2_3_Incertezze_di_misura

7/25/2019 2_3_Incertezze_di_misura

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Luca Mari

Universit Cattaneo LIUC

Progetto e misura della qualit

Incertezze di misura

Versione 26.5.10 *** appunti ***

Indice

1 Unintroduzione pragmatica allargomento.......................................................................................................................................21.1 Variabilit e qualit delle misure..............................................................................................................................................21.2 Misure di qualit e qualit delle misure....................................................................................................................................

2 !l punto di "ista tradizionale...............................................................................................................................................................2.1 #ul concetto di "alor "ero.........................................................................................................................................................$2.2 %rrori casuali ed errori sistematici& accuratezza'precisione.....................................................................................................$

2.2.1 Un esempio......................................................................................................................................................................52. %rrori casuali ed errori sistematici& una critica al punto di "ista tradizionale..........................................................................62.$ (Valori "eri)............................................................................................................................................................................6

+a (errore) a (incertezza)..................................................................................................................................................................,.1 -ause di incertezza....................................................................................................................................................................,

$ Metodi per la "alutazione dellincertezza..........................................................................................................................................$.1 Valutazioni di categoria /& sintesi di un campione di misure..................................................................................................$.2 Valutazioni di categoria & un esempio....................................................................................................................................$. /ncora sulle "alutazioni di categoria ..................................................................................................................................10$.$ !ncertezze assolute e incertezze relati"e.................................................................................................................................10$.5 +allincertezza tipo allincertezza estesa................................................................................................................................10

5 espressione del risultato di una misurazione................................................................................................................................115.1 !l calcolo di misure da misurazioni indirette..........................................................................................................................12

5.1.1 /lcuni esempi................................................................................................................................................................15.2 a legge di combinazione ' propagazione delle incertezze....................................................................................................1$

5.2.1 /lcuni casi semplici di propagazione delle incertezze..................................................................................................1$5.2.2 Un esempio....................................................................................................................................................................155.2. Un esempio....................................................................................................................................................................155.2.$ Un esempio....................................................................................................................................................................15

5. #ulla con"enzionalit nella "alutazione dellincertezza.........................................................................................................165.$ #intesi& un esempio di procedura 3UM4compliant.................................................................................................................1,5.5 #intesi& sullespressione dei risultati di misurazioni..............................................................................................................1,5.6 #intesi& sul campo di applicabilit della 3UM.......................................................................................................................1

6 #trategie alternati"e..........................................................................................................................................................................16.1 Monte -arlo.............................................................................................................................................................................1

6.1.1 Un esempio....................................................................................................................................................................16.2 UM/.....................................................................................................................................................................................20

, -ompatibilit di misure....................................................................................................................................................................20,.1 olleranza e incertezza& (regole decisionali).........................................................................................................................21,.2 olleranza e incertezza& una procedura operati"a...................................................................................................................22,. olleranza e incertezza& in sintesi...........................................................................................................................................2,.$ #ulla "alutazione del risc7io di non con8ormit.....................................................................................................................2$

#intesi& incertezza9 taratura9 ri8eribilit............................................................................................................................................25 #intesi& misurazione9 in8ormazione9 incertezza...............................................................................................................................25

:ota& in questo materiale si 8a ri8erimento a "ari documenti prodotti da enti di normazione9 e in particolare&

;V!M


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1 Unintroduzione pragmatica allargomento

Duando un cliente e un 8ornitore stipulano un contratto9 concordano delle speci8ic7e a proposito delloggetto

del contratto stessoE per esempio& (do"r essere consegnata entro il giornoF la quantitF del materialeF

con le caratteristic7eF). #e ipotizziamo9 come usuale nellindustria9 c7e i "alori delle grandezze speci8icati

siano riportati indicando un "alore nominale e9 appunto9 un inter"allo di tolleranza Adunque per esempio

come& "aloreGnominale semi4ampiezza dellinter"allo di tolleranza9 x x C B c7iaro c7e la qualitla qualit

concordata B in"ersamente proporzionale alle tolleranze ammesseconcordata B in"ersamente proporzionale alle tolleranze ammesse9 ed B plausibile c7e il prezzo concordatoil prezzo concordato

sia correlato con la qualit concordatasia correlato con la qualit concordata.

Una "olta stipulato il contratto9 come puH il 8ornitore assicurarsi c7e ciH c7e sta per consegnare sia

e88etti"amente compatibile con le speci8ic7e concordate e quindi di qualit su88iciente9 e con ciH

e"itare Ao comunque mantenere accettabilmente basso il risc7io diC contestazioni da parte del

cliente

%9 una "olta rice"uta la 8ornitura9 come puH il cliente assicurarsi c7e ciH c7e gli B stato consegnato

sia e88etti"amente compatibile con le speci8ic7e concordate9 o al contrario stabilire c7e puH

contestare la consegna in quanto di qualit non su88iciente

%ntrambi de"ono e88ettuare delle misurazionide"ono e88ettuare delle misurazioni

a misurazione B dunque uno strumento di supporto alle decisioni da prendere in condizioni di risc7iouno strumento di supporto alle decisioni da prendere in condizioni di risc7io.

esempio precedente puH essere generalizzato. a misurazione B uno strumento di supporto alle decisioni in

condizioni di risc7io&

per stabilire la con8ormitcon8ormitdi un oggetto a speci8ic7e tecnic7e date Acon8ronto misure4speci8ic7eCE

per stabilire la sostituibilitsostituibilitdi oggetti di"ersi relati"amente a loro 8unzionalit ' caratteristic7e

Acon8ronto misureoggetto1misureoggetto2CE

per stabilire la stabilitstabilitdi un oggetto AcioB la sua (sostituibilit con le sue precedenti "ersioni

temporali)C Acon8ronto misureoggettoAt1C misureoggettoAt2CC9

e naturalmente non B necessario c7e con8ormit ' sostituibilit ' stabilit siano accertate con un numero di

ci8re signi8icati"e... in8inito...

1.1 Variabilit e qualit delle misure

Iipetendo lapplicazione di un sistema di misura a un sistema oggetto della misurazione apparentemente

sempre in uno stesso stato9 come dato di 8atto si osser"a c7e si ottengono misure piJ o meno sensibilmente

di88erenti9 e anzi quanto piJ B sensibile il #iM Ae quindi quanto maggiore B il numero di ci8re signi8icati"e

con cui si esprime il "alore del misurandoC tanto meno le misure sono coincidenti (8ino allultima ci8ra).

e cause di questo 8atto possono essere molteplici9 e tipicamente non sono tutte note&

il sistema di misura non B per8ettamente ripetibile e'o stabile9 dunque a parit di stato del sistema da

misurare non transisce sempre nello stesso stato Acause strumentalicause strumentaliCE

2


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una o piJ grandezze di in8luenza sono "ariate senza c7e losser"atore se ne accorgesse Acausecause

ambientaliambientaliCE

il misurando non B stato de8inito con su88iciente dettaglio Acause modellistic7ecause modellistic7eCE

F e88etti"amente loggetto da misurare 7a cambiato stato.

!l sistema oggetto della misurazione potrebbe essere non un singolo pezzo prodotto ma un intero lottoE per

contenere i costi9 le politic7e aziendali di gestione della qualit potrebbero allora speci8icare c7e il controllo

di qualit "a e88ettuato non su tutti i pezzi9 ma solo su una 8razione x Ap.es. 0905 C di essi9 cioB con un piano

di campionamento al 100x K Ap.es. al 5 KC.

!n tal caso9 la "ariabilit osser"ata e88ettuando la misurazione sulla 8razione di pezzi estratti per

campionamento B do"uta non solo alle cause elencate sopra9 ma anc7e alla "ariabilit del "alore del

misurando interna al campione del lottoE nuo"amente9 si pone comunque lo stesso problema& decidere9 in

condizioni di risc7io a causa dellincertezza9 se consegnare o meno il lotto.

=ccorre allora tenere in considerazione tale "ariabilit in quanto caratteristica inerente alla misura e

8ormalizzarla in modo opportuno Ae ciH come 8atto generale9 cioB anc7e nei casi di misura singolaLC.

a "ariabilit di una misura puH essere considerata in"ersamente correlata con un parametroa "ariabilit di una misura puH essere considerata in"ersamente correlata con un parametro

c7e possiamo identi8icare9 genericamente9 come la qualit della misura stessac7e possiamo identi8icare9 genericamente9 come la qualit della misura stessa

1.2 Misure di qualit e qualit delle misure

+unque&

da una parte occorre misurare le caratteristic7e di un sistema per assicurarsi circa la sua qualit AcioB

occorre e88ettuare delle (misure di qualit)CE

daltra parte le misure stesse sono caratterizzabili in ri8erimento alla loro qualit AcioB B possibile eappropriato stabilire la (qualit delle misure)C.

