8

3. Segni della funzione (positivit e negativit) Questo punto, qualora sia possibile algebricamente, ci permette di stabilire il segno che assume la

variabile dipendente y (che esprime il valore della funzione) al variare della variabile

indipendente x. Tale studio diventa importante poich consente di stabilire le parti di piano che

interessano la funzione e quelle in cui il grafico non c.

Per comodit, convenzionalmente, si studia la positivit della funzione risolvendo la disequazione

y > 0 ovvero f(x) > 0

ma possibile utilizzare anche procedimenti grafici o regole pratiche.

Ovviamente, nel campo di esistenza, si avr un intervallo di negativit dove la funzione non

positiva.

L'intervallo di positivit (negativit) di una funzione l'insieme dei valori di x per i quali la

variabile y positiva (negativa).

Per riportare nel piano cartesiano il risultato di questo studio si anneriscono le parti in cui il grafico

della funzione non pu passare:

negli intervalli in cui la funzione positiva il grafico situato sopra l'asse x, quindi si annerisce

la zona corrispondente di piano sotto l'asse x;

negli intervalli in cui la funzione negativa il grafico al di sotto dell'asse x, quindi si annerisce

la zona corrispondente di piano sopra l'asse x.

Nota: Per una funzione continua importante determinare sempre i valori di x per cui si annulla,

perch questi sono i punti in cui la funzione potrebbe cambiare di segno.

9

Sintesi dei segni di alcune funzioni di base:

Polinomio di 1 grado bax +

se a > 0

se a < 0

Polinomio di 2 grado cbxax ++2

se a > 0 e > 0

se a < 0 e > 0

se a > 0 e = 0

se a < 0 e = 0

se a > 0 e < 0

se a < 0 e < 0

Radicale n xf )(

Con indice n pari: sempre positivo dove non si annulla.

Con indice n dispari: stessi segni del radicando )(xf .

Logaritmo )(log xfn (si annulla quando 1)( =xf ).

Con base n maggiore di 1 positivo quando 1)( >xf , negativo altrove.

Con base n minore di 1 positivo quando 1)(

10

Esempi:

Funzione polinomiale di 1 grado baxy +=

62 = xy (coefficiente di x positivo)

D = R

Determino dove la funzione si annulla (cio troviamo gli zeri della funzione) risolvendo

lequazione 062 =x che, essendo di primo grado, ha sempre una e una sola soluzione, in

questo caso x = 3.

Posso gi mettere il punto 0 nel grafico dei segni in corrispondenza del valore x = 3.

1 modo: algebrico

Trovo dove la funzione positiva risolvendo la disequazione 062 >x che ha soluzione x > 3.

La funzione negativa per i rimanenti valori di x cio per x < 3.

2 modo: grafico

La funzione di 1 grado rappresenta sempre una retta, in questo caso di coefficiente angolare

positivo (2) che interseca lasse x nel punto x = 3.

3 metodo: pratico

Regola generale per i polinomi:

si considera solo il termine in x di grado massimo;

nellintervallo pi a destra il segno uguale a quello del coefficiente di x;

nellintervallo pi a sinistra il segno

uguale se lesponente di x pari,

diverso se lesponente di x dispari.

In questo caso il termine di grado massimo 2x

Il coefficiente positivo (2), quindi a destra metto i segni +

Lesponente di x dispari (1) quindi a sinistra metto i segni contrari, cio

In tutti i casi giungo alla stessa conclusione che posso rappresentare nel piano cartesiano:

3

0 + + + + + + +

3

0 + + + + + + +

A destra dellintersezione il grafico sta al di sopra

dellasse x, quindi la funzione positiva,

a sinistra dellintersezione il grafico sta al di sotto

dellasse x, quindi la funzione negativa.

3

0 + + + + + + +

11

63 += xy (coefficiente di x negativo)

D = R

Risolvo lequazione 062 =x che ha come soluzione x = 2.

Metto il punto 0 nel grafico dei segni in corrispondenza del valore x = 2.

1 modo: algebrico

La funzione positiva quando 063 >+ x cio per x < 2;

ed negativa per i rimanenti valori di x cio per x > 2.

2 modo: grafico

La funzione rappresenta una retta di coefficiente angolare negativo (3) che interseca lasse x

nel punto x = 2.

3 metodo: pratico

Il termine di grado massimo 3x.

Il coefficiente negativo (3), quindi a destra metto i segni

Lesponente di x dispari (1) quindi a sinistra metto i segni contrari, cio +

Riporto nel piano cartesiano:

2

+ + + + + + 0

A destra dellintersezione il grafico sta al di sotto

dellasse x, quindi la funzione negativa,

a sinistra dellintersezione il grafico sta al di sopra

dellasse x, quindi la funzione positiva.

