11 Modelli hamiltoniani

Anche se per i sistemi quasi integrabili le orbite possono essere calcolate tramite gli inte-gratori simplettici, la teoria perturbativa rappresenta uno strumento essenziale per il lorostudio non solo qualitativo ma anche quantitativo se pur con qualche limitazione. In parti-colare per i sistemi a due gradi di liberta o con un grado di liberta e dipendenza periodicadal tempo, la teoria perturbativa consente di ricondurre il problema allo studio di un sis-tema integrabile sulla sezione di Poincare. Tutti gli effetti della non integrabilita vengonoconfinati in un resto che puo essere trascurato quando la perturbazione e sufficientementepiccola. Presentiamo nel seguito i modelli ad un grado di liberta e dipendenza periodica daltempo esaminando la struttura geometrica delle orbite nella sezione di Poincare tramite leforme normali risonanti fornite dalla teoria perturbativa. Si presentera anche un confrontocon le orbite ottenute numericamente mediante un integratore simplettico

Sistemi a due gradi di liberta

Consideriamo un hamiltoniano a due gradi di liberta H0+λH1 dove H0 dipende solo dalleazioni. Scelto il vettore e = (n,−m)T analizziamo le orbite in prossimita della risonanzae · ω = 0 ossia ω1/ω2 = m/n. Se introduciamo il vettore τ = (m,n)T ortogonale a e, ilvettore delle frequenze ω in risonanza e diretto come τ . L’hamiltoniana in forma normalerisonante rispetto a e si scrive al primo ordine in λ

H = H0(j) + λH1(j, e · θ) + λ2H2(j, θ, λ) (11.1)

Se trascuriamo il resto di ordine λ2 la variabile I2 = τ · j = mj1 + nj2 e un integrale delmoto. Infatti detto ψ = e · θ dalle equazioni di Hamilton segue che

dI2dt

= τ · djdt

= −τ · e∂H∂ψ

= 0 (11.2)

Lo stesso risultato si ottiene introducendo la base e1 = e ed e2 = (r, s)T di vettori acomponenti intere dove scegliamo τ · e2 = ns + rm = 1. La matrice E = (e1, e2), lasua trasposta e la sua inversa sono date da (9.46) e la trasformazione a nuovi angolied azioni ψ = E

T θ e I = E−1 j, vedi (9.43) e canonica. Notando che H = H0(I) +

λH1(ψ1, I) se trascuriamo il resto di ordine λ2, risulta evidente che I2 = mj1 + nj2 eun integrale primo. La interpretazione geometrica della trasformazione e la seguente: alvettore e1 ≡ e associamo il vettore e2 = (r, s)T che e linearmente indipendente purchens+mr 6= 0. Analogamente al vettore τ2 = τ associamo il vettore τ1 = (s,−r)T anch’essolinearmente indipendente. Le due basi sono mutuamente ortogonali per costruzione erisultano ortonormali se ns+mr = 1. Ove cio non accada la ortonormalita ei · τj = δij sirecupera dividendo e2 e τ1 per ns+mr. Se le due basi sono ortonormali la trasformazioneai nuovi angoli ψk = ek · θ e Ik = τk · j, che equivale a (9.43), e canonica. Infatti accantoalla matrice E = (e1, e2) introduciamo la matrice T = (τ1, τ2) osservando che la condizione

229

di ortogonalita tra le due basi si scrive

TTE =

τT1

τT2

(e1, e2) =

τ1 · e1 τ1 · e2

τ2 · e1 τ2 · e2

=

0 1

0 1

(11.3)

Da cui risulta che TT = E

−1. Di conseguenza la trasformazione nello spazio delle fasi siscrive, in accordo con (9.43)

ψ =

(

e1 · θe2 · θ

)

= (eT1 , eT2 ) j = E

T j I =

(

τ1 · jτ2 · j

)

= (τT1 , τ

T2 ) j = T

T j = E−1 j

(11.4)Ponendo H0+λ H1 = E se H1 dipende solo dagli angoli abbiamo che E− ≤ H0 ≤ E+ doveE± e la differenza tra E ed il minimo o il massimo di λ H1. Se H0 e una forma quadraticasi ha una semplice interpretazione geometrica. Se ci mettiamo in condizioni di risonanzae fissiamo il valore dell’invariante, otteniamo due equazioni lineari e · ω = 0 e τ · j = I lacui soluzione indichiamo con j∗. In forma esplicita le equazioni diventano

nω1(j1, j2)−mω2(j1, j2) = 0 mj1 + nj2 = I (11.5)

La soluzione nel piano delle azioni si scrive

j∗ =

(

j1 ∗j2 ∗

)

j2∗ =I −mj1 ∗

n(11.6)

e le corrispondenti frequenze ω1(j∗), ω2(j∗) sono risonanti.

Sulla varrieta MI definita da τ · j = I considero la sezione di Poincare θ2 = 0 perl’Hamiltoniano H = H0 + λH1. L’hamiltoniano diventa un funzione solo di di θ1 e j1

H(θ1, j1) = H0

(

j1, j2 =I −mj1

n

)

+ λH1

(

j1, j2 =I −mj1

n, θ1, θ2 = 0

)

(11.7)

Sviluppando H0 in serie di Taylor attorno a j1 = j∗ otteniamo

H0 = H0(j∗) +(

ω1(j∗)−m

nω2(j∗)

)

(j1 − j∗) +A

2(j1 − j1∗)

2 + O((j1 − j1∗)3) (11.8)

Il secondo termine sulla destra e nullo perche ω1(j∗), ω2(j∗) soddisfano la condizione dirisonanza. Il coefficiente A e definito da

A =d2H0

dj21

∣

∣

∣

∣

j1=j1 ∗

=

(

∂2H0

∂j21− 2

m

n

∂2H0

∂j1∂j2+m2

n2

∂2H0

∂j22

)∣

∣

∣

∣

j=j∗

(11.9)

Tenendo la parte quadratica di H0 e sviluppando H1 is serie di Fourier riscriviamo quindil’hamiltoniano nella forma seguente

H = H0(j∗)+A

2(j1 − j∗)2−λ

∑

ℓ≥1

Bℓ(j1) cos(nℓθ1+ γℓ)+O(λ2)+O(

(j1− j1 ∗)3)

(11.10)

230

Valutiamo poi i coefficienti di Fourier Bℓ(j1) in j1∗ inserendo nel resto la differenza che edi ordine λ(j1 − j1 ∗) e scriviamo

H = H0(j∗) + h(j1, θ1) +O(λ2) +O(

(j1 − j1 ∗)3)

+O(

λ (j1 − j1 ∗))

(11.11)

La differenza tra i punti di equilibrio di H e quelli di h e di ordine λ. Nel caso in cui icoefficienti di Fourier siano tutti nulli tranne il primo o che decadano tanto rapidamenteda essere tutti trascurabili rispetto al primo, posto B ≡ B1(j1 ∗), l’hamiltoniano h diventaquello di un pendolo

h =A

2(j1 − j∗)

2 − λB cos(nθ1) (11.12)

dove abbiamo posto γ1 = 0, cosa sempre possibile mediante una traslazione di θ1.

