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VCO DIFFERENZIALE

Descriviamo ora un circuito con il quale spessissimo, in tecnologia integrata, viene realizzato un oscillatore. Si tratta

dell’oscillatore differenziale, basato per l’appunto su di una cella differenziale caricata con una

rete risonante (figura a lato).

Il principale vantaggio delle celle differenziali consiste nella possibilità di trattare il segnale

differenziale eliminando i contributi di rumore apportati da altri circuiti sullo stesso chip che

vengono “letti” come segnale di modo comune, e quindi rigettati: infatti è poco sensibile al

rumore sull’alimentazione.

Per analizzare il comportamento dell’oscillatore, supponiamo che in un certo istante di tempo

la tensione in A sia maggiore di quella in B. Il circuito perde la tipica situazione di simmetria

della cella differenziale e la coppia e generano una reazione positiva. Infatti:

Poiché la corrente tende a caricare l’armatura (del condensatore) sul nodo B di elettroni, per cui la tensione

tende ad aumentare; dualmente la diminuzione della corrente corrisponde ad un aumento delle cariche positive

sull’armatura del nodo A, il che contribuisce all’aumento di .

Questa situazione carica il condensatore di energia; ad un certo punto il condensatore risuonerà con le induttanze

“palleggiandosi” questa energia; dunque ai capi del condensatore si avrà una tensione variabile; tale tensione può essere

prelevata e utilizzata da altre parti del sistema. Valutiamo brevemente il comportamento del circuito.

Comportamento in continua

L’unica particolarità da segnale a proposito della continua è che la tensione sui nodi A e B è pari a . Ciò è di

fondamentale importanza, in quanto è garantita un’elevata dinamica per il segnale di uscita, che risulta essere sinusoidale (in

prima approssimazione, come sarà più chiaro in seguito) intorno al valor medio .

Comportamento per piccoli segnali

Il modello per piccoli segnali del circuito precedente può essere realizzato considerando il condensatore come la serie di

due condensatori di capacità :

poiché il circuito è antisimmetrico, per i teoremi di Bartlett, tutti i punti sull’asse di simmetria hanno lo stesso potenzia le,

che, per i segnali, è massa.

Oscillatori VCO Differenziale

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Calcoliamo ora casa vede ai suoi capi il condensatore nella direzione della cella differenziale. Poiché il circuito è

antisimmetrico, possiamo svolgere i seguenti passaggi, imponendo come al solito una tensione e calcolando la corrente

che esce dal ramo:

dunque il condensatore vede un’impedenza

Il fatto che esca fuori una resistenza negativa è tipico: se una resistenza positiva rappresenta una dissipazione di energia, la

resistenza negativa è indice di possibilità di rifornimento di energia; in altre parole la cella attiva è in grado di fornire alla rete

risonante l’energia che questa cede a causa delle perdite.

Applichiamo ora la stessa modifica fatta precedentemente sul condensatore, nello schema completo dell’oscillatore

differenziale:

applicando una tensione continua a non si cambierebbe il funzionamento del circuito, che continua ad oscillare a causa

dello scambio di energia tra induttanza e condensatori ad una frequenza che dipende proprio da e , e che dunque risulta

fissata ed indipendente dalle variazioni di .

Capacità variabili

Generalmente, per realizzare un VCO attraverso una cella differenziale, si utilizzano due capacità variabili al posto dei

condensatori del circuito precedente. Per realizzare capacità variabili in tecnologia integrata si può agire fondamentalmente

in due modi:

utilizzo di un diodo varactor,

che sfrutta la capacità di giunzione polarizzata inversamente; tale capacità varia secondo una curva del tipo

rappresentato in figura:

Oscillatori VCO Differenziale

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utilizzo di un condensatore MOS,

che presenta una capacità variabile con la tensione, causata dalla regione di svuotamento del canale e, per tensioni

elevate, dallo stato di inversione causato dalle elevate tensioni tra gate e body. Nell’ipotesi di analisi in bassa

frequenza, gli andamenti sono descritti dalle seguenti curve:

Soffermiamoci particolarmente su quest’ultimo tipo di capacità variabile. Consideriamo un condensatore MOS (variabile) ai

cui capi è presente un’oscillazione sinusoidale centrata in una data tensione . A tensioni sinusoidali il condensatore

risponde con capacità variabile nel tempo in modo periodico, con periodo uguale a quello della tensione. In particolare,

supponendo che la tensione di abbia una componente in continua in , , come rappresentato nella figura

precedente, la capacità varierà nel tempo come espresso dalle figure seguenti:

In altre parole, a seconda della tensione a cui il condensatore è “polarizzato”, la sua capacità varia nel tempo come una

“quasi-onda quadra” con duty cycle variabile.

