BOND-SLIP E MECCANICA DELLA FRATTURA NELLE MEMBRATURE DI C.A. SOGGETE A CARICHI CICLICI

Alessandro P. Fantilli, Paolo Vallini

Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico di TorinoCorso Duca degli Abruzzi, 24 -10129 TorinoFantilli@polito.it - Vallini@athena.polito.it

Sommario

Lo studio dei tiranti di conglomerato cementizio armato consente di indagare in modosemplice ed efficace la fessurazione e laderenza delle strutture di c.a. soggette a carichi ripetuti.Con riferimento ad alcuni risultati ottenuti da prove condotte su elementi semplicemente tesi, sipropone un modello in grado di definire lo stato di sforzo e di deformazione nellarmatura e nelconglomerato, tenendo in conto la meccanica della frattura non lineare del calcestruzzo teso edil fenomeno di aderenza-scorrimento tra i due materiali. In presenza di azioni cicliche, tanto nellegame -slip che regola laderenza, quanto nel legame -w che definisce il contributo coesivoin fessura, sono considerati gli effetti del danneggiamento, responsabili del comportamento iste-retico della risposta strutturale. Con il modello proposto possibile definire sia il ruolo di questidue legami durante la fase di scarico e di richiusura delle lesioni, sia le modifiche da apportareai modelli coesivi e di aderenza-scorrimento pi utilizzati nelle analisi numeriche.

Abstract

The analysis of reinforced concrete tension members allows researchers to investigate ef-ficiently the concrete fracture and the bond-slip in RC structures subject to repeated loads. Re-ferring to some experimental results obtained from uniaxial tensile tests, a model is proposedto define stresses and strains in steel and concrete, taking into account both the fracture me-chanics of concrete and the bond-slip between the two materials. When repeated load are ap-plied, the damage effects with regard to the -slip and the -w cohesive models, must be alsoconsidered. Due to damage, reinforced concrete structures show a hysteretic behaviour. Withthe proposed model it is possible to define the role of both laws and to refine them during theunloading phase of each cycle, when cracks close up again.

1. Introduzione

Le azioni ripetute possono danneggiare le strutture di c.a. indipendentemente dallinten-sit con cui si manifestano. Nella fase di esercizio, quando limpegno strutturale lontano dallostato limite ultimo, generalmente lazione ciclica pu limitare la funzionalit della costruzionesenza comprometterne la capacit portante [1]. Invece, nel caso di azioni sismiche, di intensitprossime a quelle massime sopportabili, lazione ripetuta pur agendo per un breve periodo pro-duce un forte danneggiamento nelle membrature. Si nota in particolare una riduzione della rigi-dezza e della capacit di dissipare energia. In strutture di c.a complesse, lanalisi della rispostastrutturale a seguito di terremoti viene unicamente a dipendere dalla resistenza dei suoi elementicomponenti [2]. Il comportamento meccanico di un telaio soggetto ad azioni ripetute, ad esem-pio, legato a quello dei nodi trave colonna ove si concentrano le sollecitazioni ed il dannostrutturale; per questa ragione tali zone sono normalmente denominate regioni critiche [3].Dalle numerose prove, eseguite sia sui nodi interni [4] che esterni [5] al telaio, appare evidentela perdita di rigidezza della struttura con laumentare del numero di cicli. Di questa situazionesono principalmente responsabili il fenomeno fessurativo ed il deterioramento del conglomera-to, soggetto a forti azioni di trazione e compressione, nonch lo sfilamento delle armature delletravi e dei pilastri a causa della progressiva perdita di aderenza tra le barre dacciaio ed il circo-stante conglomerato. Non appare dunque corretto riprodurre il comportamento isteretico dellestrutture di c.a. soggette ad azioni sismiche trascurando il fenomeno di aderenza-scorrimento ela meccanica della frattura del conglomerato. Infatti, entrambi i meccanismi condizionano laforma del legame curvatura -momento M di strutture soggette a carichi monotoni [6] e di mem-brature sottoposte ad azioni ripetute, sia nella fase di esercizio che a stato limite ultimo. Per unconcio di trave o di colonna, la definizione di -M richiede la risoluzione di un sistema di equa-zioni differenziali ed integrali che si deducono imponendo le condizioni di equilibrio, di con-gruenza ed il rispetto dei legami costitutivi del materiale e delladerenza. Occorre sottolineareche per un elemento inflesso o pressoinflesso le equazioni che governano il problema non dif-feriscono sostanzialmente da quelle di un tirante [7]. In altre parole, il fenomeno di aderenza trala barra darmatura ed il conglomerato teso unitamente al meccanismo di frattura del calcestruz-zo, in un primo approccio possono essere indagati con riferimento ad una porzione di conglo-merato che interagisce con larmatura. Attraverso il semplice studio dei tiranti possibileevidenziare in modo razionale quegli aspetti, come ad esempio deformabilit e fessurazione inesercizio e la capacit portante a stato limite ultimo, che riguardano in generale tutte le strutturein conglomerato cementizio armato. In alcuni contributi teorici e sperimentali presenti in lette-ratura si studiato il danneggiamento delle strutture semplicemente tese di c. a. soggette adazioni ripetute. In qualche caso, tuttavia, i risultati non sono utili perch si indagato il fenome-no di aderenza-scorrimento separatamente da quello fessurativo, attraverso le prove cosiddettedi pullout.