Se λ > 0 e B > 0 i punti di equilibrio stabile (minimi h) sono

θ1 =2k π

n0 ≤ k ≤ n− 1 j1 = j∗ (11.13)

mentre i punti di equilibrio instabile (selle di h) sono

θ1 =(2k + 1)π

n0 ≤ k ≤ n− 1 j1 = j∗ (11.14)

Nel punto di equilibrio stabile h ha un minimo dove vale −λB, mentre nel punto di equi-librio intabile h ha una sella dove vale λB. Posto E = −λB + ǫ con ǫ > 0 si ha

h =A

2(j1 − j∗)

2 + 2λB sin2(

nθ

2

)

= ǫ (11.15)

e quindi per ǫ < 2λB le orbite di h sono curve chiuse, approssimate da ellissi per ǫ≪ λB.Per ǫ = 2λB si ha la curva separatrice, la cui equazione, ottenuta da (11.15), si scrive

j1 − j∗ = 2

√

λB

Acos

(

nθ

2

)

(11.16)

Se prendiamo una regione attorno alla separatrice scegliendo ad esempio ǫ ≤ 8λB ossiauna differenza di energia con il minimo pari al doppio rispetto a quella per la separatricetroviamo che

|j1 − j∗| ≤ 4

√

λB

A(11.17)

Ne segue che in questa regione O(

(j1− j1 ∗)3)

= O(λ3/2) e che O(

(j1− j1 ∗)λ)

= O(λ3/2).

Quindi in una regione che comprende la separatrice gli errori dovuti alle approssimazioniche hanno portato da H a h sono dello stesso ordine ossia O(λ3/2) mentre l’errore dovutoal resto dello sviluppo perturbativo e O(λ2).

231

Geometria di una risonanza

Nel piano delle azioni consideriamo l’hamiltoniano in forma normale

H = H0 + λH1(j, e · θ) H0 =1

2(j− ω0τ )

2 (11.18)

dove abbiamo trascurato il resto di secondo ordine λ2. In questo caso H e τ · j sonodue integrali primi del moto indipendenti e quindi il sistema risulta integrabile. Fissiamol’energia E e l’angolo scegliendo θ2 = 0 a meno di multipli di 2π. La intersezione trala superficie di energia costante H = E e θ2 = 0, nota come sezione di Poincare , euna varieta bidimensionale ME . Ciascuna orbita su ME si ottiene intersecando ME convarieta definita da j · τ = I. L’insieme delle orbite ottenute al variare di I forniscono unafoliazione di ME . Di solito si considera la proiezione delle orbite di ME sul piano di fase(θ1, j1). Qui esamineremo prima la proiezione delle orbite nel piano (j1, j2) perche risultadecisamente piu semplice. Nel piano delle azioni la varieta j · τ = I e costituita dalla retta

j(s) = τI

τ2+ e s (11.19)

che passa per il punto τ I/τ2 ed ortogonale e. La distanza di questa retta dall’origine ecostante e vale I/τ . Il vettore delle frequenze e ω = j − ω0τ e la condizione di risonanzaω · e = 0 si verifica per s = 0 in (11.19). Chiamiamo risonanti i corrispondenti valori delleazioni j(0) = τ I/τ2. Le azioni risonanti, ottenute variando I appartengono ad una retta,diretta come τ , che interseca il cerchio H0 = E in due punti

j =

(

ω0 ±√2E

τ

)

τ (11.20)

La retta (11.19) passante per ciascuno di questi due punti definiti da (11.20) e tangenteal cerchio. Le azioni risonanti interne al cerchio appartengono al segmento j = j τ/τ conω0 τ −

√2E ≤ j ≤ ω0 τ +

√2E. Questo segmento e un diametro del cerchio e le rette (2.17)

ad esso ortogonali, che passano per ognuno dei suoi punti ove l’invariante vale I = τj,intersecano il cerchio in due punti. Nel lato sinistro dell figura 11.1 la retta delle azionirisonanti e in rosso mentre in verde sono le rette corrispondenti ad un fissato valore Idell’invariante τ · j.Quando λ 6= 0 si conserva l’hamiltoniano H e la varieta ME di energia costante e H0 +λH1 = E, dove assumimo per semplicita che H1 = −B cos(nθ1). I punti di ME , proiettatinel piano delle azioni, appartengono all’anello definito da E− ≤ H0(j) ≤ E+ dove E± =E ± λB. Se fissiamo anche l’invariante I, i punti corrispondenti nel piano delle azioniappartengono al segmento intersezione della retta (11.19) con l’anello, linea verde nellafigura 11.1 lato destro.

232

Figura 11.1 Lato sinistro: vettori ortogonali τ e e. Consideriamo l’hamiltoniana H0=1

2(j−ωτ )2 ed il

cercho H0=E. Linea di risonanza e·ω=e·j=0 e in rosso, le linee corrispondente all’invariante τ ·j=I per

diversi valori di I sono in verde. I pallini verdi sono l’intersezione della linea di risonanza con le rette

j·τ=I per diversi valori di I. La linea di risonanza interseca il cerchio in due punti indicati con pallini

rossi ove sono tracciate le due linee verdi tangenti. Lato destro: si fissa il valore dell’invariante H=E

dove H=H0+λB cos(e·θ). Le azioni permesse stanno nell’anello E−λB<H0<E+λB. Le azioni risonanti

appartengono ai due segmenti in rosso intersezione della linea di risonanza j=jτ con l’anello.