Poiché è, in ogni caso, periodico di periodo dove è la pulsazione della tensione , si può pensare di

scomporla, attraverso lo sviluppo in serie di Fourier, nella somma di infiniti termini a frequenza nulla e a frequenza

. Ciò equivale a considerare il condensatore come il parallelo di tanti condensatori, ognuno dei quali varia

nel tempo con una frequenza pari a , con . Lo sviluppo in serie di Fourier porta a scrivere la capacità nella

seguente forma:

La capacità esprime il valor medio della capacità nel tempo, ed è ovviamente dipendente dal duty cycle della forma

della figura precedente, e di conseguenza dal valore di alla quale è polarizzata. Poiché il condensatore è collocato

statisticamente a (l’induttanza in continua è un corto circuito) è fondamentalmente vincolato dalla tensione di

t

t

t

Oscillatori VCO Differenziale

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controllo del VCO. In particolare, abbassare equivale ad aumentare la tensione statica ai capi del condensatore, e dunque

aumentare il duty cycle di e di conseguenza aumentare il suo valor medio, ovvero .

Ci proponiamo, ora, di calcolare la corrente che entra nel condensatore. Come è noto, la corrente che entra in un

condensatore è legata all’accumulo nel tempo di cariche sull’armatura del condensatore stesso, più precisamente:

Il primo termine del prodotto al membro di destra rappresenta, istante per istante, la capacità differenziale del condensatore,

che sarà una funzione del tempo. Nell’ipotesi in cui ai capi del condensatore sia presente un’oscillazione sinusoidale:

Si ottiene:

Sviluppiamo la serie arrestandoci, per semplicità, al 3° ordine:

Come è evidente, la corrente che entra nel condensatore è una somma pesata di armoniche di pulsazioni multiple di .

Nello studio del VCO facciamo ora ricorso all’uso della funzione descrittiva introdotta precedentemente. Per fare ciò ci si

limita esclusivamente al comportamento del circuito in prima armonica; ciò significa che si ignorano tutte le componenti di

tensione e di corrente (e non di capacità) relative alle armoniche superiori. Dunque possiamo scrivere:

dove abbiamo indicato con la componente di prima armonica di . Si noti come questa formula dipenda

fortemente, attraverso i parametri e , dalla forma della capacità nel tempo. Infatti e sono rispettivamente le

ampiezze delle capacità equivalenti in continua e in II armonica. Più precisamente dipende in modo diretto dal duty cycle

della ; infatti, approssimando come un’onda quadra, se il duty cycle fosse del sarebbe possibile dimostrare

che è nullo; la presenza di dunque è una conseguenza dello sbilanciamento dell’onda quadra nei tempi in cui

questa assume i valori massimi e minimi.

Frequenza di oscillazione

Cerchiamo adesso di ricavarci le caratteristiche del segnale che si genera attraverso il VCO. Abbiamo detto precedentemente

che l’inizio dell’oscillazione avviene a causa della differenza di potenziale non nulla ai capi di , e quindi a causa di una

dissimmetria all’interno del VCO. Sostituendo a la serie dei condensatori e si possono fare analoghi discorsi in

termini di simmetria, per cui la cella differenziale contribuisce a caricare i condensatori fino all’innesco delle oscillazioni.

Oscillatori VCO Differenziale

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L’oscillazione avviene in quanto ogni condensatore scambia energia con l’induttanza che si trova, per piccoli segnali, in

parallelo al condensatore stesso. In pratica, quindi, il VCO oscilla a causa dei due circuiti risonanti che risuonano in

opposizione di fase.

dove può essere o equivalentemente, visto che per garantire la simmetria del circuito deve essere .

Precedentemente abbiamo supposto la presenza di una tensione sinusoidale ai capi del condensatore

(dove indica la componente di prima armonica di ), e abbiamo visto che in questo circola una corrente (di I

armonica) . Nella maglia vista nella figura precedente si possono scrivere le equazioni caratteristiche degli elementi:

A proposito del precedente sistema bisogna fare due importanti considerazioni:

1. il sistema sembra analogo ad un sistema descrittivo di equazioni di stato. In realtà il significato fisico è

completamente diverso: infatti mentre le equazioni di stato descrivono l’evoluzione di un sistema, in questo caso il

sistema è già “evoluto”, nel senso che imponendo la presenza di una tensione sinusoidale sul condensatore

abbiamo imposto il regime permanente; dunque il sistema descrive una situazione di equilibrio, e non di

evoluzione.