-7e relazione cB ' ci do"rebbe essere-7e relazione cB ' ci do"rebbe essere

tra la qualit ric7iesta ' concordata per i prodotti e la qualit delle misuretra la qualit ric7iesta ' concordata per i prodotti e la qualit delle misure

#embra ragione"ole la seguente conclusione&

quanto piJ la qualit ric7iesta per i prodotti B alta9quanto piJ la qualit ric7iesta per i prodotti B alta9

tanto piJ B importante c7e sia alta la qualit delle misuretanto piJ B importante c7e sia alta la qualit delle misure

e daltra parte poic7&

quanto piJ B alta la qualit delle misurequanto piJ B alta la qualit delle misure

tanto piJ B costoso il processo di misurazionetanto piJ B costoso il processo di misurazione

B necessario tro"are un bilanciamento A(il giusto mezzo)C tra costi c7e si sostengono in produzione e

controllo di qualit e risc7i c7e si corrono per non con8ormit.

2 Il punto di vista tradizionale

Nino allinizio del O!O secolo9 la "ariabilit delle misure era considerata un 8atto secondario9 e comunque le

misure "eni"ano espresse indicando semplicemente un "alore per il misurando Asi ricordi c7e ancora in quel

periodo la produzione industriale adotta"a pratic7e di tipo artigianale9 senza cercare la standardizzazione dei


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prodottiC. !ntorno al 1109 3auss creH una (teoria degli errori) PF e gli astronomi ne 8ecero uso. AFC

;+altra parte< se si eccettua lastronomia9 la 8isica cominciH a riportare stime degli errori di misura solo

dopo il 10Q ;!. RacSing


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"alor "ero del misurando9 e dunque ? come abbiamo "isto ? m i come il miglior stimatore per tale "alor

"ero.

Ma so"rapposti agli errori casuali si possono presentare anc7e errori di altro genere9 c7iamati errorierrori

sistematicisistematici9 c7e distorcono la distribuzione delle misure in modo appunto sistematico9 traslandola lungo

lasse dei "alori del misurando Asono errori tutti (dello stesso segno)9 e quindi non si annullano con

laumentare delle dimensioni del campioneC.

x oooooo

x "alore "ero

o misure

xoooooo

grandi errori casuali9senza errori sistematici

piccoli errori casuali9grandi errori sistematici

% dunque solo assumendo c7e tutti gli errori sistematici siano stati corretti c7e il "alor medio e la

de"iazione standard AcioB la radice quadrata della "arianzaC della gaussiana cos ottenuta sono stimatori

rispetti"amente del "alore "ero del misurando e del suo errore. =perati"amente9 la di88erenza tra errori

casuali ed errori sistematici si mani8esta nel 8atto c7e allaumentare del numero di ripetizioni le88etto degli

errori casuali si riduce Ae quindi il corrispondente stimatore si riduce9 grazie al 8atto c7e la gaussiana (si

stringe)C9 mentre le88etto degli errori sistematici rimane inalterato. +unque&

la dispersionedispersione

reciproca delle misureB do"uta a errori casualicasuali ed B "alutata in termini diprecisioneprecisionedi misura Agrado di

concordanza tra "alori misurati della grandezza ottenuti damisurazioni ripetute dello stesso oggetto o di oggetti

similari9 eseguite in condizioni speci8icate ;V!M


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determinerebbe anc7e uno scostamento sistematico9 e lo stesso e88etto si otterrebbe se la resistenza 8osse

ottenuta a partire dalla relazione indicata9 misurando l9 s e Te prendendo i "alori di 0 e da un

manuale9 nel caso di un errore sistematico in una misura.

2." Errori casuali ed errori sistematici una critica al punto di vista tradizionale

(raditionall> @e 7a"e di"ided errors into s>stematic and random components. /n>t7ing @e could eplain9

suc7 as a temperature in8luence9 as @ell as errors t7at 8ollo@ed a certain pattern and looSed s>stematic @ere

c7aracterized as s>stematic errors. /n>t7ing else @as considered random errors. 7e 8act @e ignored9 but

@7ic7 @as t7ere all along9 @as t7at t7e 7arder @e looSed at a measuring process and t7e more resources @e

put into understanding it9 t7e more errors started appearing s>stematic to us. We @ill see t7at t7e onl>

logical eplanation is t7at all errors are s>stematic9 t7e> onl> appear random @7en @e 7a"e limited

in8ormation or i8 our sampling is not dense enoug7.) Ada R. #. :ielsen9 7e m>t7 o8 t7e random error9 19

7ttp&''@@@.7n4metrolog>.com'randm>t7.7tmC.

#econdo questa interpretazione9 dunque9 anc7e la distinzione tra errori casuali ed errori sistematici non B

(inerente) agli errori stessi9 ma deri"a da questioni modellistic7ederi"a da questioni modellistic7e. !l problema empiricamente piJ rile"ante

rispetto a questa distinzione tra (tipi di errori) riguarda comunque le modalit per combinare piJ contributi9

alcuni casuali e altri sistematici9 in un unico (errore complessi"o)& 3auss stesso a"e"a identi8icato una leggelegge

di propagazione degli erroridi propagazione degli erroriapplicabile agli errori casuali A"edremo questa legge9 reinterpretata9 nel seguitoC9

ma non B c7iaro come trattare gli errori sistematici Aper esempio quelli deri"anti da perdita di taratura del

#iMC... anc7e perc7 se un errore sistematico 8osse noto potrebbe essere corretto e quindi azzerato9 e se non

8osse noto non si capisce come lo si potrebbe stimareF

2.# $Valori veri%&

Ma la critica piJ radicale9 almeno da un punto di "ista concettuale9 alla teoria degli errori di 3auss B "enuta9

a partire dal 1,0 circa9 dallanalisi del concetto di ("alore "ero). #i con8ronti&

nel momento della misurazione il sistema misurato si tro"a in uno stato de8inito9

con&

nel momento della misurazione il misurando 7a un "alore de8inito.

:on si tratta a88atto di condizioni equi"alenti&

la prima B una tipica ipotesi metrologica Acritica solo nel caso della meccanica quantisticaCE

la seconda B da""ero poco c7iara e sostenibile9 se non altro perc7 con8onde mondo 8isico Aa cui il

sistema misurato e il misurando appartengonoC e mondo dellin8ormazione Aa cui i ("alori)

appartengonoC.

Un altro problema& se da""ero esistessero i ("alori "eri)9 dato un certo misurando di un certo sistema da

misurare9 di quante ci8re decimali sarebbe costituito il suo "alore "ero

/lternati"amente alle ipotesi alla base della teoria di 3auss9 B progressi"amente emerso il punto di "ista

secondo cui i ("alori "eri) non esistono proprio Ae non solo sono inconoscibili9 come anc7e tradizionalmente

si riconosceC o9 al piJ9 sono dati solo in casi particolari come il conteggio oppure quando si mani8estano

come ("alori di ri8erimento).

6
http://www.hn-metrology.com/randmyth.htmhttp://www.hn-metrology.com/randmyth.htm


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" 'a $errore% a $incertezza%

:el 1 B stata pubblicata da !#= e "ari altri organismi di standardizzazione internazionali la Guide to the

expression of uncertainty in measurementA(3UM)C Auna cui buona sintesi9 a cura del :!#9 B disponibile su

@eb& 7ttp&''p7>sics.nist.go"'ubs'guidelines':12,'tn12,s.pd8C. !l punto di "ista della 3UM

Aterminologicamente caratterizzato dal cambiamento da (errore) a (incertezza)C 7a un rile"ante orientamento

pragmatico&

distingue primariamente non le causele cause di errore9 ma le modalit di trattamentole modalit di trattamento dellincertezzaE

caratterizza le modalit di trattamento dellincertezza in termini non concettualiconcettuali9 ma solo operati"ioperati"i

Amodalit statistic7e e nonC9 adottando al proposito una terminologia c7iaramente con"enzionale

A(categoria /) e (categoria )9 o anc7e (tipo /) e (tipo )CE

propone una strategia 8ormalepropone una strategia 8ormaleper risol"ere il problema della combinazione di incertezze "alutate

con modalit di"erse9 senza imporre uno speci8ico modello concettualesenza imporre uno speci8ico modello concettuale al proposito Aadottando un

atteggiamento pluralistico9 c7e ammette interpretazioni sia oggetti"istic7e sia soggetti"istic7eC.

enc7 proponga una terminologia alternati"a a quella tradizionale Ain particolare appunto (incertezza)

in"ece di (errore)C9 anc7e a questo proposito la 3UM non B diretti"a& (7e de8inition o8 uncertaint> o8

measurement gi"en ;dalla 3UM< is not inconsistent @it7 ot7er concepts o8 uncertaint> o8 measurement9

suc7 as

a measure o8 t7e possible error in t7e estimated "alue o8 t7e measurand as pro"ided b> t7e result o8 a

measurementE

an estimate c7aracterizing t7e range o8 "alues @it7in t7e true "alue o8 a measurand lies AV!M9 1st

edition9 1$C.

/lt7oug7 t7ese t@o traditional concepts are "alid as ideals9 t7e> 8ocus on unknowable quantities& t7e (error)

o8 t7e result o8 a measurement and t7e (true "alue) o8 t7e measurand Ain contrast to its estimated "alueC9

respecti"el>.