Se consideriamo la linea (tratteggio in rosso) cui appartengono le azioni risonanti j = Iτ/τ ,nel primo quadrante questa interseca l’anello nel segmento in rossso che ha un estremo inC e che incontra la linea verde AB in un punto D. Nel terzo quadrante le azioni risonantiappartengono al segmento in rosso che ha un estremo in C’ e che incontra la linea verde A′B′

in un punto D′. Le altre azioni risonanti non appartengono all’anello. Le azioni risonantinel primo quadrante sono quindi date dal punto C, che rappresenta un equilibrio stabile,e da tutti i rimanenti punti del segmento CD. A ciascuno di questi punti corrisponde unvalore I dell’invariante e la retta (11.19) che vi passa interseca l’anello in un segmento. Nelpassare da C a D la lunghezza dei segmenti cresce raggiungendo il massimo in AB, cherisulta tangente al cerchio H0 = E−. Successivamente diminuendo ancora I l’intersezionecon l’anello e data da due segmenti disgiunti. C’e infine completa simmetria rispetto allaretta parallela a e passante per il centro j = ω0τ . Il singolo segmento o i due segmentidisgiunti sono la proiezione nel piano delle azioni di orbite in ME corrispondenti a diversivalori dell’invariante I

Consideriamo ora la proiezione delle orbite nel piano di fase (θ1, j1). Il punto C e il puntodi equilibrio stabile. Le orbite corrispondenti ad un singolo segmento passante per unpunto di AD parallelo a e, sono le orbite chiuse di librazione del pendolo, in cui j1 ha unaescursione che aumenta passando da C a D. L’orbita corrispondente al segmento AB e lacurva separatrice, in cui l’escusione di j1 raggiuge il massimo valore. Le orbite racchiusedalla separatrice predono il nome di catena di isole. Continuando a diminuire I la proiezionedi ciascuna orbita nel piano delle azioni e costiuita da due segmenti disgiunti, mentre lecorripondenti proiezioni nel piano di fase (θ1, j1) sono orbite disgiunte che corrispondonoalla rotazione del pendolo nel verso positivo e negativo e sono chiuse solo quando considerache il piano di fase diventa cilindro T× R quando si identificano θ1 e θ1 + 2nπ.

233

L’esempio generico

Consideriamo un hamiltoniano in forma normale rispetto ad alla risonanza ω · e = 0 dovee e un vettore a componenti intere. Trascurando il resto di ordine λ2 assumiamo chel’hamiltoniano e dato da

H = ω0 τ · j+ 1

2j · j + λB1(j) cos(e · θ) τ =

(

mn

)

e =

(

n−m

)

(11.21)

Nello spazio delle azioni la frequenza e lineare e si ha una linea di punti di risonanza

ω = ω0 τ + j e · ω = e · j = 0 (11.22)

La varieta MI definita da τ ·j = I nello spazio delle azioni e la retta (11.19) e la condizionedi risonanza si ha nel punto s = 0. Variando I si ottiene la linea delle azioni risonanti

j = j∗(I) ≡ Iτ

τ2j1 ∗ = j∗ ≡ m

m2 + n2I j2 ∗ =

n

n2 +m2I (11.23)

Consideriamo la sezione di Poincare della varieta MI con θ2 = 0. Avendo fissato I leorbite proiettate sul piano di fase (θ1, j1) sono le curve di livello di h(θ1, j1) definita

H

(

θ1, θ2 = 0, j1, j2 =I −mj1

n

)

= H0(j∗) + h(θ1, j1) +O(

λ (j1 − j1∗))

(11.24)

La espressione esplicita di h e

h =A

2(j1 − j∗)

2 − λB cos(nθ1) A = 1 +m2

n2B = B1(j∗) (11.25)

poiche il termine lineare in j1 − j1∗ si annulla. Quindi h coincide con (11.12) dove il valoredi A e dato da (11.25). La varieta MI e foliata dalla curve in cui h ha un valore costante.Possiamo considerare h come un hamiltoniano definito nel piano di fase (θ1, j1) ed i suoipunti critici stabili e istabili sono dati da (11.13) e (11.14). La loro posizione cambia con Isecondo la (11.23). Calcoliamo la massima distanza ∆ tra le separatrici, ossia la larghezzadelle isole, l’area Σ di ciascuna di queste e la frequenza secondaria ω sec , ossia la frequenzadelle piccole oscillazioni attorno ai punti critici stabili. Partendo dalla equazione per lecurve separatrici (11.15) troviamo che.

∆ = 4

(

λB

A

)1/2

, Σ =16

n

(

λB

A

)1/2

ω sec = n(λAB)1/2 (11.26)

Abbiamo calcolato la sezione di Poincare come intersezione di MI con θ2 = 0 ottenendo lesingole orbite al variare del valore di h dove j1 ∗ e espresso in funzione di I. Se la sezionedi Poincare e data intersezione tra la la varieta ME di energia costante H = E e θ2 = 0

234

possiamo ancora ricondurre la orbite a curve di levello di h dove j1 ∗ e espresso in funzionedi E anziche’e I. Questo e possibile se |h| ≪ |H0(j∗)| cosa che si verifica nella regionedemitata dalla separatrice, dove h ≤ 2λB, e quindi possiamo scrivere

H = H0(j∗) + h = H0(j∗) +O(λB) (11.27)

Fissata l’energia totale H = E e supponendo che E ≫ λB > 0 troviamo che la relazionetra l’invariante e l’energia totale e data da

E = H ≃ H0(j∗) = ω0 τ · j∗ +1

2j∗ · j∗ = ω0I +

I2

2τ2(11.28)

Questo ci consente di determinare I in funzione di E. Se ω0 = 0 la relazione si semplificae

I = τ√2E =

√

m2 + n2√2E (11.29)

Possiamo riesprimere la posizione j∗ della risonanza in funzione di E

j∗ =m

m2 + n2I =

m√m2 + n2

√2E (11.30)

I parametri geometrici quali l’ampiezza ∆ e l’area Σ non dipendono da I e quindi noncambiano e questo vale anche per la frequenza secondaria. Se partiamo con l’Hamilto-niano H e scegliamo le condizioni iniziali θ1, j1 sulla sezione di Poincare ossia θ2 = 0la coordinata mancante j2, necessaria per iniziare la integrazione numerica, viene fissatadalla condizione H = E e in questo caso la posizione delle isole cambia con E secondo larelazione scritta sopra.

Modelli con dipendenza dal tempo

I sistemi ad un sol grado di liberta con dipendenza periodica dal tempo si riconducono aparticolari sistemi con due gradi di liberta . Consideriamo per semplicita una dipendenzaperiodica dal tempo in cui e presente solo la prima componente di Fourier oltre al terminecostante.