2. Poiché, per quanto calcolato precedentemente, risulta essere:

ovvero la corrente che scorre nell’induttanza, e poiché il sistema, in regime sinusoidale, può essere riscritto

attraverso l’uso dei fasori, nel seguente modo*:

Si vede chiaramente, dal sistema delle condizioni sui moduli:

* Infatti

. Inoltre

Oscillatori VCO Differenziale

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Che il sistema è omogeneo, in quanto non ci sono termini forzanti. Ciò significa che se ha soluzioni ne ha .

Fisicamente significa che se il circuito oscilla (ovvero esistono valori di e per cui il sistema è verificato), oscilla

per qualsiasi ampiezza di e , essendo queste legate tra loro, come si vedrà tra breve.

A questo punto, affinché il sistema sia risolubile, le due equazioni devono essere linearmente dipendenti. Ciò

implica che il determinante dei coefficienti delle incognite deve essere nullo, e dunque:

da cui si ottiene la pulsazione di risonanza:

e la relazione tra le ampiezze è

Ricordando, infine, come al variare di variano e , si può verificare facilmente che al variare di varia la

frequenza di oscillazione; ciò prova il fatto che, nell’ipotesi in cui si possa intervenire direttamente su , il circuito

realizza effettivamente un Voltage Controlled Oscillator.

Ampiezza di oscillazione

Dall’analisi precedente si è visto che il circuito descritto potrebbe oscillare, alla frequenza , per qualunque ampiezza di

o ; ciò è diretta conseguenza del fatto che il sistema di equazioni che descrivono l’equilibrio è omogeneo, ovvero

il circuito, ed in particolare le induttanze (vedi pag. 9) hanno delle perdite non trascurabili che tolgono energia alla coppia

risonante . Per mantenere un’ampiezza costante, e dunque un’oscillazione permanente nel tempo, è necessario che la cella

differenziale fornisca energia.

In effetti, se ridisegniamo il circuito includendo la resistenza di perdita delle induttanze, possiamo osservare che, sebbene

nell’istante in cui il potenziale nel punto A è massimo (e quindi il potenziale nel punto B è minimo) venga dissipata potenza

su entrambe le resistenze (connesse, per il segnale, ai condensatori e a massa), tuttavia il transistor è acceso, mentre si

può progettare il circuito in modo che sia spento. Ciò implica che fornisce alla rete risonante una corrente costante

con la quale “inietta” elettroni sull’armatura B: il condensatore aumenta (in modulo) la sua tensione e dunque la sua

energia. Discorso duale vale nell’istante in cui è acceso e è interdetto.

Oscillatori VCO Differenziale

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È ovvio che questa nuova situazione raggiunge l’equilibrio nell’istante in cui la cella fornisce tanta potenza quanta ne viene

dissipata sulle resistenze : tale situazione di equilibrio è univocamente fissata dal valore della potenza dissipata (e riferita)

in un periodo, e quindi dall’ampiezza della tensione ai capi del condensatore, ovvero la tensione di uscita del VCO. È

dunque possibile ora calcolare l’ampiezza dell’oscillazione.

Consideriamo la tensione a i capi del condensatore relativo al nodo A. Al variare di si ha una variazione

(antisimmetrica) di ed è facile risalire al comportamento delle correnti e di drain di e :

Ci mettiamo nell’ipotesi in cui le transizioni dei due transistor sono tanto rapide che si può pensare a e come

ad onde quadre, e dunque con un’ampiezza di prima armonica pari a

. Ribadiamo che ci interessa solo la prima

armonica in quanto stiamo effettuando lo studio del circuito nell’ipotesi di utilizzo della funzione descrittiva.

Da una rapida analisi del grafico precedente si può osservare che la funzione è in fase con ed in controfase con

. Ciò significa che, facendo un mezzo circuito equivalente per il circuito RLC relativo al nodo A e modellizzando il

transistor come un generatore di corrente sinusoidale (ovvero considerando la prima armonica della corrente fornita dal

transistor) il segno del generatore si deve opporre a quello della tensione:

Il sistema di equazioni che descrivono il circuito dovrà tenere conto del nuovo termine forzante

, che rende il sistema

non omogeneo (cioè la presenza di un termine noto):

Di conseguenza ammetterà, se risolvibile, un’unica soluzione. Riconducendoci, come fatto prima, nel dominio dei fasori:

Da cui

t

t

t

t

Oscillatori VCO Differenziale

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Uguagliando parte reale e parte immaginaria dei due membri:

Ricordando che è l’ampiezza della tensione su un solo condensatore e che i due condensatori funzionano in controfase, la

tensione differenziale in uscita, ai capi della serie delle due resistenze è: