30_Stati di tensione piani, monoassiali, idrostatici.pdf

7/21/2019 30_Stati di tensione piani, monoassiali, idrostatici.pdf

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE Insegnamento: Meccanica delle strutture n° Lezione: 30 Titolo: Stati di tensione piani, monoassiali, idrostatici

F ACOLTÀ DI INGEGNERIA

LEZIONE 30 – Stati di tensione piani, monoassiali, idrostatici .

Nucleotematico

Lez. Contenuto

8 30Analisi della tensione: stati di tensione piani, stati di tensionemonoassiali, stati di tensione idrostatici: osservazioni,esempi.

Lo stato di tensione in un punto è, in generale, definito da sei funzionidel punto, cioè dalle sei componenti indipendenti del tensore ditensione. In molti casi di interesse applicativo tuttavia devono trattarsistati tensionali più semplici, cioè definiti da un numero minore dicomponenti del tensore di tensione potendosi affermare a priori chealcune componenti sono nulle in relazione al problema in esame.Vengono quindi definiti in questa lezione alcuni stati tensionaliparticolari e ne vengono discusse alcune importanti proprietà.

Definizioni

Si dice che lo stato tensionale in un punto P di un solido èpiano se esiste un piano π tale che il vettore tensione agente su ognigiacitura per P giace sul piano π (figura 30.1). Il piano π è detto pianodella tensione.

Figura 30.1.

Definizione

Si dice che lo stato tensionale in un punto P di un solido èmonoassiale se esiste una retta ρ tale che il vettore tensione su ognigiacitura per P ha la direzione della retta ρ (figura 30.2).

t1

t1

t3

π

mailto:[email protected]







Pagina 2/24



Figura 30.2.

Definizione

Si dice che lo stato tensionale in un punto P di un solido èidrostatico se il vettore tensione agente su ogni giacitura per P ènormale alla giacitura stessa, cioè se su ogni giacitura per P è nonnulla la sola componente normale della tensione (figura 30.3).

Figura 30.3.

Osservazione 1

Condizione necessaria e sufficiente affinché si abbia in un

punto P uno stato di tensione piano è che sia nulla una delle tretensioni principali. Il piano π sul quale giace la tensione agente su ognigiacitura per P è quello individuato dalle direzioni principali associatealle tensioni principali non nulle.

Necessità: se in un punto P lo stato tensionale è piano allora una delletre tensioni principali è nulla. Siano (ξ,η,ζ) le direzioni principali ditensione relative al punto P. Si ammetta che su ogni giacitura per P ilvettore tensione nt appartenga ad un piano π. Supponendo non nullele tensioni principali σξ ed ση associate alle direzioni ξ ed η si deduceche la tensione principale associata all’asse ζ è nulla. Infatti, sul pianoortogonale all’asse principale ξ il vettore tensione, che ha la direzionedi ξ, deve giacere su π (figura 30.4); anche sul piano ortogonaleall’asse principale η il vettore tensione, che ha la direzione di η, devegiacere su π e quindi π è il piano contenente gli assi ξ ed η.

t1

t2

t3

t1

t2

t3

ρ








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Figura 30.4.

Sul piano ortogonale a ζ il vettore tensione se non è nullo ha ladirezione di ζ e quindi non può appartenere al piano π; si concludeche la tensione principale σζ deve essere nulla. Ovviamente ilragionamento può ripetersi pensando non nulle σξ e σζ o ση e σζ; inquesti casi si conclude che se lo stato di tensione è piano sono nulleση o σξ.

Sufficienza: se in un punto P una delle tre tensioni principali è nulla lostato tensionale in P è piano.

Si consideri un punto P e si immagini di adottare un sistema diriferimento con gli assi paralleli alle direzioni principali di tensione.Rispetto a questo riferimento il tensore di tensione assume l’aspettodiagonale (29.18).Il vettore tensione su un generico piano di normale ( )ζηξ= nnnn è datodalla formula di Cauchy (29.19), quindi

⋅

σσ

σ=

=

ζ

η

ξ

ζ

η

ξ

ζ

η

ξ

n

n

n

00

00

00

t

t

t

t

n

n

n

n (30.1)

Se una delle tre tensioni principali è nulla il vettore nt appartiene alpiano individuato dalle direzioni principali relative alle tensioniprincipali non nulle. Infatti, se ad esempio se è nulla σζ il vettore nt ,qualunque siano nξ, nη ed nζ, cioè qualunque sia la giacitura che siconsidera, è

⋅σ⋅σ

=

= ηη

ξξ

ζ

ηξ

0

n

n

t

t

t

t

n

n

nn (30.2)

σξ

σξ

ση

ση

σζ = 0

σζ = 0

ξ

ζ η

π








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ed, avendo componenti non nulle solo nelle direzioni ξ e η giace sul

piano (ξη).