H(θ1, j1, t) = H0(j1) + λH1(θ1, j1)(1 + C cos(ω2t)) (11.31)

Introducendo l’angolo θ2 = ω2t all’hamiltoniano H associamo l’hamiltoniano a due gradidi liberta

H(θ, j) = H0(j) + λH1(θ, j) H0(j) = H0(j1) + ω2 j2

H1(θ, j) = H1(θ1, j1)(

1 + C cos(θ2))

(11.32)

Poiche H e indipendente dal tempo risulta essere un integrale primo. La evoluzioneθ1(t), j1(t) e la stessa per H e H e la stessa e il secondo angolo ha una evoluzione lineareθ2 = ω2t. Se H0(j1) ha uno sviluppo in j1 che si arresta al secondo ordine la espressionedi H0 diventa

H0 = ω1 j1 + ω2 j2 +1

2j21 (11.33)

235

Altrimenti H0 e dato da (11.33) a meno di un resto di ordine O(j31). Se la frequenza ω =(ω1, ω2)

T e risonante rispetto a e = (n,−m)T puo espressa da ω = ω τ dove τ = (m,n)T

e quindi H0 = ωτ · j+ j21/2. Se inoltre supponiamo che H1 habbia media nulla rispetto aθ la forma normale risonante dell’hamiltoniano e espressa da

H = ω τ · j+ j212

+ λ H(e · θ, j1) + λ2H2(θ, j1) (11.34)

dove H1 e la componente di H1 che ha uno sviluppo di Fourier in eiℓ e·θ con ℓ ≥ 1. Setrascuriamo il resto λ2H2 l’hamiltoniano H ha τ · j come invariante. Valutando H perθ2 = 0 e τ · j = I si ottiene

H = Iω + h h(θ1, j1) =j212

+ H1(nθ1) (11.35)

e la condizione di risonanza si ha per j1 = 0. Se la componente costante della frequenza equasi risonante ω = (mω − ǫ, nω)T l’hamiltoniano H0 dato da (11.31) diventa

H0 (j1) = Iω − ǫ j1 +j212

= I ω − ǫ2

2+

1

2(j1 − ǫ)2 (11.36)

Trascurando il resto λ2H2 e tenendo solo la prima componente di Fourier in H1 l’hamil-toniano (11.34) valutatato per θ2 = 0 e con τ · j = I diventa

H = I − ǫ2

2+ h h(θ1, j1) =

1

2(j1 − ǫ)2 − λB1(j1) cos(nθ1) (11.37)

L’hamiltoniano H definito da (11.31) genera un’orbita che possiamo valutare per multipliinteri del periodo T = 2π/ω2 ossia

(

θ1(nT ), j1(nT ))

. La mappa che ad ogni punto associa ilsuccessivo viene detta mappa stroboscopica. La stessa orbita discreta si ottiene da (11.32)tramite la sezione di Poincare dell’orbita continua con θ2 = 0 dopo aver preso il modulorispetto a 2π e avendo scelto θ2(0) = j2(0) = 0. Se approssimiamo l’hamiltoniano H conla sua forma normale nel caso risonante (11.35) o quasi risonante (11.37) troviamo che lacurva di livello di h passante per (θ1(0), j(0)) e vicina all’orbita discreta generata dallamappa di Poincare a partire da questo punto.

h =1

2(j1 − ǫ)2 − λB cos(nθ1) (11.38)

dove B = B1(ǫ) e costante. Entro la separatrice il si |j1 − ǫ| ≤ 2√λB e quindi l’errore

fatto per passare da (11.37) a (11.38) e di ordine λ3/2 come visto in precedenza. Comeesempio esaminiamo il caso di un pendolo la cui lunghezza varia periodicamente nel tempo.Esamineremo i risultati forniti dalla teoria perturbativa risonante al primo ed al secondoordine.

236

Cambio di coordinate

Nei paragrafi precedenti abbiamo analizzato la geometria delle orbite di un Hamiltonianoche si presenta come la forma normale risonante del primo in λ rispetto ad una risonanzaω ·e = 0 dove e = (n,−m)T . Le coordinate (θ, j) nelle quali abbiamo scritto l’hamiltoniano(11.1) sono le coordinate normali. Se vogliamo confrontare le orbite che abbiamo descrittonel sistema di coordinate normali con le orbite come si presentano nel sistema di di coordi-nate iniziali dobbiamo tener conto della trasformazione di coordinate. Questo e il caso sead esempio valutiamo con integratore simplettico le orbite di H nelle coordinate iniziali,ne prendiamo la sezione di Poincare θ2 = 0 con la varieta ME oppure MI e le confroti-amo con le corrispondenti curve di livello dell’hamiltoniano in forma normale. A tal fineindichiamo ora con (θ, j) le coordinate in cui si presenta inizialmente l’hamiltoniano e con(Θ,J) le coordinate normali tra cui vale la relazione seguente, vedi (9.60)

H(θ, j) = H0(j) + λH1(θ, j) (j, θ) = eλDG (J,Θ)

H(θ, j) = H0(J) + λH1(J, e ·Θ) + λ2H2(J,Θ, λ)

(11.39)

Qui abbiamo supposto che H1 abbia media angolare nulle. Se nello sviluppo di Fourier diH1(θ, j) separiamo le componenti ei k· con k = ℓe il cui contributo indichamo con H1(e ·θ)da quelle le rimanenti in cui il vettore k non allineato con e il cui contributo indichiamocon H1(θ, j) la equazione che determina G(θ, j) e data da DGH0 + H1 = 0 che scrittoesplicitament diventa

ω(j) · ∂G∂θ

= H1(θ, j) G =∑

k 6=ℓe

hkik · ω(j) (11.40)

Si noti che anche in condizioni di risonanza i denominatori in (11.40) restano finiti e G eben definito. La traformazione dalle coordinate normali alle coordinate iniziali e quindidata da (Θ,J) = e−λDG(θ, j) che scritta esplcitamente diventa

Θ = θ−λDGθ+O(λ2) = θ−λ∂G∂j

+O(λ2) J = j−λDG j+O(λ2) = j+λ∂G

∂θ+O(λ2)

(11.41)Se trascuriamo il resto di ordine due in λ nell’hamiltoniano in forma normale, lo valutiamoutilizzando la trasformazione di coordinate (11.41) in cui ignoriamo il resto di ordine λ2

ritroviamo l’hamiltoniano dato nelle cordinate (θ, j) a meno di un errore di ordine λ2).Questo e il tipo di discrepanza che dobbiamo aspettarci in un confronto numerico nellasezione di Poincare tra le orbite dell’hamiltoniano dato e la sua forma normale. Infatti

H0(J) + λH1(Θ · e,J) = H0

(

j+ λ∂G

∂θ

)

+ λH1(θ · e, j) +O(λ2) = H0(j) + λω∂G

∂θ+

+ λH1(θ · e, j) +O(λ2) = H0(j) + λH1(θ, j) +O(λ2)(11.42)

Se se la dipendenza angolare di H1 e solo da e · θ ossia se H1 = H1 l’hamiltoniano e gia informa normale risonante e quindi G = 0 e la trasformazione di coordinate e l’identita .

