A Silvio, il mio caro nonno

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Indice

CAPITOLO 1 .......................................................................................................................................................... 4 FOTOINIETTORI A RF PER LA PRODUZIONE DI FASCI DI ELETTRONI AD ALTA BRILLANZA . 4 1.1 IL FOTOINIETTORE IBRIDO ................................................................................................................................. 4 1.2 VANTAGGI DEL FOTOINIETTORE IBRIDO ............................................................................................................ 5 1.3 STRUTTURE ACCELERANTI A RADIO-FREQUENZA .............................................................................................. 6 1.3.1 CONFRONTO TRA STRUTTURE STANDING WAVE E TRAVELLING WAVE ........................................................... 7

1.3.2 Cavità risonanti per acceleratori di particelle .......................................................................................... 7 1.3.3 Meccanismo di accelerazione in strutture ad onda viaggiante .................................................................. 8 1.3.4 Armoniche spaziali e curva di dispersione ............................................................................................... 9

1.4 APPLICAZIONI DEI FOTOINIETTORI ................................................................................................................... 10 CAPITOLO 2 ........................................................................................................................................................ 11 CARATTERIZZAZIONE ELETTROMAGNETICA DI CAVITÀ CILINDRICHE .................................... 11 2.1 MODI TM.......................................................................................................................................................... 11 2.2 MODI TE ........................................................................................................................................................... 15 2.3 EZ PER I MODI TM .............................................................................................................................................. 17 2.4 ENERGIA PER IL MODO TM010 ........................................................................................................................... 18 2.5 CAMPO ELETTRICO PER IL MODO TM010 ............................................................................................................ 19 2.6 FATTORE DI MERITO Q010 .................................................................................................................................. 19 2.7 COEFFICIENTI DI ACCOPPIAMENTO β E FATTORE DI QUALITÀ 0Q .................................................................. 19

2.7.1 Spettro dei parametri di scattering della pillbox ..................................................................................... 20 2.7.2 Metodi pratici per la misura dei 11β , 22β . .............................................................................................. 21 2.7.3 Metodi pratici per la misura del 0Q ........................................................................................................ 23

MISURE DI CAMPO E.M. QUALITATIVE SULL’IBRIDO IN BANDA X ................................................ 28 3.1. CARATTERIZZAZIONE ESTERNA ....................................................................................................................... 28 3.2 PARAMETRI DI SCATTERING .............................................................................................................................. 29 3.2 CAVITÀ SW DELL’IBRIDO: I MODI 0 E Π ............................................................................................................ 32 3.3 CARATTERIZZAZIONE DELLA GUIDA TW: AVANZAMENTI DI FASE .................................................................... 34

3.3.1 Perturbazione del filo ............................................................................................................................... 36 3.3.2 Perturbazione per variazione della temperatura ..................................................................................... 37 3.3.3 Ricerca del modo 2π/3 ............................................................................................................................. 38 3.3.4 Studio dei modi della guida travelling wave ............................................................................................ 43

3.4 PROBLEMI RELATIVI ALLA MISURA DELL’AMPIEZZA. ........................................................................................ 44 3.4.1 Perturbazione dovuta alla quantità di colla ............................................................................................. 45 3.4.2 Analisi del picco saturato ......................................................................................................................... 48 3.4.3 Analisi del picco concavo ......................................................................................................................... 48 3.4.4 Considerazioni sulle fasi .......................................................................................................................... 50

3.5 EFFETTI DEL FILO .............................................................................................................................................. 51 3.5.1 Sezione ..................................................................................................................................................... 51 3.5.2 Velocità del motorino ............................................................................................................................... 53

CARATTERIZZAZIONE DELL’OGGETTO PERTURBANTE ................................................................... 55 4.1 RICHIAMI SULLA TEORIA DI SLATER E DI STEELE .............................................................................................. 55 4.2 MISURA DEL KSLATER IN PILLBOX DI RAME ........................................................................................................... 56 4.3 MISURA DEL KSLATER IN PILLBOX DI OTTONE ....................................................................................................... 57 4.4 ANALISI E OTTIMIZZAZIONE DEI DISTURBI SULLA FASE ..................................................................................... 58

4.4.1.Disturbo del filo. ...................................................................................................................................... 59 4.4.2 Variazione della frequenza di risonanza. ................................................................................................. 60 4.4.3 Posizione del filo rispetto all’asse della pillbox. ...................................................................................... 61 4.4.4 Vibrazione del motorino. .......................................................................................................................... 61

4.5 CALCOLO DEL KSLATER IN PILLBOX DI OTTONE .................................................................................................... 63

3

4.5.1 Valutazione di Φ .................................................................................................................................... 64 4.5.2Valutazione di LQ .................................................................................................................................... 65

4.5.3 Valutazione di 2

0

zEU

.............................................................................................................................. 66

4.5.4 Valutazione del slaterk ............................................................................................................................. 66 4.6 VERIFICA SUL MODO TM011 .............................................................................................................................. 67 4.7 REALIZZAZIONE DI UNA PILLBOX IN OTTONE IN BANDA X ................................................................................ 71 4.8 DAL PROGETTO ALLA REALTÀ .......................................................................................................................... 72 4.9 MISURA DEL KSTEELE ........................................................................................................................................... 74

CAPITOLO 5 ........................................................................................................................................................ 76 MISURE DI CAMPO E.M. QUANTITATIVE SULL’IBRIDO IN BANDA X ............................................. 76 5.1 MODO Π: CAMPO NELLA CAVITÀ SW CON SLATER ........................................................................................... 76 5.2 MODO Π: CAMPO NELLA CAVITÀ SW E TW CON STEELE .................................................................................. 79 5.3 MODO 2Π/3: CAMPO NELLA CAVITÀ SW E TW CON STEELE ............................................................................. 81

CONCLUSIONI E SVILUPPI FUTURI ............................................................................................................. 82 BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................................. 824 RINGRAZIAMENTI .......................................................................................................................................... 825

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Capitolo 1 Fotoiniettori a RF per la produzione di fasci di elettroni ad alta brillanza Lo sviluppo della teoria del laser ad elettroni liberi ha posto l’accento sulla necessità di sviluppare sorgenti di fasci di elettroni ad alta brillanza. La brillanza è definita come:

2

2IBε

= (0.1)

con I pari alla corrente del fascio ed ε pari all’emittanza traversa del fascio. L’architettura più diffusa per un fotoiniettore prevede una cavità risonante posta all’uscita di un fotocatodo, detta cannone a RF, seguita da un acceleratore lineare (comunemente detto LINAC) ad onda viaggiante (TW-travelling wave). I due dispositivi sono separati da un tratto di tubo a vuoto e la loro distanza è studiata in maniera da ottimizzare l’emittanza del fascio all’uscita della sezione LINAC (figura .1). La struttura ad onda stazionaria è alimentata da un generatore a RF (klystron) e comunica con quest’ultimo tramite un circolatore, il quale ha il compito di ridurre al minimo le riflessioni del cannone stesso dissipando tutta la potenza riflessa su un carico adattato. La struttura ad onda viaggiante è anch’essa alimentata da un klystron ma non necessita di circolatori in quanto a differenza del cannone può essere progettata in modo tale da non avere riflessioni nella direzione dell’alimentatore.

Figura 1.1 Schema di un fotoiniettore classico

1.1 Il fotoiniettore ibrido Questa tesi si propone lo scopo di eseguire misure su un fotoiniettore ibrido di cui mostriamo lo schema di principio in figura 1.2.

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Figura 1.2 Schema del fotoiniettore ibrido

La sua architettura prevede un cannone a RF ed una sezione acceleratrice lineare (LINAC) ad onda viaggiante integrati in un unico dispositivo. La struttura è accoppiata ad una guida d’onda di alimentazione tramite una cella dotata di apertura (detta accoppiatore o coupler) posta fra i due dispositivi acceleranti. 1.2 Vantaggi del fotoiniettore ibrido Le simulazioni sul fotoiniettore ibrido hanno prospettato buone dinamiche del fascio; i parametri relativi a questo aspetto sono dovuti in parte alla mancanza di drift tra cannone e prima cavità accelerante mentre l’alta brillanza è dovuta all’alternanza del gradiente di campo in corrispondenza alle iridi delle cavità. Inoltre si è visto che gli elettroni sono accelerati a maggiori valori di energia per megawatt di potenza impiegata in ingresso rispetto ad altri dispositivi dello stesso tipo [1]. E’ importante sottolineare che, anziché dividere la potenza all’iride della guida d’onda, l’architettura dell’ibrido divide la potenza all’interno di un coupler e ciò riduce significativamente l’ammontare di potenza riflessa durante il riempimento del cannone. Questo obiettivo viene raggiunto proprio con l’utilizzo dell’accoppiatore che distribuisce la potenza tra la sezione SW e quella TW in modo tale che la prima assorba circa il 10% della potenza posta in ingresso. Mentre la potenza viene ancora riflessa all’iride nella sezione SW durante il tempo di riempimento del cannone, una parte di questa stessa potenza riflessa potrà tornare indietro alla sorgente o percorrere la sezione ad onda viaggiante fino alla porta d’uscita; ciò si concretizza in una differenza di soli 2.5 dB per l’ 11s durante il suddetto riempimento ed in un uso più efficiente della potenza a RF. La riduzione di potenza riflessa è ciò che conferisce al sistema la sua capacità di poter essere scalabile - senza le difficoltà che si incontrano in strutture ad onda stazionaria - per utilizzi a frequenze maggiori visto che reperire circolatori ed isolatori diviene più difficile e costoso all’aumentare della frequenza. Uno dei risultati più affascinanti offerto dalla necessità di sorgenti di elettroni ad alta brillanza è stato infatti il poter scalare quest’ultima in funzione dei parametri

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critici del fotoiniettore. Le regole per mantenere inalterate le prestazioni del fotoiniettore conservandone tutte le relazioni geometriche possono essere esposte come segue: • le ampiezze dei campi acceleranti e deflettenti devono variare come l’inverso della lunghezza d’onda a RF:

10E α λ −

10B α λ−

• l’emittanza trasversa deve invece rimanere proporzionale alla lunghezza d’onda:

ε α λ • di conseguenza per la brillanza del fascio si ottiene:

22

2IB α λε

−=

e ciò rappresenta il motivo per cui ci si sforza di ottenere strutture scalabili. Ricapitolando, il fotoiniettore ibrido presenta i seguenti vantaggi [2,3,4]: • grazie al meccanismo con cui viene trattata l’onda riflessa nella fase transiente di riempimento del cannone, si evitano le difficoltà di progetto derivanti dalla presenza di circolatori o di componenti analoghi per l’alimentazione della sezione ad onda stazionaria; • l’integrazione dei due componenti rende la struttura estremamente compatta; • il sistema di alimentazione è più semplice perché il fotoiniettore viene alimentato solo centralmente; • quanto detto nei punti precedenti significa anche costi minori; • per quanto riguarda la dinamica del fascio di particelle tale dispositivo offre in linea di principio una certa flessibilità ed interessanti prestazioni in termini di brillanza; in questo dispositivo il fascio è accelerato con continuità; • è di più facile implementazione rispetto agli altri fotoiniettori ed è scalabile a livello di dimensioni geometriche per venire incontro alle esigenze del futuro; il rimpicciolimento delle dimensioni è frenato dai costi e a volte non è neanche possibile a causa della mancanza di dispositivi RF ad alta potenza, ad esempio di circolatori. Adesso, al fine di capire i motivi che hanno portato alla progettazione dei fotoiniettori come unione di una sezione SW e di una TW, si esamineranno proprietà e vantaggi offerti in ognuno dei due casi. 1.3 Strutture acceleranti a radio-frequenza L’energia elettromagnetica negli acceleratori viene trasferita ad un fascio di particelle tramite dispositivi elettromagnetici a radio-frequenza che possono essere divisi in due categorie: strutture ad onda stazionaria o risonatori e strutture ad onda viaggiante [12,13]. I due diversi criteri tecnologici implicano un diverso comportamento elettromagnetico.

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1.3.1 Confronto tra strutture Standing wave e Travelling wave Una struttura ad onda stazionaria è costituita da una sequenza di cavità accoppiate elettricamente o magneticamente, entro le quali, in condizioni di risonanza, si viene a determinare un’onda stazionaria come risultato della sovrapposizione delle onde incidenti e riflesse dalle terminazioni metalliche della struttura. In questo modo non si deve ricorrere ad un opportuno carico esterno come nel caso di acceleratori travelling wave e pertanto sarà possibile usare tutta la potenza in ingresso per accelerare il fascio. Nella struttura ad onda viaggiante invece, l’acceleratore si comporta come una guida d’onda entro la quale il campo accelerante viaggia con una velocità di fase uguale a quella del fascio iniettato, il quale guadagnerà sempre la stessa quantità di energia. Ricorrendo ad una guida d’onda uniforme non si realizzerebbe in alcun modo una condizione di matching col fascio: infatti la velocità di fase di un eventuale campo elettrico assiale sarebbe sempre maggiore della velocità della luce che non è raggiungibile da alcuna particella. La soluzione a questo problema consiste nel caricare la guida d’onda mediante un array periodico di dischi di materiale conduttore dotati di fori disposti assialmente; l’onda si propaga con attenuazione a causa delle perdite introdotte dalle pareti non perfettamente conduttrici e la potenza rimanente viene assorbita da un carico disposto sull’accoppiatore d’uscita la cui impedenza è adattata a quella caratteristica della guida. La differenza tra SW e TW è essenzialmente di natura tecnologica; in genere nei LINAC è preferibile scegliere una struttura TW perché in questo modo tutta l’energia si concentra dove si trova il fascio. Ma le strutture SW hanno altri vantaggi. In primo luogo presentano un minore campo superficiale massimo e di conseguenza la potenza assorbita durante il breakdown è minore che nel caso TW e secondariamente presentano il vantaggio di poter contare su dimensioni minori a parità di potenza richiesta.

1.3.2 Cavità risonanti per acceleratori di particelle Una cavità risonante è una regione chiusa, limitata da pareti perfettamente conduttrici e riempite da un mezzo lineare, stazionario, omogeneo, isotropo e non dispersivo [7] e nel nostro caso tale mezzo sarà il vuoto. Nei risonatori i campi elettrici e magnetici possono esistere solamente in corrispondenza di certe frequenze dette frequenze di risonanza della struttura. I vari modi risonanti, che differiscono per frequenza e distribuzioni di campi, sono generalmente classificati in modi traversi magnetici (TM) e modi traversi elettrici (TE) lungo la direzione di propagazione del fascio: i primi non hanno componenti longitudinali del campo magnetico ( 0zH = ), i secondi di campo elettrico ( 0zE = ). Ai fini dell’accelerazione di particelle si usano generalmente i modi di campo TM. Una soluzione interessante delle equazioni di Helmholtz riguarda una struttura a simmetria cilindrica che può essere ottenuta chiudendo una guida d’onda cilindrica metallica con due piatti metallici normali alla direzione longitudinale della guida e posti a distanza l tra loro. La sua trattazione elettromagnetica completa è stata sviluppata nel capitolo 2. Nella progettazione di strutture acceleranti possono utilizzarsi più cavità comunicanti tra loro tramite un’apertura detta iride; l’intera struttura viene chiamata cavità risonante multi-cella.

