4to Grado Algebra

7/28/2019 4to Grado Algebra

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Suma ( + )

Resta ( - )

Multiplicacin ( x )

Divisin ( )

Potencias ( )

Races ( )

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 4to Grado de Primaria

LGEBRA

El lgebra, es una rama de las matemticas en la quese usan letras para representar relaciones aritmticas.

Al igual que en la aritmtica, las operacionesfundamentales del lgebra son:

lgebra 1


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HISTORIA

La historia del lgebra comenz en el antiguo Egipto y Babilonia. Losantiguos babilonios resolvan cualquier ecuacin cuadrtica empleandoesencialmente los mismos mtodos que hoy se ensean.

Los matemticos alejandrinos Hern y Diofante continuaron con la

tradicin de Egipto y Babilonia. La palabra rabe al-abr que significa

reduccin, es el origen de la palabra lgebra. En el siglo IX, elmatemtico al-Jwarizmi escribi uno de los primeros libros rabes delgebra, una presentacin sistemtica de la teora fundamental de ecuaciones,

con ejemplos ydemostracionesincluidas. A finalesdel siglo IX, elmatemtico egipcio

Abu Kamilenunci y demostrlas leyesfundamentales eidentidades del

lgebra, y resolviproblemas tancomplicados comoencontrar lasx, y,zque cumplen:

x+ y+ z= 10, x2 + y2 = z2, y.x.z= y2.

lgebra 2


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EJERCICIOS PARA LA

1. Escribe dos ejemplos de operaciones con su respectiva solucin, para cadaoperacin del lgebra.

2. En qu pueblos y en qu poca el hombre inici su conocimientoalgebraico?

3. Investiga sobre el sistema de numeracin egipcio.

4. Investiga y anota brevemente, Quines fueron los Siete Sabios de Grecia?

lgebra 3


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NMEROS ENTEROS

Introduccin

Desde hace mucho tiempo, los chinos utilizaban bastoncillos de bamb ode madera para representar los nmeros y realizar clculos comerciales de unamanera prctica, pero tambin para tratar cuestiones relacionadas con losaumentos y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas ensentidos opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos segn querepresentarn cantidades positivas onegativas.

En Europa medieval, los rabesdieron a conocer los nmeros negativosque aprendieron de los hindes, que losutilizaban para representar prdidas enlas negociaciones comerciales.

En la Matemtica actual elconjunto de los nmeros enteros abarcatodos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito haciaambos lados de una recta numrica.

POSITIVOS QUE NO ALCANZAN

El conjunto de los nmeros naturales:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . }

nos permite contar lo que tenemos, lo que queremos, lo que necesitamos o loque damos.

Para expresar con cifras un conjunto vaco, es decir, identificar que nohaba nada, no quedaba nada o no faltaba nada, cre el 0 (cero), y form as

otro conjunto numrico, el de los nmeros cardinales:

No = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . }

lgebra 4


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Con el conjunto de los nmeros Naturales, el hombre solucion susproblemas, pero, luego se le presentaron nuevas situaciones; as por ejemplo:

Las cantidades que posee o quegana una persona

se consideran positivas, y lascantidades que debe, gasta o

pagase consideran negativas.

Para expresar cantidades positivas se utilizan los nmeros naturalescon el signo ms (+).

Para expresar cantidades negativas se utilizan los nmeros naturales

con el signo menos (-).

lgebra 5

Pedro y Pablo juegan a las canicas, luego de algn tiempo,Pedro ha ganado 5 canicas, entonces decimos que Pedro

tiene: canicas.

Pablo perdi las 3 canicas que tena, pero sigui jugando yvolvi a perder 2 canicas ms. Ahora Pablo le debe 2

canicas a Pedro, entonces decimos que tiene: .

Canicas.


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EL CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS (Z)

El conjunto de los Nmeros Enteros, que en adelante lo

representaremos por Z, est conformado por los nmeros negativos, el cero ylos nmeros positivos.

Representacin:

Sobre una lnea recta, ubiquemos un punto de referencia (origen) al quele hacemos corresponder el nmero cero. A partir del cero, ubicamos puntoshacia la derecha y hacia la izquierda haciendo corresponder a cada uno losnmeros positivos y negativos respectivamente.

NEGATIVOS CERO POSITIVOS

Los nmeros en Z aumentan de izquierda a derecha.

Representa los siguientes nmeros enteros en la recta numrica: -5 , +4 ,-2 , +2 , 0 , -1 , +3 , +5 , -6

NEGATIVOS CERO POSITIVOS

lgebra 6


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EJERCICIOS PARA LA

1. Cul es el nmero que separa los nmeros positivos de los negativos?

2. Menciona tres ejemplos de la vida cotidiana, en donde se haga uso delos nmeros negativos.

3. Representa los siguientes nmeros enteros en la recta numrica: -8 ,-6 , -2, +2 , +5

NNEGATIVOS CERO POSITIVOS

4. Representa los siguientes nmeros enteros en la recta numrica: -1 ,-4 , -2 , +2 , +1 , -6

lgebra 7


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5. Representa los siguientes nmeros enteros en la recta numrica: -8 ,

-10 , -7 , +2 , +8 , +9


lgebra 8


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OPUESTO DE UN NMERO ENTERO

El opuesto de un nmero entero es el nmero que tiene el

mismo valor absoluto, pero diferente signo; por ejemplo:

El opuesto de -6 es +6El opuesto de +3 es -3El opuesto de -24 es .El opuesto de +50 es ...El opuesto de -12 es .El opuesto de +40 es ...El opuesto de -127 es ..

RELACIN DE ORDEN EN Z

ZZ es un conjunto ordenado. Esto quiere decir que hay nmeros enterosmayores o menores que otros. Un nmero entero es menor que otro, si estcolocado a la izquierda de l en la recta numrica; y es mayor, cuando est asu derecha.

Ejemplos: Ordenaremos de menor a mayor -3, +4, -5 y +5.

Los nmeros ordenados son: .

Ordenaremos de mayor a menor -4, +3, -6, 0 y +5.

Los nmeros ordenados son: .

RECUERDA:

Todo nmero entero positivo es mayor que 0.

Todo nmero entero positivo es mayor que cualquier nmero ..

Todo nmero entero negativo es menor que 0.

Todo nmero entero negativo es menor que cualquier nmero ..

lgebra 9


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EJERCICIOS PARA LA

1. Cul es el nmero opuesto a -32?

2. Cul es el nmero opuesto a +71?

3. Escribe el opuesto de los siguientes nmeros:El opuesto de -124 es El opuesto de +307 es El opuesto de -510 es ....

El opuesto de +64 es ....