237

Il pendolo dipendente dal tempo

Consideriamo ora il modello seguente

H =j212

− λ cos θ1(1 + C cos(ωt)) (11.43)

equivalente a

H =j212

+ ωj2 − λ

[

cos θ1 +C

2cos(θ1 − θ2) +

C

2cos(θ1 + θ2)

]

(11.44)

In questo caso le possibili risonanze si hanno per e = (n,−m) = (1, 0), (1,−1), (1, 1). Lefrequenze ω = (j1, ω) sono risonanti per j1 = 0, ω,−ω. L’hamiltoniano in forma normalerispetto alla prima risonanza j1 = 0 ha come invariante j2 = I. Posto H = ωI + h sullasezione di Poincare θ2 = 0 abbiamo

h =j212

− λ cos θ1 (11.45)

L’hamiltoniano in forma normale per la risonanza j1 = ±ω ha come invariante j2± j1 = Ie posto H = ωI − ω2/2 + h sulla sezione di Poincare θ2 = 0 si ha

h =1

2(j1 ∓ ω)2 − λC

2cos θ1 (11.46)

La massima distanza delle separatrici dalla retta j1 = ω oppure j1 = −ω che congiunge ipunti critici e

√2λC. Per la risonanza j1 = 0 la distanza massima della separatrice dalla

retta j1 = 0 e 2√λ. Condizione perche le separatrici non si sovrappongano e data da

ω − 2

√

λC

2> 2

√λ (11.47)

Ad esempio per C = ω = 2 si ottiene λ < 1/4.

Risonanze di ordine superiore

Per trovare altre risonanze nel pendolo dipendente dal tempo e le corrispondenti isole nellasezione di Poincare valutiamo il secondo ordine perturbativo partendo da un primo ordinenon risonante. In questo la caso essendo H1 = 0 la generatrice e data da

DGH0 +H1 ≡ −j1∂G

∂θ1− ω

∂G

∂θ2+H1 = 0 (11.48)

da cui segue che

G = −sin θ1j1

− C

2

sin(θ1 − θ2)

j1 − ω− C

2

sin(θ1 + θ2)

j1 + ω(11.49)

238

La forma normale risonante comporta la presenza sul lato destro di (11.48) d un termineH1 ugual a cos θ1 per la risonanza j1 = 0 e nella generatrice e assente il primo terminesul lato destro di (11.49). Per le risonanza j1 = ±ω si ha H1 = 1

2 C cos(θ1 ∓ θ2) e nellatrasformazione G sono assenti il secondo o il terzo termine sul lato destro di (11.49). Ilresto della forma normale e λ2H2 dove H2 una serie in λ. Il termine di ordine zero in λ diH2 e dato da

H2 =1

2D2

GH0 +DGH1 = −1

2DGH1 +DGH1 =

1

2DGH1 (11.50)

Otteniamo H2 valutando la parentesi di Poisson 12[H1, G] ed il risultato e espresso da

H2 =1

2

[

cos θ1 +C

2cos(θ1 − θ2) +

C

2cos(θ1 + θ2),

sin θ1j1

+C

2

sin(θ1 − θ2)

j1 − ω+C

2

sin(θ1 + θ2)

j1 + ω

]

=

=1

2

sin2 θ1j21

+C

4

sin θ1 sin(θ1 − θ2)

(j1 − ω)2+C

4

sin θ1 sin(θ1 + θ2)

(j1 + ω)2+ (11.51)

+C

4

sin θ1 sin(θ1 − θ2)

j21+C2

8

sin2(θ1 − θ2)

(j1 − ω)2+C2

8

sin(θ1 − θ2) sin(θ1 + θ2)

(j1 + ω)2+

+C

4

sin θ1 sin(θ1 + θ2)

j21+C2

8

sin(θ1 − θ2) sin(θ1 + θ2)

(j1 − ω)2+C2

8

sin2(θ1 + θ2)

(j1 + ω)2

Nel caso della forma risonante in G manca il termine corrispondente alla risonanza. Sela risonanza e j1 = 0, ±ω in G manca il termine in cui il denominatore e j, j ∓ ω. Deconseguenza in H2 sono assenti i termini i cui denominatori sono j, j ∓ ω. Evidenziandole componenti d Fourier di ottiene

H2 =1

4

1− cos 2θ1j21

+C

8

cos θ2 − cos(2θ1 − θ2)

(j1 − ω)2+C

8

cos θ2 − cos(2θ1 + θ2)

(j1 + ω)2+

+C

8

cos θ2 − cos(2θ1 − θ2)

j21+C2

16

1− cos 2(θ1 − θ2)

(j1 − ω)2+C2

16

cos(2θ2)− cos(2θ1)

(j1 + ω)2

C

8

cos θ2 − cos(2θ1 + θ2)

j21+C2

16

cos(2θ2)− cos(2θ1)

(j1 − ω)2+C2

16

1− cos 2(θ1 + θ2)

(j1 + ω)2

(11.52)

La regione dello spazio delle azioni in cui la teoria perturbativa non risonante e validaesclude intorni delle azioni risonanti che al primo ordine risultano risonanti ossia j1 = 0,±ω.L’estensione e sostanzialmente fissata dalla larghezza delle corrispondenti isole. Per la

239

forma normale risonante del primo ordine rispetto a j1 = 0,±ω in H2 sono assenti itermini i cui denominatori sono j1, j1 ∓ ω.

Notiamo che in H2 compaiono anche i termini proporzionali a cos(2θ1 ∓ θ2). che cor-rispondono alle nuove risonanze j1 = ±ω/2. La forma normale di ordine 2 non risonanteH2(j) si ottiene dal resto H2 della forma forma non risonante di ordine 1 prendendone itermini che non contengono gli angoli. Questa forma normale e valida solo se si escludeun intorno delle vecchie e delle nove risonanze j1 = 0, ±ω, ±ω/2 ossia per |j1| ≫ ω. Secostruiamo invece la forma normale risonante rispetto alle nuove risonanze definite daivettori e = (2,−1), (2, 1) troviamo il seguente risulato.Forma normale rispetto a e = (2,−1)

H2 =1

4j21+C2

8

j21 + ω2

(j21 − ω2)2− C

8

(

1

j21+

1

(j1 − ω)2

)

cos(2θ1 − θ2) (11.53)

Forma normale rispetto a e = (2,−1)

H2 =1

4j21+C2

8

j21 + ω2

(j21 − ω2)2− C

8

(

1

j21+

1

(j1 + ω)2

)

cos(2θ1 + θ2) (11.54)

Nella forma normale non risonante il termine dipendente dagli angoli e assente. La hamil-toniana completa si scrive dunque

