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10 - Metodo dei minimi quadrati
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10 - Metodo dei minimi quadrati
Misura dello zero assoluto utilizzando trasformazioni di un gas a volume costante
T (
�C) = A+B · P
T = temperatura, P = pressione
A = zero assoluto = �273.15
�C
B = costante che dipende dalla natura, massa e volume del gas
60 70 80 90 100 110
P [mmHg]
40−
20−
0
20
40
60
80
100
120
140C]
°T
[
Misura dello zero assolutoMisura dello zero assoluto
Pressione (Pi) [mmHg] Temperatura (Ti) [℃]65 -2075 1785 4295 94
105 127
Incertezze su P trascurabili
Incertezze su T di “alcuni gradi”
60 70 80 90 100 110
P [mmHg]
40−
20−
0
20
40
60
80
100
120
140C]
°T
[
Misura dello zero assoluto
T = A+B · P
A =P
P 2 PT�
PP
PPT
� = �263.35 �C
B = NP
PT�P
PP
T� = 3.71
�CmmHg
� = NP
P 2 � (P
P )2
60 70 80 90 100 110
P [mmHg]
40−
20−
0
20
40
60
80
100
120
140C]
°T
[
Misura dello zero assoluto
�T =qP
i(Ti�A�B·Pi)2
N�2 = 6.7 �C
Incertezze su T “a posteriori”, assumendo la dipendenza lineare
20− 0 20 40 60 80 100 120
P [mmHg]300−
250−
200−
150−
100−
50−
0
50
100
150C]
°T
[
Misura dello zero assoluto
A
�A = �T
qPP 2
� = 18.26�C
A =P
P 2 PT�
PP
PPT
� = �263.35 �C Abest = (�263± 18)
�C
(compatibile con il
valore noto -273.15
�C)
Misura della vita media dei batteri di una popolazione
• Un biologo e’ convinto che una popolazione di batteri sta diminuendo esponenzialmente secondo la legge:
• Egli misura il numero di batteri della popolazione in n=3 giorni successivi, con i seguenti risultati:
- giorno 0: 153000 batteri
- giorno 1: 137000 batteri
- giorno 2: 128000 batteri
• Sulla base di questi dati, qual’e’ la miglior stima della vita media τ dei batteri nella popolazione (espressa in giorni)?
N(t) = N0e�t⌧
1− 0.5− 0 0.5 1 1.5 2 2.5
t [giorni]120
125
130
135
140
145
150
155
160310×
N [n
umer
o ba
tteri]
Misura della vita media dei batteri di una popolazioneMisura della vita media dei batteri di una popolazione
Tempo (ti) [giorni] Numero batteri (Ni)0 1530001 1370002 128000
1− 0.5− 0 0.5 1 1.5 2 2.5
t [giorni]120
125
130
135
140
145
150
155
160310×
N [n
umer
o ba
tteri]
Misura della vita media dei batteri di una popolazione
N = N0e�t⌧
ln(N) = ln(N0)� t⌧
z = A+B · tz = ln(N)
A = ln(N0) =
Pt2
Pz�
PtP
tz� = 11.93
B = � 1⌧ =
nP
tz�P
tP
z� = �0.09 giorni
�1
� = nP
t2 � (
Pt)2
1− 0.5− 0 0.5 1 1.5 2 2.5
t [giorni]120
125
130
135
140
145
150
155
160310×
N [n
umer
o ba
tteri]
Misura della vita media dei batteri di una popolazione
Incertezze a priori sui valori Ni.
Assumendo che le uniche incertezze sui conteggi
siano statistiche e poissoniane ! �Ni =
pNi
Si osserva che i punti hanno fluttuazioni statistiche
notevolmente superiori agli errori stimati.
Assumendo che l’andamento esponenziale sia corretto
probabilmente ci sono errori sistematici nella misura
del numero di batteri in aggiunta agli errori
statistici poissoniani.
1− 0.5− 0 0.5 1 1.5 2 2.5
t [giorni]120
125
130
135
140
145
150
155
160310×
N [n
umer
o ba
tteri]
Misura della vita media dei batteri di una popolazione
Stima a posteriori delle incertezze su N (o z = ln(N))
�z =
qPi(zi�A�B·ti)2
n�2 = 0.017
�N = |@N@z |�z = ez�z
I valori di z sono diversi punto per punto
ma assumiamo z ⇠ 11.84.�N ⇠ ez�z ⇠ 2400 >>
pNi ⇡ 350� 400
0 10 20 30 40 50
t [giorni]0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200310×
N [n
umer
o ba
tteri]
Misura della vita media dei batteri di una popolazione
B = �0.09 giorni
�1
�B = �z
pn� = 0.012 giorni
�1
⌧ = � 1B = 11.1 giorni
�⌧ = | @⌧@B |�B =
�BB2 ⇠ 1.5 giorni
⌧ = (11.1± 1.5) giorni
N(t) = N0e�t⌧
N(⌧) = N0e ⇠ 0.37%N0
�⌧⌧ ⇠ 13%
Scala logaritmica su asse Y
Scala lineare su asse X
ln(10) ~ 2.3
ln(100) ~ 4.6
ln(1000) ~ 6.9
ln(10000) ~ 9.2
ln(0.1) ~ -2.3
ln(1) = 0
ln(y2)� ln(y1) = ln(y2
y1)
ln(100)� ln(10) = ln( 10010 ) = ln(10) ⇠ 2.3ln(1000)� ln(100) = ln( 1000100 ) = ln(10) ⇠ 2.3etc..
0 10 20 30 40 50
t [giorni]
410
510
N [n
umer
o ba
tteri]
Misura della vita media dei batteri di una popolazione
N(t) = N0e�t⌧
N(⌧) = N0e ⇠ 0.37%N0
Utilizzando una scala logaritmica sull’asse Y (numero batteri) ed una scala lineare
sull’asse X (tempo), la funzione esponenziale N(t) appare sul grafico come una retta
