ACADEMIA ROMAN^ A INSTITUTUL DE MATEMATICA SIMION STOILOW TEZA DE...

ACADEMIA ROMANAINSTITUTUL DE MATEMATICA ”SIMION STOILOW”

TEZA DE DOCTORAT

Pseudoconvexitate analitica

Coordonator stiintific,C.S. I dr. Mihnea Coltoiu

Doctorand,George-Ionut Ionita

Bucuresti, 2014

Multumiri

Incep prin a multumi conducatorului meu de doctorat, domnul ProfesorMihnea Coltoiu atat pentru propunerea problemelor care fac subiectul aces-tei teze, dar si pentru implicarea si rabdarea de care a dat dovada pe totparcursul acestor ani.

Ii sunt profund recunoscator domnului Profesor Cezar Joita, cel care mi-acoordonat lucrarea de licenta si pe cea de master de la SNS-B. Ii multumescpentru bunavointa cu care mi-a raspuns tuturor ıntrebarilor si pentru ca estecel care mi-a facilitat ıntalnirea cu analiza complexa ın mai multe variabile.

Ii multumesc colegului meu Ovidiu Preda cu care am purtat nenumaratediscutii referitoare la spatii Stein, q-convexitate si morfisme local semi-finite.

Adresez sincere multumiri membrilor comisiei de doctorat: Prof. Dr.George Marinescu (Universitatea din Koln, Germania), C.S. II Dr. CezarJoita (Institutul de Matematica ”S. Stoilow”, al Academiei Romane), Conf.Dr. Constantin Costara (Universitatea ”Ovidius”, Constanta, Romania)pentru timpul si efortul alocat parcurgerii manuscrisului tezei de doctoratsi pentru observatiile constructive facute.

De asemenea, doresc sa multumesc Institutului de Matematica ”SimionStoilow” al Academiei Romane si Scolii Normale Superioare din Bucurestifara de care nu cred ca as fi ajuns pana ın acest moment.

In final, vreau sa multumesc familiei si prietenilor pentru suportul moralpe care mi l-au acordat pe parcursul programului doctoral.

Cuprins

Introducere i

1 Definitii si rezultate generale despre spatii complexe 11.1 Varietati si spatii Stein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 q-convexitate si q-completitudine . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 q-convexitate cu colturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Rezultate folosite 102.1 Convexitate relativ la o multime liniara . . . . . . . . . . . . . 102.2 Functia Andreotti a unei multimi analitice . . . . . . . . . . . 122.3 q-plurisubarmonicitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 q-convexitatea morfismelor local semi-proprii 163.1 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 q-convexitatea morfismelor local semi-proprii . . . . . . . . . . 173.3 Reciproca teoremei lui Le Barz . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 q-completitudinea cu colturi si q-completitudinea cu colturia domeniilor Riemann neramificate 244.1 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 q-completitudinea domeniilor Riemann neramificate . . . . . . 264.3 q-completitudinea cu colturi a domeniilor Riemann neramificate 30

Bibliografie 35

Introducere

In Capitolul 1 sunt prezentate notiuni generale si rezultate fundamen-tale din teoria spatiilor Stein, a spatiilor q-convexe (cu colturi) si a celorq-complete (cu colturi).

Incepem cu definitia spatiului complex, a varietatii si a spatiului Stein.Punctam faptul ca o varietate Stein n-dimensionala admite o scufundareolomorfa, injectiva, proprie si regulata ın C2n+1 (vezi [9] si [47]). Con-tinuam cu binecunoscutele Teoreme A si B ale lui Cartan si cu caracteri-zarea spatiilor Stein prin intermediul plurisubarmonicitatii. Avem nevoiede definitia functiei de exhaustiune si a formei Levi a unei functii de clasaC2. Sunt date exemple de spatii Stein si de functii (strict) plurisubarmonice.Rezultatul fundamental este ca un spatiu complex X este Stein daca si nu-mai daca exista o functie continua ϕ : X → R strict plurisubarmonica si deexhaustiune pe X (vezi [30] si [45], [46]).

In partea a doua a Capitolului 1 sunt generalizate notiunile de functie(strict) plurisubarmonica si de spatiu Stein. Acest lucru se face cerand caforma Levi a unei functii sa aiba ın fiecare punct un numar minim precis devalori proprii pozitive. Obtinem conceptele de functie q-convexa si de spatiuq-convex, q-concav si q-complet (vezi [1]). Amintim faptul ca Teorema B a luiCartan a fost generalizata de Andreotti si Grauert [1] pentru spatii q-convexesi q-complete, ceea ce a condus la notiunea de spatiu coomologic q-convex,respectiv q-complet. Rezultatul cel mai important din aceasta sectiune serefera la o conditie de echivalenta pentru 1-convexitate: un spatiu complexX se numeste 1-convex daca si numai daca exista o functie Φ : X → [−∞,∞)strict plurisubarmonica si de exhaustiune; mai mult, Φ poate fi aleasa −∞exact pe multimea exceptionala S a lui X (vezi [18] si [16]). Continuam cuexemple, cele mai interesante exemple de spatii q-convexe si q-complete fiindobtinute luand complementare de multimi analitice.

Considerand complementare de submultimi analitice singulare q-codi-mensionale ajungem la conceptul de spatiu q-convex cu colturi. O functieq-convexa cu colturi se scrie local ca maximul unui numar finit de functii q-convexe (vezi [23] si [24]). Sunt date exemple de spatii q-complete cu colturi sieste precizat rezultatul de aproximare al lui Diederich si Fornaess [23] si [24]:orice functie q-convexa cu colturi se poate aproxima cu o functie q-convexa,

unde q = n−[n

q

]+ 1.

Capitolul 2 contine rezultate specifice lucrarii de fata.Deoarece nici suma si nici maximul a doua functii q-convexe nu este q-

i

convexa, M. Peternell a introdus convexitatea relativ la o multime liniara.Acest concept este discutat ın prima parte a Capitolului 2. Printre altele,M. Peternell [52] a definit notiunea de functie 1-convexa relativ la o multimeliniara, a generalizat ın acest context notiunea de functie q-convexa cu colturisi a dat un criteriu pentru testarea 1-convexitatii relativ la o multime liniara.Sectiunea se ıncheie cu doua rezultate care ne dau conditii necesare pentruca un spatiu complex sa fie q-complet (vezi [19] si [62]).

Functia Andreotti a unei multimi analitice face scopul sectiunii urmatoa-re. Aceasta ne va ajuta sa obtinem valori proprii pozitive ın ”directia nor-mala” ın punctele regulate ale respective multimi analitice.

Notiunea de functie (strict) plurisubarmonica este generalizata ın ul-tima parte a Capitolului 2. Folosind conceptul de functie subpluriarmonica,se da definitia functiei (strict) q-plurisubarmonice (vezi [28] pentru ambeledefinitii). Bungart [11] si Matsumoto [44] au demonstrat ca o functie con-tinua, strict q-plurisubarmonica pe o varietate complexa se poate aproxima cuo functie continua, q-convexa cu colturi. In finalul acestei sectiuni se prezintaun criteriu pentru testarea q-completitudinii cu colturi a unui spatiu complex(vezi [62]).

Ultimele doua capitole contin rezultatele originale ale acestei teze (veziTeorema 3.2.2, Teorema 4.1.2 si Teorema 4.1.3). Aceste teoreme sunt incluseın lucrarile [36], [37] si [38], lucrari care au fost acceptate spre publicare.

Capitolul 3 are ca scop principal demonstrarea urmatorului rezultat: dacaπ : Z → X este un morfism local semi-propriu de spatii complexe astfel ıncatX este q-complet, atunci Z este q-complet. Definitia notiunii de morfismlocal semi-propriu se bazeaza pe cea de morfism semi-finit si de morfism localsemi-finit date de Le Barz [41], care la randul lor generalizeaza conceptul deacoperire ramificata. Teorema de mai sus generalizeaza rezultate obtinute deStein [60], Ballico [3], [5], Le Barz [41] si Vajaitu [63]. Capitolul se ıncheiecu observatia ca daca X este un spatiu Stein n-dimensional, atunci existaf : X → Cn un morfism local semi-finit si cu un contraexemplu care ne arataca un morfism local semi-finit nu este neaparat o aplicatie aproape proprie.

Capitolul 4 trateaza generalizari ale solutiei la problema Levi date deColtoiu si Diederich [17]. Acestia au demonstrat ca daca p : Y → X este undomeniu Riemann neramificat, unde X si Y sunt doua spatii complexe cusingularitati izolate, astfel ıncat X este Stein si p este morfism Stein, atunciY este Stein. Teorema de mai sus a fost generalizata ın doua directii:

- am presupus ca X este q-complet si am obtinut ca Y este q-complet(vezi Teorema 4.1.2);

ii

- am presupus ca morfismul p este local q-complet cu colturi si am obtinutca Y este q-complet cu colturi (vezi Teorema 4.1.3).

iii

Capitolul 1

Definitii si rezultate generaledespre spatii complexe

Incepem cu prezentarea unor concepte fundamentale din analiza complexaın mai multe variabile. Vom folosi monografiile lui Demailly [22] si Forstne-ric [27].

Notiunea de spatiu complex a fost introdusa ın 1951 de Behnke si Stein [8]si de Cartan [12]; definitia lor corespunde cu ceea ce astazi numim un spatiucomplex normal (vezi [32]). Definitia acceptata, si care este folosita ın con-tinuare, a fost data de Serre ın [57].

Definitia 1.0.1. Un spatiu complex redus este o pereche (X,OX), unde Xeste un spatiu Hausdorff paracompact si OX este un fascicul de inele defunctii continue pe X (un subfascicul al fasciculului CX de germeni de functiicontinue) astfel ıncat oricare ar fi x ∈ X exista o vecinatate U ⊂ X a lui xsi un homeomorfism φ : U → A ⊂ Cn, unde A este o submultime analiticalocal ınchisa ın Cn asa ıncat morfismul φ∗ : CA → CX , f 7→ f φ, induce unizomorfism de la OA la OU = OX |U .

Un spatiu complex neredus se obtine permitand ca si modele locale perechi(A,F), unde A este o submultime analitica ınchisa ıntr-un deschis Ω ⊂ Cn

si F = (OΩ/I)|A, unde I ⊂ JA este un fascicul de ideale suportat pe A (i.e.,Ix = Ox pentru x /∈ A).

In cele ce urmeaza toate spatiile complexe se presupun a fi reduse siınzestrate cu o topologie numarabila.

Fie X un spatiu complex. O harta (locala) a lui X este o scufundare

olomorfa ι : U → U , unde U este o submultime deschisa a lui X si Ueste o submultime deschisa a unui spatiu euclidian Cn. Scufundare olomorfaınseamna ca ι(U) este o submultime analitica a lui U , iar aplicatia ι : U →

1

Capitolul 1. Definitii si rezultate generale despre spatii complexe

ι(U) este un biolomorfism. Presupunem ca ι : U → U este o harta localasi ca x ∈ U ; atunci diferentiala ι∗ : TxX → Cn este un morfism injectivde spatii vectoriale complexe. O functie ϕ : X → R se numeste neteda (declasa C∞) daca oricare ar fi x ∈ X exista o vecinatate deschisa U a lui x si

o scufundare olomorfa ι : U → U astfel ıncat exista f ∈ C∞(U ,R) asa ıncatf ι = ϕ|U .

1.1 Varietati si spatii Stein

Tot ın anul 1951, Stein introdus clasa varietatilor care ıi poarta numele.Definitia standard, apare spre exemplu ın [40] si este urmatoarea:

Definitia 1.1.1. O varietate complexa se numeste varietate Stein daca ur-matoarele conditii sunt satisfacute:

(a) Varietatea X este olomorf convexa, adica oricare ar fi o multime com-pacta K ⊂ X, acoperirea olomorf convexa

KX = x ∈ X : |f(x)| ≤ ‖f‖K ,∀f ∈ O(X)

este o submultime compacta a lui X;

(b) Functiile olomorfe pe X definesc coordonate locale ın fiecare punct,adica oricare ar fi x ∈ X exista functii f1, . . . , fn ∈ O(X) care definesccoordonatele locale ıntr-o vecinatate a lui x;

(c) Varietatea X este olomorf separabila, adica oricare ar fi o pereche depuncte distincte x 6= y din X exista o functie olomorfa f ∈ O(X) astfelıncat f(x) 6= f(y).

Unul dintre motivele pentru care varietatile Stein apar natural este cape acestea exista definite ”multe” functii olomorfe, neconstante. Acest fapteste punctat cel mai bine de urmatorul rezultat datorat lui Bishop [9] siNarasimhan [47]:

Teorema 1.1.2. O varietate complexa X de dimensiune n este Stein dacasi numai daca exista o scufundare olomorfa (injectiva) f : X → C2n+1 careeste proprie si regulata (i.e., rangul lui f este maxim ın fiecare punct).