:e"ert7eless9 @7ic7e"er concepto8 uncertaint> is adopted9 an uncertaint> component is al@a>s evaluated

using t7e same data and related in8ormation).

accordo "a tro"ato non tanto sui termini c7e si adottano Ac7i pre8erisce il termine (errore) a (incertezza)

continui pure a usarlo...C n sul signi8icato c7e si "uole attribuire ai termini adottati Asi cerca uno stimatore

per il "alor "ero del misurando o il "alore c7e meglio esprime lin8ormazione disponibile sul misurandoC9

ma sulle modalit con cui trattare i dati disponibili& un punto di "ista decisamente ingegneristico9 dunque...

".1 (ause di incertezza

+alla 3UM&

(7ere are man> possible sources o8 uncertaint> in a measurement9 including&

incomplete de8inition o8 t7e measurandE

imper8ect realization o8 t7e de8inition o8 t7e measurandE

non representati"e sampling ? t7e sample measured ma> not represent t7e de8ined measurandE

,
http://physics.nist.gov/Pubs/guidelines/TN1297/tn1297s.pdfhttp://physics.nist.gov/Pubs/guidelines/TN1297/tn1297s.pdf


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inadequate Sno@ledge o8 t7e e88ects o8 en"ironmental conditions on t7e measurement or imper8ect

measurement o8 en"ironmental conditionsE

personal bias in reading analogue instrumentsE

8inite instrument resolution or discrimination t7res7oldE

ineact "alues o8 measurement standards and re8erence materialsE

ineact "alues o8 constants and ot7er parameters obtained 8rom eternal sources and used in t7e

data4reduction algorit7mE

approimations and assumptions incorporated in t7e measurement met7od and procedureE

"ariations in repeated obser"ations o8 t7e measurand under apparentl> identical conditions.)

# Metodi per la valutazione dellincertezza

:el caso di ripetibilit delle misure9 lincertezza sul "alore del misurando B "alutabile con metodi statistici

A(metodi di "alutazione di categoria /metodi di "alutazione di categoria /)C9 con basi concettuali dunque parzialmente di"erse ma risultati non

cos di"ersi da quelli della teoria degli errori di 3auss. a 3UM raccomanda c7e lincertezza a cui si giunge

con metodi di categoria / sia "alutata e quindi espressa come la de"iazione standard della media

dellinsieme sperimentale delle misure9 dunque come uno stimatore della distribuzione di probabilit da cui

si ipotizza le misure siano estratte.

a 3UM riconosce9 per altro9 c7e si presentano numerosi e importanti situazioni nelle quali unincertezza B

presente sul "alore del misurando anc7e a prescindere dalle"entuale ripetizione della misurazione& in questi

casi lincertezza de"e essere "alutata con metodi non statistici A(metodi di "alutazione di categoria metodi di "alutazione di categoria )C. a

3UM raccomanda c7e lincertezza a cui si giunge con metodi di categoria sia ancora "alutata ancora come

se si trattasse di una de"iazione standard9 pur senza disporre di una base statistica al riguardo9 dunque

secondo uninterpretazione soggetti"istica della probabilit9 intesa come (grado di credenza) Adegree of

beliefC dellosser"atore. +unque9 in entrambi i casi9 la raccomandazione della 3UM B di esprimereesprimere

lincertezza come una de"iazione standardlincertezza come una de"iazione standard.

/ttenzione& la distinzione tra (categoria /) e (categoria ) attiene al metodo di "alutare lincertezza9 e non

allincertezza in se stessa Adi cui la 3UM9 saggiamente9 non tratta...C.

#.1 Valutazioni di categoria ) sintesi di un campione di misure

Un misurandoXB stato "alutato n"olte Adunque con un metodo di "alutazione di categoria /C e come

risultato di tali "alutazioni sono state ottenute le letture x 1, ..., xn . !l 8atto c7e le letture x i siano di"erse tra

loro e c7e il "alore x i non sia precisamente pre"edibile a partire dai "alori x 1, ..., x i1 suggerisce di

8ormalizzare il misurando come una "ariabile casuale9 i cui parametri statistici non sono noti e de"ono essere

stimati a partire dai "alori x 1, ..., x n 9 c7e si considerano (estrazioni campionarie) di tale "ariabile casuale

Anota& come dabitudine in statistica9 per semplicit si adotta lo stesso simbolo9 X9 per indicare sia il

misurando sia la "ariabile casuale ad esso associataC.

!l "alor medio della "ariabile casuale9 e dunque del misurando Anaturalmente a meno dellapplicazione della

8unzione di taraturaC9 "iene stimato mediante il suo "alor medio campionario&


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mX=1

ni=1

n

x i

c7e porta unin8ormazione di posizione sulla "ariabile casuale9 e "iene quindi usato come "alore da"alore da

assegnare per il misurandoassegnare per il misurando.

in8ormazione sul misurando "iene espressa non solo mediante il suo "alore ma anc7e indicando

lincertezza di tale "alore9 c7e B e"identemente do"uta alla dispersione dei "alori della "ariabile casuale

intorno al "alor medio. -i interessa dunque "alutare lincertezza non direttamente della "ariabile casuale ma

del suo "alor medio9 c7e in8atti B a sua "olta una "ariabile casuale Aeseguendo piJ campionamenti di N

"alori dalla stessa distribuzione9 si otterrebbero "alori medi campionari di"ersiCE dunque data la "arianza

campionaria Ala cui radice quadrata 8ornirebbe un indice di incertezza non del "alore del misurando ma della

popolazione delle lettureC&

sX2=

1

n1i=1

n

x imX2

la "arianza del suo "alor medio B&

smX2 =

sX2

n=

1

nn1i=1

n

x imX2

la cui radice quadrata&

uX=smX=1

nn1i=1

n

x imX2=

sX

n

B una de"iazione standard9 dimensionalmente omogenea al misurandoE il "alore uX 8ormalizza la cosiddetta

incertezza tipoincertezza tipoAinglese&standard uncertaintyC del "alore del misurando.

#i B dunque in presenza di un trade o88& allaumentare di naumentano i costi9 do"uti alla ripetizione9 ma si

riduce lincertezza.

#.2 Valutazioni di categoria * un esempio

-onsideriamo un quantizzatore9 cioB un dispositi"o c7e associa a ogni input x un canale di larg7ezza

range'numero di canali9 interpretabile come una distribuzione di probabilit uni8orme di estremi a 9 b 9 tale

cioB c7e ab/2 X range'numero di canali. !l quantizzatore introduce unincertezza9 c7e cresce con

laumentare del "alore ab /2 . #i tratta di unincertezza non "alutabile statisticamente& ma quanto "ale

-ioB& quanto "ale la de"iazione standard di una distribuzione uni8orme p x tra a e b

-alcoliamo prima di tutto il "alor medio&

mX=

x pxdx = 1

ba

a

b

x dx =1

bax

2

2 ab

=1

bab

2a2

2=

ab2

AoS& lo sape"amo giFC. -alcoliamo ora Acon qualc7e passaggio in menoFC la "arianza&

sX2 =

p x xmX2

dx =1

ba

a

b

x 22UmXmX2 dx =

1

bab

a

mXb

2a2mX2 ba=

=bab2aba2

ba

ba2

$ =

ba2

ba

ba2

$ =

ba2

12

e quindi la de"iazione standard Ae quindi lincertezza tipoC B uX=

ba

2


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F da con8rontare per esempio con la de"iazione standard per distribuzioni triangolari&ba

26.

#." )ncora sulle valutazioni di categoria *

esempio precedente presenta una situazione c7e puH essere generalizzata& in molte situazioni tutto ciH c7e

si sa sul misurando B c7e il suo "alore sta allinterno di un inter"allo [a , b ] E B allora consistente con il

principio di minima in8ormazione ' massima entropia 8ormalizzare questa in8ormazione assumendo c7e il

misurando sia una "ariabile casuale distribuita uni8ormemente tra ae b. !l calcolo precedente B quindi

riapplicabile& lincertezza tipo del "alore di un misurando c7e si ipotizza a distribuzione uni8orme B

x /0.5,x do"exB la semi4ampiezza dellinter"allo [a , b ] su cui B de8inita la distribuzione.

Un altro esempio& lincertezza "iene riportata mediante un inter"allo di con8idenza di semi4ampiezza x e

con un li"ello di con8idenza per esempio del 5K o del K9 assumendo inoltre c7e tale inter"allo di

con8idenza sia stato ottenuto a partire da una distribuzione gaussiana. +alle tabelle c7e riportano i "alori

dellespressione A"edi anc7e successi"amenteC&

PX[mk, mk]=mk

mk

px dx

per la distribuzione gaussiana9 si e"ince c7e tale integrale "ale 095 e 09 rispetti"amente per k=1960 e

k=295,6 9 e quindi lincertezza tipo B calcolabile come x /k.

