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1. L’istruzione tecnica nella legge Boncompagni (1848) Regio Decreto 4\10\1848 n. 8181.

TITOLO I. Dell’amministrazione della pubblica istruzione.

Art. 1. La pubblica istruzione dipende dalla direzione del Ministro Segretario di Stato incaricato di tal dipartimento: a lui spetta promuovere il progresso del sapere, la diffusione dell’istruzione e la conservazione delle sane dottrine, e provvedere in ogni parte all’amministrazione degli Istituti e Stabilimenti appartenenti all’insegnamento ed alla pubblica educazione. Art. 2. Il Ministro Segretario di Stato per la pubblica istruzione Propone alla firma del Re tutte le Leggi e Decreti concernenti all’istruzione pubblica. Stabilisce i Regolamenti generali per l’esecuzione delle Leggi, e per le interne discipline da osservarsi nelle scuole dipendenti dalla sua direzione. In seguito al parere dei Consigli Universitari dà le disposizioni occorrenti in ordine alle domande di dispensa degli studenti per l’ammessione ai corsi ed agli esami. Non darà alcuna disposizione contraria al parere del Consiglio Universitario senza sentire il Consiglio superiore. Art. 3. Da lui dipendono 1.° Le Università del Regno con gli Stabilimenti alle medesime annessi. 2.° I Collegi regii e pubblici, e i Convitti. 3.° Le scuole di istruzione elementare e superiore sì pubbliche che private per gli adolescenti e gli adulti che non attendono a studi classici. 4.° I Convitti e le scuole femminili di istruzione elementare e superiore pubbliche e private, che però continueranno ad essere rette con leggi particolari. L’ispezione degli asili d’infanzia, delle scuole dei sordomuti, di quelle di agricoltura, di arti e mestieri, di veterinaria e d’arte forestale, del genio civile, della marina ed altre relative ad oggetti speciali affidati alle cure di altri dicasteri continuerà ad appartenere al dicastero da cui tali materie dipendono. Art. 4. La scuole maschili dipendenti dal Ministero della pubblica istruzione si dividono in Scuole elementari inferiori, e superiori. Scuole secondarie. Scuole universitarie. Scuole speciali. Le scuole elementari servono di preparazione a tutti gli altri gradi d’istruzione; esse sono inferiori, o superiori. Sono scuole elementari inferiori quelle in cui si insegnano insieme col catechismo, il leggere, lo scrivere, i primi elementi dell’aritmetica, i principii della lingua italiana, gli esercizii di nomenclatura. Sono scuole elementari superiori quelle in cui si insegnano la grammatica, ed il comporre italiano, gli ulteriori sviluppi dell’aritmetica, i primi elementi della geometria, delle scienze naturali, della storia, e della geografia. Sono scuole secondarie quelle in cui si insegnano le lingue antiche e le lingue straniere, e gli elementi della filosofia e delle scienze, come preparazione agli studi universitarii.

1 Raccolta degli atti del Governo di S.M. il Re di Sardegna, vol. 16, parte II, pp. 939-942.

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Sono scuole speciali quelle che, continuando l’istruzione elementare, preparano all’esercizio delle professioni per le quali non è destinato alcuno speciale insegnamento nelle Università. Le scuole Universitarie sono quelle che, compiendo l’istruzione letteraria e scientifica, abilitano coloro che le frequentano a ricevere i supremi gradi accademici in una delle facoltà, o ad esercitare le professioni che da esse dipendono, sia che queste scuole si trovino stabilite nel capoluogo di una Università od in altri luoghi del circondario di essa. Art. 5. Il Ministro Segretario di Stato è nelle sue funzioni assistito da un Consiglio superiore di istruzione pubblica. Dirigono la pubblica istruzione sotto la di lui dipendenza, e nel limite delle attribuzioni e dei distretti rispettivi, I consigli universitarii, i consigli delle facoltà, le commissioni permanenti delle scuole secondarie, il consiglio generale per le scuole elementari, i consigli provinciali di istruzione, i provveditori agli studi. Art. 6. Il Ministro Segretario di Stato eserciterà una vigilanza diretta su tutti gli Stabilimenti che da lui dipendono, anche per mezzo di ispettori da lui deputati alla visita degli Stabilimenti medesimi coll’incarico di fargliene relazione. […]

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Regio Decreto 4\10\1848 n. 8192. Art. 1. Nelle città di Torino, Genova, Ciamberì, Novara, Nizza e Voghera sono fondati Collegii-convitti Nazionali di educazione. Art. 2. A questi Collegii sono assegnati i casamenti che servivano ai Convitti già diretti dai Gesuiti. Al primo stabilimento, ed alle spese occorrenti per detti Collegii sarà sopperito a termini del Decreto del 25 agosto ultimo colle rendite già appartenenti alla Compagnia di Gesù. Art. 3. I Collegii Nazionali sono autorizzati ad accettare lasciti e donazioni. Art. 4. Le discipline di educazione e di istruzione saranno le stesse in tutti i Convitti Nazionali,

sarà pure simile il programma degli studii, salvo il disposto del’art. 27 per gli studii speciali. Art. 5. Alle scuole dei Collegii Nazionali sono ammessi i convittori e gli allievi esterni. Art. 6. L’amministrazione dei Collegii Nazionali è affidata ad un Consiglio ordinario, e ad un Consiglio straordinario. Art. 7. Il Consiglio ordinario è composto del Preside del Collegio, del Direttore Spirituale, del Direttore degli sudii, del Censore della disciplina, di tre fra i Professori insegnanti nel Collegio istesso, da scegliersi uno tra i Professori di Scienze, uno tra i Professori di Rettorica o Grammatica alternativamente in ogni anno, uno tra i Professori applicati all’insegnamento elementare. Art. 8. Per formare il Consiglio straordinario si riuniranno al Consiglio ordinario le persone componenti il Consiglio provinciale d’istruzione elementare. Art. 9. Il Consiglio straordinario forma in ottobre d’ogni anno il bilancio dell’anno seguente: verifica i conti trimestrali, e in fine dell’anno riceve il rendiconto del Preside intorno allo stato morale ed economico del Collegio, e lo trasmette colle sue osservazioni al Ministero dell’istruzione pubblica. Art. 10. Al Consiglio ordinario spetta l’intiero governo del Collegio secondo le norme del regolamento. Art.11. L’assistenza immediata dei convittori in tutte le ore nelle quali non si trovano in iscuola, è affidata ad Institutori dimoranti nel Convitto. Gli Institutori dovranno essere almeno Professori di Grammatica o Professori elementari. Gli Institutori sono posti sotto la direzione mediata del Consiglio e del Preside, ed immediata del Censore della disciplina. Art. 12. Le nomine degli Uffiziali componenti il Consiglio ordinario sono fatte dal Ministero della istruzione pubblica sulla proposizione del Consiglio ordinario di ciascun Collegio-convitto. Le diverse o speciali attribuzioni degli Uffiziali tutti e degli Institutori saranno spiegate nel regolamento. Art. 13. Il Direttore degli studii può essere uno dei Professori insegnanti nel Collegio; in tal caso scade dopo cinque anni di esercizio; può essere rieletto.

2 Raccolta degli atti del Governo di S.M. il Re di Sardegna, vol. 16, parte II, pp. 969-978.

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Venendo promosso da uno ad altro Collegio, tranne il caso di nuova nomina, cessa dalle funzioni di Direttore degli studii. Art. 14. In ogni Collegio-convitto vi è un Economo nominato dal Consiglio ordinario, e posto sotto la direzione immediata del Preside. Art. 15. La Religione Cattolica sarà fondamento dell’educazione morale; gli accattolici non potranno essere ammessi come convittori nei Collegii Nazionali. Art. 16. La Religione formerà l’oggetto di un insegnamento speciale, il quale verrà dato dal Direttore di spirito; gli alunni esterni accattolici non potranno essere obbligati ad intervenirvi. Art. 17. Gli studii nei Collegii Nazionali,oltre quello della Religione, saranno divisi in corsi principali, e corsi accessorii. I corsi principali sono quattro: 1.° Corso Elementare diviso in quattro anni. 2.° Corso di Grammatica latina e di composizione italiana diviso in tre anni. 3.° Corso di Rettorica applicata ad entrambe le lingue, diviso in due anni. 4.° Corso di Filosofia diviso i due anni. I corsi accessorii sono: 1.° Corso d’Istoria antica e moderna e di geografia. 2.° Corso d’Aritmetica, di Geometria, e di Disegno. 3.° Corso d’Istoria naturale. 4.° Corso di Grammatica greca. 5.° Corso di Lingua francese. Art. 18. Vi saranno in ogni Collegio tanti Professori per i corsi Elementari, di Grammatica, e di Rettorica, e di Filosofia, quanti sono gli anni nei quali i detti corsi sono divisi. Ciascun Professore farà l’intiero corso prendendo per turno i giovani nel primo anno di esso, e continuando l’istruzione loro sino al compimento del corso. Art. 19. I corsi speciali incominceranno dopo il corso Elementare, e termineranno prima del corso di Filosofia. Art. 20. Gli alunni dei Convitti saranno ammaestrati negli esercizii militari, per quanto consentano la loro età, ed i loro studii , ed osserveranno le discipline della milizia. Art. 21. Le entrate dei Collegii-convitti sono: 1.° Il provento delle proprietà che ciascuno di essi possa acquistare. 2.° L’assegnamento fatto dal Governo a ciascuno di essi sui beni e redditi di cui all’art. 2, come pure gli altri assegnamenti già fatti ai Collegii de’Gesuiti. 3.° Le corresponsioni che dalle civiche amministrazioni o da altri venivano fatte ai Collegii dei Gesuiti. 4.° Gli altri assegnamenti che loro venissero fatti dalle Provincie, o dai Comuni. 5.° Il minervale degli alunni. 6.° Le pensioni dei convittori. Art.22. Le spese saranno: 1.° Le riparazioni alle fabbriche. 2.° Stipendio degli Ufficiali e Professori.

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3.° Provvista di ogni oggetto occorrente allo studio dei convittori. 4.° Mantenimento ordinario degli Ufficiali dimoranti nel Collegio, e dei convittori, compresivi i salarii pei servitori. 5.° Acquisto di libri per la biblioteca, d’instrumenti di Fisica e Chimica, d’oggetti d’Istoria naturale. 6.° Le spese d’amministrazione e di cancelleria. 7.° Spese straordinarie imprevedute. Art. 23. La tenuta dei libri, il modo con cui si faranno i bilanci e i rendiconti dovrà essere uniforme per tutti i Collegii e prescritti dal Ministro dell’istruzione pubblica. Si provvederà con legge speciale ai posti gratuiti nei Collegii Nazionali. Si provvederà pure nello stesso modo ai sussidii da darsi dallo Stato per l’educazione degli accattolici.

Disposizioni speciali. Art. 25. Nei Collegii di Torino, di Genova e Nizza si aprirà in via di esperimento un corso speciale pei giovani che non intendono attendere agli studii classici. Art. 26. Questo corso durerà cinque anni, e vi potranno entrare i giovani che hanno compiuto il corso Elementare, e ne hanno sostenuto con successo l’esame finale. Art. 27. Il corso speciale avrà Professori proprii, e Professori comuni al corso d’istruzione secondaria. I Professori comuni saranno: 1.° Il Professore di Religione. 2.° Il Professore di Storia e Geografia, il quale sarà incaricato delle lezioni di Geografia statistica e commerciale. 3.° Il Professore di Matematica elementare. 4.° Il Professore di Storia naturale. 5.° Il Professore di Lingua francese. I Professori proprii sono: 1.° Un Professore di Lettere italiane. 2.° Un Professore di Matematica. 3.° Un Professore di Fisico-Chimica, e di Meccanica applicata alle arti. 4.° Un Professore di Disegno. 5.° Un Professore di Lingua inglese. 6.° Un Professore di Lingua tedesca. La distribuzione delle lezioni sarà determinata dal regolamento. Art. 28. Nel più breve termine sarà pubblicato il regolamento dell’intera disciplina, ed il piano degli studii nei Collegii Nazionali. Art. 29. Gli stipendii saranno fissati secondo le tabelle unite al presente firmate di Nostro ordine dal Ministro Segretario di Stato per la pubblica istruzione. Il Ministro Segretario di Stato per l’istruzione pubblica è incaricato dell’esecuzione del presente Decreto da registrarsi al Controllo Generale, ed inserirsi nella Raccolta degli Atti del Governo. Torino addì 4 ottobre 1848.

CARLO ALBERTO. Registrato al controllo generale addì 7 ottobre 1848 registro 4 editti c. 265 MORENO

C. BONCOMPAGNI.

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TABELLA degli stipendii de’Professori e Maestri ed altri Ufficiali ne’Convitti Nazionali. Preside Direttore spirituale Professore Direttore degli studii Censore della disciplina Professore di Filosofia Id. Professore di Rettorica Id. Professore di Grammatica Id. Id. Professore Elementare Id. Id. Id. Professore di Storia e geografia Id. di Matematica elementare Id. di Storia naturale Institutori Id. Id. Id. Id. Id.

Torino e Genova Ciamberì, Nizza Novara e Voghera

2,400 1,500 750

1,200

2,200 2,200 2,200 2,200 1,800 1,800 1,800 1,600 1,600 1,600 1,600 2,200 1,200 1,000 500 500 500 500 500 500

2,000 1,200 600

1,000

1,800 1,800 1,800 1,800 1,500 1,500 1,500 1,400 1,400 1,400 1,400 1,800 1,000 800 400 400 400 400 400 400

TABELLA degli stipendii dei Professori del corso speciale nei Convitti Nazionali di Torino, Genova e Nizza.

Indicazione dei diversi insegnamenti

Stipendi

Torino e Genova

Nizza Professore di Matematiche, come studio principale dei quattro ultimi anni del corso Professore di Fisico-Chimica, e Meccanica applicata alle arti Professore di Lettere italiane Professore di Disegno Professore di Lingua inglese Professore di Lingua tedesca

1,800

1,800

1,500 800 800 800

1,500

1,500

1,400 600 600 600

V.° d’ordine di S.M.

C. BONCOMPAGNI

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Regio Decreto 9\10\1848 n. 8343.

PIANO DI STUDII

Gli studii nei Collegi nazionali, oltre quello della Religione, saranno divisi in varii corsi, i quali sono di due sorta: 1.° Corsi principali; 2.° Corsi accessorii. I corsi principali sono quattro: 1.° Corso elementare; 2.° Corso di grammatica latina; 3.° Corso di rettorica; 4.° Corso di filosofia. I corsi accessorii sono: 1.° Corso di storia antica e moderna e di geografia; 2.° Corso di aritmetica, di geometria e di disegno; 3.° Corso di storia naturale; 4.° Corso di grammatica greca; 5.° Corso di lingua francese. […]

CORSO SPECIALE

Il corso speciale durerà cinque anni, e vi saranno ammessi i giovani che hanno compiuto il corso elementare, e ne hanno sostenuto con successo l’esame finale. Gli oggetti dell’insegnamento sono i seguenti: 1.° Religione; 2.° Lettere italiane; 3.°Matematica elementare; 4.° Storia antica e moderna, e geografia in servizio della storia; 5.° Geografia statistica e commerciale; 6.° Disegno; 7.° Storia naturale; 8.° Fisico-chimica applicata alle arti; 9.° Meccanica applicata alle arti; 10.° Lingua francese; 11.° Lingua inglese; 12.° Lingua tedesca. Gli allievi del corso speciale assisteranno alle lezioni di religione, di storia e geografia, di storia naturale e di lingua francese nelle ore e nelle sale, in cui sono accolti gli allievi del medesimo anno del corso di istruzione secondaria. I corsi di religione, di lettere italiane, di matematica, di storia, di geografia e di disegno dureranno cinque anni. Il corso di storia naturale durerà tre anni. Il corso di lingua francese, ed il corso di fisico-chimica e di meccanica dureranno tre anni. Il corso di lingua inglese e di lingua tedesca dureranno due anni.

3 Raccolta degli atti del Governo di S.M. il Re di Sardegna, vol. 16, parte II, pp. 1049-1064.

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Le lezioni dureranno un’ora e mezzo od un’ora, come è indicato nell’orario annesso al presente regolamento. Il Professore di lettere italiane darà 14 lezioni principali, cioè d’un’ora e mezzo alla settimana; i primi quattro anni del corso hanno tre lezioni per settimana, l’ultimo due solamente. Queste lezioni avranno due parti: 1.a Proposta e correzione d’esercizii d’invenzione; lettere famigliari e commerciali; descrizioni; racconti; discorsi. 2.a Commenti sui classici italiani sì prosatori, sì poeti. Farà precedere alla spiegazione di ciascun autore una breve notizia dei tempi in cui scrisse, delle opere pubblicate e della sua vita. Sul fine del corso darà un riassunto ordinato e corredato di tavole sinottiche delle vicende della italiana letteratura. Leggerà agli allievi e spiegherà di quanto in quanto invece de’classici un libro da determinarsi dell’elocuzione e dei varii generi di letteratura. Il corso di matematiche è diviso fra due Professori. Il Professore di matematica elementare per l’istruzione secondaria è incaricato d’insegnare la medesima come corso principale agli allievi del primo anno del corso speciale – Egli darà cinque lezioni alla settimana di aritmetica commerciale e di geometria piana, corredata delle prime applicazioni alle arti. Il secondo Professore insegna agli allievi dei quattro ultimi anni l’algebra, la geometria e la trigonometria colle applicazioni alle arti. Il corso di geometria e trigonometria deve essere compiuto nel 3.° anno del corso speciale. L’algebra continuerà ad essere insegnata come sussidiaria alla fisica e meccanica negli ultimi due anni. Il Professore di storia e geografia darà dieci lezioni alla settimana comuni ai due corso secondario e speciale, e cinque lezioni agli allievi del corso speciale di geografia statistica e commerciale, nelle quali, premessi i principii della statistica e i varii generi d’industria e di commercio, esporrà le nozioni statistiche e commerciali complementarie delle nozioni geografiche esposte nel corso comune, e completerà queste nozioni dichiarando i varii centri dell’industria e del commercio attuale. Il Professore di disegno, premessi gli esercizii più facili del disegno lineare, procederà a quelli d’ornato, al disegno degli ordini d’architettura, al disegno prospettico, al disegno delle macchine, ed alle composizioni architettoniche. Dividerà gli allievi del collegio in tre sezioni, a ciascuna delle quali darà una lezione nel giovedì e nella domenica, oltre la quale agli allievi del corso speciale darà le lezioni segnate nella tavola della distribuzione degli studii. L’insegnamento della fisico-chimica e della meccanica applicata alle arti comincia al terzo anno del corso. Il Professore insegnerà la fisico-chimica nel terzo anno e nella prima metà del quarto; e la meccanica nella seconda metà del quarto, e nel quinto anno: esporrà i principii della fisica generale necessarii all’intelligenza delle teorie degli imponderabili, differendone l’ulteriore sviluppo al seguente per l’insegnamento della meccanica. Applicherà le teorie fisiche alla spiegazione dei fenomeni meteorologici sì importante per l’agricoltura; e connettendo le medesime alle cognizioni chimiche ordinate in forma di scienza, dirigerà le une e le altre costantemente allo scopo pratico della sua scuola. Delle lezioni di meccanica applicata avrà un modello in quelle pubblicate dal Cav. Prof. Giulio. I Professori di lingua tedesca ed inglese pel metodo d’insegnamento seguiranno le norme trasmesse dal Direttore degli studii. Saranno ancora obbligati a dare almeno tre lezioni per settimana agli allievi degli altri corsi, a cui fosse permesso questo studio.