In cele ce urmeaza vom face cateva observatii si vom da exemple de va-rietati Stein:

• O multime deschisa din Cn este Stein daca si numai daca este un dome-niu de olomorfie;

2


• O varietate Stein nu contine multimi analitice, compacte, de dimensi-une > 0;

• Daca X si Y sunt varietati Stein, atunci produsul lor cartezian X × Yeste varietate Stein;

• O subvarietate complexa, ınchisa X a lui CN este Stein. Mai mult,orice subvarietate complexa, ınchisa a unei varietati Stein este Stein.

Trecerea de la conceptul de varietate la cel de spatiu Stein se realizeazaın felul urmator:

Definitia 1.1.3. Un spatiu complex X ınzestrat cu o topologie numarabila senumeste spatiu Stein daca satisface proprietatile (a) si (c) din Definitia 1.1.1(i.e., este olomorf convex si olomorf separabil) si conditia

(b’) Oricare ar fi x ∈ X exista functii f1, . . . , fN ∈ O(X) care dau o scu-fundare locala, olomorfa a unei veciatati a lui x ın CN .

Teoremele A si B ale lui Cartan au fost demonstrate ın cadrul seminaruluicu acelasi nume ın anii 1951-1952 (vezi [12]).

Teorema 1.1.4. Fie (X,OX) un spatiu Stein si F un fasicul analitic coerentpe X. Atunci:

(A) Fibrele Fx sunt generate ca OX,x-module de sectiuni globale ale lui F ;

(B) Hp(X,F) = 0, oricare ar fi p ≥ 1.

Pentru a arata ca un spatiu complex este Stein nu este ıntotdeaunausor sa probam conditiile din definitie. Este un fapt binecunoscut ca va-rietatile si spatiile Stein sunt caracterizate de plurisubarmonicitate (vezi Te-orema 1.1.10). De cele mai multe ori, cea mai eficienta cale de a demonstraca un spatiu complex X este Stein este sa construim o functie strict plurisub-armonica si de exhaustiune pe X.

Fie U o submultime deschisa a lui C. O functie u : U → [−∞,∞),u 6≡ −∞ se numeste subarmonica daca este superior-semicontinua si dacaoricare ar fi discul D cu D ⊂ U si oricare ar fi h : D → R o functie continuape D si armonica pe D, daca u|∂D ≤ h|∂D, atunci u|D ≤ h.

Fie Ω o submultime deschisa a lui Cn. O functie ϕ : Ω → [−∞,∞) senumeste plurisubarmonica daca este superior semicontinua si daca oricare arfi a ∈ Ω si oricare ar fi w ∈ Cn, functia de o variabila complexa u : λ ∈ C :a+ λw ∈ Ω → [−∞,∞), u(λ) = ϕ(a+ λw) este subarmonica.

3


Notiunea de functie plurisubarmonica se poate generaliza ın contextul maigeneral al spatiilor complexe. Aceasta generalizare se face folosind scufundarilocale.

Fie X un spatiu complex si ϕ : X → [−∞,∞) o functie superior semicon-tinua. Functia ϕ se numeste plurisubarmonica daca oricare ar fi x ∈ X existao harta locala i : U → U ⊂ Cn a lui X, U 3 x si o functie ϕ plurisubarmonicape deschisul euclidian U astfel ıncat ϕ i = ϕ.

O functie ϕ : X → [−∞,∞) superior semicontinua ca mai sus se numestestrict plurisubarmonica daca oricare ar fi θ ∈ C∞0 (X,R) (i.e., θ este o functieneteda, cu suport compact) exista ε0 > 0 astfel ıncat ϕ+ εθ este plurisubar-monica pe X, oricare ar fi 0 ≤ ε ≤ ε0.

O caracterizare echivalenta pentru functiile plurisubarmonice este dataprin intermediul formei Levi.

Definitia 1.1.5. Consideram o functie ϕ ∈ C2(D,R), unde D este o sub-multime deschisa a lui Cn. Se numeste forma Levi a lui ϕ forma hermitiana

L(ϕ) =n∑

i,j=1

∂2ϕ

∂zi∂zjdzidzj.

Remarca 1.1.6. Forma Levi a unei functii ϕ ın punctul z ∈ D, calculata ınξ, η ∈ Cn este numarul complex dat de expresia

L(ϕ, z)(ξ, η) =n∑

i,j=1

∂2ϕ

∂zi∂zj(z)ξiηj,

De asemenea, definim L(ϕ, z)ξ = L(ϕ, z)(ξ, ξ), ξ ∈ Cn.

Remarca 1.1.7. O functie ϕ : D → R de clasa C2 pe D, unde D este osubmultime deschisa a lui Cn este plurisubarmonica (respectiv strict plurisub-armonica) daca si numai daca forma sa Levi este pozitiv semidefinita (res-pectiv pozitiv definita), adica oricare ar fi z ∈ D si oricare ar fi ξ ∈ Cn

are loc inegalitatea L(ϕ, z)ξ ≥ 0 (respectiv > 0 pe Cn\0). Acest fapt esteechivalent cu a spune ca forma Levi a unei functii plurisubarmonice (respectivstrict plurisubarmonice) are exact n valori proprii ≥ 0 (respectiv > 0).

Folosind scufundari locale notiunea de functie (strict) plurisubarmonicase generalizeaza (ca si cea de functie neteda) ın contextul spatiilor complexe.Pentru mai multe detalii se poate consulta definitia functiei q-convexe pe unspatiu complex (Definitia 1.2.4).

Definitia 1.1.8. Fie X un spatiu complex si ϕ : X → R o functie superiorsemicontinua. Functia ϕ se numeste de exhaustiune pe X daca submultimilede nivel x ∈ X : ϕ(x) < c sunt relativ compacte ın X oricare ar fi c ∈ R.

4


Exemplul 1.1.9. Fie X un spatiu complex si f : X → C o functie olomorfape X. Atunci functiile |f |, |f |2, log(1 + |f |2) si log |f | sunt plurisubarmonicepe X. Mai mult, functia log(1 + |z|2) este strict plurisubarmonica pe Cn.

Urmatorul rezultat reprezinta caracterizarea spatiilor Stein mentionataanterior (vezi [30] si [45], [46]).

Teorema 1.1.10. Un spatiu complex X este Stein daca si numai daca existao functie continua ϕ : X → R strict plurisubarmonica si de exhaustiune peX.

1.2 q-convexitate si q-completitudine

Daca cerem ca forma Levi a unei functii de clasa C2 sa aiba ın fiecare punct unnumar minim precis de valori proprii pozitive, atunci vom obtine notiuneade functie q-convexa. Notiunile de functie q-convexa si de spatiu complexq-convex si q-complet au fost introduse de Andreotti si Grauert ın [1].

Definitia 1.2.1. O functie ϕ : D → R de clasa C2 pe D, unde D este osubmultime deschisa a lui Cn se numeste q-convexa (q ∈ N, 1 ≤ q ≤ n) dacaforma sa Levi L(ϕ) are cel putin n − q + 1 valori proprii pozitive (> 0) ınfiecare punct din D.

Exemplul 1.2.2. Fie D o submultime deschisa a lui Cn si ϕ o functie neteda,strict plurisubarmonica pe D. Atunci functia ψ ∈ C∞(D,R) data prin

ψ := ϕ · (1 + |f2|2 + · · ·+ |fq|2)α

este q-convexa, unde α ∈ R si f2, . . . , fq (2 ≤ q ≤ n) sunt functii olomorfepe D.

Remarca 1.2.3. Functiile 1-convexe pe submultimi deschise din Cn coincidcu cele netede, strict plurisubarmonice.

Dupa cum am semnalat ın sectiunea anteriora, notiunea de functie q-convexa se generalizeaza ın contextul spatiilor complexe folosind scufundarilocale.

Definitia 1.2.4. Consideram X un spatiu complex si ϕ ∈ C∞(X,R) o functieneteda pe X. Functia ϕ se numeste q-convexa daca oricare ar fi x ∈ Xexista o harta locala ι : U → U ⊂ Cn si o functie ϕ ∈ C∞(U ,R) astfel ıncatϕ ι = ϕ|U si asa ıncat forma Levi a lui ϕ are cel putin n − q + 1 valori

proprii pozitive (> 0) ın orice punct al lui U .

5


Conditia ca forma Levi a lui ϕ sa aiba cel putin n − q + 1 valori propriipozitive (> 0) ın orice punct al lui U poate fi ınlocuita cu urmatoarea: existaun spatiu liniar complex E ⊂ Cn, dimE ≥ n − q + 1 astfel ıncat dacarestrictionam la E forma Levi L(ϕ, ι(x)), atunci aceasta este pozitiv definita.

Definitia 1.2.5. Un spatiu complex X se numeste q-convex, daca exista osubmultime compacta K a lui X si o functie neteda ϕ : X → R, care este deexhaustiune pe X si q-convexa pe X\K. Daca putem alege K = ∅, atunci Xse numeste q-complet.

Definitia 1.2.6. Un spatiu complex X se numeste q-concav, daca exista osubmultime compacta K a lui X si o functie neteda ϕ : X → (0,∞), careeste q-convexa pe X\K si astfel ıncat multimea x ∈ X : ϕ(x) > ε esterelativ compacta ın X oricare ar fi ε > 0.

Remarca 1.2.7. Spatiile complexe 1-complete coincid cu spatiile Stein.

Teoremele A si B ale lui Cartan au fost generalizate de Grauert si An-dreotti [1] pentru spatii q-convexe si q-complete. Acestia au demostratteoreme de finitudine, respectiv de anulare pentru coomologia spatiilor q-convexe, respectiv q-complete cu valori ıntr-un fascicul analitic coerent.

Teorema 1.2.8. Fie X un spatiu complex si F un fasicul analitic coerentpe X.

• Daca X este q-convex, atunci dimCHp(X,F) <∞, oricare ar fi p ≥ q;

• Daca X este q-complet, atunci Hp(X,F)=0, oricare ar fi p ≥ q.

In legatura cu enuntul teoremei anterioare vom da urmatoarea definitie.

Definitia 1.2.9. Fie X un spatiu complex.

• Spunem ca X este coomologic q-convex daca dimCHp(X,F) < ∞,

oricare ar fi F un fasicul analitic coerent pe X si oricare ar fi p ≥ q;

• Spunem ca X este coomologic q-complet daca Hp(X,F)=0, oricare arfi F un fasicul analitic coerent pe X si oricare ar fi p ≥ q.

Vom continua acum cu cateva observati si cu exemple de spatii q-convexesi q-complete.

Exemplul 1.2.10. Un spatiu complex X de dimensiune n este n-convexdaca si numai daca X are cel mult un numar finit de componente ireductibilecompacte de dimensiune n. Un spatiu complex X de dimensiune n este n-complet daca si numai daca X nu are nici o componenta ireductibila compactade dimensiune n.

6


Pentru o demonstratie a rezultatelor de mai sus vezi [49] (cazul neted afost rezolvat anterior ın [33]).

Exemplul 1.2.11. Un spatiu complex X de dimensiune n, ireductibil esten-concav [14].

Conform solutiei lui Grauert la problema Levi (vezi [31]) se stie ca unspatiu complex este 1-complet daca si numai daca este Stein (Remarca 1.2.7).Asadar un spatiu complex X este 1-complet daca si numai daca este coomo-logic 1-complet. Pentru spatiile 1-convexe exista o caracterizare geometricafoarte interesanta (vezi [46]): un spatiu este 1-convex daca si numai dacaeste o modificare proprie ıntr-un numar finit de puncte a unui spatiu Stein.Adica daca X este un spatiu 1-convex, atunci exista un spatiu Stein Y , oaplicatie p : X → Y surjectiva, olomorfa si proprie si o multime finita B ⊂ Yastfel ıncat daca A = p−1(B), avem ca X\A ∼−→ Y \B este un biolomorfismsi OY ' p∗OX . In aceste conditii p se numeste reductia Remmert a lui X, iarA multimea exceptionala a lui X (A este submultimea analitica, compacta,maximala, de dimensiune pozitiva a lui X). De asemenea, tot din [46], sestie ca 1-convexitatea este echivalenta cu coomologic 1-convexitatea. O altaconditie echivalenta pentru 1-convexitate, folosind functii strict plurisubar-monice cu valori ın [−∞,∞), este data ın [18] si [16] (vezi Teorema 1.2.12).

Teorema 1.2.12. Un spatiu complex X este 1-convex daca si numai dacaexista o functie strict plurisubarmonica, de exhaustiune Φ : X → [−∞,∞).Mai mult, Φ poate fi aleasa −∞ exact pe multimea exceptionala S a lui X sireal analitica ın afara lui S.