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Quando vengono accoppiate più celle ciascun modo degenera in tanti modi a frequenze leggermente diverse [10].

1.3.3 Meccanismo di accelerazione in strutture ad onda viaggiante Una struttura accelerante ad onda viaggiante (detta anche acceleratore lineare o LINAC) è un dispositivo in grado di accelerare particelle cariche attraverso un’onda elettromagnetica propagante al suo interno. Per realizzare un acceleratore lineare si devono realizzare le seguenti condizioni: • campo elettrico parallelo alla direzione di propagazione dell’onda; • velocità di fase dell’onda uguale alla velocità della particella che viene accelerata La necessità di utilizzare strutture periodiche per la realizzazione di acceleratori lineari è evidente se si considera la velocità di fase del campo: 2 2 2

0( ) ( )Kc k cω = + (0.2)

dove

02k πλ

= (0.3)

K è il numero d’onda di cut-off; si noti che, come in una guida d’onda uniforme, la velocità di fase è maggiore di quella della luce:

2 2

021

fase

t

cv ck k cω

ω

= = >

−

(0.4)

La seconda condizione implica quindi che una struttura quale una guida d’onda uniforme non va bene per realizzare un LINAC e da qui deriva la scelta di utilizzare una guida d’onda caricata periodicamente con iridi di materiale conduttore. La presenza di riflessioni sulle iridi produce infatti una riduzione della velocità di fase rispetto alla guida d’onda circolare uniforme [10]. In una struttura periodica, ad una certa frequenza di eccitazione del campo, la velocità di fase è costante, il che sottintende che la particella sia già a velocità relativistica (cioè circa uguale alla velocità della luce) quando si trova al suo interno. Questa assunzione non è valida in generale ma lo è nelle applicazioni a cui si rivolge questa tesi (acceleratori per elettroni). Oltre alla velocità di fase un altro parametro di grande importanza in una sezione accelerante ad onda viaggiante è l’avanzamento di fase per cella dove per cella si intende un tratto della struttura di lunghezza pari al periodo L. Nelle strutture acceleranti in uso tale avanzamento di fase è generalmente 2π/3. I motivi di questa scelta sono molteplici e per una loro trattazione accurata si rimanda ai testi in bibliografia [15]. La frequenza operativa della struttura è determinata da un compromesso fra diverse esigenze: a frequenze maggiori corrispondono guadagni di energia maggiori a parità di lunghezza della sezione accelerante, il che suggerisce di aumentare la frequenza; d’altra parte tale aumento di frequenza è limitato dalle disponibilità tecnologiche (ad esempio la disponibilità di generatori di potenza per le frequenze richieste o la precisione nella costruzione dei componenti che

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diminuiscono di grandezza all’aumentare della frequenza). Notiamo come i tre parametri appena descritti determinano univocamente la lunghezza L di una cella valendo la relazione:

faseLv ωφ

= Δ

(0.5)

Anche la velocità di gruppo è un altro parametro significativo. Questa grandezza corrisponde alla velocità di propagazione dell’energia elettromagnetica nella struttura. Se si intende alimentare la struttura in maniera pulsata bisogna tener conto del suo valore per stimare il tempo necessario al campo per “riempire” l’intera struttura accelerante.

1.3.4 Armoniche spaziali e curva di dispersione Lo studio della propagazione elettromagnetica all’interno di una struttura periodica si basa sul teorema di Floquet secondo cui, per un campo elettrico (e analogamente per il campo magnetico) di un modo che si propaga all’interno di una struttura di questo genere ad una data frequenza, vale la seguente proprietà: ( , , ) ( , , )LE x y z L e E x y zγ− + =

r r (0.6)

dove L è il periodo spaziale e z è l’asse di periodicità. Supponendo γ immaginaria e pari a jβc (condizione che può verificarsi in una struttura priva di perdite), per il teorema di Floquet il campo elettrico propagante lungo l’asse z può essere espresso nella seguente forma ( ) cj z

pE E z e β− = (0.7)

con pE funzione periodica di periodo L. Sviluppando in serie di Fourier pE otteniamo:

2( )c

nj zL

nn

E E eπβ+∞ − +

= −∞

= ∑ (0.8)

Il campo elettrico propagante può quindi essere visto come la sovrapposizione di infinite armoniche spaziali che si propagano ognuna con una velocità di fase costante e pari a:

2c

nL

ωπβ +

(0.9)

In una struttura accelerante, solitamente, l’armonica di ordine 0 è sincrona con la particella accelerata mentre le altre armoniche, avendo velocità di fase minore della velocità della particella, hanno su di essa una effetto nullo in media. Dall’ultima equazione segue che la curva di dispersione di una struttura periodica ha andamento periodico. Infatti se ad una certa frequenza è associata la costante di propagazione βc allora alla stessa frequenza saranno associate tutte le costanti βc+2nπ/L. Un’altra caratteristica della curva di dispersione di una struttura periodica è la presenza di intervalli di frequenze in cui l’onda propaga, detti bande passanti, ed intervalli di frequenza in cui l’onda non propaga, detti stopband.

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Data una curva di dispersione per una struttura periodica è possibile dare un’interpretazione grafica alla velocità di fase e di gruppo di un’armonica: la prima vale ω/βc ed è il coefficiente della retta passante per l’origine che interseca la curva nel punto che identifica l’armonica; la seconda invece, definita come ∂ω /∂βc, è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in quel punto. 1.4 Applicazioni dei fotoiniettori Il fotoiniettore ibrido può costituire il punto di partenza nella costruzione delle sorgenti di radiazione di tipo laser ad elettroni liberi o FEL (Free Electron Laser) che possono essere considerate come sorgenti di luce di sincrotrone stimolate [16]. Questi tipi di laser utilizzano intensi fasci di elettroni relativistici e possono essere adoperati sia come oscillatori che come amplificatori. Nel primo caso la radiazione viene accumulata, come negli ordinari laser, in una cavità ottica e la coerenza si sviluppa dopo un certo numero di interazioni successive fra gli elettroni, l’ondulatore e la radiazione accumulata in cavità. Nel secondo caso, utilizzato là dove, come nel caso dei raggi X, non esistano specchi adatti per la riflessione, la radiazione coerente viene generata in un solo passaggio di ondulatore ed il processo associato è noto come SASE (Self Amplified Spontaneous Emission). Le sorgenti FEL sono le naturali candidate per l’ ottenimento di brillanze dell’ordine dei

2310 (i valori più alti raggiunti finora). Le sorgenti di luce di sincrotrone hanno giocato un ruolo primario nella ricerca scientifica di quasi un trentennio in cui si è assistito ad uno spettacolare sviluppo tecnologico nello spettro UV/X. Con esse infatti si è potuta approfondire la ricerca scientifica e tecnologica in una vasta gamma di settori: • Nanotecnologie meccaniche ed elettroniche; • Biotecnologie • X-ray imaging • Chimica strutturale • Biologia strutturale • Scienza dei materiali • Fisica dello stato solido • Indagine inquinamento atmosferico ed ambientale I raggi X sono utilizzati attualmente in innumerevoli campi, dalla ricerca fondamentale ed applicata, alla diagnosi radiologica ed all’analisi di prodotti industriali. Sorgenti come SPARX porteranno la maggior parte delle applicazioni attuali a nuovi livelli d’eccellenza e verso nuove direzioni. Le discipline implicate saranno molteplici e disparate. Si potranno utilizzare tecniche originali basate sulla formazione d’immagini a raggi X, studi in funzione del tempo, tanto nella scienza dei materiali che in biologia e medicina, per l’estensione delle applicazioni di ottica non lineare a nuove regioni spettrali, per innovare la microscopia a raggi X e per estendere metodologie nella cristallografia delle proteine e della genomica strutturale.

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Capitolo 2 Caratterizzazione elettromagnetica di cavità cilindriche In questo capitolo ci proponiamo di analizzare le cavità cilindriche (Pillbox) dal punto di vista elettromagnetico [5,6]. Questa trattazione si rende necessaria per una più accurata comprensione delle metodologie utilizzate per caratterizzare gli oggettini perturbanti nelle misure di campo sull’ibrido. Nei metodi di misura di Steele e Slater, infatti, intervengono delle costanti caratteristiche dell’oggetto perturbante, steelek e slaterk , che possono essere determinate tramite considerazioni geometriche intorno all’oggettino o tramite misure in cavità cilindriche (pillbox). Nel nostro caso il primo metodo è improponibile, disponendo di oggettini dalla forma indefinita essendo gocce di colla. Si ricorrerà pertanto al secondo metodo. Le misure in pillbox presumono la conoscenza dei modi risonanti in cavità e le espressioni analitiche dei campi. In questo paragrafo si ricaveranno le espressioni delle frequenze di risonanza per una pillbox di diametro a e altezza h usufruendo della teoria elettromagnetica. Si procederà all’analisi dei modi TM e TE, e si darà l’espressione del campo elettrico sull’asse per il modo TM010, utile per le successive trattazioni, calcolando inoltre l’energia nella cavità e il fattore di merito 0Q . Si proporranno, infine, dei metodi pratici per la valutazione dei coefficienti di accoppiamento β antenna-cavità e del fattore di qualità 0Q prendendo in esame una pillbox di rame [8]. 2.1 Modi TM Dall’equazione al potenziale vettore elettrico si ha: 2 2 0A k A∇ + = (2.1) dove 2 2k ω με= . Le espressioni dei campi elettrico e magnetico in termini di potenziale magnetico sono: H A= ∇ × (2.2)

21 ( ( ))E k A Ajωε

= + ∇ ∇ (2.3)

Dalla simmetria cilindrica della cavità, zA A= da cui si ricava un espressione semplificata delle (2.1), (2.2) e (2.3):

2 2 0zzA k A∇ + =

t t zH A= ∇ ×

20

1 ( ))zt t z

AE A zj zωε

∂= ∇ − ∇

∂

12

Procedendo per separazione di variabili, si impone ( , ) ( )zA T L zρ ϕ= da cui si ricava:

2

2 2 22( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( )z tA T L z L z T T L z

zρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ∂

∇ = ∇ = ∇ +∂

Da ciò si ottiene l’espressione:

2

2 22( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) 0tL z T T L z k L z T

zρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ∂

∇ + + =∂

(2.4)

Da cui, dividendo per ( ) ( , )L z T ρ ϕ si ottiene:

2

2 22

1 1( , ) ( ) 0( , ) ( )t T L z k

T L z zρ ϕ

ρ ϕ∂

∇ + + =∂

(2.5)

Derivando su z si ha:

2

2

1 ( ) 0( )

L zz L z z

⎧ ⎫∂ ∂=⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭

(2.6)

Da cui, integrando:

2

22

1 ( )( ) zL z k

L z z∂

= −∂

(2.7)

Quest’ equazione differenziale ha come soluzione l’espressione: 0 0( ) z zjk z jk zL z L e L e− ++ −= + (2.8)

per 0zk ≠ . La (2.5) si può, a questo punto, ulteriormente semplificare eliminando la dipendenza dalla variabile longitudinale, limitando lo studio ai soli campi trasversali. Sostituendo, infatti, la (2.7) nella (2.5) si giunge all’espressione: 2 2( , ) ( , ) 0t tT k Tρ ϕ ρ ϕ∇ + = (2.9)

con 2 2 2

t zk k k= − . Separando le variabili, si impone ( , ) ( ) ( )T ρ ϕ ϕ ρ= Φ Ρ . A questo punto si può sfruttare ancora la simmetria cilindrica del problema scrivendo l’espressione esplicita del laplaciano trasverso in coordinate cilindriche. La (2.9) diventa perciò:

2

22 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0tkϕ ρρ ρ ϕ ρ ϕρ ρ ρ ρ ϕ

⎛ ⎞Φ ∂ ∂ Ρ ∂Ρ + Φ + Ρ Φ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(2.10)

Studiamo ora la funzione ( )ϕΦ .

13

Procedendo analogamente a quanto fatto per ricavare ( )L z possiamo dividere l’espressione per ( ) ( )ρ ϕΡ Φ e quindi derivare suϕ . Si ottiene:

2

22

1 ( )( )

kϕϕ ϕ Φ

∂Φ = −

Φ ∂ (2.11)

da cui: 1 2( ) sin( ) cos( )C k C kϕ ϕ ϕΦ ΦΦ = + (2.12)

con 0kΦ ≠ . Se 0kΦ = la soluzione e: 1 2( ) C Cϕ ϕΦ = + (2.13)

Dalla condizione di simmetria cilindrica, però, ne deriva anche la ciclicità della funzione ( )ϕΦ . Deve valere cioè, ( ) ( 2 )nϕ ϕ πΦ = Φ + (2.14) Applicando tale condizione alla (2.13) segue che: 1 2 1 1 2 12 0C C C n C C Cϕ ϕ π+ = + + ⇔ = (2.15)

Ma allora, dalla (2.15) segue che la soluzione per 0kΦ = non e altro che un caso particolare della soluzione per 0kΦ ≠ . Applicando, ora, la condizione di ciclicità alla (2.12) si ottiene: 1 2( 2 ) sin( 2 ) cos( 2 )n C k n k C k n kϕ π ϕ π ϕ ϕ π ϕΦ Φ Φ ΦΦ + = + + + (2.16)

La (2.16) eguaglia la (2.12) solo se kΦ ∈ . Studiamo ora la funzione ( )ρΡ . Dalla (2.10), dividendo per ( ) ( )ρ ϕΡ Φ e moltiplicando per 2ρ si ottiene:

2 2 2( ( )) 0( ) tk kρ ρ ρ ρρ ρ ρ Φ

∂ ∂Ρ + − =

Ρ ∂ ∂ (2.17)

Dalla (2.17), sostituendo tkξ ρ= e k nΦ = , si perviene alla forma:

2 2

2 2

( ) 1 ( ) (1 ) ( ) 0nξ ξ ξξ ξ ξ ξ

∂ Ρ ∂Ρ+ + − Ρ =

∂ ∂ (2.18)

La soluzione per quest’equazione differenziale e data dalla combinazione lineare delle funzioni di Bessel del primo e secondo tipo: 1 2( ) ( ) ( )n nD J D Yξ ξ ξΡ = + (2.19)

14

Poiché le funzioni di Bessel del secondo tipo divergono per 0ξ = segue che necessariamente

2 0D = . Alla fine, la funzione ( , )T ρ ϕ si potrà scrivere come: 1 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) sin( ) cos( )n tT D J k C k C kρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕΦ Φ⎡ ⎤= Ρ Φ = +⎣ ⎦ (2.20)

Consideriamo ora le condizioni al contorno. Per i modi TM e necessario imporre che la funzione ( , )T ρ ϕ si annulli sulla superficie laterale del cilindro. Dovrà perciò essere: ( 0 , ) 0 ( 0 ) 0T a aρ ρ ϕ ρ ρ= ∧ = = ⇔ Ρ = ∧ = = (2.21) Da ciò segue che ( ) 0n tJ k a = , il che porta la condizione:

,n mtk

aχ

= (2.22)

Dove ,n mχ indica l’m-esimo zero della funzione di Bessel di ordine n, del primo tipo. Per

comodità, si riporta la tabella degli zeri delle ( )nJ x :

m

1 2.4048 3.8317 5.1356 6.3802 7.5883 8.7715

2 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610 11.0647 12.3386

3 8.6537 10.1735 11.6198 13.0152 14.3725 15.7002

4 11.7915 13.3237 14.7960 16.2235 17.6160 18.9801

5 14.9309 16.4706 17.9598 19.4094 20.8269 22.2178

Tabella 2. 1 Zeri delle Jn(x) Come tale, segue che:

( )( )

1,2,3,...

