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UN MEDIOEVO PIENO DI … MATEMATICA

Alunni: Giada Albonetti; Riccardo Ballardini; Andrea Bedeschi; Elisabetta

Berardi; Gaia Brignani; Asya Calderoni; Domenico Cecere; Matteo Ceroni;

Alberto Ghinassi; Angela Leonardi; Mariachiara Messina; Mery Jein Min-

guzzi; Chiara Moretti; Samuele Parrucci; Martina Pianese; Luca Ravaglia;

Alessandro Severi; Eliska Stanclovà; Filippo Valli; Michele Vanzetto; Eric

Vicari; Karen Zardi (alunni della 1^ A dell’Istituto Comprensivo “F. d’Este”

di Massa Lombarda - Ravenna, Scuola secondaria di Primo grado “G. Pa-

scoli” di Sant’Agata sul Santerno)

Referenti: Prof.ssa Marilisa Ficara, Prof.ssa Antonella Marabini.

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Presentazione

Il Progetto realizzato con la classe I A della Scuola secondaria di primo grado

“G. Pascoli” di Sant’Agata sul Santerno (RA) ha consentito sia agli alunni che ai loro

insegnanti di sperimentare nuovi percorsi di ricerca e di conoscenza, nell’ottica di

uno scambio più ampio e proficuo di contenuti e metodologie tra le diverse discipli-

ne interessate (in particolare Storia e Matematica).

Si è trattato di un momento di crescita formativa importante per gli alunni di

classe prima, che hanno potuto approfondire temi e aspetti della ricerca storica e

della storia della matematica affrontati solo marginalmente nei manuali scolastici.

La didattica laboratoriale ha fornito loro gli strumenti necessari per condividere pen-

sieri, riflessioni, analisi e strategie di risoluzione di problemi di matematica medieva-

le, che i ragazzi hanno poi utilizzato per la realizzazione del gioco didattico.

Il gioco, intitolato “Un Medioevo pieno di… Matematica”, contiene già nel ti-

tolo da loro assegnato lo stupore e la curiosità con cui gli alunni hanno potuto con-

statare che i secoli centrali del Medioevo, lungi dall’essere considerati i “secoli bui”

della civiltà umana, hanno rappresentato un momento storico importante per il dif-

fondersi delle conoscenze matematiche e del sapere scientifico. In questa prospetti-

va, si è individuato proprio nell’alto medioevo un momento cruciale per l’incontro

tra cultura araba e cultura cristiana.

Gli Arabi non furono infatti semplici traduttori degli scritti greci di matemati-

ca, ma elaborarono molte parti della matematica che poi ricomparve nell’Europa

cristiana tra XVI e XVIII secolo. Mentre a Oriente i califfi già nell’VIII secolo promuo-

vevano la nascita di scuole, la diffusione delle conoscenze matematiche degli Indiani

e la traduzione di testi scientifici greci (califfati di Harun al- Rashid e del figlio

al-Ma’mun), l’Europa continentale viveva un momento di stagnazione culturale, cui

cercò di porre rimedio l’accorta politica dei Carolingi. Carlo Magno individuò in

Alcuino di York il direttore della Scuola Palatina e affidò a lui il compito di provvede-

re all’istruzione dei giovani.

Alcuino dedicò tutta la vita alla riorganizzazione del sapere cristiano-occi-

dentale e alla stesura delle opere ritenute fondamentali per la formazione culturale

delle nuove generazioni. Tra queste, durante le attività di approfondimento, ci si è

soffermati sui “Problemi per rendere acuta la mente dei giovani”. La lettura e la riso-

luzione di alcuni problemi in essa contenuti hanno suscitato interesse e curiosità ne-

gli alunni, che hanno subito rilevato la diversità di formulazione del testo-pro-blema

e la maggiore attenzione degli uomini di quell’epoca ai problemi concreti della vita

quotidiana.

Al termine del Percorso, gli alunni si sono dedicati alla realizzazione del Gioco

didattico, desiderosi di realizzare uno strumento che potesse stimolarli sempre di

più ad approfondire le conoscenze storiche e le abilità logico-matematiche. Un eser-

cizio di ripasso di storia e di matematica al tempo stesso, ma anche di allenamento

della mente e della capacità di comprensione di fenomeni distanti, eppure stretta-

mente connessi con la nostra società e il nostro sapere.

