Geometria I 88

§ 11 Gruppi di matrici

Cfr: Nacinovich, Cap I [3].

Ricordiamo gli assiomi di gruppo (astratto): un gruppo è un insieme G, munito di opera-zione binaria (di solito indicata con la moltiplicazione) G!G " G che sia associativa, in cuiesista l’elemento neutro 1 # G, e per cui ogni g # G abbia un inverso g!1 (cioè un elementog!1 tale che gg!1 = g!1g = 1). Nella realtà considereremo sempre sottogruppi del gruppodi funzioni biunivoche X " X definite su un certo insieme X (permutazioni, se X è finito,oppure . . . ).

(11.1) Definizione. Un gruppo topologico è sia un gruppo sia uno spazio topologico diHausdor!, con in più le seguenti proprietà di continuità:

(i) Il prodotto G!G " G, definito da (g, h) $" gh è una funzione continua.

(ii) L’inversione G " G definita da g $" g!1 è una funzione continua.

(11.2) Esempio. I campi Q e R (visti come gruppi additivi) sono gruppi topologici rispettoalla somma. I gruppi moltiplicativi Q!{0}, R!{0} sono gruppi topologici rispetto al prodotto.Per (11.5) sotto, basta dimostralo per R. La funzione f : R2 " R definita da (x, y) $" x + y ècontinua: se (x0, y0) # R2, per ogni ! > 0 esiste " = !/2 tale che

max{|s|, |t|} < " =% |s + t| < ! &% |f(x0 + s, y0 + t)' f(x0, y0)| < !.

Quindi f è continua nella topologia prodotto (che è equivalente a quella euclidea). Analo-gamente (facile) la funzione x $" 'x è continua. Per il prodotto, la funzione definita daf(x, y) = xy è continua: se (x0, y0) # R2, per ogni ! > 0

("x > 0 : |s| < "x =% |sy0| < !/3

("y > 0 : |t| < "y =% |tx0| < !/3.

Se si pone quindi" = min{"x, "y,

!!/3}

si hamax{|s|, |t|} < " =% |(x0 + s)(y0 + t)' x0y0| )

) |tx0| + |sy0| + |st| < !/3 + !/3 + !/3 = !.

Per quanto riguarda la funzione x $" x!1, sia x0 *= 0. Allora esiste "1 > 0 tale che |t| < "1 =%

|x0 + t| >|x0|2

=% |x0 + t|!1 <2

|x0|. Se poniamo quindi

" = min{"1,!|x0|2

2}

Geometria I 89

otteniamo un " > 0 per cui

|t| < " =%""""

1

x0 + t' 1

x0

"""" =|t|

|x0 + t||x0|

<2|"||x0|2

) !,

e quindi x $" x!1 è una funzione continua.

(11.3) Nota. Ogni gruppo, munito della topologia discreta, può essere visto come gruppotopologico. Per esempio, l’anello degli interi Z (in cui si considera solo la struttura di somma)è un gruppo discreto infinito.

(11.4) Esempio. Z/nZ è gruppo topologico (con la topologia discreta).

(11.5) Sia G un gruppo topologico. Allora: Se H + G è un sottogruppo di G allora (con latopologia indotta da G) è un gruppo topologico.

Dimostrazione. Se H + G è un sottogruppo, allora la moltiplicazione e l’inversa sono mappeottenute per restrizione:

m : H !H + G " G, i : H + G " H,

e quindi sono continue. Questo dimostra (11.5) (insieme al fatto che un sottospazio di unospazio di Hausdor! è di Hausdor!). qed

(11.6) Siano dati N spazi topologici X1, X2, X3, . . . , XN . Consideriamo il prodotto X =X1!X2! · · ·!XN e le proiezioni sulle componenti p1 : X " X1, p2 : X " X2, . . . , pN : X "XN . Allora una funzione f : Y " X1 !X2 ! · · ·!XN è continua se e solo se lo sono tutte lecomposizioni pi , f : Y " Xi. (Di solito si scrive, per semplificare, fi = pi , f)

Dimostrazione. Basta applicare un numero finito di volte (5.3) di pagina 31. qed

(11.7) Lo spazio euclideo Rn è gruppo topologico rispetto alla somma

(x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn).

Dimostrazione. È una conseguenza del fatto che la somma è una funzione continua (comeanche il prodotto), e del lemma (11.6). qed

(11.8) Sia GL(n) = GL(n, R) il gruppo (chiamato gruppo lineare) di tutte le matrici in-vertibili n ! n a coe!cienti reali (gruppo rispetto alla moltiplicazione di matrici), munitodella topologia metrica – indotta dalla inclusione GL(n) + Rn2. Allora GL(n) è un gruppotopologico. Lo stesso vale per il gruppo lineare complesso GL(n, C).

Geometria I 90

Dimostrazione. Osserviamo che lo spazio di tutte le matrici n ! n è isomorfo (come spaziovettoriale, per esempio) a Rn2 , per cui in questa lezione denoteremo con il simbolo Rn2 lospazio delle matrici n! n. L’inclusione GL(n) + Rn2 è indotta dall’inclusione di GL(n) nellospazio di tutte le matrici n ! n. Dal momento che Rn2 è metrico, GL(n) è di Hausdor!.Dobbiamo mostrare che la moltiplicazione di matrici e l’inversione inducono funzioni continuem : GL(n) ! GL(n) " GL(n) e i : GL(n) " GL(n). Osserviamo che, dato che GL(n) ha latopologia indotta da Rn2 , le funzioni m e i sono continue se e solo se lo sono le corrispondentifunzioni m : GL(n) ! GL(n) " Rn2 e i : GL(n) " Rn2 , e quindi, per (11.6) se tutte lecomposizioni con le proiezioni pi sono continue (cioè, se ogni componente è continua). Ma ilprodotto di matrici (righe per colonne) si scrive come

((ai,j), (bi,j)) $" (N#

k=1

ai,kbk,j),

cioè è un polinomio nei coe"cienti delle matrici (ai,j) e (bi,j). Dal momento che ogni polinomioè funzione continua, la moltiplicazione è continua. Analogamente, il determinante di unamatrice è espressione polinomiale dei suoi coe"cienti ed è sempre diverso da zero in GL(n),ed anche i cofattori (che compaiono nella definizione di matrice inversa) si esprimono come

polinomi dei coe"cienti, per cui la funzione di inversione i è continua. Per le matrici concoe"cienti complessi vale esattamente lo stesso ragionamento. qed

(11.9) Il gruppo lineare GL(n, R) non è compatto.

Dimostrazione. Per il teorema (8.13) un sottoinsieme di Rn2 è compatto se e solo se chiuso elimitato, e quindi GL(n, R) non è compatto perché non è limitato: contiene tutte le matricidiagonali #In, con # # R. Non è nemmeno chiuso: infatti, nella dimostrazione di (11.8)abbiamo usato il fatto che la funzione determinante det : Rn2 " R è continua. Per definizionesi ha

GL(n, R) = {M : det(M) *= 0},

cioè GL(n, R) è la controimmagine del sottospazio aperto R ! {0} + R, ed è quindi un apertodi Rn2 . Ma quest’ultimo spazio è connesso, e quindi un aperto non vuoto con complementarenon vuoto non può essere chiuso. qed

Descriviamo ora due sottogruppi importanti di GL(n, R):

Gruppo ortogonale: O(n) = {A # GL(n, R) : AtA = AAt = In}.