0,1,2,...

m

n

∈

∈ (2.23)

Poiché la cavità cilindrica e chiusa alle estremità da due piatti piani paralleli di conduttore elettrico perfetto, le componenti trasversali del campo elettrico dovranno ivi annullarsi. Dovrà cioè valere: ( ), 0 0E z z hθ ϕ = ∧ = = (2.24)

Richiamando l’espressione generale di E dalla (2.6) e sostituendo i risultati finora ottenuti per

zA , si perviene alla forma:

, 1 1 20 0

1 1 1 ( ) sin( ) cos( ) ( )zt n t

AE DJ k C k C k L zj z j zθ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕωε ωε ρ ρ ϕ Φ Φ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ∇ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.25)

Ma:

15

0 0( ) jk z jk zz zL z jk L e jk L e

z− ++ −∂

= − +∂

(2.26)

Imposto 0z = si determina 0 0 0L L L+ −= = e la (2.26) diventa:

0( ) 2 sin( )z zL z k L k zz

∂= −

∂ (2.27)

Imponendo z h= si ottiene:

zpkhπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.28)

Con ( )0,1, 2,...p ∈ . Da quest’ ultima relazione si ricava l’espressione per le frequenze dei modi risonanti in una pillbox. Si ha, infatti, dalla condizione di separabilità, che:

2 2

,2 2 2 2 n mt z

pk k ka h

χ πω με⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ (2.29)

Da cui:

2 2

,, ,

n mn m p

pca h

χ πω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ (2.30)

I modi risonanti si indicano con la scrittura TMnmp. A volte si ricorre all’uso della carta dei modi della pillbox, qui di seguito riportata.

Figura 2. 1 Carta dei modi della Pillbox

2.2 Modi TE Per studiare i modi TE, il procedimento e del tutto analogo. Scrivendo l’ equazione al potenziale vettore magnetico, si ottiene: 2 2 0F k F∇ + = (2.31)

16

Associate alla (2.31) vi sono: E F= −∇× (2.32)

21 ( ( ))H k F Fjωμ

= + ∇ ∇ (2.33)

Dalla simmetria cilindrica della cavità, zF F= e si ricava un’ espressione semplificata delle (2.31), (2.32) e (2.33): 2 2 0z zF k F∇ + = (2.34) , ztE Fθ ϕ = −∇ × (2.35)

20

1 ( ))zt t z

FH F zj zωμ

∂= ∇ − ∇

∂ (2.36)

Analogamente al caso TM, si può procedere per separazione di variabili. Posto ( , ) ( )zF T L zρ ϕ= si ha:

1 1 2( , ) ( ) ( ) ( ) sin( ) cos( )n tT D J k C k C kρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ϕΦ Φ⎡ ⎤= Ρ Φ = +⎣ ⎦ (2.37)

Considerando la condizione di ciclicità si ha che: kΦ ∈ (2.38)

Considerando le condizioni al contorno sulla superficie laterale, per i modi TE si ha:

( , ) 0T

nρ ϕ∂

=∂

(2.39)

dove n e il versore normale alla superficie laterale. In simmetria cilindrica allora:

( , ) 0

a

T

ρ

ρ ϕρ =

∂=

∂ (2.40)

Applicando la (2.40) alla (2.37) si ha che:

'( ) ( ) 0n t n ta

J k J k aρ

ρρ =

∂= =

∂ (2.41)

Si ricava la condizione su tk :

'

,n mtk

aχ

= (2.42)

Per comodità, si riporta la tabella degli zeri delle ( )'nJ x :

m

1 3.8317 1.8412 3.0542 4.2012 5.3175 6.4156

2 7.0156 5.3314 6.7061 8.0152 9.2824 10.5199

3 10.1735 8.5363 9.9695 11.3459 12.6819 13.9872

4 13.3237 11.7060 13.1704 14.5858 15.9641 17.3128

5 16.4706 14.8636 16.3475 17.7887 19.1960 20.5755

Tabella 2. 2 Zeri delle Jn’(x)

17

Considerando le condizioni di chiusura della pillbox con un conduttore elettrico perfetto a piatti piani e paralleli posti in 0z = e z h= , si dovrà imporre: ( ), 0 0E z z hθ ϕ = ∧ = = (2.43)

Esplicitando il rotore nella (2.35) si ha:

, 0 0

1 ( , ) ( )E T L zθ ϕ ρ ϕ ρ ϕρ ρ ϕ

⎛ ⎞∂ ∂= − + ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(2.44)

Imponendo ( 0) 0L z = = si ottiene: 0 0L L+ −= − (2.45)

Imponendo ( ) 0L z h= = si ottiene: ( )0( ) 2 sin 0zL h jL k h+= − = (2.46)

da cui si ricava la condizione su zk :

zpkhπ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.47)

Con ( )0,1, 2,...p ∈ . Da quest’ ultima relazione si ricava l’espressione per le frequenze dei modi risonanti TE in una pillbox. Si ha, infatti, dalla condizione di separabilità, che:

2 2',2 2 2 2 n m

t zpk k k

a hχ πω με

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (2.48)

Da cui:

2 2',

, ,n m

n m ppc

a hχ πω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (2.49)

I modi risonanti si indicano con la scrittura TEnmp. 2.3 Ez per i modi TM Entriamo ora nello specifico del calcolo del campo elettrico sull’asse per i modi TM. Essendo:

20

1z t zE A z

jωε= − ∇ (2.50)

Dalla (2.1) si ha:

2

202

1 zz z

AE k A zj zωε

⎛ ⎞∂= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(2.51)

Si noti però che:

2 2

2 22( , ) ( ) ( , ) ( )z

z z zA T L z k T L z k Az z

ρ ϕ ρ ϕ∂ ∂= = − = −

∂ ∂ (2.52)

Perciò:

( ) ( )2 2 20 0

1 1z z z z t zE k A k A z k A z

j jωε ωε= − = (2.53)

Esplicitando il potenziale vettore si perviene alla formula finale per il campo elettrico:

18

( ) ( ),201 1 2

2 sin( ) cos( ) cosn mz t n zE k D J C n C n k z z

j aχ

ρ ϕ ϕωε

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.54)

Nel caso di modi TM010 si troverà:

( )0,1201 0 2

2zE k D J C z

j aχ

ρωε

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (2.55)

Il campo è costante longitudinalmente e decresce radialmente come la 0J . Nel caso di modi TM011 si troverà:

( )2

0,1 0,101 0 2

2 coszE D J C z zj a a h

χ χ πρωε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.56)

Si riportano in Figura 2.2 le linee di forza del campo elettrico per i modi TM010 (a) e TM011 (b).

Figura 2. 2 Campo elettrico TM010 (a) e TM011 (b)

2.4 Energia per il modo TM010 L’energia nella cavità è data dall’espressione: E HU w w d

τ

τ= +∫ (2.57)

Nel nostro caso la densità di energia elettrica coincide con quella magnetica perciò:

22

2EU w d E dτ τ

ετ τ= =∫ ∫ (2.58)

Per il modo TM010 l’espressione del campo elettrico si limita a quella longitudinale in quanto, dalla (2.27), si vede che , 0Eθ ϕ = . Sostituendo l’espressione (2.55) si trova:

( )22

0,121 0 2

0 0 0

22

a h

U k D J C d d dzj a

π χε ρ ρ ρ ϕωε

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (2.59)

Da cui:

0,14 2 2010 02

0

4 a

U k hB J da

χπ ρ ρ ρ

ω ε⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ (2.60)

Avendo posto 010 1 2B D C= . Data la seguente relazione integrale per le funzioni di Bessel:

19

( )2

2 20 10 1 01

0 2,

,

a aJ d Ja

ρχρ ρ χ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠∫ (2.61)

Si può ricavare al fine che:

( )4 2 2 2010 1 0,12

2U k hB a Jπ χω ε

= (2.62)

Dove ( )21 0,1 0.2695J χ = .

2.5 Campo elettrico per il modo TM010 Ci sarà utile in seguito calcolare il rapporto tra il modulo quadro del campo elettrico sull’asse della pillbox e l’energia contenuta nella cavità. Rapportando le (2.55) e (2.62) si ha:

( )

2

2 21 01

2

,

zEU ha Jπε χ

= (2.63)

2.6 Fattore di merito Q010 Completiamo l’analisi teorica della pillbox calcolandone il fattore di merito. Dalla definizione si ha:

d

UQP

ω= (2.64)

Dove dP è la potenza dissipata sulle pareti della cavità. Si avrà pertanto:

2

2m

d walls

RP H dS= ∫ (2.65)

Elaborando opportunamente la (2.64) si perviene all’espressione (2.66) per il fattore di qualità:

0 1 00

2 1

,

s

ZQa Rh

χ=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.66)

Dove 2sR ωμσ

= .

2.7 Coefficienti di accoppiamento β e fattore di qualità 0Q Forniremo ora dei metodi pratici per determinare i fattori di accoppiamento β e il fattore di qualità 0Q in una pillbox di rame (Figura 2.3). Questi parametri sono definiti sui modi risonanti della cavità. Dovremo pertanto, analizzare inizialmente lo spettro dei parametri di scattering della pillbox, e quindi procedere al calcolo dei β e di 0Q per il modo di nostro interesse, il TM010.

20

Figura 2.3 Pillbox di rame

2.7.1 Spettro dei parametri di scattering della pillbox Dalle dimensioni della cavità (diametro mma 08212 .= e lunghezza mmd 1211.= ) ne deriva il rapporto ( ) 5932 2 .=da . Per una prima analisi qualitativa si può ricorrere alla carta dei modi (Figura 2.1) da cui si ricava la distribuzione teorica delle frequenze di risonanza di Tabella 2.3.

Modo Frequenza (GHz)tab. TM 010 10.61 TE 111 15.00 TM 011 16.772 TM 110 17.430

Tabella 2.3 Frequenze di risonanza dalla carta dei modi Utilizzando un software di simulazione, come mathematica, con gli stessi parametri, si ottengono i valori teorici delle frequenze di risonanza di Tabella 2.4 dove si riportano anche i fattori di qualità 0Q .

Modo Frequenza (GHz)mathematica Qmathematica

TM 010 10.886 8549.16 TE 111 15.849 9710 TM 011 17.327 7255.11 TM 110 17.346 10791.4

Tabella 2.4 Frequenze di risonanza teoriche A questo punto occorre verificare che questi valori siano in accordo con quelli realmente misurati con il PNA sulla Pillbox. Montando l’apparato di misura, imponendo una risoluzione di 1601 punti ed effettuando la calibrazione C 2-P SOLT si ottiene lo spettro di Figura 2.4.

21

Figura 2.4 Parametri S11 ed S12 per la Pillbox di rame

Dallo spettro si nota che il modo TE111 presenta una risonanza molto piccola rispetto a quella dei modi TM. Questo è dovuto alla posizione longitudinale delle antenne che non permette di eccitare campi elettrici trasversali. Da una lettura delle frequenze di risonanza dei modi si ricava la Tabella 2.5.

Modo Frequenza (GHz)PNA TM 010 11.24530 ± 1.0e-4 TE 111 14.70830 ± 1.0e-4 TM 011 16.69970 ± 1.0e-4 TM 110 17.68040 ± 1.0e-4

Tabella 2.5 Frequenze di risonanza sperimentali L’ incertezza sulla frequenza è stata valutata considerando uno span di 50MHz intorno alle risonanze. Questo implica una risoluzione orizzontale pari a 450 /1601 3.12 10MHz MHz−= ⋅ . Supponendo una distribuzione di probabilità uniforme si ottiene un incertezza sulla frequenza pari a 4 43.12 10 / 12 10 MHz− −⋅ .Per comodità di confronto si riportano le frequenze teoriche e sperimentali in Tabella 2.6.

Modo Frequenza (GHz)mathematica. Frequenza (GHz)PNATM 010 10.886 11.24530 ± 1.0e-4 TE 111 15.849 14.70830 ± 1.0e-4 TM 011 17.327 16.69970 ± 1.0e-4 TM 110 17.346 17.68040 ± 1.0e-4

Tabella 2.6 Confronto tra le frequenze di risonanza teoriche e sperimentali Si nota una differenza tra i valori misurati e quelli teorici. Questo può esser dovuto alla presenza dei due cilindri laterali che, di fatto, modificano la geometria della pillbox stessa.

2.7.2 Metodi pratici per la misura dei 11β , 22β . I parametri 11β , 22β indicano rispettivamente l’accoppiamento tra cavità ed antenna alla porta 1, e l’accoppiamento tra cavità ed antenna alla porta 2. In generale si possono mettere in relazione

22

con i parametri 11S , 22S , 0Q , LQ , extQ , SWR e Z , considerando le seguenti espressioni (dove non indicato ci riferiremo al β di una porta generica):

0

0 0 01fZ fcon

Z jQ f fβ δ

δ= = −

+ (2.67)

11 011

11 0

11

jQSjQ

β δαβ δ

− −= ⋅

+ + (2.68)

11

11

10

1S

SWR conS

δ+

= =−

(2.69)

1 10

1 1SWR con

β βδ

β β+ + −

= =+ − −

(2.70)

0

1LQQ

β=

+ (2.71)

0

ext

QQ

β = (2.72)

Da queste espressioni si possono ricavare tre metodi pratici per determinare il valore di β . Tutti questi metodi richiedono di portare la curva di risonanza nella detuned short position (Figura.2.5) per cui alla risonanza abbiamo un impedenza Z reale. Questo si può fare agendo sul comando di phase offset del PNA.

Figura 2.5 Detuned short position

Metodo I Ponendoci alla risonanza, allora dalla (2.67) otteniamo:

0 50

Z ZZ

β = = (2.73)

Metodo II

23

Ponendoci alla risonanza e misurando la ( )11Re S nella (2.68) otteniamo:

( )1111,Re S β

β−

=+

(2.74)

avendo supposto il coefficiente di attenuazione 1α = (attenuazione nulla). Metodo III Ponendoci alla risonanza e visualizzando la Carta di Smith, possiamo ricavare immediatamente informazioni sul valore di β . Infatti:

• Se il cerchio della risonanza comprende l’origine della Carta di Smith allora: 1 SWRβ β> ⎯→ = (2.75) e si ha sovra-accoppiamento.

• Se il cerchio della risonanza non comprende l’origine della Carta di Smith allora:

11

SWRβ β< ⎯→ = (2.76)

e si ha sotto-accoppiamento.

• Se l’origine della Carta di Smith appartiene al cerchio della risonanza allora: 1β = (2.77) e si ha accoppiamento critico. Nell’applicare i tre metodi, abbiamo fisicamente tolto un’ antenna e misurato il β dell’altra per evitare le interdipendenze 2211 ββ ÷ . I risultati delle misure (Tabella 2.7) sono stati ricavati dall’osservazione diretta dei valori riportati sullo schermo del PNA.

