cos sin

sin

1( ) sin

cos sin

C C

C

C

C C

w wx s C xh

w xh

w whx s C x

wh

w w xh

ψ ψ

ψ

ψ

ψ ψ

′⎡ ⎤+ = Δ − Δ +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

′+ Δ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤′⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥′ + = − Δ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

′⎡ ⎤ ′+ Δ + Δ⎢ ⎥⎣ ⎦

0

0

2 ( )

s C

Cs

h dsw s

ψ+

Δ ≡ ∫ (avanzamento di fase su un’interarivoluzione)


Si noti che in tutte le espressioni ottenute la funzione w2(s) e la suaderivata w(s)w’(s) scalano con la costante di integrazione arbitraria h

Poiché ciò che si osserva è il moto della particella (e in particolare il suo avanzamento di fase su un’intera rivoluzione ΔψC), la scelta di un diversovalore di h conduce semplicemente a un diverso valore per la funzionew2(s), scalato per un fattore di h

È quindi opportuno introdurre nuove variabili, dette “parametri di Courant-Snyder”:

dove β(s) deve soddisfare l’equazione:

2

2

( )( )

1 ( )( )2 2

1 ( )( )( )

w sshd ss

dsss

s

β

β βα

αγβ

′− = −

+

β(s) = “funzione di ampiezza”(rimuove la dipendenza

fittizia da h)

2 22 4 1xKββ β β′′ ′− + = (la dipendenza da h scompare)2[ ] [L] [ ] [L]xK β−= ⇒ =


In termini dei parametri di Courant-Snyder la soluzione generaledell’equazione del moto si scrive:

dove nell’ampiezza si è riassorbita la dipendenza da h nella costantedi integrazione A, e dove:

L’avanzamento di fase tra due posizioni longitudinali qualsiasi s1 e s2è quindi dato univocamente da:

cosicché il numero di oscillazioni per una rivoluzione completa è:

1 2( ) ( ) cos( ( ) ) ([ ] [L] )x s A s s Aβ ψ δ= + =

1( )( )

ss

ψβ

′ =

Oltre a descrivere la dipendenza da s dell’ampiezza delle oscillazioni, β(s) ha anche il significato di una lunghezza d’ondalocale (β(s) = λ)

2

1

1 2( )( )

s

s

dss ss

ψβ

Δ → = ∫

12 ( )

dss

νπ β

= ∫ “Tune” dell’accumulatore


Invariante di Courant-SnyderNella soluzione dell’equazione del moto trovata poc’anzi:

la costante A può essere espressa in termini di x(s) e x’(s) eliminando le funzioni trigonometriche

Si noti infatti che la combinazione αx + βx’ e’ data da:

per cui, quadrando e sommando le due espressioni per x e per αx + βx’si ottiene:

Per una data traiettoria, il valore di A è fissato (non dipende da s) e l’espressione dell’invariante di Courant-Snyder descrive, per ogni posizione s, un’ellissi nel piano x’ vs x

( ) ( ) cos( ( ) )x s A s sβ ψ δ= +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin( ( ) )s x s s x s A s sα β β ψ δ′+ = − +

2 2 2( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( )A s x s s x s x s s x sγ α β′= + +

Invariante di Courant-Snyder


Poiché β (e quindi anche α e γ) dipende da s, la forma e l’orientamentodell’ellissi associata (per una data traiettoria: A fissato) ad ogni posizione longitudinale s lungo l’orbita varieranno in funzione di s

ma...


Ad ogni attraversamento della stessa posizione longitudinale s, la particella considerata (quella corrispondente alla traiettoria fissata) si troverà (nel piano x’ vs x) sulla stessa ellissi

in generale in punti diversi della stessa per diversi consecutiviattraversamenti della posizione longitudinale s (a meno che il “tune”dell’accumulatore non sia intero, condizione che però in generale si cercadi evitare in quanto dà luogo a instabilità)

Tutte le ellissi associate a qualunque posizione longitudinale s, puravendo forma e orientazione diverse, hanno però tutte la stessaarea

infatti l’area di un’ellissi descritta dall’equazione:

è data da:

che nel nostro caso diventa:

Quindi l’area racchiusa all’interno della traiettoria di una certaparticella (non accelerata!) nel piano x’ vs x è costante

2 22ax bxy cy d+ + =

2

dac bπ

− 22

2

A Aπ πβγ α

=−


EmittanzaPassando ora a considerare non più una singola particella, ma l’interofascio (o perlomeno un bunch del fascio), costituito da particelle con traiettorie diverse (diversi valori di A e δ), ci chiediamo quale sial’estensione dell’area nello spazio x’ vs x occupata dal fascio stesso

Questa quantità è denominata emittanza ed è indicata di solito con il simbolo ε

A differenza di β(s), che è definita univocamente dall’otticadell’accumulatore, l’emittanza è una proprietà del fascio (del modo in cui esso è stato preparato, a partire dalla sorgente) ovvero piùprecisamente della distribuzione dei valori di A e δ per le particelledel fascio

Nota: nel caso di un fascio di elettroni, l’emittanza è sostanzialmentedeterminata dai processi di emissione di radiazione di sincrotrone

In pratica, il contorno del fascio nel piano x’ vs x (∀ s) può essere considerato essere un’ellissi che racchiuderà al suo interno unadeterminata frazione delle particelle del fascio

2 22x xx xε γ α βπ

′ ′= + +


Per definire più precisamente la frazione di particelle del fasciocontenuta all’interno dell’ellissi di area ε, dobbiamo fare un’ipotesicirca la forma della distribuzione delle particelle nel piano x’ vs x

Per una distribuzione gaussiana, che è la scelta naturale per un fascio di elettroni (la radiazione di sincrotrone dà luogo a unadistribuzione di questo tipo se la pardita di particelle del fascio ètrascurabile) e costituisce una ragionevole approssimazione anchenel caso di un fascio di particelle più pesanti:

poiché le traiettorie nel piano αx + βx’ vs x sono circolari (v. sopra), la distribuzione sarà gaussiana anche nella coordinata αx + βx’, con la stessa deviazione standard

Se ora passiamo alle coordinate polari:

2

221( )2

x

n x dx e dxσ

πσ

−=

2 2

2( )

22

1( , ) ( ) ( )2

x x x

n x x x dxd x x e dxd x xα βσα β α β α β

πσ

′+ +−

′ ′ ′+ + = +

2 2 2( )r x x xα β ′= + +


La distribuzione diventa:

Se definiamo un raggio a entro il quale sia contenuta una frazione F delle particelle del fascio, allora:

ovvero, risolvendo per a:

Moltiplicando per β l’espressione dell’ellissi corrispondente all’emittanza ε si trova:

e se questa emittanza è ora definita come l’area nel piano x’ vs x checontiene una frazione fissata F delle particelle del fascio, alloradovrà essere:

2

222

1( , )2

r

n r r dr d e r dr dσθ θ θπσ

−=

2

22

22

0 0 0

ra a r drF nr dr d eπ

σθσ

−= =∫ ∫ ∫

2 22 ln(1 )a Fσ= − −

2 2( )x x xβε α βπ

′= + +

2aβεπ

=


ossia:

ovvero ancora:

Una possibile scelta di F (v. PDG) è F=39%, per la quale si ha:

Luminosità

2 22 ln(1 )Fβε πα πσ= = − −

22 ln(1 )Fπσεβ

= − −

2πσεβ

=

1 2

4 x y

N NL f k

π σ σ=

1 2* *4 x x y y

N NL f kε β ε β

=


DinamicaDinamica longitudinalelongitudinaleStabilitStabilitàà di fase di fase -- OscillazioniOscillazioni di di sincrotronesincrotroneSchematizzazione del processo di accelerazione (LINAC o accelerazionerisonante per un sincrotrone)

Le particelle del fascio attraversano un certo numero di cavità risonanti

Una lunga sequenza di cavità disposte lungo una traiettoria rettilinea nelcaso di un LINAC

Eventualmente anche una sola cavità alla quale le particelle ritornano ripetutamente grazie all’applicazione di un campo magnetico dipolare che determina un’orbita chiusa nel caso di un sincrotrone

Ignorando per il momento la dinamica trasversale del fascio, ciò implica cheesiste una particella ideale che risponde perfettamente al piano di accelerazione