Le prime analisi sugli effetti combinati della fessurazione e della riduzione di aderenza,risalgono alle prove di Bresler & Bertero [8]. In tale contributo, riferito ad un tirante con unasingola fessura, attraverso la misura delle deformazioni in vari punti della barra d'acciaio, gliautori misero in evidenza la presenza di tensioni residue nellarmatura al termine delle fasi discarico di ciascun ciclo. Con riferimento a questa indagine sperimentale, nel presente lavoro sivuole indagare il ruolo dei legami costitutivi sulla risposta strutturale degli elementi semplice-mente tesi. In particolare, introducendo un opportuno modello, si intende evidenziare lintera-zione tra il legame coesivo che modella la fessurazione del conglomerato e la legge aderenza-scorrimento nellintorno della fessura. Dal confronto dei risultati numerici con quelli sperimen-tali, emerge la necessit di apportare modifiche ai legami di aderenza e coesivi per meglio in-terpretare la fase di scarico.

2. Modellazione dei tiranti di c. a. soggetti ad azioni cicliche

In regime di azioni ripetute, particolarmente sentita la necessit di far dipendere la de-formabilit di un tirante di c.a. tanto dal fenomeno fessurativo, quanto dal meccanismo di ade-renza. Per questo motivo, si avanza la proposta di un modello in grado di definire lo stato ditensione e di deformazione nel calcestruzzo e nell'acciaio in un concio, tenendo conto del mec-canismo di frattura del calcestruzzo e dell'aderenza-scorrimento tra la barra ed il conglomerato.In modo particolare, si fa riferimento al tirante con una sola fessura rappresentato in Fig. 1a, giindagato in [8, 9].

La formulazione matematica del problema analoga a quella adottata per lo studio teoricodei nodi di un telaio [10] (Fig. 1): il tratto analizzato di lunghezza definita, limitato alle estre-mit da una fessura di ampiezza w nota e da una sezione ove la trazione nel calcestruzzo nulla(Stadio II). La definizione del comportamento strutturale dellelemento raffigurato in Fig. 1b,richiede il rispetto di condizioni statiche e geometriche. In particolare, in ciascuna sezione tra-sversale deve essere soddisfatta lequazione di equilibrio (Fig. 1c):

(1)

dove c e s sono le tensioni nel calcestruzzo e nellacciaio ed Ac e As le rispettive aree. Analogacondizione di equilibrio riguarda anche linterfaccia tra i due materiali. Con riferimento ad untratto elementare di barra darmatura di lunghezza dz, deve risultare (Fig. 1d):

(2)

dove ps il perimetro delle barre d'acciaio e (s(z)) lo sforzo di aderenza. Le condizioni di congruenza sono applicate sia nella singola sezione, dove si impone che

le deformazioni di acciaio s e calcestruzzo c rimangano piane (Fig. 1e), sia allinterfaccia tra

Figura 1Il concio di tirante considerato nel modello proposto.

c Ac s As+ N=

zdds ps

As----- s z( )( ) f1 s z( )( )= =

i due materiali. In tali zone, lo scorrimento s(z) (o slip) rappresenta la differenza di spostamentodi due punti originariamente affacciati sulla superficie di contatto tra acciaio e calcestruzzo.