Tipo di Metodo 11β 22β Metodo I 0.3600 0.3860 Metodo II 0.3610 0.3859 Metodo III 0.360 0 0.3861

Tabella 2.7 Valori di β misurati con i tre metodi Dai valori riportati si nota che entrambe le antenne sono sottoaccoppiate. Il risultato è in accordo con le previsioni fatte in fase di allestimento del sistema di misura. Si è prestata, infatti, la massima attenzione che le antenne fossero il più possibile rase rispetto alla parete di ingresso della cavità, in modo da perturbare il meno possibile (antenne sottoaccoppiate). Questo ha comportato lavori di limatura molto accurati.

2.7.3 Metodi pratici per la misura del 0Q Dalle (2.71) e (2.72) è possibile ricavare i parametri extQ , LQ . Questo suggerisce di concentrarsi esclusivamente nel determinare 0Q . In questo paragrafo ne stimeremo il valore, prima teoricamente, poi effettuando misure sul PNA tramite operazioni grafiche e di fitting sulla risonanza.

24

Calcolo teorico del 0Q Riprendendo la (2.66) si ha:

01 00

2 1

,

s

ZQa Rh

χ=

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

Imponendo le dimensioni 10 54,a mm= e 1112,d mm= e ricordando che la conduttività del rame è 7 1576 10.rame S mσ −⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦ si ottiene: 0 7812 2,Q =

Misura del 0Q sul PNA tramite procedura grafica Il metodo più semplice per misurare il 0Q dal PNA consiste nella seguente procedura grafica:

• Visualizzare l’ 11S intorno alla risonanza con uno span di 50MHz; • Visualizzare la Carta di Smith. • Utilizzare un phase offset per portare il cerchio di risonanza nella detuned short

position. • Agendo sul marker, individuare le frequenze 1f e 2f per cui ( ) ( )Re ImZ Z= ± • Ricavare 0Q dal calcolo: ( )1200 fffQ −=

Eseguendo questo tipo di misurazione prima sull’ 11S , poi sull’ 22S si perviene ai seguenti valori per 0Q (Tabella 2.8):

misura n° 0Q 1portaalla 0Q 2portaalla 1 5710.93 5380.3 2 5710.93 5372.6 3 5716.70 5382.9 4 5716.70 5375.2

Tabella 2.8 Misura del 0Q alle due porte

Teoricamente il valore di 0Q dovrebbe essere lo stesso per entrambe le porte, essendo caratteristico della risonanza della cavità. Si nota tuttavia uno scostamento del 10% circa tra le misure alla porta 1 e quelle alla porta 2. Una verifica della bontà dei risultati ottenuti, si può fare confrontando il grafico della curva data dalla (2.68) utilizzando i parametri β e 0Q ricavati dalle misure supponendo attenuazione nulla ( 1α = ), con il grafico del coefficiente di riflessione ottenuto direttamente dal PNA. Si ottengono i grafici di Figura 2.6 e Figura 2.7.

25

Figura 2.6 Fitting dell’S11 tra curva teorica e sperimentale

Figura 2.7 Fitting dell’S22 tra curva teorica e sperimentale

La curva teorica non riesce a “fittare” bene intorno alla frequenza di risonanza. Questo è uno dei limiti della procedura da noi utilizzata per determinare 0Q . Misura sul PNA tramite procedura di fitting Un metodo più accurato fa uso di una procedura di fitting della curva di risonanza fornita dal PNA. L’algoritmo è contenuto nel file matlab S11fit_delta_attenuation.m. L’operazione di fitting determina il β , il 0Q , e l’attenuazione α della (2.68) considerandoli parametri liberi (cioè da determinare secondo il metodo dei minimi quadrati) mentre determina la resf valutando il minimo del coefficiente di riflessione. Le variabili di output sono:

resf frequenza di risonanza β fattore di accoppiamento

0Q fattore di qualità non caricato α costante di attenuazione della linea di trasmissione in alimentazione

resfu incertezza sulla frequenza di risonanza

uβ incertezza sul fattore di accoppiamento

26

0Qu incertezza sul fattore di qualità

uα incertezza sulla costante di attenuazione A tal fine occorre immettere le seguenti variabili di input:

freq11 vettore frequenza fornito dal PNA Re11 vettore Re(S11) fornito dal PNA Im11 vettore Im(S11) fornito dal PNA startbeta valore iniziale di beta, >0 (<0) per sovra (sotto) accoppiamenti

Analizzando, ad esempio, la curva dell’S11 fornita dal PNA, si ottengono i seguenti valori:

Porta-1 resf 11.244853e+09

β 0.36291

0Q 6011.0 α 0.98600

resfu 9.0e+03

uβ 1.5e-04

0Qu 5.7

uα 2.6e-04 L’accuratezza dei risultati ottenuti, si può verificare confrontando il grafico della curva data dalla (2.68) utilizzando i parametri ricavati dalle misure, con il grafico del coefficiente di riflessione del PNA. Si ha:

Figura 2.8 Fitting dell’S11 tra curva teorica e sperimentale

Confrontando con Figura 2.6, si nota un netto miglioramento dell’approssimazione alla curva dell’S11 misurato con il PNA. Questo ci suggerisce di abbandonare completamente il metodo di

27

misura grafica e di adottare come metodo definitivo, quello con procedura di fitting. Ovviamente il primo metodo rimane il più immediato e può essere usato per valutazioni preliminari del 0Q . Procedendo analogamente per l’S22 si ottiene:

Porta-2 resf 1.1244756e+10

β 0.3876

0Q 5956 α 0.97084

resfu 9.0e+03

uβ 1.1e+03

0Qu 19

uα 1.5e-04 Se andiamo a confrontare i valori dei 0Q con le relative incertezze, le misure risultano incompatibili tra loro. Si ha infatti:

0Q Porta-1 6011.0 ± 5.7

0Q Porta-2 5956 ± 19 Questo si può giustificare pensando che in realtà le incertezze risultano sottostimate. Di fatto, l’analisi effettuata sulle risonanze, non riesce a tenere conto anche delle possibili fonti di incertezza dovute, ad esempio, a variazioni di temperatura del laboratorio che possono agire sulla forma stessa del picco di risonanza compromettendo tutta l’analisi. Si considererà pertanto, come valore rappresentativo, il valor medio delle due misure:

01 020 5983,50

2Q QQ +

= = (2.78)

L’incertezza verrà valutata con lo scarto sperimentale. Si ricorda che lo scarto sperimentale sσ

del valor medio X di un set di valori X è definito come:

( )( )( )

2

1

1...

ii N

s

X XX

N Nσ =

−=

⋅ −

∑ (2.79)

Nel nostro caso, avendo solo due valori, la relazione è semplificata:

1 2 27,52Q s

Q Qu σ

−= = (2.80)

In definitiva possiamo valutare il fattore di qualità della cavità di rame pari a: 0 5983 27Q = ± (2.81)

Si noti che tutti i fattori di qualità finora misurati differiscono pesantemente dal valore teorico ricavato dalla (2.66). Questo può esser dovuto alle imperfezioni delle pareti della cavità (polveri, rugosità, etc…) nonché all’assenza di brasatura.

28

Capitolo 3 Misure di campo e.m. qualitative sull’ibrido in banda X In questo capitolo ci proponiamo di analizzare il gun ibrido in banda X da un punto di vista qualitativo. Faremo cioè uso della teoria di Steele [9] per misurare l’andamento della variazione del coefficiente di riflessione sull’asse, direttamente proporzionale al campo elettrico. Procederemo inizialmente con una caratterizzazione esterna dell’ibrido, per poi soffermarci sullo studio dei modi risonanti della cavità ad onda stazionaria e dei modi nella cavità ad onda viaggiante. Studieremo gli avanzamenti di fase relativi a ciascun modo, ed in particolare del 2 3/π . Infine analizzeremo alcune anomalie d’ampiezza registrate durante le misurazioni e valuteremo la sensibilità dei risultati ottenuti in relazione allo spessore del filo adottato e della velocità del motorino. 3.1. Caratterizzazione esterna Da un punto di vista esterno, il gun ibrido si presenta come un cilindro in rame accessibile tramite tre porte (Figura 3.1).

Figura 3. 1 Il gun ibrido in banda X

Mentre le porte P1 e P2 sono accessibili direttamente tramite il cavo coassiale del PNA, la porta P3 è accessibile solo tramite un’antenna. La cavità ad onda stazionaria (SW) e la guida ad onda viaggiante (TW) sono costituite rispettivamente da 2 e 8 celle cilindriche accoppiate tramite un piccolo foro. In seguito indicheremo la i-esima cella della cavità TW dell’ibrido con la scrittura TWi. Tra le celle della cavità ad onda viaggiante sono presenti due accoppiatori (o couplers): il primo, il TW1, accoppia la struttura TW con la porta P1, il secondo, il TW8, accoppia la struttura TW con la porta P2. La lunghezza complessiva dell’ibrido è di 11.7 cm.

29

3.2 Parametri di scattering Avendo tre porte a disposizione, valuteremo i coefficienti di riflessione S11, S22, S33 e i coefficienti di trasmissione S12 ed S13 (la rete è reciproca). Inserendo un’antenna nella porta P3 dell’ibrido e collegando il cavo coassiale alla porta P1, dopo aver calibrato su entrambe le porte (C 2-P SOLT), si ottiene lo spettro di figura 3.2 in cui si mostrano il coefficiente di trasmissione S13 (corrispondente all’S12 in figura) e il coefficiente in riflessione S33 (corrispondente all’S11 in figura). Appaiono evidenti i modi risonanti della cavità SW, il modo 0 ed il modo π, rispettivamente alle frequenze di GHzf 3839110 .= e GHzf 406411.=π . I fotoiniettori, tipicamente, operano alla frequenza del modo π che ha effetti acceleranti sul fascio di elettroni.

Figura 3. 2 S13 ed S33

Per misurare l’S11 abbiamo collegato il cavo all’ingresso della porta P1 con una calibratura C 1-PORT ed abbiamo adattato la porta P2 e l’antenna alla porta P3 con un carico da 50 ohm. Analogamente è stato fatto per misurare il coefficiente S22. I risultati sono riportati nelle figure 3.3 e 3.4.

Modo 0 Modo π

30

Figura 3. 3 S11

Figura 3. 4 S22

Modo 1

Modo 2Modo 3

Modo 4

Modo 5

Modo 6

Modo 7Modo 0

Modo π

Modo 1

Modo 4Modo 2

Modo 3

Modo 7

Modo 6

Modo 5

Modo 0

Modo π

31

Sono ben visibili i 7 modi della guida d’onda travelling wave e le piccole deflessioni causate dal riempimento della cavità stazionaria in corrispondenza delle frequenze del modo 0 e π. Per la misura dell’S12 ( e quindi dell’S21) abbiamo collegato i cavi alle porte P1 e P2, adattato l’antenna alla porta P3, e calibrato ad entrambe le porte (C 2-P SOLT) ottenendo lo spettro di figura 3.5.

Figura 3.5 S12

Dall’analisi dello spettro è possibile individuare distintamente solo i primi tre modi della guida TW, mentre sono evidenti gli effetti dei modi risonanti della cavità SW. Nel momento in cui la cavità SW risuona, parte della potenza in ingresso si dirama nella cavità determinando delle piccole cadute in banda di trasmissione (figura 3.6).

Fig. 3.6 Modi 0 e π dall’ S12

Modo 3Modo 2Modo 1

Modo 0 Modo π

Modo πModo 0

32

3.2 Cavità SW dell’ibrido: i modi 0 e π Per verificare che i modi 0 e π effettivamente corrispondano alle risonanze della cavità SW, procediamo ad una serie di misure di Steele nell’intorno delle stesse. Misurando su uno span nell’intorno del modo π (figura 3.7) si ottengono i risultati di figura 3.8. Si noti che è stato evidenziato solo il comportamento della parte stazionaria dell’ibrido.

Figura 3.7 Span intorno alla fπ

Figura 3.8 Campo intorno alla fπ

Effettivamente l’ampiezza del campo segue l’andamento della risonanza. Ci si aspetta però un comportamento leggermente diverso. In figura 3.7 ci si è disposti in maniera simmetrica intorno alla frequenza di risonanza. Si dovrebbe pertanto avere un comportamento simmetrico anche del campo ma questo non accade. Il motivo è la presenza ravvicinata del modo 0 (si veda la figura 3.2). Si è visto, infatti, che effettuando misure di campo nello span ( πff ...0 ) la cavità a SW non si svuota mai completamente. Misurando invece nello span complementare il precedente, cioè oltre la πf e prima della 0f , la cavità SW tende allo svuotamento completo. Procedendo ad una misura simile per il modo 0 si ottengono i risultati di figura 3.9 e 3.10.

Figura 3.9 Span intorno alla f0

Figura 3.10 Campo intorno alla f0

Ancora una volta l’andamento delle ampiezze del campo confermano che ci troviamo in presenza di una risonanza.

34

3.3 Caratterizzazione della guida TW: avanzamenti di fase La guida ad onda viaggiante dell’ibrido è stata progettata in ipotesi di vuoto in modo tale che risulti adattata alla frequenza di 2 /3 11, 424f GHzπ = e che tale frequenza coincida con quella del modo π della cavità ad onda stazionaria. La condizione di adattamento si traduce in termini di avanzamento di fase costante pari a 120° tra una cella e l’altra della cavità TW [11]. Per convenzione a tale frequenza è dato il nome di modo 2π/3. Le nostre misure non vengono condotte in ipotesi di vuoto, pertanto occorrerà scalare la frequenza 2 /3f π di un fattore rε dove

rε è la costante dielettrica dell’aria [14]. Caratterizzare la cavità TW, dunque, vuol dire cercare la frequenza alla quale si ha avanzamento di fase costante e pari a 120°. Si ricordi che, utilizzando il metodo di Steele, misureremo il doppio della fase del campo. Cominciamo la ricerca a partire dallo studio del comportamento della fase in corrispondenza del modo π. Dalle misure di campo alla frequenza di risonanza (figura 3.11) si riscontra uno sfasamento non costante.

Fig. 3.11 Modo π: modulo e fase

Si riportano nella seguente tabella i valori di sfasamento ricavati per le celle della cavità ad onda viaggiante.

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# cavità (deg)φ , 1n nφ +Δ

TW1-coupler 273.1 - TW2 97.23 175.87 TW3 -176 273.23 TW4 -437.3 261.3 TW5 -626.5 189.2 TW6 -894.8 268.3 TW7 -1151 256.2

TW8-coupler -1342 191 Tabella 3. 1 Fase ed avanzamento di fase in cavità TW

Come si nota, tali valori non sono in accordo con quelli teorici per il modo 2π/3. Avendo utilizzato il metodo di Steele per le misure, ci aspetteremmo infatti un 240ϕΔ ° . Dal diagramma polare ci si convince con maggior semplicità del problema esposto.

Figura 3.12 Diagramma polare del campo al modo π

Il vantaggio della rappresentazione polare sta nel fatto che uno sfasamento costante di 240° tra una cella e l’altra si traduce in un diagramma “a fiore” in cui i tre lobi sono equidistanti tra loro, con apertura di 120° tra l’uno e l’altro. In un primo momento, possiamo attribuire l’incongruenza dei nostri risultati a delle perturbazioni di fase causate dal filo su cui scorre l’oggettino o causate dalla variazione delle condizioni ambientali nel laboratorio (in primis della temperatura). Nei paragrafi successivi quantificheremo questi due contributi, dimostrando la loro sostanziale irrilevanza nelle misure della fase.