Si tratta di quella particella che ad ogni istante di tempo possiedeesattamente l’energia e la posizione longitudinale lungo l’orbita ideale tali daricevere ad ogni attraversamento di una cavità l’esatta quantità di energia per rimanere in perfetto accordo con il piano di accelerazione

Il punto è che tale condizione è per definizione ideale: un fascio reale saràcostituito ad ogni istante da una distribuzione di energie e posizionilongitudinali


Il problema che si pone è quindi un problema di stabilitàSotto quali condizioni una particella che a un certo istante fissato t0 ha energia E(t0) e posizione longitudinale s(t0) manterrà ad ogni successivoistante t un’energia E(t) e una posizione longitudinale s(t) “prossime”all’energia Es(t) e alla posizione longitudinale ss(t) della particella ideale?

Intuitivamente, ci possiamo aspettare che tale situazione si verifichi allorché|E(t0) - Es(t0)| e |s(t0) - ss(t0)| sono sufficientemente piccoli

Tale condizione, che dobbiamo comunque rendere quantitativa, pur essendonecessaria, non è tuttavia sufficiente

come vedremo, affinché la situazione di stabilità enunciata sopra siverifichi (per |E(t0) - Es(t0)| e |s(t0) - ss(t0)| sufficientemente piccoli) ènecessario che la posizione longitudinale della particella ideale soddifi un opportuno criterio

Il principio che garantisce che, per un’opportuna scelta di ss(t0), esistanovalori di E(t0) e di s(t0) tali che la condizione di stabilità sia soddisfatta si indica con il nome di principio di stabilità di fase

Quando le condizioni per la stabilità del moto longitudinale sonosoddisfatte, le particelle prossime (in E, s) alla particella idealeoscilleranno attorno ai valori Es, ss della particella ideale

Oscillazioni di sincrotrone


Come già detto sopra, ignoreremo, nel seguito i gradi di libertàtrasversali (x,y) del moto delle particelle del fascio (già trattati, in maniera autonoma, nella sezione precedente)

Ciò è possibile in virtù del fatto che la frequenza delle oscillazioni di sincrotrone (longitudinali) è in generale molto più piccola di quella delleoscillazioni di betatrone

Per semplificare il discorso, esamineremo in dettaglio il caso di un sincrotrone equipaggiato con una sola cavità a RF, che supporremo avereuno spessore longitudinale infinitesimo

Sia V(t) = V sin ωRFtla legge oraria con cui varia con t la d.d.p. tra le due estremità longitudinalidella cavità

Siano tS1, tS

2, ..., tSn gli istanti(*) in cui la particella ideale attraversa la cavità

la prima volta, la seconda volta, ..., l’n-ma volta

La fase della d.d.p. nella cavità vista dalla particella ideale in corrispondenza del suo n-mo attraversamento della cavità stessa sarà quindi:

RFs sn ntψ ω=

(*) In conseguenza dell’ipotesi semplificatrice formulata in merito allo spessore longitudinale infinitesimo della cavità, il tempo di attraversamento della cavità può essere trascuratorispetto al periodo di oscillazione del campo nella cavità stessa


Indicando con ωR la pulsazione di rivoluzione della particella ideale, la sceltadi una pulsazione ωRF tale che:

ωRF = hωR(dove h è una costante intera positiva) assicura che la particella ideale attraversi la cavità acceleratrice sempre in corrispondenza della stessa fase del campo elettrico(*) (modulo 2π) (da cui l’apice S per la particella ideale, o “sincrona”)

Siano t1, t2, ..., tn gli istanti in cui una generica particella (non ideale) attraversa la cavità la prima volta, la seconda volta, ..., l’n-ma volta, e siaψn = ωRFtn la fase della d.d.p. nella cavità vista da tale particella in corrispondenza del suo n-mo attraversamento della cavità stessa

Indicando con τSn+1 l’intervallo temporale che intercorre tra l’n-mo e l’(n+1)-

mo attraversamento della cavità per la particella ideale (ossia il periodo di rivoluzione della particella ideale), e con τn+1 = (τS+Δτ)n+1 l’analoga quantità per una generica particella (non ideale), le fasi della d.d.p. per due attraversamenti consecutivi della cavità per la particella generica sarannolegate tra loro dalla relazione:

(*) In un sincrotrone, la frequenza di rivoluzione della particella ideale (e con essa, anche la frequenza di oscillazione del campo elettrico nella cavità acceleratrice) non è costante, ma varianel tempo come già indicato alla trasp. 25. Per semplificare la notazione, non indicheremoesplicitamente la dipendenza temporale di ωRF, ma ne terremo comunque conto.

