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FISICA DEL SISTEMA CARDIOCIRCOLATORIO

A. Fondamenti di reologia

B. Il circuito cardiocircolatorio

C. Dati relativi al sistema cardiocircolatorio

D. Fenomeni di elasticità nei condotti del sangue

Conferenza organizzata dalla Fondazione Livia Tonolini e dalla Sezione Mathesis di Bergamo, a cura di F. Tonolini il 22 aprile 2005

quantità di una grandezza=intervallo di tempo

1. Portata

Fondamenti di reologia

=intervallo di tempo x area della superficie

2. Corrente quantità di una grandezza

3. Fluido che scorre in una condotta

a) Portata Volumetrica πv = volumeintervallo di tempo

= Sv∆t∆t

= Sv

b) Portata di massa πm = ρ πv

c) Portata in peso πp = γ πv

2

Fondamenti di reologiaEffetto di una stenosi e di un varice sulla velocità del fluido

3

Fondamenti di reologiaVelocità del fluido a varie postazioni e in corrispondenza di ramificazioni

4

4. Moto stazionario di un fluido: la velocità è costante in ogni punto del condotto


5. Moto permanente: portata costante (nessuna sorgente, nessun pozzo)

6. Trasporto della quantità di moto in regime laminare (gli strati di fluido mantengono la loro individualità)

5

Fondamenti di reologiaViscosità dei fluidi

Trasporto della quantità di moto in un regime laminare

6


7. Legge di Newton

Sforzo di taglio FS

= – η ∆vY

=

7


8. Legge di Newton espressa mediante la corrente della quantità di moto Q = mv

F = ma = m dvdt

d(mv)dt

= = dQdt

2a legge della dinamica

La legge di Newton sullo scorrimento dei fluidi diventa

FS

= dQSdt

= Corrente di quantità d moto JQ

JQ = – η ∆vY

= – η · gradiente di velocità

8


9. Unità di misura della viscosità

N·sm2 cm2

Nel SI Nel SGSdina ·s

1cm2

dina ·s= 1 poise 1 cp = 10–2 poise

9


10


10. Liquidi newtoniani e non newtoniani

a) Liquidi newtoniani : η = costante

b) Liquidi non newtoniani : η dipende dal gradiente di velocità

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Reogrammi di liquidi newtoniani e non newtoniani

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Regime laminare

Regime di Poiseuille

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11. Legge di Poiseuille in regime laminare in condotto cilindrico

v = ∆p4 η l

a) liquido ideale: profilo rettangolare

b) liquido reale: profilo parabolicoSi può mostrare infatti che: (a2 - r2)

Per r = a v= 0

Per r = 0 vmax =∆p

4 η la2

v =vmax

2∆p

8 η la2

=

La portata πv = Sv π= ∆p8 η l

a4 legge di Poiseuille

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12. Resistenza fluidodinamica

= ∆pπa4

Dalla legge di Poiseuille

Poniamo:

∆V

8 η l

resistenza fluidodinamica

πv

πa4

8 η l = Rf

Per analogia con la legge di Ohm: = Ri

Abbiamo: ∆p Rf= • πv

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13. Condotti in serie e condotti in paralllelo

=Per condotti in serie Rf Rf1+ Rf2+... + Rfn

= Per condotti in paralleloRf

1 + Rf1

1 + Rf2

1 ... + 1Rfn

Rc (capillare) > Ra (arteriole) > R (aorta)

ma

Rtotale (arteriole) = Na

Ra

Rtotale (capillare) = Nc

Rc16


Regime vorticoso e numero di Reynolds

Vc = Rlη

aρ

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14. Regime vorticoso - numero di Reynolds

= VcRl ηa ρ

Vc = velocità critica

Rl ≈ 2000 per vasi lontani da gomiti, ostruzioni, curvature

In caso contrario:

Rl < 2000 e la velocità critica dimiuisce

Il regime lamiare è silenzioso, quello vorticoso è rumoroso

18


Resistenza fluidodinamica

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Fondamenti di reologiaConservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli

20

Fondamenti di reologiaConservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli

Posizione orizzontale del corpo e tratto breve del condotto

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Il circuito cardiocircolatorioConservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli

Linea del carico totale di un liquido ideale

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Linea dei carichi nel caso di un liquido viscoso: perdita di carico

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Linea del carico totale di un liquido ideale con effetto di una pompa

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Linea dei carichi totali nel caso di liquido viscoso. Ripristino della perdita di carico per mezzo di una pompa

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Circuito sanguigno del corpo umano

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Circuito sanguigno del corpo umano

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Schema della macchina cuore come pompa

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Schema delle fasi di un ciclo della macchina cuore

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Andamento delle pressioni nell’aorta, nel ventricolo e nell’atrio in funzione delle variefasi del pompaggio (ciclo cardiaco)

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Portata del sangue in uscita dal cuore.