Cele mai interesante exemple de spatii q-convexe si q-complete sunt ob-tinute luand complementare de multimi analitice.

Exemplul 1.2.13. Consideram A ⊂ Pn o subvarietate complexa q-codi-mensionala. Atunci multimea Pn\A este q-convexa. Acest fapt a fost demon-strat de Barth [6] studiind convexitatea distantei d(x) a unui punct x ∈ Pn\Ala A relativ la metrica Fubini-Study. Daca x ∈ Pn\A care este suficient deaproape de A, atunci d(x) este neteda si − log d(x) este q-convexa.

In general Pn\A, unde A este o subvarietate complexa q-codimensionalaa lui Pn, nu este un spatiu q-complet. Ar fi q-complet daca, de exemplu, Aar fi data de q ecuatii globale ın Pn.

Urmatorul rezultat referitor la q-completitudinea complementarelor desubvarietati ın Pn apartine lui M. Peternell [54].

Exemplul 1.2.14. Daca A ⊂ Pn este o subvarietate complexa q-codimen-sionala, atunci spatiul Pn\A este (2q-1)-complet.

7


In [4], Ballico a studiat q-completitudinea complementarelor de subva-rietati complexe, ınchise ıntr-un spatiu Stein.

Exemplul 1.2.15. Fie X o varietate Stein si A ⊂ X o subvarietate com-plexa, ınchisa, q-codimensionala. Atunci X\A este un spatiu q-complet.

In cazul ın care consideram complementare de submultimi analitice sin-gulare q-codimensionale A ⊂ X, atunci, ın general, X\A nu are proprietatiinteresante de q-convexitate sau q-completitudine ca ın cazul neted (al sub-varietatilor). Asadar apare natural conceptul de q-convexitate cu colturi,notiune care face scopul sectiunii urmatoare.

1.3 q-convexitate cu colturi

Dupa cum am precizat ın finalul sectiunii anterioare, conceptul de functie saude spatiu q-convex cu colturi apare atunci cand consideram complementarede submultimi analitice singulare q-codimensionale.

O alta motivatie o reprezinta urmatorul fenomen: nici suma, nici maximula doua functii q-convexe nu este o functie q-convexa. Aceasta deoarece celedoua functii considerate pot avea directii de pozitivitate diferite.

Urmatoarea definitie a fost introdusa ın [23] si [24] de Diederich si For-naess.

Definitia 1.3.1. Fie X un spatiu complex si f : X → R o functie continua.Spunem ca functia f este q-convexa cu colturi daca oricare ar fi x ∈ Xexista o vecinatate deschisa U a lui x si un numar finit de functii q-convexef1, . . . , fk pe U astfel ıncat

f |U = max(f1, . . . , fk).

Notam cu Fq(X) multimea functiilor q-convexe cu colturi pe X.A fost demonstrat tot de catre Diederich si Fornaess (vezi [23] si [24]) ca

orice functie q-convexa cu colturi se poate aproxima cu o functie q-convexa,

unde q = n−[n

q

]+ 1 (aici

[n

q

]reprezinta partea ıntreaga a numarului

n

q).

De asemenea, cei doi au aratat ca acest q este optim. Ca si consecinta, ointersectie finita de deschisi q-convecsi este q-convexa. Optimalitatea aces-tui q a fost demonstrata de Chiriacescu, Coltoiu si Joita ın [13] ın cazulvarietatilor quasi-proiective ıntr-un context coomologic.

Daca notiunea de functie q-convexa a dus la definirea spatiului q-convex,respectiv q-complet, acelsi lucru se ıntampla si ın cazul functiilor q-convexecu colturi.

8


Definitia 1.3.2. Un spatiu complex X se numeste q-convex cu colturi, dacaexista o submultime compacta K a lui X si o functie neteda, de exhaustiuneϕ : X → R, care este q-convexa cu colturi pe X\K. Daca putem alegeK = ∅, atunci X se numeste q-complet cu colturi.

Revenind la exemplele prezentate ın sectiunea anterioara, prezentam ur-matoarele rezultate demonstrate de M. Peternell [53].

Exemplul 1.3.3. Fie X o varietate Stein si A ⊂ X o submultime analiticaınchisa astfel ıncat orice componenta ireductibila Ai a lui A are codimen-siunea ≤ q. Atunci spatiul X\A este q-complet cu colturi.

Exemplul 1.3.4. Fie A ⊂ Pn o submultime analitica ınchisa astfel ıncatorice componenta ireductibila Ai a lui A are codimensiunea ≤ q. Atuncispatiul Pn\A este q-complet cu colturi.

9

Capitolul 2

Rezultate folosite

2.1 Convexitate relativ la o multime liniara

Pentru a depasi problema legata de faptul ca suma sau maximul a douafunctii q-convexe nu este o functie q-convexa, M. Peternell [52] a introdusnotiunea de convexitate relativ la o multime liniara.

Fie X un spatiu complex si TxX spatiul tangent olomorf la X ın x ∈ X.

Punem TX :=⋃x∈X

TxX. Daca X = Cn, atunci TxX se indentifica ın mod

canonic cu Cn. Consideram o submultime arbitrara M ⊂ TX si oricare arfi x ∈ X, definim Mx = M∩ TxX. Daca Mx este un subspatiu vectorialcomplex al lui TxX oricare ar fi x ∈ X, atunciM se numeste multime liniarapeste X.

Fie Ω ⊂ X o multime deschisa. Definim urmatoarele:

(i) codimΩ M = supx∈Ω codimMx;

(ii) M|Ω ca si (M|Ω)x =Mx oricare ar fi x ∈ Ω.

Fie π : Y → X un morfism analitic de spatii complexe si M o multimeliniara peste X. Oricare ar fi un punct y ∈ Y consideram aplicatia tangentaπ∗,y : TyY → TxX, unde x = π(y). Aceasta este o aplicatie C-liniara despatii vectoriale complexe. Punem

π∗M :=⋃y∈Y

(π∗,y)−1(Mx)

si obtinem ca π∗M este o multime liniara peste Y . Mai mult, ın cazul ıncare codimM≤ q − 1, atunci codim π∗M ≤ q − 1.

Urmatoarele definitii apartin lui M. Peternell (vezi [52]).

10

Capitolul 2. Rezultate folosite

Definitia 2.1.1. Fie X un spatiu complex, W ⊂ X o multime deschisa, Mo multime liniara peste W si W si ϕ : W → R o functie C∞.

(a) Fie x ∈ W . Atunci ϕ se numeste slab 1-convexa relativ la Mx daca

exista o harta locala ι : U → U a lui X cu x ∈ U ⊂ W si o functieϕ ∈ C∞(U ,R) astfel ıncat

ϕ ι = ϕ|U si L(ϕ, ι(x))ι∗ξ ≥ 0 oricare ar fi ξ ∈Mx.

Mai mult, ϕ se numeste slab 1-convexa relativ la M daca ϕ este slab1-convexa relativ la Mx oricare ar fi x ∈ W .

(b) Spunem ca ϕ este 1-convexa relativ la M, daca oricare ar fi x ∈ Wexista o vecinatate deschisa U ⊂ W a lui x si o functie 1-convexaψ ∈ C∞(U,R) astfel ıncat ϕ|U − ψ este slab 1-convexa relativ la M|U .

Definitia 2.1.2. Fie X un spatiu complex si M o multime liniara pesteX. Notam cu B(X,M) multimea functiilor continue ϕ : X → R astfelıncat orice punct al lui X are o vecinatate deschisa D pe care sunt definitefunctiile 1-convexe relativ laM|D, notate cu f1, . . . , fk ∈ C∞(D,R) si pentrucare avem

ϕ|D = max(f1, . . . , fk).

De asemenea, avem nevoie si de urmatoarele leme care se datoreaza totlui M. Peternell (vezi [52]).

Lema 2.1.3. Fie X un spatiu complex si ϕ : X → R o functie C∞, q-convexa. Atunci exista o multime liniaraM peste X de codimensiune ≤ q−1astfel ıncat ϕ este 1-convexa relativ la M.

Lema 2.1.4. Fie ι : U → U o harta locala a spatiului complex X si ϕ : U →R o functie C∞. Atunci functia ϕ este 1-convexa relativ la o multime liniaraM daca si numai daca oricare ar fi o multime compacta K ⊂ U exista δ > 0si oricare ar fi x ∈ K exista o functie ϕ ∈ C∞(U ,R) astfel ıncat ϕ ι = ϕ si

L(ϕ, ι(x))ι∗(ξ) ≥ δ ‖ι∗(ξ)‖2

oricare ar fi ξ ∈Mx.

Urmatoarea teorema decurge din Theorem 3 demonstrata de Coltoiu siVajaitu ın [19]. Un rezultat de acelasi tip a fost obtinut ın [39] ın cazulq-concav.

11


Teorema 2.1.5. Fie X un spatiu complex si M o multime liniara peste X.Consideram Xii∈N un sir crescator de submultimi deschise ın X astfel ıncat

X =⋃i∈N

Xi. Presupunem ca exista functiile ui : Xi → R, ui ∈ B(Xi,M|Xi) si

constantele Ci, Di ∈ R, Ci < Di, i ∈ N care satisfac urmatoarele proprietati:

(a) x ∈ Xi : ui(x) < Di ⊂⊂ Xi oricare ar fi i ∈ N;

(b) x ∈ Xi+1 : ui+1(x) < Ci ⊂ x ∈ Xi : ui(x) < Di oricare ar fi i ∈ N;

(c) pentru orice submultime compacta K ⊂ X exista j = j(K) ∈ N asaıncat

K ⊂ x ∈ Xi+1 : ui+1(x) < Ci oricare ar fi i ≥ j.

Atunci exista o functie de exhaustiune v ∈ B(X,M). In particular, dacacodimM≤ q − 1, atunci X este spatiu q-complet.

Un alt criteriu pentru testarea q-completitudinii unui spatiu complex estedat de urmatorul rezultat al lui Vajaitu [62].

Propozitia 2.1.6. Fie Y un spatiu complex si N o multime liniara peste Yde codimensiune ≤ q − 1. Presupunem ca exista o functie Φ : Y → R astfelıncat Φ ∈ B(Y,N ) si oricare ar fi c ∈ R submultimile de nivel Φ < c suntN -complete (i.e., exista o functie de exhastiune uc ∈ B(Φ < c,N|Φ<c)).Atunci Y este q-complet.

Cele doua rezultate prezentate anterior sunt utilizate pentru a demon-stra doua dintre teoremele principale ale acestei lucrari (Teorema 3.2.2 siTeorema 4.1.2).

2.2 Functia Andreotti a unei multimi anali-

tice

Fie X un spatiu complex si A o submultime analitica a lui X. FunctiaAndreotti ne va ajuta sa obtinem valori proprii pozitive ın ”directia normala”ın punctele regulate ale lui A.

Notam cu IA fasciculul coerent de ideale de germeni de functii olomorfecare se anuleaza pe A.

Alegem o acoperire local finita Ujj a lui X cu deschisi relativ compacti

ın X astfel ıncat pe fiecare Uj exista functii h(j)1 , . . . , h

(j)q(j) ∈ O(Uj) cu IA|Uj =

(h(j)1 , . . . , h

(j)q(j)).

Fie ρjj o partitie a unitatii subordonata acoperirii Ujj a lui X.

12


Definim functia Andreotti fA : X → R prin:

fA(x) =∑j

ρj(x)∥∥h(j)(x)

∥∥2, x ∈ X,

unde ∥∥h(j)∥∥2

=

q(j)∑i=1

|h(j)i |2.

Observam ca fA ≥ 0, fA ∈ C∞(X) si ca A = fA = 0.Presupunem ca x0 ∈ A si fie ι : U → U o harta locala ın jurul lui x0.

Prelungim ρj prin ρj ∈ C∞0 (U) si h(j)i |U prin h

(j)i ∈ O(U). Local, fA are o

prelungire fA definita pe U astfel ıncat

1. forma Levi L(fA, ι(x)) este pozitiv semidefinita oricare ar fi x ∈ U ∩A;

2. pentru x ∈ U ∩ Reg(A) avem ca forma Levi L(fA, ι(x))(v) = 0 daca sinumai daca v ∈ ι∗,x(TxA).

Functia Andreotti este utilizata ın cadrul urmatorului rezultat; acestadecurge din Lema 3 si Lema 4 din [63].