1 RF 1

RF 1 RF 11

( )Sn n n

S Sn n n S

n

ψ ψ ω τ ττψ ω τ ω τ

τ

+ +

+ ++

= + + Δ

Δ⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎝ ⎠


Indicando con TSn l’intervallo temporale che intercorre tra il primo e l’n-mo

attraversamento della cavità da parte della particella ideale, ossia:

risulta conveniente sfruttare la circostanza già menzionata che la fase della d.d.p. per tutti gli attraversamenti della cavità da parte della particella ideale è la stessa; a tale scopo, sostituiamo alla fase ψn la fase “ridotta” φn, definita come:

cosicché, per la particella ideale:

ossia φS non dipende da n

In termini della fase “ridotta” φn, la relazione tra le fasi della d.d.p. per due attraversamenti consecutivi della cavità per la particella generica saràquindi:

La condizione di sincronia ωRF = hωR assicura che la quantità ωRFτSn+1 non

dipenda da n (v. anche nota alla trasp. precedente) e sia un multiplo intero di 2π (“numero armonico”); viceversa, la quantità (Δτ/τS)n+1 dipende effettivamente da n

RFS

n n nTφ ψ ω−

1s sn nφ ψ= ∀

1 RF 11

Sn n n S

n

τφ φ ω ττ+ +

+

Δ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 12

nS S S S S

n k n n nk

T T Tτ τ+ +=

= ⇒ = +∑


La quantità (Δτ/τS)n+1, relativa alla particella generica, può essere espressa in termini della differenza ΔEn+1 = En+1 – ES

n+1 tra l’energia En+1 di tale particellae l’energia ES

n+1 della particella ideale

Infatti, indicando con LS la lunghezza dell’orbita della particella ideale(*)

e con vS la sua velocità (supposta costante lungo l’orbita, oppure se ne prende il valor medio), e con L, v le analoghe quantità per la particellagenerica, si ha:

e quindi:

dove ΔL = L – LS e Δv = v – vS

Per quanto riguarda Δv, dall’espressione dell’impulso p = mcβγ dellaparticella, si ricava che:

dove le quantità con l’apice S si riferiscono alla particella ideale e si èassunto che le deviazioni di L e p da LS e pS siano piccole rispetto a LS e pS rispettivamente

SS

S

Lv

τ =

S S S

L vL v

ττΔ Δ Δ

= −

(*) In assenza di oscillazioni di betatrone (abbiamo già detto che in questa sede tratteremo igradi di libertà longitudinali in maniera disacoppiata da quelli trasversali)

( )2

1S SS

v pv pγ

Δ Δ=


Osserviamo a questo punto che, in generale, anche la quantità ΔL/LS

dipende dal valore di ΔpIn un acceleratore circolare, l’orbita di una particella di impulso p ≠ pS

differisce da quella della particella ideale(*)

La distanza (nel piano trasversale orizzontale) dell’orbita della particella di impulso p da quella della particella ideale (pS) è funzione della posizionelongitudinale s e si parametrizza attraverso una funzione D(s) (funzione di dispersione in impulso) come verrà precisato nella trasparenza successivaL’origine fisica di tale effetto risiede nel fatto che il campo-guidadell’acceleratore circolare (quello uniforme a tratti dei suoi magneti dipolari) deflette la traiettoria di una particella di impulso p > pS di un angolo inferiorerispetto a quello per cui è deflessa la traiettoria della particella ideale (pS)

Scriviamo tale dipendenza come:

Cogliamo l’occasione per aprire una parentesi e accennare al fatto che, oltre a tale effetto (localizzato nei magneti dipolari dell’acceleratore), l’esistenza di particelle di impulso p≠pS introduce effetti (localizzati negli elementifocalizzanti del reticolo magnetico) analoghi alle aberrazioni cromatichenell’ottica convenzionale: la dipendenza del potere focalizzante dei quadrupolidall’impulso della particella ha come conseguenza una dipendenza dall’impulsodel “tune” delle oscillazioni trasversali (di betatrone); il parametro chequantifica tale relazione è detto “cromaticità”, e la compensazione di tale fenomeno è realizzata mediante l’inserimento di elementi non lineari(sestupoli) nel reticolo magnetico (fin qui lineare) dell’acceleratore

(*) Più precisamente, il moto generale di una particella di impulso longitudinale p ≠ pS è costituitoda oscillazioni di betatrone trasversali attorno a un’orbita di lunghezza L ≠ LS.

S S

L pL p

αΔ Δ= (α = “momentum compaction

factor”)


Più in dettaglio, per Δp/pS << 1, l’equazione del moto nella coordinatatrasversale orizzontale x per la generica particella di impulso p ≠ pS

differisce da quella della particella di impulso pS (v. trasp. 44) solo per la comparsa di un termine non dipendente da x, che rende l’equazione non omogenea:

dove ρ indica il raggio di curvatura (locale!) dell’orbita ideale, e:

Tale termine si annulla ( oltre che, come ci si può aspettare, per p = pS) ovunque sia 1/ρ = 0: ciò significa che l’effetto di p ≠ pS sulla traiettoria traeorigine (in prima approx) solo dai tratti che passano attraverso i dipoli del reticolo

La soluzione generale di tale equazione sarà esprimibile come:

2

1 1( ) S

B px xB pρ ρ ρ′⎡ ⎤ Δ′′ + + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )SpB

qρ

( ) ( ) ( )h ix s x s x s= +

soluzione generale dell’equazioneomogenea associata:( ) ( ) cos( ( ) )

1( ( ) )( )

hx s A s s

ss

β ψ δ

ψβ

= +

′ =

soluzione particolare dell’equazionenon omogenea

scala con Δp/pS:

( ) ( )i S

px s D spΔ

=


La funzione D(s) (funzione di dispersione) è quindi una soluzioneparticolare dell’equazione:

e non dipende quindi da p (nell’approx.: Δp/pS << 1)

Si dimostra che esiste sempre una soluzione chiusa (D(s+LS) = D(s)) di tale equazione, che indicheremo con DC(s)

La soluzione particolare dell’equazione non omogenea in x che èproporzionale a DC(s):

rappresenterà quindi l’orbita (traiettoria di riferimento) della particelladi impulso p ≠ pS

Il “momentum compaction factor” α si ottiene osservando che la lunghezza LS dell’orbita ideale (p = pS) e la lunghezza L dell’orbita per p ≠ pS sono esprimibili rispettivamente come:

2

1 1( )

BD DBρ ρ ρ′⎡ ⎤′′ + + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

( ) ( )i C S

px s D spΔ

=

( ) ( )1 1( )( ) ( )1

( )

S

C C CC SS S S S

L ds

p D s D s DL pD s ds dsp L L s p L sL dss

αρ ρ ρ

ρ

⎫=⎪⎪Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Δ Δ⎪ ⇒ = ⇒ = =⎜ ⎟ ⎬ ⎜ ⎟

= + ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

∫

∫ ∫∫

Per Δp/pS << 1, α non dipende da p (per pS fissato),ma può dipendere da pS: α = α(pS) = α(γS)


In conclusione, mettendo insieme le due relazioni che esprimonorispettivamente Δv e ΔL in termini di Δp, otteniamo infine che:

dove:

Il segno dello “slip factor” dipende dal valore dell’impulso pS dellaparticella ideale e determina le condizioni sotto le quali le particelle di impulso p ≠ pS prossimo a p compiono oscillazioni di sincrotrone stabiliattorno a pS

Il valore di γS per il quale si ha η(γS) = 0, ossia per il quale:

si indica con il simbolo γt

( )2 2

1 ( )( ) ( )( )

SS S

S S S S SS

p p Ep p E

τ η γα γ η γτ βγ

⎡ ⎤Δ Δ Δ Δ⎢ ⎥= − = =⎢ ⎥⎣ ⎦

2

1( ) ( )( )