#.# Incertezze assolute e incertezze relative

e incertezze uX sono incertezze assoluteassolute9 e come tali 8orniscono unin8ormazione limitata sulle88etti"a

qualit di una misura& per esempio9 una stessa incertezza di 1 sul "alore della resistenza di un resistore da

10 e di uno da 10 Sin8luisce in modo ben di"erso sulla qualit delle due misure. er questa ragione9 si

usa spesso indicare non tanto le incertezze assolute quanto le incertezze relati"eincertezze relati"e9 de8inite come&

uXrel= uX

mX

dunque rapportando il "alore dellincertezza tipo con il "alore AassolutoC del misurando. oic7

generalmente Ae auspicabilmente...C uXrel B un numero piccolo9 lo si indica speci8icandone solo la prima

ci8ra signi8icati"a e la potenza negati"a di dieci per cui B moltiplicato.

er esempio9 se Atralasciando lindicazione dellunit di misuraC mX=$0926 e uX=090 allora lincertezza

relati"a B uXrel=090/$092609000, cioB uXrel=,10$

.

Un altro metodo per riportare le incertezze relati"e B di moltiplicarle per 10 9 e quindi di comunicarle in

(per mille) Anellesempio& 09, YC9 oppure anc7e di moltiplicarle per 106 9 e quindi di comunicarle in (parti

per milione) Anellesempio& ,00 ppmC.

#.+ 'allincertezza tipo allincertezza estesa

% spesso utile esprimere le misure come intervalli di indifferena9 tali cioB c7e ogni elemento dellinter"allo

possa essere scelto (con unalta probabilit) come "alore per il misurando. a 3UM raccomanda di passare

dalla rappresentazione mediante incertezze tipo a quella per inter"alli moltiplicando lincertezza tipo uX per

10


11/25

un 8attore di copertura8attore di coperturaAcoverage factorC k9 per passare cos allincertezza estesaincertezza estesaAexpanded uncertaintyC

!X=k uX 9 tale dunque c7e [mX!X, mX!X] sia linter"allo di indi88erenza cercato.

/ssumendo c7e sia nota la distribuzione di probabilit di cui mXB il "alor medio e uXB lincertezza tipo9 la

relazione tra linter"allo cos ottenuto9 c7iamato (inter"allo di con8idenza)9 e la probabilit dellinter"allo

stesso9 c7iamata in tal caso (li"ello di con8idenza). -B e"identemente una relazione di monotonicit diretta

tra 8attore di copertura e li"ello di con8idenza9 e quindi tra ampiezza dellinter"allo di con8idenza e li"ello di

con8idenza9 relazione c7e puH essere espressa analiticamente se si conosce la distribuzione di probabilit

sottostante. :el caso di distribuzione gaussiana9 in particolare&

8attore di copertura li"ello di con8idenza

1 096

196$5 09

1960 095

2 095$5

295,6 09 09,

+ ,espressione del risultato di una misurazione

!n generale9 per esprimere il risultato di una misurazione occorre indicare&

il misurandomisurando9 speci8icando come esso B de8inito9 includendo le e"entuali grandezze di in8luenza

Ap.es.9 resistenza misurata a 20 Z- tra due punti de8initi delloggettoCE

loggetto misuratooggetto misurato9 speci8icando quanto occorre per identi8icarne lo stato Ap.es.9 listante di

applicazione del sistema di misura per misurazioni di grandezze dinamic7eCE la misuramisura9 speci8icando il "alore stimato per il misurando9 lincertezza di tale "alore e lunit di

misura9 e dic7iarando i metodi adottati per calcolare lincertezza.

:ota& lincertezza tipo do"rebbe essere trattata essa stessa come un "alore approssimato Ain altri termini&

anc7essa B incerta...C9 e quindi do"rebbe includere una ci8ra Ae solo in casi particolari dueCE lindicazione

numerica dellincertezza consente dunque di identi8icare le ci8re signi8icati"e della stima del misurando.

:ota& una con"enzione spesso applicata nella pratica pre"ede c7e lindicazione dellincertezza "enga

tralasciata9 lasciandola implicita nellunit di misura impiegata per 8ornire il risultato e nel numero di ci8re

c7e costituiscono il risultato stesso Anel (numero di ci8re signi8icati"e)C.% ric7iesto dunque c7e ogni misura esprima non solo il "alore assegnato per il misurando9 ma anc7e

lincertezza tipo di tale "alore. #i ammettono due modi complementari per esprimere tale in8ormazione&

indicando la coppia A"alore del misurando9 incertezza tipoCE

indicando un inter"allo di indi88erenza ' con8idenza.

er esempio9 assumendo c7e mX=1009021$, g e uX=095 mg&

1009021$,090005 gE nellipotesi c7e la distribuzione sottostante sia gaussiana e abbia una

de"iazione standard approssimati"amente pari a uX 9 si assume c7e il "alore del misurando sia

interno allinter"allom

X

uX con una probabilit di circa 096E

11


12/25

1009021$,09000,0 g9 do"e il numero dopo il simbolo rappresenta lincertezza estesa

!X=k uX ottenuta moltiplicando lincertezza tipo per il 8attore di copertura k=2 E assumendo c7e la

distribuzione sottostante sia gaussiana9 a questo inter"allo di con8idenza corrisponde un li"ello di

con8idenza pari a circa 095 AcioB si assume pari a 095 la probabilit c7e il "alore del misurando sia

e88etti"amente interno allinter"alloC.

+.1 Il calcolo di misure da misurazioni indirette

Iicordiamo&

metodo di misurazione direttometodo di misurazione diretto& il "alore del misurando B ottenuto mediante lapplicazione di un

sistema di misuraE

metodo di misurazione indirettometodo di misurazione indiretto& il "alore del misurando "B ottenuto a partire dalla misurazione di

altre#grandezzeXilegate 8unzionalmente al misurando e mediante il successi"o calcolo di tale

8unzionef.

:ota& la 8unzionef"iene c7iamata (modello di misura)9 o (8unzione di misura)9 per il misurando ".:ota&fpotrebbe essere espressione di una legge 8isica "=fX1, ..., X# E daltra parte9 una o piJ delle

(grandezze di ingresso)Xipotrebbe essere una grandezza di in8luenza9 di cui si "uole tenere conto nella

stima di un "alore per il misurando "Ain questo caso detto anc7e (grandezza di uscita)C9 cosa c7e mostra la

generalit del problemaE in questo senso9 ognimisurazione puH essere intesa come indiretta9 o9 meglio9 le

misurazioni dirette possono essere considerate come casi sempli8icati di misurazioni indirette.

+ata una relazione 8unzionale "=fX1, ..., X# se le Xi sono "ariabili casuali9 ognuna con "alor medio m i

e incertezza tipo ui 9 e"identemente anc7e la "sar una "ariabile casuale9 dipendente secondo fdalle Xi .

+alle #coppie A m i 9 ui C e conoscendo lespressione analitica di fsi pone il problema di come calcolare la

coppia A m" 9 u" C per la "ariabile casuale "9 cioB propriamente la misura per il misurando ".

er quanto riguarda m" 9 la scelta abituale B m"=fm1, ..., m# 9 non problematica solo nel caso in cuifsia

lineare Aperc7 solo in questo caso9 indicando con $X il "alore atteso della "ariabile casualeX9 "ale c7e

$fX1, ..., X#=f$X1, ..., $X# C Aun semplice caso di 8unzione non lineare mono4argomentale9 #=1 9

B "=fX=X2 9 per esempio9 per "alutare larea di una super8icie quadrata a partire dalla misura del suo

latoE supponiamo c7e X sia stato "alutato tre "olte9 ottenendo x 1=1.00 9 x 2=1.10 9 x =1.0 Ai numeri sono

e"identemente arti8iciali e stiamo tralasciando lindicazione dellunit di misuraCE allora il "alore corretto per

m" potrebbe anc7e essere m"=$fX=$X2 cioB x 1

2x 22x

2 /=1.0 9 mentre approssimando come

suggerisce la 3UM m"=f$X=$X2

si ottiene x 1x 2x /2=1.2 C.

!l calcolo di u" B in"ece piJ complesso. er comprendere come lo si puH calcolare9 cominciamo a

considerare il caso semplice delle 8unzioni a un solo argomento9 #=1 9 in cui dunque "=fX Ae quindi

tale c7e m"=fmX C. a presenza di unincertezza suX8a s c7e le letturexsiano in generale non

coincidenti con il loro "alor medio mX e quindi c7e a ogni lettura sia associato uno scarto xmX .

