GEOTECNICA A 16 febbraio 2005

COGNOME.........................................................NOME.................................. ................................. N. MATRICOLA..……….......... ESERCIZIO 1 Si deve eseguire una prova di permeabilità a carico costante su un terreno mediamente permeabile. Lo schema dell'apparecchiatura è riportato in figura. Durante la prova si utilizzeranno due pietre porose di spessore Lp, peso dell’unità di volume γp e permeabilità kp, confrontabile con il valore di permeabilità del terreno kt. Le perdite di carico idraulico nelle pietre porose non sono quindi trascurabili. Il terreno ha un’altezza Lt e un peso dell’unità di volume γt. La prova verrà eseguita applicando una differenza di carico idraulico H e misurando la portata uscente Q. Nell'ipotesi che le perdite di carico nel tubo siano trascurabili e assumendo le seguenti relazioni:

Lt=a Lp [cm]; kp=b kt [cm/s]; γp=c γt;

γw (peso di volume dell'acqua)=d γt [N/cm3];

si determini: 1) l'espressione della portata uscente q per unità di area in funzione

della permeabilità del terreno kt e del carico idraulico H; 2) il valore del rapporto kt*/kt, in cui kt*=(qLt)/H rappresenta il valore

di permeabilità del terreno che si otterrebbe se non si tenesse conto delle perdite di carico nelle pietre porose. Si dica anche quando questo errore diventa trascurabile (ovvero il rapporto tende ad essere unitario).

Assumendo poi:

Lp=1/2 cm; a=8; b=2; c=2 d=1/2;

3) si rappresenti qualitativamente gli andamenti dello sforzo verticale totale e della pressione interstiziale; e si determini:

4) il valore dello sforzo verticale efficace alla generica coordinata z (0 ≤ z ≤ aLp), in funzione del carico idraulico H;

5) il valore di carico idraulico H per cui almeno in un punto si ha l'annullamento dello sforzo efficace verticale (quick condition).

ESERCIZIO 2 Si esegua la verifica a carico limite, a lungo termine, della fondazione nastriforme riportata in figura. La forza verticale N vale 500 kN/m, la forza orizzontale T vale 30 kN/m. Si assuma un coefficiente di sicurezza, espresso in termini di pressione netta, η =3.

I coefficienti correttivi per un terreno incoerente dovuti all’inclinazione del carico valgono: ξq=(1-tgδ)m; ξγ=(1-tgδ)m+1; m=(2+B/L)/(1+B/L); tgδ=F’h/F’v

TERRENO: γ= 20 kN/m3 c’= 0 kPa Φ’=35° Nc=46,12 Nq=33,30 Nγ=48,03 cls: γ= 25 kN/m3 ACQUA: γ= 10 kN/m3

T

N

A Lp

Lp

γp; kp

γp; kp

z

ξ

D

C

B

Lt γt; kt

H

SOLUZIONE ESERCIZIO 1 (Lucia Simeoni) Definiti hp e ht le perdite di carico idraulico rispettivamente in una delle pietre porose e nel terreno, per l'equazione di continuità si ha:

t

tt

p

pp L

hLh

q ⋅=⋅= kk

da cui si ricava:

tt

p

p

tp h

LL

kkh =

La perdita di carico totale H è data da:

tt

p

p

ttt

t

p

p

ttp h

LL

kkhh

LL

kkhhH

+⋅=+⋅=+= 1222

da cui si ricava:

+⋅

=

12t

p

p

t

t

LL

kk

Hh

L'espressione della portata diventa quindi:

1) ( ))22212kk

abLHbk

bkL

kaL

H

kL

kL

H

LL

kkL

HLhq

p

t

t

p

t

p

p

p

t

t

t

p

p

tt

tt

tt +

=+

=+

=

+⋅

=⋅=

Nella soprastante espressione per la portata q la formula della permeabilità equivalente keq:

t

t

t

p

p

t

t

p

p

tp

ii

i

i ie

kaL

bkL

La

kL

kL

LL

kLL

+

+=

+

+==

∑∑

2

)2(

2

2k q

che ci permette di esprimere la portata q anche come:

∑⋅=

i ieq L

Hq k

Dall'espressione della portata q del punto 1) si può ricavare il valore della permeabilità del terreno kt:

bHabqp

t)2(k +

=

A questo punto è possibile calcolare l'entità dell'errore espresso dal rapporto kt*/kt:

2) )2()2(k

k*t

abab

abqLbH

Hqap

pt +=

+=

Come si vede l'errore è funzione sia del rapporto b tra le permeabilità che del rapporto a tra gli spessori. Esso diventa trascurabile (ovvero prossimo ad 1) quando b od a sono molto grandi, ovvero quando la permeabilità delle pietre porose è molto maggiore della permeabilità del terreno o quando lo spessore del terreno è molto maggiore dello spessore delle pietre porose. L'espressione dello sforzo verticale totale è:

( ) ]/[1 2cmNzzpczL ttttppv +=+=+= γγγγγσ

in cui si è tenuto conto delle uguaglianze: c=2 e Lp=1/2 cm.

Per valutare l'espressione della pressione interstiziale si determina prima quella del carico idraulico nel tratto compreso tra i punti B e C:

][)()2(2

)2(

)()2()()(

cmpabp

bHab

HHapp

paph

abhHappp

aphhhp

aphhh ttt

pAt

B

−+

−+

−++=

−−−++=−−−=−−=

ξ

ξξξξ

Tenendo conto dell'uguaglianza

][)1( cmzaLp −+=ξ

e sostituendo i valori p=1/2; a=8; b=2, si ottiene:

][)41(18

5 cmzHhz ++=

L'espressione della pressione interstiziale si ottiene dall'uguaglianza:

]/[))1(()( 2cmNzaphhu zwzw ++−=−= γξγ

con

]/[21 3cmNd ttw γγγ ==

Dopo aver eseguito le sostituzioni e gli opportuni calcoli, si ottiene:

]/[21

93641 2cmNzzHHu t

+++= γ

3) gli andamenti qualitativi dello sforzo verticale totale e della pressione interstiziale sono:

Lo sforzo efficace nel terreno è dato da:

4) ( ) ]/[92

1364

321

936411 2' cmNHzHzzHHzu ttttvv

−+

−=

+++−+=−= γγγγσσ

Dalla figura del punto 3) si osserva che, all'aumentare del carico idraulico H, il primo punto a raggiungere la condizione di sforzo verticale efficace nullo è il punto B (z=4 cm) per un valore del carico idraulico H tale che:

]/[092

14364

3 2' cmNHHttv =

−+

−= γγσ

e quindi pari a:

5) cmH 8,51799

==

A

D

C

B

σv

u idrostatico u con H≠0

SOLUZIONE ESERCIZIO 2 (Lucia Simeoni) Innanzitutto dobbiamo calcolare i valori delle forze efficaci che agiscono sul piano di fondazione. Il peso proprio della fondazione W vale:

kN/m5,37)5,05,05,05,2(25W =⋅+⋅⋅=

La risultante U della pressione interstiziale vale:

kN/m5,125,25,010U =⋅⋅=

La forza V’ verticale efficace, che agisce sul piano di fondazione, vale:

kN/m52512,5-37,5500U-WN'V =+=+=

La presenza della forza orizzontale T produce un momento M alla base della fondazione e, quindi, un’eccentricità e e rende il carico inclinato di δ rispetto alla verticale. Il momento M vale:

kN/m30130)5,05,0(TM =⋅=+⋅=

L’eccentricità e vale:

m06,052530

V'M

===e

L’inclinazione del carico, espressa con la tgδ, vale:

06,052530

V'T

===δtg

A questo punto possiamo calcolare il valore corretto della base B’ per tener conto dell’eccentricità ed i valori dei coefficienti correttivi ξγ e ξq:

m38,2)2(BB' =−= e

Essendo la fondazione nastriforme, l’esponente m che compare nei coefficienti correttivi vale 2. I coefficienti correttivi diventano:

88,0)06,01()1(ξqe83,0)06,01()1(ξγ 2233 =−=−==−=−= δδ tgtg

Il valore della pressione limite q’lim è quindi dato da:

kPa/m91,62088,030,33583,003,481038,221ξqNqq'ξγNγγ'B'

21q'

lim =⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=

in cui, dal momento che il piano di fondazione si colloca sotto la falda, γ’ e q’ sono stati calcolati come:

kPa/m5 0,5100,5)γ-(γq'kN/m1010-20 γ-γγ' w3

w =⋅=⋅====

Il valore della pressione ammissibile q’amm è dato da:

kPa/m30,10253

5)-91,206(q')q'-q(q'lim'

amm =+=+=η

e il carico ammissibile Q’amm è dato da:

V'kN/m52,50038,230,210'qQ 'amm

'amm <=⋅=⋅= B La fondazione non è verificata al carico limite

N

M

W

U

T

MECCANICA DELLE TERRE E DELLE ROCCE 16 febbraio 2005

COGNOME.........................................................NOME.................................. ................................. N. MATRICOLA..……….......... ESERCIZIO 1 Un campione viene posto in cella triassiale e quindi consolidato isotropicamente ad una pressione efficace di cella σ’3=100 kPa. In tali condizioni, il campione risulta sovraconsolidato. Successivamente, mantenendo costante sia la pressione di cella σ3 sia la pressione dell’acqua interstiziale (condizioni drenate), viene incrementato lo spostamento assiale fino al raggiungimento della condizione ultima. Lo snervamento (passaggio da un comportamento elastico ad uno elasto-plastico) si verifica in corrispondenza dello sforzo deviatorico q=75 kPa. Utilizzando il modello Cam Clay modificato si determini: 1) la resistenza ultima; 2) l’indice dei vuoti al termine della fase di consolidazione isotropa; 3) la deformazione volumetrica elastica e plastica accumulata durante la fase di incremento dello sforzo deviatorico. Per i parametri del modello si assuma λ = 0.26, κ = 0.05, N = 3.913, Γ = 3.767, M=1 (i valori di N e di Γ sono riferiti a p’ = 1 kPa). ESERCIZIO 2 Con riferimento alle condizioni non drenate, determinare il carico limite q della fondazione indicata in figura utilizzando il teorema statico e cinematico dell’analisi limite.

γw=10 kN/m3 γ =20 kN/m3 cu=40 kPa 2 m

1 m

q

SOLUZIONE ESERCIZIO 1 (Lucia Simeoni) Lo stato tensionale del campione al termine della consolidazione isotropa è definito da:

kPa100'33

'11 ==== σσσσ

da cui si ricavano:

kPa0

kPa10032

'3

'1

'00

'1

'3

'1'

00

=−==

==+

==

σσ

σσσ

qq

pp

Si sa che in questa condizione il provino risulta sovraconsolidato. Perciò esso deve trovarsi: nel piano p'-q' all'interno della curva di plasticizzazione e nel piano v-p' su una curva di scarico-ricarico, come riportato nelle figure.

Successivamente si incrementa lo sforzo deviatorico q', mantenendo costanti sia la pressione di cella che la pressione interstiziale. La prima condizione ci dice che l'incremento dello sforzo σ3 è nullo, la seconda condizione ci dice che gli incrementi di sforzo totale ed efficace coincidono:

0

0'11

'33

≠∆=∆

=∆=∆

σσ

σσ

La pendenza dei percorsi di carico totale, TSP, ed efficace, ESP, è data da:

3

3

'

'

'1''

1'

=∆∆

∆=∆∆=∆

pq

peq σσ

.p'C2 .p'C1 .p'U .p'P .p'0

.q'0

.q'U

P

P

U

U

U'

P'

0

0

L'equazione dell'ESP è:

)(3 '0

'' ppq −=

Il campione raggiunge la superficie di plasticizzazione nel punto P, in cui q'P=75 kPa. Nota la pendenza del percorso di

carico ESP, si può calcolare il valore dello sforzo isotropo p' in P:

kPaqppppP 125375100

3

''0

''0

' =+=∆

+=∆+=

Il punto P appartiene alla superficie di plasticizzazione che, per il modello Cam-Clay modificato, è descritta dall'equazione:

'1

'2'22'CPPP pMppMq =+

Da questa equazione si può ricavare il valore dello sforzo isotropo p'C1:

kPaMp

pMqpP

PPC 170'

2'22''

1 =+

=

Il volume specifico vk1 della curva di scarico-ricarico di questa curva di plasticizzazione vale:

834,2ln)( '11 =−−= Ck pkNv λ

Ora siamo in grado di determinare il valore del volume specifico del campione al termine della consolidazione isotropa, v0, e al raggiungimento della superficie di plasticizzazione nel punto P, vP:

593,2ln

604,2ln'

1

'010

=−=

=−=

PkP

k

pkvvpkvv

Noto il volume specifico è semplice calcolare l'indice dei vuoti iniziale e0:

2) 604,1100 =−= ve

Nel punto P la componente di deformazione volumetrica plastica è positiva. Un incremento dello sforzo deviatorico provoca pertanto una espansione della superficie di plasticizzazione e, quindi, una riduzione del volume specifico. Proseguendo nell'incremento dello spostamento assiale, si segue il percorso di carico efficace ESP fino al raggiungimento della condizione ultima nel punto U. Tale punto deve trovarsi nel piano p'-q' sulla retta di stato critico CSL. Il punto U è quindi definito dall'intersezione tra CSL e ESP:

=−=

''

'0

'' )(3Mpq

ppq

da cui si ottengono i valori degli sforzi nella condizione ultima:

1)

==

kPapkPaq

U

U

150150

'

'

Anche nel piano v-p', il punto U deve trovarsi sulla curva di stato critico. Il volume specifico del campione in U quindi è:

464,2ln ' =−Γ= UU pv λ

Il punto U appartiene alla superficie di plasticizzazione passante per lo sforzo isotropo p'C2:

kPaMp

pMqpU

UUC 300'

2'22''

2 =+

=

Il volume specifico vk2 della curva di scarico-ricarico di questa curva di plasticizzazione vale:

715,2ln)( '22 =−−= Ck pkNv λ

Per determinare le deformazioni volumetriche elastica e plastica dobbiamo conosce i volumi specifici del campione nei punti U' o P'. Essi sono:

583,2ln

474,2ln'

1'

'2'

=−=

=−=

UkU

PkP

pkvvpkvv

La deformazione volumetrica elastica è data da:

%6,4046,0

%8,0008,0

0

'

0

'

0

0

0

'

0

0'

==−

−=−

−=

==

−+

−−=

−−=

vvv

vvv

vvv

vvv

vvv

PPUUpv

PPUUev

ε

ε

SOLUZIONE ESERCIZIO 2 (Lucia Simeoni) 1. TEOREMA STATICO Ricerchiamo una distribuzione degli sforzi totali che sia equilibrata con le forze esterne e che non violi in alcun punto il criterio di rottura. Definita la coordinata z, le equazioni indefinite di equilibrio in termini di sforzi totali sono:

+⋅=⇒=

=⇒=

)(

)(0

xfzz

zfx

zz

xx

γσγδ

δσ

σδ

δσ

Le condizioni al contorno sono:

==⋅==

qzzx

z

wx

σγσ

:0:0

Da cui si ottiene:

+⋅=⋅=

qzz

z

wx

γσγσ

Affinchè non sia violata la condizione di rottura deve essere soddisfatta la seguente relazione:

uwxz czqz ⋅≤⋅−+⋅=− 2γγσσ

Da cui si ottiene:

zcq wu ⋅−−⋅≤ )(2 γγ

Il valore di q è quindi funzione della profondità z ed assume il valore minimo per z=2 m:

kPaqs 602)1020(402 =⋅−−⋅=

2. TEOREMA CINEMATICO Scegliamo un cinematismo compatibile, secondo il quale il concio di terreno rappresentato nella figura a lato si sposta di δ su una retta inclinata di π/4. Il lavoro esterno è dato da:

hwvv SWqLe δδδ ⋅−⋅+⋅⋅= 1

In cui W è il peso del concio, Sw la spinta dell'acqua sulla parete verticale, δv e δh le componenti verticale ed orizzontale dello spostamento δ.

δδδ

γ

γ

22

/511021

21

/1012021

21

22

22

==

=⋅=

=⋅==

hv

ww mkNHS

mkNHW

Il lavoro esterno vale:

δδδ225

2210

22

−⋅+⋅= qLe

Il lavoro interno è dato da:

σx σz

cu

τ

σ

δ δv

δh

1 m

1 m

q

δ

Sw W

2 m

1 m

q

z

x

δδ 1240 ⋅⋅== LcLi u

Uguagliano lavoro interno e lavoro esterno si ottiene:

kPaq

q

LiLe

c 75

1240225

2210

22

=

⋅⋅=−⋅+⋅

=

δδδδ

Il reale carico di collasso sarà compreso tra l'estremo inferiore ottenuto con il teorema statico e l'estremo superiore ottenuto con il teorema cinematico. Per ottenere il suo reale si possono inserire discontinuità statiche nella soluzione del teorema statico e differenti cinematismi nella soluzione del teorema cinematico:

cs qqq ≤≤