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Distribuzione delle ore di lezione

Alla domenica: Assistenza agli Uffizzii Divini, e rivista Lezioni ed Esercizii come al giovedì. Osservazioni: 1° Le lezioni prime sì della mattina sì della sera durano un’ora e mezzo; eccetto nel 1° e 3° anno di Corso in cui durano un’ora e mezzo le lezioni seconde. Le lezioni seconde durano un’ora; eccetto i due anni predetti in cu durano un’ora e mezzo. 2° Fra le prime e le seconde lezioni sì della mattina s’ della sera vi ha l’intervallo ‘una mezz’ora nel quale si faranno esercizii ginnastici o militari in silenzio nel cortile o nei corridoi. 3° Le lezioni di disegno che mancano nel 4° anno, saranno supplite nel giovedì. 4° le lezioni di Fisico-Chimica nel 4° anno di Corso termineranno nella metà dell’anno, e cominceranno quelle di Meccanica applicata alle Arti.

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2. L’istruzione tecnica nella legge Casati (1859)4

TITOLO IV DELL’ ISTRUZIONE TECNICA

CAPO I

Del fine, dei gradi, e dell’oggetto dell’Istruzione tecnica Art. 272. L’istruzione tecnica ha per fine di dare ai giovani che intendono dedicarsi a determinate carriere del pubblico servizio, alle industrie, ai commerci ed alla condotta delle cose agrarie, la conveniente cultura generale e speciale. Art. 273. Essa è di due gradi, e vien data tanto pel primo, quanto pel secondo nello stadio di tre anni. Art. 274. Gli insegnamenti del primo grado sono: 1. La lingua italiana (la francese nelle provincie in cui è in uso questa lingua); 2. La lingua francese; 3. L’aritmetica e contabilità; 4. Gli elementi di algebra e di geometria; 5. Il disegno e la calligrafia; 6. La geografia e la storia; 7. Elementi di storia naturale e di fisico-chimica; 8. Nozioni intorno ai doveri ed ai diritti dei cittadini. Art. 275. Gli insegnamenti del secondo grado sono: 1. La letteratura italiana (la francese nelle provincie in cui è in uso questa lingua); 2. Storia e geografia; 3. Le lingue inglese e tedesca; 4. Istruzioni di diritto amministrativo e di diritto commerciale; 5. Economia pubblica; 6. La materia commerciale; 7. Aritmetica sociale; 8. La chimica; 9. La fisica e la meccanica elementare; 10. Algebra, geometria piana e solida e trigonometria rettilinea; 11. Disegno ed elementi di geometria descrittiva; 12. Agronomia, e storia naturale. Art. 276. Questi insegnamenti saranno dati, tanto nel primo quanto nel secondo grado, sotto l’aspetto dei loro risultamenti pratici, e particolarmente sotto quelli delle applicazioni di cui possono essere suscettibili nelle condizioni naturali ed economiche dello Stato. Art. 277. L’ordine e le proporzioni con cui questi diversi insegnamenti dovranno essere ripartiti nello stadio assegnato al grado d’istruzione cui appartengono, saranno determinati in via regolamentare. Art. 278.

4 Legge del 13\11\1859 n. 3725. Nuovo Codice della Istruzione Pubblica, Saluzzo, Tip. Fratelli Lobetti – Bodoni, 1870, pp. 78-87.

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Per ciò che tocca l’insegnamento religioso si osserveranno per ogni riguardo, le norme prescritte agli art. 193 e 222 in ordine agli stabilimenti di istruzione secondaria.

CAPO II Degli stabilimenti tecnici.

Art. 279. L’istruzione del primo grado verrà data in stabilimenti speciali, che sotto il nome di Scuole Tecniche, saranno successivamente aperti, salvo il disposto dell’art. 282, nel capo-luogo di ciascuna Provincia. Art. 280. Le spese di queste scuole saranno a carico dei Comuni in cui verranno instituite. Lo Stato però concorrerà a sopportare questo carico per una somma eguale alla metà delle spese che importeranno gli stipendi e le indennità da attribuirsi agli insegnanti che saranno applicati a questi stabilimenti. Art. 281. Il concorso promesso nel precedente articolo non avrà luogo se non in quanto i Municipi che concerne avranno aperte le loro scuole primarie inferiori e superiori, a termini di questa legge. Art. 282. Nel caso in cui il Municipio del capo-luogo della Provincia non voglia sottostare al carico di questa scuola, il concorso dello Stato potrà essere accordato a quello fra i Comuni più considerevoli della Provincia stessa, il quale avendo adempito alle condizioni dell’articolo precedente per ciò che concerne i suoi stabilimenti di istruzione primaria, si obbligherà di mantenere, a norma di questa legge, la scuola tecnica a vantaggio della Provincia. Art. 283. L’istruzione del secondo, grado verrà data in stabilimenti particolari che sotto il nome di Istituti Tecnici potranno essere aperti, a misura che il bisogno se ne farà sentire, nelle città che sono centro di un più notevole movimento industriale e commerciale. Ognuno di questi ultimi sarà diviso in sezioni, in ciascuna delle quali, si daranno gli insegnamenti che indirizzano particolarmente ad un determinato ordine di professioni. Il numero di queste sezioni in ogni istituto e gli insegnamenti propri di ciascuna di esse saranno determinati secondo le condizioni economiche delle Provincie, a vantaggio delle quali sarà eretto un simile stabilimento. Art. 284. Le spese di questi stabilimenti saranno a carico delle Provincie a profitto delle quali verranno istituiti, e dello Stato, il quale potrà essere chiamato a sottostarvi sino alla concorrenza di una somma eguale alla metà di quella che sarà necessaria per gli stipendi da assegnarsi ai Professori. I locali ed il materiale non scientifico saranno forniti dai Comuni nei quali questi istituti avranno sede. Art. 285. Le scuole e gli istituti tecnici saranno classificati secondo le norme che si son seguite per classificazione degli stabilimenti, di istruzione secondaria classica. Art. 286. Queste scuole e questi istituti dovranno mantenersi dai ginnasi e dai licei. In ogni caso la direzione immediata degli stabilimenti tecnici istituiti da questa legge non potrà mai essere affidata alla stessa persona cui è affidata quella de’ precitati istituti d’istruzione secondaria.

CAPO III

Dei Professori e degli incaricati dell’insegnamento Art. 287.

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La parte principale dell’insegnamento nelle scuole tecniche sarà data da quattro Professori, due de’ quali possono essere titolari. Art. 288. Il numero dei Professori titolari e reggenti cui saranno affidati i principali insegnamenti in ciascuno degli istituti tecnici, verrà determinato in ragione di quello delle sezioni che, secondo i luoghi, sarà opportuno stabilire in tali istituti. Art. 289. Gl’insegnamenti che non saranno commessi a Professori titolari o Reggenti, verranno affidati ad Istitutori od incaricati. Art. 290. I Professori titolari per le scuole tecniche saranno nominati, previo concorso, secondo le norme stabilite per le nomine dei Professori titolari dei ginnasi. I concorsi per queste scuole avranno luogo innanzi ad una Commissione presieduta dal Provveditore della Provincia. Le nomine dei Professori titolari per gli istituti tecnici si faranno parimenti previo concorso, secondo le norme stabilite per i licei. Il concorso avrà luogo dinanzi ad una Commissione presieduta egualmente dal Provveditore della Provincia. La nomina dei Professori reggenti e degli incaricati per i due ordini di stabilimenti si farà pure secondo quanto è prescritto per le nomine di queste categorie in ordine ai ginnasi ed ai licei. Art. 291. Gli stipendi dei Professori titolari e dei reggenti delle scuole e degli istituti tecnici, come pure i diritti alla pensione, saranno regolati in base a quelli che sono assegnati ai Professori dei ginnasi e dei licei. Le indennità da assegnarsi eventualmente agli incaricati degli insegnamenti, di cui all’art. 289, saranno regolate in ragione del numero delle lezioni che saranno chiamati a dare. Art. 292. Tutte le disposizioni del titolo III di questa legge relative ai Professori, che sono o possono essere addetti in qualità di titolari o di reggenti ai ginnasi ed ai licei, sono applicabili a quelli delle scuole e degli istituti tecnici. Art. 293. L’insegnamento delle scuole tecniche potrà in via eccezionale per alcuna parte, previa approvazione del Ministro, essere affidato dai municipi, mediante indennità, ai Professori dei ginnasi,dei licei e degli istituti tecnici. Nello stesso modo il Ministro potrà affidare ai Professori delle Facoltà universitarie, dei licei, de’ginnasi, e delle scuole tecniche alcune parti dell’insegnamento negli istituti tecnici. Art. 294. Il regolamento per la esecuzione di questo titolo determinerà le condizioni particolari che dovranno richiedersi per essere ammessi ai concorsi delle scuole e degli istituti tecnici, come altresì le qualità di cui dovranno essere forniti i candidati alle reggenze, e gli altri insegnanti per i quali il concorso non è prescritto.

CAPO IV Degli Alunni e degli Uditori

Art. 295. Per essere ammessi come alunni nelle scuole tecniche conviene dar saggio delle cognizioni e dello sviluppo intellettuale che si acquista nelle scuole primarie del grado superiore, compresa la quarta classe elementare. Per essere ammessi allo stesso titolo in una delle sezioni degli istituti tecnici conviene dar saggio di possedere l’istruzione che si acquista nelle scuole tecniche. Art. 296.

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Non pertanto gli adolescenti e gli adulti, che chiederanno la facoltà di frequentare alcuno dei corsi che sono dati in questi stabilimenti, potranno esservi ammessi, osservando le regole che saranno prescritte in proposito, a titolo di uditori. Art. 297. Le norme da seguirsi nei diversi esami di ammissione, di promozione, e di licenza; le condizioni di ammissione per gli uditori, l’ordine delle esercitazioni e la disciplina da osservarsi, tanto nelle scuole quanto negli istituti tecnici, saranno determinate in via regolamentare. Art. 298. L’istruzione tecnica inferiore è gratuita. Negli istituti tecnici si pagheranno le tasse d’iscrizione e d’esami stabilite dalla Tabella II. In un regolamento particolare per tutti i servizi pubblici saranno determinati gli impieghi al concorso dei quali le licenze delle scuole e degli istituti tecnici potranno aprir l’adito. Art. 299. Per le pene disciplinari e per la loro applicazione si osserverà quanto è prescritto in ordine ai ginnasi ed ai licei.

CAPO V

Dell’Ispezione degli Stabilimenti tecnici e della loro direzione immediata Art. 300. L’ispezione sugli studi tecnici dei due gradi è esercitata subordinatamente al Ministro ed all’Ispettore generale di dette scuole dal Provveditore della Provincia. L’ispezione degli istituti tecnici è esercitata direttamente dall’Ispettore generale predetto. Art. 301. La loro direzione immediata per gli studi, e per la disciplina, è affidata per ogni scuola ad un Direttore, per ogni istituto ad un Preside, scelti e nominati, secondo quanto è prescritto in ordine ai Direttori ed ai Presidi degli analoghi stabilimenti di istruzione secondaria. Art. 302. Le attribuzioni di questi ufficiali relativamente agli insegnanti, agli alunni, agli uditori ed alle persone applicate al servizio, ed in ordine al materiale annesso ai rispettivi stabilimenti, formeranno l’oggetto di apposite disposizioni regolamentari. Art. 303. Le funzioni di Direttore e di Preside non saranno incompatibili con quelle dell’insegnamento negli stabilimenti cui sono preposti, purché essi vi abbiano la qualità di Professori titolari, o concorrano in loro i requisiti voluti per potervi essere chiamati in qualità di Professori reggenti. I loro stipendi saranno in ogni caso regolati secondo le nonne stabilite in ordine ai Direttori dei ginnasi ed ai Presidi dei licei.

CAPO VI Disposizioni particolari

Art. 304. Sarà in facoltà dei Comuni non compresi nelle categorie quelli in cui vogliono successivamente essere stabilite le scuole tecniche a norma di questa legge, di aprire a proprie spese stabilimenti in cui sia dato in tutto od in parte l’insegnamento tecnico del primo grado. Essi però non potranno usare di questa facoltà se non in quanto avranno soddisfatto agli obblighi che la legge loro impone relativamente allo stabilimento delle scuole primarie. Art. 305. Potranno parimente i Comuni od i consorzi comunali in generale aprire a proprie spese scuole in cui sian dati gli insegnamenti tecnici del secondo grado, ma no potranno usare di

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questa facoltà ove, non abbiano adempiuto gli obblighi che loro incombessero d’instituire le scuole tecniche od il Ginnasio. Art. 306. Gli stabilimenti di cui nei due articoli precedenti saranno sottoposti, riservato l’ordine delle Autorità da cui dipendono, allo stesso regime cui sono sottoposti gli analoghi stabilimenti comunali di istruzione secondaria.

CAPO VII

Disposizioni generali e transitorie Art. 307. Per tutto ciò che in ordine agli stabilimenti tecnici concerne: Le cause per cui le persone che vi sono addette all’insegnamento, alla direzione, o ad altri impieghi, incorrono nella sospensione o nella perdita del loro uffizio; L’istituzione delle Commissioni dinanzi alle quali devono aver luogo gli esami ed il conferimento dei relativi certificati, la durata dell’anno scolastico ed i giorni di vacanza; Gli istituti e gli stabilimenti cui agli articoli 244, 245, nei quali si dà in tutto od in parte l’istruzione tecnica; L’insegnamento privato e le guarentigie che vi si riferiscono; Si osserverà quanto è prescritto in proposito nel titolo III di questa legge. Art. 308. Le eccezioni che per l’indole propria della istruzione tecnica e pel maggior vantaggio delle classi cui è destinata, sarà opportuno o necessario di fare agli ordinamenti per cui il presente si riferisce alle disposizioni del precitato titolo III, saranno determinate con Regio Decreto. Art. 309. Il R. Istituto tecnico di Torino sarà convertito in scuola di applicazione per gli Ingegneri come all’art. 53, presso la quale rimarrà la scuola speciale per i misuratori od agrimensori istituita col R. Decreto 8 ottobre 1857. Art. 310. In Milano a spese dello Stato verrà eretto un R. Istituto tecnico superiore cui sarà unita una scuola d’applicazione per gli Ingegneri civili la cui indole e composizione sarà determinata con apposito R. Decreto. A questo istituto verrà pure annessa una scuola per i misuratori analoga a quella di Torino. Simili scuole pei misuratori verranno con spedali decreti istituite in altre città dello Stato. Art. 311. I Professori degli istituti tecnici superiori anzidetti avranno titolo, grado e stipendio di Professori universitari. Art. 312. Le Provincie che collo Stato dovranno concorrere nelle spese degli istituti in cui si dà il secondo grado d’istruzione tecnica, i termini di questo concorso, le Città in cui dovranno essere aperti ed il numero dei Professori titolari che vi dovranno essere addetti, saranno determinati per ciascun istituto con apposita legge. Art. 313. Le scuole tecniche si apriranno nel quinquennio che comincerà a decorrere dalla promulgazione di questa legge. Non pertanto la nomina dei Professori titolari che in coerenza dell’art. 287 possono essere addetti a ciascuna di queste scuole, non si farà se non se tre anni dopo l’apertura della medesima. Nel frattempo sarà provveduto ai diversi insegnamenti per mezzo di Professori reggenti. Art. 314.

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Continueranno ad essere impiegati regii con tutti i diritti annessi alla loro qualità gl’insegnanti, che or sono a carico dello Stato, e si trovano addetti alle scuole, che corrispondono a quelle instituite colla presente legge sotto il nome di scuole tecniche ed istituti tecnici. Essi però andranno soggetti alla disposizione dell’alinea dell’art. 268.

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3. Orari degli insegnamenti (1860)5

Specchio A Numero settimanale e durata delle lezioni per ciascuna materia

nelle Scuole tecniche

N° Delle lezioni

N° Delle ore

per ogni settimana

Anno primo Lingua italiana, geografia e storia Aritmetica Calligrafia Disegno d’ornato Ore N.° 25 per settimana.

5 5 5 5

10 5 5 5

Anno secondo Lingua italiana, storia e geografia Geometria piana e solida Disegno lineare e d’ornato Lingua francese Ore N.° 23½ per settimana.

4 4 2 5

6 5

2½ 10

Anno terzo Lingua italiana, storia e geografia, e nozioni sui doveri e diritti de’ cittadini Algebra e nozioni di meccanica Lingua francese Contabilità Disegno d’architettura Nozioni di scienze naturali e di fisico-chimica Ore N.° 24 per settimana.

3 5 3 3 3 4

4½ 5 3

4½ 3 4

Tabella B

5 R.D. 19\9\1860 n. 4315. Raccolta degli atti del Governo di Sua Maestà il Re di Sardegna, Torino, Stamperia Reale, vol. XXIX, 1860, pp. 1715-1718.

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Numero settimanale e durata delle lezioni per ciascuna materia negli Istituti tecnici

SEZIONE COMMERCIALE AMMINISTRATIVA

N° delle lezioni

N° delle ore

per ogni settimana

Anno primo Lettere italiane, storia e geografia Economia politica e storia dei commerci e delle industrie Lingua inglese od altra lingua viva Computisteria Disegno Ore N.° 27 ½ per settimana.

4 5 5 3 3

6

7½ 5

4½ 4½

Anno secondo Lettere italiane, storia e geografia Istituzioni di diritto amministrativo e di diritto commerciale Computisteria (1.° semestre) Lingua inglese od altra viva Nozioni sulle materie prime (2.° semestre) Disegno (1.° semestre lez. 2, nel 2.° lez. 5) Ore N.° 28 ½ per settimana.

4 5 3 5 1

2 o 5

6

7½ 3 5

1½ 5½

SEZIONE CHIMICA

Anno primo Lettere italiane, storia e geografia Fisica Chimica generale ed agricola Nozioni sulle materie prime(2.° semestre) Disegno (1.° semestre lez. 1, nel 2.° lez. 4) Ore N.° 24½ per settimana.