Osservazione 2

In un punto si ha uno stato di tensione piano se e solo se ilterzo invariante è nullo, cioè

[ ] 0detI3 =σ= (30.3)

Infatti, ponendo nella (29.14) σm = 0 (tensione principale nulla) si trovala (30.3). D’altra parte se I3 = 0 è evidente come una soluzione della(29.14), cioè una delle tensioni principali, sia σm = 0.

Osservazione 3

Per quanto visto il tensore di tensione in un punto P nel quale siha uno stato piano di tensione assume, nel riferimento principale conassi ξ, η e ζ , l’aspetto

[ ]

σ

σ=σ η

ξ

000

00

00

(30.4)

essendo σξ ed ση le due tensioni principali non nulle. Applicando laformula del cambio di coordinate (28.36) si determina il tensore dellostesso stato tensionale rispetto ad un riferimento qualunque con assix, y e z. Si ha

[ ]

⋅

σ

σ⋅

=

στττστττσ

=σ

ζζζ

ηηη

ξξξ

η

ξ

ζηξ

ζηξ

ζηξ

wvu

wvu

wvu

000

00

00

www

vvv

uuu

zyzxz

zyyxy

zxyxx

xyz (30.5)

avendo indicato con (uξ, uη, uζ), con (vξ, vη, vζ) e con (wξ, wη, wζ) icoseni direttori degli assi x, y e z rispetto alla terna (ξ,η,ζ), cioè lecomponenti dei versori degli assi x, y e z rispetto alla terna (

ξ,η

,ζ),

rispettivamente. Quindi, sviluppando i calcoli si ha

[ ]

σ⋅+σ⋅σ⋅⋅+σ⋅⋅σ⋅⋅+σ⋅⋅

σ⋅⋅+σ⋅⋅σ⋅+σ⋅σ⋅⋅+σ⋅⋅

σ⋅⋅+σ⋅⋅σ⋅⋅+σ⋅⋅σ⋅+σ⋅

=σ

ηηξξηηηξξξηηηξξξ

ηηηξξξηηξξηηηξξξ

ηηηξξξηηηξξξηηξξ

22

22

22

xyz

wwwvwvwvwv

wvwvvvvuvu

wvwvvuvuuu

(30.6)

Se si considera un riferimento con uno degli assi, ad esempio l’asse z,diretto ortogonalmente al piano delle tensioni e cioè in questo casodiretto come ζ (figura 30.5), i coseni direttori degli assi x y e z rispettoagli assi ξ, η e ζ sono

( )0uuu ηξ= ( )0vvv ηξ= ( )100w= (30.7)








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in quanto u e v sono ortogonali a z ≡ ζ e quindi hanno componente

nulla in questa direzione mentre w è ortogonale a ξ ed η e quindi hale componenti nulle in queste direzioni.

Figura 30.5.

Sicché il tensore [ ]xyzσ diventa

[ ]

σ⋅+σ⋅σ⋅⋅+σ⋅⋅

σ⋅⋅+σ⋅⋅σ⋅+σ⋅=σ ηηξξηηηξξξ

ηηηξξξηηξξ

000

0vvvuvu0vuvuuu

22

22

xyz (30.8)

Si conclude che il tensore che rappresenta uno stato piano ditensione, qualora si assuma l’asse z in direzione ortogonale al pianodelle tensioni è del tipo

[ ]

σττσ

=σ000

0

0

yxy

xyx

xyz (30.9)

È evidente che se si assumesse l’asse x o l’asse y nella direzioneortogonale al piano delle tensioni si avrebbe rispettivamente

[ ]

σττσ=σ

zyz

yzyxyz

0

0000

[ ]

στ

τσ=σ

zxz

xzx

xyz

0000

0

(30.10)

In figura 30.6a sono rappresentate le componenti speciali di tensionerelative ad uno stato piano di tensione di cui il piano delle tensioni è ilpiano (xy) del sistema di riferimento assunto. Questo stato piano di

tensione può convenientemente rappresentarsi nel piano delletensioni, evidenziando solo le componenti speciali σx, σy e τxy, comerappresentato in figura 30.6b.

σξ

σξ ση

ση

η

ξ

ζ

η

ξ

ζ

x

y

1u =

1v =

y

u

uξ uξ

vξ vη v








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Figura 30.6.