4. Utilizando la recta numrica, ordena de mayor a menor, los siguientesgrupos de nmeros:

a) +2, -8, 0, -3, +5, -5 y +6b) +10, -9, +7, -5, +1, -4 y +8c) +4, -6, -1, 0, -9 y +3

5. Ordena de menor a mayor, los siguientes grupos de nmeros:

a) +9, -8, +7, -6, +5, -4, +3, -2, +1b) +9, +7, -13, -15, -5, +4, 0, +3c) -12, -9, +10, -6, -1, +6, -15, +2

6. Responde a las siguientes preguntas:

a) Si 23 grados sobre cero son representados por +23C. Cmo serepresenta 12 bajo cero?

b) Si 12 pasos al frente se representa por +12. Cmo serepresenta 24 pasos para atrs?

lgebra 10


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ADICIN DE NMEROS ENTEROS

Pedro gan 5 soles, luego gan 4 soles ms, Cunto dinero

tiene en total?Pedro gan 5 soles lo representamos por: ( +5 ),luego, gan 4 soles, lo representamos por: ( +4 )

Total: ( +5 ) + ( +4 ) =

Ricardo perdi en el parque 6 soles, luego volvi a perder 3soles, Cunto tiene Ricardo en total?Ricardo pedi 6 soles, lo representamos por: ( -6 )Luego, perdi 3 soles, lo representamos por: ( -3 )

Total: ( -6 ) + ( -3 ) =

Regla:

Ejemplos:(+4) + (+9) =(+12) + (+7) =(-8) + (-10) =(-2) + (-5) =(+3) + (+7) =

(+10) + (+18) =(-12) + (-5) =(-8) + (-6) =

lgebra 11

Para sumar dos nmeros enteros que tengan el mismo signo,

se suman los valores de los nmeros (los nmeros sin su

signo), y al resultado se le antepone el signo comn.

Para sumar dos nmeros enteros que tengan diferente signo, se

restan el mayor valor menos el menor valor (los nmeros sin su

signo), y al resultado se le antepone el signo del nmero que tena

mayor valor.


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Ejemplos:(+4) + (-10) =

(-6) + (+5) =(+6) + (-8) =(-7) + (+3) =(+8) + (-11) =(-8) + (+10) =

Ejemplos: (-4) + (+4) =(+5) + (-5) =(-9) + (+9) =(+50) + (-50) =

lgebra 12

La suma de un nmero y su opuesto es cero. (Cero no tiene signo).


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EJERCICIOS PARA LA1. Calcula:

a) (+5) + (+7) =b) (-6) + (-2) =c) (+10) + (+7) =d) (-8) + (-5) =e) (-11) + (-12) =f) (-4) + (-2) =g) (+8) + (+7) =

2. Calcular:a) (-5) + (+3) =b) (-6) + (+2) =c) (-4) + (+7) =d) (+10) + (-5) =e) (-8) + (+12) =f) (-4) + (-15) =g) (+8) + (-6) =h) (-17) + (+17) =i) (+57) + (-57) =j) (-124) + (+124) =

3. Representa en la recta numrica y halla el resultado de:

a) (-6) + (+3) =

0

b) (+4) + (-9) =

0

c) (-5) + (-6) =

0

SUSTRACCIN DE NMEROS ENTEROS

lgebra 13


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Para calcular la diferencia de dos nmeros enteros, se debe sumar elminuendo con el opuesto del sustraendo.

Ejemplos:(+4) (-3) = (+4) + (+3) = (-2) (+5) = (-2) + (-5) = (-7) (-6) = (-7) + (+6) = (+10) (+6) = (+10) + (-6) = (-12) (-10) = (-12) + (+10) =

Escritura simplificada:Otra manera de trabajar los nmeros enteros es reduciendo los signos, para locual tendremos en cuenta lo siguiente:

- Un nmero entero sin signo que lo preceda, se considerar un enteroPOSITIVO.

Ejemplos:253 = +2317 = .

287 = .

- Si se tiene un entero entre parntesis y un signo positivo lo precede,el parntesis se puede eliminar y el entero seguir con su mismosigno.

Ejemplos:+ (-32) = -32+ (+18) = .+ (-208) = .

- Si se tiene un entero entre parntesis y un signo negativo lo precede,el parntesis se puede eliminar, pero, se invertir el signo del entero,si es negativo se le pondr signo positivo, y si es positivo, se lepondr signo negativo.

Ejemplos:- (-25) = +25- (+23) = .- (-142) = .

Ejercicios

lgebra 14

a b = a + ( - b )


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Desarrollar las siguientes operaciones con nmeros enteros, utilizando laescritura simplificada:

(+4) + (-6) = 4 6 = ______

(-10) + (-5) = -10 5 = ______

(+5) - (-8) = ________________

(-10) - (+9) = ________________

(+7) - (+3) = ________________

(-8) - (+10) = ________________

(+2) - (-7) = ________________

(+6) - (-7) = ________________

(-20) + (-8) = ________________

(+7) + (-14) = ________________

lgebra 15


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EJERCICIOS PARA LA

1. Calcular:

a) -5 + 2 =

b) -10 + 5 =

c) -9 + 10 =

d) -4 12 =

e) +15 - 7 =

f) +30 - 40 =

g) -6 + 25 =

h) -14 + 15 =

i) -42 8 =

j) +7 - 30 =

2. Calcular:

a) (-10) - (+6) =

b) (-12) - (+8) =

c) (-14) (-4) =

d) (+6) (-6) =

e) (-24) (+5) =

f) (+4) (+5) =

g) (-12) (+15) =

h) (+8) - (+15) =

3. Restar:

a) (-12) de (-10) = (-10) - (-12) = -10 + 12 =

b) (+15) de (-6) =

c) (+25) de (-30) =

d) (-14) de (-10) =

e) (+8) de (-7) =

lgebra 16


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MULTIPLICACIN DE NMEROS ENTEROS

Para multiplicar dos nmeros enteros tendremos en cuenta doscasos:

1 Caso.- Cuando los dos factores tengan igual signo, es decir, los dos sonpositivos o los dos son negativos, entonces, el producto tendr signo positivo.

Ejemplos:(+3) . (+5) =

(+2) . (+7) =(+9) . (+5) =(-5) . (-7) =(-6) . (-8) =(-3) . (-12) =(-10) . (+7) =

2 Caso.- Cuando un factor es positivo y el otro negativo, el producto tienesigno negativo.

Ejemplos:

(-3) . (+4) =(+7) . (-2) =(- 5) . (+6) =(-8) . (+1) =(+4) . (-6) =(-8) . (+4) =(+6) . (-7) =

Recuerda:

lgebra 17

Regla de Signos

(+) . (+) = (+)

(-) . (-) = (+)

Regla de Signos

(-) . (+) = (-)

(+) . (-) = (-)

El producto es positivo

Si los dos factorestienen

El producto es negativo

(+) . (+) = +

(- ) . (- ) = +

(+) . (- ) = -

(- ) . (+) = -

Diferente signoIgual signo


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EJERCICIOS PARA LA

1. Calcula:

a) (+2) . (+9) =

b) (-5) . (-2) =

c) (-7) . (+3) =

d) (+8) . (-4) =

e) (-2) . (+12) =

f) (+5) . (-8) =

g) (+7) . (-10) =

h) (-4) . (-6) =

i) (+3) . (-9) =

j) (-9) . (+6) =

k) (-6) . (-3) =

l) (-12) . (+10) =

m) (-6) . (-20) =

n) (-12) . (-3) =

lgebra 18


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POTENCIACIN

MULTIPLICACIN POTENCIACIN

4 x 4 x 4 = 64 4 x 4 x 4 = 43 = 645 x 5 x 5 = 125 5 x 5 x 5 = 53 = 125

3 x 3 = 9 3 x 3 = 32 = 9

Sabias que ........Una potencia est formada por el producto

de factores iguales, donde el factor que se repite se llama

base, elevado a un exponente que indica el nmero deveces que se repite el factor.