/ssumendo c7e gli scarti xmX siano su88icientemente piccoli e c7e il comportamento difintorno al punto

mX sia su88icientemente lineare9 si puH s"ilupparefin serie di a>lor intorno a mX arrestandosi al termine

del primo ordine&

12


13/25

y=fx =fmXdf

dxxmX

a"endo indicato con df/dx la deri"ata df/dXdella 8unzione fcalcolata nel punto mX . +altra parte9

poic7 fmX=m" &

ym"=df

dxxmX

relazione c7e stabilisce la dipendenza dei ApiccoliC scarti di y intorno a m" dai ApiccoliC scarti dei "alori x

intorno a mX Aricordiamo c7e lo s"iluppo in serie di a>lor consente di calcolare il "alore fxx a

partire dal "alore di fx e delle deri"ate di fcalcolate in x &

fxx =fx df

dxx

d2f

dx2

x 2

2%

df

dx

x

% ... 9

do"e appuntod

if

dxi B la deri"ata i 4esima della 8unzione fcalcolata in x C.

ali scarti possono essere immediatamente tras8ormati in incertezze tipo9 ottenendo&

u"=dfdxuX

Aespressione c7e giusti8ica lidea c7e questo non sia altro c7e un problema di cambio di "ariabili...C.

incertezza tipo u" del misurando "dipende dallincertezza tipo uX della grandezza di ingresso X

attra"erso il termine df/dx 9 c7e rappresenta dunque un (coe88iciente di sensibilit) della "ariazione di X

mediante fnellintorno del punto mX .

er esempio9 se "=fX=X2 allora df

dx=2mX e quindi u"=2mXuX Asi puH notare c7e naturalmente

queste equazioni sono dimensionalmente corrette9 nel senso c7e [u"]=["] E in8atti assumendo c7e [X]=[uX]

e considerando c7e [dX]=d[X] 9d[f]d[x ]

[uX]=[f]=["] C.

+.1.1 )lcuni esempi

Anota& i "alori numerici riportati in questi esempi non sono realistici e le grandezze sono indicate omettendo

lunit di misuraC

"=Xk

oic7 df/dX=1 9 allora u"=uX

[ incertezza non si modi8ica per traslazione.

"=k X

oic7 df/dX=k9 allora u"=k uX

[ #e lincertezza assoluta di "B k"olte superiore a quella di X9 le incertezze relati"e9

uXrel=uX/mX e u"rel=u"/m"=k uX/k mX 9 sono uguali.

"=X2

oic7 df/dX=2O 9 allora u"=2 mXuX

[ +unque in questo caso lincertezza dipende dal "alore della grandezza di ingresso. er esempio9

semX=10

euX=2

9 alloram

"

=mX

2=100e

u"=2 mXuX=2102=$0. !n termini di incertezze

1


14/25

relati"e& uXrel=2 /10=092 mentre u"rel=$0/100=09$ & la relazione quadratica tra Xe "peggiora

anc7e lincertezza relati"a.

"=sinX

oic7 df/dX=cosX 9 u"=cosmXuX

[ +unque anc7e in questo caso lincertezza dipende dal "alore della grandezza di ingresso. er

esempio9 se mX=0 e uX=091 9 allora m"=sinmX=0 e u"=cosmXuX=1091=091 . :ellintorno

di mX=0 9 la 8unzione "=sinX B approssimata come "X & lincertezza tipo di "B uguale

allincertezza tipo di X.

+.2 ,a legge di combinazione ! propagazione delle incertezze

ossiamo ora generalizzare il discorso precedente al caso in cui la 8unzione f7a #1 argomenti9 ancora

s"iluppando fin serie di a>lor intorno a A m1, ...,m# C e arrestandosi ai termini del primo ordine.

:ellipotesi c7e le co"arianze tra le grandezze di ingresso Xi siano trascurabili9 dopo alcuni passaggi

analog7i a quelli compiuti nel caso mono4argomentale si ottiene&

ym"2=

i =1

#

f

x i2

xim

i2

e quindi&

u"=i=1#

fx i

2

u i2

espressione c7e consente di calcolare lincertezza tipo di "Ade8inita in questo caso incertezza tipoincertezza tipo

combinatacombinataC in 8unzione delle incertezze tipo degli Xi Anota& anc7e in questo caso9 i coe88icienti di sensibilit

f/x i si intendono calcolati nel "alor medio A m 1, ...,m# CC.

iJ in generale9 considerando le co"arianze ui , & Ae indicando con ui ,i=ui2

la "arianza di Xi C&

u"=i=1#

& =1

#fx i

fx &

u i , &

8orma generale della cosiddetta legge di propagazione delle incertezzelegge di propagazione delle incertezze.

+.2.1 )lcuni casi semplici di propagazione delle incertezze

F cioB di applicazione a casi particolari della legge& u"=i=1#

fx i

2

u i2 Adunque nellipotesi di co"arianze

nulleC&

se "=X1X2 allora u"2=u1

2u22

E

se "=X1X2 allora u"2=m2

2u 1

2m12u 2

2o anc7e9 piJ espressi"amente u"rel

2=u1rel

2u2rel

2E

se "=Xk allora u"

2=k mX

k12uX

2o anc7e9 piJ espressi"amente u"rel=kuXrel .

:ellesempio semplice "=X1X2 9 applic7iamo anc7e la 8ormula per co"arianze non nulle Aricordando

naturalmente c7e u i , &=u & ,i C&

u"

2=i=1

#

&=1

#fx i

fx &

ui , & =fx1

[fx1

u 12fx 2

u192]fx 2

[fx1

u192fx 2

u 22]

1$


15/25

e poic7 in questo casofx1

=fx2

=1 si 7a 8inalmente c7e u"2=u1

2u222u192 .

+.2.2 Un esempio

a 8unzione fc7e consente di calcolare il misurando "B mono4argomentale9 "=fX 9 e si considera la

misurazione ripetibile9 cos c7e per Xsi ottiene un campione x 1, ..., x n . #ono dunque applicabili i metodi di

categoria /9 e da questi si ottengono il "alore della grandezza di ingresso mX e la sua incertezza tipo uX . /

questo punto si ritiene perH c7e sia necessario applicare una correzione al "alore della grandezza di ingresso

Apotrebbe essere tipicamente per tener conto dei risultati della taratura compiuta sul sistema di misuraC9 per

esempio di tipo additi"o9 Xcorr=X'. /llora e"identemente la 8unzione fde"e essere applicata a Xcorr 9 e

quindi a tutti gli e88etti fdi"enta bi4argomentale9 fX ,' . !n generale9 inoltre9 la correzione sar de8inita

da un "alore c a incertezza tipo u' non nulla9 c7e nel caso origini da in8ormazione di taratura sar "alutata

con metodi di categoria . !l problema del calcolo di u" B perciH 8ormalmente ricondotto alla propagazione

delle incertezze nel caso "=fX19X2 9 e come tale 8acilmente risolubile.

#i mostra con ciH c7e la legge di propagazione consente di combinare incertezze indipendentemente dalla

categoria9 / o 9 dei metodi con cui sono ottenute9 e consente di tener conto di e"entuali correzioni da

apportare Atradizionalmente si sarebbe detto& (di e"entuali errori sistematici da correggere)C alle grandezze di

ingresso.

+.2." Un esempio

#i "uole "alutare la potenza Pdissipata ai capi di un resistore a cui B applicata una tensione9 ma non si

dispone di un sistema per misurare direttamente P. #i ricorda9 daltra parte9 c7e P=(2 /R 9 do"e (B la

tensione applicata al resistore e R B la sua resistenza. +isponendo di un sistema di misura c7e consente di"alutare (e R 9 si potr allora calcolare9 cioB (misurare indirettamente)9 P.

#upponiamo c7e per ( e R siano disponibili piJ letture. +a tali letture si calcolano i "alori medi m( e mR

e le incertezze tipo u( e uR 9 cos c7e le misure per (e R sono m(u( e mR uR rispetti"amente. !l

problema B dunque di calcolare una misura mPuP per la potenza dissipata.

er quanto riguarda mP 9 semplicemente mP=m(2 /mR .

er calcolare uP si utilizza la legge di propagazione delle incertezze9 nellipotesi di co"arianze nulle&

uP

2=f

(2

u(

2f

R2

uR

2 =2m (

mR2

u(

2m(

2

mR2

2

uR

2

!l passo successi"o potrebbe essere di riconoscere c7e il (modello della misurazione) pre"ede la dipendenza

di R dalla temperatura t9 R t=R0[1tt0] 9 do"e R0 B la resistenza del resistore alla temperatura t0 .

+.2.# Un esempio

#iano date # misure Xi di una stessa grandezza X 9 ognuna espressa mediante un "alore m i della

grandezza e la sua incertezza tipo ui Apotrebbero essere9 per esempio9 #campioni di un lotto di prodotti9 la

cui qualit dipende dal "alore della grandezzaC. Dual B lincertezza tipo dellinsieme delle #misure

15


16/25

:el caso in cui le # misure abbiano incertezze tipo tutte uguali9 lin8ormazione sullinsieme puH essere

sintetizzata mediante la media delle misure9 e quindi il problema si riconduce a una misurazione indiretta9

relati"a al misurando&

"=1

#i=1

#

Xi

di cui occorre allora calcolare lincertezza tipo mediante propagazione delle incertezze&

u"2=

i=1

#

fx i

2

ui2=

i=1

#

1

#2

u i2

Ma poic7 i "alori ui sono appunto ipotizzati come tutti uguali&

u"2=

1

#

2

i=1

#

ui2=

1

#

2

# u i2=

ui2

#

e quindi&

u"=u i

#

#i ricon8erma cos il risultato noto c7e la de"iazione standard della media sperimentale di # "alori si riduce

di un 8attore 1/#rispetto alla de"iazione standard della distribuzione da cui i "alori si suppongono

estratti.

