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OMOLOGIA

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OMOLOGIALa relazione omologica è una corrispondenza fra enti geometrici di seconda specie (figure piane)L’omologia si ottiene sovrapponendo le proiezioni di una medesima figura effettuate da due centri di proiezione differenti.In sintesi possiamo dire che l’omologia è un principio di trasformazione

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Quali sono gli elementi necessari per individuare un’omologia?

I due centri di proiezione, i due piani sovrapposti, il piano π oggetto di proiezione, il centro dell’omologia e l’asse dell’omologia.

Inoltre è possibile sviluppare una relazione omologica, passare cioè da un forma di secondo grado ad un’altra quando sono noti nel piano: il centro dell’omologia, l’asse dell’omologia, e due punti corrispondenti o due rette corrispondenti.

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Piani sovrapposti (π’ e π’’)

Centri di proiezione S’ e S’’

Centro U dell’omologia

Asse u dell’omologia

Punti corrispondenti A’ e A’’

Punti corrispondenti sono le immagini dello stesso punto proiettate da due centri di proiezione su due piani diversi.

6Fascio di rette di centro U

Il centro U dell’omologia è allineato con i centri S’ e S’’ di proiezione. Le rette che uniscono i punti corrispondenti convergono nel centro U

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Definizione di retta unita

La retta a su π la sua immagine sui piani sovrapposti π’ e π’’ è una retta unita poiché le sue due proiezioni (a’ e a’’) si sovrappongono

La retta unita congiunge punti corrispondenti

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(per ulteriori delucidazioni su questo argomento vedi pagg.47-59 di Docci, Migliari, La scienza della rappresentazione)

L’asse u dell’omologia è dato dall’intersezione del piano π con i piani sovrapposti π’ e π’’.

L’asse u dell’omologia è una retta di punti uniti. Qui si incontrano tutte le rette corrispondenti

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In una omologia sono unite le rette che appartengono a punti corrispondenti, esse appartengono ad un fascio che ha centro “U” nel punto in cui la retta che passa per i centri di proiezione interseca i piani di proiezione sovrapposti π’ e π’’

Il punto U si chiama centro dell’omologia

In una omologia sono uniti i punti che appartengono a rette corrispondenti, essi appartengono alla retta “u” intersezione del piano rigato e punteggiato, oggetto della proiezione, con i piani di proiezione sovrapposti π’ e π’’.

La retta u si chiama asse dell’omologia

Punti corrispondenti sono allineati con il centro dell’omologia

Rette corrispondenti si intersecano sull’asse dell’omologia

Asserti omologici in forma duale

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Dato l’asse dell’omologia u, il centro dell’omologia U, e due punti corrispondenti A’ e A’’, trovare la trasformata omologica della circonferenza data

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r’

r’’U

u

A’

Dato l’asse u, il centro U dell’omologia, due rette corrispondenti r’ e r’’ e il punto A’ trovare il punto A’’

P’

P’’A’’

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UA’’

A’B’’

u

Dato l’asse u, il centro U dell’omologia, due punti corrispondenti A’ e A’’ e il punto B’’ trovare il punto B’

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RETTA LIMITE(vista assonometrica)

Le rette limite sono parallele

all’asse dell’omologia

infatti sono proiezioni di

rette parallele all’asse u e al

quadro π.

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RETTA LIMITE

Le rette limite i e j in una “vista

di profilo”

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Dato il quadrilatero (A’B’C’D’) il centro U e l’asse u dell’omologia, determinare la trasformata omologica (A”B”C”D”), posto che la retta j’ dove convergono i lati della figura data sia la retta limite dell’omologia

E

F

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FIGURE PIANE

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TRIANGOLI

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POLIGONI REGOLARI

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TANGENTE AD UNA CIRCONFERENZA

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RAPPORTI PROPORZIONALI FRA I LATI DI UN RETTANGOLO

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RETTANGOLO 1:√2

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SEZIONE AUREA

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si dice sezione aurea del segmento AC, il segmento AB, con B compreso tra A e C, medio proporzionale tra l'intero segmento AC e la parte rimanente BC.

SEZIONE AUREA

SERIE DI FIBONACCI

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Come si costruisce un rettangolo aureo

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Spirale armonica

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TETRAEDRO

FUOCO

CUBO

TERRA

OTTAEDRO

ARIA

ICOSAEDRO

ACQUADODECAEDRO

UNIVERSO

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il lato del decagono regolare convesso è uguale alla sezione aurea del raggio della circonferenza circoscritta:

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TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 72°, 72°, 36°.                                                              Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il lato obliquo opposto nel punto d’intersezione in due segmenti in modo tale da creare una sezione aurea. Infatti il triangolo ABC è simile al triangolo BCD.

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TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 36°, 36°, 108°.                                             Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36° ciascuno, e l’angolo al vertice misura 108°, il lato obliquo e la differenza tra la base e il lato obliquo danno vita a una sezione aurea. Infatti il triangolo CDE è simile al triangolo ABD della figura precedente. 

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PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO CONTENUTIAll’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il segmento che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli con misura 72°, 72°, 36°, con le proprietà spiegate in precedenza. Ogni lato forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le proprietà descritte in precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo.  Il pentagono stellato è sicuramente la figura geometrica che più di ogni altra rappresenta, all'infinito, la sezione aurea. E' forse per questo motivo che questo fu scelto come simbolo della scuola pitagorica. 

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RAPPORTI PROPORZIONALI

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RAPPORTI PROPORZIONALI E ARCHITETTURA

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RAPPORTI PROPORZIONALI E ARCHITETTURA

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RAPPORTI PROPORZIONALI E ARCHITETTURA

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RAPPORTI PROPORZIONALI E ARCHITETTURA

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MODULOR

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La serie rossa ascendente si ottiene moltiplicando la misura 1.13 per il numero aureo 1,618…

La serie blu ascendente moltiplicando 2.26 per il numero aureo 1,618…

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La serie rossa discendente si ottiene moltiplicando la misura 1.13 per la sezione aurea 0,618…

La serie blu discendente moltiplicando 2.26 per la sezione aurea 0,618…

43Alcuni numeri appartenenti alla serie rossa determinano l’asse delle campate in ville Savoye

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