SS

S SS

vc

β

η γ α γγ

− (slip factor)

2

1( )( )

SSα γ

γ=


SincrotroneSincrotrone: synopsis: synopsisPer concludere, elenchiamo in maniera qualitativa i processi e i fenomeniche entrano in gioco nella produzione di un fascio accumulato (per es. di elettroni)

Suddivideremo tali fenomeni in tre categorie:

Processi fondamentali (a singola particella)sono responsabili in maniera primaria per le proprietà intrinseche di un fascio accumulato

si ottengono nell’approssimazione di particelle indipendenti (ogni elettrone si muove come se gli altri elettroni non ci fossero)

Effetti collettivi (a singolo fascio)dovuti all’interazione, diretta o indiretta, tra le particelle appartenentiallo stesso fascio

interazioni tra gli elettroni di uno stesso bunch

interazioni tra diversi bunch nello stesso fascio

Effetti a due fasci (per i collider)interazioni tra bunch appartenenti ai due fasci circolanti in un collider


ProcessiProcessi fondamentalifondamentali (a (a singolasingola particellaparticella))Un breve impulso di elettroni viene iniettato in una camera a vuotoimmersa in un campo-guida magnetico più o meno circolare

Il campo magnetico possiede proprietà focheggianti, che guidano gli elettroni verso un’orbita ideale e fanno loro compiere oscillazionitrasversali (radiali e verticali) attorno alla traiettoria ideale chiusa

Durante ogni rivoluzione, gli elettroni perdono una (piccola) frazionedella loro energia tramite emissione di radiazione di sincrotrone; tale perdita di energia viene compensata mediante un corrispondenteguadagno in energia fornita da una o più cavità a RF

per un fascio di particelle più pesanti (per es. protoni), questo fenomeno (e quelli ad esso associati: smorzamento e raffreddamento da radiazione) sono sostanzialmente trascurabili

Il campo acceleratore oscillante raccoglie gli elettroni in bunchescircolanti, entro i quali i singoli elettroni oscillano in posizionelongitudinale e in energia relativamente a una particella ideale di riferimento al centro del bunch (quella che possiede la fase idealerelativamente al campo acceleratore)


La combinazione di:perdita di energia per radiazione di sincrotroneguadagno di energia dalle cavità a RF

dà luogo a un lento smorzamento di tutte le ampiezze di oscillazione (longitudinali e trasversali); il fascio si “raffredda”; la traiettoria di ogni elettrone tende verso quella di un’ideale particella di riferimento al centro del bunch, la quale (in condizioni di fascioaccumulato) si muove con energia costante lungo l’orbita di progettoLo smorzamento di tutte le ampiezze di oscillazione viene di fattoarrestato dalla continua eccitazione delle oscillazioni da parte del “rumore” nell’energia degli elettroni; l’origine di tale “rumore” risiedesostanzialmente nella natura discontinua del processo di emissione di radiazione (ossia nelle fluttuazioni quantistiche del processo di perdita di energia)In condizioni stazionarie, si raggiunge un equilibrio dinamico tra i due processi di:

eccitazione quantisticasmorzamento radiativo

e si raggiunge così una distribuzione statisticamente stazionariadelle ampiezze di oscillazione trasversali e delle fasi degli elettroniin un bunch


In tali condizioni, il bunch assume l’aspetto di un tratto di nastrocircolante, con una dimensione e una forma stazionarie, e unadistribuzione spaziale gaussiana sia nelle due coordinate trasversali, sia in quella longitudinale

La forma del bunch sarà diversa per ogni posizione azimutale lungo l’orbita, in quanto le proprietà focheggianti del campo magnetico varianoda punto a punto; ma in condizioni stazionarie il bunch avrà la stessaforma ad ogni successivo attraversamento della stessa posizioneazimutale

Per ogni coordinata esiste un’ampiezza di oscillazione massima al di sopra della quale l’elettrone non rimane più catturato nel bunch; l’intervallo di ampiezze stabili in ogni coordinata viene denominato“apertura” (“aperture”)