Trminos de una Potencia:

Exponente

2 3 = 2 x 2 x 2 = 8 PotenciaBase

En:

x n = b

x (..........................) :___________________________________________

n (..........................) :___________________________________________

b (..........................) :

___________________________________________

lgebra 19


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Ejemplos:

32 = 9 43 = 64

Se lee: 3 elevado al cuadrado. Se lee: 4 elevado al cubo.

Ejemplos:

a) 34 = = Se lee: .

b) 25 = = Se lee: ..

c) 62 = = Se lee: .

lgebra 20


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Convierte las siguientes multiplicaciones a potencia:

3 x 3 x 3 = _33____ = ___27_

5 x 5 = ______ = _______

6 x 6 x 6 = ______ = _______

4 x 4 = ______ = _______

2 x 2 x 2 = ______ = _______

8 x 8 = ______ = _______

2.- Observa y completa el cuadro:

Multiplicacin Potencia Base Exponente Se lee Valor

4 x 4 42 4 2Cuatro elevado al

cuadrado16

3 x 3 x 3 27

23 Dos elevado al cubo

5 x 5 5 2Cinco elevado al

cuadrado

82 64

3.- Escribe V o F segn convenga:

a) 3 x 3 x 3 = 33 ( )

b) 42 = 4 + 4 = 8 ( )

c) 5 x 5 x 5 = 53 ( )

d) 8 x 8 = 26 ( )

e) 36 = 62 ( )f) 125 = 53 ( )

lgebra 21


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g) 102 = 100 ( )

h) 82

= 16 ( )

4.- Completa las siguientes tablas:

Elevado al 2

1 12 1

2 22 4

34

5

6

7

8

9

10

Elevado al 3

1 13 1

2 23 8

34

5

6

7

8

9

10

lgebra 22


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Casos especiales de la potenciacin

a) Exponente 0 (cero):Un nmero elevado al exponente cero (0) es igual a uno (1).

Ejemplos:

a) 80 =

b) 270 = .

c) 9270 = .

b) Exponente 1 (uno):Un nmero natural elevado al exponente uno (1) es el mismo nmero

natural.

Ejemplos:

a) 61 =

b) 31 =

c) 201

=

d) 8001 =

e) 10001 =

lgebra 23

b1 = b

b0 = 1 ; b 0


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PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) Expresa como potencia:

a) 2.2.2.2 = .

b) 7.7.7 = ..

c) 9. 9. 9. 9 = .

d) x . x . x . x = .

e) 10.10.10.10.10.10.10 = .

2) Hallar:a. 59 = .

b. 693 = .

c. (97 x 63) = .

d. 91 = .

e. 171 = .

f. 2051 = .

3) Hallar el resultado:

a) 32 x 23 = .

b) 53 x 21 = .

c) 53 x 9 = .

d) 71 x 24 = .

e) 450 x 231 = .

lgebra 24


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4) Completa el cuadro segn convenga:

Exponentes

2 32 4

9 729

7

5 5

10

5) Resuelve las potencias, luego compara de acuerdo a la condicin. Coloca

un aspa donde corresponda:

Mayor que 13 = 62 = 91 = 102 =

23 = 8 x

43 =

53 =

73 =

Sabias que ...

El exponente indica las veces que se repite la base como factor: 82 = 8 x 8 =64

lgebra 25


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PROBLEMAS PARA LA

1) Efecta:

a) 72 =

b) 25 =

c) 34 =

d) 245 =

e) (9 x 8) =

f) 451 x 28 =

g) 23 x 31 x 7 =

h) x . x . x . y . y =

i) 8. 8. 8. 8 =

j) 10. 10. 10. 10. 10 =

k) 23 . 51 =

l) 130 . 181 =

2) Completa el cuadro:

lgebra 26

3 25 19

BaseExponentePotencia


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lgebra 27


28/81

10

0

4

9

3

6

4

8


3) Completa:

N n n1 n2 n3 n4

1 1 29 125

100

4) Relaciona las potencias con sus resultados:

a. 23 x 6

b. 4 x 32

c. 52 x 22

e. 72 x 29

5) Une con una flecha segn convenga:

252 2 500

102

625

83 512

502 100

lgebra 28


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RAZ CUADRADA

La raz cuadrada de un nmero es otro nmero que, elevado alcuadrado, es igual al primero.

Ejemplo:

16 = 4 porque 42 = 16

25 = 5 porque 52 = 25

Radicandondice

; Porque x = a2

Signo radical Raz

lgebra 29

ax =2


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EJERCICIOS PARA LA CLASE

1) 52 = _____________ porque = ________________

2) 32 = _____________ porque = ________________

3) 72 = _____________ porque = ________________

4) 92 = _____________ porque = ________________

Calcula y completa:5) 5 al cuadrado es igual a _____ la raz cuadrada de ______ es _______

52 = _________ = ___________

6) 7 al cuadrado es igual a ____ la raz cuadrada de _______ es _______

72 = ___________ = ____________

7) 10 al cuadrado es igual a ______ la raz cuadrada de _______ es _____

102 = ___________ = ____________

* Halla la raz cuadrada de:

8) 25 =

9) 49 =

10) 36 =

* Halla el resultado de las siguientes operaciones

11) 16 - 9 + 1 =

12) 25 . 9 10 =

13) 36 . ( 4 + 1) =

14) 36 9 9 - 120 =

15) 100 100 x 22 80 =

EJERCICIOS PARA LA

lgebra 30


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Halla la raz cuadrada de:

1) 36 = 5) 64 =

2) 16 = 6) 4 =

3) 1 = 7) 49 =

4) 25 = 8) 81 =

Efecta y halla el resultado:

1) 25 + 36 =

a) 3b) 8c) 7d) 9e) 11

2) 5( 64 ) 6 =a) 34b) 36c) 40

d) 4e) 6

3) 144 - 100 =a) 4b) 3c) 2d) 5e) N.A.

4) ( 49 + 270) 22 =a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

5) 52 - 121 =

a) 14b) 25c) 17d) 20e) 11

6) 9 x 10 - 18 =a) 12b) 18c) 10

d) 30e) N.A.

7) 25 16 =a) 3b) 4c) 6d) 1e) 5

8) 36 . 4 . 9 =

a) 12b) 24c) 36d) 72e) 144

lgebra 31


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LEYES DE EXPONENTES

1) Multiplicacin de bases igualesObserva los ejemplos:

a) 22 x 23 = (2 . 2) . (2 . 2 . 2) = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 =b) 33 x 34 = (3 . 3 . 3) . (3 . 3 . 3 . 3) = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 =c) 45 x 4 = (4 . 4 . 4 . 4 . 4) . (4) = 4 . 4 . 4 . 4 . 4. 4 =d) 82 x 83 x 84 = (8 . 8) . (8 . 8 . 8) . (8 . 8 . 8 . 8) = 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 =

De los ejemplos anteriores podemos ver que cuando tengamos una multiplicacinde dos o ms potencias que tengan bases iguales, podemos simplificar a una sola

potencia con la base comn, y como exponente se colocar la suma de losexponentes dados.

Ejemplos:

22. 23 = _________________

67

. 62

= _________________

52. 54 = _________________

96. 95 = _________________

2012. 2035 = _________________

2) Divisin de bases iguales

Observa los ejemplos:

a) 24 23 = (2 . 2 . 2 . 2) =(2 . 2 . 2)

b) 35 34 = (3 . 3 . 3 . 3 . 3) =(3 . 3 . 3 . 3)

c) 45 42 = (4 . 4 . 4 . 4 . 4) =(4 . 4)

d) 86 82 = (8 . 8 . 8 . 8 . 8 . 8 ) =

(8 . 8)

lgebra 32

am. an = _____


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De los ejemplos anteriores podemos ver que cuando tengamos una divisin de dospotencias que tengan bases iguales, la potencia resultante tendr la base comn, yel exponente se obtendr restando los exponentes dados.