4 4 5 1

1 o 4

6 6

7½ 1½ 3½

Anno secondo Lettere italiane, storia e geografia Chimica tecnica Mineralogia e geologia (1.° semestre) Disegno Ore N.° 22 per settimana.

4 4 5 2

6 8 5 3

N° N°

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SEZIONE AGRONOMICA

delle lezioni

delle ore

per ogni settimana

Anno primo Lettere italiane, storia e geografia Chimica generale ed agricola Fisica Storia naturale Disegno Ore N.° 27 ½ per settimana.

4 5 4 5 2

6

7½ 6 5 3

Anno secondo Lettere italiane, storia e geografia Agronomia Elementi di agrimensura (1.° semestre) Computisteria agraria (2.° semestre) Disegno (1.° semestre lez. 3, nel 2.° semestre lez. 6) Ore N.°26 ½ per settimana.

4 5 3 3

3 o 6

6

7½ 3 3

6½

SEZIONE FISICO-MATEMATICA

Anno primo Lettere italiane, storia e geografia Fisica Matematica Disegno Ore N°.25 per settimana.

4 4 4 6

6 6 4 9

Anno secondo Lettere italiane, storia e geografia Matematica Lingua inglese od altra viva Chimica generale inorganica (1.° semestre) Disegno (1.° semestre lez. 2, 2.° semestre lez. 6) Ore N.° 28 ½ per settimana.

4 4 5 5

2 o 6

6 4 5

7½ 6

Anno terzo Meccanica Lingua inglese od altra viva Mineralogia e geologia (1.° semestre) Disegno di macchine dato dal Professore di meccanica Disegno Ore N.° 25 per settimana.

3 5 5 2 5

4½ 5 5 3

7½

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4. Programmi di matematica per le scuole tecniche e gli istituti tecnici (1860)6

SCUOLE TECNICHE

MATEMATICHE ELEMENTARI Primo Anno

Aritmetica Sistema volgare di numerazione orale e scritta – Le quattro prime operazioni dell’aritmetica sui numeri interi e loro prove – Numeri e frazioni decimali – Le quattro prime operazioni dell’aritmetica sui numeri decimali – Massimo comun divisore di due numeri – Frazioni ordinarie – Semplificazione delle frazioni ordinarie – Riduzione di più frazioni allo stesso denominatore – Riduzione delle frazioni ordinarie in decimali e viceversa – Pesi e misure – Sistema metrico antico – Sistema metrico decimale – Esposizione delle misure effettive usate in commercio – Dei numeri complessi – Riduzione dei numeri complessi alla forma di frazione ed e converso – Riduzione dei numeri complessi non decimali in decimali e viceversa – Le quattro prime operazioni sui numeri complessi (metodo delle frazioni ordinarie) – Conversione delle misure metriche decimali nelle antiche e viceversa – Uso delle tavole di riduzione – Regola del tre semplice e composta – Osservazione sui rapporti diretti ed inversi – Regola d’interesse e di sconto semplice – Regola di società o di partizione – Regola di alligazione – Regola di cambio – Principii della divisibilità dei numeri – Ricerca dei divisori primi di un numero intero – Ricerca di tutti i divisori di un numero intero – Ricerca del massimo comun divisore a più di due numeri dati – Riduzione di più frazioni al minimo denominatore comune – Conversione delle frazioni periodiche decimali in ordinarie.

Secondo anno

Geometria Prime nozioni e definizioni – Solido e corpo geometrico – Dimensioni dei corpi – Volumi – Superficie – Linee – Punti – Linea retta – Linee curve – Varietà infinita delle linee curve – Superficie piane – Superficie curve – Regoli – Verificazione dei regoli – Verificazione delle superficie piane. Posizioni particolari e rispettiva delle linee rette – Angolo e sue specie – Rette perpendicolari – oblique – Linea retta verticale – Retta orizzontale – Rette parallele – Proprietà degli angoli adiacenti formati da rette che s’intersecano; e proprietà degli angoli opposti al vertice – Tracciamento effettivo delle linee sulla carta, sul terreno pei bisogni delle arti. Figure piane – Figure rettilinee, curvilinee, mistilinee – Poligono e sue specie, cioè triangolo, quadrilatero, pentagono, esagono, ettagono, ottagono, ecc. – Poligono convessi Diagonali d’un poligono – Come si distinguono i triangoli rispetto ai lati, e come si distinguono rispetto agli angoli – Nomi particolari dati ai lati dei triangoli rettangoli – Come si distinguano i quadrilateri. Circolo – Definizione – Centro del Circolo – Circonferenza – Raggio e diametro – Corda – Secante – Tangente – Arco di circolo – Quadrante – Settore circolare – Segmento circolare – Saetta – Angolo al centro – Angolo inscritto – Angolo circoscritto – Poligono inscritto e circoscritto ad un circolo – Circolo inscritto e circoscritto ad un poligono – Circoli concentrici – Corona circolare – Lunota od unghia circolare – Circoli tangenti – Divisione della circonferenza del circolo, sessagesimale e centesimale – Tracciamento effettivo delle linee circolari.

6 Decreto Luogotenenziale 24\11\1860 n. 4464. Raccolta degli atti del Governo di Sua Maestà il Re di Sardegna, Torino, Stamperia Reale, vol. XXIX, 1860, pp. 3243- 3304.

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Eguaglianza dei triangoli e problemi relativi – Condizioni necessarie sufficienti perché due triangoli sieno uguali fra di loro – Modi diversi con cui si può formare un triangolo eguale ad triangolo dato – Costruzione di un triangolo equilatero, essendone dato il lato – Costruzione di un triangolo, essendone dati i tre lati – Come si divide un angolo in due parti eguali – Come si conduca una perpendicolare ad una retta data – 1°. Per un punto preso sulla retta – 2°. Per un punto preso fuori dalla retta – Come si formi sopra una retta data, in un punto dato, un angolo eguale ad un altro dato – Stromenti per tracciare linee perpendicolari sulla carta, sul terreno e pei bisogni delle arti – Verificazione di questi stromenti. Proprietà principali dei triangoli isosceli od equieruri – Angolo maggiore in qualsivoglia triangolo – Proprietà delle oblique e della perpendicolare tirate da uno stesso punto ad una retta. Rette parallele – Denominazione degli angoli formati da una retta che interseca due rette parallele fra di loro – Stabilire fra i detti angoli quali sieno eguali fra di loro, e quali sommati insieme due a due dieno per somma due angoli retti – Come si riconosca il parallelismo di due o più rette – Come si debba procedere per condurre ad un punto dato una parallela ad una retta data – Strumento detto parallela o parallele, per tracciare linee parallele sulla carta – Tracciamento delle linee parallele colla squadra – Applicazioni più usuali delle linee parallele. Valore della somma degli angoli di qualsivoglia triangolo – Relazione tra l’angolo esterno di un triangolo e li due angoli interni non adiacenti ad esso – Valore della somma dei due angoli acuti di qualunque triangolo rettangolo – Valore della somma di tutti gli angoli interni di un poligono convesso – Valore costante della somma di tutti gli angoli esterni di un poligono convesso che si ottengono prolungandone i lati nello stesso verso. Parallelogrammi – Proprietà principali del parallelogramma – Proprietà del rombo – costruzione di un parallelogramma essendone dati due lati contigui e l’angolo fra i medesimi – Costruzione di un rettangolo, dati i due lati – Costruzione del quadrato avendone il lato. Misura delle linee rette – Regoli divisi per le misurazioni – Modo pratico per procedere alla misura effettiva delle linee sul terreno e nelle applicazioni delle arti – Ricerca della misura comune di due rette e loro rapporto numerico. Principii fondamentali per la misura delle aree – Che cosa s’intenda per area di una figura – Quando le figure diconsi eguali, e quando equivalenti – Unità di misura delle aree – Rapporto di due parallelogrammi aventi egual base, ma altezza differente, ovvero altezza eguale e base diversa – Rapporto di due parallelogrammi che hanno basi ed altezze diverse – Rapporto di due triangoli qualunque – Rapporto di due triangoli aventi un angolo eguale. Misura delle aree delle figure rettilinee – Misura delle aree del rettangolo, del parallelogramma, del triangolo, del trapezio – Misura dell’area d’un poligono qualunque – Misura approssimativa di una figura terminata in parte da linee rette ed in parte da linee curve, ovvero anche da tutte linee curve – Cenni pratici sull’Agrimensura ed in generale sui metodi di misurazione delle aree sul terreno e nelle applicazioni delle arti. Figure equivalenti – Equivalenza del quadrato fatto sulla somma di due rette – Equivalenza del quadrato fatto sulla differenza di due rette – Equivalenza del quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo alla somma dei quadrati costruiti sopra i due cateti – Modo di trovare il valore dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo quando se ne conoscono i due cateti – ricerca del valore di uno dei cateti di un triangolo rettangolo quando si conoscono l’ipotenusa e l’altro cateto – Rapporto della diagonale al lato del quadrato – Applicazioni delle proprietà del triangolo rettangolo alla soluzione di quesiti pratici, siccome della misura di distanze in tutto od in parte inaccessibili, servendosi della squadra per istabilire o fissare angoli retti e semiretti – Costruzione di un parallelogramma equivalente ad un triangolo dato – Trasformazione d’un poligono dato in un altro equivalente che abbia un lato di meno – Riduzione di un poligono qualunque ad un triangolo equivalente – Costruzione di un quadrato equivalente alla somma od alla differenza di due quadrati dati – Costruzione d’un quadrato equivalente alla metà d’un quadrato dato.

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Triangoli simili – Condizioni necessarie sufficienti perché due triangoli siano simili – Sopra una retta data costruire un triangolo simili ad un triangolo dato – Proprietà principali dei due triangoli in cui viene diviso un triangolo rettangolo dalla perpendicolare calata sull’ipotenusa dal vertice dell’angolo retto – Ragione delle aree di due triangoli simili. Poligoni simili – Come i poligoni simili vengano divisi da diagonali omologhe in egual numero di triangoli simili e similmente disposti – Sopra una retta data costruire un poligono simile ad n poligono dato – Ragione dei perimetri e delle aree dei poligoni simili – Rette proporzionali – Ricerca di una quarta proporzionale a tre rette date – Divisione geometrica di una retta in parti uguali, ovvero in parti proporzionali a numeri dati, o nella stessa ragione in cui è divisa un'altra retta – Scale geometriche e loro costruzione – Scale ticoniche - Uso delle scale nella formazione dei piani. Misura degli angoli – Misura di un angolo qualunque misura di qualsivoglia angolo inscritto in un circolo – Misura di un angolo compreso fra una tangente ed una corda – Misura degli angoli che hanno il vertice tra il centro e la periferia – Misura di un angolo compreso fra due secanti che si taglino fuori del circolo – Riportatori grafici – Cenni sugli stromenti angolari di uso più ordinario – Importanza delle misure angolari nella levata dei piani, delle coste, ecc. Questioni relative alla linea retta ed alla circonferenza di circolo – Proprietà della tangente ad un circolo – Condurre una tangente ad un punto dato di una circonferenza di circolo – Condurre una tangente ad un circolo da un dato punto esterno – Riconoscere di due corde condotte in un circolo quale sia la più lunga – Descrivere un segmento di circolo capace di un angolo dato – Trovare la media proporzionale tra due rette date – Relazione che passa fra le parti di due corde che s’intersecano – relazione che passa fra le intere secanti condotte per uno stesso punto esterno ed i loro segmenti esterni – Relazione che passa fra la tangente e la secante condotte ad un circolo per uno stesso punto esterno – Per tre punti far passare una circonferenza di circolo – Trovare il centro di un arco circolare. Poligoni inscritti e circoscritti al circolo – Inscrivere un circolo in un triangolo dato – Circoscrivere un circolo ad un triangolo dato – Quali sono i poligoni che diconsi regolari – Modi per inscrivere e per circoscrivere un circolo ad un poligono regolare – Poligoni regolari che la geometria elementare insegna ad inscrivere od a circoscrivere ad un circolo dato – Regole per inscrivere o circoscrivere ad un circolo il quadrato, il triangolo equilatero, l’esagono regolare, il decagono regolare, il pentagono regolare ed il pentadecagono regolare – Uso delle figure regolari nelle arti. Misura dei poligoni regolari e del circolo – Misura dell’area di un poligono regolare – Rapporto dei perimetri e delle aree dei poligono regolari dello stesso numero di lati – Rapporto delle circonferenze di due circoli – Rapporto delle aree di due circoli – Rapporto costante della circonferenza al diametro di qualunque circolo – Misura dell’area del circolo – Formola relativa – Ricerca della lunghezza di un arco di un dato numero di gradi, minuti e secondi, in un circolo di raggio dato; e per converso ricerca del numero di gradi, minuti e secondi contenuti in un arco di lunghezza data – Misura dell’area del settore circolare, della corona circolare e del segmento circolare. Nozioni di geometria nello spazio – Definizioni – Piani e rette nello spazio – Definizione d’una retta perpendicolare ad un piano; parallela ad un piano – Angolo di una retta con un piano – Angolo diedro colla sua misura – Angolo solido – Specie diverse di angoli solidi – Poliedro – Specie diverse di poliedri – Prisma – Parallelepipedo – Cubo – Diagonale di un poliedro – Piramide – Piramidi regolari – Tronchi di piramidi – Tronche di prisma – Corpi rotondi – Cilindro – Cono – Sfera – Settore sferico – Segmento sferico – Spicchio sferico. Misura della superficie dei poliedri, del cilindro, del cono, del tronco di cono; della sfera, della calotta sferica, e del fuso sferico. Misura dei volumi – Misura del parallelepipedo, del prisma, d’una piramide, d’un tronco di prisma, di un tronco di piramide, del cilindro, del cono, del tronco di cono, della sfera, dei

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settori e segmenti sferici, e dello spicchio sferico – Applicazioni le più usuali e semplici della stereometria pratica. Terzo anno

Algebra PARTE PRIMA Differenza fra l’algebra e l’aritmetica – Addizione – Sottrazione e moltiplicazione algebrica – Divisione algebrica di un monomio o polinomio per un monomio – Semplificazione delle frazioni algebriche, e riduzione di un intero in frazione – Le quattro operazioni sulle frazioni algebriche – Riduzione delle formole algebriche in numeri – Formazioni delle potenze ed estrazione delle radici dei monomi algebrici – Formola algebrica del quadrato e del cubo di un binomio; sua applicazione al quadrato ed al cubo di un numero composto di decine ed unità – Risoluzione delle equazioni 1.° grado, e di secondo grado, ma pure, ad una sola incognita. PARTE SECONDA Potenze e radici dei numeri – Estrazioni delle radici quadrate e cubiche dei numeri interi – Estrazioni delle radici quadrate e cubiche delle quantità frazionarie – Estrazione delle radici per approssimazione – Studio compito delle proprietà delle proporzioni – Esercizi diversi sulle regole del tre, semplice e composta – Uso dei corrispondenti metodi speditivi – Esercizi sulle regole di società a tempi eguali; a tempi ineguali; a patti proporzionali. Esercizi sulla regola d’alligazione. Esercizi sulla regola di cambio.

ISTITUTI TECNICI

MATEMATICA PURA ED APPLICATA Anno Primo

Geometria solida Piani e linee considerate nello spazio. Definizioni – Rette perpendicolari e parallele ai piani – piani perpendicolari e paralleli fra loro – angolo diedro – angolo triedro; angolo solido – Teoremi relativi. Poliedri. Definizioni – Uguaglianza di due primi e di due piramidi a base triangolare – Poliedri e piramidi simili – Teoremi relativi ai poliedri simili – Superficie dei poliedri – Volume dei poliedri. Corpi rotondi. Definizioni – Superficie del cilindro, del cono, della sfera, del tronco di cono a basi parallele, della calotta sferica, zona sferica e fiso sferico – Volume del cilindro, del cono, del tronco di cono a basi parallele, della sfera – del settore sferico – Superficie e volume di un solido generato dalla rivoluzione d’un semi poligono o anche poligono intero regolare.

Algebra e Logaritmi Risoluzione delle equazioni di 1.° grado ad una o più incognite; delle equazioni di 2.° grado pure, ed anco delle complete. – Proprietà delle radici d’un equazione di 2.° grado. Progressioni per differenza e per quoziente. Equazioni esponenziali – Risoluzione delle equazioni esponenziali della forma ax = b – Ricerca dei logaritmi dei numeri e loro proprietà – Formazione delle tavole dei logaritmi e loro uso – Applicazioni dei logaritmi alle risoluzioni delle equazioni esponenziali e dalle regole d’interesse semplice e composto, ed alle annualità. Descrizione ed uso dei regoli a calcolo.

Trigonometria rettilinea

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Oggetto della trigonometria – Definizioni delle linee trigonometriche e loro reciproche relazioni. – Espressione d’una linea trigonometrica per mezza d’un’altra o di altra – Rapporto fra le linee trigonometriche in un circolo di raggio qualunque, e quelle nel circolo di raggio uguale all’unità. Formole colle quali si trova il seno, il coseno, e la tangente della somma o della differenza di due archi, conosciuti li seni, li coseni e le tangenti degli archi semplici. Formole del seno, coseno, e della tangente della metà d’un arco, in funzione del seno, e coseno dell’arco. Ricerca delle linee trigonometriche d’un arco dato – Formazione delle tavole trigonometriche e loro uso. Risoluzione d’un triangolo rettangolo e formola relativa – Teoremi e formole relative alla risoluzione d’un triangolo qualunque. Area del triangolo: sua determinazione.

Anno Secondo

Geometria pratica Oggetto della geometria pratica. – Modo di rappresentare una porzione della superficie terrestre

– Scale dei piani – Classificazione dei piani secondo le loro scale. – Reti topografiche. Misure lineari e squadra agrimensoria. – Allineamenti sul terreno – Misure eseguite colla canna metrica e colla catena metrica – Problemi relativi alla levata dei piani risoluti mercè misure lineari – Misura di distanze, tutte od in parte inaccessibili, mercè misure lineari, e levata d’un piano e della pianta dei fabbricati – Uso della squadra agrimensoria nella levata dei piani, e risoluzione colla medesima dei principali problemi relativi alla levata dei piani ed alla misura delle distanze inaccessibili. Misura delle aree dei terreni, e problemi varii relativi alla divisione dei medesimi. Nonii o vernieri rettilinei e circolari. Descrizione ed uso degli stromenti angolari più comuni, ossia della squadra graduata, della bussola, del grafometro, e del circolo ripetitore – Levata dei piani cogli strumenti angolari – Misura di distanze, tutte od in parte inaccessibili. Descrizione ed uso della tavoletta pretoriana – Levata dei piani colla tavoletta – Costruzione ed uso della stadia per la misura delle distanze. Misura di altezze, il cui piede sia accessibile od inaccessibile, cogli strumenti lineari od angolari. Livellazione. – Descrizione ed uso del livello a tubi comunicanti, e del livello a bolla d’aria e cannocchiale; biffe. – Modo di procedere nella livellazione – Come si formino i profili delle livellazioni. Oggetto della stereometria – Misure dei materiali più usitati nelle arti e nelle costruzioni – Misura dei muri delle fabbriche con vani e senza vani – Misura pratica della volte più comuni, e degli scavi e monticelli, sterri ed interri occorrenti nei lavori di terra più ordinari.