Osservazione 4

Si supponga noto il tensore in un punto P che rappresenta unostato piano di tensione e si assuma che il piano delle tensioni sia ilpiano (xy). Il tensore è quindi

[ ]

σττσ

=σ000

00

yxy

xyx

xyz (30.11)

Le direzioni dei due assi principali che giacciono sul piano (xy)possono determinarsi con il procedimento generale, cioèdeterminando le tensioni principali (gli zeri del polinomio caratteristico,che in questo caso è di secondo grado) e risolvendo il sistema (29.8)relativamente ad ognuna delle due tensioni principali trovate.

In alternativa si può considerare una nuova terna di assi (n,p,q)avente l’asse q coincidente con l’asse z e quindi gli assi n e p sulpiano (x,y) come mostrato in figura 30.7. Rispetto a questi assi iltensore è

[ ]

⋅

σττσ

⋅

=

σττσ

=σ100

0pn

0pn

000

0

0

100

0pp

0nn

000

0

0

yy

xx

yxy

xyx

yx

yx

pnp

npn

npq (30.12)

e quindi, sviluppando i prodotti:

yyyxyxyyxxyxxxnp

2

yyyxxy

2

xxp

2

yyyxxy

2

xxn

pnpnpnpnppp2p

nnn2n

⋅⋅σ+⋅⋅τ+⋅⋅τ+⋅⋅σ=τ ⋅σ+⋅⋅τ⋅+⋅σ=σ

⋅σ+⋅⋅τ⋅+⋅σ=σ

(30.13)

σx

σx

σy

σy x

zy

π

σyx

σxy σxy

σyx

π

σx

σx

σy

σy

τxy

τxy

τxy

τxy x

y

(a)

(b)








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essendo nx ed ny i coseni direttori di n rispetto agli assi x ed y e px e py

i coseni direttori di p rispetto agli assi x ed y, cioè le componenti deiversori n e p delle rette p e q.

Figura 30.7.

Se gli assi del n e p formano con gli assi x ed y l’angolo θ (figura 30.7) i coseni direttori che compaiono nella (30.12) e nelle (30.13) sono

θθ=

= sin

cosnnny

x θθ−=

= cos

sinpppy

x (30.14)

e quindi l’ultima delle (30.13) diventa

θ⋅θ⋅σ+θ⋅τ−θ⋅τ+θ⋅θ⋅σ−=τ cossinsincoscossin y2

xy2

xyxnp (30.15)

Gli assi n e p sono assi principali di tensione se la tensionetangenziale sulle giaciture ad essi ortogonali è nulla, cioè se risulta

0np=τ . Pertanto l’orientamento degli assi principali di tensione puòdeterminarsi calcolando il valore di θ che annulla il secondo membrodella (30.15), cioè

0cossinsincoscossin y

2

xy

2

xyx =θ⋅θ⋅σ+θ⋅τ−θ⋅τ+θ⋅θ⋅σ− (30.16)

Ricordando poi che valgono le relazioni

θθ⋅=θ cossin22sin θ−θ=θ 22 sincos2cos (30.17)

si ha

02sin2

2cos2sin2

y

xyx =θ⋅

σ+θ⋅τ+θ⋅

σ− (30.18)

Si trova quindi che le direzioni principali sono ruotate rispetto agli assi

x ed y dell’angolo identificato da

np

1n =

1p =

nx

ny

px

py

σx σx τxy τxy

σy

σy

τyx

τyx x

y

θ

θ x

p

yn

σx τxy

σy

τyx

σn σn

σx τxy

σy

τyx

σx τxy

σy

τyx

σp σx

τxy

σy

τyx

σp

σp

σn

σn

θ

p

n

n

p

x

x x

y

y

y








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yx

xy2

2tan σ−σ

τ⋅=θ (30.19)

e quindi

σ−σ

τ⋅=θ

yx

xy2tana

2

1 (30.20)

Se θ è l’angolo che si trova con la (30.20) le direzioni n e p sono ledirezioni principali di tensione e sulle facce ad esse ortogonali èpresente solo la tensione normale, come mostrato in figura 30.7.








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LEZIONE 30 – Sessione di studio 1

Stati di tensione piani, monoassiali, idrostatici.

In questa sessione è discusso un esempio relativo alladeterminazione delle tensioni principali e delle direzioni principali ditensione.

