esercizi di GEOMETRIA 2010/11

1 - VETTORI DELLO SPAZIO

1. Verificare che il vettore u = (4,10, 8) R3 e combinazione lineare dei due vettori v = (1,2, 3) ew = (0,1,2) con coefficienti rispettivi 4 e 2.

2. Verificare che ogni vettore u = (x, y, z) R3 si puo scrivere come combinazione lineare dei vettorii = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1).

3. Dato u = i+ j 2k, scrivere i vettori di modulo 3 paralleli ad u e un versore parallelo ad u.

4. Dati u = hi+ 2hj e v = j+ 2k , determinare il parametro reale h tale che |u+ v| = 6.

5. Calcolare il prodotto scalare e il prodotto vettoriale dei vettori u = (1, 2,2) e v = (2, 0, 1) e verificareche il vettore w = (2, 3, 4) e ortogonale sia a u che a v. Determinare i vettori di modulo 2 ortogonali sia au che a v.

6. Determinare langolo uv, sapendo che |u| = 2, |v| = 3, u v = 3.

7. Determinare u v, sapendo che |u| = 4, |v| = 2, |u v| = 23.

8. Dati i vettori u = i+ 3j k e v = i j, scomporre u nella somma di un vettore perpendicolare a v conuno che ha la stessa direzione di v.

9. Dati u = i j, v = j+ k, determinare:(a) la proiezione ortogonale di v su u;(b) i vettori di modulo 2 ortogonali a u e a v;(c) verificare che i vettori u,v,w = i+ k sono complanari.

10. Determinare langolo uv, sapendo che u,v,u+ v sono versori.

11. Dato w = 3i+ 5j, determinare (se possibile) a e b reali tali che w = a(3i+ 6j) + b(2i+ 4j).

12. Dato w = 3i+ 9j, determinare (se possibile) a e b reali tali che w = a(2i+ 6j) + b(i+ 3j).

13. Dati u = 3i+ j+ k, v = i, w = i j, determinare il vettore proiezione ortogonale di w sul piano di u edi v.

14. Scrivere la combinazione lineare dei vettori u = i + 2j + k, v = 3i + k, w = i + 2j + 3k di coefficientia, b, c.

15. I vettori u = i j, v = j+ k, w = k sono linearmente indipendenti?

16. Dire per quali valori del parametro reale h i vettori u = (1, h, 0), v = (2h, 0, 1), w = (1, 0, 1) sonolinearmente dipendenti e, in corrispondenza dei valori trovati, scrivere uno di essi come combinazione linearedegli altri due.

17. Verificare che i tre vettori u = (1, 2, 1), v = (1, 1,2), w = (2,1, 3) non sono complanari e determinarele componenti del vettore a = (6, 9,5) rispetto ad essi.

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1 - SOLUZIONI

3. Dalla definizione di modulo di un vettore si ha che |u| = 6, percio` i vettori di modulo 3 parallelia u sono v1 = (3/

6)(i + j 2k) e v2 = (3/

6)(i + j 2k). Un versore parallelo a u e` per esempio

w1 = (1/6)(i+ j 2k).

4. Dallipotesi si ha |u+ v|2 = 6, mentre u+ v = hi+(2h+1)j+2k; quindi deve essere 6 = h2+(2h+1)2+4,da cui segue h = 1 oppure h = 1/5.

6. Si ha u v = |u||v|cosuv; ossia cosuv = 1/2 e quindi uv = 2pi/3.

7. Per le proprieta` del prodotto scalare |u v|2 = (u v) (u v) = |u|2 + |v|2 2|u||v|cosuv quindicosuv = 1/2 e u v = 4.

8. Un vettore (a, b, c) e` perpendicolare a v se e solo se (a, b, c) (1,1, 0) = 0 cioe` se e solo se a b = 0. Perpoter scrivere (1, 3,1) = (a, a, c) + (k,k, 0), basta quindi che sia a = 2, k = 1, c = 1.

9. (a) La proiezione ortogonale di v su u e` vu = 12 (1,1, 0) = 12 i+ 12 j.(b) Un vettore e` ortogonale a u e a v se e` parallelo al loro prodotto vettoriale i j + k, cioe` e`

del tipo k(1,1, 1); un tale vettore ha modulo 2 se e solo se |k| = 2/3, quindi si ottengono i vettoriv = (2/3)(1,1, 1).

10. Si ha |u+ v|2 = |u|2 + |v|2 + 2|u||v|cosuv , quindi cosuv = 1/2 e uv = 2pi/3.

11. Non e` possibile trovare a e b tali che w = (3a+ 2b)(i+ j), infatti w = 3i+ 5j non e` multiplo di (i+ 2j).

12. Per determinare a e b tali che w = (2a+ b)(i+3j) basta osservare che w = 3(i+3j) e quindi la relazionee` soddisfatta per ogni coppia (a, b) tale che 2a+ b = 3.

13. Per determinare il vettore z richiesto occorre determinare il vettore r proiezione ortogonale di w sulladirezione ortogonale a u e a v:

r = 12(0, 1,1)

Si ha poi r+ z = w e quindi z = w r = (1,1, 0) + 12 (0, 1,1).

14. au+ bv + cw = (a+ 3b+ c)i+ (2a+ 2c)j+ (a+ b+ 3c)k.

15. Si ha au + bv + cw = ai + (a + b)j + (b + c)k = 0 se e solo se a = b = c = 0, quindi u,v,w sonolinearmente indipendenti.

16. Si ha au+ bv + cw = (a+ 2bh+ c, ah, b+ c) = 0 se e solo sea+ 2bh+ c = 0

ah = 0b+ c = 0

Risolvendo il sistema, si ottiene: se h = 0, le soluzioni sono le terne (c,c, c), al variare di c in R; seh = 1/2, le soluzioni sono le terne (0,c, c), al variare di c in R; se h 6= 0, 1/2, lunica soluzione e la terna(0, 0, 0). Percio`, se h = 0, u = v+w; se h = 1/2, v = w, se h 6= 0 e h 6= 1/2, i tre vettori sono linearmenteindipendenti.

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