Geometria descrittiva Oggetto della geometria descrittiva. – Modo di rappresentare i punti e le linee con due proiezioni ortogonali – Piani di proiezione – Traccie d’una retta – Ricerca delle traccie d’una retta, date le proiezioni della medesima – Trovare la distanza fra due punti dati – Per un punto dato condurre una retta parallela ad una retta data – Rappresentazione d’un piano – Per un punto dato condurre un piano parallelo ad un piano dato – Segnare le traccie d’un piano, che passi per tre punti dati – trovare l’intersezione di due piani dati – Trovare se una retta od un punto dato giaccia sopra un piano dato – Trovare l’intersezione d’una retta con un piano – Condurre per un punto dato una retta perpendicolare ad un piano dato – Trovare la distanza d’un punto ad un piano – Ricerca degli angoli che un piano dato fa coi due piani di proiezione, e degli angoli che

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due piani dati fanno tra loro – Trovare l’angolo che una retta fa coi piani di proiezione, e che due rette dare fanno tra di loro. Rappresentazioni d’un parallelepipedo, d’una piramide, d’un poliedro qualunque rispondente a condizioni assegnate. Rappresentazioni d’un cilindro retto, d’un cono retto, d’un cilindro obliquo, e d’un cono obliquo, e d’una superficie di rivoluzione il cui asse sia perpendicolare ad uno dei piani di proiezione. Definizioni e proprietà principali dei piani tangenti ad una superficie. – Condurre un piano tangente ad una superficie cilindrica o conica per un punto dato sulla superficie stessa, o per un punto posto fuori della medesima. – Condurre un piano tangente ad una superficie di rivoluzione il cui asse sia perpendicolare ad uno dei piani di proiezione, per un punto dato sulla superficie stessa. – Intersezione d’un piano con un cilindro retto e con cono retto. – Trasportamento delle sezioni fatte nel cilindro retto o nel cono retto sopra uno dei piani di proiezione – Sviluppo del cilindro e del cono, e trasformata delle sezioni fatte nei medesimi da un piano. Costruzioni grafiche dell’ellisse, della iperbole, e della parabola: loro principali proprietà. Rappresentazione d’un’elica colla tangente in un punto dato alla medesima – Rappresentazione della cicloide, e delle epicicloidi piane. Applicazioni della geometria descrittiva al tracciamento delle ombre, nell’ipotesi dei raggi luminosi paralleli e diretti secondo linee inclinate di 45° sui due piani di proiezioni. 5. Istruzioni per l’insegnamento delle matematiche nelle scuole tecniche

(1867)7 Il fine dell’insegnamento delle matematiche nelle scuole tecniche è quello di fornire ai giovanetti in tempo assai ristretto la maggior somma possibile di cognizioni utili per le applicazioni nelle arti e nei mestieri. Nell’aritmetica è d’uopo che gli scolari acquistino facilità e sicurezza in ogni sorta di conteggio nella interpretazione delle forme algebriche, cioè nella intelligenza delle operazioni che vi sono indicate e nella conseguente traduzione della formola in numeri. In particolar modo l’insegnante insisterà nel far ben comprendere i concetti di rapporti e di proporzionalità diretta ed inversa, acciocché gli scolari posseggano un criterio certo per giudicare i casi in cui è applicabile la regola del tre. Quanto alle regole pratiche del conteggio non occorre che siano rigorosamente dimostrate. Se il maestro crede che le ragioni teoriche possano essere intese da tutti o dalla maggior parte, le esponga: in caso contrario se ne astenga, e si restringa a dichiarare la regola, accompagnandola con numerosi e svariati esercizi. Nel terzo anno si eserciteranno gli scolari a risolvere problemi numerici relativi a questioni di geometria, mirando principalmente ad applicare il calcolo decimale, la regola del tre ed il sistema metrico. Nella geometria, mediante il metodo grafico-intuitivo, il docente potrà dare semplici dimostrazioni del maggior numero delle proposizioni richieste dalle indicazioni. Questo insegnamento dovrà essere accompagnato da un continuo esercizio di disegno lineare geometrico: cioè il maestro farà sì che gli scolari disegnino sulla carta con precisione le figure che egli delinea sulla tavola, e li abituerà a seguire sul disegno i ragionamenti che egli stima

7Supplemento alla Gazzetta Ufficiale del Regno d'Italia, Firenze, 24 Ottobre 1867. Alessandro Janovitz,

Insegnamenti matematici a Mantova nella seconda metà dell’Ottocento, (cd prodotto dall’autore).

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opportuno di fare. I quali ragionamenti del resto si ridurranno a ricavare dalla figura disegnata la prova intuitiva delle proprietà che le competono. Per tal modo la costruzione insegnata per la soluzione di un problema (come sarebbe quello di condurre la perpendicolare ad una retta da un punto dato fuori di essa) può condurre intuitivamente allo scoprimento di altre verità (luogo dei punti equidistanti da due date, proprietà del triangolo isoscele, ecc.). Non importa che la via battuta per dimostrare una proposizione sia rigorosamente scientifica: importa bensì che gli scolari acquistino la cognizione di quella proposizione e la persuasione della sua verità. La proporzionalità degli angoli agli archi; i rapporti fra le superficie di due rettangoli; la proporzionalità dei segmenti fatti su due lati di un triangolo da una retta parallela al terzo; la somiglianza dei triangoli e dei poligoni; i rapporti fra le loro aree, sono tutte proposizioni che si riducono col disegno ad evidenza quasi materiale, purché il docente si restringa, come conviene, alla considerazione di rapporti commensurabili. Del teorema di Pitagora e di altre proposizioni analoghe si conoscono dimostrazioni intuitive: il docente le preferirà a quelle che si usano nell’insegnamento razionale della geometria. Vi sono poi nel programma alcune parti (per esempio, le misure relative al circolo, ai poliedri, ai corpi rotondi), dove né è possibile seguire il metodo intuitivo, né l’età e la coltura degli alunni consentono un procedimento rigoroso. Ivi basterà che questi apprendano 1’enunciamento delle regole pratiche e le sappiano applicare speditamente. Per ultimo si raccomanda al docente di aver sempre speciale riguardo all’utilità pratica delle cognizioni che vuole impartire: non lasci mai suoi scolari inoperosi, ma sempre li tenga occupati o nelle operazioni grafiche o nei calcoli numerici; e non trascuri di far loro conoscere metodi speciali di abbreviazione, gli stromenti ed i ripieghi dei quali si fa effettivo uso sul terreno, o nelle operazioni delle arti e dei mestieri. PROGRAMMI DI MATEMATICHE PER LE VARIE CLASSI DELLE SCUOLE TECNICHE Anno I

Aritmetica Le quattro prime operazioni sui numeri interi e decimali. Significato d’una frazione ordinaria – Frazione pura, apparente, impura o mista – Riduzione d’un numero composto in numero frazionario e riduzione reciproca – Trasformazione di una frazione in altre equivalenti – Riduzione di più frazioni allo stesso denominatore. Le prime quattro operazioni sui numeri frazionari e sui numeri composti, riducendoli prima a numeri frazionari. Sistema metrico vigente nel luogo prima dell’attuale – Sistema metrico decimale – Conversione delle unità di una specie nelle altre unità della medesima specie – Uso delle tavole di riduzione delle misure antiche nelle attuali applicazioni. Rapporto – Proporzionalità diretta ed inversa – Regola del tre semplice e composta col metodo di riduzione all’unità – Applicazione alle regole di cambio e di società. Anno II

Geometria Prime nozioni e definizioni relative alle figure geometriche – Linea retta – Superficie piane – Verificazione dei regoli e delle superficie piane. Rette perpendicolari ed oblique – Angoli adiacenti – Angoli opposti al vertice. Rette parallele – Angoli con i lati paralleli – Angoli con i lati perpendicolari. Definizioni relative al circolo – Eguaglianza degli angoli corrispondenti ad archi eguali in due circoli del medesimo raggio – Misura degli angoli – Divisione sessagesimale della circonferenza – Riportatori grafici – Costruzione di angoli uguali ad angoli dati.

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Costruzione di triangoli con elementi dati – Condizioni per l’eguaglianza di due triangoli – Proprietà del triangolo isoscele – Costruzione di perpendicolari e parallele – Bisezione di rette e di angoli – Punti equidistanti da due punti dati o da due rette date – Strumenti per tracciare linee perpendicolari e parallele sulla carta, sul terreno, ecc.; loro verificazione. Somma degli angoli d’un triangolo – Angolo esterno – Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono convesso. Costruzione di parallelogrammi, rettangoli, rombi, quadrati – Loro proprietà elementari. Equivalenza delle figure – Trasformazione di parallelogrammi, triangoli, trapezi, in un rettangolo – Rapporto fra due rettangoli – Area del rettangolo e delle figure piane rettilinee – Area delle figure piane mistilinee e curvilinee per approssimazione. Regoli divisi – Misura delle rette e delle aree sul terreno e nelle applicazioni alle arti – Regole pratiche per calcolare l’area del cerchio e la lunghezza della circonferenza – Area d’un settore circolare. Lunghezza d’un’area corrispondente ad un angolo dato. Teorema di Pitagora – Sue applicazioni. Proprietà delle corde di un circolo – Costruzione della tangente in un punto dato sulla circonferenza. Centro del circolo a cui appartiene un arco dato – Costruzione del circolo che passa per tre punti dati o tocca tre rette date – Eguaglianza degli archi compresi fra rette parallele. Misura dell'’angolo compreso da due rette che si tagliano sulla circonferenza, dentro e fuori del circolo. Costruzione del triangolo rettangolo con elementi dati – Costruzione delle tangenti che passano per un punto dato fuori del circolo. Segmenti fatti sui lati d’un triangolo da una retta parallela al terzo lato – Similitudine dei triangoli – Costruzione di poligoni simili e similmente posti – Rapporto fra le aree dei triangoli e dei poligoni simili. Costruzione della quarta e della media proporzionale – Divisione di una retta in parti eguali e in parti di rapporti dati – Scala ticonica. Definizioni di rette perpendicolari e parallele ad un piano – Angolo d’una retta con un piano – Angolo diedro – Come si misura. Angolo poliedro. Definizioni delle principali specie di poliedri e dei tre corpi rotondi. Regole pratiche per calcolare la superficie ed i volumi del parallelepipedo retto, del prisma retto, della piramide, del cilindro, del cono e della sfera. Anno III

Aritmetica e calcolo letterale Potenze – Calcolo degli esponenti. Numeri primi – Formazione di una tavola di numeri primi – Criteri di divisibilità dei numeri interi – Scomposizione di un numero intero nei suoi fattori primi – Ricerca di tutti i divisori di un numero – Ricerca del minimo multiplo e del massimo divisore comune a più numeri dati – Applicazioni alla riduzione delle frazioni al minimo denominatore comune. Ricerca del medesimo comun denominatore col metodo dei residui. Conversione d’una frazione ordinaria in frazione decimale – Caso in cui questa è finita – Casi in cui è periodica – Conversione d’una frazione decimale finita o periodica in frazione ordinaria. Radice quadrata e cubica dei numeri interi e decimali con una data approssimazione. Le quattro prime operazioni del calcolo letterale – Riduzione delle formole algebriche a numeri – Risoluzione delle equazioni pure di primo e di secondo grado ad una incognita.

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6. Ordinamento degli istituti tecnici (1871)8

MATEMATICHE ELEMENTARI E GEOMETRIA DESCRITTIVA

Coll’insegnamento delle Matematiche elementari si vogliono conseguire due fini distinti, entrambi di somma importanza. L’uno è che i giovani acquistino un buon corredo di cognizioni reali, suscettive di utili e non remote applicazioni; e le acquistino in modo da potersene poi giovare con franchezza nei successivi studi, e nell’esercizio delle professioni. L’altro fine, comune egualmente alle scuole classiche, è di rafforzare la facoltà del ragionamento. Per conseguir questo è d’uopo che i metodi d’esposizione siano in ogni parte rigorosamente esatti, e che mai non si anteponga alla severità del ragionamento scientifico il pregio apparente di una illusoria facilità. La scienza moderna anche nell’insegnamento delle matematiche ha fatto grandi progressi; i nuovi metodi ormai hanno trasformato tutte le teoriche più importanti, rendendole più semplici, più generali, più intimamente fra loro connesse e meglio pieghevoli alle pratiche applicazioni. Rispetto poi all’Aritmetica generale, all’Algebra ed alla Trigonometria, la scienza moderna ci ha recato un altro beneficio coll’introduzione di quei procedimenti rigorosi, la necessità dei quali non era prima sentita abbastanza. Nella trattazione delle Matematiche elementari erano gravi mancanze e inconvenienti; valgano d’esempio i numeri incommensurabili, gli esponenti negativi e i fratti, le formole goniometriche; da definizioni particolari si tiravano conseguenze troppo larghe, sorpassando tacitamente quelle considerazioni che ora si sono riconosciute indispensabili per estendere il significato dei simboli delle operazioni: e mentre da una parte si credeva indispensabile dimostrare ciò che era una pura convenzione, dall’altra si trascorreva ad ammettere, come vere in generale, proposizioni non dimostrate che in casi particolarissimi. La scienza attuale, mettendo in rilievo questi difetti, insegnò la vera via da tenersi fin dalle prime definizioni e dalle nozioni fondamentali; così che l’edificio è ora piantato su basi solide ed inconcusse. La Geometria non aveva inconvenienti di tal fatta; essa è stata sin dai tempi più remoti un insuperato modello di rigoroso ragionamento. I moderni hanno dato opera ad allargare il campo della sua efficacia, creando nuove teorie, atte come le antiche ad entrare in un sistema d’istruzione elementare, e notabili, oltre a ciò, per molteplici e nuove applicazioni. Infatti, mentre in ogni tempo la sintesi della greca geometria fu ammirata per la severa purezza delle sue dimostrazioni, si poteva però rimproverarle che nel risolvere i problemi non corresse veloce come l’analisi algebrica; e che la soluzione d’un problema per via geometrica richiedesse quasi una fortuita divinazione, da essere un privilegio degli ingegni più felici e delle menti più esercitate. La Geometria moderna possiede appunto quei metodi diretti e generali, per la mancanza dei quali la sintesi geometrica sembrava condannata all’immobilità e all’impotenza. La nuova dottrina della proiettività delle forme geometriche somministra costruzioni grafiche per isciogliere in modo uniforme i problemi del 1.° e 2.° grado,9 le quali sono tanto semplici e tanto facili ad apprendersi e ad usarsi, che potrebbero essere paragonate alle regole del conteggio aritmetico. In particolare ne ha guadagnato la teoria delle curve e delle superficie di 2.° grado; le cui costruzioni, abbracciando tutti i casi possibili con processo uniforme e fondandosi su pochissimi principî, hanno portato notabile avanzamento nel disegno geometrico e nella geometria descrittiva. I professori degl’Istituti tecnici vorranno adunque ritemperare i loro corsi di Matematiche

8 Ministero d’Agricoltura, Industria e Commercio, Ordinamento degli Istituti tecnici, Ottobre 1871, Firenze, Tip. Claudiana, 1871, pp. 52-63. Alessandro Janovitz, Insegnamenti matematici a Mantova nella seconda metà dell’Ottocento, (cd prodotto dall’autore). 9 Anche de’ gradi superiori, ma allora si esce dal campo della geometria elementare.

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elementari e di Geometria descrittiva alle vive fonti della scienza moderna; la quale possiede non solo teorie nuove, ma eziandio metodi nuovi, più semplici o più esatti, per dimostrare le teorie antiche. Quanto si metodi, è desiderabile che in tutte le scuole siano riformati ogni qualvolta fa d’uopo o riempire lacune o togliere inconvenienti; ma quanto all’introduzione di nuove teorie, gioverà esaminare dapprima qual sia il posto da assegnarsi ad esse. I quattro anni dell’istruzione matematica debbono dividersi in tre periodi: il 1.° periodo, compreso nel primo biennio, durante il quale l’insegnamento è comune a tutte le Sezioni dell’Istituto; il 2.° periodo, compreso nel 3.° anno, in cui sono ancora riunite la Sezione Fisico-matematica e l’Industriale; il 3.° periodo, compreso nel 4.° anno che, per la Geometria descrittiva, è ancora comune alle predette due Sezioni, ma per le Matematiche elementari è proprio della Sezione Fisicomatematica. Nel 1° periodo l’insegnamento sia assai piano e sobrio, e, serbandosi sempre esatto, si diriga di preferenza alle più pronte e più utili applicazioni. Si adottino i nuovi metodi, in quanto rendono rigorosa la trattazione o accorciano le vie; ma la materia dovrà all’incirca essere contenuta dentro ai soliti confini tradizionali, per non sopraccaricare indebitamente quegli allievi che, dopo il primo biennio, non avranno più a fare studi di matematiche pure. La parte analitica del corso, incominciando dalle prime operazioni dell’Aritmetica generale, abbraccerà le equazioni di 2.° grado, le progressioni, i logaritmi colle loro applicazioni. Da ultimo si darà un cenno dei principî dell’analisi combinatoria e del calcolo elementare delle probabilità, e si esporranno le cose più essenziali della teoria delle approssimazioni numeriche. La parte geometrica piglierà pur essa le mosse dalle prime nozioni, comprenderà la moltiplicazione grafica delle linee rette, la trasformazione delle aree piane e la loro riduzione ad una base data; e si chiuderà col determinare la misura della superficie e della solidità dei tre corpi rotondi. Nel 2.° periodo l’insegnamento si verrà elevando, senza trascurare le applicazioni. L’Algebra abbraccerà i principî dell’analisi algebrica, la teoria generale degli esponenti, i numeri complessi e la risoluzione approssimata delle equazioni numeriche. Nella Geometria si esporranno: la teoria della proiettività delle forme geometriche, colle sue applicazioni alla risoluzione grafica dei problemi di 1.° e 2.° grado ed alla costruzione delle curve di 2.° ordine, considerate come proiezioni centrali del circolo; alcune proposizioni complementari di stereometria (sulla misura di corpi solidi), e la determinazione grafica dei baricentri delle figure piane. A tutto ciò si aggiungerà la Trigonometria piana. Nel 3.° periodo si compirà l’analisi combinatoria, applicandola allo sviluppo delle potenze intere e positive dei polinomi, alla somma delle potenze simili dei termini d’una progressione, ecc. Seguiranno: i principi della teoria dei determinanti coll’applicazione alla risoluzione di un sistema di equazioni lineari; i principî sulle serie infinite; le frazioni continue; lo studio speciale di alcune equazioni (equazioni binomie, equazioni di 3.° e 4.° grado). In Geometria si spiegheranno: le proprietà focali delle curve di 2.° ordine; le proprietà proiettive dei coni di 2.° grado e delle figure sulla sfera; i principi della Geometria analitica, fondati sulla determinazione metrica (mediante i rapporti anarmonici) delle forme proiettive. Si stabiliranno in tutta la loro generalità le formole della Goniometria; la Trigonometria sferica; e da ultimo le formole fondamentali della Poligonometria. La Geometria descrittiva, alla quale è assegnato un biennio (3.° e 4.° anno), può giovarsi, più di qualunque altro ramo delle scienze matematiche, delle teorie della moderna Geometria. Infatti, i diversi metodi, che la Geometria descrittiva impiega per la rappresentazione grafica dei corpi, delle superficie e delle linee e per la soluzione dei problemi ad esse relativi, non sono che casi particolari della collineazione o corrispondenza omografica fra due sistemi piani o fra due sistemi solidi. Perciò il professore, pigliando le mosse dalla proiezione centrale (come metodo di rappresentazione) e dalle proprietà proiettive delle figure, esporrà la teoria della collineazione di due sistemi piani, la costruzione di una figura collineare ad una data, e i casi speciali dell’affinità e della similitudine; si addentrerà maggiormente in ciò che riguarda l’omologia, e ne trarrà le regole che servono pel disegno di