Lema 2.2.1. Fie π : Z → X o aplicatie olomorfa ıntre doua spatii complexesi A o submultime analitica a lui Z. Punem r = maxdimπ−1(x) : x ∈ Xsi consideram B ⊂ A o multime analitica astfel ıncat Sing (A) ⊆ B. Pre-supunem ca aplicatia de restrictie π|A\B : A\B → X are rang local constant,ca exista o acoperire local finita V ′l l a lui X cu deschisi relativ compactisi ca avem date functiile 1-convexe ϕl : V ′l → R+. Fie multimile deschiseVl ⊂ V ′l , V l ⊂ V ′l ca re acopera pe X. Notam Ul := π−1(Vl), U ′l := π−1(V ′l )si punem

ψl = fA + ϕl π : U ′l → R+,

unde fA este functia Andreotti a submultimii analitice A a lui Z.Atunci exista o vecinatate deschisa Ω a lui A\B ın Z si o multime liniara

M peste Ω de codimensiune ≤ r astfel ıncat ψl|Ul∩Ω este 1-convexa relativ laM|Ul∩Ω oricare ar fi l.

2.3 q-plurisubarmonicitate

Initial vom prezenta notiunile de functie q-plurisubarmonica si de functiestrict q-plurisubarmonica pe un spatiu complex.

Urmatoarele definitii se gasesc, spre exemplu, ın [28].

13


Definitia 2.3.1. Fie D ⊂ Cn o multime deschisa si f : D → [−∞,∞)o functie superior semi-continua. Spunem ca f este subpluriarmonica dacaoricare ar fi G ⊂⊂ D o multime relativ compacta si oricare ar fi h o functiepluriarmonica definita pe o vecinatate a lui G (i.e., h este local partea realaa unei functii olomorfe) astfel ıncat f |∂G ≤ h|∂G, atunci f ≤ h pe G.

Definitia 2.3.2. Fie X un spatiu complex, f : X → [−∞,∞) o functiesuperior semi-continua si q ∈ N∗. Spunem ca f este:

(1) q-plurisubarmonica daca oricare ar fi un deschis G ⊂ Cq si oricare arfi o functie olomorfa g : G→ X, functia f g este subpluriarmonica;

(2) strict q-plurisubarmonica daca oricare ar fi θ ∈ C∞0 (X,R), exista oconstanta ε0 > 0 astfel ıncat oricare ar fi ε, cu 0 ≤ ε ≤ ε0 functiaf + εθ este q-plurisubarmonica pe X.

Pentru un spatiu complex X, notam cu Pq(X) multime functiilor q-pluri-subarmonice pe X si cu SPq(X) multimea functiilor strict q-plurisubarmonicepe X.

In literatura (vezi [28], [29], [34], [43], [44], [56]) conceptele de subpluri-armonicitate si de (strict) q-plurisubarmonicitate sunt definite ın mai multemoduri. De exemplu, ın [34], o functie definita pe o multime deschisa D ⊂ Cn

si cu valori ın [−∞,∞) se numeste q-plurisubarmonica (1 ≤ q ≤ n) pe Ddaca este superior semi-continua si daca este subpluriarmonica pe intersectiatuturor planelor complexe q-dimensionale cu D. Folosind scufundari locale,putem generaliza aceasta definitie la spatii complexe arbitrare. Fujita a de-monstrat ın [29] ca, ın cazul neted, notiunile de mai sus coincid. Acest lucruse petrece si ın cazul singular pentru q = 1 (vezi [26]). Pentru q > 1, darnumai pentru functii continue, acest rezultat a fost anunatat de Popa-Fischerın [55] si demonstrat ın [56].

Ca o motivatie pentru definitiile date anterior facem cateva observatii.

Remarca 2.3.3. O functie f ∈ C2(D,R), unde D este o submultime deschisaa lui Cn, este q-plurisubarmonica daca si numai daca forma Levi a lui f arecel putin n− q + 1 valori proprii nenegative (≥ 0) ın fiecare punct din D.

Remarca 2.3.4. Notiunea de 1-plurisubarmonicitate coincide cu cea de plu-risubarmonicitate.

Remarca 2.3.5. O functie superior semicontinua f : D → [−∞,∞), undeD este o submultime deschisa a lui Cq, este q-plurisubarmonica daca si numaidaca este subpluriarmonica.

14


Urmatorul rezultat de aproximare a fost demonstrat pentru deschisi dinCn de Bungart [11], dar Matsumoto [44] a observat ca acest fapt este adevaratsi pentru varietati complexe.

Teorema 2.3.6. Daca X este o varietate complexa si f : X → R esteo functie continua, strict q-plurisubarmonica, atunci oricare ar fi o functiecontinua δ : X → (0,∞) exista o functie f ∈ Fq(X) astfel ıncat |f − f | < δ.

Conceptele si rezultatele din aceasta sectiune vor fi utilizate pentru ademonstra Teorem 4.1.3. Pe langa acestea, avem nevoie si de urmatorulcriteriu pentru testarea q-completitudinii cu colturi a unui spatiu complex(vezi Vajaitu [62]).

Propozitia 2.3.7. Daca X este un spatiu complex si Φ ∈ Fq(X) astfel ıncatoricare ar fi c ∈ R multimea Xc := Φ < c este q-completa cu colturi, atunciX este q-complet cu colturi.

15

Capitolul 3

q-convexitatea morfismelorlocal semi-proprii

Fie X si Y spatii topologice local compacte. O aplicatie continua f : X → Yse numeste proprie daca oricare ar fi o multime compacta K ın Y , preima-ginea f−1(K) este multime compacta. Aplicatia f se numeste aproape propriedaca oricare ar fi o multime compacta K ın Y , fiecare componenta conexa apreimaginii f−1(K) este compacta. O aplicatie proprie cu fibre finite se zicefinita. Daca X este spatiu Stein, atunci orice aplicatie olomorfa si proprief : X → Y este finita si orice aplicatie aproape proprie are fibre discrete.

3.1 Preliminarii

Incepem cu observatia ca daca π : Z → X este un morfism finit de spatiicomplexe, atunci Z este Stein daca si numai daca X este Stein.

Urmatoarea teorema a fost demonstrata de Stein [60].

Teorema 3.1.1. Fie π : Z → X o acoperire neramificata de spatii complexe.Daca X este Stein, atunci Z este Stein.

Le Barz [41] a generalizat rezultatul lui Stein pentru morfisme local semi-finite de spatii complexe (vezi Definitia 3.1.2 si Teorema 3.1.3).

Definitia 3.1.2. Fie X si Z doua spatii complexe. Spunem ca un morfismπ : Z → X este

(a) semi-finit daca Z se scrie ca o reuniune disjuncta a unor spatii deschise(Wm)m astfel ıncat π|Wm : Wm −→ X este o aplicatie finita (m ∈ N);

(b) local semi-finit daca oricare ar fi x ∈ X, exista o vecinatate U a lui xastfel ıncat π|π−1(U) : π−1(U) −→ U este un morfism semi-finit.

16

Capitolul 3. q-convexitatea morfismelor local semi-proprii

Teorema 3.1.3. Fie π : Z → X un morfism local semi-finit de spatii com-plexe. Daca X este Stein, atunci Z este Stein.

Ballico [5] a generalizat ıntr-un alt sens Teorema 3.1.1.

Teorema 3.1.4. Fie π : Z → X o acoperire neramificata de spatii complexe.Daca X este q-complet, atunci Z este q-complet.

De asemenea, ın [3], Ballico a demonstrat ca daca π : Z → X este unmorfism finit de spatii complexe astfel ıncat X este q-complete, respectivq-convex, atunci Z este q-complet, respectiv q-convex.

Coltoiu si Vajaitu [20] au aratat ca daca π : E → B este o fibrare localanalitica de spatii complexe astfel ıncat fibra este o curba Stein si B este q-complet, atunci E este q-complet. Cazul ın care E este o acoperire topologicaa lui B a fost demonstrat ın [5].

Vajaitu [63] a generalizat rezultatele lui Ballico din [3] si a demonstraturmatoarea teorema.

Teorema 3.1.5. Fie π : Z → X o aplicatie olomorfa, proprie de spatiicomplexe. Daca X este q-complet, atunci Z este (q+ r)-complet, unde r estedimensiunea fibrei.

Scopul acestui capitol este sa demonstram o teorema (Teorema 3.2.2)care ınglobeaza toate rezultatele mentionate anterior. Rezultatul este inclusın lucrarea [36].

3.2 q-convexitatea morfismelor local semi-

proprii

Urmand ideile lui Le Barz (vezi [41]) vom da urmatoarea definitie.

Definitia 3.2.1. Fie X si Z doua spatii complexe. Spunem ca un morfismπ : Z → X este

(a) semi-propriu daca Z se scrie ca o reuniune disjuncta a unor spatiideschise (Wm)m astfel ıncat π|Wm : Wm −→ X este o aplicatie proprie(m ∈ N);

(b) local semi-propriu daca oricare ar fi x ∈ X, exista o vecinatate U a luix astfel ıncat π|π−1(U) : π−1(U) −→ U este un morfism semi-propriu.

Acum suntem ın masura sa enuntam rezultatul principal al acestui capitol(vezi [36]).

17


Teorema 3.2.2. Fie X si Z doua spatii complexe, π : Z → X un morfismlocal semi-propriu si r = maxdim π−1(x) : x ∈ X. Daca X este q-complet,atunci Z este (q + r)-complet.

Demonstratie. Deoarece X este q-complet, atunci exista o functie neteda,q-convexa si de exhaustiune ϕ : X → R pe X. Conform cu Lema 2.1.3(vezi [52]) exista o multime liniara M peste X de codimensiune ≤ q − 1astfel ıncat ϕ este 1-convexa relativ laM. Ideea este sa utilizam criteriul deq-completitudine dat de Teorema 2.1.5.

Avem nevoie de urmatorul rezultat din [63].

Propozitia 3.2.3. Daca π : Z → X o aplicatie olomorfa, atunci existaun sir descrescator de p + 1 submultimi analitice Ak ale lui Z, unde p ≤dimZ, Z = Ap ⊃ Ap−1 ⊃ · · · ⊃ A1 ⊃ A0 = ∅ astfel ıncat oricare ar fik ∈ 1, 2, . . . , p avem dimAk−1 < dimAk, Sing (Ak) ⊂ Ak−1 si

π|Ak\Ak−1: Ak\Ak−1 → X

are rang local constant.

Descompunerea lui Z de mai sus relativ la π se numeste filtrarea singularaa lui π (vezi si [59]).

Consideram A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ Ap submultimile analitice ın Z date dePropozitia 3.2.3 si functiile Andreotti corespunzatoare fAk , k = 1, p.

Urmatorul ingredient de care avem nevoie este o lema. Aceasta lema afost demonstrata de Le Barz [41] pentru fibre 0-dimensionale, dar ın cazulgeneral (dimensiunea fibrei este > 0) demonstratie decurge analog.

Lema 3.2.4. Fie X si Z doua spatii complexe si π : Z → X un morfismlocal semi-propriu. Atunci exista o acoperire local finita Ujj a lui Z sio acoperire local finita Vll a lui X astfel ıncat urmatoarele conditii suntsatisfacute:

1. oricare ar fi j, exista un numar natural mj si o harta locala notata

ιj : Uj → Uj, unde Uj este o submultime deschisa a lui Cmj ;

2. oricare ar fi l, exista un numar natural nl si o harta locala notataτl : Vl → Vl, unde Vl este o submultime deschisa a lui Cnl;

3. oricare ar fi j, exista l(j) astfel ıncat avem π(Uj) ⊂ Vl(j) si π|Uj se

prelungeste la o aplicatie olomorfa π : Uj → Vl(j).

De asemenea, exista o functie C∞ f : Z → R asa ıncat:

• z ∈ Z : f(z) < c1 ∩ z ∈ Z : (ϕ π)(z) < c2 ⊂⊂ Z, ∀c1, c2 ∈ R;

18


• oricare ar fi j, exista o aplicatie gj : Vl(j) → R astfel ıncat f |Uj =gj π|Uj ;

• gj admite o prelungire C∞, gj : Vl(j) → R;

• oricare ar fi o multime compacta K ⊂ X,

supj∈N

∣∣∣∣ ∂2gj

∂z(l(j))r ∂z

(l(j))s

∣∣∣∣|τl(j)(Vl(j)∩K)

: Vl(j) ∩K 6= ∅, r, s = 1, nl(j)

<∞.

Alegem W 1j j o acoperire local finita a lui Z si W 2

k k o acoperire localfinita a lui X astfel ıncat conditiile din Lema 3.2.4 sa fie ındeplinite. Notamcu ϕ : W 2

k(j) → R o prelungire q-convexa a functiei ϕ|W 2k(j)

. De asemenea,

consideram functiile f : Z → R si gj : W 2k(j) → R, cat si prelungirea gj a

functiei gj data de Lema 3.2.4.Folosind conditia de marginire pentru derivatele de ordinul al II-lea ale

functiei f , pe orice compact, exista o functie strict crescatoare si convexa χasa ıncat (χ ϕ+ gj)|W 2

k(j)este q-convexa oricare ar fi j.