Gruppo speciale ortogonale: SO(n) = {A # O(n) : det(A) = 1}.

(11.10) Sia O(n) il gruppo ortogonale, costituito da tutte le matrici ortogonali n ! n acoe!cienti reali, e SO(n) il gruppo speciale ortogonale, costituito da tutte le matrici di O(n)con determinante +1. Allora O(n) e SO(n) sono gruppi topologici compatti.

Geometria I 91

Dimostrazione. Ricordiamo che O(n) è formato da tutte le matrici A (invertibili) di GL(n)tali che AAt = AtA = In (dove At indica la trasposta di A e In la matrice identica n ! n).Dato che O(n) + GL(n) + Rn2 , per (8.13) dobbiamo mostrare che è chiuso e limitato. Lamoltiplicazione di matrici è continua, e chiaramente l’operazione di trasposizione induce unomeomorfismo Rn2 " Rn2 , per cui la funzione

f : Rn2 " Rn2

definita daA $" AAt

si può scrivere come composizione di funzioni continue. Gli insiemi costituiti da singoli puntidi Rn2 sono tutti chiusi, ed in particolare l’insieme {In} + Rn2 è chiuso. Dunque f!1(In) è unsottospazio chiuso di Rn2 ; ma

f!1(In) = {A # Rn2: f(A) = In}

= {A # Rn2: AAt = In}

= O(n)

e dunque O(n) è chiuso. Ora, si indichino con a:,1, a:,2, . . . a:,n i vettori colonna di A # O(n).La condizione AAt = In si può riscrivere come

a:,i · a:,j =

$1 se i = j

0 se i *= j

dove v ·w indica il prodotto scalare standard in Rn, e dunque, considerando la prima equazione,si ha per ogni i

a:,i · a:,i = a21,i + a2

2,i + · · · + a2n,i = 1,

e quindi ai,j ) 1 per ogni i, j = 1, . . . , n. Ne segue che#

i,j

a2i,j = n ) n,

e dunque O(n) è limitato nella metrica euclidea di Rn2 .Non rimane che dimostrare che SO(n) è compatto. Ma, dato che si può scrivere come la

controimmagine di 1 mediante la funzione (continua) determinante det : O(n) " R, esso è unsottospazio chiuso di O(n). Allora segue da (7.15) che esso è compatto. qed

(11.11) (Rotazioni e riflessioni) Mostriamo che SO(2) - S1.

Se%a cb d

&# SO(2), allora valgono le uguaglianze

'((()

(((*

ad' cb = 1 (il determinante)a2 + b2 = 1

c2 + d2 = 1

ac + bd = 0.

(*)

Geometria I 92

Osserviamo che se (a, b) *= 0, allora l’uguaglianza ac + bd = 0 vale se e solo se esiste # # Rtale che d = #a e c = '#b. Infatti,

a('#b) + b(#a) = 0 .

Viceversa, può essere che b *= 0 oppure che b = 0. Nel primo caso, si ha ac/b+d = 0 e ponendo# = 'c/b risulta

'#a + d = 0, '#b = c.

Se b = 0, allora deve necessariamente essere a *= 0 (per l’ipotesi (a, b) *= (0, 0)), e si può porre# = d/a per avere le uguaglianze

c + bd/a = c + #b = 0, d = #a.

Dato che a2 + b2 = 1 =% (a, b) *= (0, 0), il sistema (*) è dunque equivalente al sistema nelletre variabili a, b,#

'()

(*

a(#a)' ('#b)b = 1

a2 + b2 = 1

('#b)2 + (#b)2 = 1

&%$

#(a2 + b2) = 1

a2 + b2 = 1&%

$# = 1

a2 + b2 = 1.(**)

Quindi c = 'b e d = a, e la matrice deve avere la forma%a cb d

&=

%a 'bb a

&

con a2 + b2 = 1.La proiezione sulle due componenti del primo vettore-colonna della matrice

%a cb d

&$" (a, b) # R2

è una funzione continua p : SO(2) " R2, e per quanto visto sopra è iniettiva, ed ha perimmagine S1 + R2, dato che la circonferenza S1 + R2 è definita dall’equazione a2 + b2 = 1.Visto che SO(2) è compatto e R2 è Hausdor!, la funzione p è un omeomorfismo sull’immagineS1 + R2.

La mappa f : S1 + R2 " R4 definita ponendo

(a, b) $"%a 'bb a

&

per ogni (a, b) # S1 è l’inversa di p (ed è quindi a sua volta un omeomorfismo).Finiamo osservando che O(2) è suddiviso in due classi: le matrici con determinante 1 e

quelle con determinante '1. Le prime, che indichiamo con SO(2)+ = SO(2) e chiamiamorotazioni, sono esattamente gli elementi di SO(2). Le seconde, che indichiamo con SO(2)!

Geometria I 93

e chiamiamo riflessioni, sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi di SO(2): se h #SO(2)! è una riflessione fissata, allora per ogni r in SO(2) il prodotto hr è una riflessione(ha determinante uguale a det(r) det(h) = det(h) = '1); la mappa r $" hr è iniettiva (hr1 =hr2 =% r1 = r2) e suriettiva (h" # SO(2)! =% h" = h(hh") = hr con r = hh" # SO(2)).Come sopra, si può vedere facilmente che è una funzione continua da un compatto ad unHausdor!, e quindi anche SO(2)! - SO(2) - S1. L’unione è disgiunta, e possiamo scrivereO(2) = SO(2)+ . SO(2)! - S1 . S1.

(11.12) Esempio. Gruppo delle rotazioni di R3 che fissano l’origine: SO(3). È compatto,connesso e connesso per archi. Ogni rotazione non banale fissa una e una sola retta.

Dimostrazione. Mostriamo prima che esiste una retta fissata. Supponiamo per assurdo chequesto non sia vero. Se A # SO(3), allora il polinomio caratteristico pA(#) ha grado 3, equindi ha un autovalore reale #1 con relativo autovettore v1. Dato che A # O(3), si ha|Av1| = |v1| e dunque |#1v1| = |v1| =% |#1| = 1, cioè #1 # ±1. Dato che per ipotesid’assurdo A non ha autovalore 1, deve essere #1 = '1. Gli altri due autovalori #2 e #3

sono radici (evantualmente coincidenti) di pA(#), e non possono essere entrambi uguali a #1

(altrimenti det(A) = (#1)3 = '1 *= 1). Ci sono due casi: o sono due radici reali, oppure dueradici complesse coniugate. Se sono reali, per lo stesso ragionamento di prima dovrebberoessere uguali a '1, e quindi det(A) = '1 *= 1. Quindi sono complesse coniugate #3 = #2. Maallora det A = #1#2#2 = '|#2|2 ) 0 < 1, il che è assurdo. Quindi almeno un autovalore deveessere uguale a 1.

Il sottospazio vettoriale ortogonale alla retta fissata è un piano, che rimane invariante: èpossibile far vedere che la restrizione di A a questo piano è una rotazione (esercizio), che quindinon fissa altre direzioni.

Per vedere che è connesso e connesso per archi, basta trovare una funzione continua esuriettiva X " SO(3) con X spazio topologico connesso. Questo sarà fatto nell’esercizio(6.31), con X = S3. Oppure, se R!

x , R"y e R#

z denotano le rotazioni di angolo $, % e & attornoai tre assi di R3, si può definire la funzione continua X = S1 ! S1 ! S1 " SO(3) definitaponendo

(ei!, ei", ei#) $" R!xR"

yR#z .