Quando qualche disturbo aumenta l’ampiezza per una qualsiasi coordinataoltre il limite di apertura, il corrispondente elettrone viene perso dalbunch

Il limite di apertura per ogni coordinata può essere dovuto a:

la presenza di un oggetto fisico (collimatore) che intercetta le particelle con ampiezza eccessiva

l’esistenza di effetti non-lineari nelle forze di focheggiamento


Se ci si limita all’approssimazione di particelle indipendenti, i fenomeni “di disturbo” che possono dar luogo alla perdita di elettroniaccumulati come descritto sopra sono essenzialmente:

lo scattering o la perdita di energia in collisioni con le molecoledel gas residuo nella camera a vuoto

lo scattering sul gas residuo può, in linea di principio, modificareanche la forma del bunch accumulato (e aumentarne la dimensionespaziale); tuttavia, per elettroni relativistici in presenza di pressionimolto basse questo effetto è generalmente trascurabile

larghe fluttuazioni statistiche nel fenomeno dell’eccitazione quantistica delle ampiezze di oscillazione

EffettiEffetti collettivicollettivi (a (a singolosingolo fasciofascio))Quando il numero di elettroni in un bunch circolante è sufficientementeelevato (tipicamente dell’ordine di 109) le interazioni tra gli elettroni di uno stesso bunch, o tra bunch diversi dello stesso fascio, diventaimportante

Gli effetti più significativi hanno sono i seguenti


Effetto TouschekDue elettroni oscillanti all’interno dello stesso bunch possono subireun mutuo scattering Coulombiano, che trasferisce parte dell’energiadi oscillazione di ciascun elettrone da una coordinata all’altra

le nuove ampiezze di oscillazione nella seconda coordinata possonotrovarsi fuori dall’apertura dell’accumulatore (con conseguente perditadell’elettrone dal bunch), o comunque contribuire ad aumentare le dimensioni del bunch

Tale effetto è generalmente significativo solo a basse energie (energieinferiori a 1 GeV circa)

Oscillazioni coerentiOgni elettrone in un bunch circolante produce campielettromagnetici nella camera a vuoto, i quali influenzano il motodegli altri elettroni accumulati

si osservi che l’interazione elettromegnetica diretta tra due elettroni in un bunch decresce come 1/E2 ed è quindi trascurabile per anelli di accumulazione di alta energia

le interazioni collettive (indirette) tra gli elettroni di uno stesso fasciopossono dar luogo a oscillazioni coerenti instabili in cui tutti gli elettronidi un bunch oscillano maniera collettiva con un’ampiezza che cresceesponenzialmente col tempo


Anche in questo caso, la conseguenza è generalmente l’ aumento delledimensioni del bunch o la perdita di particelle dal bunch

Radiazione di sincrotrone coerenteL’interferenza costruttiva dei campi di radiazione degli elettroni in un bunch può dar luogo a fenomeni di coerenza nella radiazione di sincrotrone, che possono aumentare la perdita di energia dei singolielettroni

Per ottenere le alte densità di corrente richieste nei moderniaccumulatori è generalmente necessario che le instabilità coerenti sianofortemente soppresse o comunque controllate.

I rimanenti effetti collettivi (incoerenti) contribuiscono, insieme con i fenomeni a singola particella descritti sopra, a determinare le dimensionidei bunch

EffettiEffetti a due a due fascifasci ((collidercollider))Quando un elettrone nel fascio 1 passa attraverso un’intersezionetra i due fasci risente del forte campo e.m. prodotto dal fascio 2; questo campo macroscopico perturba le orbite di singola particelladegli elettroni nel fascio 1


Per densità di correnti sufficientemente elevate, ciò dà luogo allecosiddette “instabilità soffici” (“soft”), per le quali si verifica unacrescita incoerente dell’ampiezza delle oscillazioni trasversali, e quindi delle dimensioni del fascio

Le forze tra i due fasci accoppiano i modi di oscillazione coerenti deidue fasci e possono produrre modi instabili nel sistema a due fasci; anche in questo caso, le oscillazioni coerenti devono esseresoppresse al fine di ottenere un funzionamento stabile del collider

Acceleratori di particelle nella fisica delle alte energiecobal/lezione_16.pdf · A.A. 2007-2008 S....

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