2

+ + + + + + 0

2

+ + + + + + 0

12

Funzione polinomiale di 2 grado cbxaxy ++= 2

432 += xxy (coefficiente di x2 positivo e > 0)

D = R

Cerco gli zeri del polinomio risolvendo lequazione 0432 =+ xx che in questo caso ha due

soluzioni x1 = 1 e x2 = 4.

Metto gli 0 nel grafico dei segni in corrispondenza dei valori trovati: in questo caso si formano

tre intervalli.

1 modo: algebrico

Risolvo la disequazione 0432 >+ xx per trovare dove la funzione positiva: la soluzione

x > 1 o x < 4.

La funzione negativa per i rimanenti valori di x cio per 4 < x < 1.

2 modo: grafico

La funzione di 2 grado rappresenta sempre una parabola con asse di simmetria parallelo

allasse y, nel nostro caso con concavit verso lalto (a > 0) che interseca lasse x nei due punti

x1 = 1 e x2 = 4.

3 modo: pratico

Il termine di grado massimo x2.

Il coefficiente positivo (1), quindi a destra metto i segni +

Lesponente di x pari (2) quindi a sinistra metto i segni uguali, cio +

Nellintervallo intermedio metto i segni contrari, quindi

(ottengo il grafico dei segni come sopra)

Riporto i segni nel piano cartesiano:

A destra di x1 e a sinistra di x2 il grafico sta al di sopra

dellasse x, quindi la funzione positiva,

tra le due intersezioni il grafico sta al di sotto dellasse x,

quindi la funzione negativa.

x1 x2

+ + + + 0 0 + + + + + +

1

0 0

4

1

+ + + + + 0 0 + + + + +

4

13

322 ++= xxy (coefficiente di x2 negativo e > 0)

D = R

La funzione si annulla quando 0322 =++ xx cio per x1 = 3 e per x2 = 1;

Metto gli 0 nel grafico dei segni in corrispondenza dei valori trovati: si formano tre intervalli.

Metodo algebrico

La funzione positiva quando 0322 >++ xx cio per 1 > x > 3;

negativa per i rimanenti valori di x cio per x < 1 o x > 3.

Grafico dei segni:

Metodo grafico

La parabola rappresentata dalla funzione di ha concavit verso il basso (a < 0) e interseca lasse

x nei due punti x1 = 3 e x2 = 1.

Metodo pratico

Il termine di grado massimo x2.

Il coefficiente negativo (1), quindi a destra metto i segni

Lesponente di x pari (2) quindi a sinistra metto i segni uguali, cio

Nellintervallo intermedio metto i segni contrari, quindi +

(ottengo il grafico dei segni come sopra)

Riporto i segni nel piano cartesiano:

3

0 + + + + + + + + 0

1

A destra di x1 e a sinistra di x2 il grafico sta al di sotto

dellasse x, quindi la funzione negativa,

tra le due intersezioni il grafico sta al di sopra dellasse x,

quindi la funzione positiva.

x1 x2

0 + + + + + + 0

3

0 + + + + + + + + 0

1

14

442 ++= xxy (coefficiente di x2 positivo e = 0)

D = R

La funzione si annulla quando 0442 =++ xx cio solo per x = 2.

Metto lo 0 nel grafico dei segni in corrispondenza del valore trovato x = 2; in questo caso si

formano due intervalli.

Metodo algebrico

La funzione positiva quando 0442 >++ xx cio per x 2;

negativa per i rimanenti valori di x cio mai.

Metodo grafico

La funzione una parabola con concavit verso lalto (a > 0) che interseca lasse x solo nel punto

x = 2.

Metodo pratico

Il termine di grado massimo x2.

Il coefficiente positivo (1), quindi a destra metto i segni +

Lesponente di x pari (2) quindi a sinistra metto i segni uguali, cio +

Non c intervallo intermedio.

Riporto nel piano cartesiano:

+ + + + + + + 0 + + + + + +

2

Sia a destra che a sinistra di 2 il grafico sta al di sopra

dellasse x, quindi la funzione positiva,

il grafico non sta mai al di sotto dellasse x.

2 + + + + + + 0 + + + + + +

0

2

+ + + + + + + 0 + + + + + +

2

15

122 += xxy (coefficiente di x2 negativo e = 0)

D = R

La funzione si annulla quando 0122 =+ xx cio solo per x = 1.

Metto lo 0 nel grafico dei segni in corrispondenza del valore trovato x = 2; si formano due

intervalli.

Modo algebrico

La funzione positiva quando 0122 >+ xx cio mai;

negativa per tutti gli altri valori, quindi per x 1.

Metodo grafico

La funzione una parabola con concavit verso il basso (a < 0) che interseca lasse x solo nel

punto x = 1.

Metodo pratico

Il termine di grado massimo x2.