È continua perché composizione di funzioni continue, ed è suriettiva (si veda il Teorema (11.16)poco sotto). Oppure, per vedere che è connesso per archi, osserviamo che le rotazioni attornoall’asse z si scrivono come

R$z =

+

,cos ' ' sin ' 0sin ' cos ' 0

0 0 1

-

.

e la funzione ' # R $" R$z # SO(3) è continua. Se A # SO(3) è una rotazione qualsiasi e

x # S2 tale che Ax = x, allora esiste certamente una rotazione Q tale che Qe3 = x (perché?),e quindi la rotazione Q!1AQ fissa e3 (e3 = (0, 0, 1)), e dunque Q!1AQ = R$

z, da cui

A = QR$zQ

!1.

Geometria I 94

Ma allora la funzione & : [0, 1] " SO(3) definita ponendo

&(t) = QRt$z Q!1

è continua ed è tale che &(1) = QR$zQ

!1 = A, e &(0) = QR0zQ

!1 = I3. Quindi SO(3) èconnesso per archi. qed

È vero che O(3) = SO(3)+ . SO(3)! (quelle con det 1 e '1)?

(11.13) Esempio. Gruppo di simmetrie di un triangolo equilatero: è isomorfo al gruppo dipermutazioni sui tre vertici?

(11.14) Esempio. Gruppo ciclico {z # C : zn = 1}: è il gruppo di simmetrie di un poligonoregolare? Perché si chiama ciclico? Perché l’equazione zn = 1 si chiama ciclotomica? Peresempio, il gruppo di simmetrie di un quadrato? Un esagono?

(11.15) Esempio. Gruppo generato dalle rotazioni di angolo ( attorno ai (due) tre assiortogonali di R3.

(11.16) Teorema. Siano R!x , R"

y e R#z le rotazioni attorno agli assi coordinati di R3 di angolo

$, % e & rispettivamente. Allora per ogni rotazione R # SO(3) esistono $, % e & tali che

R = R!xR"

yR#z ,

cioè R si scrive come prodotto di tre rotazioni attorno agli assi cartesiani.

Dimostrazione. Esercizio (6.29). qed

(11.17) Nota. I tre parametri $, % e & (non esattamente questi) sono anche chiamati gliangoli di Eulero della rotazione A. Una convenzione abbastanza comune è A = BCD, dove Dè una rotazione di angolo ) attorno all’asse z, C una rotazione di angolo ' attorno all’asse x,e B una rotazione di angolo * attorno all’asse z (bastano quindi rotazioni attorno a due assiortogonali per generare SO(3)).

(11.18) Nota. Una norma è una funzione Rn " R che verifica le seguenti proprietà :

(i) x *= 0 =% /x/ > 0, /x/ = 0 &% x = 0.

(ii) /cx/ = |c| /x/.

(iii) /x + y/ ) /x/+ /y/.

Una norma su Rn induce una metrica (d(x, y) = /x'y/), la quale induce a sua volta unatopologia. Diciamo che due norme sono equivalenti se inducono metriche equivalenti, cioè se letopologie ottenute dalla metriche coincidono (oppure se . . . ). Accade che due norme qualsiasi(che indichiamo con /·/A e /·/B) su Rn sono sempre equivalenti tra di loro:

(11.19) Tutte le norme su Rn sono tra loro equivalenti.

Geometria I 95

Dimostrazione (opzionale). È su"ciente mostrare che se /·/A è una norma, allora /·/A èequivalente alla norma euclidea /·/.

Infatti, la funzione N : Rn " R definita da N(x) = /x/A è continua (rispetto alla normaeuclidea): se gli ei sono i vettori della base standard e xi le componenti di x, si ha perl’omogeneità e la disuguaglianza triangolare

N(x) = N

/n#

i=1

xiei

0)

n#

i=1

|xi|N(ei) ) Mn#

i=1

|xi|,

dove M è il massimo degli N(ei). Ma |xi|2 ) /x/2 per ogni i, e quindi

Mn#

i=1

|xi| ) Mn/x/.

Allora per ogni x e y in Rn si ha che N(x) = N(y + (x ' y)) ) N(y) + N(x ' y) =%N(x)'N(y) ) N(x'y). Analogamente N(y)'N(x) ) N(x'y), e quindi |N(x)'N(y)| )N(x' y). Dunque

|N(x)'N(y)| ) N(x' y) ) Mn/x' y/,e quindi N è una funzione continua Rn " R. Consideriamo la sfera

S = {x # Rn : /x/ = 1} ,

che è uno spazio chiuso (controimmagine di {1} chiuso in R) e limitato, e quindi compatto.Ma allora la funzione N assume un massimo m2 e un minimo m1 su S: per ogni x # S si ha

m1 ) N(x) ) m2.

Se x1 # S è il punto tale che m1 = N(x1), si ha m1 *= 0 dato che x1 *= 0, e quindi 0 < m1 ) m2.Ma allora se x # Rn, x *= 0, si ha

x

/x/ # S, e quindi per ogni x *= 0 per l’omogeneità di N

m1 ) N

1x

/x/

2) m2 =% m1 )

N(x)

/x/ ) m2 =% m1/x/ ) N(x) ) m2/x/.

Quindi le due norme sono equivalenti. qed

Alcune norme (tutte tra loro equivalenti) sullo spazio delle matrici Matn#n(R) sono peresempio:

(i) /A/2 =3

i,j a2ij;

(ii) /A/ = maxi,j|aij|;

(iii) /A/ = max{ |Ax||x| : x # Rn ! {0}} (quest’ultima a sua volta dipende da una scelta di

norma su Rn).

Geometria I 96

§ 12 Gruppi di trasformazioni

Cfr: Sernesi, Vol I, Cap 1, §14 [1].

Le matrici, con la moltiplicazione matrice ! vettore, inducono trasformazioni lineari (cioèfunzioni lineari) tra spazi vettoriali. Cioè, se L è una matrice n ! d con n righe e d colonne,allora la funzione lineare v $" Lv è una funzione

L : Rd " Rn.

Quando n = d, cioè quando la matrice è quadrata, e quando la matrice è invertibile, si trattaquindi di una trasformazione invertibile

L : Rn " Rn.

Il prodotto di matrici corrisponde alla composizione di funzioni biunivoche. Si può cioè farcorrispondere ad ogni elemento L del gruppo GL(n, R) una funzione biunivoca Rn " Rn, inmodo che il prodotto (nel gruppo) corrisponda alla composizione di funzioni. L’identità delgruppo finisce nella funzione identità.

Vogliamo fare questo in generale: associare ad ogni elemento g di un gruppo astratto G unatrasformazione X " X, cioè una funzione biunivoca su un insieme X, con le due proprietà:1) l’elemento neutro di G è associato alla funzione identità 1X : X " X; 2) l’operazione diprodotto nel gruppo corrisponde alla composizione di funzioni. Osserviamo che se f : X " Xè una funzione e x # X, allora è possibile definire la valutazione della funzione f in x, definitacome f(x) = fx (era il prodotto matrice per vettore prima). In generale, possiamo associaread ogni funzione f : X " X e a ogni elemento x # X la valutazione f(x), cioè c’è una funzione

(f, x) $" x.