M s dt

Dove Ms = gettata

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Il circuito cardiocircolatorio

Conservazione dell’energia meccanica: equazione di Bernoulli

Distribuzione di pressione nel circuito sanguigno

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Dati relativi al sistema cardiocircolatorio

1. La portata in uscita del cuore è pulsata. Il flusso da pulsato si trasforma in continuo per effetto della elasticità dei vasi

2. Il ciclo dura mediamente 1/75 di minuto = 0,8 s.

0,25 secondi sono dedicati alle sistole ventricolari, i rimanenti 0,55 secondi alla pausa tra una gettata e la successiva.

3. La gettata media ms è compresa normalmente tra 40 g e 75g. La frequenza tra 70 min-1

e 80 min-1 .

4. La frequenza e la gettata non sono indipendenti: se la frequenza aumenta troppo, la gettata diminuisce.

5. La portata media è data da:

Essa varia da un minimo di 40 • 70 g/min= 2800 g/min a un massimo di 75 • 80 g/min = 6000 g/min

πp = Msν

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6. Consideriamo una portata di 4500 g/min e come valori di pressione 30 mmHg per il cuore destro e 100 mmHg per il cuore sinistro.

Ricordiamo che per un circuito chiuso in regime permanente la perdita di carico è data da

∆pγ

Abbiamo allora:

R3,4 = 30 kg

735 cm2

1γ

= 40,8 cm (= HD)

R1,2 = 100 kg

735 cm2

1γ

= 136 cm (= HS)

Perdite di carico e prevalenza delle pompe

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7. Potenza: P = H (energia/peso) • (peso/tempo) = energia/tempo

Potenza delle pompe del cuore

πp

PD = HD • πp = 40,8 • 4500 = 0,3 W PS = HS • πp = 136 • 4500 = 1 W

Pt = PD + PS = 1,3 W per un rendimento del 10% Peff = Pt • 10 = 13 W

In un giorno viene erogata una potenza :

(13 • 24) Wh/giorno = 312 Wh/giorno

Poiché 1 Kcal = 4,18 • 103 joule, abbiamo:

312 • 3,6 • 103

4,18 • 103= 268 Kcal/giorno

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Consideriamo un segmento di vaso cilindrico di raggio R (un segmento di vena o arteria) contenente un liquido, in questo caso sangue, ad una pressione p, detta anche nel gergo dei fisiologi pressione trasmurale.

A causa di questa pressione, tutti i punti della superficie della membrana del vaso sono sollecitati da una trazione T, tangente in ogni punto della superficie della membrana.

La trazione T varia da 170 N/m per l’aorta (raggio uguale a ~1,3 cm) a 0,016 N/m per i capillari (raggio 4·10 -4)

Fenomeni di elasticità nei condotti del sangue

T = p ·RPressione di Laplace per un condotto cilindrico

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Riportiamo (come in figura 2a) in funzione di R la trazione T = P1R e la tensione elastica Tel.Possiamo allora osservare che il punto A1 di intersezione tra la retta e la curva corrispondente al raggio R1 , rappresenta un punto di equilibrio stabile.

Fenomeni di elasticità nei condotti del sangue

Se per svariate cause, fra cui l’invecchiamento, si ha un deterioramento delle caratteristiche elastiche, per cui l’andamento della curva della tensione elastica Tel differisce dal caso esaminato in fig. 2a, e cioè presenta una concavità verso il basso, si hanno 2 punti di intersezione A1 ed A1’ , ma solo A1’ è un punto di equilibrio stabile. Per pressione superiore a P2la retta (ad esempio T=P3 R) che rappresenta la trazione non intercetta più la curva Tel . Non si hanno quindi punti di equilibrio: la trazione supera sempre la tensione elastica e il vaso si rompe.

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