#e le # misure non7anno incertezze tipo tutte uguali9 sembra ragione"ole sintetizzare lin8ormazione

sullinsieme mediante una media pesata delle misure9 con pesi Pi .

incertezza da propagare riguarda dunque in questo caso il misurando&

"=i=1

# Pix i

&=1

#

P&

=1#i=1

#

Pix i

a"endo indicato con # il 8attore di normalizzazione i=1

#

Pi .

/llora&

u"2=

1#2

i=1

#

Pi2ui

2

%"identemente lincertezza combinata dipende dalla scelta dei pesi Pi . !n termini generali9 B ragione"ole

c7e i pesi dipendano in"ersamente dalle incertezze tipoE ma con quale 8orma

er esempio& Pi=1 /u i oppure Pi=1/u i2

a scelta B9 in generale9 con"enzionale...

+." Sulla convenzionalit nella valutazione dellincertezza

+alla 3UM&

(Uncertaint> Ao8 measurementC& parameter9 associated @it7 t7e result o8 a measurement9 t7at c7aracterizes

t7e dispersion o8 t7e "alues t7at could reasonabl> be attributed to t7e measurand.)

/ proposito di questo concetto di (ragione"olezza)9 la 3UM 7a un interessante commento&

(/lt7oug7 t7is Guidepro"ides a 8rame@orS 8or assessing uncertaint>9 it cannot substitute 8or critical

t7inSing9 intellectual 7onest>9 and pro8essional sSill. 7e e"aluation o8 uncertaint> is neit7er a routine tasS

16


17/25

nor a purel> mat7ematical oneE it depends on detailed Sno@ledge o8 t7e nature o8 t7e measurand and o8 t7e

measurement.

7e qualit> and utilit> o8 t7e uncertaint> quoted 8or t7e result o8 a measurement t7ere8ore ultimatel> depend

on t7e understanding9 critical anal>sis9 and integrit> o8 t7ose @7o contribute to t7e assignment o8 its "alue.)

+.# Sintesi un esempio di procedura -UMcompliant1. %sprimere in 8orma analitica la 8unzione tra il misurando AcioB la grandezza di uscita della 8unzioneC e

tutte le grandezze di ingresso dalle quali il misurando dipende.

2. Valutare lincertezza di ciascun "alore delle grandezze di ingresso9 adottando alternati"amente modalit

di categoria / o di categoria .

. Valutare le co"arianze associate alle stime delle grandezze di ingresso e"entualmente correlate.

$. -alcolare analiticamente la deri"ata parziale della 8unzione rispetto a ogni grandezza di ingresso.

5. er ogni grandezza di input9 calcolare la sua deri"ata parziale nel "alor medio della grandezza e quindi

ele"are al quadrato il "alore ottenuto.6. Moltiplicare ognuno dei "alori cos ottenuti per la corrispondente incertezza tipo ele"ata al quadrato.

,. er ogni coppia di grandezze di ingresso a co"arianza non nulla9 moltiplicare tra loro le rispetti"e

deri"ate parziali Acalcolate al passo $C9 moltiplicare quindi il risultato per 2 e per la co"arianza.

. #ommare i "alori ottenuti ai passi 6 e , e calcolare la radice quadrata di tale somma& il risultato B

lincertezza tipo del misurando.

#u @eb si tro"ano "ari strumenti so8t@are a supporto di questa proceduraE un semplice e interessante Aoltre

c7efree...C programma al proposito B -on"ersion udd> Ascaricabile per esempio da

7ttp&''metrolog>8orum.tm.agilent.com'do@nload$.s7tmlC.

+.+ Sintesi sullespressione dei risultati di misurazioni

Un commento del :!#&

(W7en reporting a measurement result and its uncertaint>9 include t7e 8ollo@ing in8ormation in t7e report

itsel8 or b> re8erring to a publis7ed document&

/ list o8 all components o8 standard uncertaint>9 toget7er @it7 t7eir degrees o8 8reedom @7ere

appropriate9 and t7e resulting "alue o8 combined uncertaint>. 7e components s7ould be identi8ied

according to t7e met7od used to estimate t7eir numerical "alues&

/. t7ose @7ic7 are e"aluated b> statistical met7ods9

. t7ose @7ic7 are e"aluated b> ot7er means.

/ detailed description o8 7o@ eac7 component o8 standard uncertaint> @as e"aluated.

/ description o8 7o@ t7e co"erage 8actor @as c7osen @7en it is not taSen equal to 2.

!t is o8ten desirable to pro"ide a probabilit> interpretation9 suc7 as a le"el o8 con8idence9 8or t7e inter"al

de8ined b> t7e epanded uncertaint>. W7en t7is is done9 t7e basis 8or suc7 a statement must be gi"en.)

+./ Sintesi sul campo di applicabilit della -UM

Un commento del :!#&

1,
http://metrologyforum.tm.agilent.com/download4.shtmlhttp://metrologyforum.tm.agilent.com/download4.shtml


18/25

(7e guidance gi"en in t7is ec7nical :ote ;e quindi della 3UM< is intended to be applicable to most9 i8 not

all9 :!# measurement results9 including results associated @it7&

international comparisons o8 measurement standards9

basic researc79

applied researc7 and engineering9

calibrating client measurement standards9

certi8>ing standard re8erence materials9 and

generating standard re8erence data.)

/ Strategie alternative

a procedura indicata dalla 3UM puH non essere sempre A8acilmenteC applicabile&

perc7 non si considera nota con esattezza lespressione analitica della 8unzione fAper esempio nel

caso in cui "orrebbe tener conto degli e88etti di grandezze di in8luenza ma non si conosce appunto

analiticamente come da queste dipende il misurandoCE

perc7 si ritiene troppo complessa9 o non appropriata Aper esempio perc7 fB sensibilmente non

lineare intorno al "alor medio delle grandezze di ingresso9 e quindi unapprossimazione solo al

primo ordine nello s"iluppo in serie di a>lor B criticaC9 o non 8attibile Aper esempio perc7 fnon B

di88erenziabile intorno al "alor medio delle grandezze di ingressoC9 lapplicazione analitica della

legge di propagazione delle incertezze alla 8unzione fdataE

perc7 si ritengono troppo ele"ati i costi da sostenere per "alutare la legge di propagazione delle

incertezze.

#i possono allora adottare strategie parzialmente alternati"e per "alutare lincertezza&

A"edi 3UM 5.1.$C nel caso in cui sono identi8icate grandezze di ingresso ma non B nota la relazione

8unzionale c7e le lega al misurando9 i coe88icienti di sensibilit f/x i possono essere misurati in

modo approssimato9 in"ece c7e calcolati analiticamente& si tratta di 8ar "ariare in modo controllato

una grandezza di ingresso Xi per "olta9 tenendo costanti le altre #1 9 e di misurare la

corrispondente "ariazione del misurando "E

A"edi 3UM #upplemento 1&Numerical methods for the propagation of distributionsC nel caso in cui

si ritiene necessario adottare una strategia di tipo di non analitico ma numerico Aper esempio perc7

si considera non appropriata unapprossimazione al primo ordine nello s"iluppo in serie di a>lor

ma si giudica troppo complesso un trattamento analitico dellapprossimazione a ordini superioriC9 si

puH operare mediante tecnic7e di campionamento basate sul metodo Monte -arlo A"edi nel seguitoCE

A"edi !#= 1$2542& Geometrical Product )pecifications * +nspection by measurement of workpieces

and measuring euipment- Part ./ Guide to the estimation of uncertainty in GP) measurement, in

calibration of measuring euipment and in product verification9 1C nel caso in cui si ritengono

troppo ele"ati i costi da sostenere per "alutare lincertezza secondo la procedura della 3UM9 se ne

puH adottare una "ersione approssimata A"edi nel seguitoC.

1


19/25

/.1 Monte (arlo

#upponendo c7e siano noti la legge "=fX1, ..., X# e le distribuionidelle grandezze di ingresso Xi Ae

quindi non solo le incertezze tipo ui C9 per calcolare lincertezza tipo u" si puH adottare una tecnica di

campionamento numerico di tipo Monte -arlo.

Un campione di input x B una #4upla di "alori x=x 1, ..., x# 9 ogni x i essendo (estratto) campionariamente

dalla distribuzione associata a Xi Ase gli Xi non sono indipendenti lintera #4upla de"e essere ottenuta

per campionamento dalla distribuzione congiuntaC. #i generi in questo modo una successione di campioni di

input { x& } 9 &=19...,)9 do"e ) B dunque la dimensione del campione aggregatoE per ognuno di questi x&

puH essere calcolato il campione di output y&=f x& corrispondente.

a successione {y& } 8ornisce allora unin8ormazione campionaria sulla distribuzione associata al misurandoin8ormazione campionaria sulla distribuzione associata al misurando

"E con le tecnic7e usuali9 da tale successione possono essere calcolati il "alor medio campionario e la

de"iazione standard campionaria9 impiegati come stimatori rispetti"amente per il "alore di "e la sua

incertezza tipo9 ma anc7e direttamente inter"alli di con8idenza per ogni dato li"ello di con8idenza ric7iesto.