Ejemplos:28 23 = _________________

34 3 = _________________

67 62 = _________________

59 54 = _________________

46 45 = _________________

1210 125 = _________________

3) Exponente nuloSi en un caso resulta que m = n entonces tendramos:

10===

aaa

a nmn

m

Por lo tanto:

Ejemplos:a) 230 =

b) 120 =

c) 50 =

d) (12 x 81)0 =

e) (9 + 5 x 8 2)0 =

lgebra 33

a 0

a0 = 1 a 0


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4) Exponente negativo

Siguiendo con el ejemplo anterior (3), si en un caso resulta que m = 0.

Tendramos:

nn

nn

aa

a

a

a

===0

01

Por lo tanto:

n

na

a

=1

a 0

lgebra 34


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a) 2 . 2 . 2 . 2 . 2 =b) 3 . 3 . 3 =c) x . x . x . x . x . x =d) m . m . m . p . p . p =e) q . q . q . q . ....... q . q =

15 factores

2) Halla la potencia de:a) 43 =

b) 34

=c) 26 =

3) Halla la potencia usando la primera ley:

a. 23 . 22 . 2 =b. 33 . 32 . 30 =a) 4 . 42 . 40 =

b) m2 . p5 . m3 . p3 =c) x2 . x3 . x =d) xa . xb =e) p10 p7 =

f) n4 n3 =

g) z13 z7 =

h) q8 q6 =

4) Efectaa) 140 . 3 =

b) (17 . 23)0 =c) (5m)0=

d) (a . b . c)0 =e) x3 . x-2 =

5) Escriba V si es verdadero y F si es falso:

a) 210 . 2 = 211 ( )b) 53 . 54 = 512 ( )c) 24 = 8 ( )d) x4 . x5 = x45 ( )e) x3 . y2 = (x . y)6 ( )

f) m3

. m = m4

( )

lgebra 35


36/81


EJERCICIOS PARA LA

1) Efectaa) a5 . a3 =

b) m4 . m3 . m2 =

c) x . x3 . x2 =

d) p . p . p =

e) z13 z6 =

f) c10 c12 =

g) q9 : q7 =

h) (4m + 5)0 =

i) (720 716)0 =

j) q2 q 3 =

k) m8 m =


a) 2 . 2 . 2 . 2 . ...... . 2 .2 =b factores

b) b . b . b . c . c . c . b . b . c . b =

c) (x . x . x . x) : (x . x . x) =

d) 55 (5 . 5 . 5) =

e) (3 . 3 . 3) (4 . 4) =

3) Escribe V o F segn corresponda: (Recuerda, para aplicar la regla

estudiada las bases deben ser iguales)

a) 23 . 32 = 65 ( )

b) m3 . m5 = m8 ( )

c) q9 : q3 = q3 ( )

d) x10 x5 = x2 ( )

e) x12 : x7 = x5 ( )

lgebra 36


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EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Se denomina expresin algebraica al conjunto o unin de nmerosy letras, unidos entre s por cualquiera de las operacionesmatemticas de adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin,potenciacin y radicacin o una combinacin de estas en unnmero limitado de veces.

Ejemplos:

5x ; 3x2 ; 2x y ; 4x3y + z

El lgebra emplea CONSTANTES y VARIABLES.

CONSTANTE

Es un smbolo que admite un solo valor conocido o ya definido, por ejemplo:

3 ; -7 ; 8 ; 0,5 ; etc.

VARIABLE

Es un smbolo que admite cualquier valor, dependiendo de la expresinde la que forma parte.

Ejemplo:x; y; z; ..... ; etc.

TRMINO ALGEBRAICO

Es un conjunto de letras y nmeros enlazados entre s solamente por lasoperaciones de multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin, o unacombinacin de stas en un nmero limitado de veces.

Ejemplos:

a) 6x4y5 Es un trmino algebraico.

b) (2x8 + y5) No es un trmino algebraico, es una expresin

algebraica formada por dos trminos algebraicos.

lgebra 37


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Elementos de un trmino algebraico

1 Signo: Puede ser positivo (+) o negativo (-).

2 Coeficiente. Es un nmero que va junto a la parte literal.

Ejemplos: 3y5 Coeficiente: 3

16m9 Coeficiente: 16

7x2

Coeficiente: 7 x14 Coeficiente: 1

3 Parte literal. Es aquella parte formada por todas las letras o variables deltrmino.

Ejemplos: 6m6 parte literal: m

8a2b3 parte literal: a y b

23x2y3 parte literal: x y y

4 Exponente: Son los nmeros escritos en la parte superior derecha de cada letra.

Ejemplos:

20a3 exponente de a : 3

25b12 exponente de b : 12

5x exponente de x : 1

lgebra 38

- 12x3

Signo Exponente

Parte literalCoeficiente


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1) En las siguientes expresiones algebraicas, indica cuntos trminosalgebraicos hay y cules son.

a) -3yz + x + zm .. ( )

b) 11ab + 3ax by2 .. ( )

c) 52xyz - m2 + 5y3 zmx .. ( )

d) 3y + xy + 2x2 - mxy 8m .. ( )

e) 15x2 + 6bx + c - 2my2 8xz 9a .. ( )

f) 8xy + 3yz 5xz - z3

+ 4yz2

+ z .. ( )g) 5x2 y3 2x + (2y).(2x) - 8x2y .. ( )

h) 12 ab2 + 5b2 8a3b + 2a2b .. ( )

i) 5x3 + 2y zm .. ( )

j) x2 + 3x3 + 5x4 .. ( )

k) 9 y .. ( )

2) Completa el cuadro:

Trmino

algebraicoSigno Coeficiente

Parte

literalExponente

-x16

7y5

-12m2

12m-2

-125x5

-87s8

lgebra 39


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EJERCICIOS PARA LA

l) Completa el cuadro

Trmino

AlgebraicoSigno Coeficiente

Parte

literalExponente

3x2

- 8m5

-15z

-a7

3a9

2) En las siguientes expresiones algebraicas, indica cuntos trminos

algebraicos hay y cules son.

a) 10y + x + z .. ( )

b) 11abx by2 .. ( )

c) 52xyz + 5y3 3mx .. ( )

d) (3y).(xz) + 2x2 8m .. ( )

e) 15x2

+ 6bx 8xz 9a .. ( )

f) 8xy + 3yz 5xz z3 .. ( )

g) 5x2 y3 2x + (2y).(2x) .. ( )

h) 12 ab2 + 58a3b + 2a2b .. ( )

lgebra 40


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TRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos trminos que tienen iguales letras afectados de iguales

exponentes. Por ejemplo:

a) -5x8 ; 0,2x8 ; x 8 son trminos semejantes

b) 5x2y3 ; 4x3y2 no son trminos semejantes

c) _______________

d) _______________

Reduccin de trminos semejantes

Si descubrimos que dos o ms trminos son semejantes, estos puedenser reducidos a uno solo, sumando o restando los coeficientes y escribiendo lamisma parte literal.