Partiamo da qui per definire l’azione di un gruppo su un insieme, cioè una corrispondenza tragli elementi di G e le trasformazioni di X in sé.

(12.1) Definizione. Sia G un gruppo e X un insieme. Si dice che G agisce (da sinistra) suX se esiste una funzione ) : G!X " X (la valutazione), denotata da (g, x) $" g ·x = gx, percui

(i) 0x # X, 1 · x = x (1 # G è l’elemento neutro).

(ii) 0x # X, 0g, h # G, g · (h · x) = (gh) · x.

L’insieme X si dice anche G-insieme.

elemento del gruppo g # G 1 trasformazione g : X " Xelemento neutro 1 # G 1 identità 1X : X " X

prodotto g1g2 1 composizione g1 , g2 : X " X.

Geometria I 97

Per esercizio verificare che con questa definizione ogni g # G ha associata la funzionex $" gx, che è biunivoca con inversa x $" g!1x. All’elemento neutro 1 # G corridponderà lafunzione identità 1X : x $" 1x = x. In questo modo il gruppo non è più astratto, ma è ungruppo di trasformazioni.

(12.2) Esempio. (i) GL(n, R), GL(n, C).

(ii) Gruppi di permutazioni.

(iii) Gruppi di isometrie (simmetrie di oggetti).

(iv) Ogni gruppo astratto agisce su sé stesso per moltiplicazione/addizione a sinistra.

(v) Ogni sottogruppo H + G agisce su G per moltiplicazione/addizione (a sinistra).

(12.3) Definizione. Se G agisce su X, allora per ogni x # X si definiscono:

(i) lo stabilizzatore di x: Gx = {g # G : g · x = x}.

(ii) L’orbita di x: G · x = {gx : g # G}.

(12.4) Sia G un gruppo e X un insieme su cui G agisce. Allora la relazione x 1 y &%(g # G : gx = y è una relazione di equivalenza, che partiziona X in classi di equivalenza. Leclassi di equivalenza sono le orbite di G in X.

Dimostrazione. Per mostrare che la relazione è di equivalenza, bisogna mostrare che è riflessiva,simmetrica e transitiva. Dato che 1x = x, si ha che x 1 x, per cui è riflessiva. Inoltre, segx = y (cioè x 1 y) allora g!1(gx) = g!1y, e quindi x = g!1y, cioè y 1 x. Quindi è simmetrica.Infine, è transitiva: se x 1 y e y 1 z, si ha che esistono g1 e g2 per cui g1x = y e g2y = z.Quindi (g1g2)x = g2(g1x) = g2y = z, cioè x 1 z. Ora, è facile vedere che due punti stannonella stessa classe di equivalenza se e solo se appertengono alla medesima orbita. qed

(12.5) Definizione. L’insieme di tutte le orbite (classi di equivalenza) di X secondo perl’azione di un gruppo G su X si indica con X/G e si chiama spazio delle orbite.

(12.6) Esempio. Il gruppo (additivo) Z degli interi agisce sulla retta reale R (vedi sotto).Lo spazio quoziente è omeomorfo alla circonferenza S1.

(12.7) Definizione. L’azione di G su X si dice fedele se per ogni g # G, g *= 1 # G, la mappaindotta g : X " X (da x $" g · x) non è l’identità 1X : X " X.

(12.8) Definizione. L’azione di G su X viene detta transitiva se per ogni x, y # X esisteg # G per cui g · x = y. In questo caso si dice che X è uno spazio omogeneo.

(12.9) Esempio. L’azione di Z su R (traslazioni intere) è fedele ma non è transitiva. L’azionedi R su R è fedele e transitiva.

(12.10) L’azione è transitiva se e solo se esiste solo una G-orbita in X.

Geometria I 98

Dimostrazione. Sia x # X un punto fissato. Allora per ogni y esiste g # G per cui g · x = y,cioè ogni y in X sta nella stessa G-orbita di x, che quindi è unica. Viceversa, supponiamoesista una sola orbita: allora esiste x # X per cui {g · x|g # G} = X, e quindi per ogni y # Xesiste g # G tale che g · x = y. qed

(12.11) Nota. Se G è un gruppo, G agisce su se stesso X = G semplicemente per moltiplica-zione a sinistra. L’azione è transitiva e fedele. Se H è un sottogruppo di G, anche H agisce suG per moltiplicazione da sinistra. Le orbite sono i laterali (sinistri) di H in G. La notazioneG/H quindi è consistente: da un lato indica l’insieme (algebrico) dei laterali sinistri di H inG, dall’altro l’insieme delle orbite dell’azione di H su G.

(12.12) Definizione. Se G è un gruppo topologico, allora si dice che G agisce su uno spaziotopologico X se esiste una funzione ) : G !X " X che induca una azione di G su X (comenella definizione (12.1)) con l’ulteriore proprietà che la funzione

G!X " X

è continua. Allora X si chiama G-spazio.

(12.13) Esempio. È facile vedere che R2 agisce su R2 come gruppo (additivo) di traslazioni

(x, y) · (u, v) = (x + u, y + v).

(12.14) Esempio. I gruppi GL(n, R), O(n) e SO(n) agiscono su Rn in modo canonico. Comevisto sopra, si può vedere facilmente che l’azione è continua, cioè che agiscono come gruppitopologici su Rn.

(12.15) Definizione. Se G è un gruppo topologico che agisce su uno spazio topologico X, lospazio delle orbite X/G è uno spazio topologico con la topologia quoziente.

(12.16) Esempio. Sia G = Z (con la topologia discreta) e X = R. Allora G agisce su Rmediante la somma (g, t) $" g+t per ogni g # Z e ogni t # R. Lo spazio delle orbite è uguale allospazio R/ 1 dell’esempio (6.1). Mostriamo che è omeomorfo a S1 = {(x, y) # R2 : x2+y2 = 1}.Sia f : R " R2 la funzione definita da

f(t) = (cos(2(t), sin(2(t)).

Si vede subito che induce una funzione f(t) : R " S1 + R2, e che è continua (le funzionitrigonometriche sono continue, poi si usa (11.6)). Dal momento che

f(g + t) = (cos(2(t + 2g(), sin(2(t + 2g())

= (cos(2(t), sin(2(t))

= f(t),

Geometria I 99

la funzione f induce una funzione sullo spazio delle orbite f : R/Z " S1. La funzione indottaf è continua: infatti, se U + S1 è un aperto di S1, la sua controimmagine f!1(U) in R/Z ècontinua se e soltanto se (per definizione di topologia quoziente) il sottoinsieme

p!14f!1(U)

5+ R

è aperto in R, dove p indica la proiezione sul quoziente p : R " R/Z. Ma

p!14f!1(U)

5= {t # R : f (p(t)) # U}= {t # R : f(t) # U}= f!1(U),

che è aperto, visto che f è continua.Ora, la funzione indotta f : R/Z " S1 è iniettiva: se f(t1) = f(t2) si ha che cos(2(t1) =

cos(2(t2) e sin(2(t1) = sin(2(t2), e quindi t2 = 2k( + t1 per un certo k # Z, cioè esiste g # Ztale che g · t1 = t2: i due punti t1 e t2 appartengono alla stessa G-orbita. È facile vedere chef è suriettiva. Osserviamo che l’inclusione [0, 1] + R è una funzione continua, e quindi lacomposizione [0, 1] " R " R/Z è anch’essa una funzione continua, e suriettiva. Quindi la suaimmagine R/Z, per (7.17), è un compatto. Ora, f è una funzione continua e biunivoca da uncompatto ad uno spazio di Hausdor! (S1), e quindi un omeomorfismo per (7.19).

