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LezioneLezione 3: 3: ErroriErrori statisticistatistici

Laboratorio di fisica sperimentaleCorso di laurea in chimica

Anno accademico 2014 2015

Lorenzo Giuntini

Dipartimento di Fisica Dipartimento di Fisica -- UniversitUniversit di Firenzedi Firenzegiuntini@fi.infn.itgiuntini@fi.infn.it

IndiceIndice delladella lezionelezione 3 3

1. Misura di un intervallo di tempo2. Errori statistici3. Valor medio, scarto quadratico medio, scarto

quadratico medio della media,gradi di libert4. Errori assoluti, relativi e percentuali

33

MisuraMisura del tempo del tempo 11periodoperiodo didi oscillazioneoscillazione didi un un

pendolopendolo

lunghezza del pendoloL = 93 cm

periodo del pendoloT = 1.9 s

L sappiamo trattarla (93 0.05 cm)E lincertezza sulla misura del tempo (periodo)?

44

MisuraMisura del tempo del tempo 22orologioorologio

Incertezza T : dipender dallo strumento?

T = 1 -2 min T = 30 secT = 1 min)

T = 1 sT = 0.5 s)

T = 0.01 s

55

MisuraMisura del tempo del tempo -- 33

uso un orologio con sensibilit del nanosecondo (miliardesimo di secondo)

1,932.397.454 s

ancora corretto prendere come errore sulla misura del periodo di oscillazione del pendolo la sensibilit dello strumento?

66

MisuraMisura del tempo del tempo 44

1. Cosa succede se ripeto la misura di T?2. col primo cronometro (T = 2 min) T = 0 min3. col secondo cronometro (T = 1 min) T = 0 min4. col terzo cronometro (T = 0.5 s) T = 1 s5. col quarto (T = 0.01 s) T = 0.01 s

1. 1.932. 1.923. 1.904. 1.925. 1.98

1. 2.01 2. 1.993. 1.874. 1.855. 1.96

1. 1.962. 1.903. 1.884. 1.985. 1.93

1. 1.922. 1.953. 1.924. 1.915. 1.94

77

MisuraMisura del tempo del tempo 55

Strumento T = 0.01 s Ma anche la misura affetta da incertezza, dato che non

trovo sempre lo stesso valore, entro 0.01 s:1. 1.932. 1.923. 1.904. 1.925. 1.98

1. 1.932. 2.013. 1.994. 1.875. 1.85

1. 1.962. 1.903. 1.884. 1.985. 1.93

1. 1.922. 1.953. 1.924. 1.915. 1.94

88

Errori accidentali Errori accidentali (a posteriori o statistici)(a posteriori o statistici)

1. 1.932. 1.923. 1.904. 1.925. 1.98

Taylor pagg. 66-67

99

MisuraMisura del tempo del tempo 44

1. 1.932. 1.923. 1.904. 1.925. 1.98

1. 1.932. 2.013. 1.994. 1.875. 1.85

1. 1.962. 1.903. 1.884. 1.985. 1.93

1. 1.922. 1.953. 1.924. 1.915. 1.94

Ora che siamo edotti sulla natura del problema, chevalore diamo a: T? T?

1010

Valor medioValor medio

1. 1.932. 1.923. 1.904. 1.925. 1.98

1. 1.932. 2.013. 1.994. 1.875. 1.85

1. 1.962. 1.903. 1.884. 1.985. 1.93

1. 1.922. 1.953. 1.924. 1.915. 1.94

Assumendo che quandosi misura si sbagli un po in eccesso e un po in difetto, una scelta ragionevole dare nel mezzo, ossia prendere il valor medio:

20

20

1111

ScartoScarto massimomassimo Per dare unidea di quanto il nostro valore di T rappresenta

le misure fatte, si pu accompagnare con lampiezza dellintervallo dei risultati trovati:

Pi normalmente si d la met della larghezzadellintervallo, sottindendo che ugualmente probabileche i valori stiano a dx o sx del valor medio. Nel nostrocaso, quindi, diremo che lincertezza :

1212

MisuraMisura del del periodoperiodo

Guardando i dati, si vede che di solito i dati sono pi vicini al valor medio di 0.08 s: la nostra stima di quanto i dati sono dispersi attorno al valor medio eccessiva. 0.08 infatti detto lerrore massimo.

1. 1.932. 1.923. 1.904. 1.925. 1.98

1. 1.932. 2.013. 1.994. 1.875. 1.85

1. 1.962. 1.903. 1.884. 1.985. 1.93

1. 1.922. 1.953. 1.924. 1.915. 1.94

possiamo ovviare a questo problema facendo la media degli scarti?

Abbiamo trovato: T = 1.93 0.08 sRiguardiamo i dati:

1313

MisuraMisura del del periodoperiodo

ScartoScarto quadraticoquadratico mediomedio

1414

GradiGradi didi libertlibert

1515

6 misure indipendenti x1, x2, x3, x4, x5, x6 di unastessa grandezza fisica

Calcolo il valor medio X = xi Calcolo gli scarti (x1,-X), (x2 -X), (x3 - X), (x4 - X)

(x5 - X), (x6 X)

i=1

6

GradiGradi didi libertlibert

1616http://people.unica.it/filippomariapirisi/files/2010/09/Chim-Anal-11.pdf

indipendenti fra loroi dati iniziali

GradiGradi didi libertlibert

1717http://people.unica.it/filippomariapirisi/files/2010/09/Chim-Anal-11.pdf

ScartoScarto quadraticoquadratico mediomedio

1818

1. 1.932. 1.923. 1.904. 1.925. 1.98

1. 1.932. 2.013. 1.994. 1.875. 1.85

1. 1.962. 1.903. 1.884. 1.985. 1.93

1. 1.922. 1.953. 1.924. 1.915. 1.94

Riprendiamo le nostre misure del periodo:

x = 0.04 s

ScartoScarto quadraticoquadratico mediomedio

1919

x descrive la dispersione attorno al valor medio facendo una nuova misura, x mi d unindicazione di

quanto sia probabile trovare un valore della grandezza x incertezza media singole misure (Taylor pg. 73) con molte misure, x non il parametro giusto per

descrivere laccuratezza con la quale X rappresenta la grandezza fisica che stiamo misurando

che parametro possiamo usare per descrivere laccuratezza con la quale X rappresenta la grandezza fisica che stiamo misurando?

ScartoScarto quadraticoquadratico mediomedio delladella mediamedia

2020

Diremo quindi, finalmente, che T = 1.93 0.01 s

ConfrontoConfronto tratra errorierrori a priori e a priori e statisticistatistici (Taylor (Taylor pagpag. 44). 44)

2121

ErroriErrori assolutiassoluti, , relativirelativi e e percentualipercentuali

2222

ErroriErrori assolutiassoluti, , relativirelativi e e percentualipercentualihttp://www.phy.ilstu.edu/slh/absolute%20relative%20error.pdfhttp://www.phy.ilstu.edu/slh/absolute%20relative%20error.pdf

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ErroriErrori assolutiassoluti, , relativirelativi e e percentualipercentualihttp://www.phy.ilstu.edu/slh/absolute%20relative%20error.pdfhttp://www.phy.ilstu.edu/slh/absolute%20relative%20error.pdf

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Guida allGuida allespressione dellespressione dellincertezza di misuraincertezza di misura

Discrepanza tra misure con errori a priori

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Discrepanza = differenza tra due valori misurati della stessa grandezza. Misuriamo con due strumenti diversi la resistenza:

R1 = 42 5 R2 = 40 8 La discrepanza D = R1 - R2 = 2 13D minore degli errori: le misure sono consistenti. Alternativamente: la misura della quantit (R1 - R2) compatibile con 0.