H =j212

+ ωj2 + λ H1 + λ2H2 + λ3H3 (11.55)

Se la forma normale e rispetto a e = (2,−1) detto τ = (1, 2) l’invariante e τ · j. Consideri-amo ora la sezione di Poincare θ2 = 0 e τ · j = j1 + 2j2 = I. Riesprimendo j2 = (I − j1)/2troviamo che

H0 =1

2j21 +

ω

2(I − j1) =

1

2

(

j1 −ω

2

)2

+ω

2I2 − ω2

8(11.56)

Quindi sulla sezione di Poincare definiamo l’hamiltoniano H = ωI2/2− ω2/8 + h dove hrisulta espresso da

h =1

2

(

j1 −ω

2

)2

+ λ2C2

8

j21 + ω2

(j21 − ω2)2− λ2

C

8

(

1

j21+

1

(j1 − ω)2

)

cos(2θ1 − θ2) (11.57)

I punti critici sono in sono in θ1 = kπ/2, j1 = ω/2 a meno di correzioni di ordine λ2.Analogamente per la risonanza rispetto e = (2, 1) che si relizza per j1 = −ω/2 possiamoscrivere

h =1

2

(

j1 +ω

2

)2

+ λ2C2

8

j21 + ω2

(j21 − ω2)2− λ2

C

8

(

1

j21+

1

(j1 + ω)2

)

cos(2θ1 + θ2) (11.58)

I punti critici sono θ1 = kπ/2, j1 = −ω/2 a meno di correzioni di ordine λ2. Se nel primocaso sviluppiamo h attorno j1 = ω/2 trascurando termini di odine λ2(j1 − ω/2) e nelsecondo caso attorno a j1 = −ω/2 trascurando termini di odine λ2(j1 + ω/2) otteniamo

h =1

2

(

j1 ∓ω

2

)2

− λ2C

ω2cos(2θ1) (11.59)

240

Poiche l’ampiezza della separatrice e data da |j1 ∓ ω/2| ≤ λ√C/ω i termini trascurati

sono di ordine λ3. Osserviamo che il termine cos(2θ1) nello sviluppo di Fourier di H2,corrispondente alla risonanza j1 = 0, e assente se siamo partiti dalla forma risonante alprimo ordine rispetto a questa risonanza. Quindi la forma normale per la risonanza j1 = 0e data da (11.45) a meno di correzioni di ordine O(λ3). Analogamente se partiamo dallaforma normale risonante rispetto alle risonanze j1 = ±ω i termini cos(θ1∓θ2) sono assentiin H2 . In questo caso la forma normale per le risonanze j1 = ±ω e data da (11.46) a menodi correzioni di ordine O(λ3). Visto che le coordinate (θ1, j1) sono coordinate normaliil confronto con la sezione di Poincare di H va fatto con (11.45), (11.46) sostituendo lacoordinata normale J1, ini indicata con j1, con j1 + λ∂G/∂θ1 dove G e data da (11.49) incui il termine corrispondente alla risonanza e assente.

L’oscillatore anarmonico dipendente dal tempo

Consideriamo il sistema la cui hamiltoniana e data da

H = ω1p2 + x2

2+ λ

x4

4(1 + C cos(ω2t)) (11.60)

dove |C| < 1. Introducendo le coordinate azione ed angolo x =√2j1 cos θ1 e p =

−√2j1 sin θ1 definiamo un nuovo hamiltoniano in cui compare una seconda variabile an-

golare che risulta uguale a θ2 = ω2t

H = ω1 j1 + ω2j2 + λj21 cos4 θ1(1 + C cos(ω2t)) (11.61)

Riscriviamo l’hamiltoniano

H = H0 + λH1 = ω1 j1 + ω2 j2 +λ

8j21(

3 + 4 cos(2θ1) + cos(4θ1))

(1 + C cos θ2) (11.62)

in modo da separare le componenti Fourier nel termine non integrabile

H1 =3

8j21 +

j218

(

3C cos θ2 + 4C cos(2θ1) + C cos(4θ1) + 2C cos(2θ1 − θ2)+

+ 2C cos(2θ1 + θ2) +C

2cos(4θ1 − θ2) +

C

2cos(4θ1 + θ2)

)

(11.63)

Le componenti di Fourier di H1 sono cos(e · θ) con e = (0, 1), (2, 0), (2,∓1), (4,∓1). Ilvettore delle frequenze imperturbate e ω = (ω1, ω2) e la condizione di risonanza e e ·ω = 0.Essendo ω1 6= 0 e ω2 6= 0 dobbiamo considerare la risonanza rispetto a e = (2,∓1) che siverifica se ω2 = ±2ω1 e rispetto a e = (4,∓1) che si verifica se ω2 = ±4ω1. Quando lefrequenze lineari ω non sono risonanti possiamo costruire la forma normale non risonanteil cui Hamiltoniano, indicando le coordinate normali (Θ,J) ancora con (θ, j), e

H = ω1j1 + ω2j2 + λ3

8j21 + λ2H2(j1, θ, λ) (11.64)

241

dove H1 = 3j21/8. Abbiamo indicato sempre con (θ1, j1) anziche (Θ1, J1) le coordinatenormali come fatto inn precedenza. Il generatore G della trasformazione eλDG che portaH in forma normale soddisfa [G,H0] = H1 − H1 e risulta espresso da

G =j218

(

3Csin θ2ω2

+ 2Csin(2θ1)

ω1+ C

sin(4θ1)

4ω1+ 2C

sin(2θ1 − θ2)

2ω1 − ω2+ 2C

sin(2θ1 + θ2)

2ω1 + ω2

+C

2

sin(4θ1 − θ2)

4ω1 − ω2+C

2

sin(4θ1 + θ2)

4ω1 + ω2

)

(11.65)Detto H1 = 3j21/8 il resto H2 e dato da

H2 =1

2DG(H1 −H1) +DGH1 +O(λ) =

1

2DG (H1 + H1) +O(λ) (11.66)

Notiamo che H2 contiene nuovi coefficienti di Fourier con e = (1,±1), (3,±1), (6,±1) checontribuiscono a nuove risonanze.

Se le frequenze soddisfano la condizione di risonanza ω2 = 2ω1 rispetto l vettore e =(2,−1) scriviamo la forma normale per H tenendo in H1 solo il corrispondente terminenello sviluppo di Fourier. Possiamo scrivere la stessa forma normale risonante anche sele frequenze sono quasi risonanti ω1 = ω − ǫ e ω2 = 2ω con ǫ ≪ ω. Il limite ǫ → 0 eben definito e riproduce il risultato del caso esattamente risonante. Al primo ordine l’hamiltoniana in forma normale si scrive H = H0 + λH1 + λ2H2 dove

H0 + H1 = (ω − ǫ) j1 + 2ω j2 + λ3

8j21 + λ

C

4j21 cos(2θ1 − θ2) (11.67)

Detto τ = (1, 2) e l’invariante e τ · j. Sulla sezione di Poincare data dalla varieta MI ,definita da j1 + 2j2 = I, intersecata con θ2 = 0 l’hamiltoniana diventa H0 + λH1 =h+ ωI − 2ǫ2/(3λ) dove

h = λ3

8

(

j1 −4

3

ǫ

λ

)2

+ λC

4j21 cos(2θ1) (11.68)

Notiamo che e possibile riscalare le azioni e la hamiltoniana λj → j, λH → H in modo daeliminare la dipendenza da λ. Questo equivale a porre λ = 1 nella hamiltoniana inizialeconsiderando che lo sviluppo perturbativo vale per ‖j‖ ≪ 1. Posto λ = 1 calcoliamo ipunti fissi

∂h

∂j1=

3

4j1 − ǫ+

C

2j1 cos(2θ1)

∂h

∂θ1= −C

2j21 sin(2θ1) (11.69)

che sono dati da

θ1 = 0,±π j1 = ǫ

(

3

4+C

2

)−1

θ1 = ±π2

j1 = ǫ

(

3

4− C

2

)−1

(11.70)

242

I primi sono instabili, gli ultimi stabili. Notiamo che avendo assuno |C| < 1 il valoredell’azione nei punti fissi e positiva j1 > 0 e quindi i punti fissi sono reali quando si passaa coordinata cartesiane. Riesprimiamo l’hamiltoniano h in coordinate cartesiane

h =2

3ǫ2 − ǫ

x2 + p2

2+

(

3

8− C

4

)(

x2 + p2

2

)2

+C

4x2x2 + p2

2(11.71)

Calcoliamo ora i punti fissi dove si annullano le derivate prime di h

∂h

∂x= x

[

−ǫ+ 3

8(x2 + p2) +

C

4x2]

∂h

∂x= p

[

−ǫ+ 3

8(x2 + p2)− C

4p2] (11.72)

I punti fisso sono quindi

p = 0 x = ±√ǫ

(

3

8+C

4

)−1/2

x = 0 p = ±√ǫ

(

3

8− C

4

)−1/2

(11.73)

tutti reali essendo |C| < 1. I primi due punti critici di h che si trovano sull’asse x sonoinstabili e corrispondono ai primi due trovati in variabili azione e angolo (11.70) per θ1 =0, π . Gli ultimi due punti critici di h che si trovano sull’asse p sono stabili e corripondonoa quelli trovati in variabili azione angolo (11.70) per θ1 = π/2, 3π/2. Inoltre in coordinatecartesiane si ha anche il punto fisso x = p = 0, che non ha corrispettivo nelle variabiliazioni angolo: cio e vero per l’oscillatore armonico h = ω(x2 + p2)/2 che diventa h = ωje non ha punto critico. Questo e dovuto alla natura della trasformazione simplettica davariabili cartesiane a quelle angolo e azione.

Ripetiamo la stessa analisi per la risonanza 4ω1 −ω2 = 0. Posto in questo caso ω1 = ω− ǫe ω2 = 4ω e tenendo conto che I = j1 + 4j2 e un invariante, posto H = ωI − 2ǫ2/3 + hsulla sezione di Poincare tra MI e θ2 = 0 l’hamiltoniana h diventa diventa

h =3

8

(

j1 −4

3ǫ

)2

+C

16j21 cos(4θ1) (11.74)

Il calcolo dei punti fornisce in questo caso

θ1 = 0,±π2,±π j1 = ǫ

(

3

4+C

8

)−1

θ1 = ±π4,±3π

4j1 = ǫ

(

3

4− C

8

)−1

(11.75)i primi quattro instabili, gli ultimi quattro stabili. Essendo |C1| < 1 nei punti fissi si haj1 > 0.

243

Esprimiamo ora la hamiltoniana in coordinate cartesiane. Dalla identita cos(4θ1) =8 cos4 θ1 − 4 cos(2θ1)− 3 segue che

h =2

3ǫ2 − ǫj1 +

3

8

(

1− C

2

)

j21 +C

16(2j1)

2 (2 cos4 θ1 − cos(2θ1)) =

=2

3ǫ2 − ǫ

x2 + p2

2+

3

8

(

1− C

2

)(

x2 + p2

2

)2

+C

16(x4 + p4)

(11.76)

Abbiamo fatto uso della seguente identita

2 cos4 θ1 − cos(2 θ1) = 2 cos4 θ1 − 2 cos2 θ1 + 1 = cos4 θ1 + (1− cos2 θ1)2 = cos4 θ1 + sin4 θ1

(1.77)

I punti fissi per C = 2 si calcolano immediatamente e sono dati da x = 0, p = ±√2ǫ,

p = 0, x = ±√2ǫ e x = ±

√2ǫ, p = ±

√2ǫ. Nel caso generale abbiamo

∂h

∂x= x

[

−ǫ+ 3

8

(

1− C

2

)

(x2 + p2) +C

4x2]

∂h

∂p= p

[

−ǫ + 3

8

(

1− C

2

)

(x2 + p2) +C

4p2]

(11.78)

I primi quattro punti critici sono sugli assi coordinati e sono dati da

x = 0 p = ±√2ǫ

(

3

4+C

8

)−1/2

p = 0 x = ±√2ǫ

(

3

4+C

8

)−1/2

(11.79)

Gli altri quattro punti critici si ottengono per x2 = p2 e sono dati da

x = ±√ǫ

(

3

4− C

8

)−1/2

p = ±√ǫ

(

3

4− C

8

)−1/2

(11.80)

Per quanto riguarda la stabilita i punti critici di h che si trovano sull’asse x o sull’assep, vedi (11.78) e da (11.75) in coordinate azione angolo, sono instabili mentre l’originee stabile. Infine i punti che si trovano sulle bisettrici degli assi p = ±x vedi (11.79) e(11.75) sono stabili. Notiamo infine che le curve di livello di h, data da (11.68) o (11.74)oppure (11.71) e (11.76), andrebbero trasformate dalle coordinate normali a quelle diorigine per confrontarle con la sezione di Poincare delle orbite di H data (11.61) ottenuteper integrazione numerica. Essendo (Θ,J) = e−λDG (θ, j) ed avendo indicato con (θ, j)le coordinate normali in cui abbiamo espresso h per tornare alle coordinate di originedobbiamo cambiare θ → θ − λ∂G/∂j e j → j+ λ∂G/∂θ.

Risultati numerici

Analizziamo per i modelli proposti pendolo e l’oscillatore anarmonico con dipendenza pe-riodica dal tempo, i risultati del calcolo numerico delle orbite sulla sezione di Poincare

244

con quelli forniti dalle forme normali discusse sopra. Per il calcolo numerico delle orbitee stato usato un integratore simplettico di ordine 4 con passo temporale ∆t = T/50 doveT = 2π/ω che assicura un errore relativo sulla conservazione di H inferiore a 10−6.

il Pendolo

Nelle figure seguenti si tracciano le orbite nella sezione di Poincare par varie condizioniiniziali avendo scelto ω = 2 come frequenza la dipendenza temporale. Nelle Figure 11.2 e11.3 si sceglie C = 1 per l’ampiezza della dipendenza periodica dal tempo e nelle figure11.3 e 11.4 si raddoppia l’ampiezza C = 2. L’intensita λ della parte non integrabile vienefatta variare scegliendo λ = 0.04, 0.08, 0.16, 0.32.

-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

j

θ/(2 π)

-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

j

θ/(2 π)

Figura 11.2 Plot delle orbite nella sezione di Poincare per il pendolo con ω=2, C=1 e ampiezza pertur-

bazione λ=0.04 lato sinistro e λ=0.08 lato destro

-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

j

θ/(2 π)

-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

j

θ/(2 π)

Figura 11.3 Plot delle orbite nella sezione di Poincare per il pendolo conω=2, C=1 e ampiezza pertur-

bazione λ=0.16 lato sinistro e λ=0.32 lato destro. Nell’ultime figura si ha sovrapposizione delle risonanze

che genea caos. Infatti la separatrice della risonanza j1=0 interseca la separatrice della risonanza j1=ω/2=1

che a sua volta interseca la separatrice della risonanza j1=2ω=2 essendo le semilarghezze ∆0/2=2√λ=1.13,

∆1/2/2=λ=0.32, ∆1/2=√2λ=0.8. Nella figura di sinistra non si ancora sovrapposizione perche ∆0/2=0.8,

∆1/2/2=λ=0.16, ∆1/2=0.56.

245

-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

j

θ/(2 π)

-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

j

θ/(2 π)

Figura 11.4 Plot delle orbite nella sezione di Poincare per il pendolo con ω=2, C=2 e ampiezza pertur-

bazione λ=0.04 lato sinistro e λ=0.08 lato destro

-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

j

θ/(2 π)

-3

-2

-1

0

1

2

3

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

j

θ/(2 π)

Figura 11.5 Plot delle orbite nella sezione di Poincare per il pendolo con ω=2, C=2 e ampiezza pertur-

bazione λ=0.16 lato sinistro e λ=0.32 lato destro

I risultati analitici ci hanno permesso di caratterizzare le risonanze. La prima risonanzadi ordine 1, ove il vettore delle frequenze ω e ortogonale a e = (1, 0), e caratterizzata daposizione dei punti fissi e dalla sua larghezza

j∗ = 0 ∆ = 4√λ (11.81)

La distanza della separatrice dall’asse j1 = 0 e la sua semilarghezza ∆/2. Le altre duerisonanze di ordine 1 sono caratterizzate da

j∗ = ±ω ∆ = 4

√

λC

2(11.82)

Infine le due risonanze di ordine 2 per le quali il vettore delle frequenze e ortogonale ae = (2,∓1) sono caratterizzate da

j∗ = ±2ω ∆ = 4λ

ω

√C (11.83)

246

Le orbite calcolate numericamente sono in accordo per quanto riguarda i parametri delleisole di risonanza con il risultati forniti dalla teoria perturbativa e qui sopra sinteticamenterichiamati. Si noti che al crescere di λ e di C le separatrici delle isole corrispondenti allariosonanze j∗ = 0, ±ω/2, ±ω si avvicinano e quando si intersecano si crea una regione diorbite caotiche in accordo con il criterio empirico di Chirikhov. La nascita delle regionicaotiche viene rigorosamente spiegato come effetto della componente non integrabile (ilresto nello sviluppo perturbativo) che causa la intersezione delle varieta stabili e instabilidando origine al cosidetto intreccio omoclino.

L’oscillatore anarmonico

Nelle figure che seguono mostriamo le orbite nella sezione di Poincare per varie condizioniiniziali avendo scelto ω = 1− ǫ con 0 < ǫ≪ 1 e la frequenza della componente dipendentedal tempo e ω2 = 2 oppure ω2 = 4 scegliendo la sua ampiezza uguale a C = 1. Nel primocaso siamo vicini alla risonanza rispetto a e = (2,−1), nel secondo caso siamo vicini allariosonanza risonanza rispetto a e = (4,−1).

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

p

x

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

p

x

Figura 11.6 Lato sinistro: orbite nella sezione di Poincare per l’oscillatore con ω1=1−ǫ, ω2=2 dove ǫ=0.1

e C=1. Lato destro: curve di livello per l’hamiltoniano h corrispondente alla forma normale risonante

Nelle Figure 11.6 e 11.7 si sceglie ω2 = 2 e si vedono apparire due isole. Nelle figure11.8 e 11.9 si sceglie ω2 = 4 e si vedono apparire quattro isole. In tutti i casi accantoalle orbite dell’hamiltoniano sulla sezione di Poincare sono mostrate le curve di livellodell’hamiltoniano h ottenuto dalla forma normale risonante corrispondente. Le curve dilivello sono nelle coordinate normali (X,P ) che abbiamo ancora indicato con (x, p). Comesi puo osservare pur essendo le curve di livello di h tracciate in coordinate normali siha un ottimo accordo con la sezione di Poincare calcolata integrando l’hamiltoniana H evalutando x(nT ), p(nT ) con T = π nel primo caso e T = π/2 nel secondo.

247

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

p

x

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

p

x

Figura 11.7 Lato sinistro: orbite nella sezione di Poincare per l’oscillatore con ω1=1−ǫ, ω2=2 ma con

ǫ=0.4 e C=1. Lato destro: curve di livello per l’hamiltoniano h

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

p

x

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

p

x

Figura 11.8 Lato sinistro: orbite nella sezione di Poincare per l’oscillatore con ω1=1−ǫ, ω2=4 dove ǫ=0.2

e C=1. Lato destro: curve di livello per l’hamiltoniano h

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

p

x

-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1

p

x

Figura 11.9 Lato sinistro: orbite nella sezione di Poincare per l’oscillatore con ω1=1−ǫ, ω2=4 dove ǫ=0.8

e C=1. Lato destro: curve di livello per l’hamiltoniano h

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