(12.17) Esempio. Sia G = Z2 + R2 il reticolo degli interi (h, k) # R2. Allora R2/G èomeomorfo a S1 ! S1. Sappiamo dall’esempio precedente che R/Z - S1. Per prima cosamostriamo che la funzione

f : R2/Z2 " R/Z! R/Z - S1 ! S1

definita da(x, y) + Z2 $" (x + Z, y + Z)

è ben posta. Se (x", y")+Z2 = (x, y)+Z2 # R2/Z2, allora per definizione x"'x # Z e y"'y # Z,e quindi x + Z = x" + Z e y + Z = y" + Z. È iniettiva: se (x + Z, y + Z) = (x" + Z, y" + Z),allora x' x" # Z e y ' y" # Z, e quindi (x", y") + Z2 = (x, y) + Z2 # R2/Z2. Analogamente sipuò mostrare che è suriettiva.

Dimostriamo che è continua: denotiamo con P : R2 " R2/Z2 la proiezione sul quozientee con p ! p la mappa p ! p : R ! R " R/Z ! R/Z (che è continua). Se U + R/Z ! R/Z èun aperto, allora (p ! p)!1(U) è aperto in R ! R, e quindi è aperto in R2 (che è identificatocon R ! R tramite la mappa f : R2 " R ! R che induce f). Ma il sottoinsieme di R2 datoda f!1(p ! p)!1(U) coincide con P!1(f!1(U)), che quindi è aperto. Ora, per definizione ditopologia quoziente f!1(U) è aperto se e solo se P!1(U) è aperto in R2, e quindi f!1(U) èaperto. Di nuovo, una funzione biunivoca da uno spazio compatto ad uno spazio di Hausdor!è un omeomorfismo.

Geometria I 100

(12.18) Esempio. Si consideri l’azione di SO(2) sulla circonferenza unitaria S1. Ogni ele-mento di SO(2) agisce ruotando la circonferenza su se stessa: ogni punto ha stabilizzatorebanale e l’azione è transitiva e fedele. Fissiamo e0 = (1, 0) # S1. L’orbita di e0 è tutto S1, equindi c’è una funzione continua

f : SO(2) " S1

definita da f(g) = g · e0. L’azione è transitiva, e quindi f è suriettiva. Inoltre lo stabilizzatoreè banale, e quindi f è iniettiva. Dato che SO(2) è compatto e S1 di Hausdor!, f è unomeomorfismo tra SO(2) e S1.

(12.19) Esempio. Consideriamo ora l’azione di SO(3) su S2 (la sfera di dimensione 2, centronell’origine e raggio 1, contenuta in R3). L’azione è ancora transitiva (perché?), fedele, ma ognipunto ha uno stabilizzatore non banale (cosa sono le rotazioni di R3 che fissano un punto?).Si veda l’esercizio (6.29).

(12.20) Esempio. Il gruppo Z/2Z agisce su S2 ponendo g · x = 'x.

(12.21) Esempio. Le isometrie di uno spazio metrico X costituiscono un gruppo topologicoche agisce su X. Quali sono le isometrie di R? Le isometrie di C 1= R2? Di R3?

(12.22) Esempio. Ogni numero complesso a + ib non nullo può essere interpretato comevettore di R2 con coordinate (a, b) (piano di Argand–Gauss), ma anche come elemento diGL(2, R), come segue. Definiamo l’azione, per G = C ! {0} e X = C,

(g, w) $" gw

con g # G = C ! {0} e w # C 1= R2. Per ogni g # G, l’applicazione indotta g : X " X è R-lineare, e quindi c’è una funzione f : G " GL(2, R). Osserviamo che f(g1+g2) = f(g1)+f(g2)e f(g1g2) = f(g1)f(g2) e che se c # R e g # C si ha f(cg) = cf(g) (qui teniamo conto anchedegli elementi non invertibili). La funzione f è anche iniettiva: f(g1) = f(g2) =% g1 = g2.Se g1 = 1 # R + C, allora

f(g1) = f(1) =

%1 00 1

&.

Se g2 = i # C, allora per ogni w = w1 + iw2 # C si ha

g2w = i(w1 + iw2) = iw1 ' w2 = 'w2 + iw1 =

%0 '11 0

& %w1

w2

&,

cioèf(g2) = f(i) =

%0 '11 0

&.

Dunque, per l’additività se z = a + ib # C, si ha

f(z) = f(a + ib) = af(1) + bf(i) = a

%1 00 1

&+ b

%0 '11 0

&=

%a 'bb a

&.

Geometria I 101

In questo modo, le rotazioni (che si scrivono come%a 'bb a

&con a2 + b2 = 1) corrispondono

mediante la f ai numeri complessi di norma 1. Il prodotto di numeri complessi corrisponde alprodotto di matrici, la somma di numeri complessi, alla somma di matrici.

Il coniugato del numero complesso z = a + ib è z = a' ib, dunque

f(z) =

%a b'b a

&= [f(z)]t ,

cioè la trasposta di

f(z) =

%a 'bb a

&.

La norma di un numero complesso z = a + ib è data da |z|2 = a2 + b2, che è anche

zz = (a + ib)(a' ib) = a2 ' (ib)2 = a2 + b2.

Tra matrici, si ha

f(z)f(z) = f(z)f(z)t =

%a 'bb a

& %a b'b a

&= (a2 + b2)

%1 00 1

&.

Per ogni numero complesso z # C, sia

ez =$#

n=0

zn

n!.

Dato che |zn| = |z|n, è una serie in C convergente (le serie parziali delle norme convergono equindi . . . ). Osserviamo che

ezew =

/ $#

n=0

zn

n!

0 / $#

m=0

wm

m!

0

=$#

k=0

/#

n+m=k

znwm

n!m!

0

=$#

k=0

/k#

j=0

k!

k!

zjwk!j

j!(k ' j)!

0

=$#

k=0

1

k!

/k#

j=0

1k

j

2zjwk!j

0

=$#

k=0

1

k!(z + w)k

= ez+w

Geometria I 102

e cheez = (ez)

e0 = 1.

Quindi|ei$|2 = ei$e!i$ = e0 = 1,

cioè ei$ è un punto della circonferenza unitaria in C. In altre parole, la mappa

R $" {a + ib # C : a2 + b2 = 1} + C,

definta da ' $" ei$ è ben definita. Ricordiamo che14

ei$ = cos ' + i sin ',

quindi

cos ' = 2(ei$) =$#

k=0

('1)k '2k

(2k)!

sin ' = 3(ei$) =$#

k=0

('1)k '2k+1

(2k + 1)!

dato che

ei$ =$#

n=0

(i')n

n!

=$#

n=0n pari

(i')n

n!+

$#

n=1n dispari

(i')n

n!

=$#

k=0

(i)2k '2k

(2k)!+

$#

k=0

(i)2k+1 '2k+1

(2k + 1)!

=$#

k=0

('1)k '2k

(2k)!+ i

$#

k=0

('1)k '2k+1

(2k + 1)!

