2. POTENZE, ESPONENZIALI E LOGARITMI

Per ogni numero reale 𝑎 > 0 e numero naturale 𝑛 > 0, esiste un (unico) numero reale 𝑏 > 0 soluzione dell’equazione 𝑎 = 𝑏𝑛 detto radice n-esima di 𝑎 e denotato come 𝑏 ≡ 𝑎𝑛

Per il momento non consideriamo radici di numeri negativi!

Per convenzione 𝑎 ≡ 𝑎2

Casi particolari: 1𝑛

= 1 : 1 1 1nnb b b

1 1 1nb b a

Infatti se 𝑏 ≔ 𝑎𝑛 ⇒ 𝑏𝑛 = 𝑎

1 1 1nb b a

1

𝑎𝑛𝑛

= 𝑎 :n n n nb a a b b a

Ordinamento delle radici:

0 1 𝑎 𝑎 < 1 𝑎 > 1

𝑎𝑛 < 1 𝑎𝑛 𝑎𝑛 > 1

2

Proprietà: 1) 𝑎1 ∙ 𝑎2

𝑛 = 𝑎1𝑛 ∙ 𝑎2

𝑛

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2:n n nnn n n n n n nb a a b a a a a a a b a a

2) 𝑎𝑛𝑚= 𝑎𝑚∙𝑛

2) 1/𝑎𝑛 = 1 𝑎𝑛

1 1 1 1: 1 /

nnn

n n nnb a b b

a a aa

111 1 1

2 2 2 2 2

1 1 1Nota:

nn nn n n

n n

aaa a a

a a a a a

:n nm m m n mn n n m nb a b a b b a a b a

3

Esercizio: scrivere 𝑎 𝑎3 come una unica radice

3 3 33 3 43 3a a a a a a a

Esercizio: scrivere come prodotto/rapporto tra radici di 𝑎1 e 𝑎2

431 331 1

1

4 2 4 2 4 2 2 23 3 3 3 3 31 2 1 2 1 2 2 2 13 31 1 133 3 3 3332 22 1 2 1 1 222

1

aa a

a

a a a a a a a a aa a a

a aa a a a a aaa

4 23 31 2 2 1a a a a

Nell’elaborazione di relazioni matematiche, spesso si vuole eliminare le radici al denominatore in strutture del tipo: a b

In questi casi sfrutta la relazione 𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 2 − 𝑏2= 𝑎 − 𝑏

a ba b

a ba b a b a b

4

Definizione di potenze frazionarie:

𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 > 0 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 > 0 𝑎𝑚 𝑛 ≔ 𝑎𝑚𝑛

Ne consegue la notazione alternativa di radice: 𝑎1 𝑛 ≡ 𝑎𝑛

𝑚 𝑛 ∈ ℚ ⇒ estensione a potenze reali: è definita la potenza 𝑎𝑟 con 𝑎, 𝑟 ∈ ℝ e 𝑎 > 0 è detta base della potenza mentre 𝑟 (che può essere negativo) è detto esponente.

Proprietà: 1) 𝑎𝑟1 ∙ 𝑎𝑟2 = 𝑎𝑟1+𝑟2

30 30 30 301/6 3/5 5/30 18/30 5 18 5 18 23 23/30a a a a a a a a a a

2) 𝑎𝑟1 𝑟2 = 𝑎𝑟1∙𝑟2

3/5 3/5 3 5 6 3051/6 3 3 1/106 6 6 6 6 105a a a a a a a a a a

3) 𝑎 ∙ 𝑏 𝑟 = 𝑎𝑟 ∙ 𝑏𝑟

𝑎 ∙ 𝑏 𝑚 𝑛 = 𝑎𝑏 𝑚𝑛= 𝑎𝑚𝑏𝑚

𝑛= 𝑎𝑚

𝑛 𝑏𝑚𝑛

= 𝑎𝑚 𝑛 ∙ 𝑏𝑚 𝑛

Casi particolari: 𝑎0 = 1 ∀𝑎, 1𝑟 = 1 ∀𝑟

Note: 𝑎𝑟 > 0, 𝑎−𝑟 = 1 𝑎𝑟 (in particolare 𝑎−1 = 1 𝑎 )

5

Ordinamento delle potenze 𝑎𝑟 con esponente reale: dipende dal segno dell’esponente!