Marilisa Ficara – Antonella Marabini

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Concorso: La matematica nel Medioevo

Tema: La matematica come incontro fra culture: cultura araba e cultura cristiana

IV edizione

a.s. 2011/ 2012

“Salvare capra e cavoli!”

Classe I AScuola secondaria di Primo grado “G. Pascoli”

Sant’Agata sul Santerno

Lo schema dell’istruzione

Come in età romana, lo schema dell’istruzione era fondato sulle sette arti liberali:

- Grammatica

- Retorica

- Logica

- Geometria

- Aritmetica

- Astronomia

- Musica

TRIVIUM

QUADRIVIUM

Approfondimento storico e contestualizzazione della tematica del Concorso

“Salvare capra e cavoli!”

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Le arti del trivium

Beda, il maestro del computus

Nel 725 il monaco inglese Beda scrisse un’opera intitolata “De temporum ratione”: qui il monaco si occupa anche di problemi più generali come la misurazione del tempo, il calcolo aritmetico e la cronologia storica.

A lui si devono i migliori contributi al computus.

Beda il Venerabile, monaco dell’abbazia inglese di Jarrow

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Alcuino alla corte di Carlo Magno

Carlo Magno credeva fermamente che, per un rinnovamento del popolo franco, fosse necessario dare attenzione all’educazione e all’istruzione.

Per questo motivo chiamò alla sua corte molti famosi uomini di cultura del tempo.

- Teodoro di Orleans- Paolo diacono- Pietro di Pisa- Alcuino di York

Alcuino presenta gli scritti del suo scriptorium a Carlo Magno (Victor

Schnetz, 1830)

… un passo in avanti (bilancio)1. La riforma promossa da Carlo

Magno e da Alcuino di York ebbe carattere elitario (riservata a pochi, soprattutto al clero).

2. Dopo la morte di Alcuino, la riforma non fece passi in avanti: la cultura ebbe una nuova fase di stasi o addirittura di involuzione.

3. Le scuole sorte presso le cattedrali, seppur con fortune alterne, continuarono comunque la loro attività fino al XII secolo.

4. A partire dal XIII secolo ci fu un allargamento dell’istruzione anche ai ceti laici. L’esigenza di istruire i mercanti portò alla nascita di scuole comunali dove l’insegnamento della matematica assunse un significato importante e nuovo.

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Laboratorio di matematica medievale

Lavoro a gruppi

Gli alunni, divisi in quattro gruppi, hanno visionato i problemi di matematica medie-

vale forniti dalle insegnanti, scegliendone poi alcuni da risolvere. Hanno lavorato in

autonomia per circa due ore, confrontandosi tra loro e ipotizzando possibili risolu-

zioni.

Al termine delle attività ogni gruppo ha presentato la soluzione di un problema al

resto della classe. Gli altri gruppi sono quindi stati invitati a proporre le loro soluzio-

ni, che sono state anche confrontate con quelle proposte dal testo di riferimento.

Nell’esaminare le soluzioni proposte, si è data maggiore importanza alla coerenza

del ragionamento effettuato, rispetto all'aderenza alla soluzione presentata dal te-

sto.

Di seguito sono riportati alcuni esempi di soluzioni proposte dagli alunni di IA.

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Gioco “Un Medioevo pieno di … Matematica”

SCOPO DEL GIOCO

Completare il percorso dalla casella PARTENZA alla casella ARRIVO con un numero

esatto di mosse.

MATERIALE

- Una plancia da gioco a forma di “zero”

- 4 pedine colorate (giallo, rosso, blu, verde)

- 1 dado

- 1 clessidra

- 30 CARTE-PROBLEMA

- 30 CARTE-DOMANDA

Schema della plancia di gioco

PARTENZA

ARRIVO

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REGOLE DEL GIOCO

Si può giocare da soli o a squadre, in tal caso ogni squadra sarà rappresentata da un

colore diverso (pedina).

Si gioca lanciando il dado e spostandosi sulla plancia di tante caselle quante sono

quelle indicate dal dado.

Casella PROBLEMA: consente di procedere con un nuovo lancio del dado dopo aver

risolto un problema di matematica medievale nel tempo prestabilito, indicato sulla

carta stessa (Allegato 1). Nel caso in cui non si giungesse alla risoluzione del proble-

ma, la mano passa al giocatore o alla squadra successiva.