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3.3.1 Perturbazione del filo Si può procedere al calcolo del campo effettivo sottraendo il contributo che dà il filo e la polvere su di esso. Ricordando che, utilizzando il metodo di Steele, si lavora con quantità complesse, si salveranno le misure di campo in parte reale e parte immaginaria e con una semplice procedura in Matlab ci si ricondurrà ai valori finali di modulo e fase del campo al netto del filo. Lasciando scorrere il filo senza la colla, si ottengono le tre realizzazioni di figura 3.13.

Figura 3. 13 Misura del contributo del filo

Calcolando la media delle tre realizzazioni e sottraendola in parte reale e immaginaria alla misura di campo, si ottiene il risultato di figura 3.14.

Figura 3. 14 Modo π: modulo e fase al netto del filo

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Dalla tabella ci si accorge che i nuovi valori di fase misurati sul campo sono simili a quelli ottenuti senza sottrarre il contributo del filo.

# cavità (deg)con filoφ senza filoφ (deg) T1-coupler 273.1 271.5

T2 97.23 95.36 T3 -176.0 -176.7 T4 -437.3 -439.3 T5 -626.5 -621.6 T6 -894.8 -894.4 T7 -1151 -1156

T8-coupler -1342 -1344 Tabella 3.2 Confronto tra fase del campo con filo, e campo al netto del filo

3.3.2 Perturbazione per variazione della temperatura L’azione della variazione di temperatura è anch’essa trascurabile. Per quantificarne gli effetti abbiamo misurato la frequenza di risonanza del modo π a temperature diverse (figura 3.15).

Figura 3.15 Risonanza del modo π al variare della temperatura

In corrispondenza delle temperature registrate, si hanno le frequenze di risonanza riportate in tabella 3.3.

38

( )T C° ( )f GHzπ 23.4° 11.406258 23.7° 11.406239 24.5° 11.406152 25.1° 11.406064 25.7° 11.405826

Tabella 3.3 Risonanza dei modi π al variare della temperatura Il range di temperature usualmente registrate in laboratorio è compreso tra i 23° e i 26° (figura 3.16). Ciò provoca una max 432f kHzΔ = che si traduce in una max 2ϕΔ ° . Segue che le variazioni di temperatura, ai nostri fini, sono trascurabili.

Figura 3.16 Escursione termica nel laboratorio nell’arco di una giornata di Settembre

L’analisi delle perturbazioni in fase introdotte dal filo e dalla temperatura, ci fa concludere che il modo π non coincide con il 2π/3. Il nostro obiettivo, dunque, diventa la ricerca del modo 2π/3, di quella frequenza alla quale il campo presenta uno sfasamento medio pari a 120°.

3.3.3 Ricerca del modo 2π/3 Procederemo dunque ad una ricerca accurata del modo 2π/3, effettuando 19 misure di avanzamento di fase nello span compreso tra 11.406 GHz (modo π) e 11.424 GHz (frequenza di progetto per il modo 2π/3) a passi di 1MHz (figura 3.17).

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Figura 3. 17 Span di ricerca del modo 2π/3

L’algoritmo di ricerca da noi utilizzato, si può riassumere in cinque punti:

1. Misura del campo: imposteremo il VI di Labview per una misura di Steele con i seguenti parametri:

Tempo di misura (ms) 10000 Lunghezza cavità(cm) 11,7 Raggio del motorino(cm) 0,61 Frequenza di risonanza (GHz) 11.406 Span (MHz) 5 IF Bandwidth (Hz) 300 Numero di punti 1601 Grandezza misurata S11

La frequenza di risonanza verrà incrementata di 1 MHz per ogni misura fino a coprire lo span.

2.Misura d’ampiezza: per ogni misura di campo effettuata verrà calcolato il massimo del modulo per ogni cella della cavità TW. Si otterrà, dunque, un vettore di otto ampiezze per ogni campo dal quale verrà estratta la radice quadrata per ricondursi al valore effettivo del campo.

3.Misura di fase: per ogni misura di campo effettuata verrà calcolata la fase corrispondente

al massimo del modulo per ogni cella della cavità TW. Si otterrà, dunque, un vettore di otto fasi per ogni campo. Il risultato sarà diviso per due per ricondursi al valore effettivo di sfasamento del campo.

4.Calcolo degli avanzamenti di fase: per ogni campo si valuteranno la media e la varianza

del vettore di fasi ottenuto al punto 3.

5.Calcolo della flatness: per ogni campo si valuterà il valore della flatness come:

Modo π Modo 2π/3 da progetto

40

,max minMag MagflatnessMag

−= (1.1)

dove { }1 2 8

11 11 11, ,...,TW TW TW

Mag max S max S max S= Δ Δ Δ . Calcoleremo quindi la

differenza tra il massimo e il minimo dei picchi del campo in TW e lo divideremo per il valor medio calcolato su tutti i picchi.

Implementando l’algoritmo in Matlab si ottengono i risultati di figure 3.18 e 3.19.

Figura 3.18 Dispersione delle fasi e dei moduli dall’S11

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Figura 3.19 Flatness dall’S11

Osservando il grafico della dispersione delle fasi (riquadro superiore di figura 3.18) si nota che, a 11.414 GHz, si ha una media di sfasamento pari a circa 120° mentre il valore della flatness si mantiene pressoché costante intorno al 25%. Riportiamo in figura 3.20 il modulo e la fase del campo a 11.414 GHz.

Figura 3.20 Campo a 11.414 GHz

Per completezza riportiamo anche il diagramma a fiore del campo:

42

Figura 3.21 Campo a 11.414 GHz: diagramma a fiore

La presenza di una dispersione costante delle fasi nello span considerato conferma che la struttura non è tunata, ovvero che i modi π e 2π/3 non coincidono. In futuro si dovrà tunare la cavità SW in modo da trasportare la frequenza del modo π sul 2π/3 e soddisfare così le specifiche di progetto dell’ibrido. L’assenza di una buona flatness è dovuta all’azione interferente di onde riflesse all’accoppiatore della porta P2, la cella TW8. Ci proponiamo, dunque, di ripetere le misure dalla porta P2 per avere informazioni anche sullo stato dell’accoppiatore alla porta P1, la cella TW0. Riportiamo di seguito i risultati di questa nuova operazione.

Figura 3.22 Dispersione delle fasi e dei moduli dall’S22

43

Figura 3.23 Flatness dall’S22

Dalle misure si nota che, a 11.409 GHz, si ha una media di sfasamento pari a circa 120° mentre il valore della flatness presenta un minimo al 20% per f = 11.414 GHz. Riportiamo in figura 3.24 il modulo e la fase del campo a 11.414 GHz .

Figura 3.24 Campo a 11.414 GHz

Avere una flatness migliore avendo effettuato misure alla porta P2 ci fa concludere che l’accoppiatore alla porta P1 rifletta meno di quello della porta P2 studiato nel caso precedente [14]. Questo conferma che l’accoppiatore della P2 sia quello difettoso e su di esso si dovranno fare degli studi per individuare le cause di tale malfunzionamento.

3.3.4 Studio dei modi della guida travelling wave A titolo dimostrativo, riportiamo gli andamenti per tutti i modi della guida d’onda travelling wave dell’ibrido. Tutti i grafici sono stati ottenuti con misure di Steele alla porta P1 e sono disposti in senso antiorario dal modo 1 al modo 7.

44

3.4 Problemi relativi alla misura dell’ampiezza. Durante le varie misurazioni si sono verificate due situazioni “anomale” per quel che riguarda la misura del modulo del coefficiente di riflessione: la saturazione del picco nella parte SW (figura3.25) e la presenza di picchi concavi ancora nella parte SW (figura 3.26). Dei fenomeni analoghi sono già stati studiati in banda S [10].

Figura 3.25 picco saturato

45

Figura 3.26 picco concavo

Prima di procedere all’analisi delle anomalie, è istruttivo studiare la variazione della frequenza di risonanza all’aumentare della quantità di colla utilizzata per le misure.

3.4.1 Perturbazione dovuta alla quantità di colla Per studiare l’entità della perturbazione della frequenza di risonanza dovuta alla quantità di colla utilizzata per fare le misure, abbiamo considerato tre diverse quantità di quest’ultima. Le classificheremo sotto il nome di campione piccolo, medio, grande. Data la difficoltà nel quantificarne esattamente le dimensioni le approssimeremo. Campione grande → circa il doppio del campione medio Campione medio → approssimabile ad un cilindro di 2 0 5l mm , r mm,= = . Campione piccolo → circa la metà del campione medio Facendo scorrere il campione nelle cavità S1 ed S2 della parte SW dell’ibrido, la frequenza di risonanza si sposta proporzionalmente alle dimensioni del campione (si noti che è proprio su questo fenomeno che si basano i metodi perturbativi di Slater e Steele). Riportiamo di seguito i risultati delle diverse misurazioni.

46

Figura 3.27 Perturbazione da campione grande

Figura 3.28 Perturbazione da campione medio

47

Figura 3.29 Perturbazione da campione piccolo

Analizzando i grafici si nota che:

1. ponendo l’oggetto nell’iride e nella cavità a TW, la risonanza non si sposta. 2. ponendo l’oggetto nelle cavità S1 e S2, la risonanza si sposta di una quantità

proporzionale alla grandezza della quantità di colla (Tabella. 3.4).

Campione ( )imperturbataf GHz perturbataf ( )f kHzΔ

Grande 11.406264 11.405645 619 Medio 11.406114 11.405664 450 Piccolo 11.406157 11.406114 43

Tabella 3.4 Variazione della frequenza di risonanza in funzione della grandezza del campione La prima considerazione è dovuta al fatto che nell’iride il campo elettrico è minore che al centro delle cavità S1, S2 e che perturbando la cavità TW, non modifichiamo né il campo né il volume della cavità stazionaria. La seconda considerazione ci porterebbe a scegliere di continuare le misurazioni con il campione piccolo. D’altra parte però, la variazione dell’ S11 sarebbe troppo piccola e determinerebbe rappresentazioni di campo rumorose. Si sceglierà dunque di utilizzare, d’ora in poi, il campione medio, che offre un buon compromesso tra entità della perturbazione ed immunità al rumore. L’analisi fin qui condotta si colloca come premessa alla comprensione delle anomalie di picco saturato e concavo. Infatti, entrambi questi fenomeni si verificano in presenza di forti variazioni della frequenza di risonanza (siamo sull’ordine dei 4-5 MHz) ottenute imponendo oggettini fortemente perturbanti come possono essere, alle nostre frequenze, fili di ferro della lunghezza di 1-2 mm.

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3.4.2 Analisi del picco saturato La spiegazione di questo fenomeno si può ricavare facilmente dall’analisi delle variazioni1 del modulo del coefficiente di riflessione S11 al variare della posizione dell’oggettino nella cavità. Facendo scorrere il pezzetto di filo metallico nella cavità ad onda stazionaria ha luogo un progressivo spostamento della curva dell’S11. In figura 3.30 sono riportati gli andamenti dell’S11 in relazione alla posizione dell’oggettino (‘1’ = l’oggettino è fuori la cavità, ‘2,3,4,5’ = l’oggettino si muove verso il centro della cavità, ‘6’ = l’oggettino è al centro della cavità). La saturazione che si vede in figura 3.25 è dovuta al fatto che, alla frequenza di risonanza, le curve 4,5,6 hanno praticamente lo stesso valore del coefficiente di riflessione.

Figura 3.30 Variazione dell’S11 al passare dell’oggettino

3.4.3 Analisi del picco concavo Questo fenomeno si verifica nel momento in cui si effettuano misure di S11 fuori dalla frequenza di risonanza. Di fatto, il campo in figura 3.26 è ricavato alla frequenza di 11.405 GHz mentre la risonanza si trova a 11.406414 GHz. Come per il caso precedente si farà un’analisi di tipo incrementale (variazione di posizione dell’oggettino, variazione dell’S11) ottenendo le rappresentazioni in figura 3.31.

1 Il PNA effettua la differenza dei due S11, imperturbato e perturbato, che sono numeri complessi. Successivamente ne calcola il modulo e lo rappresenta sullo schermo. PNA: | S11imp – S11p | Nel nostro ragionamento si sottintende invece la differenza dei moduli degli S11 ovvero | S11imp |-| S11p |. Per una valutazione quantitativa degli errori commessi si rimanda al par. 3.4.5.

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Figura 3.31 Variazione dell’S11 al passare dell’oggettino

I numeri a fianco della figura indicano la posizione relativa dell’oggettino nella cavità SW (‘1’ = l’oggettino è fuori della prima cavità, ‘2, 3, 4, ...,6’ = l’oggettino avanza nella prima cavità, ‘7’ = l’oggettino ha superato la prima cavità). Gli andamenti per la seconda cavità risonante sono del tutto analoghi. Tra 1 e 2 la variazione di |S11| assume valore massimo per poi diminuire tra 2 e 3 ed infine aumentare di nuovo tra 3 e 4, 5, e 6. In ultimo diminuisce tra 6 e 7. Lo stesso andamento lo ritroviamo proprio in figura 3.32 qui sotto riportata con i riferimenti numerici.

Figura 3.32 Campo con picco concavo

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3.4.4 Considerazioni sulle fasi Riprendendo quanto detto nella nota 1 al par. 3.4.3, il PNA esegue la differenza dei valori misurati dell’S11 come: 11 11imp pS S− (3.2)

Mentre noi eseguiamo questa differenza: 11 11imp pS S− (3.3)

In sostanza nella (3.3) trascuriamo il contributo della fase che invece è implicitamente contenuto nella (3.2). Graficamente si ha questa situazione:

Figura 3.33 S11imp ed S11p nel piano complesso

Con la (3.2) valutiamo L, con la (3.3) valutiamo L’. Vogliamo ora calcolare l’errore commesso in termini di rapporto percentuale L’/ L . Da semplici considerazioni geometriche si ricava che ( ) ( ) ( )

2 2211 11 11imp p pL S S cos S sin ,α α⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.2)

( ) ( )2211 11imp pL' S S= − (1.3)

Calcolando il rapporto si ottiene:

( )

2

11 112

11 112

11 11

11 11

1 2

1 2

imp imp

p p

imp imp

p p

S SS SL'

L S Scos

S Sα

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠=⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

(1.4)

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Osservando le figure 3.30 e 3.31si nota che le grandezze S11imp e S11p hanno valori simili ed in particolare il loro rapporto può essere stimato intorno a S11imp / S11p = 0.99. Sostituendo questo valore nella (1.4) ed estraendo la radice quadrata si ottiene l’andamento del rate (L’/ L) di figura 3.34.

Figura 3.34 Andamento dell’errore L’/L (%)

L’ andamento del rate mostra che le nostre considerazioni qualitative sul picco saturo e concavo, sono quantitativamente corrette solo se si hanno sfasamenti relativi di 1°-2°. 3.5 Effetti del filo Come ultima analisi ci proponiamo di valutare l’effetto della sezione del filo e della velocità del motorino sulle misure.

