14 Curvatura di super ci - Dipartimento di Matematica...segue dal teorema delle funzioni implicite....

Complementi ed Esercizi di Geometria Differenziale - A. Sambusetti 1

14 Curvatura di superfici

14.1 Operatore forma e curvatura

Si e visto che esistono superfici che sono isometriche (dunque, uguali come spazimetrici) e che, tuttavia, hanno “forma” differente in R3. Un modo per descri-vere e misurare matematicamente la “forma” delle superfici in R3 e quello diintrodurre la nozione di curvatura.Per curve, la nozione di curvatura e abbastanza semplice e intuitiva: essa cidice quanto rapidamente la curva tende a distaccarsi dalla retta tangente. Persuperfici, il distacco della superficie dallo spazio tangente in un suo punto Pdipende in generale dalla direzione lungo la quale ci si allontana da P . Unaprima possibile nozione, elementare, di curvatura di una superficie puo esserequindi una misura della rapidita di questo distacco, in funzione delle possibilidirezioni tangenti alla superficie in un suo punto P .

Definizione 14.1 (Curvatura Normale)Sia S+ superficie di R3, orientata da un campo normale unitario NS , e P ∈ S.Dato u ∈ TPS non nullo, la curvatura normale (assoluta) di S in P nelladirezione u e definita come la curvatura in P della curva sezione normale peru, i.e. la curva σu ottenuta intersecando S con il piano πu : P + Span(NS , u).La curvatura di una curva e sempre positiva. D’altra parte, e utile distingueretra curve sezioni la cui concavita giaccia da una parte o dall’altra del pianotangente TPS: si definisce allora curvatura normale di S in P nella direzione uil valore kS+(u) = sign(Nσu ·NS) kσu(P ).Si noti che, se σu e una sezione normale, NS ‖ Nσu . (Perche?)

Osservazione 14.2 (Dipendenza da NS)(i) Si noti che, scambiando NS con −NS , tutte le curvature normali cambiano disegno. La definizione di curvatura normale in P dipende quindi in definitiva, nelsuo segno, dall’orientazione di S: “+” in pedice e lı a ricordarci proprio che kS+

e una funzione su TPS dipendente dall’orientazione scelta. Se S e una superficienon orientabile, la funzione curvatura normale esiste sempre localmente, mentreglobalmente e definita solo a meno del segno.(ii) Si noti che σu e in realta definito come un insieme. Ciononostante, σu euna curva regolare parametrizzata intorno a P . Infatti sia g1(x1, x2, x3) = 0un’equazione cartesiana regolare per S vicino a P , e g2(x1, x2, x3) = 0 l’equazioneaffine di πu; allora σu ha equazioni cartesiane G = (g1, g2) = 0 intorno a P , epoiche gradP g1 = NS e gradP g2 = NS × u, il rango di G e due, e l’asserzionesegue dal teorema delle funzioni implicite.

Definizione 14.3 (Curvature principali, media e gaussiana)Sia S+ superficie di R3, orientata da un campo normale unitario NS , e P ∈ S. Alvariare di u tra tutte le possibili direzioni in TPS si ottengono tutte le curvaturenormali di S in P ; le curvature principali di S in P sono il massimo e il minimovalore possibile (col segno!) e le direzioni principali di S in P sono le rispettivedirezioni. Esse si indicano con k+

S+(P ) ≥ k−S+(P ).


La curvatura media di S in P e: HS+(P ) =k+

S+ (P )+k−S+ (P )

2 .La curvatura gaussiana di S in P e: KS(P ) = k+

S+(P )k−S+(P ).Quando siano chiari dal contesto S e la sua orientazione, scriveremo semplice-mente k+, k−, H e K. Notate che, cambiando NS con −NS , k+ e k− siscambiano, e H cambia di segno; invece, la curvatura gaussiana K, essendoun prodotto, non dipende dall’orientazione di S.

Si noti che poiche S1, lo spazio delle possibili direzioni su TPS, e compatto,il massimo e minimo delle curvature normali esistono, ammesso che sappiamomostrare che ku e una funzione continua di u. A priori, inoltre, potrebberoesistere piu direzioni di massimo e di minimo. Per studiare accuratamente questicaratteri di S, urge quindi una loro descrizione algebrico-analitica. Poiche lavariazione dello spazio tangente alla superficie e stimabile tramite la variazionedel campo unitario normale NS , e naturale che queste curvature si esprimanoin funzione della derivate del versore normale NS .Questo e il significato dell’operatore forma, di seguito definito:

Definizione 14.4 (Operatore forma)Sia S+ superficie di R3, orientata da un campo normale unitario NS , e P ∈ S.L’operatore forma (o operatore di Weingarten) di S+ in un suo punto P el’applicazione lineare WS

P : TPS → TPS definita come:

WSP (u) = −DuNS

Scriveremo semplicemente W quando non ci sia motivo di specificare il puntoin cui si calcola l’operatore forma o la superficie. Si noti che:

(i) D e l’usuale derivata di Rn 1, quindi DuNS = ∂NS

∂u = (dNS)P (u).

(ii) WP (u)∈TPS, infatti |NS | = 1 e NS ·WP (u) = NS ·DuNS = 12∂|NS |2∂u =0.

(iii) WP : TPS → TPS e un’applicazione lineare, per le proprieta di linearitadella derivazione.

(iv) WP e un endomorfismo simmetrico di (TPS, IP ), cioe: WP (u)·v = u·WP (v)per ogni u, v ∈ TPS.Dimostrazione di (iv). Siano U , V dei campi vettoriali tangenti con U(P ) = u, V (P ) = v.Allora:

0 =∂

∂u(V ·NS) = DuV ·NS + v ·DuNS

0 =∂

∂v(U ·NS) = DvU ·NS + u ·DvNS

dunque v ·DuNS − u ·DvNS = (DuV −DvU) ·NS = [U, V ](P ) ·NS = 0, dato che il bracketdi campi tangenti e un campo tangente.2

Il Teorema Spettrale ci assicura allora che l’operatore WP e diagonalizzabile.

1Non potrebbe essere altrimenti poiche NS e un campo normale, non tangente!


Teorema 14.5 (Espressione algebrico-geometrica delle curvature)Sia S+ una superficie di R3 orientata da NS , e sia W l’operatore forma di S.Si ha allora:(i) [Meusnier] kS+(u) = WP (u) · u, ∀u ∈ TPS unitario;(ii) le curvature principali k±S+(P ) di S in P sono gli autovalori di WP ,e i rispettivi autovettori sono le direzioni principali;(iii) se WP 6= λ id, allora esistono esattamente due direzioni principali distinte,tra loro ortogonali; se WP = λ id, allora ogni direzione e principale, con cur-vatura normale λ;(iv) la curvatura media di S in P e data da: HS+(P ) = 1

2 tr(WP );(v) la curvatura gaussiana di S in P e data da: KS(P ) = det(WP ).Un punto P in cui WP = λ id e detto ombelicale.

Dimostrazione.(i). Sia σu(s) la curva sezione normale per u, parametrizzata da lunghezzad’arco, con σu(0) = P e σ′u(0) = u. Poiche σu giace su S, si haσ′u(s) ·NS(σu(s)) = 0 per ogni s; derivando rispetto ad s, si ottiene:

0 = Dσ′uσ′u(s) ·NS+σ′u ·Dσ′u

NS = σ′′u ·NS−σ′u ·W (σ′u) = kσuNσu·NS−kS+(σ′u)

e poiche Nσu ‖ NS , per s = 0 si ottiene kσu(0) = sign(Nσu ·NS) kS+(u).

(ii)&(iii). Per il teorema spettrale, esiste una base ortonormale u1, u2 di au-tovettori per WP , con autovalori λ1, λ2. Se uϑ = u1 cosϑ+ u2 sinϑ e il genericovettore unitario in TPS, la curvatura normale nella direzione uϑ valekS+(uϑ) = WP (u1 cosϑ+ u2 sinϑ) · (u1 cosϑ+ u2 sinϑ) = λ1cos

2ϑ+ λ2 sin2 ϑ

Se WP = λ id, allora λ1 = λ2 = λ, ogni direzione e un autovettore e kS+(uϑ) = λe costante; dunque ogni direzione e principale con curvatura normale λ.Se invece WP 6= λ id, si ha necessariamente λ1 6= λ2, e la funzione kS+(uϑ) haesattamente due massimi e due minimi su S1: rispettivamente per ϑ = 0, π (cor-rispondente alla direzione u1) di valore λ1, e per ϑ = π

2 ,3π2 (corrispondente alla

direzione u2), di valore λ2. Pertanto le curvature principali coincidono propriocon gli autovalori, e le direzioni principali con gli autovettori (ortogonali).

(iv)&(v). Seguono dal fatto che tr(WP ) = λ1 + λ2 e det(WP ) = λ1λ2.2

Proposizione 14.6 (Superfici con operatore forma nullo)Un piano ha operatore forma nullo ovunque. Viceversa, se S (connessa) haoperatore forma WP = 0 in ogni punto, allora S e contenuta in un piano.

Questa Proposizione gia mostra che W , k+S+ , k

−S+ ed HS+ non sono invarianti

per isometrie; difatti conosciamo superfici localmente isometriche al piano, concurvature normali non nulle, come per es. i cilindri. Operatore forma e curvaturenormali sono invece invarianti (com’ e abbastanza ovvio dalla definizione) perconguenze; sono dunque invarianti estrinseci di una superficie, cioe dipendentinon solo dalla geometria di S con la sua metrica intrinseca, ma dal modo in cuiS e immersa in R3.


Dimostrazione. La prima affermazione e ovvia: se S e (contenuta in un)piano, NS e costante, e le sue derivate su S (dunque l’operatore W ) sono nulle.Viceversa, se W (u) = −DuNS = 0 per ogni u ∈ TS, allora NS = N costante:infatti, se Ni = NS · Ei sono le sue componenti sulla base canonica, si ha

∂Ni∂u

= DuNS · Ei +N ·DuEi = −W (u) · Ei = 0

per ogni u ∈ TPS e per ogni P ∈ S; quindi dNi = 0 ovunque ed Ni e costante.Mostriamo ora che S e contenuto in un piano ortogonale a N , passante per unpunto fissato P0 ∈ S. Verifichiamolo: basta mostrare che ogni curva α su S,con α(0) = P0, e interamente contenuta nel piano π : P0 + N⊥ (la conclusionesegue allora dalla connessione di S). In effetti, la funzione f(t) =

−−−−→P0α(t) ·N e

costantemente nulla, in quanto f ′(t) = α′ ·N + α′(T ) ·Dα′N = 0 ed f(0) = 0.Dunque

−−−−→P0α(t) ⊥ N per ogni t, i.e. α(t) ∈ P0 +N⊥.2

♥ Esercizio 14.7(i) Sia S(r) una sfera di raggio r, P ∈ S(r) ed u ∈ TPS(r). Calcolare k(P, u)tramite il teorema di Meusnier, e curvature media e di Gauss. Qual e la con-clusione?(ii) Sia S un ellissoide rotondo non sferico. Quali sono i suoi punti ombelicali?E possibile mostrare che ogni ellissoide non rotondo ha sempre 4 e solo 4 punti ombelicali(e non sono dove uno si aspetterebbe che fossero...), cf. O’ Neill, Elementary DifferentialGeometry, sec. 5, ex.23.

♠ Esercizio 14.8 (Superfici totalmente ombelicali)Nell’esercizio precedente si e visto che la sfera e, chiaramente, una superficietotalmente ombelicale. E l’unica? Se tutti i punti di una superficie S sonoombelicali, e possibile dire di che superficie si tratta?Supponiamo S totalmente ombelicale, i.e. WP = λ(P ) id per ogni P ∈ S(rispetto a un campo N unitario normale su S fissato):(i) derivare la funzione λ(P ) su S, e mostrare che e costante;Suggerimento. Per calcolare u[λ] per u ∈ TPS, dobbiamo considerare la funzione λ su unacurva γu con γ′u(0) = u, cioe λ(γu(t)) = Wγu(t)(V ) · V = −DV N · V , per un qualsiasi campo

unitario tangente V definito lungo γu, visto che WP = λ(P ) id in ogni punto. E allora comodoprendere proprio V = γ′(t) e calcolare:

u[λ] = u[−Dγ′(t)N · γ′(t)

]Mostrare ora che −Dγ′(t)N · γ′(t) = Dγ′(t)γ

′(t) ·N e prendere una geodetica γu di direzioneu (jnvece che una curva qualsiasi di direzione u) per concludere.

(ii) Quanto vale la curvatura gaussiana in ogni punto? Se KS 6= 0, e ragionevolesupporre che S sia una sfera di raggio r uguale a cosa?(iii) Considerare infine il punto C(P ) = P0 + 1

rNS(P ), al variare di P ∈ S:mostrare che C e costante e la sua distanza da P e costante.Suggerimento. Usare un ragionamento simile alla dimostrazione della Proposizione 14.6.Quale funzione f(t) conviene prendere, in questo caso?

Qual e allora la conclusione su S?


14.2 La II forma fondamentale e le tecniche di calcolo

Il calcolo delle curvature, direzioni principali ecc. diventa subito abbastanzadelicato, senza tecniche adeguate. In questo capitolo mostreremo delle formuleche aiutano nei calcoli. Premettiamo una definizione importante:

Definizione 14.9 (II forma fondamentale di S)La seconda forma fondamentale di S nel punto P e l’applicazione bilineare 2

−→IISP : TPS × TPS → (TpS)⊥ definita da

−→IISP (u, v) = DuV −DS

uV

per V campo tangente ad S qualsiasi con V (P ) = v. In altre parole, la II formafondamentale di S e la differenza tra la derivazione di Rn e la derivazione di S.

Scriveremo semplicemente II quando non ci sia motivo di specificare il puntoin cui si calcola la II forma o la superficie. Si noti che:

(i)−→IISP (u, v) e, per definizione di DS , normale ad S;

(ii)−→IISP (u, v) non dipende dalle estensioni U, V scelte, ma solo da u, v.

Dimostrazione di (ii). Dobbiamo mostrare che, se V e un altro campo che estende v a S,

allora (DuV −DSuV )−(DuV −DSu V ) = 0. Poiche questo e un campo normale, basta calcolare[(DuV −DSuV )− (DuV −DSu V )

]·NS = Du(V−V )·NS−DSu (V−V )·NS

= u[(V − V ) ·NS ]− (V − V ) ·DuN −DSu (V − V ) ·NS = 0

che e nullo in quanto (V − V ) e tangente ad S, (V − V )(P ) = 0 e DSu da sempre un campotangente ad S per definizione.2

(iii)−→IISP e lineare nei due argomenti, per le proprieta di linearita della derivazione;

(iv)−→IISP e simmetrica cioe:

−→IISP (u, v) =

−→IISP (v, u) per ogni u, v ∈ TPS.

Quest’ultima proprieta segue dalla relazione fondamentale tra WSP e−→IISP che vedremo tra un

attimo, e dal fatto che WSP e un endomorfismo simmetrico.

Poiche−→IISP da sempre vettori normali ad S, scegliendo un campo unitario NS

normale ad S e possibile ridurre−→IISP a un’usuale forma bilineare simmetrica

IIS+

P : TPS × TPS → S, detta la II forma fondamentale scalare di S+:

IIS+

P (u, v) =−→IISP (u, v) ·NS

Proposizione 14.10 (Relazione tra WS+e−→IIS

+)

Vale: IIS+

P (u, v) = WS+

P (u) · v, per ogni P ∈ S e per ogni u, v ∈ TPS.

Dimostrazione. Per ogni campo V tangente ad S si ha V ·NS = 0, dunque

0 = u[V ·NS ] = DuV ·NS + V ·DuNS

dunque IIS+(u, v) = (DuV −DS

uV )·NS = DuV ·NS = −V ·DuNS = WS+(u)·v.2

2Cioe lineare in entrambi gli argomenti.


La relazione fondamentale tra operatore forma e seconda forma fondamentalemostra che questi due oggetti sono essenzialmente la stessa cosa. Il significatoprofondo di questa equivalenza e che la “forma” di una superficie S ⊂ R3 dipendedalla differenza tra la derivazione su R3 e la derivazione riemanniana di S.

Proposizione 14.11 (Tecniche di calcolo)Sia S+ superficie di R3, orientata da un campo normale unitario NS , e P ∈ S.Se φ : U → S e una carta orientata con coordinate (x, y), sia B = {∂φ∂x ,

∂φ∂y }

la base dei campi coordinati in TPS, e siano E = |∂φ∂x |2, F = ∂φ

∂x ·∂φ∂y , G = |∂φ∂y |

2

i coefficienti di IS nella base B:

(i) La matrice di IIS+

rispetto alla base B, e data da:

[IIS+

]B =Å

l mm n

ãdove

l = φxx ·NSm = φxy ·NSn = φyy ·NS

(ii) La matrice di WS+rispetto alla base B, e data da:

[WS+]B,B = [IS ]−1

B [IIS+

]B =ÅE FF G

ã−1 Ål mm n

ã(iii) La curvatura normale di S nella direzione u = u1

∂φ∂x + u2

∂φ∂y ∈ TPS

e data da:

kS+(u) =IIS

+(u, u)

IS(u, u)=

(u1 u2)Å

l mm n

ãÅu1

u2

ã||u||2

(iv) Le curvature principali k±S+ si ottengono risolvendo l’equazione in k:

det(IIS+− kIS) = det

ïÅl mm n

ã− kÅE FF G

ãò= 0

e le direzioni principali associate a k = k±, sono i vettori v± = v±1∂φ∂x + v±2

∂φ∂y

dove le coordinate (v±1 , v±2 ) soddisfano rispettivamente i sistemi lineari:î

IIS+− k±I

óB

[v±]B =ïÅ

l mm n

ã− k±

ÅE FF G

ãòÅv±1v±2

ã= 0

(v) P e ombelicale se e solo se ∃ k(P ) tale che, in P , valga: [IIS+

]B=k(P )[IS ]B.

(vi) La curvatura media in P e data da: HS+ = En+Gl−2Fm2(EG−F 2)

(vii) La curvatura gaussiana in P e data da: KS = ln−m2

EG−F 2

(viii) In alternativa, le curvature principali k±S+ sono date dalla formula:

k±S+ = HS+ ±»H2S+ −KS


Dimostrazione.(i) Poiche NS ·φx = 0, derivando rispetto a φx si ottiene DφxNS ·φx = −NS ·φxx.Analogamente, derivando la relazioneNS ·φy = 0 nelle direzioni φx e φy si ottieneDφx

NS · φy = −NS · φxy e DφyNS · φy = −NS · φyy. Per definizione di [IIS

+]B

abbiamo allora:l = II(φx, φx) = −DφxNS · φx = NS · φxxn = II(φy, φy) = −DφyNS · φy = NS · φyym = II(φx, φy) = −Dφx

NS · φy = NS · φxy

(ii) Per la relazione fondamentale tra operatore forma e II forma fondamentale,abbiamo IIS

+(u, v) = IS(u,WS+

(v)). In simbolismo matriciale:

[u]tB[IIS+

]B[v]B = [u]tB[IS ]B[WS+(v)]B = [u]tB[IS ]B[WS+

]B[v]Bper ogni u, v ∈ TPS. Cio significa che [IIS

+]B = [IS ]B[WS+

]B, da cui la formula.

(iii) Segue immediatamente dalla formula di Meusnier kS+(u) = WS+(u) ·u per

u unitario, e dall’espressione di WS+nella base B.

(iv) Per il Terorema 14.5, il valore k e una curvatura principale se e solo se e unautovalore per WS+

, i.e. esiste v = vxφx + vyφy 6= 0 (autovettore relativo) taleche (WS+ − k id)(v) = 0. Cio vuol dire che

detÄ[WS+

]B − k idä

= detÄ[IS ]−1

B [IIS+

]B − k idä

= 0e Ä

[WS+]B − k id

äÅ vxvy

ã=Ä[IS ]−1

B [IIS+

]B − k idäÅ vx

vy

ã= 0

che, moltiplicate rispettivamente per det[IS ]B e per [IS ]B, risultano equivalentialle condizioni enunciate.

(v) Per definizione P e ombelicale se e solo se [WS+

P ]B=[IS ]−1B [IIS

+]B=λ(P ) id,

condizione che e equivalente a [IIS+

]B − λ(P )[IS ]B = 0.

(vi) Si ricordi che la traccia di una matrice diagonalizzabile e uguale alla sommadegli autovalori. Poiche gli autovalori coincidono con le curvature principali k±S+

HS+(P ) =k+S+(P ) + k−S+(P )

2=

12

tr[WS+]B =

12

tr([I]−1B [II]B

)=

12

tr

ñÅE FF G

ã−1 Ål mm n

ãô=En+Gl − 2Fm

2(EG− F 2)

(vii) Analogamente, il determinante di una matrice diagonalizzabile e uguale alprodotto degli autovalori. Pertanto

K = k+S+(P )·k−S+(P ) = det[W ]BB = det

ñÅE FF G

ã−1 Ål mm n

ãô=

ln−m2

EG− F 2

(viii) Per definizione, si ha k+S+ + k−S+ = 2HS+ e k+

S+ · k−S+ = KS , dunquek+S+ , k

−S+ sono radici dell’equazione di secondo grado T 2 + 2HS+T +KS = 0, da

cui la formula per k±S+ . 2


♥ Esercizio 14.12Siano Cα, Ella,a,b ed El rispettivamente un cilindro su una curva piana α, unellissoide rotondo, ed un elicoide. Scegliere atlanti per tali superfici, un camponormale unitario, e nelle basi di campi coordinati corrispondenti, determinare:(i) le matrici della I e II forma fondamentale;(ii) la matrice dell’operatore forma;(iii) le curvature principali e le direzioni principali in ogni punto;(iv) la curvatura media e la curvatura gaussiana K in ogni punto;(v) tutti i punti ombelicali.Una curva γ : I → S e detta una linea di curvatura (o una curva principale)di S se γ′(t) e una direzione principale di S per ogni t ∈ I. Trovare le linee dicurvatura delle superfici precedenti.

♥ Esercizio 14.13 (Linee di curvatura delle superfici di rivoluzione)Sia S una superficie di rivoluzione, ottenuta ruotando attorno all’asse z la curvaα(s) = (0, y(s), z(s)), parametrizzata da l.a.. Supponiamo che y(s) > 0 ∀s.(i) Mostrare che i paralleli e i meridiani sono linee di curvatura di S. Mostrareche queste sono le uniche linee di curvatura, se S non ha punti ombelicali.(ii) Si porti un esempio (differente dalla sfera) di una superficie di rivoluzioneS che ha delle linee di curvatura che non sono paralleli e meridiani.Suggerimento per (i): si consideri la parametrizzazione canonica φ(s, ϑ) di S, e si mostri che

la matrice dell’operatore forma, nella base {φs, φϑ}, e diagonale.

Esercizio 14.14 (Curvatura gaussiana di una rigata)Sia S una superficie differenziabile rigata. Mostrare che:(i) K ≤ 0 in ogni punto;(ii) se K(P ) = 0 allora il piano tangente lungo la retta generatrice passante perP e costante.Suggerimento: verificare che, se f(u, v) = γ(u) + vα(u) e la parametrizzazione di S, si ha

K = − m2

||fu×fv||2= −α

′·(γ′×α)

EG−F2 . Quindi, utilizzare l’Esercizio 3.14 del Foglio 3.

♥ Esercizio 14.15Sia Pell il paraboloide ellittico di equazione z = λ1x

21 + λ2x

22, e sia Pip il

paraboloide iperbolico di equazione z = λ1x21 − λ2x

22, per λ1, λ2 > 0.

(i) Calcolare le direzioni principali di Pell e di Pip in O;(ii) verificare che le linee tagliate, su Pell e Pip dai piani x = 0 e y = 0 sonolinee di curvatura.(iii) verificare che la curvatura gaussiana di Pell e positiva in ogni punto, mentrela curvatura gaussiana di Pip e sempre negativa.


14.3 Il significato geometrico della curvatura gaussiana

Per comprendere il significato geometrico del segno della curvatura gaussiana,si consideri per esempio un paraboloide ellittico P ell ed uno iperbolico P ip.Si e visto poc’anzi che si ha sempre K > 0 su P ell, mentre K < 0 su P ip.Una caratteristica geometrica evidente che differenzia i punti di P ell dai puntidi P ip e che P ell giace sempre da un lato del piano tangente in ogni suo punto,al contrario di P ip (disegnare in entrambi i casi la posizione della superficierispetto al piano tangente, per esempio nell’origine). Infatti, in generale, si ha:

Teorema 14.16 (Interpretazione del segno della curvatura di Gauss)Sia P ∈ S e siano π+, π− i due semispazi aperti determinati dal piano affinetangente a S in P :(i) se KS(P ) > 0, allora esiste un intorno aperto UP di P in S tale che si abbia:

UP ⊂ π+ oppure UP ⊂ π−;(ii) se KS(P ) < 0, allora per ogni intorno aperto UP di P in S si ha sempre:

UP ∩ π+ 6= ∅ e UP ∩ π− 6= ∅.

Il teorema precedente e in realta un corollario immediato del seguente teoremadi approssimazione locale di una superficie, e li dimostreremo insieme:

Teorema 14.17 (Approssimazione di S con quadriche)Sia S una superficie di R3, e sia P ∈ S. Esiste una congruenza T dello spaziocon T (P ) = O tale che T (S) abbia equazione z = z(x, y) vicino all’origine, e:(i) se KS(P ) > 0, allora k±S+(P ) hanno stesso segno e T (S) e approssimata inO all’ordine 2 dal paraboloide ellittico di equazione z = k+

S+(P )x2 + k−S+(P )y2;(ii) se KS(P ) < 0, allora k−S+(P ) < 0 < k−S+(P ), e T (S) e approssimata in O

all’ordine 2 dal paraboloide iperbolico di equazione z = k+S+(P )x2 − k−S+(P )y2;

(iii) se KS(P ) = 0 e k+S+(P ) > 0, allora T (S) e approssimata in O all’ordine 2

dal cilindro, di direttrice una parabola, di equazione z = k+S+(P )x2.

(iv) se KS(P ) = 0 e k+S+(P ) = k−S+(P ) = 0, allora T (S) e approssimata in O

all’ordine 2 dal piano z = 0.Per questo motivo, un punto P tale che K(P ) > 0 (risp. K(P ) < 0) e dettoellittico (risp. iperbolico)3, mentre un punto P con K(P ) = 0 e detto parabolicose WP 6= 0, ed e detto planare se WP = 0.

Dimostrazione dei Teoremi 14.16&14.17.A meno di traslare la superficie, possiamo supporre che P = O. Inoltre, ameno di effettuare un movimento rigido attorno all’origine, possiamo ammet-tere che TPS = Oxy, cioe NS(P ) = z. Infine, dato che le direzioni principalisono sempre ortogonali tra loro (a meno che il punto P sia ombelicale, nel qualcaso ogni direzione e principale), possiamo effettuare un’ulteriore rotazione at-torno a z che porti le direzioni principali rispettivamente negli assi x ed y.

3Questa terminologia spiega l’aggettivo “ellittico” o “iperbolico” assegnato ai due differentitipi iperboloidi di R3.


Queste trasformazioni rigide non modificano la posizione del piano tangenterispetto alla superficie, ne le curvature (essendo WP invariante per congruenze).Ora, poiche si e supposto che NS(P ) = z, la nostra superficie S e, vicino a P ,un grafico rispetto a z: infatti, se g(x, y, z) e un’equazione regolare per S, unvettore normale ad S in P e dato da gradP g = (gx|P , gy|P , gz|P ) ‖ z, il chemostra che gz|P 6= 0, cioe che si puo esplicitare z(x, y) vicino a P .Dunque, S ammette una carta del tipo φ(x, y) = (x, y, z(x, y)) vicino a P , dove:(a) z(0, 0) = 0, in quanto φ(0, 0) = P = O;(b) zx(0, 0) = zy(0, 0) = 0, in quanto i vettori tangenti nell’origine sonoφx(0, 0) = (1, 0, zx(0, 0)) e φy(0, 0) = (0, 1, zy(0, 0)) e, per ipotesi, non hannocomponente verticale;(c) zxx(0, 0) = k+

S+(P ), zyy(0, 0) = k−S+(P ) e zxy(0, 0) = 0, in quanto la matricedell’operatore WS+

P nella base B = {x, y} e diagonale per ipotesi, e si scrive

[WS+

P ]B =ÅE FF G

ã−1 Ål mm n

ã=Åzxx zxyzxy zyy

ã=Åk+S+ 00 k−S+

ãessendo E = G = 1, F = 0 ed NS = z. In conclusione, la funzione z(x, y) haun’approssimazione di Taylor al secondo ordine nell’origine uguale a

z(x, y) = k+S+(P )x2 + k−(P )S+y2 +O(‖(x, y)‖2)

Possiamo supporre ora, per semplicita, che k+(P ) ≥ 0, a meno di cambiareorientazione per NS , edunque siamo in uno dei casi (i),(ii), (iii) o (iv).Da questa approssimazione locale intorno a P segue che:

a) se K(P ) =k+S+(P )·k−S+(P )> 0, allora k+

S+(P ) e k−S+(P ) hanno stesso segno;preso allora un intorno UP sufficientemente piccolo perche il termineO(‖(x, y)‖2)sia trascurabile rispetto al termine di ordine 2, si avra allora z(x, y) ≥ 0 in UP ,oppure z(x, y) ≤ 0 in UP . Cioe, localmente, la superficie si trova tutta da unlato del piano tangente T affP S : z = 0.

b) se K(P )=k+S+(P )·k−S+(P )< 0, allora k+

S+(P )>0>k−S+(P ) e si ha z(x, y) > 0per punti del tipo F (x, 0), mentre z(x, y) < 0 per punti del tipo F (0, y), purchex ed y siano sufficientemente piccoli da poter trascurare O(‖(x, y)‖2) rispettoal termine di grado 2. Quindi, in ogni intorno arbitrariamente piccolo di P ,esistono punti di S da un lato e dall’altro di T affP S.

Si noti invece che, nel caso in cui K(P ) = 0, nulla si puo dire sulla posizionelocale della superficie S rispetto al piano affine tangente in P (in quanto, anchese k+

S+(P ) > 0, l’approssimazione all’ordine 2 di z(x, y) e z2(x, y) = cx2, chenon ha segno definito lungo le direzioni (0, y)).2


14.4 Il significato intrinseco della curvatura gaussianae il Teorema Egregium di Gauss

Sappiamo che tutte le caratteristiche di una superficie S definite a partiredalla prima forma fondamentale (distanza intrinseca, aree, angoli, geodetiche,derivata riemanniana ecc.) sono invarianti intrinseci, cioe invarianti per isome-trie, in quanto ogni isometria di superfici preserva la prima forma fondamentale.D’altra parte, si e detto (cf. discussione dopo Proposizione 14.6) che, invece, lecaratteristiche di una superficie S definite a partire dall’operatore forma (cur-vature principali, curvatura media, gaussiana) sono invarianti estrinseci dellasuperficie, cioe invarianti per congruenze, ma non, generalmente, per isometrie.In particolare la curvatura gaussiana, che e il determinante dell’operatore forma,da informazioni importanti sulla forma di S localmente, ed e invariante per con-gruenze. Una notevole scoperta, dovuta a Gauss, e che la curvatura gaussianae un invariante intrinseco delle superfici (nonostante essa sia definita tramitel’operatore forma):

Teorema Egregium di Gauss 14.18La curvatura gaussiana e invariante per isometrie.Cioe, se F : S → S′ e un’isometria di superfici, allora KS′(F (P )) = KS(P ).

Lo scopo del presente capitolo e dimostrare di questo teorema. La dimostrazioneusuale consiste nel partire la formula (dimostrata nel §2) KS = ln−m2

EG−F 2 emostrare, con un certo numero di calcoli, che la funzione ln − m2 si esprimeanch’essa in funzione di E,F,G, cf. per es. il libro di Pressley o di O’Neill.

Ciononostante, questo approccio “computazionale” nasconde il significatogeometrico profondo della dipendenza di KS dalla prima forma fondamentale.Per questo prenderemo una strada (solo apparentemente) piu lunga, e mostre-remo che KS e legato al difetto di commutazione delle derivate riemanniane suuno spazio curvo.

♥ Esercizio 14.19 (Su spazi curvi le derivate di campi non commutano)(i) Siano U, V, Z campi coordinati su Rn; verificare che DUDV Z = DVDUZ.(ii) Sia S = S2: trovare campi coordinati U, V e un campo tangente Z tali cheDSUD

SV Z 6= DS

VDSUZ.

Suggerimento: considerare i campi U = ∂∂s

e V = Z = ∂∂ϑ

(dove s =longitudine, ϑ =latitudine)

e mostrare geometricamente (cioe senz calcoli in coordinate!) che in ogni punto P 6= N,S si ha

DS∂∂s

DS∂∂ϑ

∂∂ϑ

= 0, mentre DS∂∂ϑ

DS∂∂s

∂∂ϑ

= cosϑ ∂∂s

, con ∂∂s

= versore tangente al parallelo.

Verificare poi il risultato esprimendo ∂∂s, ∂∂ϑ

in coordinate e facendo i calcoli espliciti.

Nota 14.20 Non confondere la nozione di “commutativita di campi U, V ” conla nozione di “commutativita delle derivate DS

U , DSV ”. La prima significa che

DSUV = DS

V U (il significato geometrico e stato spiegato nel Foglio 7), la secondasignifica che le derivazioni DS

UDSV = DS

VDSU , applicate a qualsiasi altro campo

Z. Se U, V sono campi coordinati (e.g. U = ∂∂s e V = Z = ∂

∂ϑ su S2), essicommutano sempre; mentre le derivazioni rispetto a U, V in generale no (a menoche S non sia isometrica ad Rn).


E abbastanza comune dover derivare i campi almeno due volte in problemi dianalisi e in geometria differenziale; purtroppo, il difettto di commutazione dellederivate seconde e un ostacolo fastidioso al loro calcolo!Per esempio, gia nella dimostrazione di un enunciato abbastanza elementarecome l’Esercizio 14.8, ci siamo trovati a dover calcolare u[λ], per una funzioneλ(P ) = −DVN · V , e questo vuol dire dover calcolare DuDVN . In quel caso,ce la siamo cavata potendo scegliere u e V nella stessa direzione (grazie al fattoche ogni punto era ombelicale), quindi prendendo V uguale al campo di velocitadi una geodetica.Ma in generale, per calcolare efficacemente su una superficie S, e utile unostrumento che esprima la differenza tra DUDV e DVDU in funzione dei campistessi e di parametri geometrici di S ; un po’ come le formule di Frenet per unacurva α esprimono le derivate prime dei campi fondamentali su α in funzione deicampi stessi e di parametri geometrici di α (curvatura, e torsione). Per questosi introduce l’operatore di curvatura:

Definizione 14.21 (Operatore di curvatura)Sia S superficie di Rn, siano (xi) coordinate locali attorno a intorno a P ∈ S.L’operatore di curvatura di S in P e l’endomorfismo RS∂

∂x1, ∂

∂x2

: TPS → TPS,

dipendente 4 dalla coppia di campi coordinati ( ∂∂x1

, ∂∂x2

), definito da:

RS∂∂x1

, ∂∂x2

(z) =(DS

∂∂x1

DS∂

∂x2Z −DS

∂∂x2

DS∂

∂x1Z)

(P )

per un qualsiasi campo Z su S con Z(P ) = z.Si noti che:

(i) RS∂∂x1

, ∂∂x2

(Z) dipende solo dal valore z = Z(P ).

Dimostrazione di (i). Infatti, indicando con DSi = DS∂∂xi

, si noti innanzitutto che(D

S1D

S2 −D

S2D

S1

)(fZ) = D

S1

Ä∂f

∂x2Z + fD

S2 Z

ä−DS

2

Ä∂f

∂x1Z + fD

S1 Z

ä= f(D

S1D

S2 −D

S2D

S1

)(Z)

quindi, se Z e un altro campo con Z(P ) = Z(P ) = z, scomponendolo come Z = fZ + gZ⊥ conf(P ) = 1, g(P ) = 0 otteniamo:(

DS1D

S2 −D

S2D

S1

)(Z) = f

(D

S1D

S2 −D

S2D

S1

)(Z) + g

(D

S1D

S2 −D

S2D

S1

)(Z⊥

)

relazione che in P da(DS

1DS2 −D

S2D

S1

)(Z) =

(DS

1DS2 −D

S2D

S1

)(Z).2

(ii) RS∂∂x1

, ∂∂x2

e un endomorfismo di TPS, per le proprieta di linearita di DS ;

(iii) RS∂∂x1

, ∂∂x2

e un endomorfismo antisimmetrico di (TPS, IP ), i.e.:

RS∂∂x1

, ∂∂x2

(z) · z′ = − RS∂∂x1

, ∂∂x2

(z′) · z

4E possibile mostrare che RS∂∂x1

, ∂∂x2

dipende solo dai valori u1 = ∂∂x1

(P ) e u2 = ∂∂x2

(P ).

Non useremo questo fatto nel seguito, quindi ci risparmiamo la dimostrazione.


Dimostrazione di (iii). Infatti, indicando sempre con DSi = DS

∂∂xi

, si ha:

RS

∂∂x1

, ∂∂x2

(Z)·Z′ =(D1D2Z · Z′

)−(D2D1Z · Z′

)=

Ä∂

∂x1

[D2Z · Z′

]−D2Z ·D1Z

′ä−Ä

∂

∂x2

[D1Z · Z′

]−D1Z ·D2Z

′ä

=

Ä∂

∂x1

î∂

∂x2(Z · Z′)− Z ·D2Z

′ó−D2Z ·D1Z

′ä

−Ä

∂

∂x2

î∂

∂x1(Z · Z′)− Z ·D1Z

′ó−D1Z ·D2Z

′ä

=

Ä∂

∂x2

[Z ·D1Z

′]−D2Z ·D1Z

′ä−Ä

∂

∂x1

[Z ·D2Z

′]−D1Z ·D2Z

′ä

=(Z ·D2D1Z

′)−(Z ·D1D2Z

′)

= −RS∂

∂x1, ∂

∂x2

(Z′) · Z

Si noti che, poiche R ∂∂x1

, ∂∂x2

e un endomorfismo antisimmetrico, la sua ma-trice (rispetto a una base ortonormale di TPS) e antisimmetrica, dunque ha unsolo coefficiente interessante. Ebbene, questo coefficiente, su un’opportuna baseortonormale, e proprio la curvatura di Gauss. Precisamente:

Teorema 14.22 (KS e il difetto di commutazione di DS∂

∂x1

con DS∂

∂x2

)

Sia S superficie di Rn, e siano (xi) coordinate locali attorno a intorno a P ∈ S.Supponiamo che B = ( ∂

∂x1, ∂∂x2

) sia una base ortonormale in P : allora

kS(P ) = RS∂∂x1

, ∂∂x2

Å∂

∂x1

ã· ∂

∂x2(1)

In particolare questo mostra che:(i) la matrice di RS∂

∂x1, ∂

∂x2

: TPS → TPS sulla base (ortonormale) B e:ïRS∂

∂x1, ∂

∂x2

òB

=

(0 −KS(P )

KS(P ) 0

)(ii) RS∂

∂x1, ∂

∂x2

e una rotazione di π2 composta con una dilatazione di KS(P );

(iii) KS(P ) e invariante per isometrie.

Dimostrazione.Siano, come prima, DS

i =DS∂

∂xi

e Di=D ∂∂xi

le derivate su S e R3 rispetto a ∂∂xi

.

Si tratta di calcolareÄDS

2DS1

∂∂x1

ä· ∂∂x2−ÄDS

1DS2

∂∂x1

ä· ∂∂x2

. Sappiamo che:

DSi V = DiV − IIS+

Ä∂

∂xi

, V

äNS

per ogni campo V tangente ad S, e per qualsiasi orientazione di S associata adun campo normale unitario NS intorno a P . Allora:

DS1

îD

S2

∂

∂x1

ó= D1

îD2

∂

∂x1− IIS+

Ä∂

∂x2,∂

∂x1

äNS

ó− IIS+

Ä∂

∂x1, D

S2

∂

∂x1

äNS

dunque, poiche NS · ∂∂x2

= 0,

DS1

îD

S2

∂

∂x1

ó·∂

∂x2= D1

îD2

∂

∂x1

ó·∂

∂x2−

∂

∂x1

îII

S+Ä

∂

∂x2,∂

∂x1

äóNS ·

∂

∂x2

−IIS+Ä

∂

∂x2,∂

∂x1

äD1NS ·

∂

∂x2


da cui, per la relazione tra IIS+

e WS+, otteniamo:

DS1D

S2

∂

∂x1·∂

∂x2= D1D2

∂

∂x1·∂

∂x2−IIS+

Ä∂

∂x2,∂

∂x1

äII

S+Ä

∂

∂x1,∂

∂x2

äAnalogamente, scambiando l’ordine di derivazione si ottiene:

DS2D

S1

∂

∂x1·∂

∂x2= D2D1

∂

∂x1·∂

∂x2−IIS+

Ä∂

∂x1,∂

∂x1

äII

S+Ä

∂

∂x2,∂

∂x2

äDunque la differenza da (poiche le derivate in R3 commutano!)

RS

∂∂x1

, ∂∂x2

Ä∂

∂x1

ä·∂

∂x2= II

S+Ä

∂

∂x1,∂

∂x1

äII

S+Ä

∂

∂x2,∂

∂x2

ä− IIS+

Ä∂

∂x2,∂

∂x1

äII

S+Ä

∂

∂x1,∂

∂x2

äche e il determinante di [IIS

+]B, cioe kS(P ).

(i) Poiche la base in P e supposta ortonormale, la matrice ha coefficiente (i, j)uguale RS∂

∂x1, ∂

∂x2

Ä∂∂xi

ä· ∂∂xj

= 0. D’altra parte, la matrice e antisimmetrica,

dunque gli altri coefficienti seguono.

(ii) Segue dal fatto cheÅ

0 −11 0

ãe la matrice di una rotazione di π/2

(antioraria su TPS rispetto a N = ∂∂x1× ∂

∂x2).

(iii) Abbiamo visto che KS e il difetto di commutazione di DS∂

∂x1

con DS∂

∂x2

.

Allora, poiche la derivata di S e invariante per isometrie (cf. Corollario 11.6),segue che anche KS lo e. Precisamente, supponiamo che F : S → S′ siaun’isometria locale, e sia φ una carta locale intorno a P ∈ S con coordinate(x1, x2) e B =

Ä∂∂x1

, ∂∂x2

äortonormale in P . Allora φ′ = F ◦ φ e una carta per

S′ in F (P ) con coordinate (x′1, x′2) e B′ =

Ä∂∂x′1

, ∂∂x′2

äe ancora ortonormale in

F (P ), poiche ∂∂x′

i= (dF )P ( ∂

∂xi) e (dF )P e un’isometria. Per il Corollario 11.6,

applicato ripetutamente a ciascuna delle derivate, deduciamo che

KS(F (P )) =

ÅDS′

∂∂x′

1

DS′

∂∂x′

2

∂

∂x′1−DS

′∂

∂x′2

DS′

∂∂x′

1

∂

∂x′1

ã·∂

∂x′2

= (dF )P

(DS∂

∂x1DS∂

∂x2

∂

∂x1−DS∂

∂x2DS∂

∂x1

∂

∂x1

)· (dF )P

(∂

∂x2

)=

(DS∂

∂x1DS∂

∂x2

∂

∂x1−DS∂

∂x2DS∂

∂x1

∂

∂x1

)·∂

∂x2= KS(P ) 2

La curvatura di Gauss e uno strumento estremamente fine (essendo una fun-zione, e non semplicemente un numero, come l’area o il diametro) per stabilirese due superfici siano non isometriche, anche solo localmente:

Esercizio 14.23 (Superfici non isometriche)(i) Mostrare che nessun aperto della sfera e isometrico ad un aperto di R2.(ii) Mostrare che nessun aperto di Ell1,1,2 e isometrico ad un aperto di S2.Suggerimento: calcolare la curvatura gaussiana.


Esercizio 14.24 (Tori non isometrici)(i) Determinare “ad occhio” i punti in cui la curvatura gaussiana e positiva,quello in cui e negativa , e quelli in cui e nulla.(ii) Calcolare la curvatura gaussiana del toro di rivoluzione Ta,b, e discuterne ilsegno (verificare che il risultato e coerente con il Teorema 14.16).(iii) Calcolare il minimo e il massimo della curvatura gaussiana su Ta,b.(iv) Mostrare che, se (a, b) 6= (a′, b′), allora Ta,b non e isometrico a Ta′,b′ .(v) Per vedere dal vivo come la curvatura influenza la geometria intrinseca (peres., la forma dei triangoli geodetici), visitare il mausoleo di S. Costanza a Roma,raro esempio di costruzione con volta emitorica.

Suggerimento:- si consideri K− = minP∈Ta,b

K(P ) e K ′− = minP∈Ta′,b′K(P );- notare che: Ta,b isometrico a Ta′,b′ ⇒ Area(Ta,b) = Area(Ta′,b′) e K− = K ′−;- dedurre quindi che (a, b) = (a′, b′).

14 Curvatura di super ci - Dipartimento di Matematica...segue dal teorema delle funzioni implicite....

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