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prospettiva. Durante l’intero corso, ma più particolarmente per questa introduzione, cerchi il professore di Geometria descrittiva di accordarsi con quello che insegna le Matematiche elementari, così che l’uno si giovi di ciò che l’altro avrà già trattato; giacché entrambi dovranno nella medesima classe occuparsi della proiettività delle forme geometriche. Applicherà poi i principi della prospettiva alla soluzione dei problemi elementari sui punti, sulle rette e sui piani nello spazio. Di poi, passando al caso particolare delle proiezioni parallele, insegnerà il metodo ordinario delle proiezioni ortogonali e quello del disegno axonometrico, e applicherà l’uno e l’altro agli stessi problemi elementari suaccennati. Sul metodo delle projezioni ortogonali insisterà maggiormente che sugli altri, e in seguito ne farà il soggetto abituale delle esercitazioni degli scolari; affinché questi comprendano tutti i metodi come casi particolari di uno solo, ma riconoscano che di quello delle proiezioni ortogonali dovranno in pratica fare uso più frequente. Riprenderà poi lo studio della proiettività delle forme geometriche, trattando della collineazione e della reciprocità fra due stelle (due figure, ciascuna delle quali sia il sistema di tutte le rette e dei piani uscenti da un punto fisso); e inoltre della collineazione, dell’affinità e dell’omologia fra due sistemi a tre dimensioni. Di qui ricaverà i principi della prospettiva in rilievo. Di queste premesse teoriche potrà agevolmente fare applicazione alla costruzione dei piani tangenti, delle sezioni piane e dei contorni delle ombre dei coni e dei cilindri; delle superficie gobbe di 2.° grado, generate mediante due fasci proiettivi di piani; e delle superficie di 2.° grado in generale, che si possono ottenere dall’incontro degli elementi corrispondenti di due stelle reciproche. L’ultima parte del corso sarà dedicata alla costruzione dei piani tangenti, delle sezioni piane e de’contorni delle ombre delle superficie di rotazione, ed alle intersezioni di due superficie coniche o di due superficie di 2.° grado; e, ove avanzi tempo, si potrà dare un cenno delle eliche cilindriche, dell’elicoide sviluppabile e dell’elicoide gobbo a piano direttore. Il programma, che sussegue a questa istruzione, non fa che accennare i titoli dei principali argomenti. Al professore è lasciata libertà di svolgerli con quell’ordine e con quell’ampiezza ch’egli giudicherà più conveniente. Non occorre che nella trattazione delle singole teorie scenda ai più minuti particolari, bastando l’esposizione delle proposizioni cardinali, che sono sempre poche di numero; dagli esercizi numerici o grafici, che dovranno essere frequentissimi in ogni parte dell’insegnamento, egli dovrà trarre occasione per dare il necessario svolgimento ai principi stabiliti nelle lezioni teoriche. È pur dannoso il sistema di spiegare disgregatamente le varie teorie, a cui alcuni si tengono volontariamente legati, sicché non pongono mano all’una, prima di avere esaurito l’altra a fondo. L’importante è che ogni nuova verità si stabilisca su basi sicure; del resto avverrà spesso che una proposizione d’una teoria serbata ad altro tempo, ove sia opportunamente anticipata, riesca preziosa per accorciare e semplificare la trattazione d’altri argomenti, che senza di ciò riuscirebbe intricata e fors’anco oscura. Ce ne porge esempio la Geometria solida, la quale sovente serve a dare soluzioni rapidissime o dimostrazioni intuitive di proposizioni piane, troppo difficili pei metodi della pura planimetria. Il ricorrere allo spazio di tre dimensioni, anche nelle questioni di Geometria piana, è uno dei più efficaci e semplici artifici d’investigazione geometrica non ignoto neppure agli antichi, e contribuisce ad abituare di buon’ora gli scolari a vedere cogli occhi della mente le forme geometriche nello spazio ideale. È superfluo avvertire che anche l’Algebra e la Geometria non devono andar troppo disgiunte; anzi converrà insegnarle contemporaneamente in modo che si prestino vicendevole aiuto, e la varietà della materia contribuisca a tener desta l’attenzione e la curiosità degli scolari. Se al professore parrà che gli argomenti accennati nel Programma, non bastino ad occupare tutto l’orario, gli è data facoltà di trattarne a sua scelta alcun altro, che abbia connessione con quelli già sviluppati e si conformi al carattere della scuola. Sarà bene che di tale suo proposito faccia cenno nel Programma particolareggiato, che presenterà al principio di ciascun anno scolastico. Ma l’efficacia di questi insegnamenti non tanto dipende dalle lezioni orali, quanto dalla moltiplicità, varietà e buona coordinazione, degli esercizi degli scolari. Questi devono lavorare

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continuamente: ossia che il maestro li chiami, nel tempo delle lezioni, ad uno ad uno, a risolvere problemi, o a sciogliere difficoltà col suo ajuto; ossia che egli proponga loro temi da trattare a casa, che poi restituirà corretti o annotati. L’insegnamento dell’Aritmetica generale, dell’Algebra e della Trigonometria dev’essere accompagnato da continui esercizî di calcolo numerico, dove i giovani siano avvezzati ad usar sempre le regole abbreviative, che conducono più prontamente e nella forma più semplice al risultato. Così pure l’insegnamento della Geometria, sì descrittiva che elementare, deve per una grandissima, parte consistere in lavori grafici, nei quali si richiederà non solo l’esattezza scientifica, ma eziandio la precisione e l’eleganza dell’esecuzione. Pongano i professori, somma cura nella scelta dei temi, avvertendo che le quistioni improvvisate sono quasi sempre inopportune, e che, se un calcolo e una costruzione riescono troppo complicati, gli allievi si annojano e si scoraggiano. I temi vogliono essere preparati prima colla maggior diligenza, ovvero tolti da buone collezioni, talché offrano una chiara e convincente applicazione delle teorie esposte nella scuola. Di tutti questi esercizi di calcolo o di disegno gli scolari siano obbligati a tenere appositi e ordinati quaderni, perché ad ogni uopo essi possano consultarli, e la scuola dar saggio della sua operosità e del grado d’istruzione.

Aritmetica generale ed Algebra Biennio I Operazioni dirette - Operazioni inverse - Formole - Numeri negativi. Addizione e moltiplicazione dei polinomî - Quadrato e cubo di un polinomio. Divisione - Numeri frazionari - Massimo comune divisore e minimo multiplo dei numeri e dei monomî - Calcolo delle frazioni. Divisibilità dei numeri interi. Divisione dei polinomi ordinati. Equazioni e problemi di 1.° grado. Sistemi di equazioni lineari; discussione delle formole di risoluzione. Principî sui limiti - Soluzioni indeterminate - Radici quadrate dei numeri - Numeri irrazionali. Potenze e radici dei monomî - Calcolo dei radicali aritmetici. Rapporti - Grandezze commensurabili, grandezze incommensurabili. Proporzioni. Equazioni e problemi di 2.° grado - Equazioni riducibili al 2.° grado - Quistioni elementari di massimo o di minimo. Sistemi di più equazioni lineari e di una quadratica. Progressioni. Logaritmi - Uso delle tavole - Logaritmi di Leonelli (o di Gauss) - Applicazioni al calcolo di formole aritmetiche. Interessi composti - Annualità. Permutazioni, variazioni, combinazioni di elementi dati. Principî sulle probabilità. Approssimazioni numeriche - Operazioni abbreviate - Errori relativi. Anno III Principî sull’analisi algebrica - Genesi delle operazioni aritmetiche - Introduzione de’ numeri negativi, fratti, irrazionali (reali e complessi) - Esponente frazionario; esponente incommensurabile; esponente negativo; esponente nullo. - Numeri complessi; loro rappresentazione geometrica; calcolo dei medesimi. - Estensione delle operazioni aritmetiche. Teoremi sulle funzioni algebriche. - Divisori di una funzione intera - Divisori razionali. L’equazione algebrica di grado n ha n radici - Limiti delle radici reali; radici multiple; radici commensurabili - Teoremi sulla separazione delle radici - Metodi d’approssimazione per la determinazione delle radici reali di un’equazione numerica - Risoluzione numerica di alcune equazioni trascendenti.

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Anno IV Complemento dell’analisi combinatoria - Prodotti, potenze (intere positive) e radici dei polinomi - Serie a differenze costanti - Numeri figurati - Formole d’interpolazione. Principî sui determinanti - Risoluzione di un sistema d’equazioni lineari. Principî sulle serie infinite; serie esponenziale; serie logaritmica; serie trigonometriche. Frazioni continue - Applicazione all’analisi indeterminata di primo grado. Valori coniugati di una funzione algebrica - Norma di una funzione irrazionale - Eliminazione fra due equazioni algebriche. Studio speciale di alcune equazioni - Equazioni reciproche - Equazioni binomie; divisione del circolo in parti uguali - Teoremi di Moivre e di Cotes - Equazioni di 3.° e di 4.° grado.

Geometria Biennio I Nozioni fondamentali - Angoli - Rette parallele - Proposizioni elementari sul cerchio - Angoli nel cerchio - Triangoli uguali - Quadrilateri - Poligoni regolari. Divisioni delle rette in parti proporzionali - Moltiplicazione grafica delle rette - Elevazione a potenza - Poligono di moltiplicazione. Figure equivalenti - Teorema di Pitagora - Misura delle aree - Poligoni a contorno intrecciato. Similitudine de’ triangoli e de’ poligoni. Misura del circolo - Trasformazione grafica di una figura piana qualsivoglia; sua riduzione ad una base data. Intersezione di piani e di rette - Angoli e distanze fra piani e rette nello spazio.. Cono cilindro e sfera. Piramidi e prismi: eguaglianza, similitudine, simmetria. Cubatura dei prismi, delle piramidi, del cilindro, del cono, della sfera e delle loro parti. Quadratura dei tre corpi rotondi. Anno III Proiezione centrale - Forme geometriche fondamentali - Proprietà armonica del quadrilatero e costruzioni che ne conseguono. Proiettività delle rette punteggiate e dei fasci di rette; costruzione di una forma proiettiva ad una data - Rapporti anarmonici. Fasci proiettivi nel circolo; tangenti punteggiate proiettive - Teoremi sui poligoni inscritti o circoscritti - Serie proiettive di punti in una circonferenza - Costruzione degli elementi uniti di due forme proiettive sovrapposte. Metodo geometrico di falsa posizione per la risoluzione grafica dei problemi di 2.° grado - Applicazioni. Involuzione di punti in linea retta o in una circonferenza - Poli e polari nel cerchio - Costruzioni che ne dipendono - Inscrizione di poligoni i cui lati debbano passare per punti dati. - Teorema sul quadrilatero segato da una trasversale. Figure polari reciproche - Legge di dualità nel piano. Le coniche (proiezioni centrali del cerchio) generate mediante due forme proiettive. - Proprietà delle coniche dedotte da quelle del cerchio - Teoremi di Pascal, di Brianchon, di Desargues e loro conseguenze - Costruzione di una conica soggetta a cinque condizioni (punti o tangenti). Classificazione delle curve di 2.° grado - Centro, diametri coniugati ed assi (dedotti come casi particolari dalla teoria dei poli e delle polari) - Proprietà speciali dell’ellisse, dell’iperbole e della parabola - Costruzioni grafiche.

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Complemento di stereometria - Baricentro di una figura geometrica - regola di Guldino - Determinazione grafica del baricentro di una qualsivoglia figura piana (mediante il poligono di moltiplicazione). Anno IV. Fuochi nelle coniche: definizione, proprietà, costruzioni - Proprietà relative ad un solo fuoco - Proprietà relative ai due fuochi - Costruzioni delle coniche, quando fra gli elementi dati vi è un fuoco, o vi sono entrambi i fuochi. Proprietà proiettive dei coni di 2.° grado e delle figure descritte sulla sfera, dedotte dalle corrispondenti proprietà delle figure piane - Triangoli sferici: eguaglianza, simmetria; perimetro, area. Figure polari - Projezione stereografica. Principî di Geometria analitica: concetto fondamentale delle coordinate proiettive - Equazioni simboliche de’ luoghi geometrici (di l.° e 2.° grado) in un piano e nello spazio; teoremi sulle loro mutue intersezioni, dedotte dalle più semplici combinazioni di quelle equazioni - Dimostrazione analitica di alcune proprietà delle coniche, già note per mezzo della proiezione centrale.

Trigonometria

Anno III Funzioni goniometriche: seno, coseno, tangente e cotangente - Tavole ed uso delle medesime - Relazioni trigonometriche fra gli elementi di un triangolo - Area in funzione dei lati - Problema di Pothenot. Risoluzione dei triangoli rettilinei. Anno IV. Precisa determinazione dell’angolo di due rette e delle sue funzioni goniometriche – Equazioni fondamentali nel triangolo - Formole generali per l’addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione degli angoli - Relazione fra le sei distanze di quattro punti in un piano - Area del triangolo, e del quadrilatero inscrittibile, in funzione dei lati. Trigonometria sferica. Formole fondamentali della Poligonometria.

Geometria descrittiva

Proiezione centrale - Collineazione od omografia di due sistemi piani - Affinità - Similitudine - Omologia o posizione prospettiva di due figure collineari, contenute in uno stesso piano – Omologia armonica - Simmetria - Elementi a distanza infinita: punti di fuga, rette di fuga. Risoluzione di problemi fondamentali, relativi a punti, rette e piani nello spazio - Problema inverso della prospettiva - Ribaltamento de’ piani obbiettivi - Trasformazione della prospettiva mediante spostamento del centro di proiezione - Prospettiva di un poliedro - Collocare in posizione omologica due quadrilateri di dimensioni date. Proiezioni parallele - Metodo ordinario delle proiezioni ortogonali sui due piani rettangolari - Risoluzione de’ problemi fondamentali - Trasformazioni - Risoluzione dell’angolo triedro - Intersezioni, ombre proprie e portate di poliedri. Prospettive rapide - Disegno axonometrico - Teorema di Pohlke - Risoluzione de’ problemi fondamentali. Superficie coniche e cilindriche: piani tangenti, sezioni piane, contorni delle ombre. Collineazione e reciprocità fra due stelle - Collineazione fra due sistemi a tre dimensioni - Affinità - Omologia - Principî della prospettiva in rilievo.

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Generazione dei coni e delle superficie gobbe di 2.° grado mediante due fasci proiettivi di piani - Piani tangenti, sezioni piane, contorni delle ombre. Generazione di tutte le superficie di 2.° grado mediante due stelle reciproche - Loro classificazione - Proprietà armoniche, poli e piani polari - Centro, diametri, assi, cono assintoto – Rappresentazione grafica, piani tangenti, sezioni piane, contorni delle ombre. Superficie di rotazione - Piani tangenti - Sezioni piane - Contorni delle ombre - Esempi: ellissoide di rotazione, iperboloide gobbo di rotazione, toro architettonico. Intersezioni fra le superficie coniche e cilindriche. Intersezione di due superficie di 2.° grado. Intersezione di una sfera con una superficie conica.

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7. Orario per gli insegnati delle varie materie (1871)10

CATTEDRE ORE

CATTEDRE ORE

Lettere italiane (negli Istituti ove è un solo insegnamento) Lettere italiane pel 1° biennio Lettere italiane pel 2° biennio Storia e Geografia descrittiva e politica Storia e Geografia e Legislazione rurale Storia Geografia (descrittiva, politica, astronomica e fisica) Geografia e Statistica Lingua francese Lingua inglese e tedesca Lingue straniere Matematiche elementari Matematiche elementari ed elementi di Meccanica Storia naturale e Geografia astronomica e fisica Storia naturale e sue applicazioni Fisica generale Fisica, elementi di Meccanica e Geografia astronomica e fisica Fisica e elementi di Meccanica Fisica e Geografia astronomica e fisica Fisica, Geografia e astronomica e fisica e Storia naturale Fisica, Geografia e astronomica e fisica e Matematiche elementari Fisica e Matematiche elementari Fisica generale ed applicata e Geografia astronomica e fisica Fisica generale ed applicata ed elementi di Meccanica Fisica generale ed applicata Fisica e Chimica generale ed agraria Chimica generale Chimica generale ed agraria Chimica generale e tecnologica Chimica tecnologica Chimica agraria

11 12 10 15 17 11 7 10 8 15 23 11

14 9 10 7

13 10 10

16

21 18

14

14 11 24 11 17 18 7 6

Matematiche superiori Geometria descrittiva Matematiche superiori e Geometria descrittiva Geometria descrittiva ed elementi di Meccanica Disegno ornamentale Agronomia e Computisteria rurale Agronomia ecc. e Storia naturale Estimo Agronomia e Computisteria rurale Estimo, Geometria pratica e Costruzioni rurali Estimo e Geometria pratica Geometria pratica e Costruzioni rurali Geometria pratica Costruzioni rurali Meccanica industriale e disegno di macchine Elementi di Meccanica, meccanica industriale e disegno di macchine Costruzioni ordinarie Costruzioni ordinarie e Geometria descrittiva Costruzioni ordinarie e rurali Diritto civile e commerciale Diritto civile e commerciale e legislazione rurale Diritto civile e commerciale e Diritto amministrativo Economia politica e Statistica Economia politica, Statistica e diritto amministrativo Computisteria Ragioneria Computisteria e Ragioneria

9 6

15 9 24 9 15

13

25 14

21 10 11

15

18 12

18 23 10

12

15 9

14 16 10 26

Nel presente quadro le ore segnate per la chimica, pel disegno, per la computisteria, per le costruzioni, per la geometria descrittiva, la geometria pratica e la meccanica industriale si ripartono, in media, per un terzo in lezioni orali e per due terzi in esercitazioni grafiche o di laboratorio, le quali sono fatte a classi riunite.

10 Emilio Morpurgo, L’Istruzione Tecnica in Italia, Roma, Tipografia Barbera, 1875, p. 66.

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8. Orari degli insegnamenti per gli istituti tecnici (1871)11

Biennio in comune

Primo anno Italiano Geografia Storia Francese Inglese o Tedesco Matematiche elementari Storia naturale Fisica Chimica Disegno N.° 35 per ogni settimana

N.° ore per ogni settimana 6 2 3 3 3 6 3 3 0 6

Secondo anno Italiano Geografia Storia Francese Inglese o Tedesco Matematiche elementari Storia naturale Fisica Chimica Disegno N.° 37 per ogni settimana

6 2 3 2 4 5 3 3 3 6

11 Tonelli A., L’istruzione tecnica e professionale di Stato nelle strutture e nei programmi da Casati ai giorni nostri, Milano, Giuffrè, 1964, pp. 26 segg.

36

Sezione Industriale

Terzo anno Italiano Geografia Inglese o Tedesco Matematica Geometria descrittiva Geometria pratica Meccanica e Disegno Fisica genetica Fisica applicata Chimica tecnologica Costruzioni e disegno Disegno ornamentale N.° 38 per settimana

N.° ore per ogni settimana 2 2 3 5 4 0 6 3 0 3 5 5

Quarto anno Italiano Geografia Inglese o Tedesco Matematica Geometria descrittiva Geometria pratica Meccanica e Disegno Fisica genetica Fisica applicata Chimica tecnologica Costruzioni e disegno Disegno ornamentale N.° 39 per settimana

2 2 3 0 4 3 10 0 4 3 8 0

37

Sezione Fisico-matematica

Terzo anno Italiano Geografia Storia Francese Inglese o Tedesco Matematica Geometria descrittiva Storia naturale Fisica Chimica Meccanica Disegno ornamentale N.° 39 per settimana

N.° ore per ogni settimana 5 2 3 2 4 5 4 2 3 3 0 6

Quarto anno Italiano Geografia Storia Francese Inglese o Tedesco Matematica Geometria descrittiva Storia naturale Fisica Chimica Meccanica Disegno ornamentale N.° 37 per settimana

5 2 3 2 4 5 4 0 0 3 3 6

38

Sezione Agronomica

Terzo anno Italiano Geografia Inglese o Tedesco Chimica agraria Agronomia Storia naturale Costruzioni e Disegno Geometria pratica Estimo Legislazione rurale Disegno ornamentale N.° 38 per settimana.

N.° ore per ogni settimana 3 2 4 4 4 3 4 6 0 2 6

Quarto anno Italiano Geografia Inglese o Tedesco Chimica agraria Agronomia Storia naturale Costruzioni e Disegno Geometria pratica Estimo Legislazione rurale Disegno ornamentale N.° 38 per settimana

3 2 4 4 4 0 4 6 3 2 6

39

Sezione Commerciale

Terzo anno Italiano Geografia Storia Francese Inglese o Tedesco Computisteria Diritto Economia politica Statistica Storia naturale Disegno ornamentale N.° 38 per settimana

N.° ore per ogni settimana 5 2 3 2 4 5 5 3 0 3 6

Quarto anno Italiano Geografia Storia Francese Inglese o Tedesco Computisteria Diritto Economia politica Statistica Storia naturale Disegno ornamentale N.° 41 per settimana

5 2 3 2 4 5 5 3 3 3 6

Sezione Ragioneria

Anno Quinto Ragioneria Diritto amministrativo

N.° ore per ogni settimana

10 5

40

9. Programma di matematica per la sezione fisico-matematica (1876)12 Il fine che si vuole conseguire con l’insegnamento delle matematiche elementari si è principalmente che gli alunni rafforzino le facoltà della mente applicandole allo svolgimento dei concetti di quantità e di figura, e nello stesso tempo e specialmente gli allievi della sezione fisico-matematica acquistino quel corredo di cognizioni che è di fondamento agli studi matematici nelle Università. La forma ed i limiti di tale insegnamento vengono definiti dallo scopo stesso al quale esso è diretto; è necessario che i concetti fondamentali siano sempre ben determinati, le deduzioni sempre rigorose, e che con la risoluzione dei problemi si esercitino le facoltà dell’analisi e della sintesi. Le teorie esposte dal professore siano accompagnate da continue applicazioni e da esercizi pratici. Gli allievi siano abituati alla risoluzione di problemi algebrici e geometrici, per la scelta dei quali il professore potrà giovarsi delle buone collezioni che si hanno. S’insista moltissimo sulle esercitazioni di calcolo numerico ed algebrico, sull’uso delle tavole dei logaritmi e delle linee trigonometriche, come pure sui disegni che molto opportunamente farà eseguire il docente a corredo dello studio dei principii di geometria descrittiva e proiettiva. Tutti questi esercizi formeranno argomento così di lavoro interno della scuola come di lavoro domestico, e quest’ultimo, che si dovrà in giusta misura rigorosamente esigere, verrà dal professore con ogni cura riveduto. Infine i programmi d’insegnamento siano al professore di guida per indicargli le linee principali, ed i confini del suo insegnamento: egli però sarà libero di svilupparli in quell’ordine e con quel metodo che crederà più conveniente, e potrà anche completarli, ove per avventura in qualche punto gli sembrassero insufficienti. Soprattutto gioverà la scelta di buoni libri di testo. Corso I

Aritmetica ordinaria ed aritmetica generale I. 1. Numerazione decimale – Addizione, sottrazione e moltiplicazione e divisione dei numeri interi – Condizioni di divisibilità. 2. Le frazioni ordinarie e le frazioni decimali – Le operazioni sulle frazioni – Conteggio con numeri decimali approssimati. 3. Sistema metrico – Conteggio con numeri concreti. 4. Quadrato e cubo, radice quadrata e radice cubica dei numeri interi e delle frazioni. 5. Proporzionalità delle quantità – Regola del tre semplice e composta; metodo di riduzione all’unità – Interessi semplici; regola di sconto – Divisione in rapporti dati e regola di società II. 1. Le operazioni dirette ed inverse sui numeri in generale – Somma, prodotto, potenza, differenza, quoziente, radice. 2. Somma e differenza dei polinomi; prodotto e quoziente dei polinomi. 3. Teoremi intorno alla divisibilità dei numeri – Fattori primi – Minimo multiplo comune, e massimo divisore comune di più numeri. 4. Teoremi intorno alle potenze ed alle radici – Calcolo dei radicali; esponenti negativi e frazionari – Teoria dei numeri incommensurabili. 5. Teoria dei rapporti e delle proporzioni; medie aritmetica, geometrica, armonica. Esercizi Esercizi di calcolo aritmetico, e problemi aritmetici a risolvere – Esercizi di algoritmo.

12 Ministero di Agricoltura, Industria e Commercio, Programmi di insegnamento per gli istituti tecnici, Roma, Tipografia Eredi Botta, 1877, pp. 25-32. Alessandro Janovitz, Insegnamenti matematici a Mantova nella seconda metà dell’Ottocento. (cd prodotto dall’autore)

41

Planimetria I. 1. Angoli, rette perpendicolari e rette oblique. 2. Rette parallele. 3. Triangoli, parallelogrammi, poligoni. 4. Eguaglianza dei triangoli, dei parallelogrammi, dei poligoni. II. 1. Cerchio, secanti e tangenti. 2. Intersezione e contatto delle circonferenze. 3. Angoli nel cerchio. 4. Poligoni inscritti e circoscritti al cerchio; poligoni regolari. III. 1. Teoremi intorno ai rettangoli ed ai quadrati delle rette divise in parti. 2. Triangoli e parallelogrammi equivalenti. 3. Teoremi intorno ai quadrati ed ai rettangoli dei lati in un triangolo. 4. Teoremi intorno ai quadrati ed ai rettangoli dei lati e delle diagonali in un quadrilatero. Esercizi Problemi elementari relativi alle teorie esposte – Teoremi a dimostrare e problemi a risolvere. Corso II

Elementi d’algebra I. 1. Equazioni – Equazioni di primo grado ad una sola incognita. 2. Risoluzione di un numero qualunque di equazioni di primo grado con un egual numero di incognite. 3. Discussione delle formole dei valori delle incognite. 4. Soluzioni negative delle equazioni di primo grado – Problemi di primo grado. II. 1. Risoluzione dell’equazione di secondo grado. Relazioni fra le radici ed i coefficienti. 2. Discussione delle radici. Problemi di secondo grado. 3. Equazioni che si riducono a quelle di secondo grado. 4. Equazioni simultanee di primo e di secondo grado. III. 1. Progressioni per differenza. 2. Progressioni per quoziente. 3. Teoria dei logaritmi. Tavole dei logaritmi e loro uso. 4. Problemi d’interessi composti e di annualità. Esercizi Esercizi di calcolo algebrico, e problemi algebrici a risolvere. Esercizi di calcolo numerico per mezzo dei logaritmi.

Planimetria I. 1. Teoremi sulle grandezze proporzionali. 2. Rette proporzionali. 3. Triangoli simili. 4. Poligoni simili. II. 1. Rapporti di superficie per i triangoli, i parallelogrammi, i rettangoli. 2. Rapporti di superficie e di perimetri nei poligoni simili. 3. Rapporti di superficie e di perimetri nei poligoni regolari.

42

4. Misura del triangolo, del parallelogrammo, del rettangolo, del trapezio, di un poligono regolare. III. 1. Rapporti di archi e di settori circolari, misura degli angoli. 2. Teoremi sulle aree e sui perimetri dei poligoni regolari inscritti o circoscritti al cerchio. 3. Misura della circonferenza e del cerchio. 4. Calcolo del rapporto della circonferenza al diametro. Esercizi Problemi elementari relativi alle teorie esposte. Teoremi a dimostrare e problemi a risolvere. Corso III

Elementi di algebra 1. Nozioni sui limiti. 2. Principii sulle approssimazioni numeriche. 3. Nozioni sulle probabilità. 4. Disposizioni, permutazioni, combinazioni. 5. Potenza di un binomio ad esponente intero e positivo. Potenza di un polinomio. Esercizi Operazioni numeriche approssimate. Problemi algebrici a risolvere.

Trigonometria piana I. 1. Linee trigonometriche di un arco; relazioni che esse hanno fra loro. 2. Formole trigonometriche per l’addizione e la sottrazione degli archi. 3. Formole trigonometriche per la duplicazione e la bisezione degli archi. 4. Formole per trasformare la somma o la differenza di due linee trigonometriche in prodotti. II. 1. Determinazione dei seni e coseni di alcuni archi notevoli. 2. Costruzione di una tavola di seni e coseni. 3. Disposizione ed uso delle tavole trigonometriche. 4. Applicazione delle tavole trigonometriche alla valutazione delle formole algebriche. III. 1. Relazioni fra i lati e gli angoli in un triangolo rettilineo. 2. Risoluzione dei triangoli rettangoli e dei triangoli obliquangoli. 3. Area del triangolo, raggi del circolo circoscritto e del circolo inscritto. 4. Quadrilatero che può essere inscritto nel cerchio.

Stereometria I. 1. Rette e piani perpendicolari o paralleli. 2. Angoli, diedri, angoli poliedri. 3. Prisma, parallelepipedo, piramide, poliedri. 4. Eguaglianza e simmetria dei prismi, delle piramidi, dei poliedri. II. 1. Prismi, parallelepipedi e piramidi equivalenti. 2. Teoremi sul tronco di prisma e sul tronco di piramide. 3. Piramidi simili. 4. Poliedri simili. III. 1. Rapporti dei volumi per i parallelepipedi, e per i poliedri simili. 2. Misura del parallelepipedo e del prisma. 3. Misura della piramide, del tronco di prisma e del tronco di piramide.

43

4. Misura di un poliedro. IV. 1. Cilindro, cono, piano tangente. 2. Superficie e volume del cilindro. 3. Superficie e volume del cono. 4. Superficie e volume del tronco di cono. V. 1. Sfera, piani seganti a piano tangente. 2. Superficie del fuso e del triangolo sferico; volume dello spicchio sferico e della piramide sferica. 3. Superficie della zona sferica e della sfera. 4. Volume del settore e del segmento sferico e volume della sfera. Corso IV

Complementi di algebra e di geometria I. 1. Quistioni elementari di massimo e minimo. 2. Nozioni sui determinanti. 3. Nozioni sulle frazioni continue. 4. Analisi indeterminata di 1° grado. 5. Nozioni sui numeri complessi. II. 1. Figure simili, figure omotetiche nel piano e nello spazio. 2. Poligoni regolari e poliedri regolari. 3. Centri di simiglianza, rette secanti comuni, o piani secanti comuni, dei circoli o delle sfere. 4. Nozioni sulla geometria sferica. 5. Proiezione stereografica.

Trigonometria sferica 1. Relazione fra i tre lati ed un angolo, o fra i tre angoli ed un lato in un triangolo sferico. 2. Relazione fra due lati e i due angoli opposti. 3. Relazioni fra due lati e due angoli (non opposti entrambi). 4. Caso particolare dei triangoli rettangoli. 5. Formole di Delambre e di Nepero. Esercizi Teoremi a dimostrare e problemi a risolvere in algebra ed in geometria.

Principii di geometria proiettiva e descrittiva I. 1. Proiezione centrale, eguaglianza, simiglianza, affinità e collineazione prospettiva. 2. Punteggiate proiettive, fasci proiettivi. Proprietà armoniche del quadrilatero. 3. Nozioni sul rapporto anarmonico e sull’involuzione. II. 1. Proiezioni parallele. 2. Metodo ordinario delle proiezioni ortogonali su due piani rettangolari. 3. Risoluzione di alcuni problemi fondamentali sulle rette ed i piani.

44

10. Orari e materie d’insegnamento negli istituti tecnici (1885)13

Sezione Fisico- matematica

Materie d’insegnamento

Classi I II III IV

Calligrafia14 Chimica generale ed elementi di chimica organica15 Chimica esercitazioni16 Disegno ornamentale geometrico Disegno ornamentale a mano libera Disegno architettonico17 Elementi di logica e di etica18 Fisica elementare19 Fisica complementare20 Geografia Lettere italiane21 Lingua francese Lingua inglese o tedesca22 Matematica23 Storia generale

Storia complementare Storia naturale: Zoologia e botanica Storia naturale: Mineralogia e geologia24

Totale

- - - 4 4 - - - - 3 6 3 - 6 3 - 2 -

- - - 3 3 - - 3 - 3 6 3 - 6 3 - 2 -

- 4 - - - 6 2 3 - - 4 - 6 5 - 2 - 3

- - 4 - - 6 2 - 5 - 6 - 6 4 - - - -

31 32 35 33

13 R.D. 21/06/1885 n. 3454. Gazzetta Ufficiale del Regno d’Italia del 11/11/1885. 14 È lasciata facoltà al Preside di fissare l’orario, all’occorrenza, secondo il 4° comma dell’Art. 11 delle Disposizioni didattiche che precedono i presenti programmi. 15 Comune a tutte le sezioni. 16 Corso speciale per questa Sezione – Può essere dato insieme alle Sezioni di Agrimensura e di Agronomia, a norma del 3° comma dell’Art. 6 del Regolamento generale. 17 Speciale a questa Sezione. 18 Speciale a questa Sezione. 19 Comune a tutte le Sezioni. 20 Speciale a questa Sezione. 21 Nelle classi I, II, III l’insegnamento è comune a tutte le Sezioni; nella IV classe è speciale per questa Sezione. 22 Comune con la lezione di commercio e ragioneria. 23 Nel primo e nel secondo corso comune con le altre sezioni. 24 Comune a tutte le Sezioni.

45

Sezione Agrimensura

Materie d’insegnamento

Classi I II III IV

Agraria: Agronomia, Agricoltura ed Economia rurale25 Calligrafia26 Chimica: Generale ed elementi di Chimica organica27 Chimica: Esercitazioni28 Costruzioni: lezioni orali29 Costruzioni: disegno Disegno ornamentale: geometrico Disegno ornamentale: a mano libera Estimo30 Fisica: elementare31 Fisica: Meccanica e Idraulica32 Geografia Legislazione rurale33 Lettere italiane34 Lingua francese Matematica (Algebra, Geometria elementare, Trigonometria piana, Geometria descrittiva)35 Storia generale Storia naturale36 Topografia37

Totale

- - - - - - 4 4 - - - 3 - 6 3 6 3 2 -

- - - - - - 3 3 - 3 - 3 - 6 3 6 3 2 -

3 - 4 - 2 4 - - - 3 - - - 4 - 6 - 3 7

3 - - 4 4 6 - - 4 - 2 - 2 2 - - - - 9

31 32 36 36

25 Comune colla sezione di Agronomia. 26 È lasciata facoltà al Preside di fissare l’orario, all’occorrenza, secondo il 4° comma dell’Art. 11 delle Disposizioni didattiche che precedono i presenti programmi. 27 Comune a tutte le Sezioni. 28 Corso speciale a questa Sezione. – Può esser dato insieme alle Sezioni Fisico-matematica e di Agronomia, a norma del 3° comma dell’Art. 6 del Regolamento generale. 29 Corso speciale a questa Sezione. 30 Corso speciale a questa Sezione. 31 Comune a tutte le Sezioni. 32 Comune colla Sezione di Agronomia, insegnamento dato nel 1° semestre dell’anno scolastico; veggasi all’uopo il 5° comma dell’Art. 11 delle Disposizioni didattiche sopra citate. 33 Insegnamento comune alla Sezione di Agronomia. 34 Nelle I, II, III, l’insegnamento è comune a tutte le Sezioni; nella IV è esclusa la Sezione Fisico-matematica. 35 La geometria descrittiva era un insegnamento speciale a questa Sezione. 36 Comune a tutte le Sezioni. 37 Corso speciale a questa sezione. I giorni e le ore per le Esercitazioni sono stabiliti dal Preside d’accordo col professore.

