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Universit di Pisa

Esame di SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale

Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale

(docente: Prof. Ing. Stefano Bennati)

Sintesi della soluzione della prova scritta del 28 febbraio 2015 Parte I

Problema. Nel sistema di figura 1 le

travi BE e CF sono estensibili,

mentre le altre sono flessibili ma

inestensibili. Sulle travi AB, BC, EF e

FG agisce un carico distribuito

assiale uniforme, di intensit q,

inoltre le travi AB e FG sono soggette

alle variazioni termiche lineari nello

spessore H della trave, indicate in

figura. Infine, le aste reticolari BE e

CF sono soggette alle variazioni

termiche costanti nello spessore della

trave indicate in figura.

1) Il sistema 3 volte cinematicamente iperdeterminato, ma considerazioni di antisimmetria consentono di

risolvere il problema mediante il metodo delle forze ricorrendo ad ununica incognita iperstatica. A tale scopo, si

sceglie come X1 il valore dello sforzo normale nellasta BE (uguale ed opposto a quello nellasta CF). Il sistema

pu allora essere decomposto nella somma seguente (figura 2):

F(e) = F(0) + X1 F(1),

con:

1 2E BX

w w t lEA

= +

e 1 2 = +

F CX

w w t lEA

,

dove Ew e Bw sono gli spostamenti assiali, positivi nella direzione da B verso E, delle sezioni B ed E della trave

BE e Fw e Cw sono gli spostamenti assiali, positivi nella direzione da C verso F, delle sezioni C ed F della trave

CF.

Figura 2

Figura 1

2

Considerazioni di equilibrio consentono di determinare le reazioni vincolari esterne per il sistema F(0), mentre

per il sistema F(1) queste ultime sono nulle. I due sistemi sono rappresentati nelle figure 3 e 4.

Figura 3

Figura 4

Le CdS nei vari tratti e nei sistemi F(0) e F(1) sono raccolte nella tabella seguente, nella quale ( )0,s l per AB e BC e ( )0, 2s l per CD.

N0 T0 M0 N1 T1 M1

AB qs 0 2

2

ql 0 0 0

BC qs ql 2

lql s 12

12

2s

CD ql ql 2

lql s 0 2 2 2

ls

Considerazioni di antisimmetria (figura 5) consentono di descrivere le CdS nelle travi DE, EF e FG in funzione di

quelle fornite nella tabella precedente:

( ) ( )= DE CDN s N s ; ( ) ( )=DE CDT s T s ; ( ) ( )=DE CDM s M s ( ) ( )= EF BCN s N s ; ( ) ( )=EF BCT s T s ; ( ) ( )=EF BCM s M s ( ) ( )= FG ABN s N s ; ( ) ( )=FG ABT s T s ; ( ) ( )=FG ABM s M s

Figura 5

3

I diagrammi quotati delle CdS sono rappresentati in figura 6.

Figura 6

I coefficienti di Mller-Breslau sono i seguenti:

11 2 2

= +

Xl tEA

;

,0 ,0 ,0 010 ,1 ,1 ,1 1

0 0 0

1 2 2 2 d = B C Dm m mB C D

m m m

BC

M M M MM M M M s

k k k EJ;

4 3

100

2 28 2

= +ql qlEJ k

;

( ) ( ) ( )2 2 2 2,1 ,1 ,0 111

0 0 0,

1 2 2 2 d = B C Dm m m

BC CD

M M M Ms

k k k EJ;

3 2

110

12

= +l lEJ k

.

Conseguentemente,

101

11

2 2

2 2

+=

+

tlX l

EA

;

2

01 2 2

0 0

2 28 22 2

2 2 2 22 2

+

=

+ + + +

EA l EAlEJ k

X EA t qlEAl EAl EAl EAl

EJ k EJ k

.

4

2) Le equazioni differenziali e le condizioni al bordo per i tratti AB (tratto 1), BC (tratto 2) e CD (tratto 3)

che consentono di risolvere il problema mediante il metodo della linea elastica sono le seguenti (figura 1): IV 0=iEJv , per 1, 2, 3=i ;

1. ( )3 2 0=v l ; 2. ( )2 0=v l ; 3. ( ) ( )1 3 0=v l v ; 4. ( )I1 0 0=v ; 5. ( )

2II1

202

=

t qlEJ vH

; 6. ( ) ( )II II1 22 0 =

tEJ v l EJvH

;

7. ( ) ( ) ( )II I I2 0 1 20 0 = EJv k v l v ; 8. ( ) ( )II II2 3 0 = EJv l EJv ; 9. ( ) ( ) ( )II I I3 0 2 30 0 = EJv k v l v ; 10. ( )III1 0 0 =EJv ; 11. ( )III2 10 2 = + BEEJv ql N , (fig. 7) ; 12. ( )

III3 0 2 = BEEJv ql N , (fig. 7) .

Avendo espresso la curvatura della trave AB come:

( ) ( )1II1 2 = M s tv s EJ H , ed avendo determinato gli sforzi nelle aste estensibili in funzione degli spostamenti trasversali delle sezioni B e

C come (figura 8):

( ) ( )2 10 2 22 = BEEAN v v l tl

l; = CF BEN N .

Figura 7

Figura 8

Gli spostamenti delle travi DE (tratto 4), EF (tratto 5) e FG (tratto 6) possono essere dedotti attraverso

considerazioni di antisimmetria come (figura 5):

( ) ( )6 1=v s v s ; ( ) ( )5 2=v s v s ; ( ) ( )4 3=v s v s .

3) Il sistema risulta 3 volte cinematicamente

iperdeterminato, infatti la matrice cinematica una

matrice 12 9, di rango 9.

N.B. Si ricorda che la presente prova scritta pu essere

utilizzata per le successive prove (quella scritta, relativa

alla parte II, e quella orale) entro 60 giorni dalla data

della prova stessa.

4 marzo 2015.

Figura 9