Ejemplos:

a) Reducir: 10ab + 7ab = (10 + 7)ab = ______

b) Reducir: 2abc + 5abc = (2 + 5)abc = ______

c) Reducir: -2m2 + 3m2 = (-2 + 3)m2 = ______

d) Reducir: 8x2 + 4x2 = (8 + 4)x2 = ______

e) Reducir: 5y43y4 = (5 - 3)y4 = ______

f) Reducir: -6a4 + 3b2 + 4a2 = (- 6 + 4)a2 + 3b2 =

___________________

g) Reducir: -4m + 6p 3r m + p -3r = (-4 - 1)m + (6 + 1)p + (-3 - 3)r =

___________

Cuidado:Al sumar o restar los coeficientes de los trminos semejantes,recurrimos a la regla de signos para la suma y resta denmeros enteros.

lgebra 41


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Signos de coleccin

Si estos signos de coleccin seencuentran unos dentro de otros.Se van eliminando desdeadentro hacia afuera

Para suprimir signos de coleccin se procede del siguiente modo:

a) Si delante de un signo de coleccin aparece el signo +, eliminamos tal signode coleccin y los signos + o de los trminos interiores no cambian.

Ejemplos:

a) + (2x 5x2) = 2x3 5x2

b) + (-6x + 2) = -6x + 2

c) + (-x3 x2 + 4) = __________________

d) + (4x 8z) = _________________

lgebra 42

Recuerda

Los principales signos de coleccin son:

Parntesis ( )

Corchetes [ ]Llaves { }


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b) Si delante de un signo de coleccin aparece el signo menos (-), eliminamostal signo de coleccin, y los signos + o de los trminos interiores cambian.

Ejemplo:

a) (-x + 3y z ) = x 3y + z

b) - (-2x4 + b2 + 7c) = 2x4 - b2 - 7c

c) - (-2x4 + b2 + 7c) = 2x4 - b2 - 7c

c) - (5a2 3b2 + 1) = ________________

d) - (8y - z) = __________________

e) - (-13c4 + 13b2 6) = _________________

f) - (-3x + y - z) = __________________

lgebra 43


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ACTIVIDADES PROPUESTAS

1) Se tienen los nmeros: (-3) ; (+2) ; (-5) y las variables x ey Escribe 3 diferentes trminos algebraicos con los nmeros y variablesdadas.

Ejemplo: -3x2

2) Escribir 3 trminos semejantes para cada uno de los 5 trminos escritos enel caso (1).

3) Luego de efectuar la indicacin (2) reducir cada grupo de trminossemejantes a uno solo.

4) Reducir las expresiones mostradas a continuacin.

a. (-5a) + (-9a) =

b. 12bc 7bc -3bc + 9bc =

c. (-3m + 4m + 7m 9m) =

d. (2a - 3b) + (6a + 7b) =

e. 10ab (4ab 3ab) =

f. (-4m + 6p 3r) (5m + 2p -3r) =

g. (2d 3e + 4f) + (3f + 4d 2e) =

h. [3x2 + (4y x2)] +2y) +5x2

lgebra 44


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CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

De acuerdo al nmero de sus trminos, las Expresiones Algebraicas se clasifican en:

Monomios y Polinomios.

I. Monomios:Es la E. A. que consta de un slo trmino.Ejemplo:

3x ; -7y2 ; xy3 ; 7ab ; x2yz3

II. Polinomio:Es la E. A. de dos o ms trminos.

Ejemplo:

4x 3y ; 5x2 - 3y + xy ; 3xy + 5y 3x + 6

2 T. A. 3 T. A. 4 T. A.

De acuerdo al nmero de trminos, se utilizan denominaciones especialespara nombrar a los polinomios. As:

a) Binomio: Es la expresin algebraica que consta de dos trminos.

Ejemplo:3x2 y8x2y + y2x + 3

b) Trinomio: Es la expresin algebraica que consta de tres trminos.Ejemplo:

3x2 7xz + z3

2a2 - 3ab + b2

3a2 + 5b3 c2

GRADO DE UN MONOMIO

Grado de una variableSea el trmino algebraico:

lgebra 45

- 12x3

Exponente


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8 + 7 = 15

3 + 2 = 5


La variable es x y su exponente es 3. Luego, diremos que el grado de

la variable x es 3.

Recuerda: El grado de una variable es el exponente de dicha variable.

Ejemplos:En el trmino: 5x2y3

Grado de la variable x es 2 o segundo grado. Grado de la variable y es 3 o tercer grado.

En el trmino: 228a6b Grado de la variable a es ... Grado de la variable b es ...

Grado de un monomioEl grado de un monomio puede ser relativo o absoluto.

El grado relativo es el exponente de una letra o variable en particular.Ejemplos:

9x3y2

104a8b7

El grado absoluto de un trmino algebraico esta dado por la suma delos exponentes de la parte literal.

Ejemplos:

El grado absoluto de: 9x3 y2 es:

lgebra 46

El grado relativo con respecto a x es 3 o tercer grado

El grado relativo con respecto a y es 2 o segundo grado

El grado relativo con respecto a b es 7

El grado relativo con respecto a a es 8


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El grado absoluto de: 104a8 b7es:

GRADO DE UN POLINOMIO

El grado es relativo o con respecto a una letra si se refiere al mayorexponente de dicha letra o variable en el polinomio.

Ejemplo 1:En el polinomio: 2x3 y4 + 7x5 y3

- Grado relativo con respecto a x es: ___________- Grado relativo con respecto a y es: ___________

Ejemplo 2:

En el polinomio: 175x6y3z 26x3y4z2

- Grado relativo con respecto a x es: ___________- Grado relativo con respecto a y es: ___________- Grado relativo con respecto a z es: ___________

El grado absoluto de un polinomio es igual al grado de su trmino demayor grado absoluto.

Ejemplo 1:En el polinomio: 6x2y 2x2y4 + 4xy2

Grado absoluto del monomio: 1 + 2 = 3Grado absoluto del monomio: 2 + 4 = ____

Grado absoluto del monomio: ____ + ____ = ____

El grado absoluto del polinomio 6x2y 2x2y4 + 4xy2 es o sexto grado

Ejemplo 2:En el polinomio 6xy2z 5x2y + 10xy4z2 7xy5

Grado absoluto del monomio: _____

Grado absoluto del monomio: ________

Grado absoluto del monomio: _________

Grado absoluto del monomio: _________

lgebra 47

El grado de un polinomio puede ser

relativo y absoluto.