Dalla derivazione di s(z) si ricava la seguente condizione:

. (3)

La soluzione del problema richiede lintegrazione numerica delle equazioni differenziali(2) e (3) con metodi di tipo esplicito, essendo le funzioni f1 ed f2 incognite [9]. Si suppone inoltreche l'azione esterna generi una progressiva crescita dell'ampiezza di fessura w (Fig. 1b), solo intal caso garantita l'univocit di risultato. Nel concio in esame, stabilito il valore di w ,nell'estremit fessurata (z = 0) noto lo scorrimento s(0) = w/2. Esplorando le sezioni che sisusseguono tra la fessura ed il bordo libero, lo scorrimento si riduce, fino a cambiare segno. Nel-lo stesso tratto, per effetto delle tensioni di aderenza , lo sforzo di trazione viene progressiva-mente trasferito dallacciaio al calcestruzzo. Alla distanza L (lunghezza del concio), lacondizione di contorno corrisponde alla situazione di Stadio II, ove la tensione nel calcestruzzo nulla. Dal punto di vista computazionale, per un assegnato valore di w, occorre determinarequel particolare valore dello sforzo normale N che, attraverso la soluzione del sistema di equa-zioni (1-3), permette di raggiungere lo Stadio II nella sezione distante L dalla fessura.

3. Le leggi costitutive

Per completare la formulazione del problema, alle precedenti equazioni (1-3) devono as-sociarsi le leggi costitutive dei materiali, la relazione -s tra gli sforzi di aderenza e gli scorri-menti ed il legame tensione-ampiezza di fessura -w. Per lacciaio e per il calcestruzzo siipotizza un comportamento lineare elastico, definito dai rispettivi moduli elastici Es (Fig. 2a) edEc (Fig. 2b). Questa assunzione giustificata dal limitato impegno dei materiali nelle condizionidi esercizio. Viceversa, quando nel calcestruzzo lo stato di tensione supera la resistenza a tra-zione fct si forma una fessura, sulle cui facce, ipotizzate piane e parallele, lo stato di sforzo calcolato in accordo con il Continuous Function Model di Fig. 2c [11]. Il legame di aderenza-scorrimento modellato con riferimento alla relazione -s rappresentata in Fig. 2d e Fig. 2e[12]; tale modellazione comprensiva dei fenomeni che si possono manifestare per effetto dellafessurazione parziale (fessure che non appaiono in superficie) e delle fessure di splitting.

Nel legame -w e nel modello -s , necessario considerare, rispettivamente, la richiusu-ra delle fessure e leventuale cambio di segno degli scorrimenti a seguito dellazione ciclica. Pertale ragione oltre alla curva di inviluppo, il Continuous Function Model riportato in Fig. 2c,prevede anche un ramo di scarico, per ipotesi coincidente con quella di ricarico, definito dallaseguente equazione:

(4)

dove p e wp sono le coordinate del punto A sulla curva di inviluppo e = 0.4. Nel legame diaderenza [12] la curva di inviluppo composta da quattro parti, da cui hanno origine i rami li-neari di scarico e ricarico (Fig. 2d). Nel presente lavoro, lanalisi del tirante non limitata al solo carico, scarico e successivo rica-rico, pertanto nella definizione dei legami di aderenza -s e -w devono includersi gli effettiprodotti dal danneggiamento.

zdds s z( ) c z( ) f2 z( )= =

pfct

3wpwc------ +

------------------- 0.014 wwp------log

5 0.57 wwp------+=

3.1 Il danneggiamento nei legami -w e -s

Le curve di inviluppo dei legami disegnati in Fig. 2c e Fig. 2d rappresentano le leggi co-stitutive relative al caso di carichi monotoni, mentre i rami di scarico possono essere impiegatisolo nelle analisi in cui possibile escludere il danneggiamento [13]. Anche per queste situa-zioni necessario apportare alcune modifiche alla legge aderenza-scorrimento [12] ed al legamecoesivo [11]. La crescita graduale delle fessure e la possibile richiusura, in presenza od in as-senza di danneggiamento, rende complicata lidentificazione della zona di calcestruzzo confi-nato e non. A tale definizione, come noto, legata la riduzione di aderenza in uno spazioconvenzionalmente misurato da una distanza pari a cinque volte il diametro delle barre darma-tura nellintorno della fessura. Si tratta di una grossolana approssimazione della realt fisica,poich prescinde dallapertura delle fessure che dovrebbe invece influenzare la dimensione del-la zona a limitata aderenza. Lampiezza delle lesioni pu infatti crescere gradualmente, mentrenellapproccio normativo [12] la zona soggetta ad una riduzione di aderenza costante. Analo-gamente, in presenza di scarichi possibile che sulle facce della fessura siano presenti tensionidi compressione ed un conseguente confinamento, che in teoria non dovrebbe richiedere la ri-duzione delladerenza. Onde evitare tali incertezze, in questa sede si preferisce solo definire un