Esempio 30.1

Si determinino le tensioni principali e le direzioni principali ditensione dello stato tensionale nel punto P rappresentato rispetto agliassi (x,y,x) dal tensore

[ ] MPa123246363

zyzxz

zyyxy

zxyxx

−=

στττστττσ

=σ (e.1.1)

Questo stato tensionale è rappresentato in figura 30.8.

Figura 30.8.

Si osservi che in figura 30.8 i vettori che indicano le tensioni sono statirappresentati con i versi in accordo con i segni nel tensore (e.1.1).

Le tensioni principali sono le soluzioni dell’equazione

0III 3m2

2

m1

3

m =−σ⋅+σ⋅−σ (e.1.2)

nella quale per il caso in esame gli invarianti valgono

02I

60I

2I

2

xyz

2

xzy

2

yzxyzxzxyzyx3

2

yz

2

xz

2

xyzyzxyx2

zyx1

=τσ−τσ−τσ−τττ⋅+σσσ=

−=τ−τ−τ−σσ+σσ+σσ=

=σ+σ+σ=

(e.1.3)

Essendo il terzo invariante (determinante del tensore) nullo il tensore(e.1.1) rappresenta uno stato piano di tensione. L’equazione (e.1.2) è

τzx

z

σy

σy τyx τyz

τyx

τyz σx

τxy

τxz

σx τxy

τxz

σz

τzx

τzy

σz τzy

y

x








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0602 m

2

m1

3

m =σ⋅−σ⋅−σ (e.1.4)e può riscriversi come

0602 mm1

2

m =σ⋅−σ⋅−σ (e.1.5)

La (e.1.5) è soddisfatta per σm = 0 e per i due valori di σm che rendononullo il polinomio di secondo grado nella parentesi tonda. Le soluzionidella (e.1.5) sono pertanto

MPa81.82

46042=

⋅++=σξ

MPa81.62

46042 −=⋅+−=ση

MPa0=σζ

(e.1.6)

Il piano delle tensioni è quello identificato dalle direzioni principaliassociate alle tensioni principali non nulle, quindi in questo caso è ilpiano identificato dalle direzioni i cui versori sono )zyx ξξξ=ξ ed

)zyx ηηη=η .

La giacitura sula quale agisce la tensione principale 0=σζ sitrova risolvendo il sistema (29.8) nel quale deve essere introdotta alposto di σm la tensione principale relativamente alla quale si cerca lagiacitura, cioè

( )( )

( )0

z

y

x

zyzxz

yzyxy

xzxyx

=

ζζζ

⋅

σ−στττσ−στττσ−σ

ζ

ζ

ζ

(e.1.7)

Si ha quindi il sistema

0123246363

z

y

x

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

=

ζζζ

⋅

−=

ζζζ

⋅

στττστττσ

(e.1.8)

le cui incognite sono le componenti del versore )yyx ζζζ=ζ delladirezione principale di tensione associata alla tensione principalenulla, cioè i coseni direttori della retta ζ normale alla giacitura sullaquale è nulla la tensione. Il determinante della matrice dei coefficientidel sistema (e.1.8) è nullo, come già rilevato.Per determinare il versore yyx ζζζ=ζ si devono considerare dueequazioni indipendenti della (e.1.8). È immediato rilevare che le ultimedue righe della matrice dei coefficienti del sistema (e.1.8) sono

dipendenti (moltiplicando per due la terza riga si ottiene la seconda).Quindi si considerano le prime due righe che invece sonoindipendenti. Si ha








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0246363

z

y

x=

ζζζ⋅

−

(e.1.9)

Questo sistema definisce le componenti ζx, ζy e ζz a meno di unacostante (è costituito da due equazioni e contiene tre incognite) chepuò essere determinata successivamente imponendo che la normadel vettore yyx ζζζ=ζ sia unitaria. Al solito, si considera che ognivettore )zyx vvvv= che soddisfa il sistema (e.1.9) ha la direzionedella direzione principale di tensione associata alla tensione principalenulla ma non necessariamente modulo unitario. Conviene pertanto

determinare dapprima una qualunque soluzione zyx vvvv= tra leinfinite del sistema (e.1.9) per poi determinare le componenti delversore dividendo le componenti del vettore v per il suo modulo. Ilvettore )zyx vvvv= soddisfa la (e.1.9) se

0

v

v

v

246363

z

y

x

=

⋅

−

(e.1.10)

Siccome il sistema ha infinite soluzioni, cioè esistono infiniti valori vx,vy e vz che lo soddisfano, una qualunque soluzione può determinarsi

assegnando arbitrariamente un valore ad una delle incognite ecalcolando le altre due. Ponendo ad esempio vx = 1 si ottiene ilsistema