= cos ' + i sin '.

Cioè, con un abuso di notazione,

ei$ = cos ' + i sin ' =

%cos ' ' sin 'sin ' cos '

&.

Moltiplicare per ei$ un punto del piano complesso significa ruotarlo attorno all’origine in sensoantiorario di un angolo '.

(12.23) La funzione esponenziale z $" ez, C " C è continua.14Questa potrebbe essere una definizione delle funzioni trigonometriche cos e sin.

Geometria I 103

Dimostrazione (opzionale). Se z # C, allora15

ez ' 1 =$#

n=0

zn

n!' 1

=$#

n=1

zn

n!= z +

z2

2!+

z3

3!+ . . .

= z($#

n=0

zn

(n + 1)!)

=% ez ' 1 = zr(z)

dove se |z| < 1 il resto r(z) verifica

r(z) =$#

n=0

zn

(n + 1)!

=% |r(z)| )$#

n=0

|z|n

(n + 1)!)

$#

n=0

|z|n =1

1' |z| .

=% |ez ' 1| ) |z|1' |z| .

In conseguenza dell’ultima disuguaglianza, la funzione C " C definita da z $" ez ècontinua: se z0 # C e ! > 0, definiamo

" :=!

|ez0| + !> 0.

Segue che per ogni h # C con |h| < " si ha |h|1!|h| < %

1!% e quindi

|ez0+h ' ez0| = |ez0eh ' ez0| = |ez0||eh ' 1| )

) |ez0| |h|1' |h| < |ez0| "

1' "=

= |ez0|

!

|ez0| + !

1' !

|ez0 | + !

=

|ez0|!|ez0| + !

|ez0| + !' !

|ez0| + !

= !.

e quindi z $" ez è continua in z0 # C. qed

Di conseguenza anche cos ' e sin ' sono funzioni continue di '.15Si può usare la proprietà distributiva di C anche per somme infinite?

Geometria I 104

(12.24) Nota (Opzionale). A questo punto dovremmo essere però finalmente in grado didimostrare che le funzioni trigonometriche cos e sin, definite a partire da eit, sono periodichedi periodo 2(. Procediamo nel modo seguente. Sia X + R definito da

X = {t # R : eit = 1}.

Si ha e0 = 1 =% 0 # X, e t1, t2 # X =% t1 + t2 # X, 't1 # X, cioè X è unsottogruppo (additivo) di R, nonché un sottospazio chiuso di R (perché controimmagine delchiuso {1} + C mediante la funzione continua z $" ez). Ci sono altri elementi in X oltrea 0? Ora, osserviamo che cos 0 = 1, mentre, dato che la successione 4k

(2k)! converge a zeromonotonamente (dimostrarlo per induzione!), risulta

cos 2 =$#

k=0

('1)k 4k

(2k)!

= 1' 4

2+

42

4!' 43

6!+ . . .

< 1' 2 +42

4!= '1

3< 0.

Per il teorema degli zeri esiste quindi almeno un t0 # (0, 2) tale che cos t0 = 0. In modoanalogo,

cos 1 =$#

k=0

('1)k 1

(2k)!

= 1' 1

2+

1

4' 1

6+ . . .

> 1' 1

2=

1

2> 0,

e quindi esiste t0 # (1, 2) tale che cos t0 = 0. Ora, se cos t0 = 0, allora sin2 t0 = 1. Ma, sempreper la monotonia, si può mostrare che per t # (0, 2) si ha

sin t > t' t3

6,

e quindi sin t0 > 0, dato che t(1' t2

6) è positiva per t # (0, 2), cioè non può essere sin t0 = '1,

e dunquesin t0 = 1.

Abbiamo dimostrato che eit0 = i, da cui segue che

e4t0i = i4 = 1.

cioè che 4t0 # X, e che perciò X non è il sottogruppo banale di R. Sia quindi

t1 = inf{t > 0 : t # X}.

Geometria I 105

Questo numero esiste certamente, perché è l’estremo inferiore di un insieme non vuoto (4t0verifica e4it0 = 1) e limitato dal basso. Può essere uguale a zero, t1 = 0? Supponiamo che losia. Allora per ogni ! > 0 esiste t > 0, tale che t # X e t < !. Ma X è sottogruppo, e quindiper ogni k # Z si ha kt # X, cioè per ogni x # R ci sono elementi di X ad una distanza al più!. In altre parole,

X = R.

Ma dato che X è chiuso, si avrebbe X = X = R, cioè per ogni t # R

eit = 1.

Ma questo è falso: basta prendere t0 e usare le identità di sopra.Quindi t1 non può essere uguale a 0: definiamo una costante ( > 0 dalla relazione

2( = t1.

In altre parole, 2( è il più piccolo numero reale positivo per cui eit = 1, e ovviamente risultaper ogni k # Z

e2k&i = (e2&i)k = 1k = 1.

Da cioè segue che le funzioni cos t e sin t sono periodiche di periodo almeno 2( (potrebbeessere un sottomultiplo di 2(, a priori):

ei(t+2k&) = eite2k&i = eit.

Non solo, vale anche il viceversa: se t # X, allora t = 2k(. Infatti, se così non fosse esisterebbet # X, tale che

2k( < t < 2(k + 1)(

per un certo k # Z, ma allora se si pone s = t' 2k( si ha s > 0, s < 2( e

eis = ei(t!sk&) = eit = 1,

cioè non è vero che 2( è il minimo, e questo è assurdo. Deve quindi essere

X = {t # R : eit = 1} = {2k( : k # Z}.

Ancora: osserviamo che i due insiemi

A = {t # R : t > 0, eit = 1}, B = {t # R : t > 0, eit = i}

sono legati da4B + A =% inf A ) 4 inf B.

Inoltre, (1, 2) 4 t0 # B =% B *= 5 e inf B > 0 dato che e0 *= i, e inf B < 2 per quanto vistosopra. Poniamo quindi b = inf B, che quindi deve verificare

2( ) 4b. (12.25)

Geometria I 106

Per come abbiamo definito b poco sopra, però, è anche il più piccolo reale positivo tale checos b = 0, da cui segue (senza assumerlo) che sin b = 1. Ora, per definizione se t # (0, b)allora cos t > 0 (dato che cos 0 > 0 e la funzione non può cambiare di segno nell’intervallo), esin t > 0 dato che sin t > t' t3

3! , da cui segue che se t # (0, b] allora cos t *= 1. Ma

cos(t + b) + i sin(t + b) = ei(t+b) = eiteib = ieit = i cos t' sin t,

e dunquecos(t + b) = ' sin t = sin('t)

sin(t + b) = cos t = cos('t).

Segue checos(t + 2b) = ' sin(t + b) = ' cos t

sin(t + 2b) = cos(t + b) = ' sin t

cos(t + 3b) = ' cos(t + b) = sin(t)

sin(t + 3b) = ' sin(t + b) = ' cos t.

Quindi nell’intervallo [0, 4b] può accadere che cos t = 1 e sin t = 0 solo se t = 0 oppure t = 4b:cos t è negativo in [b, 3b], sin t è non nullo in (0, b] e [3b, 4b). Ma allora non può essere 2( < 4bnella formula (12.25), perché per definizione cos 2( = 1 e sin 2( = 0: deve essere 2( = 4b, cioèb = &

2 , e dunqueei !

2 = i.