46

Sezione di Agronomia

Materie d’insegnamento

Classi I II III IV

Agraria: Agronomia, Agricoltura ed economia rurale38 Agraria: Tecnologia rurale, zootecnica39 Agraria: Esercitazioni nell’azienda40 Calligrafia41 Chimica: Generale ed elementi di Chimica organica42 Chimica: Agraria e avviamento nella tecnologia rurale43 Chimica: Esercitazioni44 Disegno ornamentale geometrico Disegno ornamentale a mano libera Elementi di topografia e costruzioni: Lezioni orali45 Elementi di topografia e costruzioni: Disegno Elementi di topografia e costruzioni: Esercitazioni46 Fisica: elementare47 Fisica: Meccanica e idraulica48 Fisica: Meteorologia49 Geografia Legislazione rurale50 Lettere italiane51 Lingua francese Matematica: Algebra e Geometria elementare Storia generale Storia naturale: Botanica Storia naturale: Zoologia Storia naturale: Geologia e Mineralogia52 Storia naturale: applicata all’agricoltura53

Totale

- - - - - - - 4 4 - - - - - - 3 - 6 3 6 3 2 - - -

- - - - - - - 3 3 - - - 3 - - 3 - 6 3 6 3 - 2 - -

3 - - - 4 - - - - 2 4 - 3 - - - - 4 - - - - - 3 2

3 3 - - - 3 6 - - - - - - 2 2 - 2 2 - - - - - - -

31 32 25 23

38 Comune colla Sezione di Agrimensura. 39 Speciale a questa Sezione. 40 L’orario era fissato dal Preside d’accordo col professore e col Corpo insegnante. 41 È lasciata facoltà al Preside di fissare l’orario, all’occorrenza, secondo il 4° comma dell’Art. 11 delle Disposizioni didattiche che precedono i presenti programmi. 42 Comune a tutte le Sezioni. 43 Speciale a questa Sezione. 44 Le Esercitazioni possono essere fatte insieme colle lezioni della Sezione Fisico-matematica e di Agrimensura, a norma del 3° comma dell’Art. 6 del Regolamento generale. 45 Speciale a questa Sezione. 46 I giorni e le ore per le Esercitazioni sono fissate dal Preside d’accordo col professore. 47 Comune a tutte le Sezioni. 48 Comune colla Sezione di Agrimensura. Insegnamento dato nel 1° semestre, secondo il 5° comma dell’Art. 11 delle Disposizioni sopracitate. 49 Speciale a questa Sezione. Insegnamento dato nel 2° semestre dell’anno scolastico, a norma del 5° comma ora citato. 50 Comune alla Sezione di Agrimensura. 51 Nelle classi I, II, III, l’insegnamento è comune a tutte le Sezioni; nella IV è esclusa la Sezione Fisico-matematica. 52 Comune a tutte le Sezioni. 53 Speciale a questa Sezione.

47

Sezione di Commercio e Ragioneria

Materie d’insegnamento

Classi I II III IV

Comm. IV

Amm. Calligrafia54 Chimica: generale ed elementi di Chimica organica55 Computisteria e Ragioneria: Parte generale Computisteria e Ragioneria: Parte speciale. Ragioneria privata Computisteria e Ragioneria: Parte speciale. Ragioneria pubbl.56 Disegno ornamentale: geometrico Disegno ornamentale: a mano libera Economia e Statistica: Scienza economica e Statistica57 Economia e Statistica: Scienza Finanziaria58 Elementi di Diritto: civile Elementi di Diritto: commerciale59 Elemento di Diritto: amministrativo Fisica elementare60 Geografia Lettere italiane61 Lingua francese62 Lingua inglese o tedesca (a scelta): Corso generale63 Lingua inglese o tedesca (a scelta): Corrispondenza comm.64 Matematica: Algebra e Geometria elementare Merceologia65 Storia: generale Storia: complementare66 Storia naturale: Botanica Storia naturale: Zoologia Storia naturale: Geologia e Mineralogia67

Totale

- - - - - 4 4 - - - - - - 3 6 3 - - 6 - 3 - 2 - -

- - - - - 3 3 - - - - - 3 3 6 3 - - 6 - 3 - - 2 -

2 4 7 - - - - 3 - - - - 3 - 4 2 6 - - - - 2 - - 3

2 - - 6 - - - 4 - 3 3 - - - 2 2 6 2 - 5 - - - - -

2 - - - 9 - - 4 3 3 - 4 - - 2 2 6 - - - - - - - -

31 32 36 35 35

54 È lasciata facoltà al Preside di fissare l’orario, all’occorrenza, anche nel 1° Biennio, secondo il 4° comma dell’Articolo 11 delle Disposizioni didattiche che precedono i presenti programmi. 55 Comune a tutte le Sezioni. 56 Speciale a questa Sezione. La ripartizione delle ore fra le Lezioni Orali e le Esercitazioni non è tassativa. – Le Esercitazioni possono essere fatte a classi riunite, a norma del 3° comma dell’Art. 6 del Regolamento generale. Nella IV classe l’insegnamento è dato separatamente alle due Sottosezioni. Quando esso sia affidato ad un solo professore, le ore alla IV classe di Amministrazione potranno ridursi a otto. 57 Comune a tutte le Sezioni. 58 Speciale alla Sottosezione di Amministrazione. 59 Nel 1° trimestre dell’anno scolastico, l’insegnamento del Diritto è dato in comune alle due Sottosezioni; nel 2° e nel 3° trimestre è dato separatamente. 60 Comune a tutte le Sezioni. 61 Nelle classi I, II, III, l’insegnamento è comune a tutte le Sezioni; nella IV è esclusa la Sezione Fisico-matematica. 62 Esercitazioni speciali in comune alle due Sottosezioni. 63 Comune colla Sezione Fisico-matematica: la ripartizione fra le ore delle Lezioni orali e degli Esercizi non è tassativa. 64 Speciale alla Sottosezione di Commercio e Ragioneria privata. 65 Speciale alla Sottosezione di Commercio e Ragioneria privata. – Quando l’insegnamento sia affidato al professore di Chimica le ore possono ridursi a quattro e le Esercitazioni potranno farsi insieme a quelle di Chimica, a norma del 3° comma dell’Art. 6 del Reg. gen. 66 Nella III classe l’insegnamento è ordinariamente comune colla Sezione Fisico-matematica; veggansi gli ultimi comma dell’Art. 11 delle Disposizioni didattiche sopracitate. 67 Comune a tutte le Sezioni.

48

Sezione Industriale (materie comuni)

Materie d’insegnamento68

Classi I II III IV

-Chimica: generale ed elementi di Chimica organica Disegno ornamentale geometrico Disegno ornamentale a mano libera Fisica elementare Geografia Lettere italiane69 Lingua francese Matematica: Algebra e Geometria elementare Storia generale Storia naturale: Botanica70 Storia naturale: Zoologia Storia naturale: Geologia e Mineralogia

Totale

- 4 4 - 3 6 3 6 3 2 - -

- 3 3 3 3 6 3 6 3 - 2 -

4 - - 3 - 4 - - - - - 3

- - - - - - - - - - - -

31 32 14 -

68 Qui sono solamente indicate le materie comuni a tutte le Sezioni indistintamente. A queste materie devonsi aggiungere poi quelle speciali, secondo lo scopo cui tende la Sezione industriale che si vuole istituire. 69 Sarà bene, sempre quando sia possibile, che, anche in questa Sezione, l’insegnamento delle Lettere italiane continui nelle IV classe colle ore 2 settimanali, prescritte per tutte le Sezioni, eccetto la Fisico-matematica. 70 Per l’insegnamento della Botanica veggasi la nota nello specchio della Sezione Fisico-matematica.

49

11. Orari per le sezioni dell’istituto tecnico (1891)71

Fisico-matematica

Materia d’insegnamento

Classe I72 II III IV

Chimica (lezioni73) Chimica (esercizi) Disegno ornamentale Disegno architettonico74 Fisica generale75 Fisica complementare76 Geografia77 Lettere italiane78 Lingua francese79 Lingua inglese o tedesca80 Logica ed etica81 Matematica82 Storia generale83 Storia naturale (zoologia e botanica)84 Storia naturale (minerale e geologia)85

- - 6 - - - 3 6 3 - - 6 3 3 -

- - 6 - - - 3 5 3 3 2 5 3 - 3

3 - - 4 5 - - 4 2 5 - 5 2 - -

- 4 - 6 - 3 - 6 -

586 - 5 - - -

Totale 30 33 30 29

71 R.D. 2\10\1891 n. 622. Gazzetta Ufficiale del Regno d’Italia n. 269 del 17/11/1891. 72 Comune a tutte le Sezioni. 73 Comune a tutte le Sezioni. 74 Le lezioni saranno della durata di due ore ognuna. 75 Comune a tutte le Sezioni. 76 Nell’anno scolastico 1891-92 sarà di 4 ore, come prima. 77 Comune a tutte le Sezioni. 78 Comune a tutte le Sezioni. 79 Nel secondo corso comune con la Sezione di Agrimensura. 80 Comune con la Sezione di Commercio e Ragioneria. 81 Comune a tutte le Sezioni. Nell’anno scolastico 1891-92 i terzi corsi di tutte le Sezioni avranno quest’insegnamento in comune coi secondi corsi riuniti. Dove ecceda il numero degli alunni, si provvederà secondo il Regolamento. 82 Nel primo e nel secondo corso comune con le altre Sezioni. 83 Comune a tutte le Sezioni. 84 Comune a tutte le Sezioni. 85 Comune a tutte le Sezioni. 86 Nell’anno scolastico 1891-92 sarà di 6 ore, come prima.

50

Agrimensura

Materia d’insegnamento

Classe I II III IV

Agraria Computisteria agraria 87 Costruzioni88 Disegno di costruzioni Chimica (lezioni) Chimica (esercizi) Disegno ornamentale89 Estimo Fisica generale Geografia Legislazione rurale90 Lettere italiane Lingua francese Logica ed etica91 Matematica Storia generale Storia naturale (zoologia e botanica) Storia naturale (mineralogia e geologia) Topografia Disegno topografico Geometria descrittiva92

- - - - - - 6 - - 3 - 6 3 - 6 3 3 - - - -

- - - 2 - - 4 - - 3 - 5 3 2 5 3 - 3 - 3 -

2 2 2 3 3 - - - 5 - - 4 - - - 2 - - 3 3 3

3 - 2 3 - 4 - 4 - - 2 6 - - - - - - -

993

Totale 30 33 32 33

87 Sarà affidata dal Preside al professore di Agraria o a quello di Computisteria. 88Non è tassativa la distribuzione delle ore assegnate nel terzo e nel quarto corso per l’insegnamento di Costruzioni e di Disegno di costruzioni. Nel quarto nell’anno scolastico 1891-92 saranno 7 le ore, come prima. 89Le lezioni saranno di 2 ore ognuna. 90 Sarà sospesa nell’anno scolastico 1891-92. 91 V. nota (93) della Sezione Fisico-matematica. 92 Sarà affidata al medesimo professore, che la insegnava prima della circolare 12 ottobre 1889, n. 902. 93 La distribuzione di queste 9 ore in lezioni, disegno ed esercitazioni pratiche, sarà fatta dal Preside d’accordo col professore della materia.

51

Commercio e Ragioneria

Materia d’insegnamento

Classe I II III IV

Calligrafia Chimica generale Computisteria e Ragioneria Diritto civile Diritto commerciale ed amministrativo Disegno ornamentale Economia politica Scienza finanziaria e statistica Fisica generale Geografia Lettere italiane Lingua francese Lingua inglese o tedesca Logica ed etica94 Matematica Storia naturale (zoologia e botanica) Storia naturale (minerale e geologia) Storia generale

- - - - - 6 - - - 3 6 3 - - 6 3 - 3

2 - 4 - - - - - - 3 5 3 3 2 5 - 3 3

1 3 5 3 - - 3 - 5 - 4 2 5 - - - - 2

2 -

995 -

496 - -

497 - - 6 2

598 - - - - -

Totale 30 33 33 32 Nella Sezione di Agronomia e nella Sezione industriale, per gli insegnamenti comuni alle precedenti Sezioni, saranno eguali anche i rispettivi orari; e per gli insegnamenti speciali i signori Presidi provvederanno come in passato.

94 V. nota (93) della Sezione Fisico-matematica. 95 Nell’anno scolastico 1891-92 saranno 10 ore come prima. 96 Nell’anno scolastico 1891-92 saranno 3 ore come prima. 97Nell’anno scolastico 1891-92 saranno 3 ore come prima. 98 Nell’anno scolastico 1891-92 saranno 6 ore come prima.

52

12. Programma per la matematica negli istituti tecnici (1891)99

MATEMATICA Per tutte le sezioni I Classe (6 ore sett.). Aritmetica ed Algebra. – 1. Teorica delle quattro operazioni sui numeri interi. – 2. Teoremi fondamentali sulla divisibilità dei numeri interi; sui numeri primi – Massimo comun divisore e minimo multiplo comune di due o più numeri. – 3. Teorica delle frazioni ordinarie – Riduzione delle frazioni ordinarie in decimali. – 4. Generalità sul calcolo letterale e sulle formule algebriche. – 5. Numeri negativi – Addizione e sottrazione algebriche – Moltiplicazione e divisione algebriche – Quadrato d’un polinomio – Cubo d’un binomio e d’un trinomio. – 6. Frazioni algebriche - Esponente nullo; esponenti negativi. – 7. Equazioni di primo grado ad una incognita – Sistemi d’equazioni di primo grado in cui il numero delle incognite eguaglia quello delle equazioni – Problemi di primo grado – Interpretazione delle soluzioni negative. Geometria. – 1. Nozioni preliminari – Segmenti; Angoli; Rette perpendicolari, oblique – Casi semplici di uguaglianza dei triangoli, dei poligoni – Rette parallele – Proposizioni relative ai parallelogrammi – 2. Circonferenza – Rette seganti e tangenti – Intersezione e contatto delle circonferenze – Angoli inscritti nella circonferenza – Triangolo e quadrilatero inscritti o circoscritti nella circonferenza – Poligoni regolari. – 3. Teoremi intorno ai rettangoli e ai quadrati delle rette divise in parti – Parallelogrammi e triangoli equivalenti – Teorema di Pitagora. – 4. Teoria delle proporzioni fra grandezze – Teorema di Talete e conseguenze – Nozioni sulla divisione armonica delle rette – Triangoli e poligoni simili – Trasversali nella circonferenza. II Classe (5 ore sett.). Aritmetica ed Algebra. – 1. Costanti e variabili; prenozioni sui limiti. – 2. Numeri decimali periodici e loro frazioni generatrici. – 3. Nozioni sui numeri irrazionali e sulle operazioni ad essi relativi. – 4. Regola per l’estrazione della radice quadrata dai numeri interi e frazionari. – 5. Calcolo dei radicali – Esponenti frazionari . – 6. Equazione generale di 2° grado ad una incognita – Discussione delle soluzioni – Relazione tra i coefficienti e le radici della equazione – Esempi di equazioni riducibili al 1° al 2° grado. – 7. Rapporto di due grandezze – Teoria delle proporzioni fra numeri. – 8. Progressioni per differenza e per quoziente. – 9. Formule dell’interesse semplice e composto – Sconto – Annualità – Ammortamento. – 10. Logaritmi – Uso delle tavole – Applicazioni. Geometria. – 1. Area del rettangolo, del parallelogrammo, del trapezio, di un poligono regolare – Rapporto dei perimetri e delle superficie di due poligoni simili. – 2. Rapporto costante della circonferenza al suo diametro – Cenno intorno a qualche metodo per determinalo – Rapporto costante della superficie d’un circolo al quadrato del raggio – Misura della circonferenza e della superficie d’un circolo – Formole per determinare la lunghezza d’un arco e l’area d’un settore circolare. – 3. Rette e piani perpendicolari o paralleli – Angoli diedri – Angoli poliedri – Prisma, parallelepipedo, piramide – Poliedro. – 5. Volumi del parallelepipedo, del prisma, della piramide, di un tronco di prisma o di piramide, di un poliedro. – 6. Piramidi e poliedri simili – Rapporto dei volumi di due poliedri simili. – 7. Cilindro e cono rotondi – Aree e volumi del cilindro, del cono, del tronco di cono. – 8. Sfera – Aree della zona sferica e della sfera – Volume del settore sferico, del segmento sferico, della sfera. Per la sezione Fisico-Matematica III Classe (5 ore sett.).

99 R.D. 2\10\1891 n. 622. Gazzetta Ufficiale del Regno d’Italia n. 269 del 17/11/1891.

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Algebra.- 1. Sulle disuguaglianze di 1° e di 2° grado – Problemi di massimo e minimo. – 2. Interpretazione di espressioni che si presentano sotto forma indeterminata. – 3. Frazioni continue. Geometria. – 1. Figure simmetriche rispetto ad un punto, ad una retta, ad un piano. – 2. Figure simili – Figure omotetiche. Elementi di geometria descrittiva. – Metodo delle proiezioni ortogonali – Rappresentazione e problemi di più ovvi relativi al punto, alla retta e al piano – Cenni sulla rappresentazioni dei solidi. Trigonometria piana. – 1. Le funzioni trigonometriche – Loro variazioni – Relazioni tra le funzioni trigonometriche di uno stesso arco – Espressioni degli archi aventi una data funzione trigonometrica. – 2. Formule trigonometriche per l’addizione e la sottrazione degli archi – Formule per la moltiplicazione e per la bisezione degli archi – Formule per la trasformazione in prodotti o quozienti di somme o differenze di due funzioni trigonometriche. – 3. Determinazione diretta delle funzioni trigonometriche di archi particolari – Disposizione ed uso delle tavole trigonometriche – Uso degli angoli ausiliari nelle calcolazioni trigonometriche – Risoluzione di equazioni trigonometriche. – 4. Relazione tra i lati e gli angoli di un triangolo rettilineo – Casi ordinari di risoluzione dei triangoli rettangoli e dei triangoli obliquangoli. – 5. Diverse espressioni dell’area di un triangolo – Raggi del circolo circoscritto ad un triangolo e dei circoli tangenti ai lati del medesimo – Quadrilatero inscrittibile nel cerchio. – 6. Casi di risoluzione dei triangoli in cui i dati non siano solamente lati ed angoli – Alcune operazioni sul terreno – Problema dei quatto punti. IV Classe (5 ore sett.) Algebra. – 1. Disposizioni, permutazioni, combinazioni. – 2. Potenza intera e positiva d’un binomio. – 3. Analisi indeterminata di 1° grado. Geometria. – 1. Sezioni del cono retto circolare e deduzioni delle loro principali proprietà. – 2. Triangolo sferico – Casi semplici di eguaglianza dei triangoli sferici. – 3. Area del fuso, del triangolo e del poligono sferici – Volume dello spicchio, della piramide e del segmento sferici. – 4. Teorema di Eulero sui poliedri convessi – Poliedri regolari euclidei. Trigonometria sferica. – 1. Relazione fra quattro elementi (lati ed angoli) di un triangolo sferico. – 2. Relazione fra 5 e fra 6 elementi del triangolo sferico. – 3. Casi semplici di risoluzione dei triangoli sferici. N.B. Così nella III classe come nella IV si dovranno fare numerosi esercizii e risolvere problemi relativi anche agli argomenti trattati nelle classi precedenti. Non si ometta mai la discussione delle soluzioni problemi.