Casella DOMANDA: consente di procedere con un nuovo lancio del dado dopo avere

risposto ad una domanda di storia medievale nel tempo prestabilito, indicato sulla

carta stessa (Allegato 2). Nel caso in cui non si giungesse alla risposta esatta, la ma-

no passa al giocatore o alla squadra successiva.

CARTA PROBLEMA CARTA DOMANDA

Problema:

C’è una scala che ha cento gra-dini. Sul primo gradino era posata una colomba, sul secondo due, sul terzo tre, sul quarto quattro, sul quinto cinque. Così su ogni gradino fi-no al centesimo. Dica, chi è in grado, quante co-lombe vi erano in tutto.

Tempo: 3 minuti

Soluzione: 5050

Domanda:

Quante e quali erano le discipli-

ne del Quadrivium?

Tempo: 1 minuto

Soluzione: 4 (geometria, aritmeti-

ca, astronomia, musica)

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Di seguito sono riportati alcuni problemi utilizzati per la realizzazione delle CARTE-

PROBLEMA, somministrati agli alunni durante il laboratorio.

Problemi tratti da:

Alcuino di York, (a cura di) Franci R., 2005. Giochi matematici alla corte di Carloma-

gno- Problemi per rendere acuta la mente dei giovani. Edizioni ETS, Pisa.

Problema 18: Il lupo, la capra e il cavolo

Un uomo che doveva trasportare aldilà del fiume un lupo, una capra e un cavolo e

non poté trovare altra barca se non una che era in grado di portare soltanto due di

essi.

Gli era stato ordinato però di trasportare tutte queste cose di là senza alcun danno.

Chi è in grado dica in che modo poté trasferirli indenni

Problema 26: Il cane in corsa e la lepre in fuga in un campo

Un campo che ha una lunghezza di 150 piedi.

Ad una estremità c’era un cane, e nell’altra una lepre.

E in effetti il cane si mise in movimento dopo che la stessa, cioè la lepre, cominciò a

correre.

D’altra parte mentre il cane percorreva 9 piedi in un salto, la lepre ne percorreva 7.

Dica, chi vuole, quanti piedi, ovvero quanti salti fecero il cane inseguitore e la lepre

fuggitiva, fino a che questa fu presa.

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Problema 32: Il padre di famiglia che distribuisce viveri

Un padre di famiglia aveva 20 familiari e ordinò di dare ad essi 20 moggi di grano:

egli ordinò che gli uomini ricevessero tre moggi, le donne due e i bambini mezzo

moggio.

Dica, chi può, quanti uomini, quante donne e quanti bambini devono essere.

Problema 33: un altro problema

Un padre di famiglia aveva 30 familiari e ordinò di dare ad essi 30 moggi di grano:

egli ordinò che gli uomini ricevessero tre moggi, le donne due e i bambini mezzo

moggio.

Dica, chi può, quanti uomini, quante donne e quanti bambini devono essere.

Problema 33a: ancora un altro problema

Un padre di famiglia aveva 90 familiari e ordinò di dare ad essi 90 moggi di grano.

E dispose anche che gli uomini ricevessero tre moggi, le donne due e i bambini mez-

zo moggio.

Dica, chi può, quanti uomini, quante donne e quanti bambini devono essere.

Problema 35: La morte di un padre di famiglia

Un padre di famiglia morendo lasciò dei figli piccoli, 960 soldi in eredità e una moglie

incinta.

Ordinò che se fosse nato un maschio avrebbe ricevuto i tre quarti del totale, cioè 9

dodicesimi, e la madre avrebbe ricevuto un quarto, cioè 3 dodicesimi.

Se poi fosse nata una figlia avrebbe ricevuto sette dodicesimi e la madre stessa cin-

que dodicesimi.

Accadde poi che essa partorì due gemelli, cioè un mschio e una femmina.

Spieghi, chi è in grado, quanto ricevette la madre, quanto il figlio, quanto la figlia.

Problema 36: Il saluto di un vecchio ad un ragazzo

Un vecchio salutò un ragazzo e gli disse: “ Vivi, figlio, vivi quanto hai vissuto, e altret-

tanto e tre volte tanto e Dio ti aggiunga uno dei miei anni e raggiungerai 100 anni”.

Dica, chi è in grado, quanti anni aveva allora il ragazzo.

Problema 37: Un uomo che voleva costruire una casa

Un uomo volendo costruire una casa assunse 6 muratori, 5 dei quali erano maestri e

uno apprendista.