Prendiamo i quadrati di entrambi i membri e li sommiamo: otteniamo l’identità di Eulero16

ei& + 1 = 0.

16(Dalla pagina di wikipedia sull’identità di Eulero)A reader poll conducted by Mathematical Intelligencer named the identity as the most beautiful theorem

in mathematics. Another reader poll conducted by Physics World in 2004 named Euler’s identity the greatestequation ever, together with Maxwell’s equations.

The book Dr. Euler’s Fabulous Formula [2006], by Paul Nahin (Professor Emeritus at the University ofNew Hampshire), is devoted to Euler’s identity; it is 400 pages long. The book states that the identity setsthe gold standard for mathematical beauty.

Constance Reid claimed that Euler’s identity was the most famous formula in all mathematics.Gauss is reported to have commented that if this formula was not immediately apparent to a student on

being told it, the student would never be a first-class mathematician.After proving the identity in a lecture, Benjamin Peirce, a noted nineteenth century mathematician and

Harvard professor, said, It is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don’t know what itmeans, but we have proved it, and therefore we know it must be the truth.

Stanford mathematics professor Keith Devlin says, Like a Shakespearean sonnet that captures the veryessence of love, or a painting that brings out the beauty of the human form that is far more than just skindeep, Euler’s equation reaches down into the very depths of existence.

Geometria I 107

Esercizi: foglio 6(6.1) Sia G un gruppo e H + G un sottogruppo. L’insieme G/H è definito come l’insiemedi tutti i laterali, cioè di tutti gli insiemi del tipo {gh : h # H} per qualche g (fissato) in G.Equivalentemente, sia 1H la relazione in G definita da: x 1H y &% x!1y # H. Dimostrareche la relazione 1H è di equivalenza, e che le classi di equivalenza sono proprio i laterali di Hin G.

(6.2) Dimostrare che GL(n, R) non è limitato.

(6.3) Si scriva la funzione GL(n) " GL(n) + Rn2 definita da A $" AAt (dove At indica latrasposta di A) come composizione di funzioni continue.

(6.4) Sia G un gruppo topologico e H + G un sottogruppo. Dimostrare che la chiusura H diH in G è anch’esso un sottogruppo.

(6.5) Dimostrare che Z è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di R.

(6.6) È vero che Q è un sottogruppo topologico (rispetto alla somma) di R?

(6.7) Dimostrare che GL(n) e O(n) non sono connessi. (Suggerimento: utilizzare il teorema(10.9 ) con la mappa determinante)

*(6.8) Dimostrare che se S + R è un sottogruppo discreto (nel senso che ha la topologiadiscreta), allora è isomorfo a Z (cioè è un gruppo ciclico infinito).

(6.9) Sia nZ + Z il sottogruppo (additivo) di tutti i multipli di un intero n # N. L’azione dasinistra g · x = g + x fa agire G = nZ su Z. L’azione è fedele? È transitiva? Cosa è l’insiemedelle classi di equivalenza?

(6.10) Mostrare che il quoziente R2/Z2 è compatto.

*(6.11) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = {(x, y) : y2 ) 1} + R2 tale cheX/G sia omeomorfo al cilindro S1 ! [0, 1].

*(6.12) Trovare un gruppo G che agisca sulla striscia X = {(x, y) : y2 ) 1} + R2 tale cheX/G sia omeomorfo al nastro di Möbius.

*(6.13) Si consideri S2 con l’azione antipodale di G = Z2 (gruppo di due elementi) data dag · x = 'x se g *= 1. Che cosa è S2/G? È compatto? È connesso?

(6.14) Trovare un’azione sul toro che abbia come spazio quoziente un cilindro.

(6.15) Dimostrare che lo stabilizzatore di un punto x # X rispetto ad un’azione di un gruppotopologico G è un sottogruppo chiuso di G.

(6.16) Si consideri il gruppo G generato da una rotazione nel piano di angolo ', che agiscesulla circonferenza S1 = {(x, y) : x2 + y2 = 1} + R2. Studiare, al variare di ', la topologiadello spazio quoziente S1/G.

Geometria I 108

(6.17) Siano r1 e r2 riflessioni lungo due rette passanti per l’origine in R2. Mostrare che lacomposizione r1r2 è una rotazione.

*(6.18) Sia G = Q e X = R, con azione data da g · x = g + x per ogni g # Q e x # R.Dimostrare che è un’azione di gruppo topologico. È transitiva? Lo spazio quoziente X/G è diHausdor!?

(6.19) Si consideri l’azione di GL(1) = R ! {0} su R data dalla moltiplicazione g · x = gx.Quali sono le orbite?

(6.20) Sia G = R (gruppo additivo) e X = R2, con azione data da g · (x, y) = (g + x, g + y)per ogni g # G e ogni (x, y) # X. Che cosa è lo spazio delle orbite?

(6.21) Consideriamo la stessa azione dell’esercizio precedente. Che cosa è lo spazio delleorbite per l’azione di Z + G = R su X? È compatto? È connesso? È Hausdor!?

(6.22) Quanti elementi ha il gruppo di simmetrie G di un quadrato Q in R2? Che cosa è(cioè, descriverlo esplicitamente) lo spazio quoziente Q/G.

(6.23) Sia X uno spazio su cui un gruppo topologico X agisca in modo transitivo. Dimostrareche lo spazio è “omogeneo”, cioè per ogni coppia di punti c’è un omeomorfismo f : X " X chemanda x in y (cioè un “cambio di coordinate” che manda x in y). Rispetto a quale gruppo Rè omogeneo? E Rn?

(6.24) Trovare un gruppo topologico che agisca in modo transitivo su O(n). Più in generale,se G è un gruppo topologico e H + G un sottogruppo, determinare un gruppo che agiscetransitivamente sullo spazio quoziente G/H.

*(6.25) Dimostrare che se G è un gruppo topologico che agisce su uno spazio X, allora laproiezione sullo spazio delle orbite X " X/G è una mappa aperta. Se G è finito, è anchechiusa. (Suggerimento: se U + X è un aperto, allora p(U) è aperto (chiuso) se e solo seGU = {g · x : g # G, u # U} è aperto (chiuso) in X.)

(6.26) Dimostrare che se G (gruppo topologico) agisce su X, allora per ogni g # G la mappax $" g · x è un omeomorfismo.

**(6.27) Sia G un gruppo topologico d N ! G un suo sottogruppo normale (dal punto di vistaalgebrico) e chiuso (dal punto di vista topologico) in G. Sia G/N il quoziente (quoziente dalpunto di vista algebrico, insieme dei laterali), con la topologia quoziente.

(i) Dimostrare che la proiezione p! p : G!G " G/N !G/N è una mappa quoziente.

(ii) Dimostrare che la moltiplicazione G ! G " G induce una moltiplicazione m : G/N !G/N " G/N , che è continua.

(iii) Dimostrare che G/N è un gruppo topologico.

Geometria I 109

(6.28) Sia l 6 2 un intero. Sia Zl + C l’insieme delle radici l-esime dell’unità Zl = {z #C : zl = 1}. Dimostrare che Zl è un gruppo topologico, che agisce su C per moltiplicazione asinistra g · z = gz (g # Zl, z # C). Al variare di l, determinare lo spazio quoziente C/Zl.

(6.29) (La sfera di Rubik) Sia G = SO(3) che agisce su S2 + R3 (sfera di raggio uno in R3 ecentro in 0 # R3). Dimostrare le seguenti a!ermazioni.

