14-trasformatore

Trasformatore

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm(versione del 7-3-2008)

2

Schema di principio

● Il trasformatore è una macchina elettrica statica (priva di parti in movimento)

● E’ costituito da due avvolgimenti (detti primario e secondario) aventi rispettivamente N1 e N2 spire avvolti su un nucleo di materiale ferromagnetico

● E’ un componente a due porte che consente di trasferire potenza elettrica tra due circuiti elettrici non collegati tra loro, ma accoppiati per mezzo di un circuito magnetico

3

Ipotesi sul campo magnetico

● Se i due avvolgimenti sono percorsi da corrente viene generato un campo magnetico

● Si assume che le linee di flusso abbiano andamenti qualitativi corrispondenti ai tre tipi indicati in figura

linee che si sviluppano interamente nel nucleo e si concatenano con entrambi gli avvolgimenti

linee che si sviluppano in parte in aria e si concatenano con un solo avvolgimento

4

Flussi di induzione magnetica

● Il flusso di induzione magnetica Φ concatenato con entrambi gli avvolgimenti è detto flusso principale

● I flussi concatenati con il solo avvolgimento primario o il soloavvolgimento secondario sono detti flussi di dispersione

La riluttanza dei tubi di flusso di dispersione è determinata prevalentemente dai tratti in aria

è sempre lecito trascurare gli effetti di non linearità del nucleo e assumere che i flussi di dispersione siano proporzionali alle correnti

● Flussi totali concatenati con gli avvolgimenti

222

111

iL

iL

dd

dd

=ϕ=ϕ

222

111

dc

dc

N

N

ϕ+Φ=Φϕ+Φ=Φ

Ld1, Ld2 = induttanze di dispersione

5

Equazioni interne

● Circuito primario

R1 = resistenza dell’avvolgimento primario

● Circuito secondario

R2 = resistenza dell’avvolgimento secondario

● Circuito magnetico

R = riluttanza del nucleo

dt

dN

dt

dLtR

dt

dtRt d

c Φ++=

Φ+= 1

1111

1111

i)(i)(i)(v

Φ=+ R2211 ii NN

dt

dN

dt

dLtR

dt

dtRt d

c Φ++=

Φ+= 2

2222

2222

i)(i)(i)(v

6

Equazioni in condizioni di regime sinusoidale

● Ipotesi

Il primario è alimentato da una tensione v1 sinusoidale

Il secondario è collegato a un carico lineare

E’ possibile trascurare gli effetti non lineari nel nucleo

In condizioni di regime tutte le grandezze dipendenti dal tempo variano con legge sinusoidale

E’ possibile applicare la trasformata di Steinmetz alle equazioni interne

ΦII

ΦIV

ΦIV

R=+ω+ω+=

ω+ω+=

2211

22222

11111

)(

)(

NN

NjLjR

NjLjR

d

d

7

Effetti dissipativi in un trasformatore

● Nel modello sviluppato fino a a questo punto si è tenuto conto solo degli effetti dissipativi dovuti alle resistenze degli avvolgimenti

“perdite nel rame”

● Altri fenomeni dissipativi avvengono all’interno del nucleo magnetico “perdite nel ferro”

Perdite per correnti parassite (correnti di Foucault)

Se il flusso di induzione magnetica nel nucleo varia nel tempo all’interno del nucleo si hanno delle forze elettromotrici indotte

A causa della conducibilità del materiale ferromagnetico all’interno del nucleo si hanno delle correnti

Dissipazione di energia per effetto Joule

Perdite per isteresi

8

Correnti parassite (1)

● Induzione magnetica B uniforme, ortogonale alle sezioni trasversali e variabile con legge sinusoidale

● Si può pensare che in ogni sezione trasversale del nucleo esistano dei circuiti elettrici elementari

● Se S indica l’area della sezione racchiusa da un circuito elementare, il flusso concatenato è

Forza elettromotrice indotta

Se R è la resistenza di un circuito elementare, la potenza media dissipata in un periodo è

tBtB M ω= cos)(

tSBM ω=Φ cos

tEtSBdt

de MM ω=ωω=

Φ−= sensen

R

BS

R

EP MM

d 22

1 2222 ω==

9

Correnti parassite (2)

● La trattazione precedente giustifica intuitivamente la formula semiempirica

pCP = potenza dissipata per unità di peso del materiale

f = frequenza

BM = induzione massima

KCP = costante dipendente dalla forma della sezione e dal materiale (inversamente proporzionale alla resistività)

● Per ridurre le perdite dovute alle correnti parassite

si utilizzano leghe ad elevata resistività (ferro-silicio)

si ricorre alla laminazione del nucleo

22MCPCP BfKp =

10

Laminazione del nucleo (1)

● Il nucleo è formato da sottili lamierini sovrapposti e isolati tra loro

● Le correnti parassite si possono richiudere solo all’interno dei lamierinii percorsi interessati dalle correnti parassite hanno sezione minore

resistenza più elevata a parità di f.e.m. indotta si hanno correnti minori

l’area delimitata dalle linee di corrente è minore riduzione del flusso concatenato e quindi della f.e.m. indotta

11

Laminazione del nucleo (2)

● Nel caso di un nucleo laminato, la potenza dissipata per unità di peso può essere espressa mediante la relazione

pCP = potenza dissipata per unità di peso del materiale

f = frequenza


δ = spessore di un lamierino

kCP = costante dipendente dal materiale

222MCPCP Bfkp δ=

12

Perdite per isteresi

● Ad ogni ciclo di isteresi corrisponde un’energia dissipata per unità di volume pari all’area racchiusa dal ciclo stesso

Le perdite per isteresi nel nucleo di un trasformatore dipendonodal numero di cicli di isteresi nell’unita di tempo, determinato dalla frequenza fdall’area del ciclo di isteresi, determinata dal valore massimo dell’induzione magnetica BM

La potenza dissipata può essere espressa mediante la formula semiempirica

pI = potenza dissipata per unità di peso

f = frequenza


kI = costante dipendente dal materiale

6.1MII Bfkp =

13

Rappresentazione delle perdite nel ferro

● Per tenere conto delle perdite nel ferro si può modificare il modello introducendo un terzo avvolgimento fittizio caricato da una resistenza Rf

● Il valore della resistenza e il numero di spire dell’avvolgimento vanno scelti in modo che la potenza dissipata su Rf coincida con la potenza dissipata a causa delle perdite nel ferro

14

Rappresentazione delle perdite nel ferro

● Per l’avvolgimento fittizio vale la relazione

● Con il terzo avvolgimento l’equazione del circuito magnetico diviene

cioè

Le equazioni interne diventano

0=ω+ ΦI fff NjR

( )ΦII fKjNN ω+=+ R2211

ΦIII R=++ ffNNN 2211

f

ff R

NK

2

=

( )ΦII

ΦIV

ΦIV

f

d

d

KjNN

NjLjR

NjLjR

ω+=+ω+ω+=

ω+ω+=

R2211

22222

11111

)(

)(

ΦIf

ff R

Njω−=

15

Trasformatore ideale (1)

● Un trasformatore si dice ideale se

Gli avvolgimento hanno resistenza nulla R1 = R2 = 0

Non ci sono flussi dispersi Ld1 = Ld2 = 0

La permeabilità del nucleo è infinita μ = ∞ R = 0

Non si hanno effetti dissipativi nel nucleo Kf = 0

● In queste condizioni le equazioni interne divengono

02211

22

11

=+ω=ω=

II

ΦV

ΦV

NN

Nj

Nj

21

21

22

11

II

VV

N

N

N

N

−=

=

16

Trasformatore ideale (2)

La potenza assorbita a primario viene trasferita integralmente in uscita al secondario

2

1

N

NK =

)(i1

)(i

)(v)(v

21

21

tK

t

tKt

−=

=

rapporto di trasformazione (rapporto spire)

SimboloEquazioni caratteristiche

0)(i)(v)(i1

)(v)(i)(v)(i)(v)p( 22222211 =+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=+= ttt

KtKttttt

Potenza assorbita

17

Trasformazione dell’impedenza di carico

● Trasformatore ideale caricato da un’impedenza ZC

● Si valuta l’impedenza equivalente a primario

22

21

21

22

11

IZV

II

VV

C

N

N

N

N

−=

−=

=1

2

2

12

2

11 IZIZV CC N

N

N

N⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=

Ceq N

NZ

I

VZ

2

2

1

1

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

18

Trasferimento di impedenza

( )222

12

2

11 ZIVVV −=′=

N

N

N

N

12

12 II

N

N−=

1

2

2

12

2

11

1

ZI

V

VV ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

′=

=N

N

N

N

321

19

Circuito equivalente (1)

● Equazione del circuito magnetico

Corrente magnetizzante

La corrente magnetizzante è la corrente che circolando nell’avvolgimento primario con I2 = 0 produce il flusso Φ

Corrente attiva

La corrente attiva determina le perdite nel nucleo

1N

ΦI

R=μ

ΦI R=μ1N

ΦI1N

Kj f

a ω=

( )ΦII fKjNN ω+=+ R2211 aN

NIIII +=+ μ2

1

21

20


● Si pone

● La corrente attiva è in quadratura con Φ è in fase con V0

Si può porre

● La corrente magnetizzante è in fase con Φ è in quadratura con V0

Si può porre

X0 = reattanza magnetizzante

R

210

0

NjjX ω==

μI

V

fffa

RN

N

K

NR

2

21

210

0 ===I

V

ΦV 10 Njω=

21


● Le equazioni interne possono essere poste in una forma che si presta ad una interpretazione mediante un circuito equivalente

000

21

21

01

22222

01111

11

)(

)(

VIIII

VIV

VIV

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+=+

+ω+=

+ω+=

μ Xj

RN

N

N

NLjR

LjR

a

d

d

( )ΦII

ΦIV

ΦIV

f

d

d

KjNN

NjLjR

NjLjR

ω+=+ω+ω+=

ω+ω+=

R2211

22222

11111

)(

)(

0

0

1

0

0

1

10

RN

Kj

Xj

N

Nj

af V

IΦ

VI

Φ

ΦV

==ω

−==

ω=

μR

22


000

21

21

01

22222

01111

11

)(

)(

VIIII

VIV

VIV

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+=+

+ω+=

+ω+=

μ Xj

RN

N

N

NLjR

LjR

a

d

d

23

Circuito equivalente riferito a primario

1

22122

2

21

212

2

12122

2

21

212

N

N

N

NRL

N

N

N

NRR

d II

VV

==

==Si utilizza la proprietà di trasferimento dell’impedenza

24

Dati di targa

● Un trasformatore è caratterizzato da un insieme di valori nominali che ne definiscono le prestazioni ai fini delle garanzie e del collaudo

● Questi valori, assieme ad altre informazioni, sono riportati su una targa apposta sul trasformatore (dati di targa)

● Alcuni dei principali dati di targa sono:

Frequenza nominale [Hz]

Tensione nominale primaria (valore efficace): V1n

Tensione nominale secondaria (a vuoto) (valore efficace): V20

Rapporto nominale di trasformazione: K0 = V1n / V20

Potenza nominale (apparente): Sn = V1n · I1n = V20·I2n

Corrente nominale primaria (valore efficace): I1n

Corrente nominale secondaria (valore efficace): I2n

25

Prova a vuoto

● Al primario viene applicata una tensione di valore nominale

● Il secondario viene lasciato aperto I2 = 0● Corrente del primario

valore molto inferiore al valore nominalele perdite nel rame sono trascurabili

● La caduta di tensione su R2 e Ld2 è nulla

● La caduta di tensione su R1 e Ld1 e molto piccola rispetto al valore in condizioni nominali

il rapporto V1/V2 si identifica con quello di un trasformatore ideale

● V0 e quindi Ia hanno praticamente i valori nominalile perdite nel ferro coincidono con quelle relative al funzionamento nominale

aIII += μ1

2

1

2

1

N

N=

V

V(rapporto di trasformazione nominale)

26

Prova in cortocircuito (1)

● Se il secondario è chiuso in cortocircuito V2 = 0 V12 = 0

● L’impedenza R0 X0 è in parallelo con l’impedenza R12 Ld12

R0 e X0 possono essere trascurate perché normalmente R12 e Ld12sono molto piccole

Corrente del primario

121211

11

dd LjRLjR ω++ω+=

VI

27


● Le impedenze dovute alle resistenze di degli avvolgimenti e alleinduttanze di dispersione sono molto piccole

● Se la tensione a primario ha valore nominale le correnti possonorisultare molto grandi rispetto ai valori nominali

eccessivo surriscaldamento dovuto all’effetto Joule

possibili danni dovuti alle forze tra gli avvolgimenti prodotte dalle correnti

● Nella prova in cortocircuito il trasformatore viene alimentato con una tensione V1cc , di valore efficace inferiore a V1, tale da fare circolare negli avvolgimenti correnti uguali a quelle nominali

28


● Le correnti I1 e I2 hanno valori coincidenti con quelli nominali

le perdite nel rame coincidono con quelle relative al funzionamento nominale

● V1, e quindi anche V0, hanno valori molto inferiori a quelli nominali

la corrente Ia e Iμ hanno valori molto piccoli rispetto ai valori in condizioni nominali

le perdite nel ferro sono trascurabili

il rapporto I1/I2 si identifica con quello di un trasformatore ideale

1

2

2

1

N

N−=

I

I

29

Rendimento

● Trasformatore alimentato a primario da una tensione sinusoidale con il secondario collegato ad un impedenza di carico

● Rendimento

● I trasformatori, essendo macchine statiche, hanno rendimenti molto elevati (oltre il 99.5% per i trasformatori di grande potenza)

La definizione non è adatta per la misura del rendimento

P1 e P2 sono poco diverse tra loro la valutazione del rapporto è molto sensibile agli errori di misura

Le potenze in gioco possono essere molto elevate

1

2

P

P=η P1 = potenza attiva assorbita dal primario

P2 = potenza attiva ceduta al carico

30

Rendimento convenzionale

● Il rendimento convenzionale è definito dalla relazione

Pn = potenza nominale del trasformatore

PCu = potenza dissipate a causa delle perdite nel rame

PFe = potenza dissipata a causa delle perdite nel ferro

● La misura del rendimento convenzionale del trasformatore richiede la valutazione delle perdite nel rame e nel ferro

può essere effettuata mediante una prova in cortocircuito e una prova a vuoto

FeCun

nC PPP

P

++=η

31

Trasformatore trifase (1)

● Per trasferire energia elettrica tra due reti trifase si possono utilizzare tre trasformatori monofase, uguali tra loro, opportunamente collegati

● Unendo i nuclei, si può ottenere un unico trasformatore trifase

32


● Se gli avvolgimenti sono alimentati da una terna di tensioni simmetrica anche i flussi Φa, Φb, Φc formano una terna simmetrica

Il flusso nella colonna centrale è nulloLa colonna centrale può essere eliminata

33


● La configurazione tridimensionale presenta difficoltà costruttive

Nella pratica viene utilizzata una configurazione planare

in questo modo si introduce una dissimmetria nella terna dei flussi (che comunque in genere è trascurabile)

34


● Numero di spire degli avvolgimentiprimari: N

● Numero di spire degli avvolgimentisecondari: n

● f.e.m. indotte negli avvolgimentiprimari: EA, EB, EC

● f.e.m. indotte negli avvolgimentisecondari: Ea, Eb, Eb

(lo stesso risultato si ottiene per le altre coppie di f.e.m.)

I rapporti fra le f.e.m. indotte coincidono con il rapporto spire

aa

aA

ΦE

ΦE

nj

Nj

ω=ω=

n

N=

a

A

E

E

35

Rapporto di trasformazione

● Le fasi del primario e del secondario possono essere collegate tra loro in vari modi

stella

triangolo

zig-zag (utilizzato solo per il secondario)

diversi valori delle tensioni concatenate

● Rapporto di trasformazione: rapporto tra i valori efficaci delle tensioni concatenate relative a coppie di terminali omologhi del primario e del secondario valutato nella condizione di funzionamento a vuoto( si trascurano le cadute di tensione interne del trasformatore)

il suo valore può essere diverso dal rapporto spire e dipende dal tipo di collegamento

ab

AB

V

VK =

36

Gruppi

● Spostamento angolare: angolo (in gradi) di sfasamento in ritardo di una tensione concatenata primaria rispetto alla corrispondente tensione secondaria

dipende dal tipo di collegamento adottato

il suo valore è sempre un multiplo di 30°

● Gruppo: rapporto tra spostamento angolare e 30°

può assumere valori da 0 a 11

in pratica i gruppi più frequentemente utilizzati sono

0 α = 0 °

5 α = 150 °

6 α = 180 °

11 α = 330°

°⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=α

ab

ABargV

V ( )°<α≤° 3600

37

Collegamento delle fasi (1)

6

6

6

e3

e3

e3

π

π

π

=−=

=−=

=−=

j

j

j

CACCA

BCBAC

ABAAB

EEEV

EEEV

EEEV

Collegamento a stella

38


CCA

BBC

AAB

EV

EV

EV

===

3

3

3

π

π

π

=−=

=−=

=−=

j

j

j

e

e

e

CACA

BCBC

AΒAB

EEV

EEV

EEV

Collegamenti a triangolo

39


● Gli avvolgimenti sono divisi in due parti uguali

● La prima sezione di ciascun avvolgimento è collegata in serie discorde con la seconda sezione dell’avvolgimento posto sulla colonna successiva

● Gli avvolgimenti risultanti sono collegati a stella

Collegamento a zig-zag

40

Collegamento a zig-zag – Tensioni di fase

61c1a2cfc

61b1c2bfb

61a1b2afa

e3

e3

e3

π

π

π

=−=

=−=

=−=

j

j

j

EEEV

EEEV

EEEV

2c1c

2b1b

2a1a

EE

EE

EE

===

41

Collegamento a zig-zag – Tensioni concatenate

31c

6fcca

31b

6fbbc

31a

6faab

e3e3

e3e3

e3e3

ππ

ππ

ππ

==

==

==

jj

jj

jj

EVV

EVV

EVV

42

Collegamento stella - stella (Yy)