Figura 2Le leggi costitutive adottate nel modello proposto.

legame il danneggiamento senza la riduzione di aderenza nellintorno della fessura. Il modelloadottato, schematicamente illustrato in Fig. 3a e Fig. 3b, prevede la curva di inviluppo di Fig. 2ced un comportamento isteretico ai vari cicli di carico in accordo con il modello di Pochanart &Harmon [14]. In tal modo il problema della riduzione di aderenza nellintorno della fessura ri-cade sulla corretta definizione del ramo di scarico della legge -w di Fig. 2c [11]. Come eviden-ziato nelle prove sperimentali [8], tale legame non pu essere utilizzato con soddisfacenteprecisione nellanalisi dei tiranti di calcestruzzo armato, in cui durante la fase di scarico si pre-sentano fessure di ampiezza w > wc (Fig. 2c) [9]. In queste situazioni gli sforzi di coesione sononulli, ma non appena la fessura si richiude si producono non trascurabili tensioni di compres-sione. Quando w > wc , si suppone che la curva di scarico e carico sia definita sempre dallequa-zione (4), valutata per wp = wc (Fig. 3c). Si ipotizza inoltre una tensione di compressionemassima pari ad fct / 2. In altre parole, si suppone che per w > wc , i cicli di carico e scarico pro-ducano un danneggiamento simile a quello prodotto dai cicli interni alla curva di inviluppo di-w [15].

4. Confronto con le risultanze sperimentali

L'elemento indagato in [8], simile al tirante rappresentato in Fig. 1, consiste in un cilindrodi calcestruzzo armato con una sola barra d'acciaio, alle cui estremit libere applicato il caricoN. In Fig. 4a sono riportate le caratteristiche geometriche e meccaniche dell'elemento di Fig. 2be la variazione dellazione esterna N allundicesimo ciclo. La sperimentazione ha permesso diricavare le deformazioni s lungo larmatura per livelli discreti dell'azione applicata. Poich illivello di sollecitazione si sempre mantenuto al di sotto del limite di snervamento, appare cor-retta l'ipotesi di comportamento lineare elastico dellacciaio. In Fig. 4b, le deformazioni s rica-vate con il modello proposto sono poste a confronto con i valori misurati sperimentalmentedurante la fase di ricarico dellundicesimo ciclo. In particolare, per N = 0 si nota la presenza ditensioni residue nell'acciaio in corrispondenza della lesione, dove, a seguito della richiusura del-la fessura durante lo scarico, sono presenti sforzi di compressione nel calcestruzzo. La simula-zione numerica appare in buon accordo con i dati sperimentali, a convalida dellapproccioproposto e delle leggi costitutive adottate.

Figura 3Il danneggiamento nei legami di aderenza e coesivo.

Figura 4I risultati del modello proposto e le misure sperimentali [8].

5. Osservazioni Conclusive

La necessit di controllare il fenomeno fessurativo nelle strutture soggette a carichi ciclici,ha giustificato gli sforzi rivolti alla realizzazione di un modello meccanico in grado di definirelo stato di tensione e di deformazione in un tirante di c.a., in presenza di una singola fessura.Attraverso questa modellazione si evidenziato il ruolo giocato dalladerenza e dalla meccanicadella frattura anche per ampiezze di fessura notevoli. Con tale approccio possibile definire conmaggiore rigore i legami costitutivi da adottare, al fine di riprodurre correttamente lo stato dicoazione che si sviluppa nella barra d'acciaio e nel calcestruzzo allo scarico. Il buon accordocon i risultati sperimentali lascia prevedere interessanti sviluppi anche per la modellazione dellestrutture inflesse.

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