Duesta tecnica dunque (propaga le distribuzioni)9 e non solo le incertezze AcioB le loro de"iazioni standardC9

e 7a anc7e il merito di non ric7iedere la conoscenza dei coe88icienti di sensibilit di fAun ri8erimento

semplice e sintetico su questa tecnica si tro"a su

7ttp&''@@@.npl.co.uS'scienti8icGso8t@are'tutorials'uncertainties'upGaGgumGtree.pd8C.

/.1.1 Un esempio

#upponiamo A"alori numerici non realistici e senza indicazione di unit di misuraC&

"=fX1, X2=X1X2

con entrambe le grandezze di ingresso distribuite uni8ormemente9 negli inter"alli 102 e 20 rispetti"amente e statisticamente indipendenti.

Utilizzando per esempio uno spreads7eet9 generiamo ) campioni di input9 cioB )coppie di "alori

R0N1 $ e 1,R0N1 6 Acon8idando dunque nelluni8ormit del generatore di numeri casuali

R0N1 C e sommiamo i "alori di ognuna delle )coppie

a successione dei "alori y campionari ottenuti puH essere allora "isualizzata in istogramma&

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

23

24 25 26 27 28

29 30 31 32

33 34 35 36 37

e da essa possono essere calcolati m" e u" .

:aturalmente la qualit delloperazione dipender sia dalla qualit del generatore di numeri casuali adottato9

sia dalla dimensione )del campione Anel caso ra88igurato9 )=10000 C Ain questo caso non B di88icile

con8rontare i risultati ottenuti con Monte -arlo con quelli analitici& le incertezze tipo sono u1=2/ e

u2= / 9 e quindi u"=u 12u 22290 C.

1
http://www.npl.co.uk/scientific_software/tutorials/uncertainties/up_a_gum_tree.pdfhttp://www.npl.co.uk/scientific_software/tutorials/uncertainties/up_a_gum_tree.pdf


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/.2 0UM)

(rocedure 8or Uncertaint> Management)& un metodo approssimato per la stima dellincertezza

a "alutazione dellincertezza B un problema di "alutazione della qualit di un particolare prodotto9 e come

tale impegna colui c7e "aluta9 in termini sia di risc7io9 sia di rapporto qualit ' costoE 7a senso in"estire7a senso in"estire

risorse in tale "alutazione 8intanto c7e essa porta in8ormazione utile sulla qualit della misurarisorse in tale "alutazione 8intanto c7e essa porta in8ormazione utile sulla qualit della misura .

UM/ suggerisce di 8ormalizzare questo criterio in termini di una (incertezza target) +T c7e si ritiene di

do"er raggiungere9 impiegata come ri8erimento per la seguente procedura iterati"a&

1. de8inire il misurando e decidere lincertezza targetE

2. identi8icare i contributi al budget complessi"o dellincertezzaE

. "alutare in prima approssimazione9 ma con certezza di so"rastima9 i contributi di incertezza e combinarli

con somma quadraticaE sommare gli e"entuali contributi relati"i a "ariabili correlate assumendo un

coe88iciente di correlazione pari a 1 o 1 E operare la "alutazione assicurandosi c7e il "alore +)

ottenuto sia una so"rastimaE

$. con8rontare +) con +T &

se +)+T 9 il problema B risoltoE

altrimenti&

se sono ancora disponibili risorse9 ripartire dal passo approssimando piJ 8inemente a partire

dalle componenti di incertezza piJ rile"anti Asecondo il ragione"ole principio Adi aretoC&

(comincia a risol"ere i problemi piJ gra"i)CE

altrimenti il problema non ammette soluzione con le risorse attualmente disponibili.

(ompatibilit di misure... de8inita pragmaticamente come propriet di due misure di condurre alla stessa decisione.

-ome stabilire se le due o piJ misure si ri8eriscono a oggetti in uno stesso stato Anellesempio& se il lotto B

omogeneo relati"amente al misurandoC

a norma U:! $5$6 raccomanda di 8ormalizzare la condizione c7e due misure&

x1=[m1k1u 1, m1k1u 1] e x2=[m 2k2 u2, m2k2u 2]

si ri8eriscano a cose in uno stesso stato9 e quindi siano compatibilicompatibili9 come&

x1x 2!"

+unque # misure x i si ri8eriscono a oggetti in uno stesso stato se 7anno tutte unintersezione comune.

:ota& si tratta9 e"identemente9 di una condizione necessaria ma non su88icienteE allargando gli inter"alli9 per

esempio attra"erso la scelta di un 8attore di copertura molto ampio9 si puH sempre ottenere unintersezione

non nullaF

!l documento 51, del #!9 (ermini e de8inizioni)9 ri8ormula questa condizione in ri8erimento alla

8ormalizzazione della 3UM& due misure dello stesso misurando "9 indicate y 1 e y 2 9 con incertezze estese

pari rispetti"amente a !1 e !2 9 sono compatibili se&

y 1y2

!y1y21

20


21/25

c7e nel caso di correlazione trascurabile di"enta&

y1y 2

[!y1]2[!y 2]

21

.1 olleranza e incertezza $regole decisionali%

Una tipica situazione operati"a in cui occorre trattare con incertezze AesteseC si presenta nei casi in cuioccorre con8rontare la misura di un prodotto con le corrispondenti speci8ic7e di progetto9 per decidere se

accettare o scartare il prodotto stesso. #i tratta di una decisione circa la con8ormit o non con8ormit di unadecisione circa la con8ormit o non con8ormit di una

misura con una speci8icamisura con una speci8ica. e speci8ic7e tecnic7e di progetto sono tipicamente 8ornite nella 8orma di

inter"alli "alore nominale \ semi4ampiezza dellinter"allo di tolleranza9 e ugualmente si possono

rappresentare le misure come inter"alliE si tratta dunque di con8rontare tra loro due inter"alli9 misura e

speci8ic7e9 e la decisione9 se accettare o scartare il prodotto9 "iene presa in 8unzione del risultato del

con8ronto.

Un po di terminologia Adalla norma !#= 1$2541& Geometrical Product )pecification * +nspection bymeasurement of workpieces and measuring instruments- Part 2/ 1ecision rules for proving conformance or

non*conformance with specification9 1C&

tollerana& di88erenza tra i limiti di tolleranza superiore e in8erioreE

limiti di tollerana& "alori speci8icati della caratteristica9 c7e de8iniscono i con8ini superiore e'o

in8eriore del "alore ammessoE

specifica& tolleranza sul requisito di una caratteristica di un pezzo la"oratoE

conformit3& soddis8acimento dei requisiti speci8icatiE

ona di conformit3& zona di speci8ica diminuita dellincertezza estesa di misuraE

ona di non conformit3& zona al di 8uori della zona di speci8ica aumentata dellincertezza estesa di

misuraE

intervallo di ambiguit3& inter"allo in prossimit del limite Ao dei limitiC di speci8ica nel quale non B

possibile pro"are la con8ormit o la non con8ormit9 a causa dellincertezza di misura.

!#= 1$2541& (a con8ormit rispetto a un determinato "alore di speci8ica B pro"ata quando linter"allo c7e

esprime in modo completo il risultato della misurazione9 y 9 B tutto contenuto allinterno della zona di

tolleranza indicata per una caratteristica di un pezzo la"orato. a stessa con8ormit puH essere pro"ata in

modo analogo quando il risultato della misurazione9 y 9 cade allinterno della zona di speci8ica ridotta da

entrambi i lati del "alore dellincertezza estesa9 !y E "ale a dire9 quando il risultato della misurazione9 y 9

cade allinterno della zona di con8ormit.)

tolleranza

2!2! zona di con8ormit

zona diambiguit

zona diambiguit

zona dinon con8ormit

zona dinon con8ormit

+ue casi non presentano ambiguit&

1. "alore del misurando zona di con8ormit decidi di accettare il prodotto

21


22/25

2. "alore del misurando zona di non con8ormit decidi di scartare'rila"orare il prodotto

!l terzo caso9 in"ece&

. "alore del misurando zona di ambiguit

B problematicoF

/ncora dalla norma !#= 1$25419 !ntroduzione& (Duando si "uole pro"are la con8ormit o non con8ormit

rispetto a una speci8ica si de"e prendere in considerazione il "alore stimato dellincertezza di misura. !l

problema si pone quando il risultato della misurazione cade in prossimit del limite superiore o in8eriore

della speci8ica. !n questo caso non B possibile pro"are la con8ormit o non con8ormit rispetto alla speci8ica9

in quanto il risultato della misurazione piJ o meno lincertezza estesa associata al risultato include uno dei

limiti di speci8ica. ertanto si do"rebbe pre"edere un accordo pre"enti"o tra il "enditore e il cliente9 allo

scopo di risol"ere i problemi c7e potrebbero "eri8icarsi.)