Deoarece z ∈ Z : f(z) < c1 ∩ z ∈ Z : (ϕ π)(z) < c2 ⊂⊂ Z,∀c1, c2 ∈ R avem ca functia χ ϕ π + f este de exhaustiune. Notam cu Zisubmultimile de nivel χ ϕ π + f < i care sunt relativ compacte ın Z.Acest sir crescator de deschisi care acopera multimea Z va fi cel din ipotezeleın Teorema 2.1.5.

Acum trebuie sa construim functiile ui din Teorema 2.1.5. Pentru a realizaacest lucru avem nevoie de o lema care se bazeaza pe Lema 2.2.1. Pentrumai multe detalii a se consulta lema principala din [63] (Main Lemma) siremarca care urmeaza.

Lema 3.2.5. Fie π : Z → X o aplicatie olomorfa ıntre doua spatii complexecu r = maxdimπ−1(x) : x ∈ X. Atunci exista o multime liniara N pesteZ de codimensiune ≤ r astfel ıncat oricare ar fi un deschis relativ compact Udin Z, exista o acoperire finita Vll a lui π(U) cu deschisi relativ compactisi functii C∞ ψl : Ul → R+ care sunt 1-convexe relativ la N peste Ul ∩ U ,unde Ul = π−1(Vl).

Revenim la demonstratia rezultatului principal. Cum Zi ⊂⊂ Z, exista omultime liniara N de codimensiune ≤ r peste Z, o acoperire finita V i

l l a

lui π(Zi) cu deschisi relativ compacti si functii netede ψil : U il → R+ astfel

ıncat fiecare dintre acestea este 1-convexa relativ la N peste U il ∩ Zi, unde

U il = π−1(V i

l ). Functiile ψil pot fi luate > 0.

19


Fie ρill o partitie a unitatii subordonate acoperirii V il l si definim o

functie neteda ui pe Zi dupa cum urmeaza:

ui = χ ϕ π + f +∑l

εil · (ρil π)2 · ψil ,

unde εil > 0 sunt constante suficient de mici care vor fi alese mai tarziu ındemonstratie. Fiindca suma de mai sus este > 0, exista δi > 0 astfel ıncatoricare ar fi z ∈ Zi avem

∑εil · (ρil π)2 · ψil ≥ δi. Alegand constantele εil

suficient de mici, putem presupune ca∑εil · (ρil π)2 · ψil < 1.

Initial aratam ca functiile ui satisfac conditiile (a), (b) si (c) din Te-orema 2.1.5. Punem Ci := i − 1 si Di := i. Pentru simplitate notam∑εil · (ρil π)2 · ψil cu

∑i. Deoarece∑i ≥ δi, avem ca ui < i ⊂⊂

χ ϕ π + f < i, fapt ce demonstreaza (a). Pentru a doua conditie, fiez ∈ Zi+1 astfel ıncat ui+1(z) < i−1. Obtinem ca χϕπ+f +

∑i+1 < i−1,de unde rezulta ca χ ϕ π + f < i − 1 si ca z ∈ Zi. Adunand

∑i laultima inegalitate (ın ambii membri) si tinand seama de faptul ca

∑i < 1,obtinem ca χ ϕ π + f +

∑i < i − 1 +∑i < i. Pentru conditia (c),

deoarece⋃χ ϕ π + f < i − 2 = Z, este suficient sa demonstram ca

z ∈ Zi+1 : χ ϕ π + f < i− 2 ⊂ z ∈ Zi+1 : ui+1 < i− 1. Adunand∑i

la χ ϕ π + f si folosind faptul ca∑i < 1, obtinem concluzia.

Acum demonstram ca ui ∈ B(Zi,P|Zi), unde P := π∗M∩N . Avem caP este o multime liniara peste Z de codimensiune ≤ q+ r− 1. Este suficientsa aratam ca orice punct z ∈ Zi are o vecinatate deschisa D = D(z) astfelıncat ui este 1-convexa relativ la P|D. Folosind Lema 2.1.4, acest lucru esteechivalent cu a demonstra ca oricarea ar fi un compact K ⊂ Zi exista δ > 0si oricare ar fi z ∈ K exista o prelungire ui a lui ui astfel ıncat

L(ui, ι(z))ι∗(ξ) ≥ δ ‖ι∗(ξ)‖2

oricare ar fi ξ ∈ Pz.Aceasta afirmatie este una locala. Deci, fara a pierde din generalitate,

putem presupune ca exista harti locale ι : U → U ⊂ Cm, z ∈ U ⊂ Zi, K ⊂ Usi τ : V → V ⊂ Cn, x := π(z) ∈ V ⊂ X, π(K) ⊂ V astfel ıncat:

(i) π(U) ⊂ V si exista o prelungire π : U → V , π ι = τ (π|U);

(ii) exista o constanta A > 0 si prelungirile C∞ ϕ : V → R+ si g : V → R+

asa ıncatL(χ ϕ+ g, τ(x))τ∗(ζ) ≥ A ‖τ∗(ζ)‖2

oricare ar fi ζ ∈Mx si x ∈ π(K) (acest fapt provine din Lema 3.2.4);

20


(iii) exista constante al > 0 si prelungiri C∞ ψl : U → R+ ale lui ψl asaıncat

L(ψl, ι(z))ι∗(ξ) ≥ al ‖ι∗(ξ)‖2

oricare ar fi ξ ∈ Nz si z ∈ K (acest fapt este adevarat datorita Le-mei 3.2.5).

Fie ρl prelungiri C∞ la V ale aplicatiilor ρl.In concluzie, obtinem o prelungire ui : U → R+ a funtiei ui|U dupa cum

urmeaza:ui = χ ϕ π + g π +

∑l

εl · (ρl π)2 · ψl.

Acum, folosind aceleasi idei si calcule ca ın [63] (vezi Teorema A, pag,231-232), obtinem ca, pentru o constanta ε suficient de mica, oricum amalege constantele εl, cu 0 < εl ≤ ε, forma Levi a lui ui ın ι(z) ın directia ι∗(ξ)este > 0 pentru ξ ∈ Pz. Acest fapt ınseamna ca exista δ > 0 astfel ıncatL(ui, ι(z))ι∗(ξ) ≥ δ ‖ι∗(ξ)‖2 oricare ar fi ξ ∈ Pz.

3.3 Reciproca teoremei lui Le Barz

Rezultatul fundamental pe care ıl demonstreaza Le Barz [41] ın articolulsau este urmatorul: daca X este un spatiu complex si f : X → Cn este unmorfism local semi-finit, atunci X este Stein. Vom demonstra acum reciprocaacestei afirmatii.

Propozitia 3.3.1. Daca X este un spatiu Stein n-dimensional, atunci existaf : X → Cn un morfism local semi-finit.

Demonstratia se bazeaza pe urmatorul rezultat demonstrat de Bishop [9].

Teorema 3.3.2. Daca X este un spatiu Stein n-dimensional, atunci existao aplicatie olomorfa f : X → Cn aproape proprie.

Demonstratie. (a Propozitiei 3.3.1) Conform Teoremei 3.3.2 exista o aplicatieolomorfa f : X → Cn aproape proprie. Vom arata ca f este morfism localsemi-finit.

Fie y ∈ Cn si U := P (y, ε), unde P (y, ε) este polidiscul centrat ın y side poliraza (ε, . . . , ε), ε > 0. Vom demonstra ca daca notam cu (Wm)mcomponentele conexe ale preimaginii f−1(P (y, ε)), atunci

f |Wm : Wm → P (y, ε)

este proprie si cu fibre finite, adica

21


(a) pentru orice compact K ⊂ P (y, ε), sa obtinem ca f |−1Wm(K) este mul-

time compacta ın Wm;

(b) #(f |−1Wm(z)) < ∞, oricare ar fi z ∈ P (y, ε), unde cu #(A) am notat

cardinalul multimii A.

Folosind faptul ca f este aproape proprie pentru polidiscul ınchis P (y, ε),avem ca S1, S2, . . . sunt multimi compacte, unde S1, S2, . . . sunt componen-tele conexe ale preimaginii f−1(P (y, ε)). De asemenea, Wm ⊂ Sj (pentru unanumit indice j). Deoarece f |−1

Wm(K) ⊂ Wm ⊂ Sj si f |−1Wm(K) este multime

ınchisa, pentru orice compact K ⊂ P (y, ε), rezulta (a).Pentru ca f este aproape proprie, avem ca f este cu fibre discrete, i.e.,

pentru orice compact K ⊂ X, #(K ∩ f−1(y)) < ∞, oricare ar fi y ∈ Cn.

Folosind acest ultim fapt luand K = Wm, obtinem ca #(Wm∩f−1(z)) <∞,oricare ar fi z ∈ P (y, ε), deci #(f |−1

Wm(z)) <∞, oricare ar fi z ∈ P (y, ε).

Concluzia care se desprinde din demonstratia Propozitiei 3.3.1 este cadaca f : X → Cn este un morfism local semi-finit, unde X este un spatiuStein n-dimensional, atunci f este aproape proprie. In continuare vom studiareciproca afirmatiei de mai sus si vom arata ca daca f : X → Y este morfismlocal semi-finit, unde Y este Stein, atunci f nu este aplicatie aproape proprie.Vom considera acoperirea cu un numar infinit de foi a discului punctat dinC, acoperire data de functia logaritm (vezi Exemplul 3.3.3).

Exemplul 3.3.3. Fie

Y = z ∈ C : 0 < |z| < 1 ⊂ C

X = (u, v) ∈ C2 : 0 < |u| < 1, v ∈ log u =

= (u, v) ∈ C2 : 0 < |u| < 1, v ∈ log |u|+ i(arg u+ 2kπ), k ∈ Z ⊂ C2.

Consideram f : X → Y data de proiectia pe primul factor. Vom arataca f este morfism local semi-finit, dar f nu este aplicatie aproape proprie.

Demonstratie. Fie y0 ∈ Y . Notam cu Ak componentele conexe ale preima-ginii f−1(D(y0, ε)), unde D(y0, ε) este discul centrat ın y0, de raza ε > 0suficient de mica astfel ıncat D(y0, ε) ⊂ Y . Este evident acum ca aplicatiaf |Ak : Ak → D(y0, ε), unde

Ak = (y, v) : y ∈ D(y0, ε), v = log |y|+ i(arg y + 2kπ)

este un biolomorfism, deci f este un morfism local semi-finit.

22


Consideram compactul K = z ∈ Y : c ≤ |z| ≤ 1 − c, unde 0 < c <1 este o constanta arbitrara, adica o coroana circulara centrata ın originecontinuta ın discul unitate punctat. Se poate arata ca f−1(K) este conexa,deci avem o singura componenta conexa, iar aceasta nu este marginita, decinici compacta. In concluzie, f nu este aproape proprie.

23

Capitolul 4

q-completitudinea cu colturi siq-completitudinea cu colturi adomeniilor Riemannneramificate

In 1910, Levi [42] a observat ca un domeniu de olomorfie Ω ın Cn, cu frontierade clasa C2 trebuie sa satisfaca anumite conditii de pseudoconvexitate pentrupunctele de pe frontiera. Mai precis, acesta a aratat ca daca ρ este o functiede clasa C2 care defineste frontiera ∂Ω a lui Ω, atunci forma patratica asociataLρ (forma Levi) este pozitiv semidefinita pe spatiul tangent olomorf Tz(∂Ω)pentru orice punct z ∈ ∂Ω.

Blumenthal [10] a fost primul care a considerat si reciproca afirmatiei demai sus, i.e., daca un domeniu Ω ⊂ Cn cu frontiera neteda, pseudoconvexaeste Stein. Aceasta problema, numita si ”problema Levi”, este una dintrecele mai importante si mai dificile probleme din analiza complexa. In 1953,problema Levi a fost rezolvata ın sens afirmativ de Oka [51] (independent,acelasi rezultat a fost obtinut de Norguet [48] si de Bremermann [7]).

4.1 Preliminarii

Conform solutiei la problema Levi daca Y ⊂ Cn este un deschis local Stein,i.e., orice punct x ∈ Cn are o vecinatate V = V (x) astfel ıncat V ∩ Y isStein, atunci Y este Stein (Oka [50], [51], Bremermann [7], Norguet [48]).Utilizand caracterizarea lui Oka a domeniilor Stein din Cn avem ca functia− log d este plurisubarmonica pe Y , unde d reprezinta distanta euclidiana lafrontiera lui Y . Mai mult, Oka a considerat domenii Riemann neramificate

24

Capitolul 4. q-completitudinea (cu colturi a) domeniilor Riemann

p : Y → Cn peste Cn si a aratat ca Y este Stein daca si numai daca − log deste plurisubarmonica pe Y . De aici rezulta ca daca p este morfism Stein,adica orice punct x ∈ Cn are o vecinatate V = V (x) astfel ıncat p−1(V ) esteStein, atunci Y este Stein.