E convennero tra loro, quello che voleva costruire e i muratori, che per ogni giorno si

sarebbero pagati 25 denari di salario, in modo che l’apprendista ricevesse la metà di

quello che riceveva un maestro.

Dica, chi può, quanto ricevette ciascuno di essi per ogni giorno.

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Problema 38: L’acquirente di cento animali

Un uomo volle comprare 100 animali di varie specie con 100 soldi, in modo che ve-

nisse acquistato un cavallo per tre soldi, un bue per un soldo e 24 pecore per un sol-

do.

Dica, chi è capace, quanti furono i cavalli, quanti i buoi e quante le pecore.

Problema 40: Un uomo e delle pecore che pascolano su un monte

Un uomo vide delle pecore che pascolavano su un monte e disse: “se ne avessi tante

e altrettante e la metà della metà e di questa metà un’altra metà, e io insieme con

esse, entrerei per centesimo nella mia casa”.

Risolva, chi è in grado, quante pecore vide ivi pascolare.

Problema 42: Una scala con cento gradini

C’è una scala che ha cento gradini.

Sul primo gradino era posata una colomba,

sul secondo due, sul terzo 3, sul quarto 4, sul quinto 5.

Così su ogni gradino fino al centesimo.

Dica, chi è in grado, quante colombe vi erano in tutto.

Di seguito sono riportate alcune domande di storia medievale legate

all’approfondimento del tema del Concorso, presenti sulle CARTE-DOMANDA del

Gioco.

1. Dopo la caduta dell’Impero Romano d’Occidente, in quali ambienti sopravvis-

sero l’istruzione e la cultura? (nei monasteri e nelle cattedrali)

2. Come era organizzato il sistema dell’istruzione in età romana? (sulle arti libe-

rali)

3. Quante e quali erano le discipline del trivium?

4. Quante e quali erano le discipline del quadrivium?

5. Come definiva Alcuino le arti liberali? (le sette colonne della sapienza)

6. Cosa dobbiamo a Isidoro di Siviglia?

7. Che cos’era il “computus”? (il calcolo della data di Pasqua)

8. Chi diede alcuni dei migliori contributi nel calcolo del computus? (Beda il Ve-

nerabile)

9. Quale fonte ci dice che “la pratica della lettura si è quasi estinta dalle città del-

la Gallia”? (Gregorio di Tours)

10. In quale anno Carlo Magno viene eletto re dei Franchi? 771

11. Che cosa significa l’espressione “rinascita carolingia”?

12. In Oriente a quali califfi si deve la nascita di scuole e la diffusione delle cono-

scenze matematiche? Harun al-Rashid, al Ma’mun

13. Quale città, tra VIII e IX secolo, divenne il più rinomato centro scientifico

mondiale? Baghdad

14. Dove e quando avvenne l’incontro tra Carlo Magno e Alcuino di York? (Parma,

781)

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15. Dove trascorse gli ultimi anni della sua vita Alcuino di York? (presso l’abbazia

di San Martino di Tours)

16. Quale importante insegnamento Alcuino lasciò ai suoi monaci? La via del sa-

pere è migliore di quella dell’agricoltore.

17. Quali interessi Alcuino condivideva con il sovrano carolingio? Retorica, dialet-

tica, astronomia, computo, simbolismo dei numeri nelle Scritture

18. Cosa prevedeva il decreto emanato da Carlo Magno nel 789?

19. Come si intitola l’opera scritta da Alcuino e destinata all’apprendimento della

matematica? (Problemi per rendere acuta la mente dei giovani)

20. Quando avvenne l’allargamento dell’istruzione verso i ceti laici e popolari?

Bibliografia

(utilizzata per le attività di approfondimento e di laboratorio)

- Bressanini D., Toniato S., I giochi matematici di Fra’ Luca Pacioli. Trucchi, e-

nigmi e passatempi di fine Quattrocento, Edizioni Dedalo, Bari, 2011.

- Franci R. (a cura di), Alcuino di York. Giochi matematici alla corte di Carloma-

gno. Problemi per rendere acuta la mente dei giovani, Edizioni ETS, Pisa 2005.

- Geronimi N. (a cura di), Giochi matematici del medioevo, Paravia Bruno Mon-

dadori editore, Milano, 2006.

- Peiretti F., Il matematico si diverte. Duecento giochi ed enigmi che hanno fatto

la storia della matematica, Longanesi editore, Milano, 2010.