𝑟 > 0 ⇒ 𝑟 = 𝑚 𝑛 con 𝑚, 𝑛 > 0 𝑎𝑟 = 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚𝑛

1° caso: 𝑎 > 1 ⇒ 𝑎𝑚 > 1 ⇒ 𝑎𝑚𝑛

> 1, 𝑎𝑟 > 1

2° caso: 𝑎 < 1 ⇒ 𝑎𝑚 < 1 ⇒ 𝑎𝑚𝑛

< 1, 𝑎𝑟 < 1

0 1 𝑎 𝑎 < 1 𝑎 > 1

𝑎𝑟 < 1 𝑎𝑟 𝑎𝑟 > 1

𝑟 < 0 ⇒ 𝑎𝑟 = 1 𝑎−𝑟 con −𝑟 > 0

1° caso: 𝑎 > 1 ⇒ 𝑎−𝑟 > 1 ⇒ 𝑎𝑟 < 1

2° caso: 𝑎 < 1 ⇒ 𝑎−𝑟 < 1 ⇒ 𝑎𝑟 > 1

6

Quale ordinamento tra potenze diverse?

Potenze con la stessa base: quale è il maggiore tra 𝑎𝑟 e 𝑎𝑠?

: maggiore o minore di 1?r

r s r ss

aa a a

a

1 10

1 1

r s r s

r s r s

a a a a ar s r s

a a a a a

1 10

1 1

r s r s

r s r s

a a a a ar s r s

a a a a a

In pratica conviene riprodurre la procedura al caso specifico.

Ad esempio: qual è il maggiore tra 8/10 3/4 e 8/10 4/3 ?

3/43 4

7/124 3

4/3

8 / 108 / 10 8 / 10

8 / 10

1(1 / )r r

ra a

a

3/47/12 3/4 4/3

4/3

8 / 1010 / 8 1 8 / 10 8 / 10

8 / 10

7

Potenze con la stessa esponente: quale è il maggiore tra 𝑎𝑟 e 𝑏𝑠?

/ : maggiore o minore di 1?r

rr rr

aa b a b

b

( / ) 10

( / ) 1

r r r

r r r

a b a b a br

a b a b a b

0 / /r

r r

r

ar a b b a

b

8

Intermezzo: radici di numeri negativi 𝑎 < 0, 𝑏 = 𝑎 𝑛 ? ⇒ 𝑎 = 𝑏𝑛

Due casi possibili:

𝑛 = pari, 𝑏𝑛 > 0 ⇒ non esistono soluzioni dell’equazione 𝑏𝑛 = 𝑎:

non esiste la radice 𝑏 = 𝑎𝑛 (ad esempio, −2) (almeno nel corpo dei numeri reali)

𝑛 = dispari, 𝑏𝑛 < 0 − 𝑎 = −𝑏𝑛 = −1 𝑛𝑏𝑛 = −𝑏 𝑛 ⇒ −𝑏 = −𝑎𝑛 ⇒ 𝑏 = 𝑎𝑛 = − −𝑎𝑛 La radice esiste ed è negativa, ad esempio −27

3= −3

Si può estendere alle potenze con esponente razionale? Sono definibili le potenze razionali con base negativa?

𝑎 < 0, 𝑎𝑚/𝑛 = 𝑎𝑚𝑛

sarebbe definito per 𝑚 = pari (𝑎𝑚 > 0), oppure per 𝑚, 𝑛 =dispari (𝑎𝑚 < 0)

Caso 𝑎 < 0,𝑚, 𝑛= dispari: le frazioni equivalenti 𝑚 𝑛 e 2𝑚/2𝑛 (stesso numero razionale) generano due potenze diverse:

22 /2 2 /0 0n nm n m m n ma a a a

Risposta negativa poiché la potenza con esponente razionale di una base negativa non ha un risultato univo.

Conclusione: le potenze 𝑎𝑟 secondo esponenziali 𝑟 reali son applicate solamente a basi 𝑎 > 0 positive

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Funzione esponenziale: data la base 𝑎 > 0, esiste la funzione 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 ∀𝑥 ∈ ℝ

In pratica: le potenze considerate come funzione dell’esponente!