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El polinomio 6xy2z 5x2y + 10xy4z2 7xy5 tiene por grado absoluto ____o sptimo grado.

lgebra 48


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1) Identifica el coeficiente y parte literal de cada uno de los monomios siguientes:

COEFICIENTE PARTE LITERAL

a) 2x3 __________ ; __________

b) 6zy __________ ; __________

c) 4z7y2 __________ ; __________

d)5

2z3y2 __________ ; __________

e) 2ab4c5 __________ ; ___________

f) -16mn3 __________ ; ___________

2) Encierra con una lnea curva a aquellos trminos que sean semejantesen cada uno de los polinomios siguientes:

a) 2a 3ab2 + 5ab + 6ab2

b) 7x4y + 2 xy4 3x4y x4y

c) ab2 2ab + 3ab2 + 4a2b 7ab2

d) 11xy3 5y3x 15xy3 + 5x2y

e) 5x2a 2xa2 + 3x2a 3x2a + 7x2a2 3ax

3) De qu grado absoluto es cada uno de los monomios siguientes?

a) 4x2y2 __________ ; __________

b) 2a3b2 __________ ; __________

c) 6x3y2z __________ ; __________

lgebra 49


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d) 8x3yz3 __________ ; __________

e) 3x2y5 __________ ; __________

f) x5y3z2 __________ ; __________

g) 6x2yz4 __________ ; __________

4) En el polinomio: 27x3y2z 60x2y3z2

a) Grado relativo con respecto a x es: ___________

b) Grado relativo con respecto a y es: ___________

c) Grado relativo con respecto a z es: ___________

5) En el polinomio: a3b2c10 8a2b2c5

a) Grado relativo con respecto a a es: ___________

b) Grado relativo con respecto a b es: ___________c) Grado relativo con respecto a c es: ___________

6) Halla el grado absoluto de cada uno de los polinomios siguientes.

a) 2x3y + x3y2 4x2y2 + 2x3y4 G.A.__________________

b) x3yz4 5xy2z + 5xyz2 - 2x2yz3 G.A.__________________

c) 6x2y 8x3y4 + x4y5- 4x2y3 G.A __________________

d) 2xyz3 3xy2z3 + x2y3 2xyz6 G.A __________________

e) x3y2z 7x3yz2 + 3xyz6 7x2z3y G.A __________________

lgebra 50


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VALOR NUMRICO

Cuando en un monomio o en un polinomio reemplazamos

cada letra por un valor especfico y efectuamos lasoperaciones indicadas, entonces, estamos hallando el valornumrico de dicho monomio o polinomio.

Ejemplo 1:Cul es el valor numrico de 3m? Si m = 7

Solucin:Reemplazando:

3m = 3 ( ) = _______

Ejemplo 2: Cul es el valor numrico de 2ab? Si a = 4 y b = 5Solucin:

Reemplazando:2ab = 2( ) . ( ) = _________

Ejemplo 3:Hallar el valor numrico de: 2c + bc a2Siendo: a = 2 ; b = 3 y c = 8

Solucin:Reemplazando los valores de a, b y c

2c + bc a2 = 2( ) + ( ).( ) ( )2 == _______ + ______ ______ == _______ + _______ = _______

Ejemplo 4:Hallar el valor numrico del polinomio: x2 + 5x 6; cuando x = 2

Solucin:Reemplazando: x = 2

x2

+ 5x 6 = ( )2

+ 5 ( ) 6 == _______ + _______ 6 == __________

Ejemplo 5:Hallar el valor numrico de: x3 6 , si x = 3

x2 - 2Solucin:

Reemplazando:

x3 6 = ( )3 6 = ________ = _____

x

2

- 2 ( )

2

2

lgebra 51


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EJERCICIOS PARA LA

1) Para el polinomio: 5x2 3x + 2. Halla su valor numrico para cada unode los valores de x siguientes:

a) x = -1 5(-1)2 3(-1) + 2 = 5 + 3 + 2 = _______ = _____

b) x = 2

c) x = 3

d) x = 1

e) x = 0

2) Sabiendo que: x = 3; y = 2; a = 1; halla el valor numrico decada polinomio.

a) 2x2y + 3x 7 = 2(3)2(2) + 3(3) 7 = _______________

b) 3a2 xy =

c) x2y3 7y + a =

d) 5a3 3xy + y =

e) 5a 3a2 + xy =

f) 3x2y + 8a 7 =

g) 3ay2 y =

h) x2a3 7y + x =

i) 5a3 3xy + y2 =

j) 5ay 3a2 + x2 =

lgebra 52


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OPERACIONES CON MONOMIOS

Recuerda:

- 25 xy2

Observacin:Dos o ms trminos algebraicos son semejantes si ___________________

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

ADICIN Y SUSTRACCIN DE MONOMIOS

Para sumar o restar dos o ms monomios semejantes se suman orestan sus coeficientes y al resultado se le pone la misma parte literal de losmonomios semejantes dados.

Ejemplos:

a) 11mx + 9mx = (11 + 9)mx = 20mx

Trminos semejantes

b) 2a + 5a = (2 + 5) a =

c) 5y2 + 8y2 + 7y2 = (5 + 8 + 7) y2 =

d) 12xy + 6xy + 13xy = .

e) 25ab 13ab = (25 13) ab = 12ab

Trminos semejantes

lgebra 53


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f) 8x x = (8 1) =

g) -5x

2

+ 2x

2

+ 4x

2

= (-5 + 2 + 4) =

h) 10x 12x =

i) 8s2 10s2 6s2 + 4s2 =

j) 7x2 + 2x2 9x2 + 4x2 =

MULTIPLICACIN DE MONOMIOS

Para multiplicar dos monomios, primero, se multiplican suscoeficientes; luego, se escriben en orden alfabtico todas las letras de losmonomios dados, poniendo a cada una un exponente igual a la suma de losexponentes que tenga en los factores.

Ejemplos:

a) (3x2).(5x3) = (3.5)x2.x3 = 15x2+3 = 15x5

b) (-2a).(7b) = [(-2).(7)] a.b =

c) (-2y).(-3x).(z) = [(-2).(-3).(1)] x.y.z =

d) (-3mx).(-2m).(-2x) =

e) (10m).(2mx).(3x) =

f) (2a).(2a).(2b).(2b) =

lgebra 54


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am.an = am+n


EJERCICIOS PARA LA

1) Efectuar:a) 6x3 10x3 =

b) 6abc + 8abc abc =

c) 10xy + 8xy =

d) 15mb 23mb =

e) mnp 4mnp + 7mnp =

f) 2x2

y + 6x2

y + 12x2

y 7x2

y =

g) 18xz 16xz + 9xz =

h) 2m + 3n 6m + 2n =

i) 6abc + 8bca 5cab =

j) 9mx 7xm + 12mx =

2) Halla el resultado de:Recuerda:

a) (12s).(6s3) =

b) (5a2b3).(4ab5) =

c) (-7x).(-5x) =

d) (ab).(2bc).(3ac) =

e) (3mn).(4n3).(5m2) =

f) (3a).(5b).(-4a) =

g) (12ab).(-10ba).(-2ac) =

h) (-2a).(3a).(-4a).(5a) =

i) (a2 b) (-b2c) (-c2a) =

j) (-x).(3y)(2x

2

)(-5xy) =

lgebra 55


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POTENCIAS DE MONOMIOS

La potencia de monomios es una multiplicacin de

factores monomios iguales. Para desarrollar unapotencia, tambin podemos elevar independientementeel coeficiente y las variables al exponente dado.

Ejemplos:

a) (2x)2 = (2x).(2x) = (2.2) x.x = 4x1+1 = 4x2

b) (3a)3 = (3a).(3a).(3a) = (3.3.3) a.a.a =

c) (-2m3)2 = (-2)2.(m3)2 =

d) (5a2b)3 = (5)3.(a2)3.b3 =

e) (-3xy2)2 = (-3)2.x2.(y2)2 =

f) (-3mn2p3)3 =

g) (-2ab5c8)4 =

DIVISIN DE MONOMIOS

Para hallar el cociente de dos monomios se divide el coeficiente deldividendo entre el del divisor y a continuacin se escriben las letras en ordenalfabtico, ponindole a cada una un exponente igual a la diferencia entre elexponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor.