3.5.1 Sezione Prendiamo in analisi gli effetti che la sezione del filo ha sulle misure. La necessità di questo studio è sorta nel momento in cui il filo con cui si erano sempre effettuate le misure (avente diametro 0.076 mm) è terminato. Il laboratorio mette a disposizione un filo di diametro 0.083 mm e uno da 0.18 mm. Per confrontare le prestazioni dei tre fili, si effettueranno delle misure di Steele a vuoto (cioè senza l’oggettino). I risultati sono mostrati nella figura 3.35.

52

Figura 3.35 Misure di Steele con fili a diverse sezioni

Come ci si può aspettare, il filo dallo spessore maggiore ha gli effetti maggiori in termini di disturbi sulle misurazioni. Infatti, misurando il campo con il filo da 0.18mm, si incorre nuovamente nel fenomeno del picco saturato. Si è visto che un filo di tale diametro sposta la frequenza di risonanza da GHzf 406411.= a GHzf 40411.= determinando un campo del tipo di figura 3.25. Il filo di 0.083 mm di diametro mette in evidenza un altro comportamento anomalo del campo misurato, prima non visibile chiaramente con il filo di 0.076 mm. Prendiamo in analisi il campo misurato con tale filo (figura 3.36)

Figura 3.36 Effetto del filo

Il campo, in prossimità della chiusura finale dell’ibrido presenta un andamento anomalo, mostrando modulo non nullo. La responsabilità di tale comportamento è da attribuire al filo come si vede sottraendone gli effetti dalla misura (figura 3.37) secondo quanto illustrato al par 3.3.1.

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Figura 3.37 Campo al netto del filo

Risulta quindi decisamente più performante il filo da 0.076 mm in quanto non porta né saturazioni, né alterazioni consistenti del modulo del campo.

3.5.2 Velocità del motorino Ci si chiede se in qualche modo possa essere influente la velocità a cui ruota il motorino sulle misure di campo in termini di effetti del filo. Per verificare l’effettiva consistenza del dubbio, abbiamo effettuato delle misurazioni settando i parametri del VI a tsweep = 5s, 8s, 12s. Riportando i risultati in figura 3.38 si nota come sia ininfluente l’effetto della velocità sul contributo del disturbo da filo.

Figura 3.38 Campo al variare del tempo di misura

Questi risultati, tuttavia, non ci autorizzano a prendere né tempi di misura troppo brevi ( < 10s), né tempi di misura troppo lunghi ( > 10s). Tempi di misura troppo brevi, infatti, metterebbero in

54

oscillazione il filo e il peso che lo mantiene in tensione, falsando le misure di campo. Tempi di misura troppo lunghi rischierebbero di aumentare gli effetti sulla misura delle variazioni ambientali nel laboratorio. D’ora in avanti, il tempo di misura verrà impostato perciò a 10 secondi.

55

Capitolo 4 Caratterizzazione dell’oggetto perturbante Nel presente capitolo affronteremo l’aspetto della caratterizzazione dell’oggetto perturbante da noi utilizzato per effettuare le misure di Slater e di Steele. Si proporranno, all’inizio, alcuni brevi richiami sulla teoria di Slater [8] e di Steele [9], necessari per comprendere l’impostazione delle misure e degli apparati di misura utilizzati. Successivamente si procederà alla caratterizzazione del slaterk nella pillbox di rame presentata nel capitolo 2. Come si vedrà, una serie di problemi relativi alle dimensioni delle pillbox, ci ha spinto alla progettazione e alla realizzazione di un nuovo esemplare con cui determinare, alla fine, il slaterk e il steelek . 4.1 Richiami sulla teoria di Slater e di Steele Le teorie di Slater e Steele, rappresentano dei metodi perturbativi per la misura del campo elettrico. In entrambi i metodi si fa uso di un oggettino perturbante che determina variazioni sui parametri di scattering della cavità sotto esame. Tali variazioni sono messe in relazione al campo elettrico nel punto in cui l’oggettino provoca la perturbazione. Il metodo di Slater stabilisce la proporzionalità del modulo del campo elettrico in una cavità risonante con la variazione di fase del coefficiente di trasmissione S12 secondo l’espressione:

2

0 02z

L slater

EU Q kε

Φ= − (4.1)

dove 12 12imp pS SΦ = ∠ −∠ , 0U è l’energia contenuta nella cavità risonante, 0Q è il fattore di qualità della risonanza, slaterk è la costante di proporzionalità caratteristica dell’oggettino. Dalla (4.1) risulta chiaro che, una volta noto il slaterk è possibile determinare facilmente il campo elettrico in cavità. Il passaggio cruciale del metodo è dunque caratterizzare l’oggetto perturbante e per farlo, tipicamente, si utilizzano cavità in cui il campo elettrico sia noto. Questo è il motivo per cui vengono impiegate le pillbox al modo TM010 che presenta, come visto nel capitolo 3, campo costante sull’asse. Dalla (4.1), infatti, si ricava facilmente la relazione:

2010

00

2slater

L

kE

QU

ε

Φ= − (4.2)

Il metodo di Steele stabilisce la proporzionalità del il campo elettrico in una generica cavità con la variazione del coefficiente di riflessione alla porta di test secondo la relazione: ( ) 22 in p i steele zP j k Eω⋅ Γ −Γ = (4.3)

dove inP è la potenza media in ingresso alla porta, ( )p iΓ −Γ è la variazione del coefficiente di riflessione, steelek è la costante di proporzionalità caratteristica dell’oggettino. Si noti che, a differenza del metodo di Slater, il metodo di Steele consente di ottenere informazioni sia sul modulo che sulla fase del campo in asse ( Γ è una quantità complessa, così come 2

z z zE E E⋅ = ). Per valutare il steelek , possiamo ricorrere ad una relazione valida in una cavità risonante (per esempio una Pillbox) per cui:

56

( )

021

slatersteele

L

kkQ

ε

δ

⋅=

+ (4.4)

Dove LQ è il fattore di qualità della risonanza del coefficiente di riflessione e δ è dato da :

imp p

p imp

f ff f

δ = − (4.5)

In particolare, se risulta 0 1Q δ⋅ allora steele slaterk k . 4.2 Misura del kslater in pillbox di rame Procediamo ora alla misura del slaterk nella pillbox di rame presentata nel capitolo 2 (figura 2.3). La struttura da noi utilizzata è costituita da un supporto di metallo sul quale è fissata la pillbox e da un motorino, a contatto con la struttura, responsabile del movimento dell’oggettino dentro la cavità. I dati registrati dal PNA vengono raccolti ed elaborati da un VI di Labview che implementa i metodi di Slater e di Steele. Impostiamo il VI su una misura di Slater con i seguenti parametri: Tempo di misura (ms) 5000 Lunghezza cavità(cm) 3,5 Raggio del motorino(cm) 0,61 Frequenza di risonanza (GHz) 11.0899 Span (MHz) 25 IF Bandwidth (Hz) 300 Numero di punti 1601 Grandezza misurata S12 Tabella 4.1 Parametri del VI di Labview per la misura di Slater nella Pillbox di rame Lasciando scorrere l’oggettino nella cavità si perviene al risultato di figura 4.1.

Figura 4.1 Misura di Slater sull’asse della pillbox di rame

57

L’andamento del campo, che è proporzionale alla variazione di fase, non rispecchia la forma attesa. Si è visto, infatti, che per il modo TM010 il campo sull’asse è costante. La forma qui riportata potrebbe far pensare ad un disturbo delle antenne, ma prove successive, con accoppiamenti sempre minori, non determinano cambiamenti rilevanti. Il fattore responsabile di questo andamento è la stessa forma della pillbox. La presenza dei due tubi laterali non solo determina lo scostamento delle frequenze di risonanza dai valori teorici, ma influenza anche la forma del campo. Si rende allora necessario la sostituzione della pillbox stessa. A tal fine il laboratorio ne offre una di ottone priva dei due tubi laterali. 4.3 Misura del slaterk in pillbox di ottone Le dimensioni della pillbox di ottone sono le stesse della precedente in rame ( mma 08212 .= e

mmd 1211.= ). Richiamiamo per comodità, le frequenze di risonanza e i fattori di qualità teorici forniti dal programma di simulazione mathematica:

Modo Frequenza (GHz)teoriche Qteorico

TM 010 10.886 8549.16 TE 111 15.849 9710 TM 011 17.327 7255.11 TM 110 17.346 10791.4 Tabella 4.2 Frequenze di risonanza e fattori di qualità teorici

A questo punto occorre verificare che questi valori siano in accordo con quelli realmente misurati con il PNA sulla pillbox. Allestendo l’apparato di misura si ottiene lo spettro di figura 4.2.

Figura 4.2 Spettro S11

Da una lettura delle frequenze di risonanza dei modi si ricava la tabella 4.3:

58

Modo Frequenza (GHz) PNATM010 10.9027840 ± 9.0e-6 TE111 Non visibile TM011 17.3579780± 9.0e-6 TM110 17.4637790± 9.0e-6

Tabella 4.3 Frequenze di risonanza misurate L’incertezza è stata valutata in maniera analoga a quanto fatto nel paragrafo 2.7.1. Per comodità di confronto si riportano le frequenze ricavate teoricamente e quelle ottenute direttamente dal PNA:

Modo Frequenza (GHz)teoriche Frequenza (GHz)PNA TM010 10.886 10.9027840 ± 9.0e-6 TE111 15.849 Non visibile TM011 17.327 17.3579780 ± 9.0e-6 TM110 17.346 17.4637790 ± 9.0e-6

Tabella 4.4 Confronto delle frequenze teoriche e misurate Procediamo ora alla misura del slaterk . Impostando il VI di Labview come nel paragrafo precedente, si perviene al seguente risultato:

Figura 4.3 Campo sull’asse della pillbox d’ottone

Stavolta l’andamento del campo è in accordo con i risultati teorici ricavati nel capitolo 2, tuttavia la misura appare molto rumorosa. Poiché l’incertezza sul slaterk dipende, in generale, dalla rumorosità della misura, ci proponiamo di studiare l’origine dei disturbi e di ridurne gli effetti. Nel paragrafo successivo tratteremo, quindi, le fonti di disturbo sulla fase da noi individuate. 4.4 Analisi e ottimizzazione dei disturbi sulla fase La valutazione della fase nelle misure, è affetta da disturbi dovuti a quattro fattori:

1. Disturbo del filo. 2. Variazione della frequenza di risonanza. 3. Posizione del filo rispetto all’asse della pillbox. 4. Vibrazione del motorino.

59

Analizzeremo i quattro contributi supponendoli indipendenti l’uno dall’altro.

4.4.1.Disturbo del filo. Il filo produce due tipi di disturbi: il ripple e la deriva della fase (figura 4.4).

Figura 4.4 Il disturbo dovuto al filo: ripple e deriva di fase

Il ripple è dovuto alle imperfezioni micrometriche del filo ed aumenta proporzionalmente alla sezione del filo e alle sue impurità. Si configura come un rumore statistico sovrapposto alla misura. La deriva della fase, invece, è un fenomeno legato alla modalità di misura e si configura come una variazione lineare del valor medio della fase. Per una spiegazione qualitativa della sua origine, prendiamo in analisi la figura 4.5.

Figura 4.5 Origine del fenomeno di deriva del filo: stati A, B, C

Nel momento in cui comincia la misura, la fase del sistema “cavità + filo” è posta a zero automaticamente dal VI di Labview (stato A). Via via che il filo posteriore entra nella cavità, si provoca una variazione del sistema rispetto a quello originale (stato B) che comincia a tradursi

60

con una deriva della frequenza di risonanza e quindi della fase. Questo fenomeno è più pronunciato dal momento in cui la quantità di filo posteriore in cavità è maggiore di quella anteriore, cioè dallo stato B in poi (stato C). Gli effetti della deriva del filo, possono essere considerevolmente ridotti diminuendo la sezione del filo come discusso nel paragrafo 3.5.2.

4.4.2 Variazione della frequenza di risonanza. Un’altra possibile fonte di incertezza nella misura della fase è la variazione della frequenza di risonanza durante la misura. Le cause sono in genere riconducibili a variazioni della temperatura e dell’umidità del laboratorio. Se la frequenza di risonanza della cavità varia tra l’inizio e la fine della misura, il PNA registrerà una variazione di fase. Questa variazione è a tutti gli effetti un disturbo. Per valutarne l’entità misureremo la frequenza di risonanza a distanza di 10s per quattro volte ( 10s corrisponde al tempo di andata e ritorno dell’oggettino). Si riportano i risultati in figura 4.6.

Fiura 4.6 Variazione della fase tra inizio e fine della misura

Prendendo come curva dell’ S12 di riferimento quella relativa alla prima misura si ha: 1 012 12S S− 2 012 12S S− 3 012 12S S−

( )f kHzΔ 56.25 81.25 56.25

( )mradΔΦ 0.34 0.51 0.34 Tabella 4.5 Variazione della frequenza e della fase nelle quattro misure effettuate

Valutando il disturbo come il caso peggiore si ha:

61

[ ] ( )0.51; 0.51

resf mradΔΦ = − + (4.6)

Questo disturbo può essere ridotto diminuendo i tempi di misura tenendo conto delle considerazioni svolte in chiusura al capitolo 3.

4.4.3 Posizione del filo rispetto all’asse della pillbox. Il nostro sistema di misura non consente un perfetto allineamento del filo rispetto all’asse ideale della pillbox. Questo si riflette in incertezza sulla fase. Effettueremo pertanto delle misure variando la posizione del filo alla Porta 1 e tenendo fissa la Porta 2 con il filo in posizione centrale. Si perviene al risultato riportato in figura 4.7:

Figura 4.7 Variazione di fase relativa alla variazione di posizione del filo alla porta P1

Dall’analisi delle variazioni picco-picco si ricava ( )1.57posizione mradΔΦ = da cui: [ ]( )0.785 ; 0.785posizione mradΔΦ = − + (4.7)

L’entità del disallineamento è direttamente legata alle nostre capacità di centrare il filo alle porte P1 e P2. La posizioneΔΦ valutata costituisce, dunque, una buona stima dell’incertezza introdotta dal nostro apparato visivo sulla misura.

4.4.4 Vibrazione del motorino. Con l’obiettivo di valutare la sensibilità della struttura alle vibrazioni, abbiamo colpito periodicamente la base di ferro con una punta di metallo e ne abbiamo rilevato gli effetti di disturbo nel grafico della misura di fase. Si riporta il risultato in figura 4.8.

62

Figura 4.8 Effetti delle percussioni sul campo misurato

Compaiono chiaramente dei picchi dovuti alla perturbazione periodica. Questo ci lascia pensare che il disturbo di ripple che abbiamo attribuito soltanto alle impurità del filo, in realtà, sia dovuto anche al movimento del motorino. Esso infatti si trova a contatto con la struttura e le sue vibrazioni si trasmettono alla cavità e quindi alla misura di fase. Per verificare tale ipotesi si è deciso di separare fisicamente il motorino dal resto della struttura (figura 4.9).

Figura 4.9 Apparato di misura con motorino separato

Con questo nuovo apparato andremo a valutare l’entità del ripple. Per farlo, misureremo i disturbi di uno stesso tratto di filo, prima con la struttura con il motorino a contatto, poi con la struttura con il motorino separato. Si ottengono i risultati di figura 4.10.

