Tunneling attraverso barriera singola

Consideriamo la probabilità di tunneling attraverso una singola barriera di potenziale. La barriera di potenziale è descritta da:

><<−

−<=

ax

axaV

ax

xV

,0

,

,0

)(

Per valori dell’energia ε < V la funzione d’onda è:

>ε=+

<<−ε−=κ+

−<ε=+

=ψ

−

κκ−

−

axm21

k,GeFe

axa)V(m21

,DeCe

axm21

k,BeAe

)x(

1xikxik

xx

1xikxik

E

11

11

Imponendo la continuità della funzione e della sua derivata in x = –a si ottiene in forma matriciale

−=

− −

−

−

−

D

C

ee

eeB

A

eikeik

eeaa

aa

aikaik

aikaik

κκ

κκ

κκ11

11

11

moltiplicando a sinistra per l’inversa della matrice M otteniamo:

+

−

−

+

=

−−−

+−+

D

C

ek

ie

k

i

ek

ie

k

i

B

A

aikaaika

aikaaika

1

1

1

1

1

1

1

1

11

11

2

1

κκ

κκ

κκ

κκ

Analogamente in x = a si ottiene

−

+

+

−

=

−−+−

−+

G

F

eik

eik

eik

eik

D

C

aikaaika

aikaaika

1111

1111

11

11

2

1

κκ

κκ

κκ

κκ

Infine sostituendo e moltiplicando le matrici si ha:

κγ−κκη−

κη

κγ+κ

=

− G

F

ea2sinh2

ia2cosh2sinh

2

i

a2sinh2

iea2sinh

2

ia2cosh

B

A

ak2i

ak2i

1

1

dove κκγ 1

1

k

k−= e κ

κη 1

1

k

k+=

Siamo ora in grado di calcolare i coefficienti di trasmissione e riflessione. Supponiamo che da sinistra provenga un’onda di ampiezza A = 1 e che si ottenga un’onda riflessa di ampiezza B e un’onda trasmessa di ampiezza F. In questo caso non ci sono onde che provengono da destra e quindi G = 0.Si ottiene allora:

1 = F(cosh2κa + iγ/2 sinh2κa)ei2k1a

B = -Fiη/2sinh2κa

e quindi ricordando che: cosh x = ½(ex + e-x) e sinh x = ½(ex - e-x):

)2(2

)2cosh(

12

asinhi

a

eF

aki

κγκ +=

−

)2(2

)2cosh(

)2(2

12

asinhi

a

easinhi

B

aki

κγκ

κη

+

−=

−

da cui osservando che 422 −η=γ segue:

T = |F|2 = )2(

4)2(cosh 2

22 asinha κγκ +

= )2(

41

1

22

asinh κη+

R = |B|2 = )2(

4)2(cosh

)2(4

22

2

22

asinha

asinh

κγκ

κη

+ =

)2(4

1

)2(4

22

22

asinh

asinh

κη

κη

+

La condizione R + T = 1 è soddisfatta.

Ricordando che per definizione:

η2 = )(

222

21

2

2

21

2

1

1εεε

εε

εκκ

κκ −

=+−+−

=++=

+

V

VV

Vk

k

k

k

si ottiene:

T(ε) = 1

22

)2()(4

1

−

−+ asinh

V

V κεε per ε < V

Nel limite V >> ε e κa >> 1 (barriera larga) dato che sinh(x) = ½[exp(x) – exp(-x)] → ½ exp(x) per x → ∞ si ottiene

T(ε) ≈ 16 ε/V e-4κa ≈ 16 ε/V e-4a√(2mV/ħ)

Questo indica che il coefficiente di trasmissione decade esponenzialmente al crescere dello spessore della barriera a come √V.

Nel caso ε > V la funzione d’onda è:

>ε=+

<<−−ε=+

−<ε=+

=ψ

−

−

−

ε

axm21

k,GeFe

axa)V(m21

k,DeCe

axm21

k,BeAe

)x(

1xikxik

2xikxik

1xikxik

11

22

11

Utilizzando il risultato precedente, sostituendo a κ la quantità ik2 e utilizzando l’identità: sinh(ix) = ½ [exp(ix) – exp(-ix)] = i sin(x) si ottiene:

T(ε) = 1

22

2

)ak2(sin)V(4

V1

−

−εε

+

Quando ε > V la trasmissione aumenta rapidamente. T(ε) → 1 per ε → ∞ (si ha trasmissione completa). Si ottiene trasmissione completa anche quando si verificano le condizioni di risonanza (2k2a = nπ).

Matrici di trasferimento e di scatteringLa formulazione precedente del calcolo della probabilità di transizione di una barriera è un esempio del cosiddetto metodo della matrice di trasferimento. In 1D si possono raccogliere le ampiezze dell’onda a sinistra (AN-1, BN-1) e quella a destra (AN, BN) e collegarle con una matrice detta matrice di trasferimento MN-1,N

=

−

−

−

N

NNN

N

N

B

AM

B

A,1

1

1

In un sistema che contiene N regioni di potenziale si può trovare la connessione fra le ampiezze della prima e dell’ultima regione applicando successivamente le matrici di trasferimento fra regioni vicine. Il risultato è:

1

1

B

A= M1,2M2,3…. MN-2,N-1MN-1,N

N

N

B

A = M

N

N

B

A

Questa formula può essere usata per calcolare il coefficiente di trasmissione per un potenziale qualsiasi. Il potenziale dato viene approssimato con l’accuratezza voluta con N potenziali costanti.

Nelle geometrie di scattering è spesso conveniente lavorare con le matrici di scattering invece che con quelle di trasferimento. Le matrici di scattering collegano le ampiezze delle onde uscenti dalla barriera (AN, B1) con quelle entranti (A1, BN)

=

N

N

B

AS

B

A 1

1