Il coefficiente negativo (1), quindi a destra metto i segni

Lesponente di x pari (2) quindi a sinistra metto i segni uguali, cio

Non c intervallo intermedio.

Riporto nel piano cartesiano:

0

1

Sia a destra che a sinistra di 1 il grafico sta al di sotto

dellasse x, quindi la funzione negativa,

il grafico non sta mai al di sopra dellasse x.

1

0

0

1

0

1

16

42 += xxy (coefficiente di x2 positivo e < 0)

D = R

La funzione si annulla quando 042 =+ xx cio mai ( < 0).

Non ci sono zeri: lintervallo unico.

Metodo algebrico

La funzione positiva quando 042 >+ xx cio sempre;

negativa per i rimanenti valori di x cio mai.

Metodo grafico

La funzione una parabola con concavit verso lalto (a > 0) che non interseca lasse x.

Metodo pratico

Il termine di grado massimo x2.

Il coefficiente positivo (1), quindi (a destra) metto i segni +

Non ci sono altri intervalli.

Riporto nel piano cartesiano:

+ + + + + + + + + + + + +

Il grafico sta sempre al di sopra dellasse x, quindi la

funzione sempre positiva.

+ + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + +

17

322 += xxy (coefficiente di x2 negativo e < 0)

D = R

La funzione si annulla quando 0322 =+ xx cio mai ( < 0).

Non ci sono zeri: lintervallo unico.

Metodo algebrico

La funzione positiva quando 0322 >+ xx cio mai;

negativa per i rimanenti valori di x cio sempre.

Metodo grafico

La funzione una parabola con concavit verso il basso (a < 0) che non interseca lasse x.

Metodo pratico

Il termine di grado massimo x2.

Il coefficiente negativo (1), quindi (a destra) metto i segni

Non ci sono altri intervalli.

Riporto nel piano cartesiano:

Il grafico sta sempre al di sotto dellasse x, quindi la

funzione sempre negativa.

18

Funzione polinomiale di grado superiore a 2

Si riscrive la funzione come prodotto di polinomi (o potenze) ciascuno di grado non superiore a 2, si

studia il segno di ogni fattore poi si effettua il prodotto dei segni in ogni intervallo trovato.

22 23 += xxxy

Scomponendo in fattori la funzione si pu scrivere come )1( )2( 2 = xxy

Il fattore 2x (polinomio di 1 grado con a > 0)

si annulla quando x = 2

positivo quando x > 2

negativo quando x < 2

Il fattore 12 x (2 grado con a > 0 e > 0)

si annulla per x = 1

positivo per x > 1 o x < 1

negativo per 1 < x < 1

Il segno della funzione il prodotto (fatto in

verticale) dei segni dei suoi fattori

Piano cartesiano:

1

+ + + + + 0 0 + + + + + + +

1 2

0 + + + +

0 + + + 0 0 + + +

x 2

x2 1

y

19

Funzione irrazionale

Se il radicale ha indice pari:

- esiste solo quando il radicando non negativo;

- si annulla quando si annulla il radicando;

- positiva per tutti gli altri valori del suo dominio;

- non mai negativa

Se il radicale ha indice dispari:

- sempre definito;

- ha gli stessi segni del radicando.

2= xy (radicale con indice pari)

D = [2 ; +)

si annulla quando 02 =x cio per x = 2;

positiva per x 2;

negativa mai.

Grafico dei segni:

Piano cartesiano:

3 2= xy (radicale con indice dispari)

D = ( ; +)

Ha lo stesso segno di x 2

si annulla quando 02 =x cio per x = 2;

positiva quando 02 >x cio per x > 2;

negativa quando 02

20

Funzione logaritmica

Se la base maggiore di 1:

- esiste solo quando largomento positivo;

- si annulla quando largomento 1;

- positiva quando largomento maggiore di 1;

- negativa quando largomento minore di 1.

Se la base minore di 1:

- esiste solo quando largomento positivo;

- si annulla quando largomento 1;

- positiva quando largomento minore di 1;

- negativa quando largomento maggiore di 1.

( )2log = xy (base maggiore di 1) D = (2 ; +)

si annulla quando x 2 = 1 cio per x = 3;

positiva quando x 2 > 1 cio per x > 3;

negativa quando x 2 < 1 cio per x < 3.

Grafico dei segni:

Piano cartesiano:

Funzione esponenziale

- esiste quando la base positiva;

- non si annulla mai;

- positiva in tutto il suo dominio.

35 += xy

D = ( ; +)

si annulla mai

positiva sempre

negativa mai

Grafico dei segni:

Piano cartesiano:

+ + + + + + + + + + + + +

x

0 + + + + + + +

3 2

21

Potenza di funzione [ ]nxfy )(=

Se lesponente pari:

- si annulla quando si annulla la base;

- positiva per tutti gli altri valori del dominio;

- non mai negativa.