63

Figura 4.10 Confronto tra i disturbi del motorino a contatto e separato

Il miglioramento è impercettibile. Se valutiamo la deviazione standard sperimentale per i campioni del filo tra 700 e 900 (tratto in rosso) nei due casi si ottiene:

sσ motore separato 0.0076

sσ motore a contatto 0.0095 Procederemo, perciò, d’ora in avanti, con il motore separato dalla struttura di sostegno della pillbox. Possiamo riassumere le considerazioni fin qui svolte sui disturbi, con il seguente schema:

Figura 4.11 Schema ideale dei disturbi sulla misura

Possiamo pensare una misura come sovrapposizione della misura ideale e di tutte le sue non idealità. Procedendo da sinistra a destra, allo schema ideale si aggiungono i disturbi di ripple associati al filo, al motorino e alla variazione della frequenza di risonanza per perturbazioni ambientali. Si aggiunge poi la deriva di fase dovuta al sistema “cavità + filo” ed infine lo shift di posizione dovuto al disallineamento. Ovviamente questo schema ha valenza puramente illustrativa. Non è possibile, infatti, separare i contributi di ripple in una misura riconducendoli alle tre cause da noi individuate. 4.5 Calcolo del slaterk in pillbox di ottone Terminate le nostre considerazioni sui disturbi, passiamo alla valutazione del slaterk . Per eliminare la deriva di fase, si è scelto di effettuare una misura sul filo che ospiterà successivamente la

64

colla. Questo ci permette di sottrarne l’effetto dalla misura di fase del sistema “filo + colla”e di ottenere i risultati di figura 4.12.

Figura 4.12 Eliminazione del disturbo del filo

Per valutare il slaterk dovremo applicare la relazione:

2

00

2slater

zL

kE

QU

ε

Φ= − (4.8)

Dove Φ è la fase dalla misura di slater, LQ è il fattore di merito in trasmissione, 2

0

zEU

è il rapporto tra

campo sull’asse ed energia nella cavità. Valutiamo i singoli parametri.

4.5.1 Valutazione di Φ Per valutare Φ prendiamo l’intervallo di campioni 722 922 ÷ (figura 4.13) e calcoliamo il valor medio e la deviazione standard sperimentale.

Figura 4.13 Campioni utilizzati per il calcolo del kslater

65

Si ottiene:

Φ -7.8906 (deg) -0.13772 (rad) σΦ 8.2501e-04 (deg) 0.144e-04 (rad)

Valutando la deviazione standard come l’incertezza della misura relativa alla fase, si ha: ( )0 014.u mradσΦ Φ = (4.9)

Da cui: ( )137.72 0.014 mradΦ = − ± (4.10)

Con questa valutazione abbiamo implicitamente considerato i disturbi di ripple, di variazione di frequenza di risonanza e di vibrazione del motorino. Dovremo però includere l’ incertezza sulla posizione. Per farlo le attribuiamo una distribuzione di probabilità uniforme, quindi del tipo:

( ) [ ]1 , ;2

a aa

ϕ ϕΦ = ∈ − + (4.11)

Valutando l’incertezza con lo scarto quadratico medio si ha:

3

au σ = (4.12)

Considerando la distribuzione (4.7) si ha:

[ ]( )0.785 ; 0.785posizione mradΔΦ = − + Da cui si ricava:

( )0.785 0.4533 3posizione

au mrad= = = (4.13)

Trattandosi di processi aleatori indipendenti, allora la valutazione dell’incertezza complessiva è pari a : 2 2

TOT posizione posizioneu u u uΦ Φ= + (4.14)

Per cui: ( )137.72 0.45 mradΦ = − ± (4.15)

4.5.2Valutazione di LQ Per valutare il LQ in trasmissione basta calcolare nel grafico dell’ S12 la quantità:

3

resL

dB

fQf

=Δ

(4.16)

In figura 4.14 si riporta il grafico dell’S12.

66

Figura 4.14 S12 relativo al modo π in pillbox di ottone

Dal grafico si ricava:

resf 10.899000 GHz

13dBf 10.903111 GHz

23dBf 10.894797 GHz Tabella 4.6 frequenze per il calcolo del QL

Dalla tabella si ricava 1311.08LQ =

4.5.3 Valutazione di 2

0

zEU

Riportando la (1.62) si ha ( )2

2 20 1 0,1

2zEU ha Jπε χ

= con 10.54a mm= , 11.12h mm= e

( )21 0,1 0.2695J χ = . Da ciò si ricava:

( )2

30 1912208,9zE

mU

ε −⋅ = (4.17)

4.5.4 Valutazione del slaterk

Inserendo il valor medio della fase nella (4.8) si ha 1227.33 10slaterk −= ⋅ . Per calcolare l’ incertezza su questo valore ricorreremo alla valutazione ottimista (o di tipo A): data una

( , , )y f a b c= con ,a b cu u u , incertezze di a ,b , c , l’incertezza associata a y sarà calcolabile come:

2 2 2

2 2 2y a b c

f f fu u u ua b c

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ (4.18)

67

Nel nostro caso si avrà semplicemente:

2

02

TOT

slaterk

L

uu

EQ

Uε

Φ= (4.19)

Da cui: 120.09 10

slaterku −= ⋅ (4.20)

In definitiva abbiamo caratterizzato la colla utilizzata nelle misure, con un slaterk pari a: ( )12 12 327,33 10 0,09 10slaterk rad m− −= ⋅ ± ⋅ ⋅ (4.21)

4.6 Verifica sul modo TM011 Un utile verifica della bontà del slaterk trovato, si può fare andando a misurare il campo elettrico per modi diversi dal TM010. Il slaterk , infatti, è caratteristico dell’oggetto e non dipende, perciò, dal modo in cui si opera. Invertendo la (4.8) si ha:

2

0 02z

L slater

EU Q kε

Φ= − (4.22)

Il primo membro è calcolabile con un qualunque programma di simulazione mentre la fase si ottiene con una misura di Slater al modo scelto. La pillbox a nostra disposizione presenta i modi TM110 e TM011 a frequenze ancora rilevabili dall’analizzatore di rete. Richiamiamo la formula per le frequenze dei modi TM.

2 2

,, ,

n mn m p

pca h

χ πω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ (4.23)

Dalla (4.23) si ricava facilmente che, con 10.54a mm= e 11.12h mm= , risulta: Modo Frequenza (GHz) TM011 17.335 TM110 17.345 Ora, il campo elettrico sull’asse relativo al modo TM110 è nullo, come si può facilmente verificare dalla (2.54) sostituendo gli opportuni indici. Per il TM011, invece, il campo è non nullo ed è dato dalla (2.56). Valutandolo con Mathematica, ad esempio, si ha:

2 2

162

0

zE VU m J

⎛ ⎞= 17.06169⋅10 ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.24)

Graficamente l’andamento è riportato in (figura 4.15):

68

Figura 4.15 Campo per il modo TM011

Se la situazione dal punto di vista teorico è chiara, lo stesso non si può dire dopo aver effettuato le prime misure sperimentali. Cominciamo con il mostrare la distribuzione dei modi TM011 e TM110 (figura 4.16).

Fig. 4.16 modi TM011 e TM110

Le frequenze di risonanza sono:

Modo Frequenza (GHz) TM011 17.330163 TM110 17.468529

69

Procedendo alle misure di slater sull’asse per ognuno dei due modi si ottengono i risultati di figura 4.17.

Figura 4.17 Misure di Slater per i modi TM011 e TM110

Le misure sono decisamente contro le previsioni teoriche che abbiamo fatto fino a questo momento. I motivi sono due:

1. Il modo TM011 presenta un campo molto rumoroso, ma conserva la forma del campo che teoricamente ci si dovrebbe aspettare.

2. Il modo TM110 presenta un campo corrispondente alla forma che ci si dovrebbe aspettare per il TM011.

Con questi dati in mano le uniche ipotesi che si possono fare sono:

1. Le frequenze di risonanza sono invertite. Risulta cioè:

Modo Frequenza TM110 17.330163 TM011 17.468529

2. Gli effetti della risonanza del modo TM011 si ripercuotono sul modo TM110. Si ha cioè un

fenomeno di interferenza. Questi due effetti sono riconducibile rispettivamente a due cause:

1. Le dimensioni della pillbox in nostro possesso non sono quelle reali. 2. I LQ di risonanza sono troppo bassi.

Prendiamole in analisi.

70

1. Le dimensioni della pillbox in nostro possesso non sono quelle reali. Le frequenze di risonanza dei modi TM011 e TM110 si possono esprimere come funzione dell’altezza h della pillbox e del raggio a . Infatti, nota la relazione (4.23) si possono ricavare le funzioni:

1103.83172 f c

aπ = ⋅ (4.25)

2 2

0112.40482 f c

a hππ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (4.26)

Se grafichiamo gli andamenti di 110f e 011f fissato il raggio 10.54a mm= otteniamo la figura 4.18:

Figura 4.18 Andamenti di f011 e di f110

Si nota come l’intersezione tra le due curve sia situata proprio in prossimità del valore di

11.12h mm= . Basta un incertezza inferiore al mezzo millimetro di lunghezza per provocare l’inversione delle frequenze di risonanza. Evidentemente, nel nostro caso, la pillbox ha un’ altezza minore di quella dichiarata ( 011 110f f> ).

2. I LQ di risonanza sono troppo bassi. Con le pillbox a nostra disposizione, tipicamente, ci si aspetta dei 1500LQ per le risonanze dei modi TM011 e TM110. Teoricamente ci si aspetterebbe un valore quattro volte superiore, ma la rugosità del materiale e l’assenza di brasatura, provocano una brusca diminuzione dei

LQ (si veda par. 2.7.3) Ricordiamo che:

3

LdB

f Qf

=Δ

(4.27)

Se riportiamo le bande a 3dB relative alle risonanze si ha:

71

Modo Frequenza (GHz) Banda (MHz) TM110 17.335 11.55 TM011 17.345 11.56

Si noti che le bande a 3dB delle risonanze tendono a sovrapporsi determinando l’interferenza dei campi e quindi la composizione costruttiva o distruttiva degli stessi. Questo poi si riflette nell’andamento anomalo del modulo dell’S12 da noi misurato in corrispondenza della risonanza a frequenza maggiore.

Dall’analisi svolta, risulta impossibile verificare la bontà della calibrazione del slaterk attraverso la verifica su modi TM a frequenze superiori. La limitazione maggiore deriva dall’eccessiva vicinanza dei modi TM011 e TM110. Ci proponiamo, a questo punto, di progettare una nuova pillbox più performante. 4.7 Realizzazione di una pillbox in ottone in banda X Le specifiche del nostro progetto sono:

• 010,011,110 20f GHz< • Modi TM011 e TM110 sufficientemente distanti.

Per soddisfare tali specifiche possiamo agire su due parametri liberi, il raggio della pillbox a e la sua altezza h . Decidiamo di conservare la misura del raggio originale pari a 10.54a mm= . Essendo:

0,10102 f c

aχ

π = (4.28)

Si ottiene 010 10.886183f GHz= . Se fissiamo il raggio, oltre alla 010f viene fissata anche la 110f . Sfruttando la (4.25) infatti si ha

110 17.345692f GHz= . Nel progetto della 011f impiegheremo il parametro altezza. Tenuto conto di un incertezza di circa 0.5 mm nella costruzione meccanica della cavità, un’altezza ottimale potrebbe essere

12.18h mm= . Discutiamo graficamente i vantaggi di questa scelta (figura 4.19).

Figura 4.19 Andamenti di f011 e di f110 e scelta dell’altezza h

72

Nel grafico è evidenziata l’area A relativa all’ incertezza sull’altezza h e quindi sulla 011f . Si riportano i valori in tabella:

Altezza h (mm) Frequenza f011 (GHz) Banda (MHz) 12.18 16.431 10.95

12.18 + 0.5 16.070 10.71 12.18 – 0.5 16.829 11.12

La banda è stata calcolata prevedendo un 1500LQ . Con questo dimensionamento, la minima distanza tra i modi TM011 e TM110 risulta pari a 914 MHz che è molto maggiore della banda a 3dB pari, in media, a 11 MHz. Riepiloghiamo di seguito le caratteristiche della pillbox.

a 10.54 mm h 12.18 mm 010f 10.886183 GHz

011f 16.430674 GHz

110f 17.345692 GHz Tabella 4.6 Dimensionamento della nuova pillbox in ottone

4.8 Dal progetto alla realtà Con grande celerità, l’officina a nostra disposizione è riuscita a fabbricare una pillbox che rispondesse alle specifiche elencate al paragrafo precedente. Per ragioni di realizzabilità, tuttavia, le dimensioni sono state leggermente modificate come riportato in tabella.

Dimensioni Progetto Officina a 10.54 mm 10 mm h 12.18 mm 13 mm

Le piccole modifiche apportate non compromettono le specifiche di progetto. Dal punto di vista teorico, infatti, le frequenze dei modi appaiono ancora sufficientemente distanziate:

Modo Progetto Progetto modificato TM010 10.8862 GHz 11.4743 GHz TM011 16.4307 GHz 16.2669 GHz TM110 17.3456 GHz 18.2824 GHz

Andando ad effettuare le misure sullo span da 10Hz a 20GHz, troviamo lo spettro dell’S12 riportato in figura 4.20.

73

Figura 4.20 Spettro S12 della pillbox progettata

Dalla misura si ricavano le frequenze per i tre modi visibili. Riportiamo in tabella le frequenze misurate e le frequenze teoriche.

Modo Progetto modificato Misurate TM010 11.4743 GHz 11.4407 GHz TM011 16.2669 GHz 16.1606 GHz TM110 18.2824 GHz 18.2161 GHz

Le frequenze misurate sono in buon accordo con quelle attese teoricamente. Con questa nuova pillbox, ci proponiamo dunque di rivalutare il slaterk sul TM010 e di verificarne la bontà sul modo TM011.

Procedendo come nel paragrafo 4.5 si ottiene un valore per 2

zEU

pari a:

( )2

17 2 22.05356 10 /zEV m J

U= ⋅

Si misura inoltre un 010 1656LQ = . Valutando il valor medio della fase e la deviazione standard sperimentale, si perviene al risultato finale per cui: ( )12 12 3' 23.418 10 0.09 10slaterk rad m− −= ⋅ ± ⋅ ⋅ (4.29)

Procediamo alla verifica sul modo TM011. Un metodo alternativo per operare una verifica ai modi superiori, può essere quello di “fittare” l’andamento della fase dalla misura di Slater, con la curva teorica per il modo. Questo è quello che implicitamente abbiamo fatto anche al TM010 dove, di fatto, abbiamo fittato la fase con una costante. Procedendo al fitting sul modo TM011 si ottengono le curve di figura 4.21 dove si riportano l’andamento di campo misurato e quello relativo all’operazione di fitting.