● Il rapporto di trasformazione coincide con il rapporto spire

● Il gruppo è 0

Questo collegamento è indicato con la sigla Yy0

● Se si invertono le polarità degli avvolgimenti dei primario o del secondario si ha α = 180° gruppo 6 (Yy6)

n

N

e

ej

j

== π

π

6a

6A

ab

AB

3

3

E

EV

V

°=α= 0n

NK

43

Collegamento triangolo - triangolo (Dd)

● In questo caso si è utilizzato il primo tipo di collegamento a triangolo

● Il rapporto di trasformazione coincide con il rapporto spire

● Il gruppo è 0 (Dd0)

● Se si invertono le polarità degli avvolgimenti dei primario o del secondario si ha α = 180° gruppo 6 (Dd6)

n

N==

a

A

ab

AB

EE

V

V

°=α= 0n

NK

44

Collegamento triangolo - stella (Dy)

● Anche in questo caso si è utilizzato il primo tipo di collegamento a triangolo

● Il gruppo è 11 (Dy11)

● Se si invertono le polarità degli avvolgimenti dei primario o del secondario si ha α = 150° gruppo 5 (Dy5)

π

π == 6

5

6a

A

ab

AB

3

1

3

j

je

n

N

eE

EV

V

°=α= 3303

1

n

NK

45

Collegamento stella - triangolo (Yd)

● In questo caso si è utilizzato il secondo tipo di collegamento a triangolo

● Il gruppo è 11 (Yd11)

● Se si invertono le polarità degli avvolgimenti dei primario o del secondario si ha α = 150° gruppo 5 (Yd5)

● Utilizzando il primo tipo di collegamento a triangolo si ottiene, nei due casi, α = 30° e α = 210° gruppi 1 e 7 (Yd1 e Yd7)

π

π

ππ

==−

= 6

5

3a

6A

b

6A

ab

AB 333 j

j

jj

en

N

e

ee

E

EEE

V

V

°=α= 3303n

NK

46

Collegamento stella - zig-zag (Yz)

● Il gruppo è 11 (Yz11)

● Se si invertono le polarità degli avvolgimenti dei primario o del secondario si ha α = 150° gruppo 5 (Yz5)

π

π

π

== 6

5

31a

6A

ab

AB

2

3

3

3 j

j

j

en

N

e

e

E

EV

V

°=α= 3302

3

n

NK

47

Scelta dei collegamenti (1)

● A parità di tensioni concatenate, nel caso del collegamento a stella le tensioni di fase sono minori

gli avvolgimenti devono sostenere tensioni inferiori

il collegamento a stella è conveniente per le alte tensioni

● Il collegamento a triangolo non rende disponibile il neutro

● Se le correnti dovute al carico collegato al secondario sono squilibrate, è conveniente che il primario sia collegato a triangolo

il collegamento triangolo-stella (con neutro) viene utilizzato nei trasformatori di distribuzione

3

VE =

48


Primario collegato a stella

● Si collega un’impedenza di carico cheassorbe una corrente I tra il terminaledi una fase del secondario e il neutro

La fase corrispondente del primario èpercorsa dalla corrente n/N I

● Questa corrente deve richiudersi attra-verso le altre fasi

Le tensioni di fase sono modificate

Dato che le tensioni concatenate sono fissate, la terna delle tensioni di fase diviene asimmetrica (spostamento del centro di fase)

49


Primario collegato a triangolo

● In questo caso la corrente al primariosi richiude sui conduttori della linea e non attraversa le altre due fasi

In presenza del carico non le tensionidi fase non sono perturbate

50


● Se il primario è collegato a stella (senza neutro) si può dimostrare che, a causa della non linearità del nucleo, i flussi magnetici, e quindi anche le tensioni indotte nel secondario, non sono sinusoidali ma distorti

Se il secondario è collegato a stella le tensioni di fase sono distortele tensioni concatenate sono sinusoidali (gli effetti non lineari si compensano)

Se il secondario è collegato a zig-zag, sia le tensioni di fase che le tensioni concatenate sono sinusoidaliSe il secondario è collegato a triangolo

le tensioni concatenate sono distortesi può dimostrare che, di conseguenza, si ha una corrente che circola nella maglia formata dalle tre fasiper la legge di Lenz, questa corrente si oppone alla causa che la ha generata e quindi produce un flusso che tende a compensare le distorsioni

● Se il primario è collegato a triangolo, le f.e.m indotte nelle fasi del secondario sono sinusoidali anche in presenza di effetti non lineari

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