Grauert si Docquier [25] au generalizat rezultatul lui Oka pentru varietatiStein. In particular, acestia au demonstrat ca daca p : Y → X este undomeniu Riemann neramificat, p este morfism Stein si X este Stein, atunciY este Stein.

In [2], Andreotti si Narasimhan au aratat ca daca Y ⊂ X este un deschisıntr-un spatiu Stein X cu singularitati izolate si Y este local Stein, atunci Yeste (global) Stein. Cazul general al teoremei anterioare, pentru singularitatiarbitrare, se numeste ”problema Stein locala” sau ”problema Levi pe spatiisingulare” si este o problema deschisa. O trecere ın revista a rezultatelorreferitoare la problema Levi pe spatii Stein se gaseste ın [15] sau ın [58].

In [17], Coltoiu si Diederich au generalizat rezultatele mentionate anteriorsi au demonstrat urmatorul fapt:

Teorema 4.1.1. Fie X si Y doua spatii complexe cu singularitati izolate sip un domeniu Riemann neramificat. Presupunem ca X este Stein si ca peste morfism Stein, i.e., orice punct x ∈ X are o vecinatate V = V (x) astfelıncat p−1(V ) este Stein. Atunci Y este Stein.

Scopul acestui capitol este generalizarea teoremei lui Coltoiu si Diederichın doua directii:

(1) modificarea ipotezei cu privire la spatiul Stein X (X va fi acum q-complet);

(2) modificarea ipotezei cu privire la morfismul Stein p : Y → X (p va fiacum local q-complet cu colturi).

Rezultatele care se obtin ın urma observatiilor de mai sus si care vor fidemonstrate ın cele doua sectiuni ulterioare sunt prezentate mai jos. Acesteaau fost incluse ın lucrarile [37] (Teorema 4.1.2), respectiv [38] (Teorema 4.1.3)acceptate spre publicare.

Teorema 4.1.2. Fie X si Y doua spatii complexe cu singularitati izolatesi p : Y → X un domeniu Riemann neramificat. Presupunem ca X esteq-complet si ca p este morfism Stein, i.e., orice punct x ∈ X are o vecinatateV = V (x) astfel ıncat p−1(V ) este Stein. Atunci Y este q-complet.

Teorema 4.1.3. Fie X si Y doua spatii complexe cu singularitati izolatesi p : Y → X un domeniu Riemann neramificat. Presupunem ca X este

25


Stein si ca p este local q-complet cu colturi, i.e., orice punct x ∈ X are ovecinatate V = V (x) astfel ıncat p−1(V ) este q-complet cu colturi. Atunci Yeste q-complet cu colturi.

Daca X si Y sunt netede, atunci Teorema 4.1.2 a fost demonstrata deVajaitu ın [62].

Daca p este aplicatia de incluziune, atunci Teorema 4.1.3 a fost demon-strata de Vajaitu ın [61]. De asemenea, daca X si Y sunt netede, Vajaitu aaratat ca daca X este r-complet cu colturi si daca p este local q-complet cucolturi, atunci Y este (q + r − 1)-complet cu colturi (vezi [62]).

4.2 q-completitudinea domeniilor Riemann

neramificate

Demonstratie. Deoarece X este un spatiu q-complet, atunci exista o functieψ : X → R neteda, q-convexa, de exhaustiune pe X. Folosind Propozi-tia 2.1.3, exista o multime liniaraM peste X de codimensiune ≤ q− 1 astfelıncat ψ este 1-convexa relativ la M. Atunci X este 1-complet relativ la M.Definim N := p∗M care este o multime liniara peste Y de codimensiune≤ q − 1.

Initial presupunem ca Sing(X) este o multime finita si ca p(Y ) ⊂⊂ X.Notam cu x1, x2, . . . , xk punctele singulare ale lui X; deci Sing(X) =

x1, x2, . . . , xk.Distingem ıntre doua cazuri:

(a) x1, x2, . . . , xk /∈ p(Y );

(b) x1, . . . , xl /∈ p(Y ) si xl+1, . . . , xk ∈ p(Y ).

Situatia ın care x1, x2, . . . , xk ∈ p(Y ) este tratata de cazul (b).

Cazul (a): Fie π : X → X o rezolutie de singularitati a lui X si con-

sideram B := B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bk multimea exceptionala a lui X, undeBs = π−1(xs), s = 1, k. Deoarece spatiul complex X este cu singularitatiizolate, avem ca Bi ∩ Bj = ∅, oricare ar fi i, j ∈ 1, 2, . . . , k, cu i 6= j.Retinem ca functia ψ : X → R este 1-convexa relativ la multimea liniaraMpeste X de codimensiune ≤ q − 1 (ψ este si de exhaustiune pe X). Atunci

X este o varietate q-convexa. Obtinem o functie ϕ : X → [−∞,∞) care este1-convexa relativ la π∗M astfel ıncat

B = ϕ = −∞.

26


(Contructia functiei ϕ: conform cu [31] exista U ⊂⊂ X o vecinatate strictpseudoconvexa a multimii exceptionale B. In continuare obtinem o functieγ : X → [−∞,∞) care este strict plurisubarmonica pe un deschis V astfelıncat U = γ < 0 ⊂⊂ V . Folosind Teorema 1.2.12, aceasta functie poate fialeasa −∞ pe B. Definim ϕ = C · ψ π + γ, unde C > 0 este o constantasuficient de mare. Functia ϕ este 1-convexa relativ la π∗M si este egala cu−∞ pe B. Singura diferenta ın comparatie cu cazul ın care Sing(X) areexact un punct este ca multimea exceptionala nu este conexa; aceasta are kcomponente conexe.)

Deoarece x1, x2, . . . , xk /∈ p(Y ), Y poate fi privit ca un domeniu Riemann

peste X, sa zicem p1 : Y → X. Avem ca p = π p1 si cum p este morfismStein rezulta ca p1 este morfism Stein. Conform cu [31] exista U ⊂⊂ X ovecinatate strict pseudoconvexa a lui B. Aceasta vecinatate poate fi aleasaastfel ıncat p−1

1 (U) ⊂ Y este Stein. Deoarece U este strict pseudoconvexaexista o vecinatate V a lui ∂U si o functie strict plurisubarmonica γ : V → Rastfel ıncat V ∩U = x ∈ V : γ(x) < 0. Considerand maximul dintre γ si 0,definim o alta functie β : U ∪ V → R (care este plurisubarmonica). In final,

folosind functia ϕ, gasim o functie neteda α : X → R care este slab 1-convexarelativ la π∗M si care are urmatoarele proprietati: α ≥ 0, α ≡ 0 pe U , α > 0ın afara lui U si α este 1-convexa relativ la π∗M|X\U . Alegem doua vecinatatistrict pseudoconvexe W si W ′ ale lui B astfel ıncat B ⊂ U ⊂⊂ W ⊂⊂ W ′

si p−11 (W ′) este Stein. Putem presupune ın plus ca ϕ ≥ 0 ın afara lui U .

Fiindca p−11 (W ′) este Stein, notam cu h : p−1

1 (W ′) → R+ o functie neteda,strict plurisubarmonica, de exhaustiune.

In cele ce urmeaza, anumite rationamente sunt similare cu cele din [17].Cu toate acestea, pentru integritatea lucrarii, ele vor fi reluate aici.

Consideram multimea compacta K := p1(Y ) ⊂ X. Acoperam K cuun numar finit de bile deschise Uii∈I , astfel ıncat p−1

1 (Ui) este Stein. PeUi punem metrica euclidiana si notam cu δi distanta la frontiera masurataın metrica euclidiana pentru domeniul Riemann Yi := p−1

1 (Ui) → Ui ⊂⊂Cn. Cum Yi este Stein, rezulta ca functia − log δi este plurisubarmonica.

Alegem bilele concentrice Vi ⊂⊂ Ui asa ıncat K ⊂⋃i∈I

Vi. Utilizand un

rezultat din [43] rapoartele δi/δj sunt marginite pe p−11 (Vi∩Vj). In consecinta,

diferentele − log δi − (− log δj) sunt si ele marginite. Pentru fiecare i alegemconvenabil o functie θi ∈ C∞0 (Vi), θi ≥ 0 astfel ıncat functia

l(y) := maxp1(y)∈Vi

(− log δi(y) + θi(p1(y)))

este continua pe Y . Mai mult, pentru o constanta A > 0 suficient de mare,

27


functiaq := A · ϕ p1 + l

este 1-convexa relativ la p∗M; si aceasta deoarece functia ϕ este 1-convexarelativ la π∗M, functiile θi sunt netede si cu suport compact, iar functiile− log δi sunt plurisubarmonice.

Pentru a demonstra ca Y este q-complet, vom aplica Propozitia 2.1.6 sauTeorema 2.1.5. Multimea liniara peste Y de codimensiune ≤ q − 1 va fip∗M. De asemenea, trebuie definite niste functii ηc : q < c → R careverifica conditiile din Propozitia 2.1.6.

Fixam o metrica g pe X si notam cu g∗ pull-back-ul la Y . Fie δ = δYdistanta la frontiera indusa pe domeniul Riemann p1 : Y → X relativ la g.Oricare ar fi ε > 0 definim multimea

Yε := y ∈ Y : δ(y) > ε.

Atunci exista o functie de clasa C2 notata φ = φε : Yε → R+ astfel ıncat

(i) |∂φ| ≤ C1 (φ este o functie Lipschitz pe Yε);

(ii) L(φ) ≥ −C2 (forma Levi a lui φ este marginita inferior);

(iii) φ este o functie de exhaustiune verticala pe Yε, i.e., ∀b ∈ R multimeaφ < b ⊂⊂ Y ,

unde C1 si C2 sunt numere reale pozitive. Constructia functiei φε apartine luiColtoiu si Diederich (vezi [17]) si foloseste metoda de regularizare descrisa deHormander [35] (vezi pag. 141-142). Acum daca ε = εc > 0 este ales suficientde mic, atunci

q < c\p−11 (U) ⊂ δ > ε. (*)

Consideram functia produs µ := φ · α : q < c → R, unde α = α p1.Folosind relatia (*) si faptul ca α ≡ 0 pe U , avem ca functia µ este binedefinita pe multimea q < c. Din formula

L(µ) = αL(φ) + φL(α) + 2Re(∂φ)(∂α)

obtinem ca L(µ) este marginita inferior pe p∗1(π∗M)|q<c = p∗M|q<c, µ esteo functie de exhaustiune verticala ın afara lui p−1

1 (U) (deoarece φ este) si caµ ≡ 0 pe p−1

1 (U); acest ultim fapt este adevarat pentru ca α pe p−11 (U) este

egala cu α pe U , care este 0. Alegem acum o vecinatate strict pseudoconvexaU ′ ⊂⊂ U a lui B astfel ıncat exista o functie neteda ψ1 : X → R care esteslab 1-convexa relativ la π∗M asa ıncat ψ1 ≥ 0, ψ1 ≡ 0 pe U ′, ψ1 > 0 ın afaralui U ′ si ψ1 este 1-convexa relativ la π∗M|X\U ′ . Asadar, daca M > 0 este o

28


constanta suficient de mare, atunci functia µ + M · ψ1 p1 : q < c → Reste 1-convexa relativ la p∗1(π∗M)|q<c = p∗M|q<c (aici am folosit faptulca forma Levi a lui µ este marginita inferior), este de exhaustiune relativa

ın afara multimii p−11 (U) si este ≡ 0 pe p−1

1 (U′). Fie χ : [0,∞) → [0,∞),

χ(0) = 0 o functie neteda, rapid crescatoare si convexa astfel ıncat

χ (µ+M · ψ1 p1) > h pe q < c ∩ p−11 (∂W ).

Ne reamintim faptul ca h : p−11 (W ′) → R+ este o functie neteda, strict

plurisubarmonica care provine de la ipoteza ca p1 este morfism Stein (defapt p este morfism Stein). Pe multimea q < c ∩ p−1

1 (W ) consideramfunctia 1-convexa relativ la p∗M|q<c∩p−1

1 (W ) max(h, χ (µ + M · ψ1 p1)).

Aceasta functie poate fi prelungita prin χ (µ+M ·ψ1 p1) la una 1-convexarelativ la p∗M|q<c. O vom nota pe aceasta cu τc. In concluzie, functia

continua ηc :=1

c− q+ τc este o functie 1-convexa relativ la p∗M|q<c si

de exhaustiune. Folosind Propozitia 2.1.6 deducem ca Y este un spatiu q-complet.