0

2

4

6

8

10

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

𝑥

𝑎𝑥 𝑎 = 6/10

𝑎 = 15 10

Proprietà: 𝑎𝑥 = 1 se 𝑥 = 0, ∀𝑎 > 0

𝑎𝑥 è una funzione crescente se 𝑎 > 1. Se 𝑥2 > 𝑥1, 𝑎𝑥2 𝑎𝑥1 = 𝑎 𝑥2−𝑥1 > 1

𝑎𝑥 = 1 ∀𝑥 se 𝑎 = 1

𝑎𝑥 è una funzione decrescente se 𝑎 < 1. Se 𝑥2 > 𝑥1, 𝑎𝑥2 𝑎𝑥1 = 𝑎 𝑥2−𝑥1 < 1

10

Logaritmi Motivazione: si voglia esaminare il grafico della funzione 15/10 𝑥 in un ampio intervallo della variabile indipendente 𝑥

0

2

4

6

8

10

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

(15/10)^𝑥

𝑥

Assenza di informazioni per 𝑥 < −5 e 𝑥 > 5: la funzione varia di ordini di grandezza!

Sarebbe conveniente riportare in grafico i valori della funzione come esponente 𝑧 della potenza 10𝑧 ⇒ Logaritmi

11

Definizione della funzione log𝑎 𝑥 (logaritmo di base 𝑎 della variabile 𝑥 > 0): 𝑦 = log𝑎 𝑥 se 𝑎𝑦 = 𝑥 ⇒ log𝑎 𝑎

𝑦 = 𝑦

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 2 4 6 8 𝑥

log15/10 𝑥 Basta rappresentare i punti del grafico precedente scambiando l’asse delle ordinate con quello delle ascisse.

Importante: log𝑎 𝑥 è definito solo se 𝑥 ≥ 0 (data la base 𝑎 > 0), cioè non è definito per argomenti negativi o nulli

Valori particolari 𝑥 = 1, log𝑎 1= log𝑎 𝑎0 = 0

𝑥 = 𝑎𝑛, log𝑎 𝑎𝑛 = 𝑛 ad esempio: log10 10

−5 = −5

1: log 01

1: log 0a

a

x xa

x x

12

Proprietà: log𝑎 𝑥1𝑥2 = log𝑎 𝑥1 + log𝑎 𝑥2

𝑦 = log𝑎 𝑥 se 𝑥 = 𝑎𝑦

𝑦1 = log𝑎 𝑥1 , 𝑦2= log𝑎 𝑥2

log𝑎 𝑥1𝑥2 = log𝑎 𝑎𝑦1𝑎𝑦2 = log𝑎 𝑎𝑦1+𝑦2 = 𝑦1 + 𝑦2

log𝑎 𝑥𝛼 = 𝛼 log𝑎 𝑥

𝑦 = log𝑎 𝑥

log𝑎 𝑥𝛼 = log𝑎 𝑎𝑦 𝛼 = log𝑎 𝑎

𝛼𝑦 = 𝛼𝑦

log𝑎 1 𝑥 = log𝑎 𝑥−1 = − log𝑎 𝑥

log𝑎 𝑥1 𝑥2 = log𝑎 𝑥1 +log𝑎 1 𝑥2 = log𝑎 𝑥1 − log𝑎 𝑥2

log 𝑎𝛼 𝑥 = log𝑎 𝑥1 𝛼

𝑧 = log 𝑎𝛼 𝑥 𝑦 = log𝑎 𝑥

𝑎𝑦 = 𝑥 = 𝑎𝛼 𝑧 = 𝑎𝛼𝑧 , 𝑦 = 𝛼𝑧

log 𝑎𝛼 𝑥 = 𝑦 𝛼 = 1 𝛼 log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑥1 𝛼

Se 𝑏 = 𝑎𝛼, cambio di base 𝑎 → 𝑏 del logaritmo

log𝑏 𝑥 =log𝑎 𝑥

𝛼=log𝑎 𝑥

log𝑎 𝑏