−=⋅−⋅=⋅+⋅

6v2v4

3v3v6

zy

zy

(e.1.11)

Questo sistema non consente di determinare vy e vz in quanto le dueequazioni (e.1.11) sono dipendenti (moltiplicando per due ambo imembri della prima equazione si ottiene la seconda). Per trovare unaqualunque soluzione del sistema (e.1.10) può allora porsi vz =1 e

determinare conseguentemente vx e vy. In questo caso si ha il sistema

−=⋅−⋅−=⋅+⋅−2v4v6

3v6v3

yx

yx

(e.1.12)

la cui soluzione è

0v x =

5.0vy −=

(e.1.13)

Il vettore

−=

= 15.0

0

vv

v

vz

y

x

(e.1.14)








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ha senz’altro la direzione della direzione principale di tensione

associata alla tensione nulla (in quanto soddisfa il sistema (e.1.8));tuttavia non ne è il versore in quanto non ha modulo unitario. Perdeterminare le componenti del versore è necessario dividere ognicomponente di v per la norma di v , cioè per

118.115.0vvvv 222

3

2

2

2

1 =+=++=

(e.1.15)

Si ottengono così le componenti del versore

0118.1

0

v

v xx ===ζ

447.0118.15.0

vvy

y −=−==ζ

894.0

118.1

1

v

vzz ===ζ

(e.1.16)

Infine gli angoli che la direzione dell’asse principale ζ forma con gliassi x, y e z sono rispettivamente

°=ζ=γ 90cosa xx

°=ζ=γ 5.116cosa yy

°=ζ=γ 62.26cosa zz

(e.1.17)

L’orientamento dell’asse ζ rispetto agli assi x, y e z è rappresentato infigura 30.9. Su qualunque giacitura il vettore tensione giace sul pianoortogonale a questo asse.

Figura 30.9.

La giacitura sulla quale agisce la tensione principaleMPa81.6−=ση si trova poi risolvendo il sistema (29.8) nel quale deve

essere introdotta al posto di σm la tensione principale MPa81.6−=ση ,

cioè

ζ

z

y

x

γx

γy γz








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( ) ( )( )

0

z

y

x

zyzxz

yzyxy

xzxyx

=

ηηη⋅

σ−στττσ−στ ττσ−σ

η

η

η

(e.1.18)

Si ha quindi il sistema

081.723281.1063681.3

z

y

x

=

ηηη

⋅

(e.1.19)

le cui incognite sono le componenti del versore )yyx ηηη=η della

direzione principale di tensione associata alla tensione principale ση,cioè i coseni direttori della retta η normale alla giacitura sulla qualeagisce ση (si osserva che anche in questo caso il determinante dellamatrice dei coefficienti della (e.1.19) dovrebbe essere nullo avendoimposto la (e.1.2); anche in questo caso non risulta nullo per gli erroridi troncamento). Procedendo come per la direzione ζ, si devonoconsiderare due equazioni indipendenti della (e.1.19). Considerandola prima e l’ultima si ha

081.7233681.3

z

y

x

=

η

ηη

⋅

(e.1.20)

Questo sistema definisce le componenti ηx, ηy e ηz a meno di unacostante che viene determinata successivamente imponendo che lanorma del vettore )yyx ηηη=η

sia unitaria. Anche in questo caso sidetermina dapprima una qualunque soluzione )zyx wwww=

ponendo wz = 1. Si ottiene il sistema

−=⋅+⋅−=⋅+⋅81.7w2w3

3w6w81.3

yx

yx

(e.1.21)

la cui soluzione è

94.3w x −=

2w y =

(e.1.22)

Il vettore

−=

=

1294.3

w

w

w

w

z

y

x

(e.1.23)

ha senz’altro la direzione della direzione principale di tensioneassociata a ση (in quanto soddisfa il sistema (e.1.19)); tuttavia non ne

è il versore in quanto non ha modulo unitario. Per determinare lecomponenti del versore è necessario dividere ogni componente di wper la norma di w , cioè per








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53.41294.3wwww 2222

3

2

2

2

1 =++=++=

(e.1.24)Si ottengono così le componenti del versore

87.053.4

94.3

w

w xx −=

−==η

44.0

53.4

2

w

w y

y ===η

22.0

53.4

1

w

w zz ===η

(e.1.25)

Infine gli angoli che la direzione dell’asse principale η forma con gliassi x, y e z sono rispettivamente

°=η=β 5.150cosa xx

°=η=β 8.63cosa yy

3.77cosa zz =η=β

(e.1.26)

L’orientamento dell’asse η rispetto agli assi x, y e z è rappresentato infigura 30.10.