% ancora Aal punto 5.1C& (Duelle c7e seguono sono le regole di tipo con"enzionale atte a pro"are la

con8ormit o non con8ormit rispetto a speci8ic7e9 "ale a dire quelle regole c7e risultano "alide quando non

siano pre"enti"amente intercorsi tra "enditore e cliente accordi alternati"i in merito. !n8atti il "enditore e il

cliente possono concordare regole di"erse9 le quali do"ranno essere considerate accordi particolari 8acenti

parte della documentazione del prodotto).

Vale ancora la regola pragmatica& non appena lin8ormazione disponibile mette in grado di decidere in modo

non ambiguo circa la con8ormit o non con8ormit delloggetto misurato B inutile Anel senso di& inutilmente

costosoC proseguire a operare per stimare sempre meglio lincertezza del "alore del misurando.

.2 olleranza e incertezza una procedura operativa

/nalogamente alla logica della UM/& e88ettuare un primo controllo dei prodotti con incertezza ele"ata Amantenendo cos bassi i costi di

"alutazioneCE

mettere da parte i prodotti la cui caratteristica B misurata in zona di ambiguitE

solo su di essi e88ettuare un secondo controllo con incertezza in8eriore.

tolleranza

zona di con8ormit

!n

certezza

li"ello dellaprima "alutazione

-ostodellamisurazione

li"ello dellaseconda "alutazione

." olleranza e incertezza in sintesi

#upponiamo c7e&

lo stato in cui si tro"a il prodotto9 non noto ma comunque non in8luenzato dalla decisione9 sia

riconducibile allalternati"a (con8orme alle speci8ic7e) oppure (non con8orme)

la decisione possa essere solo (accetta) oppure (scarta)

22


23/25

Mettendosi dalla parte del 8ornitore8ornitoreAper cui (scarta) in e88etti potrebbe signi8icare anc7e (in"ia alla

rila"orazione)C9 si presentano $ situazioni possibili&

#tato e88etti"o del prodotto

non conforme conforme

+ecisione

scar

ta oS&

non si consegna al clienteun prodotto non con8orme

errore di seconda specie Aerrato scartoC&

si sostengono inutilmente dei costi9 scartando un prodottoc7e a"rebbe potuto essere consegnato al cliente

accetta errore di prima specie Aerrata accettazioneC&

si risc7ia di rice"ere contestazioni dal cliente9consegnandogli un prodotto non con8orme

oS&si consegna al clienteun prodotto con8orme

Mettendosi dalla parte del clienteclienteAper cui (scarta) in e88etti potrebbe signi8icare anc7e (accetta sotto

condizioni)C9 le $ situazioni di"entano&

#tato e88etti"o del prodotto

non conforme conforme

+ecisione

scarta oS&

non si accetta la consegna di un prodottonon con8orme

errore di seconda specie Aerrato scartoC&se si scarta in accettazione9 si risc7ia di rice"ere contestazioni dal

8ornitore9 scartando un prodotto c7e a"rebbe do"uto essereaccettato

accetta errore di prima specie Aerrata accettazioneC&

si accetta la consegna di un prodotto noncon8orme9 con le conseguenze c7e ne seguono

oS&si accetta la consegnaun prodotto con8orme

% meglio incorrere in errori di tipo 1 Aerrata accettazioneC o di tipo 2 Aerrato scartoC +ipende dal ruolo

A8ornitore o clienteC e soprattutto dal tipo di prodottoF

+unque&

incertezza delle misure come elemento determinante nelle decisioni di con8ormitE

esistenza di una zona di ambiguit la cui ampiezza dipende dallincertezza con la quale si esegue la

misura di "eri8ica della tolleranzaE

con"enzionalit circa la decisione da prendere quando i risultati della "eri8ica cadono nella zona di

ambiguit.

% in8ine importante ricordare c7e la natura probabilistico4statistica del problema 8a s c7e anc7e quando le

misure segnalano la con8ormit9 puH esistere un risc7io non nullorisc7io non nulloc7e9 ripetendo la misurazione Aper esempio

con un #iM di migliore qualitC si possa giungere a do"er considerare c7e loggetto inizialmente considerato

con8orme a"rebbe in"ece do"uto essere scartato.

#i pone dunque il problema di dare una "alutazione per questo risc7io Aper esempio per 8are in modo c7e un

suo "alore accettabile "enga concordato tra 8ornitore e clienteC.

.# Sulla valutazione del risc3io di non con4ormit

e speci8ic7e di con8ormit per il misurando Xsiano 8ormalizzate indicando un "alore di ri8erimento9 xR+4 9

e la semi4ampiezza xR+4 dellinter"allo di tolleranza. #upponendo c7e la misura per Xsia espressa dalla

coppia mX 9 uX Ao""iamente uXxR+4 C9 si "uole "alutare il risc7io di non con8ormit.

Una risposta a questo problema ci "iene dallimportante disuguaglianza di MarSo"disuguaglianza di MarSo"& se XB una "ariabile

casuale non negati"a e a B una costante 0 9 allora&

2


24/25

PX#a$$X

a

a dimostrazione di questa disuguaglianza B semplice9 ed B utile seguirla Ala presentiamo qui nel caso in cui

Xsia continua9 con 8unzione di densit di probabilit p C&

$X=0

x p x dx=0

a

x p x dxa

x p x dx

e poic7 i due termini sono entrambi #0 &

$X#a

x p x dx#aa

p xdx

a"endo sostituito a x la costante a E ma a

p x dx B proprio PX#a 9 e con ciH la disuguaglianza B

dimostrata.

=periamo ora le seguenti sostituzioni nella disuguaglianza di MarSo"&

XXmX2

e aa2

ottenendo&

PXmX2#a2$

uX

a2

ma poic7 XmX2#xR+4

27a la stessa estensione di XmX#xR+4 &

PXmX#a$

uX

a2

espressione nota come disuguaglianza di c7eb>c7e"disuguaglianza di c7eb>c7e"9 importante perc7 applicabile a qualunque

distribuzione. Mediante tale disuguaglianza9 a88rontiamo il problema della "alutazione del risc7io9 per

esempio nel caso particolare in cui mX=xR+4 .#ostituendo inoltre axR+4 9 si ottiene&

PXxR+4#x

R+4$

uX

xR+42

espressione c7e 8ornisce un limite superiore al risc7io di non con8ormit&

riducendo lincertezza tipo si riduce il risc7io di non con8ormitriducendo lincertezza tipo si riduce il risc7io di non con8ormit

al contrario9 riducendo la tolleranza il risc7io di non con8ormit aumentariducendo la tolleranza il risc7io di non con8ormit aumenta

5 Sintesi incertezza6 taratura6 ri4eribilita presenza di incertezza 7a unin8luenza non solo nella misurazione (sul campo)9 ma anc7e e ancor prima

nella catena di ri8eribilit9 dunque nellinsieme delle operazioni di taratura c7e rendono le misure prodotte

dagli strumenti industriali ri8eribili ai campioni nazionali.

3li stessi "alori di ri8erimento ottenuti dai con8ronti c7ia"e Akey comparisonC nellambito dellMI/ sono

dic7iarati con unincertezza.

=gni operazione di taratura propaga poi tale incertezza lungo la catena di ri8eribilit...

... 8ino al diagramma di taratura degli strumenti di misura industriali& la tabella ' il diagramma delle coppie

Alettura9 "alore corrispondente del misurandoC de"e dunque speci8icare per ogni lettura anc7e lincertezza

2$


25/25

stimata per il "alore del misurando& la 8unzione di taratura de"e essere corrispondentemente estesa in una

(striscia di taratura)9 del tipo&

letture

striscia

di taratura

misure

7 Sintesi misurazione6 in4ormazione6 incertezza

Informazione iniziale(a priori!

sul misurando

Informazione finale(a posteriori!sul misurando

misurazione

nella lo"ica "enerale c#e$

incertezza informazione

er quanto la misurazione possa essere so8isticata9 lin8ormazione c7e se ne ottiene non B mai (completa)&

rimane sempre dellincertezza sul misurando9 almeno relati"amente alla sua de8inizione

3UM& il "alore stimato per il misurando (ma> be called t7e best estimate o8 t7e ]true "alue9 ]true in t7e

sense t7at it is t7e "alue o8 a quantit> t7at is belie"ed to satis8> 8ull> t7e de8inition o8 t7e measurand A...C

ecause o8 an incomplete de8inition o8 t7e measurand9 t7e ]true "alue 7as an uncertaint> t7at can be

e"aluated A...C /t some le"el9 e"er> measurand 7as suc7 an ]intrinsic uncertaint> A...C 7is is t7e minimum

uncertaint> @it7 @7ic7 a measurand can be determined9 and e"er> measurement t7at ac7ie"es suc7 an

uncertaint> ma> be "ie@ed as t7e best possible measurement o8 t7e measurand)

!l concettofondamentaledi incertezza di de8inizioneincertezza di de8inizionedunque...

25

2_3_Incertezze_di_misura

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