Cazul (b): Consideram acum produsul fibrat Y al biolomorfismului local

p : Y → X si al desingularizarii lui X, adica al aplicatiei π : X → X.Drept urmare, Y = (y, x) ∈ Y × X : p(y) = π(x) si exista doua proiectii

naturale π1 : Y → Y si p1 : Y → X. Fie B := B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bk multimeaexceptionala a lui X, unde Bs = π−1(xs), s = 1, k. Multimile Bs suntdoua cate doua disjuncte, s = 1, k. Cum x1, . . . , xl /∈ p(Y ), avem ca aplicatiaπ1 este o modificare proprie a lui Y ıntr-o multime discreta p−1(xl+1) ∪· · · ∪ p−1(xk) = ann, iar p1 : Y → X este un domeniu Riemann peste X.Acest fapt ınseamna ca π1 este proprie si ca

π1 : Y \B −→ Y \(p−1(xl+1) ∪ · · · ∪ p−1(xk))

este biolomorfism, unde B := (p π1)−1(xl+1) ∪ · · · ∪ (p π1)−1(xk).Mai mult, p1 este morfism Stein si exista o vecinatate strict pseudoconvexaU ⊂⊂ X a lui B astfel ıncat p−1

1 (U) este o varietate nedegenerata, i.e., omodificare proprie ıntr-o multime discreta a unui spatiu Stein. Exact caın cazul (a) obtinem o functie ϕ : Y → R care este 1-convexa relativ la

π∗1(p∗M) si asa ıncat ϕ = −∞ pe multimea exceptionala B a lui Y (ϕ =ϕ p1, unde ϕ este functia construita anterior ın cazul (a)). Mai mult,oricare ar fi c ∈ R fixat, exista (exact ca ın cazul (a)) pe multimea deschisa

q < c ⊂ Y o functie reala, continua, 1-convexa relativ la p∗1(π∗M)|q<c =π∗1(p∗M)|q<c (q = A ·g+ l, unde functia l este similara cu cea din cazul (a),iar A > 0 este o constanta suficient de mare) si de exhaustiune. Deoarece

29


π1 este o aplicatie biolomorfa ın afara multimii B, definim q = q π−11 pe

Y \(p−1(xl+1)∪· · ·∪p−1(xk)) si q = −∞ pe p−1(xl+1)∪· · ·∪p−1(xk).Acum multimea liniara care apare ın Propozitia 2.1.6 este din nou p∗M sireuniunea crescatoare de deschisi care acopera Y este data de Ycc, undeYc := q < c. Din Propozitia 2.1.6 concluzionam ca Y este un spatiuq-complet.

Acum vom demonstra ca, fara a pierde din generalitate, putem presupuneca multimea Sing(X) este finita, i.e., stiind ca Sing(X) este o multime finita

avem ca Y este 1-complet relativ la N , unde N := p∗M. Scriem X =⋃c

Xc,

unde Xc = ψ < c. Deoarece X este cu singularitati izolate, deducem caSing(Xc) este o multime finita. Definim Yc = p−1(Xc) si rezulta ca fiecarespatiu Yc este 1-complet relativ la N|Yc . Acest fapt implica, pe fiecare Yc,existenta unei functii netede, de exhaustiune vc : Yc → R care este 1-convexarelativ la N|Yc .

Pentru a aplica Propozitia 2.1.6 este suficient sa construim o functie Φpe Y care sa fie 1-convexa relativ la N si sa definim pe fiecare multime denivel o functie 1-convexa relativ la N|Φ<c si de exhaustiune.

Initial punem Φ := ψ p, care este 1-convexa relativ la N , deci avemfunctia Φ din Propozitia 2.1.6. Acum, pe fiecare multime de nivel, definimfunctia

uc = ψ p+ vc.

Deoarece vc este de exhaustiune pe Yc, multime care coincide cu ψ p < c,prin compunerea acesteia cu o functia convexa, strict crescatoare χc : R→ R,avem ca uc ramane de exhaustiune. Este evident ca uc este 1-convexa relativla N|ψp<c.

Utilizand aceleasi argumenente ca mai ınainte, putem face presupunereaca p(Y ) ⊂⊂ X, deci demonstratia Teoremei 4.1.2 este ıncheiata.

4.3 q-completitudinea cu colturi a domeniilor

Riemann neramificate

Rationamentele sunt asemanatoare cu cele din demonstratia Teoremei 4.1.2si din acest motiv vom insista doar pe diferentele care apar pe parcurs.

Demonstratie. Initial facem urmatoarele ipoteze simplificatoare: Sing(X)este o multime finita, iar p(Y ) ⊂⊂ X. Sa presupunem chiar mai mult:Sing(X) = x0. Altfel demonstratia decurge aproape la fel.

Avem doua posibilitati:

30


Cazul (a): x0 /∈ p(Y ). Fie π : X → X o rezolutie a singularitatii x0 si

avem ca X este o varietate 1-convexa. Din Teorema 1.2.12 obtinem o functiestrict plurisubarmonica, de exhaustiune ϕ : X → [−∞,∞) care poate fi

aleasa −∞ exact pe B, multimea exceptionala a lui X.Deoarece x0 /∈ p(Y ), putem considera p1 : Y → X domeniul Riemann

pentru care p = π p1. Fiindca p este local q-complet cu colturi, avemca p1 este local q-complet cu colturi. Notam cu U ⊂⊂ X o vecinatatestrict pseudoconvexa a lui B (vezi [31]). Aceasta vecinatate poate fi aleasa

astfel ıncat p−11 (U) este un spatiu q-complet cu colturi. De asemenea, pe X,

avem o functie neteda, plurisubarmonica α : X → R+ astfel ıncat α ≥ 0,α|U ≡ 0 si α este strict plurisubarmonica pe X\U . Alegem vecinatati strictpseudoconvexe V si V ′ ale lui B cu B ⊂ U ⊂⊂ V ⊂⊂ V ′ si asa ıncatp−1

1 (V ′) este un spatiu q-complet cu colturi. Mai putem presupune ca ϕ ≥ 0ın afara lui U . Deoarece spatiul p−1

1 (V ′) este q-complet cu colturi, notam cuh1 : p−1

1 (V ′)→ R+ o functie neteda, q-convexa cu colturi si de exhaustiune.

Daca definim compactul K := p1(Y ) ⊂ X, atunci exista un numar finitde bile deschise Ui cu proprietatatea ca fiecare spatiu Yi := p−1

1 (Ui) esteq-complet cu colturi. In consecinta, functia − log δi este q-plurisubarmonica(vezi Propozitia 7, pag. 513 din [62]), unde δi reprezinta distanta la frontieramasurata ın metrica euclidiana pentru domeniul Riemann Yi → Ui ⊂⊂ Cn.Consideram acum bile concentrice Vi ⊂⊂ Ui astfel ıncat K ramane acoperitde bilele Vi. Conform Lemei 3 din Matsumoto [43] (sau M. Peternell [53])rapoartele δi/δj sunt marginite pe p−1

1 (Vi∩Vj), de unde rezulta ca diferentelelog δj − log δi sunt si ele marginite.

Pentru fiecare i alegem convenabil o functie θi ∈ C∞0 (Vi), θi ≥ 0 astfelıncat functia

l(y) := maxp1(y)∈Vi

(− log δi(y) + θi(p1(y)))

este continua pe Y . Mai mult, pentru o constanta A > 0 suficient de mare,functia

q := A · ϕ p1 + l

este strict q-plurisubarmonica pe Y si are urmatoarea proprietate:

p1(q < c) ⊂⊂ X, oricare ar fi c ∈ R.

Pentru mai multe detalii se poate consulta Matsumoto [43] (pag. 107-108).In continuare avem nevoie de doua rezultate. Primul dintre acestea, de-

monstrat de Coltoiu [14], se refera la aproximarea functiilor q-convexe cucolturi definite pe o multime analitica cu functii q-convexe cu colturi definitepe o vecinatate deschisa a respectivei multimi analitice. Cel de-al doilea,

31


apartine lui M. Peternell [52] si se refera la ceea ce Demailly [21] numestefunctie aproape plurisubarmonica sau quasi-plurisubarmonica.

Lema 4.3.1. Daca X este un spatiu complex, A ⊂ X o submultime anali-tica si f ∈ Fq(A), atunci oricare ar fi η ∈ C0(A,R), η > 0 exista o vecinatate

deschisa U a lui A ın X si f ∈ Fq(U) astfel ıncat∣∣∣f |A − f ∣∣∣ ≤ η.

Lema 4.3.2. Daca X este un spatiu complex si A ⊂ X este o multimeanalitica, atunci exista h ∈ C∞(X,R), h ≥ 0 astfel ıncat:

(a) h = 0 = A;

(b) oricare ar fi x ∈ X exista o vecinatate deschisa U a lui x si o functieneteda σ : U → R asa ıncat log(h|U\A) + σ|U\A este plurisubarmonica.

Functia log h este local egala cu suma dintre o functie plurisubarmonicasi una neteda. O astfel de functie se numeste aproape plurisubarmonica sauquasi-plurisubarmonica (vezi [21]).

Ideea este sa folosim Lema 4.3.1 si Lema 4.3.2 pentru A = Sing(Y ).Deoarece Y este cu singularitati izolate, avem ca dimA = 0; asadar A este omultime q-completa cu colturi. Lema 4.3.1 implica existenta unei vecinatatideschise U a lui A si o functie g ∈ Fq(U).

Lema 4.3.2 ne garanteaza existenta unei functii netede h : Y → [0,∞)astfel ıncat h = 0 = A si log h este aproape plurisubarmonica. Consideramacum o functie strict crescatoare si convexa χ ∈ C∞(R,R) asa ıncat q′ :=χ q+ log h ∈ SPq(Y \A) si q′ > 1 + g pe ∂U . Conform Teoremei 2.3.6 existaf ∈ Fq(Y \A) cu proprietatea ca |f − q′| < 1 pe Y \A. Ca ultim pas definimo functie Φ : Y → R astfel ıncat Φ ∈ Fq(Y ) prin:

Φ :=

f pe Y \U

max(f, g) pe U\Ag ıntr-o vecinatate a lui A.

Pentru a demonstra ca spatiul complex Y este q-complet cu colturi vomaplica Propozitia 2.3.7. Trebuie sa aratam ca oricare ar fi c ∈ R multimeaΦ < c este q-completa cu colturi, i.e., trebuie, oricare ar fi c ∈ R, sa definimo functie de exhaustiune ηc : Φ < c → R care sa fie q-convexa cu colturi.

Fixam o metrica g pe X si notam cu g∗ pull-back-ul la Y . Fie δ = δYdistanta la frontiera indusa pe domeniul Riemann p1 : Y → X relativ la g.Oricare ar fi ε > 0 definim multimea

Yε := y ∈ Y : δ(y) > ε.

32


Folosind metoda de regularizare a lui Hormander [35] (vezi pag. 141-142), Coltoiu si Diederich [17] au construit o functie de clasa C2 notata cuφ = φε : Yε → R+ astfel ıncat aceasta este o functie Lipschitz, de exhaustiuneverticala pe Yε si a carei forma Levi este marginita inferior.

Definim functia µ := φ · α : Φ < c → R, unde α = α p1. Pentru caµ sa fie bine definita alegem o constanta ε = εc > 0 suficient de mica astfelıncat Φ < c\p−1

1 (U) ⊂ δ > ε.Din formula

L(µ) = αL(φ) + φL(α) + 2Re(∂φ)(∂α)

deducem ca L(µ) este marginita inferior pe Φ < c, µ este o functie deexhaustiune verticala ın afara lui p−1

1 (U) si este identic 0 pe p−11 (U). Alegem

acum o vecinatate strict pseudoconvexa U ′ ⊂⊂ U a lui B astfel ıncat ex-ista o functie neteda, plurisubarmonica ψ1 : X → R+ si care se bucura deproprietati analoge functiei α. Deci, pentru o constanta C > 0 suficient demare, functia

µ+ C · ψ1 p1 : Φ < c → R

este plurisubarmonica pe Φ < c, de exhaustiune relativa ın afara lui p−11 (U)

si identic 0 pe p−11 (U

′). Consideram acum o functie neteda, rapid crescatoare

si convexa χ : [0,∞)→ [0,∞), χ(0) = 0 astfel ıncat

χ (µ+ C · ψ1 p1) > h1 pe Φ < c ∩ p−11 (∂V ).