Ejemplos:

a) ==

= 575

7

5

7

34

12

4

12x

x

x

x

x

b) ==

= 3756

35

76

35

76

47

28

7

28ba

ba

ba

ba

ba

c) ==

= 1113

33

3

2

12

8

12

8xy

yx

xy

yx

xy

lgebra 57


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EJERCICIOS PARA LA

1) Efectuar las siguientes potencias de monomios:

a. (5xy2)3 =

b. (3ab2c3)3 =

c. (10p2q8)4 =

d. (2b2 c3)5 =

e. (-2x2)3 =

f. (-5x6

)2

=g. (x2y3z)4 =

2) Halla el cociente

a) (28x5) (4x3) =

b) (-28x2y) (7x) =

c) (49ab3) (7ab) =

d) (96p5q3r2) (3pq2r)=

e) (450mn5) (50mn3) =

f) (36mx2) (4mx) =

g) (63a2b3) (7ab2) =

h) (187x11b13 ) (11x5b9 ) =

i) (390m17n14 ) (13m16 ) =

lgebra 58


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PLANTEO DE ECUACIONES

Qu debemos saber?

ENUNCIADO ABIERTO

Es aquel en el que aparece por lo menos una letra o palabra llamadavariable que al sustituirla por diferentes valores se transforma en unaproposicin.

Ejemplos de enunciados abiertos:

(a) x = 8 (b) x < 7 (c) 3 + x = 8

(d) 2x 1 = 7 (e) x + 7 > 12 (f) 10 x > 5

(g) (h) (i)

PROPOSICION

Es una expresin de nuestro lenguaje, a la que se puede calificar comoverdadero o falso. Ejemplos:

PROPOSICIONES VERDADERAS PROPOSICIONES FALSAS

(a) 5 > 3 (b) 6 > 8

(c) Miguel Grau naci en Piura (d) 4 es numero impar

(e) La capital de Per es Arequipa (f) 32 = 6

(g) 28 : 4 = 7 (h) 5 x 6 = 35

(i) (j)

(k) (l)

lgebra 59


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Plantear una Ecuacin

Plantear una ecuacin significa traducir adecuadamente el enunciado de

un problema a una expresin matemtica mediante una ecuacin.

Todo enunciado de un problema, siempre nos pide hallar el valor dealgo. A ese valor, por el momento desconocido, se le denomina INCGNITA yse le representa por una letra (x; y; z; etc). Toda frase en lenguaje comnpuede ser traducida a lenguaje matemtico.

Por ejemplo:

Enunciado abierto:

FORMA VERBAL FORMA SIMBLICA

Un nmero aumentado en 4

Un nmero disminuido en 9

El doble de un nmero

La mitad de un nmero

La cuarta parte de un nmero

El doble de un nmero aumentado en 3

La edad de Ivn hace 6 aos

La edad de Lourdes dentro de 4 aos

La suma de tres nmeros consecutivos es 18

La suma de dos nmeros pares consecutivos es 26

El doble de la edad de Alexandra es 16 aos

La mitad de la edad de Daniel aumentada en 5aos es 23 aos

El dinero que tiene Diana disminuido en s/.140

lgebra 60


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Enunciado abierto:

FORMA SIMBLICA FORMA VERBAL

3x

X2 + 5

(x + 5)2

(2x)3

x + y + z

x

4x3

3x + 4

3(x + 4)

lgebra 61


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EJERCICIOS PARA LA1) Traducir los siguientes enunciados a la forma simblica:

FORMA VERBAL FORMA SIMBLICA

Un nmero aumentado en 15

Un nmero disminuido en 8

El doble de un nmero, aumentado en 5

El doble de un nmero aumentado en 5

El quntuplo de un nmero, disminuido en 7

Cinco veces un nmero disminuido en 7

El dinero de Vanesa aumentado en S/.15

La edad de Lourdes hace 4 aos

El doble del dinero de Manuel

La suma de dos nmeros es 18

La tercera parte de un nmero disminuido en 13

El cuadrado de un nmero aumentado en 16

La mitad de un nmero disminuida en 14

2) Da un enunciado verbal que se adapte a cada una de las siguientes expresiones:

FORMA SIMBLICA FORMA VERBAL

x + 11

x 13

2x 13

2(x 13)

x + y

3x 6

4x = 20

x2 - 1

(x - 1)2

lgebra 62


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ECUACIONES

IgualdadSon dos expresiones aritmticas o algebraicas, quetienen el mismo valor.

Por ejemplo:a) Una decena = 10 unidades

b) 5 + 2 = 17 10c) 5x = 20

Partes de una ecuacin

En una ecuacin encontramos dos partes llamadas miembros de laecuacin, que se encuentran de uno y otro lado del signo de la igualdad (=).

2 x = 101 Miembro 2 Miembro

Raz de una ecuacin

Es el nmero que al reemplazar a la variable de la ecuacin, latransforma en una proposicin verdadera.

Ejemplos:

* Halla la raz de las siguientes ecuaciones:

a) x 9 = 16 b) x + 3 = 41 c) x + 17 = 41

d) x 32 = 30 e) 5x + 32 = 92 f) 4x 15 = 33

lgebra 63


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g) 3x 30 = x + 8 h) 40 + x = 3(10+ x)

i) 10x 24 = 2x+ 8

Soluciona los problemas, traduciendo los enunciados a la forma simblica.

a) La suma de dos nmeros es 32, si

uno de ellos excede al otro en 2unidades. Hallar dichos nmeros.

b) El doble de un numero aumentado

en 21 es 51, cual es el numero?

c) La edad de Ivn hace 9 aos era17 aos; que edad tiene Ivnahora?

d) La suma de tres nmerosconsecutivos es 33, cuales son losnmeros?

lgebra 64


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EJERCICIOS PARA LA

1) Halla la raz de cada ecuacin:

a) x + 12 = 26

b) 3x + 21 = 45

c) 7x 17 = 32

d) 56 + x = 5 (8+ x)

e) (3x 4) = 2x + 12

f) 7(x-3) = 21

g) 6(x - 8) = 2x + 12

2) Resuelve los problemas traduciendo los enunciados a la forma simblica.

a) La suma de dos nmeros pares consecutivos es 30, Culesson los nmeros?

b) El triple de un nmero aumentado en 6 es igual al doble delmismo nmero aumentado en 14. Cules son los nmeros?

c) La mitad de un nmero aumentado en 7 es 16. Cul es elnmero?

d) La tercera parte de un nmero disminuido en 12 es 33. Cules el nmero?

e) Los 2/3 de un nmero ms 5 es igual a dicho nmeroaumentado en una unidad. Cul es el nmero?

lgebra 65


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ECUACIONES

PARTE III

1) Resolver:

a) x + 17 = 29

b) x + 7 = 22

c) x + 5 = 18

d) x + 9 = 14

2) Halla la raz de las siguientes ecuaciones:

a) 3x 8 = 38

b) 2x + 2 = 24

c) 4x + 6 = 26

d) 3x 5 = 19

e) 7x 6 = 43

f) 5x 2 = 43

g) 2x 8 = 6

lgebra 66


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h) 15x 9 = 69

3) Resuelve los siguientes problemas utilizando ecuaciones.

a) Si al doble de la edad de mi padre le aumentara 6 aos tendra 62aos. Qu edad tiene mi padre?

b) Cul es el nmero que disminuido en 52 es igual a 30?

c) Cul es el nmero que multiplicado por 11 y disminuido en 15 esigual a 73?

d) Cul es el nmero que aumentado en 35 es igual a 50?

e) El doble de la edad de Pedro aumentada en 13 aos seria 29 aos.Qu edad tiene Pedro?

f) La diferencia entre las edades de un padre y su hijo es 35 aos y laedad del hijo es 22 aos. Qu edad tiene el padre?

lgebra 67


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EJERCICIOS PARA LA

a) Desarrolla las siguientes ecuaciones:

1) x + 9 = 20

2) n 10 = 18

3) 2x + 28 = 52

4) 12a + 14 = 154

b) Desarrolla los siguientes problemas, primero plantea tusecuaciones.