74

Figura 4.21 Curva di campo misurato e curva di fit

Dal fit del campo si ricava un slaterk pari a: ( )12 12 3'' 17 10 10 10slaterk rad m− −= ⋅ ± ⋅ ⋅ (4.30)

Abbiamo ottenuto, in definitiva, tre valori differenti per il slaterk :

( )12 12 327,33 10 0,09 10slaterk rad m− −= ⋅ ± ⋅ ⋅

( )12 12 3' 23.418 10 0.09 10slaterk rad m− −= ⋅ ± ⋅ ⋅

( )12 12 3'' 17 10 10 10slaterk rad m− −= ⋅ ± ⋅ ⋅ Valutando il valor medio e propagando l’incertezza secondo la (4.18) si ha: ( )12 12 322.6 10 3.3 10slaterk rad m− −= ⋅ ± ⋅ ⋅ (4.31)

Questo è il valore finale che adotteremo per il calcolo quantitativo degli andamenti di campo. 4.9 Misura del ksteele Per valutare il steelek , ricorriamo alla relazione (4.4) valutando il 0Q δ⋅ nella nostra nuova Pillbox. Misurando al modo TM010 il coefficiente di riflessione S11 imperturbato (oggettino fuori della cavità) e perturbato (oggettino nella cavità), si ha l’andamento di figura 4.22.

75

Figura 4.22 Perturbazione della frequenza di risonanza dell’S11

Procedendo con l’algoritmo di fitting contenuto nel file matlab S11fit_delta_attenuation.m, possiamo ricavare il 0Q della risonanza ed il β dell’accoppiamento. Si ha 0 2653Q = e

0,80β = da cui si ricava ( )0 / 1 1474LQ Q β= + = . Calcolando ilδ si ottiene 58,08 10δ −= ⋅ da cui si conclude facilmente che 0steele slaterk kε . A conclusioni analoghe si giunge prendendo in analisi la cavità SW dell’ibrido. Dal paragrafo 3.4.1, infatti, sappiamo che la perturbazione indotta alla frequenza di risonanza per un campione medio è di circa 450 kHz mentre il LQ continua ad assumere valori dell’ordine del migliaio.

76

Capitolo 5 Misure di campo e.m. quantitative sull’ibrido in banda X In questo capitolo ci proponiamo di valutare quantitativamente le misure di campo presentate al capitolo 3. Utilizzeremo la costante kslater per determinare il campo elettrico normalizzato all’energia del modo π nella cavità SW, e la costante ksteele per determinare il campo elettrico normalizzato alla potenza dei modi π e 2π/3 nelle cavità SW e TW dell’ibrido. 5.1 Modo π: campo nella cavità SW con Slater Il campo nella cavità SW del gun può essere determinato operando delle misure di Slater calibrando con il kslater ricavato precedentemente secondo la formula:

00 2

z

L slater

EQ kU ε

Φ= − (5.1)

Avendo calibrato l’oggettino nella pillbox possiamo procedere alla misurazione del campo elettrico normalizzato sull’energia nella cavità ad onda stazionaria del gun ibrido. Per far questo impostiamo il banco di misura collegando i cavi del PNA alle porte P1 e P3 del gun. Lo spettro in trasmissione è quello riportato in figura 3.2. Il modo π risuona a 11.4064f GHzπ = ed è a questa frequenza che andremo a lavorare. Impostiamo il VI di Labview con questi parametri:

Tempo di misura (ms) 5000 Lunghezza cavità(cm) 2,5

Raggio del motorino(cm) 0,61 Frequenza di risonanza (GHz) 11.4064

Span (MHz) 5 If Bandwidth (Hz) 300 Numero di punti 1601

Grandezza misurata S12 Avviata la misura, si ottiene l’andamento per la fase riportato in figura 5.1.

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Figura 5.1 Misura di Slater in cavità SW

Si noti che la fase alla fine della seconda cella della cavità SW non è nulla. Come abbiamo visto in precedenza, il fenomeno è principalmente dovuto alla deriva di fase causata dal filo. Poiché l’oggettino è stato calibrato, non è possibile valutare separatamente il contributo del filo da quello dell’oggettino. Possiamo però fare alcune considerazioni. Il filo presenta una deriva in fase con caratteristico andamento crescente (si riveda figura 3.35). Se supponiamo che nella cavità si abbia un contributo dello stesso tipo, possiamo prendere i primi 40 punti della misura, gli ultimi 40 punti, e quindi interpolarli con un polinomio. Implementando questa procedura con Matlab, e fermandosi al primo ordine del polinomio si ottiene la retta y mx q= + con i parametri: ( ) 511 61 0 32 10, ,m −= − ± ⋅

0 0199 0 0036, ,q = − ± Tracciando il valor medio si ottiene la retta in figura (figura 5.2).

Figura 5.2 Misura di Slater e polinomio interpolatore al 1° ordine

Sottraendo quest’andamento ipotetico per la deriva del filo alla misura di fase nella cavità, si ottiene figura 5.3.

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Figura 5.3 Campo al netto del filo

La valutazione del campo elettrico sull’asse, a questo punto, è immediata. Richiamando la relazione (5.1) inserendo il valore ( )12 12 322,6 10 3,3 10slaterk rad m− −= ⋅ ± ⋅ ⋅ della

(4.31), la frequenza di risonanza 11.4064f GHzπ = e il 5127LQ = , otteniamo figura 5.4.

Figura 5.4 Campo elettrico normalizzato all’energia nella cavità SW

Si noti che la misura di slater è utile solo nella cavità risonante. Se estendiamo la misurazione anche alla cavità ad onda viaggiante, ci aspettiamo di registrare una variazione di fase praticamente nulla. Per verificarlo, modifichiamo i parametri del VI di Labview in modo da far percorrere all’oggettino tutta la cavità:

Tempo di misura (ms) 20000 Lunghezza cavità(cm) 11.7

Raggio del motorino(cm) 0,61 Frequenza di risonanza (GHz) 11.4064

Span (MHz) 5 If Bandwidth (Hz) 300 Numero di punti 6401

Grandezza misurata S12

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Procedendo alla misurazione si ottiene l’andamento di figura 5.5:

Figura 5.5 Misura di Slater in cavità SW e TW

Si noti l’andamento crescente della deriva di fase. 5.2 Modo π: campo nella cavità SW e TW con Steele Prendiamo in analisi, ora, il modo π , per il quale calcoleremo il valore del modulo del campo e della fase, servendoci della caratterizzazione del steelek del par 4.9. Riprendiamo la relazione: ( ) 22 in p i steele zP j k Eω⋅ Γ −Γ = (5.2)

Separando modulo e fase si ha:

2

2 in p i steele zP k Eω⋅ Γ −Γ = (5.3)

( ) 90 2p i zE∠ Γ −Γ = °+ ⋅∠ (5.4)

Da ciò si ricava immediatamente:

22z p i

in steele

E

P kωΓ −Γ

= (5.5)

( ) 90

2p i

zE∠ Γ −Γ − °

∠ = (5.6)

Nel caso del modo π si ha 11.4064f GHzπ = . Il ( )22 20 1.99 10steele slaterk k rad F mε −= ⋅ ⋅ ⋅ .

Procedendo alla misurazione del 11ΔΓ si ottiene il campo in figura 5.6.

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Figura 5.6 Misura di Steele per il modo π

Scalando la figura 5.8 secondo la (7.5) e (7.6) si perviene al grafico finale del campo elettrico su radice di potenza di figura 5.9.

Figura 5. 9 Campo elettrico per il modo π

Per completare la caratterizzazione del modo calcoliamo il rapporto /z zSW TW

E E . Questo è in genere progettato per assumere valori tra 2 e 3. Nel nostro caso, valutando il valor medio di ampiezza per la cavità SW e TW, si ottiene / 2.03z zSW TW

E E = .

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5.3 Modo 2π/3: campo nella cavità SW e TW con Steele Prendiamo in analisi, ora, il modo 2π /3, per il quale calcoleremo il valore del modulo del campo e della fase, servendoci della caratterizzazione del steelek del par 4.9. La frequenza a cui faremo riferimento è quella valutata nel par.3.3.3 nell’analisi degli sfasamenti dall’S11. Si ha cioè 2 /3 11.414f GHzπ = . Procedendo come nel paragrafo precedente, si ottiene il campo elettrico normalizzato alla radice della potenza di figura 5.10.

Figura 5.10 Campo elettrico per il modo 2π/3

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Capitolo 6 Conclusioni e sviluppi futuri Lo scopo principale di questa tesi era di caratterizzare dal punto di vista elettromagnetico il gun ibrido in banda X. Per farlo sono stati utilizzati diversi strumenti messi a disposizione dal laboratorio, tra cui un analizzatore di rete PNA della Agilent Technologies, un VI di Labview per il controllo di un motorino Ipses e l’elaborazione delle misure, diverse pillbox per la caratterizzazione degli oggetti perturbanti. Abbiamo cominciato le misure sull’ibrido in maniera qualitativa, senza cioè interessarci dei valori numerici assunti dal campo elettrico all’interno delle cavità risonanti e ad onda viaggiante. Per effettuare in maniera corretta le misure è stato necessario calibrare l’analizzatore di rete alla porta di misura ed adattare le altre due porte dell’ibrido. Questa operazione, di per sé semplice, si è rivelata molto problematica a causa delle caratteristiche intrinseche del VI di Labview utilizzato. Il VI infatti, aveva tra le istruzioni iniziali un comando di preset dell’analizzatore, il che rendeva vana qualunque calibrazione precedentemente effettuata. Il problema è stato risolto cancellando l’istruzione di preset ed inserendo alcune righe di comando che caricano le impostazioni di calibrazione definite dall’utente per la misura. Tra gli sviluppi futuri si può pensare di modificare e migliorare il VI, in modo da semplificare il processo di salvataggio e richiamo delle calibrazioni da parte dell’utente. Secondo le specifiche di progetto, il modo π della cavità ad onda stazionaria, sarebbe dovuto coincidere con il modo 2π/3 della cavità ad onda viaggiante. Purtroppo questa specifica non è stata rispettata, come hanno dimostrato le misure alla frequenza del modo π. La nostra attenzione si è dunque spostata alla ricerca della frequenza del modo 2π/3, definita operativamente come quella frequenza alla quale si ha un avanzamento di fase costante in tutte le celle della cavità ad onda viaggiante e pari a 120°. Inizialmente abbiamo misurato con il metodo di Steele dalla porta P1, successivamente abbiamo ripetuto le stesse misure dalla porta P2. I risultati in termini di flatness del campo sono risultati sufficientemente diversi da indurci a pensare che l’accoppiatore della porta 2 presenti dei problemi tecnici su cui in futuro sarà necessario indagare anche attraverso nuove simulazioni numeriche. Contemporaneamente alle misure sui modi π e 2π/3, sono stati portati avanti una serie di studi e considerazioni su alcune anomalie registrate sull’ampiezza del campo misurato: i fenomeni del picco saturato e del picco concavo. Di questi è stata data una spiegazione intuitiva supportata da alcune considerazioni sull’errore commesso nel trascurare il contributo delle fasi del campo alla misura dell’ampiezza della differenza dei coefficienti di riflessione perturbato e non perturbato. Dopo aver completato le misure qualitative di campo, ci siamo occupati di caratterizzare l’oggettino perturbante con cui abbiamo effettuato tutte le nostre misure. Date le dimensioni dell’oggettino e la sua natura (goccia di colla) non è stato possibile riferirsi a qualsiasi formula nota in letteratura, ma è stato necessario calibrarlo in modo sperimentale. Per fare questo, abbiamo utilizzato dapprima una pillbox di rame, poco performante a causa della sua forma, successivamente una pillbox di ottone, anch’essa poco performante a causa dell’eccessiva vicinanza dei modi TM011 e TM110, ed infine una nuova pillbox di ottone, progettata appositamente da noi per consentire la verifica ai modi superiori dei valori del kslater trovati. Per determinare il ksteele abbiamo utilizzato una formula ricavata recentemente da studi intorno alla teoria di Steele, per la quale molti aspetti sono ancora da analizzare e sviluppare. Una volta calibrato l’oggetto perturbante, abbiamo misurato quantitativamente il valore del campo elettrico per i modi π e 2π/3. Per il primo abbiamo valutato il campo sia con il metodo di Slater, per la parte stazionaria, che con il metodo di Steele per tutta la lunghezza dell’ibrido. Per

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il secondo abbiamo valutato il campo utilizzando la sola teoria di Steele non avendo, di fatto, campo elettrico nella cavità stazionaria. Occorrerà verificare la bontà dei risultati ottenuti confrontando i plot con le simulazioni numeriche in HFSS.

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Bibliografia

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Ringraziamenti Esattamente tre mesi fa mi ero presentato dal prof. Palumbo con un’ idea chiara in testa, quella di sporcarmi finalmente le mani, di calare nel concreto di una tesi sperimentale tutta l’aulica teoria che mi avevano insegnato nel triennio. E’ stato così, e me ne sono accorto nel momento in cui mi sono ritrovato a limare le antenne per renderle il meno accoppiate possibile con la cavità, nel momento in cui mi si spezzava il filo per le misure dopo la fatica estenuante di infilarlo in un buco micrometrico (e guarda caso era anche l’ultimo esemplare da 0.076 mm a mia disposizione), nel momento in cui il super-attack rivelava la sua vera natura proprio sulle mie dita, nel momento in cui ogni pillbox aveva un problema suo caratteristico che non potevo minimamente prevedere. Tutto questo può sembrare soltanto snervante, ma ora mi rendo conto di quante cose mi ha fatto imparare. Una per tutte: l’evento più straordinario, è stato il progetto di una pillbox nuova di zecca, che rispondesse ai miei desideri. E’ stato uno di quei momenti in cui un’idea che prende corpo da un’esigenza specifica, si trasforma in solida realtà, quella di un cilindro di ottone! E’ stato assolutamente indescrivibile vedere entrare Andrea nel laboratorio con 2 pillbox nuove di zecca (su cui ricominciare a fare le misure…). A lui vanno una buona fetta dei miei ringraziamenti: per il supporto teorico-metodologico che mi ha dato durante i primi approcci alla realtà delle misure, per avermi fatto conoscere meglio Statistica, Varianza e tutte le loro amiche, per avermi stimolato a fare bene e classificare con cura e ordine tutto ciò che vedevo, per aver aderito a tutti i miei dubbi ed averli in gran parte ampliati, per avermi svelato alcuni provvidenziali trucchi di Matlab. A fianco ad Andrea, ringrazio Luca per il suo lavoro iniziale di affiancamento agli strumenti e per la sua disponibilità e competenza. Inevitabilmente, quando vai in un laboratorio dove hanno lavorato decine di studenti prima di te, finisci col pensare che forse anche la tua tesi sarà oggetto di studio per qualcuno. E’ stata questa l’idea che ha fatto nascere il secondo capitolo della tesi, dove ho cercato di realizzare un compendio della teoria e dei metodi di misura intorno alle cavità cilindriche che forse eviterà ad altri, lunghe ed insoddisfacenti ricerche. Per concludere devo ringraziare tutti coloro che hanno fatto contesto intorno a me in questi tre mesi: i miei compagni di università, per aver sopportato le mie euforie sulle cavità e sulla statistica, i colleghi con cui ho manifestato, per avermi spinto ancor di più ad apprendere ed assaporare una tesi sperimentale, i miei amici, per il loro insostituibile sostegno ed interessamento, i miei genitori, per la loro flessibilità ai miei imprevedibili orari ed impegni e per la loro pazienza. Infine grazie al prof. Palumbo per l’insostituibile esperienza che mi ha offerto.