(i) L’azione di G su S2 è transitiva.(ii) Per ogni x # S2 e ogni g # G tale che gx = x, g ruota il piano ortogonale al vettore

'"Ox

in sé.(iii) Per ogni x # S2, lo stabilizzatore Gx

1= SO(2).(iv) Per ogni x, y # S2, il sottospazio Gx,y = {g # G : gx = y} + G è non vuoto ed è

omeomorfo a Gx mediante la mappa g # Gx,y $" g!11 g # Gx, dove g1 # Gx,y è un

elemento fissato.(v) Lo spazio di tutti gli assi di rotazione degli elementi di Gx,y, per x *= y, descrive un

cerchio massimo in S2.(vi) Se x, y # S2 e

'"Ox ·'"Oy = 0 (sono ortogonali), allora per ogni P # S2 esiste una rotazione

g # G che fissa x (gx = x) e tale che''"OgP e

'"Oy sono ortogonali (è vero anche se

'"Ox e

'"Oy non sono ortogonali?).

(vii) Se x e y sono due punti di S2 tali che'"Ox e

'"Oy sono ortogonali, allora per ogni P #

S2 esistono due rotazioni Rx e Ry attorno a x e y rispettivamente tali che RyRxP èortogonale ad entrambi

'"Ox e

'"Oy.

(viii) Se vettori ei sono i tre vettori della base standard di R3 e e"i = Rei le rispettive immaginimediante una rotazione R # SO(3), allora esistono tre rotazioni Ri attorno a ei tali che:

R3R2R1e"3 = e3

R3R2R1e"2 = e2

R3R2R1e"1 = e1.

(ix) Dimostrare il teorema (11.16) (pagina 94): ogni rotazione in SO(3) si può scrivere comeprodotto R = R!

xR"yR#

z di tre rotazioni attorno agli assi coordinati di R3.

Ricordiamo che se A è una matrice n ! n a coe!cienti complessi, allora la traspostaconiugata (aggiunta Hermitiana) di A si indica con A% ed è la matrice con coe!cienti aji,se aij sono i coe!cienti di A. Per ogni intero n 6 1 siano U(n) (gruppo delle matriciunitarie/gruppo unitario) e SU(n) (gruppo speciale uniterio) i gruppi di matrici definiti da

U(n) = {A # GL(n, C) : AA% = A%A = In},SU(n) = {A # U(n) : det A = 1}.

*(6.30) Siano U(n) e SU(n) il gruppo unitario e il gruppo speciale unitario. Dimostrare iseguenti fatti.

Geometria I 110

(i) Per ogni intero n 6 1 i gruppi U(n) e SU(n) sono compatti.(ii) U(1) - S1 - SO(2).

(iii) Gli elementi di SU(2) sono tutte e sole le matrici del tipo A =

%z 'ww z

&con (z, w) # C2,

|z|2 + |w2| = 1.

(iv) Siano 1 =

%1 00 1

&, i =

%i 00 'i

&, j =

%0 1'1 0

&, k = ij =

%0 ii 0

&# SU(2). Allora se

z = a + ib, w = c + id si ha%

z w'w z

&= a1 + bi + cj + dk.

(v) SU(2) - S3 (rivedere la dimostrazione SO(2) - S1).

*(6.31) Continuando dall’esercizio precedente, mostrare le seguenti proposizioni.(i) ij = k = 'ji, jk = i = 'kj, ki = j = 'ik, i2 = j2 = k2 = '1.(ii) Se per ogni matrice del tipo X = a1+ bi+ cj +dk si pone X = a1' bi' cj'dk, allora

(XY ) = (Y )(X), eXX = a2 + b2 + c2 + d2 =: |X|2

(quest’ultima uguaglianza è una definizione).Segue che |XY |2 = |X|2|Y |2.

(iii) Per ogni (a, b, c, d) *= (0, 0, 0, 0) # R4 la matrice inversa di X = a1+bi+cj +dk è ugualea X/|X|2 = (a1' bi' cj ' dk)/(a2 + b2 + c2 + d2).

(iv) Si consideri la funzione M : R3 " Mat2#2(C) definita ponendo

M(v) = Mv = v1i + v2j + v3k.

per ogni vettore v # R3 di componenti vi, e H + Mat2#2(C) la sua immagine. Si mostriche H è il sottospazio di Mat2#2(C) di tutte le matrici Hermitiane a traccia nulla.

(v) Per ogni A # SU(2) la funzione LA : H " H definita ponendo

LA(X) = AXA!1

è ben definita e lineare in X rispetto alla somma di matrici (osservare che X # H se esolo se la traccia della matrice X è nulla e la traccia . . . ).

(vi) Per ogni A # SU(2) la funzione LA : H " H, tramite la corrispondenza M , è unafunzione lineare invertibile R3 " R3, cioè induce un elemento +A # GL(3, R).

(vii) Per ogni A # SU(2), l’elemento +A del punto precedente è un elemento di O(3) (bastamostrare che +A conserva la norma).

(viii) La funzione A $" det(+A) è una funzione continua SU(2) - S3 " {'1, 1} = S0.Dedurre che per ogni A # SU(2), si ha +A # SO(3).

(ix) La funzione continua A $" +A è anche un omomorfismo di gruppi ( : SU(2) " SO(3).

Geometria I 111

(x) Il nucleo di ( è uguale all’insieme di tutti gli elementi A = a1 + bi + cj + dk # SU(2)tali che

Ai = iA, Aj = jA, Ak = kA,

e quindi ker ( = {'1,1}.(xi) Le immagini mediante ( in SO(3) dei tre sottogruppi

Gi = {A # SU(2) : Ai = iA} = {a + bi}Gj = {A # SU(2) : Aj = jA} = {a + cj}Gk = {A # SU(2) : Ak = kA} = {a + dk}

sono i gruppi di rotazioni di SO(3) che fissano uno degli assi cartesiani di R3 (osservareper esempio che se A = 1 cos ' + i sin ' # SU(2), allora +A è la rotazione attorno alprimo asse di R3 di angolo 2').

(xii) Se B # SU(2) è a traccia nulla B = b1i + b2j + b3k, allora B2 = '1;(xiii) Se B, C # SU(2) sono come sopra a traccia nulla, allora BC + CB = 0 se e soltanto se

i due vettori corrispondenti in H sono ortogonali (rispetto al prodotto scalare standarddi R3, con l’identificazione mediante M).

(xiv) Se B # SU(2) è come sopra a traccia nulla, allora esistono esistono C, D # SU(2) atraccia nulla tali che BC = D, CD = B, DB = C, C2 = D2 = '1, BC + BC = 0,BD + DB = 0, CD + DC = 0 (si scelgano due vettori unitari in H che costituiscano,insieme a B, una base ortonormale in H, coerentemente orientata).

(xv) Se A = 1 cos ' + B sin ', con B # SU(2) del tipo B = bi + cj + dk, allora +A è unarotazione che fissa (b, c, d) # R3, di angolo 2' (si consideri una base come nel puntoprecedente . . . ).

(xvi) L’omomorfismo ( : S3 - SU(2) " SO(3) è suriettivo ed è una mappa quoziente, dunque

SU(2)/ ker & = SU(2)/{±1} - SO(3),

e SO(3) è connesso.