Figura 30.10.

Come controllo della correttezza dei risultati fin qui ottenuti puòverificarsi che le direzioni ζ e η sono ortogonali (deve essere nullo ilprodotto scalare tra i versori ζ ed η); in effetti risulta

( ) 022.044.087.0

894.0447.00T =

−⋅−=ηζ

(e.1.27)

La terza direzione principale di tensione può determinarsi

semplicemente ricordando che deve essere ortogonale alle dueappena trovate; in alternativa si può procedere in modo analogo aquanto visto per ζ ed η. Si trovano le componenti del versore

η

z

y

x

βx

βy

βz








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494.0x =ξ

778.0y

=ξ

389.0z=ξ

(e.1.28)

e gli angoli

°=ξ=α 4.60cosa xx

°=ξ=α 9.38cosa yy

°=ξ=α 1.67cosa zz

(e.1.29)

L’orientamento dell’asse ξ rispetto agli assi x, y e z è rappresentato infigura 30.11.

Figura 30.11.

La posizione della terna principale (ξ,η,ζ) rispetto alla terna (x,y,z) èmostrata in figura 30.12.

Figura 30.12.

Le tensioni agenti sulle giaciture ortogonali agli assi principali ditensione sono infine mostrate in figura 30.13a.

ζ ξ

z

y

x

η

ξ

z

y

x

αx

αy αz








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In questa sessione sono discusse alcune osservazioni relative agliargomenti trattati nella lezione.

Osservazione 5

Condizione necessaria e sufficiente affinché si abbia in unpunto P uno stato di tensione monoassiale è che siano nulle due delletre tensioni principali. La retta ρ sulla quale giace la tensione agentesu ogni giacitura per P è la direzione principale associata alla tensione

principale non nulla.Necessità: se in un punto P lo stato tensionale è monoassiale alloradue delle tre tensioni principali sono nulle. Siano (ξ,η,ζ) le direzioniprincipali nel punto P. Si ammetta che su ogni giacitura per P il vettoretensione nt appartenga ad una retta ρ. Supponendo non nulla latensione principale σξ associata alla direzione ξ si deduce che letensioni principali associate agli assi η ed ζ sono nulle. Infatti, sulpiano ortogonale all’asse principale ξ il vettore tensione, che ha ladirezione di ξ, deve giacere su ρ (figura 30.14) e quindi ρ è ladirezione dell’asse ξ.

Figura 30.14.

Sui piani ortogonali a η e ζ il vettore tensione se non è nullo ha ladirezione di η e ζ, rispettivamente, pertanto non può appartenere allaretta ρ. Si conclude che le tensioni principali ση σζ devono esserenulle. Ovviamente il ragionamento può ripetersi pensando non nulla ση o σζ; in questi casi si conclude che se lo stato di tensione èmonoassiale sono nulle σξ e σζ o σξ e ση.

Sufficienza: se in un punto P due delle tre tensioni principali sono

nulle lo stato tensionale in P è monoassiale.Si consideri un punto P e si immagini di adottare un sistema diriferimento con gli assi paralleli alle direzioni principali di tensione.

σξ

σξ

σζ = 0

σζ = 0

ξ

ζ η

ρ

ση = 0

ση = 0








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Rispetto a questo riferimento il tensore di tensione assume l’aspetto

diagonale (29.18). Il vettore tensione su un generico piano di normale( )ζηξ= nnnn è dato dalla formula di Cauchy (29.19), quindi

⋅

σσ

σ=

=

ζ

η

ξ

ζ

η

ξ

ζ

η

ξ

n

n

n

00

00

00

t

t

t

t

n

n

n

n (30.21)

Se due delle tre tensioni principali sono nulle il vettore nt appartienealla retta individuata dalla direzione principale relative alla tensioneprincipale non nulla. Infatti, se ad esempio sono nulle è nulla ση e σζ ilvettore nt , qualunque siano nξ, nη ed nζ, cioè qualunque sia la

giacitura che si considera, è

⋅σ=

=

ξξ

ζ

η

ξ

00

n

t

t

t

t

n

n

n

n (30.22)

ed, avendo componente non nulla solo nella direzione ξ ha ladirezione di tale retta.

Osservazione 6

In un punto si ha uno stato di tensione monoassiale se e solose sono nulli il secondo ed il terzo invariante, cioè

0I2= [ ] 0detI3 =σ= (30.23)

Siano σξ ed ση le tensioni principali nulle. L’equazione caratteristicadeve essere soddisfatta per tutte e tre le tensioni principali;relativamente ad σξ deve essere

0III 32

2

1

3 =−σ⋅+σ⋅−σ ξξξ (30.24)

dalla quale si deduce (come nell’osservazione 6) che I3 = 0.Relativamente ad σ

η deve quindi essere

0II 2

2

1

3 =σ⋅+σ⋅−σ ηηη (30.25)

Ponendo ora nella (30.25) ση = 0 si trova la prima delle (30.23). D’altraparte se I2 = 0 è evidente come una soluzione della (30.25) sia ση = 0.

Osservazione 7

Per uno stato tensionale idrostatico in un punto P il vettoretensione su ogni superficie di normale )xyx nnnn= ha, perdefinizione, la stessa direzione della normale alla superficie stessa.

Cioè il vettore nt ha la stessa direzione del vettore n . Quindi puòscriversi








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⋅σ=

=

z

y

x

M

nz

ny

nx

n

n

nn

t

ttt (30.26)

È immediato verificare che questo accade se e solo se il tensore cherappresenta la tensione nel punto P è

[ ]

σσ

σ=σ

M

M

M

00

00

00

(30.27)

Infatti in questo caso la formula di Cauchy si scrive

⋅σ=

⋅σ⋅σ⋅σ

=

⋅

σσ

σ=

=

z

y

x

M

zM

yM

xM

z

y

x

M

M

M

nz

ny

nx

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

00

00

00

t

t

t

t (30.28)

Pertanto uno stato di tensione è idrostatico se e solo se sulle tregiaciture normali agli assi x, y e z si ha la stessa tensione normale edè nulla la tensione tangenziale. Dalla (30.27) risulta che gli assi x, y ez sono assi principali di tensione. Siccome quanto sopra deveaccadere per ogni terna di assi (x, y z) si conclude che per uno statodi tensione idrostatico tutti gli assi sono assi principali di tensione.

Osservazione 8

Ogni stato tensionale rappresentato da un tensore [ ]σ puòesprimersi come


+

σσ

σ=

στττστττσ

Mzyzxz

zyMyxy

zxyxMx

M

M

M

zyzxz

zyyxy

zxyxx

00

00

00

(30.29)

essendo

3

zyx

Mσ+σ+σ=σ (30.30)

la media delle tensioni normali sulle giaciture ortogonali agli assi(x,y,z). Ponendo

[ ]

σσ

σ=σ

M

M

M

I

00

00

00

[ ]


=σ

Mzyzxz

zyMyxy

zxyxMx

D (30.31)

la (30.29) si scrive

[ ] [ ] [ ]DI σ+σ=σ (30.32)








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Cioè ogni stato tensionale può esprimersi come la somma di uno stato

tensionale idrostatico in cui la tensione normale è espressa dalla(30.30) e dello stato tensionale espresso dalla seconda delle (30.31). Il tensore espresso dalla seconda delle (30.31), che in forma compattasi può scrivere (ricordando la definizione (29.13) del primo invarianteed essendo [ ]I la matrice identità)

[ ] [ ] [ ]I3

I1D ⋅−σ=σ (30.33)

è detto deviatore tensione o deviatore di sforzo.

È facile dimostrare che:

i) le direzioni principali di [ ]σ coincidono con le direzioni principali deldeviatore di sforzo [ ]Dσ ;

ii) le tensioni principali di [ ]Dσ sono

MD σ−σ=σ ξξ MD σ−σ=σ ηη MD σ−σ=σ ζζ (30.34)

essendo ξσ , ησ ed ζσ le tensioni principali di [ ]σ .








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In questa sessione è risolto un ulteriore esempio relativo ad uno statodi tensione piano.

Esempio 30.2

Si determinino le tensioni principali e le direzioni principali ditensione dello stato tensionale nel punto P rappresentato rispetto agliassi (x,y,z) dal tensore

[ ] MPa000043 032

zyzxz

zyyxy

zxyxx

−− −=

στττστττσ

=σ (e.2.1)

Lo stato tensionale rappresentato dalla (e.2.1) è piano; il piano delletensioni è il piano (xy) ortogonale all’asse z. Pertanto lo statotensionale (e.2.1) può rappresentarsi sul piano (xy) sottintendendoche la tensione sulla giacitura di normale z è nulla. (figura 30.15).

Figura 30.15.

Al solito, in figura 30.15 i vettori che indicano le tensioni sono statirappresentati con i versi in accordo con i segni nel tensore (e.1.1). Inquesto caso, contrariamente a quanto visto nell’esempio 30.1 è notala direzione principale cui corrisponde tensione principale nulla (che èquella dell’asse z).

L’orientamento delle altre due direzioni principali di tensionerispetto agli assi x ed y può determinarsi con la (30.20) che consenteimmediatamente di calcolare l’angolo θ che una di queste direzioniforma con l’asse x

°−=

+⋅

−⋅=

σ−σ

τ⋅

=θ 5.2242

32

tana2

12

tana2

1

yx

xy

(e.2.2)

σx σx

τxy

σy

σy

x

y

τxy

τxy

τxy








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Gli assi principali di tensione ξ ed η sono tra loro ortogonale e quindi

sono disposti come mostrato in figura 30.16.

Figura 30.16.

Le componenti dei versori degli assi ξ ed η (coseni direttori di ξ ed η rispetto agli assi x ed y) sono (figura 30.16)

−=

θθ=

ξξ

=ξ383.0924.0

sincos

y

x

=

θ−

θ=

η

η=η

984.0

383.0

cos

sin

y

x

(e.2.3)

Il tensore espresso dalla (e.2.1) rispetto gli assi x ed y può esprimersirispetto agli assi ξ ed η. In questo modo si ottengono direttamente letensioni principali, essendo ξ ed η gli assi principali di tensione. Si ha

[ ]

ηξηξ

⋅

σττσ

⋅

ηηξξ

=

σττσ

=σηξη

ξηξξη

yy

xx

yyx

yxx

yx

yx (e.2.4)

avendo omesso per semplicità le componenti nulle della tensione(fuori dal piano (xy)). Quindi

[ ]

−⋅

−− −⋅

−=σ ξη 924.0383.0383.0924.0

4332

924.0383.0383.0924.0 (e.2.5)

svolgendo i calcoli si ha

[ ] MPa24.50024.3

−=

σττσ

=σηξη

ξηξξη (e.2.6)

Lo stato tensionale in esame riferito agli assi principali di tensione èrappresentato in figura 30.17.

Naturalmente, per risolvere il problema avrebbe potuto

percorrersi la via consueta, cioè avrebbero potuto determinarsi gliautovalori e gli autovettori della matrice [ ]σ .

x

y

ξ

η

θ

θ

ξx

ξy

ηx

ηy

1=ξ

1=η








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Figura 30.17.

Gli invarianti di tensione per il caso in esame valgono

17I

2I2

xyzxyx2

zyx1

−=τ−σσ+σσ=

−=σ+σ+σ= (e.2.7)

Essendo il terzo invariante (determinante del tensore) nullo per il casodello stato piano di tensione. L’equazione caratteristica

0II 2m1

2

m =+σ⋅−σ (e.2.8)

diventa

0172 m1

2

m =−σ⋅+σ (e.2.9)

Le cui soluzioni sono

MPa24.32

41742 =⋅++−=σξ

MPa24.52

41742−=

⋅+−−=ση

(e.2.10)

Le componenti del versore della direzione associata alla tensioneprincipale MPa24.3=σξ si trovano risolvendo il sistema

( )( ) 0

y

x

yxy

xyx =

ξξ

⋅

σ−στ

τσ−σ

ξ

ξ

(e.2.11)

Si ha il sistema

σx σx

τxy

σy

σy

x

y

τxy

τxy

τxy

θ

θ

y

x

ξ

η

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σy

σy

σx

σx

τxy

τxy

τxy

τxy

σ

σ

σy

σy

σx

σx

τxy

τxy

τxy

τxy









024.73 324.1y

x = ξξ⋅ −− −−

(e.2.12)

le cui incognite sono le componenti del versore )yx ξξ=ξ delladirezione principale di tensione associata alla tensione principale σξ,cioè i coseni direttori della retta ξ normale alla giacitura sulla qualeagisce σξ. Ovviamente le due equazioni del sistema (e.2.12) sonodipendenti (a meno degli arrotondamenti). Considerando la prima

0324.1 yx =ξ⋅−ξ⋅−

(e.2.13)

si trova che il rapporto tra le componenti di yx ξξ=ξ è

413.03

24.1

x

y −=−=ξ

ξ

(e.2.14)

e quindi (figura 30.16) l’inclinazione dell’asse ξ rispetto all’asse x è

°−=

ξ

ξ=θ 4.22tana

x

y

(e.2.15)

valore coincidente con quello già trovato per altra via (a meno deglierrori di arrotondamento).

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