Retinem ca scopul este sa construim o functie continua, q-convexa cucolturi si de exhaustiune pe Φ < c. Consideram acum maximul dintre h1

si χ (µ+ C · ψ1 p1) pe Φ < c ∩ p−11 (V ). Prelungim aceasta functie prin

χ (µ+C ·ψ1 p1) si obtinem o functie q-convexa cu colturi pe Φ < c; sa o

notam cu λc. In concluzie, functia ηc := λc +1

c− Φeste continua, q-convexa

cu colturi si de exhaustiune pe Φ < c. Folosind Propozitia 2.3.7 obtinemca Y este q-complet cu colturi.

Cazul (b): x0 ∈ p(Y ). Fie π : X → X desingularizarea locala ın x0.Consideram produsul fibrat al aplicatiilor p : Y → X si π, adica multimeaY = (y, x) ∈ Y × X : p(y) = π(x). Obtinem doua proiectii naturale: una

pe Y si pe care o vom nota cu π1 si cealalta pe X care va fi notata cu p1. Camai ınainte fie B := π−1(x0) multimea exceptionala a lui X. Avem ca π1

este o modificare proprie a lui Y ın multimea discreta p−1(x0) = ann si

p1 : Y → X este un domeniu Riemann peste X. In continuare demonstratiadecurge aproape la fel ca ın cazul (a): p1 este local q-complet cu colturi, deci

exista o vecinatate strict pseudoconvexa U ⊂⊂ X a lui B astfel ıncat p−11 (U)

33


este o modificare proprie ıntr-o multime discreta a unui spatiu q-complet cucolturi. Obtinem o functie strict plurisubarmonica, de exhaustiune notataϕ : Y → R, care poate fi aleasa −∞ exact pe multimea exceptionala B a luiY . In sfarsit, oricare ar fi c ∈ R, avem definita pe deschisul Φ < c ⊂ Y ofunctie reala, q-convexa cu colturi si de exhaustiune. Folosind faptul ca π1

este un biolomorfism ın afara lui B, putem defini Φ = Φπ−11 pe Y \(p−1(x0)

si Φ = −∞ pe p−1(x0). Din Propozitia 2.3.7 avem ca Y este q-complet cucolturi.

Am mai ramas de demonstrat ca este suficient sa presupunem ca loculsingular Sing(X) este o multime finita, i.e., stiind ca multimea Sing(X) estefinita trebuie sa demonstram ca Y este q-complet cu colturi. Deoarece X esteStein exista o functie continua, strict plurisubarmonica si de exhaustiune pe

X; sa o notam cu ψ. Scriem X =⋃c

Xc, unde Xc = ψ < c. Deoarece X

este cu singularitati izolate avem ca multimea Sing(Xc) este finita. PunemYc = p−1(Xc) si obtinem ca fiecare Yc este q-complet cu colturi. De aseme-nea, Φ := ψ p este 1-convexa pe Y . Cum Yc = ψ p < c si utilizandPropozitia 2.3.7 deducem ca Y este q-complet cu colturi.

Folosind aceleasi argumente ca si mai ınainte, adica faptul ca Sing(X)este o multime finita si Propozitia 2.3.7, se poate demonstra ca este suficientsa presupunem ca p(Y ) ⊂⊂ X.

34

Bibliografie

[1] Andreotti, A., Grauert, H.: Theoremes de finitude pour la cohomologiedes espaces complexes, Bulletin de la S.M.F. 90 (1962), 193-259.

[2] Andreotti, A., Narasimhan, R.: Oka’s Heftungslemma and the LeviProblem for Complex Spaces, Trans. AMS 111 (1964), 345-366.

[3] Ballico, E.: Morfismi finiti tra spazi complessi e q-convessita, Ann.Univ. Ferrara, sez. VII - Sc. Mat. 26 (1980), 29-31.

[4] Ballico, E.: Complements of analytic subvarieties and q-completespaces, Atti Accad. Naz. Lincei (8) 71 (1981), 60-65.

[5] Ballico, E.: Rivestimenti di spazi complessi e q-completezza, Riv. Mat.Univ. Parma 7 (1981), 443-452.

[6] Barth, W.: Der Abstand von einer algebraischen Mannigfaltigkeit imkomplex-projektiven Raum, Math. Ann. 187 (1970), 150-162.

[7] Bremermann, H. J.: Uber die Aquivalenz der pseudokonvexen Gebieteund der Holomorphiegebiete im Raum von n komplexen Veranderlichen,Math. Ann. 128 (1954), 63-91.

[8] Behnke, H., Stein, K.: Modifikationen komplexer Mannigfaltigkeitenund Riemannscher Gebiete, Math. Ann. 124 (1951), 1-16.

[9] Bishop, E.: Mappings of partially analytic spaces, Am. J. Math. 83(1961), 209-242.

[10] Blumenthal, O.: Bemerkungen uber der Singularitaten analytischerFunktionen mehrerer Veranderlicher, Festschr. H. Weber (1912) 11-22.

[11] Bungart, L.: Piecewise smooth approximations to q-plurisubharmonicfunctions, Pacific J. Math. 142 (1990), 227-244.

35

[12] Cartan, H.: Seminaire Henri Cartan de l’Ecole Superieure, 1951/1952.Fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, Secretariatmathematique, 11 Rue Pierre Curie, Paris (1952).

[13] Chiriacescu, G., Coltoiu, M., Joita, C.: Analytic cohomology groups intop degrees of Zariski open sets in Pn, Math. Z. 264 (2010), 671-677.

[14] Coltoiu, M.: n-concavity of n-dimensional complex spaces, Math. Z.210 (1992), 203-206.

[15] Coltoiu, M.: The Levi problem on Stein spaces with singularities. Asurvey, Rend. Mat. (Roma) 29 (2009), 341-353.

[16] Coltoiu, M.: A Note on Levi’s Problem with Discontinuous Functions,L’Ensgn. Math. 31, 299-304, 1985.

[17] Coltoiu, M., Diederich, K.: The Levi problem for Riemann domainsover Stein spaces with singularities, Math. Ann. 338 (2007), 283-289.

[18] Coltoiu, M., Mihalache, N.: Strongly plurisubharmonic exhaustionfunctions on 1-convex spaces, Math. Ann. 270 (1985), 63-68.

[19] Coltoiu, M., Vajaitu, V.: On the n-completeness of covering spaceswith parameters, Math. Z. 237 (2001), 815-831.

[20] Coltoiu, M., Vajaitu, V.: Locally trivial fibrations with singular 1-dimensional Stein fiber over q-complete spaces, Nagoya Math. J. 157(2000), 1-13.

[21] Demailly, J.-P.: Cohomology of q-convex spaces in top degrees, Math.Z. 204 (1990), 283-296.

[22] Demailly, J.-P.: Complex Analytic and Differential Geometry, url =http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/ demailly/books.html

[23] Diederich, K., Fornaess, J. E.: Smoothing q-convex functions and va-nishing theorems, Invent. Math. 82 (1985), 291-305.

[24] Diederich, K., Fornaess, J. E.: Smoothing q-Convex Functions in theSingular Case, Math. Ann. 273 (1986), 665-671.

[25] Docquier, F., Grauert, H.: Levische Problem und Rungescher Satz furTeilgebiete Steinscher Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 140 (1960), 94-123.

36

[26] Fornaess, J. E., Narasimhan, R.: The Levi problem on complex spaceswith singularities, Math. Ann. 248 (1980), 47-72.

[27] Forstneric, F.: Stein Manifolds and Holomorphic Mappings, A Seriesof Modern Surveys in Mathematics vol. 56, Springer-Verlag, Berlin,Heidelberg 2011.

[28] Fujita, O.: Domaines pseudoconvexes d’ordre general et fonctions pseu-doconvexes d’ordre general, J. Math. Kyoto Univ. 30 (1990), 637-649.

[29] Fujita, O.: On the equivalence of the q-plurisubharmonic functions andthe pseudoconvex functions of general order Ann. Reports of GraduateSchool of Human Culture, Nara Women’s Univ. 7 (1992), 77-81.

[30] Grauert, H.: On Levi’s problem and the embedding of real-analyticmanifolds Ann. Math. (2) 68 (1958), 460-472.

[31] Grauert, H.: Uber Modifikationen und exzeptionelle analytische Men-gen, Math. Ann. 146 (1962), 331-368.

[32] Grauert, H., Remmert, R.: Komplexe Raume, Math. Ann. 136 (1958),245-318.

[33] Green, R. E., Wu, H.: Embeddings of open riemannian manifolds byharmonic functions, Ann. Inst. Fourier 25 (1975), 215-235.

[34] Hunt, L. R., Murray, J. J.: q-plurisubharmonic functions and a gener-alized Dirichlet problem, Michigan Math. J. 25 (1978), 299-316.

[35] Hormander, L: An Introduction to Complex Analysis in Several Varia-bles, North Holland, 1990.

[36] Ionita, G.-I.: q-convexity properties of locally semi-proper morphismsof complex spaces, acceptat spre publicare ın Bull. Belg. Math. Soc.Simon Stevin.

[37] Ionita, G.-I.: q-completeness of unbranched Riemann domains overcomplex spaces with isolated singularities, acceptat spre publicare ınComplex Var. Elliptic Equ.

[38] Ionita, G.-I.: q-completeness with corners of unbranched Riemann do-mains, acceptat spre publicare ın Kyushu J. Math.

[39] Joita, C.: On the n-concavity of covering spaces with parameters, Math.Z. 245 (2003), 221-231.

37

[40] Krantz, S. G.: Function theory of several complex variables, 2nd edition,American Mathematical Society, Providence, 2001.

[41] Le Barz, P.: A propos des revetements ramifies d’espaces de Stein,Math. Ann. 222 (1976), 63-69.

[42] Levi, E. E.: Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitichedi due o piu variabili complesse, Ann. Mat. Pura Appl. 17 (1910), 61-87.

[43] Matsumoto, K.: Pseudoconvex Riemann domains of general order overStein manifolds, Kyushu J. Math. 44 (1990), 95-107.

[44] Matsumoto, K.: Boundary distance functions and q-convexity of pseu-doconvexes domains of general order in Kahler manifolds, J. Math. Soc.Japan 48 (1996), 85-107.

[45] Narasimhan, R.: The Levi problem for complex spaces Math. Ann. 142(1961), 355-365.

[46] Narasimhan, R.: The Levi problem for complex spaces II Math. Ann.146 (1962), 195-216.

[47] Narasimhan, R.: Holomorphically complete convex spaces Am. J. Math.82 (1961), 917-934.

[48] Norguet, F.: Sur les domaines d’holomorphie des fonctions uniformesde plusieurs variables complexes (passage du local au global), Bull. Soc.Math. France 82 (1954), 139-159.

[49] Ohsawa, T.: Completeness of noncompact analytic spaces, Publ. RIMS20 (1984), 683-692.

[50] Oka, K.: Domaines pseudoconvexes, Tohoku Math. J. 49 (1942), 15-52.

[51] Oka, K.: Domaines finis sans points critiques interieurs, Japanese J.Math. 23 (1953), 97-155.

[52] Peternell, M.: Algebraische Varietaten und q-vollstandige komplexeRaume, Math. Z., 200 (1989), 547-581.

[53] Peternell, M.: Continuous q-convex exhaustion functions, Invent.Math. 85 (1986), 249-262.

[54] Peternell, M.: q-Completeness of Subsets in Complex Projective Space,Math. Z. 195 (1987), 443-450.

38

[55] Popa-Fischer, A.: Sur un theoreme de Fornaess et Narasimhan, C. R.Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 329 (1999), 11-14.

[56] Popa-Fischer, A.: A Generalization to the q-Convex Case of a Theoremof Fornaess and Narasimhan, Michigan Math. J. 50 (2002), 483-492.

[57] Serre, J.-P.: Geometrie algebrique et geometrie analytique, Ann. Inst.Fourier 6 (1956), 1-42.

[58] Siu, Y.-T.: Pseudoconvexity and the problem of Levi, Bull. AMS 840(1978), 481-512.

[59] Sommese, A. J.: A convexity theorem, Proc. Symp. Pure Math. 40 Part2 (1983), 497-505.

[60] Stein, K.: Uberlagerung holomorph vollstandiger komplexer Raume,Arch. Mat. 7 (1956), 354-361.

[61] Vajaitu, V.: Locally q-complete open sets in Stein spaces with isolatedsingularities, Kyushu J. Math. 51 (1997), 355-368.

[62] Vajaitu, V.: Pseudoconvex domains over q-complete manifolds, Ann.Sc. Norm. Sup. Pisa 29 (2000), 503-530.

[63] Vajaitu, V.: Some convexity properties of morphisms of complex spaces,Math. Z. 217 (1994), 215-245.

39

ACADEMIA ROMAN^ A INSTITUTUL DE MATEMATICA SIMION STOILOW TEZA DE...

Documents

Transcript of ACADEMIA ROMAN^ A INSTITUTUL DE MATEMATICA SIMION STOILOW TEZA DE...