Se lesponente dispari:

- ha gli stessi segni della base.

4)2( = xy (esponente pari)

si annulla quando x 2 = 0 cio per x = 2;

positiva per x 2;

negativa mai.

Grafico dei segni:

Piano cartesiano:

3)2( = xy (esponente dispari)

Ha gli stessi segni di x 2

si annulla quando x 2 = 0 cio per x = 2;

positiva quando x 2 > 0 cio per x > 2;

negativa quando x 2 < 0 cio per x < 2.

Grafico dei segni:

Piano cartesiano:

+ + + + + + + 0 + + + + + + +

2

0 + + + + + + +

2

22

Funzione scomponibile in fattori

Si studia il segno di ogni fattore poi si effettua il prodotto dei segni in verticale in ogni intervallo

trovato.

Attenzione: quando ci sono denominatori, occorre eliminare i valori in cui questi si annullano.

(La discussione dovrebbe essere gi stata fatta nello studio del dominio)

4

)2)(3(

+=

x

xxy

( ) ( )+= ; 44 ; D U

Numeratore:

Il fattore 3+x (polinomio di 1 grado con a > 0)

si annulla quando x = 3

positivo quando x > 3

negativo quando x < 3

Il fattore x2 (polinomio di 1 grado con a < 0)

si annulla per x = 2

positivo per x < 2

negativo per x < 2

Denominatore:

Il fattore 4x (polinomio di 1 grado con a > 0)

si annulla quando x = 4

positivo quando x > 4

negativo quando x < 4

Il segno della funzione il prodotto (fatto in

verticale) dei segni dei suoi fattori.

Piano cartesiano:

x

3 4

+ + + 0 0 + + + x

x + 3

2 x

y

+ + + + + + + + 0

2

0 + + + + + + + + + + + +

x 4 x + + + +

23

523 )1()2( xxxy =

Il fattore 3x (potenza dispari) ha lo stesso

segno di x (polinomio di 1 grado con a > 0)

si annulla quando x = 0

positivo quando x > 0

negativo quando x < 0

Il fattore 2)2( x (potenza pari)

si annulla per x = 2

positivo per x 2

negativo mai

Il fattore 3)1( x (potenza dispari) ha lo stesso

segno di 1 x (polinomio di 1 grado con a < 0)

si annulla quando x = 1

positivo quando x < 1

negativo quando x > 1

Il segno della funzione il prodotto (fatto in

verticale) dei segni dei suoi fattori.

Piano cartesiano:

+ + + + + + + + + + + + 0 + + + +

0 2

0 + + + 0 0

x3

(x 2)2

y

+ + + + + + + + 0

1

0 + + + + + + + + + + + +

(1 x)3

24

32

3

4

42)2(

xx

xxy

+=

Scompongo in fattori il denominatore )4(

42)2(2

3

xx

xxy

+=

Determino il dominio:

04

0

042

:D 2

x

x

x

[ ) ( )+= ; 44 ; 2D U

Studio i segni dei fattori facendo attenzione alle condizioni del dominio:

Numeratore:

Il fattore ( )32+x (potenza dispari) ha lo stesso segno di x + 2 (polinomio di 1 grado con a > 0)

si annulla quando x = 2

positivo quando x > 2

negativo quando x < 2

Il fattore 42 x (radice con indice pari)

si annulla per x = 2

positivo per gli altri valori del dominio

negativo mai

Denominatore:

Il fattore 2x (potenza pari)

si annulla per x = 0

positivo per gli altri valori del dominio

negativo mai

Il fattore x4 (polinomio di 1 grado con a < 0)

si annulla quando x = 4

positivo quando x < 4

negativo quando x > 4

Il segno della funzione il prodotto dei segni

dei suoi fattori

Riporto nel piano cartesiano:

x

0 + + + + + +

2 2

(x + 2)3

42 x

y

+ + + + + + + x + + + + + + + + +

0

0 + + + + + + + + + + + +

x2

4 x

4

x + + +

0 x + + +

25

Funzione non scomponibile in fattori di base

xxy =

[ )+= ; 0D

La funzione si annulla quando 0= xx

Risolvo lequazione:

isolo il radicale xx =

poich entrambi i membri non sono negativi (vedi dominio) li elevo al quadrato xx =2

risolvo lequazione di secondo grado trovata 02 = xx

che ha soluzione x1 = 0 e x2 = 1.

La funzione positiva quando 0> xx

Con considerazioni analoghe allequazione trovo la soluzione x > 1.

La funzione negativa per gli altri valori del dominio, cio 0 < x < 1.

xy log1=

( )+= ; 0D La funzione si annulla quando 0log1 = x

cio 1log =x , quindi x = 10.

La funzione positiva quando 0log1 > x

cio 1log 10.

x

10

1