1) Cul es el nmero que aumentado en 15 da 60?

2) Cul es el nmero cuyo triple disminuido en 6 da 9?


4) Si la edad de Mara le disminuyera 17 aos entoncestendra 15 aos. Qu edad tiene Mara?


6) El duplo de un nmero aumentado en 15 aos da 31.Cul es el nmero?

7) Si al duplo de un nmero le disminuyo 9 aos da 17.Cul es el nmero?

lgebra 68


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8) Si a la edad que tiene mi madre ledisminuyera 9 aos tendra 18 aos. Qu edad tiene mi madre?

lgebra 69


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INECUACIONES

Una inecuacin es una desigualdad de nmeros

naturales que contiene una o ms variables, es decir,cantidades no conocidas.

Resolver una inecuacin consiste en hallar elconjunto solucin que satisfaga la desigualdad propuesta; para ello, esnecesario que se apliquen las diferentes propiedades de las operaciones.

Observemos los siguientes ejemplos:

1. Hallar el valor de la variable en la inecuacin: x + 3 < 5

Solucin:

x + 3 < 5 Inecuacin dadax + 3 < 3 + 2 definicin de adicinx < 2 propiedad de cancelacin

Respuesta:

El conjunto solucin es cualquier nmero menor de 2: C. S. = {0,1}

Comprobacin:

Sustituyendo en la inecuacin dada cualquiera de los valores delconjunto solucin tenemos que:

Si: x = 1; entonces: x + 3 < 51 + 3 < 5

4 < 5

2. Hallar el valor de la variable en la inecuacin: x 4 > 6

Solucin:

x 4 > 6 Inecuacin dadax 4 > 10 4 definicin de sustraccin

x > 10 Propiedad de cancelacin

Respuesta:

lgebra 70


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El conjunto solucin es cualquier nmero mayor de 10: C.S. = {11,12, .....}Comprobacin:

Reemplazando en la inecuacin dada cualquiera de los valores del conjuntoSolucin:Si: x = 11; entonces: x 4 > 6

11 4 > 67 > 6

Resolucin de inecuaciones en forma: x a < b

Resuelve la siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificando lasrazones

1) x + 4 < 7pasos razones




5) n + 10 < 24pasos razones

6) y 27 < 32pasos razones

lgebra 71


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7) y 78 < 100pasos razones

8) z 7 < 14pasos razones

9) n 21 < 378pasos razones

10)x 33 < 66

pasos razones

Resolucin de inecuaciones en forma: x a > b

Resuelve las siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificando lasrazones.

1) z + 73 > 9pasos razones

1) y + 105 > 202pasos razones

lgebra 72


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2) a + 96 > 126pasos razones

lgebra 73


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3) x + 5 > 368pasos razones

4) n + 33 > 128pasos razones

5) z + 73 > 99pasos razones

6) x 38 > 128pasos razones

7) y 110 > 428pasos razones

8) n 78 > 327

pasos razones

9) z 56 > 243pasos razones

lgebra 74


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Resuelve las siguientes inecuaciones indicando los pasos y justificandolas razones

a) Las edades de Felipe y Daniel juntas sobrepasan los 19 aos. Si Danieltiene 8 aos, Qu edades podra tener Felipe?

b) Dos canastas juntas contienen ms de 386 panes. Si en una de ellas seguardan 221 panes, Cuntos panes podran estar guardados en la otra

canasta?

c) Dividir el nmero 884 en dos partes tales que una parte, como mnimo,exceda a la otra en 98 unidades.

lgebra 75


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INECUACIONES II

Inecuacin es una desigualdad formada por constantes y variable.

As, son inecuaciones:

x 3 < 6;

2x + 1 > 3;

4x 2 < 10;

5x + 2 >22; etc.

Resolver una inecuacin es hallar su conjunto solucin, pero como lasolucin es en N, se debe tener en cuenta que el conjunto solucin seannmeros naturales.

El procedimiento para resolver inecuaciones es el mismo que pararesolver ecuaciones.

lgebra 76


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EJERCICIOS RESUELTOS

Resolver:

1) 3x + 4

2) > 2x + 6

3) 5(x + 2) < 3x + 20

4) 2(x - 2) > 3 (2x - 4)

5) 2x 3 < 5 + x

6) 4x + 2 > 2 (x + 3)

7) 3(2x - 1) < 4 (x + 2) + 1

8) 4x 12 < x

C. S. = { }Por qu no son solucin 2, 1 y 0?

9) 6(x - 4) > 3 (x + 2)

C. S. = { }

lgebra 77


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Resolver:

1) 2x + 3 > x + 8

2) 3x + 5 < x + 9

3) 5x 3 < 18 2x

4) 4x 1 > 15 4x

5) 6x + 8 < 5x +9

6) 7x + 9 > 6x + 13

7) 9x 20 < 5x + 4

8) 2x + 10 >14

9) 5x + 8 > 23

10)4x 5 < 7

11)3x 6 < 9

12)2x + 6 > 8

13)6x + 1 < 13

14)x + 8 < 12

lgebra 78


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15)x + 10 > 16

METODOS DE SOLUCIN DE INECUACIONES

Una inecuacin puede resolverse por el mtodo de Transposicin detrminos o aplicando Propiedades.

Ejemplos:

1) Resuelve las siguientes inecuaciones aplicando propiedades.

a) 8x < 40PASOS RAZONES

C.S. = {.........................}

b) 3x 6 < 33PASOSRAZONES

C. S. = {.................................}

c) 5x + 2 > 17PASOS RAZONES

C.S. = {...........................}

d) 7x 5 < 23PASOSRAZONES

C. S. = {...................................}

2) Resuelve las siguientes inecuaciones transponiendo trminos.

a) 4 + 3x > 16 b) 25 < 2x + 11

C. S. = {............................} C. S. = {.............................}

c) 2a + 11 > 23 2a d) 10x 5 > 8x + 15

C. S. = {.......................} C. S. = {......................}

lgebra 79


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1) Resuelve aplicando propiedades.

a) 5x > 30

b) 4x < 20

c) 7x < 42

d) 13x > 130

2) Halla el conjunto solucin de los siguientes problemas.

a) El triple de mi edad es menos de 36 aos. Cul puede ser mi edad?

b) El doble de un nmero es mayor que 19 y menor que 21. Cul es el nmero?

c) Cuatro veces un nmero est entre 48 y 53. Cul es el nmero?

3) Resuelve transponiendo trminos.

a) 16 < 3x 14

b) 3x > 555

c) 3x 5 < x + 5

4) Resuelve aplicando el mtodo que desees.

a) 16x < 64

b) 9x < 108

c) 7x + 5 < 26

lgebra 80


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d) 3x 10 > 8

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