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12. Programma di matematica per le scuole tecniche e orari degli insegnamenti (1899)100

MATEMATICA

Scuole a tipo comune Classe I, (ore 4 sett.): Aritmetica. 1. Nozioni preliminari. Numerazione. Le quattro operazioni fondamentali sui numeri interi e regole per eseguirle. Prove delle quattro operazioni. 2. Divisibilità di un numero per un altro. Criteri per riconoscere se un numero intero è divisibile per una potenza di dieci o per uno dei numeri 2, 4, 8, 5, 25, 3, 9, 11. Prove per 9 e per 11 delle quattro operazioni sui numeri interi. 3. Regole delle divisioni successive per calcolare il massimo comun divisore di due numeri interi. Caso di tre o più numeri. Numeri primi fra loro. 4. Numeri primi. Regole per formare una tavola di numeri primi, per trovare tutti i divisori di un numero e per trovare i divisori di due o più numeri. 5. Composizione del massimo comun divisore di più numeri mediante i loro fattori primi. 6. Regola per calcolare il minimo multiplo comune di due o più numeri interi e gli altri multipli comuni. 7. Frazioni ordinarie. Regola per trovare la parte intera di un numero frazionario, per ridurre una frazione ai minimi termini, per trasformare una frazione in un’altra equivalente di un dato denominatore, per ridurre le frazioni a denominatore comune o al minimo denominatore comune. 8. Le quattro operazioni fondamentali su le frazioni; regole per eseguirle. Potenze di una frazione. 9. Numero decimale. Moltiplicazione e divisione di un numero decimale per una potenza di dieci. Regole per eseguire le quattro operazioni fondamentali su numeri decimali. 10. Riduzione di una frazione ordinaria in decimale. Decimali finiti e periodici. Riduzione di un numero decimale. 11. Sistema metrico decimale. 12. Numerosi esercizi e facili problemi. Classe II (ore 4 sett.) Aritmetica. 1. Prodotti di più numeri interi e potenze di un numero intero. Moltiplicazione e divisione di due potenze di base eguale. Estrazione della radice quadrata da un numero intero e decimale, e dalle frazioni. 2. Numeri complessi. Riduzione d’un numero complesso in frazione ordinaria e decimale e viceversa. Addizione e sottrazione dei numeri complessi. Conversione di misure antiche, specialmente del luogo, in sistema metrico decimale. 3. Rapporti e proporzione fra numeri interi e frazionari. Dati tre termini di una proporzione trovare il quarto. Proporzionalità diretta e inversa. Regole del tre, sia semplice, sia composta, col metodo delle proporzioni e con quello della riduzione all’unità. 4. Regola per dividere un numero qualunque in parti proporzionali a numeri dati, interi e frazionari. 5. Numerosi esercizi e problemi relativi a tutte le parti del programma. Geometria. 1. Nozioni preliminari, assiomi, postulati. Angoli; rette perpendicolari ed oblique; principali teoremi intorno ai triangoli. 2. Rette parallele, loro principali proprietà, teoremi intorno ai parallelogrammi. Poligoni equivalenti. Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente e di questo in un quadrato equivalente. Teorema di Pitagora e sue applicazioni. 3. Principali teoremi intorno al cerchio, alle secanti e alle tangenti di esso. 4. Intersezione e contatto delle circonferenze. 5. Angoli nel cerchio. Triangolo e quadrilatero iscritti e circoscritti. 6. Regole pratiche per la misura delle rette, degli angoli, dei triangoli, dei quadrilateri e dei poligoni. Problemi inversi. Classe III (ore 3 sett.)

100D.M. 16\10\1899. Bruto Amante, Nuovo codice scolastico vigente, Leggi, Decreti, Regolamenti, Circolari e Programmi dal 1859 al 1901, Roma, 1901, pp. CIX segg.

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Geometria. 1. Linee proporzionali, triangoli simili e poligoni simili. 2. Regole pratiche per la misura della circonferenza e delle superficie di un circolo in funzione del raggio; e per le misure delle superfici e dei volumi dei principali solidi geometrici, premesse le necessarie definizioni e nozioni. 3. Esercizi e problemi. Problemi inversi, pressa la regola pratica per l’estrazione della radice cubica da un numero intero e dalle frazioni. Calcolo letterale. 1. Nozioni preliminari. Prime quattro operazioni sulle quantità intere e frazionarie (omessa la divisione dei polinomi per polinomi). 2. Equazioni di 1.° grado a un’incognita. Esercizi e facili problemi. 3. Sistemi di più equazioni di primo grado con altrettante incognite. Diversi metodi di eliminazione. Avvertenza. Nell’insegnamento dell’aritmetica si debbono dare definizioni e regole chiare ed esatte, esempi molti, esercizi svariati e scelti fra quelli che non richiedono troppo lunghe operazioni di calcolo, e che hanno attinenza coi bisogni della vita. In ciascuna lezione si dovranno fare esercizi di calcolo orale. Nell’insegnamento della geometria sarà bene valersi di procedimenti intuitivi, quando la dimostrazione rigorosa dei teoremi richiede uno sforzo eccessivo delle menti degli alunni o un tempo troppo lungo. Il professore si servirà opportunamente di modelli in grande dimensione, di solidi in rilievo, e di disegni sulla tavola nera. L’ultimo numero di programma di calcolo letterale è obbligatorio per i soli alunni che si avviano agli istituti nautici. Scuole con indirizzo agrario Programma e orario come nelle scuole di tipo comune. Scuole con indirizzo commerciale Classe II (ore 2 sett.) Il Programma di aritmetica, e il solo n. 6 del programma di geometria delle scuole di tipo comune. Classe III (ore 2 sett.) Il n. 2 e 3del programma di geometria, e il n. 1 e 2 del programma di calcolo letterale nelle scuole di tipo comune. Scuole con indirizzo industriale Classe II (ore 4 sett.) Programma ed orario come nelle scuole di tipo comune.

Materie

di insegnamento

Scuole di

tipo comune

Scuole con indirizzo

agrario

Scuole con indirizzo commerciale

Scuole con indirizzo industriale

I. II. III. I. II. III. I. II. III. I. II. III. Lingua italiana Storia e diritti e doveri Geografia Lingua francese Matematica Scienze naturali Computisteria Disegno Calligrafia

6 2 2 3 4 - -

4½ 3

6 2 2 4 4 2 -

4½ 2

5 3 2 3 3 2

4½ 3 2

6 2 2 3 4 - -

4½ 3

5 2 2 4 4 3 -

4½ 2

5 2 2 3 3 3 3 3 2

6 2 2 3 4 - -

4½ 3

5 2 2 3 2 3 3

1½ 2

5 2 2 4 2 3 5 - 2

6 2 2 3 4 - -

4½ 3

4 2 2 3 4 3 -

4½ 2

4 2 2 2 3 3 3 5 -

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Agraria Lingua tedesca o inglese Meccanica elementare Tecnologia industriale

- - - - -

- - - - -

- - - - -

- - - - -

- - - - -

3 - - - -

- - - - -

- 4 - - -

- 4 - - -

- - - - -

- - 2 2 -

- - 2 3 -

Totale

24½

26½

27½

24½

26½

29

24½

27½

29

24½

28½

29

13. Gaetano Scorza, L’insegnamento della matematica101 Le scuole tecniche ammontano presentemente a 325, di cui 236 sono governative e 89 pareggiate; gli istituti tecnici a 77, dei quali 60 governativi102 e 17 pareggiati. Le prime possono essere di tipo comune, con indirizzo agrario, con indirizzo commerciale o con indirizzo industriale; i secondi risultano da una combinazione di sezioni, scelte fra le seguenti cinque:

I. Sezione fisico-matematica; II. Sezione di commercio e ragioneria; III. Sezione di agrimensura; IV. Sezione di agronomia; V. Sezione industriale.

Delle 236 scuole tecniche governative: 182 sono di tipo comune, 29 hanno indirizzo agrario, 21 sono di tipo comune con sezione commerciale, 4 sono di tipo comune con sezione industriale.

Dei 60 istituti governativi: 2 costano di 5 sezioni, 9 » 4 » 38 » 3 » 9 » 2 » 2 » 1 sola sezione;

e in essi:

la sezione I comparisce complessivamente 57 volte » II » » 59 » » III » » 46 » » IV » » 9 » » V » » 9 » 103

101 Gaetano Scorza, L’insegnamento della matematica nelle Scuole e negli Istituti tecnici. Bollettino della Mathesis, Supplemento, 1911, pp. 49-80. 102 Fra questi 60 non è compreso quello di Cosenza, che appena da quest’anno ha cominciato a costituirsi. 103 Qui si parla solo di sezioni e di sezioni governative; in taluni istituti infatti (Genova, Napoli, Trapani) alle sezioni ordinarie sono aggregate delle scuole speciali, in altri (Ancona e Terni) alle sezioni governative sono aggregate sezioni mantenute dai Comuni.

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Quanto alla loro popolazione scolastica non siamo in grado di dar statistiche recentissime per mancanza di dati ufficiali; possiamo soltanto comunicare che negli anni scolastici 1905-06 e 1906-07 gli alunni di tutti gli istituti (governativi o non) ammontarono, rispettivamente, a 16700 e a 17420; e quelli di tutte le scuole tecniche (governative e non) a 55597 e a 58594. Ciò dà, per l’insegnamento tecnico, un totale di 72297 alunni per l’anno 1905-06, e un totale di 76014 alunni per l’anno 1906-07; e quindi, contrariamente a quel che avveniva prima, una frequenza di molto superiore a quella delle scuole classiche, dove, nell’anno 1905-06 il numero degli scritti salì in totale, a 48038. La durata del corso è di 3 anni per le scuole tecniche, di 4 per gli Istituti104; e in questi ultimi, durante il primo anno, l’insegnamento è comune ai giovani di tutte le sezioni, cosicchè i singoli alunni non son tenuti a dichiarare a quale sezione intendano inscriversi, se non al principio del secondo anno. Tenendo presente questo fatto, per formarsi un’idea della distribuzione degli alunni di tutti i 77 istituti nelle varie sezioni, basta dare uno sguardo al seguente prospetto, che si riferisce sempre all’anno 1906-07.

SEZIONI

Istituti governativi

Istituti pareggiati

TOTALE

Alunni Uditori Alunni Uditori

Anno comune Fisico-matematica Commercio e ragioneria Agrimensura Agronomia Industriale Uditori Corsi speciali

Totale

4820 1902 4164 1080 29 215

- -

- - - - - -

126 1816

948 539 822 346

- - - -

- - - - - -

31 582

5768 2441 4986 1426 29 215 157 2398

12210 1942 2655 613 17420

Per essere inscritti alla prima classe tecnica occorre aver superato il così detto esame di maturità che può essere sostenuto da chi abbia frequentato per quattro anni le scuole elementari: per poter essere iscritto alla prima classe dell’Istituto basta presentare il diploma di licenza dalla scuola tecnica o, in caso contrario, sostenere un apposito esame di ammissione. Per quanto poi riguarda il passaggio da una classe alla successiva, o, ciò che fa lo stesso, le modalità degli esami, crediamo inutile qui entrare in particolari; poiché si tratterebbe di disposizioni comuni a tutte le scuole medie. Del resto una legge già approvata al Senato e che a quanto sembra sarà presto approvata pure dal Parlamento, per modo da poter essere promulgata per il prossimo anno scolastico, apporta modificazioni profonde al regolamento per gli esami ora vigenti. Chiudiamo questo breve notiziario con un prospetto delle tasse che debbono essere pagate da chiunque voglia essere ammesso a frequentare una scuola o un istituto tecnico.

Ammis-

sione Immatri. Iscrizione Licenza Diploma

Interni Esterni

104 Ad eccezione del corso della sezione industriale dell’istituto di Bergamo, la cui durata è di cinque anni.

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Scuola tecnica L. Sopratassa per esterni

10 20

- -

30 -

20 -

40 20

5 -

Istituto Tecnico L.

Sopratassa per esterni

40 20

20 -

72 -

75 -

130 20

10 -

14. Gaetano Scorza, Sull’insegnamento matematico elementare105 Come è ben noto e come è stato messo ampiamente in luce dal Klein in una sua opera recente, da un secolo o poco più tra l’insegnamento medio della matematica e quello superiore si è stabilita una separazione che si è venuta facendo sempre più rigida e netta, e i meravigliosi progressi compiuti da questa scienza nel secolo decimo nono non hanno avuto quasi alcun riflesso nelle scuole secondarie. Ma per quanto riguarda l’Italia questa considerazione deve esser precisata e chiarita. E infatti se si osserva che i maggiori matematici del secolo scorso hanno svolto la loro prodigiosa attività secondo due indirizzi diversi, in quanto che da una parte hanno atteso a moltiplicare le teorie o ad arricchirle di nuove verità, e dall’altra han badato a dar loro, mediante critiche minute e profonde, un’organizzazione logica perfetta, non può dirsi che tale attività sia rimasta in Italia totalmente inefficace. Basta mettere a raffronto i libri di testo che si usavan nelle nostre scuole un quarant’anni fa con quelli che si adoperano oggi, perché la superiorità di quest’ultimi, per quanto ha tratto all’esattezza ed al rigore, si renda immediatamente manifesta; e lo stesso Klein, discorrendo dell’evoluzione dell’insegnamento geometrico in Francia, in Germania, in Inghilterra e in Italia, trova nell’alto valore scientifico dei nostri migliori libri di geometria elementare il carattere peculiare del nostro movimento didattico. Se non che, codesto nostro amore per il rigore logico, se dimostra che non siamo rimasti inerti di fronte ai progressi della critica dei fondamenti, è pure, oggi, una delle più energiche cause di quella soluzione di continuità cui si alludeva più sopra. Dopo aver osservato, con gravissimo scandalo, che, per es., in Euclide, il numero dei postulati taciti superava di gran lunga il numero di quelli esplicitamente annunciati, noi non solo ci siamo posti a distinguer con cura meticolosa le proposizioni primitive da quelle dimostrate – facendo con ciò opera necessaria e lodevole di onestà scientifica – ma abbiamo voluto anche ridurre al minimo il numero delle prime e nel far questo spesso siamo arrivati ad esagerazioni che io non esito a qualificar per morbose. È avvenuto così che i nostri libri di testo sono diventati sempre più ampi per numero di pagine, ma sempre più poveri per quantità di contenuto: quindi la sostanza della materia trattata essendo rimasta la stessa, la separazione fra la matematica elementare e quella superiore non è certo diminuita. Né può dirsi che l’abbiamo diminuita, quando abbiamo introdotto nel nostro insegnamento la geometria del triangolo e la geometrografia; quando si è fatto ricorso ai simboli della logistica o si è costituita in vasta teoria la discussione dei problemi di 2° grado; o quando infine certe nozioni fondamentali (coordinate cartesiane, derivate, ecc) le abbiamo introdotte nel nostro bagaglio tradizionale non perché vi agissero energicamente fecondandolo e trasformandolo, ma perché aumentassero il catalogo

105 Gaetano Scorza, L’insegnamento della matematica nelle Scuole e negli Istituti tecnici. Bollettino della Mathesis, Supplemento, 1911, pp. 49-80.

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degli argomenti slegati che costituiscono il nostro insegnamento nel secondo biennio della sezione fisico-matematica106. Come già ho avuto occasione di ricordare vi sono colleghi che l’han rotta francamente con la tradizione e che nel secondo biennio in discorso introducono e sfruttano sistematicamente le nozioni di funzione e di derivata, ricorrendo anche a rappresentazioni grafiche e mostrando le applicazioni immediate a questioni fisiche fondamentali; ma son troppo pochi107, né son quelli che, fino ad ora almeno, abbiano dato il tono alle nostre discussioni didattiche. Le quali, se hanno suscitato sempre l’interesse dei professori di matematica, son state pur sempre unilaterali e monotone. Si percorrano gli atti di Mathesis dal suo inizio sino ad oggi o le annate dei nostri periodici di matematica elementare; si vedrà facilmente che a tutte le discussioni e a tutte le proposte soggiace in ogni caso la veduta che la materia da svolgere debba esser sempre quella tradizionale, salvo a sfondarne qua e là qualche teoria per far posto alle sempre maggiori esigenze logiche. E se tutti noi, oggi, ci guarderemmo bene, per es., dal riportare nelle nostre scuole gli Elementi d’Euclide nella loro veste primitiva, nessuno di noi ha ancora detto, almeno pubblicamente, che se il trattatista d’oggi vuol davvero imitare Euclide, cioè scrivere un’opera che serva di propedeutica agli studi superiori e che abbia lo stesso sostrato filosofico di quest’ultimi, non deve limitarsi ad apportare a quel classico libro dei perfezionamenti di ordine logico ma deve totalmente abbandonare il piano. In questo senso noi italiani, che pur possiamo vantarci di aver forse i più corretti libri di matematica elementare, siamo rimasti di gran lunga indietro alle altre nazioni, e la vivace lotta contro il formalismo, iniziata in Inghilterra dal Perry, di cui , per es., i Tedeschi si sono occupati con vivo interesse, al pari di alcuni tentativi del Bourlet e del Borel, non ha suscitato fra di noi alcuna eco di simpatica adesione. Ammiratori e spesso adoratori fanatici delle sistemazioni logiche rigide e precise, puristi nella più stretta accezione della parola – di fusionismo noi abbiamo parlato soltanto a proposito della geometria piana e solida e senza venire a capo di nulla – noi non abbiamo mai guardato alle

106 Sintomatico e curioso è a questo riguardo il pudore col quale alcuni trattatisti si guardano dal nominare le derivate. Poiché per alcuni in un libro elementare certe teorie non possono comparire se non a patto di un decente travestimento. 107 È probabile che una delle più potenti ragioni a non farne crescere il numero sia l’ostacolo frapposto a certe troppo libere interpretazioni dei programmi governativi dal fatto che il tema scritto di matematica per gli esami di licenza della sezione fisico-matematica è mandato dal Ministero. Donde la necessità di orientare i propri scolari verso un determinato ordine di considerazioni e di problemi. A questo proposito può essere utile riportare qui gli ultimi quattro temi spediti dal Ministero, di cui i primi due si riferiscono all’autunno 1910 e gli altri al luglio 1911. I) In un circolo sono condotte due corde, fra loro perpendicolari, che si tagliano internamente ad esso.

Calcolare la lunghezza delle medesime, conoscendosi la loro somma, la misura del raggio del circolo e l’area del rettangolo contenuto dalle due parti in cui ciascuna corda è divisa dall’altra. Discussione dei risultati.

II) Calcolare le misure dei tre lati di un triangolo rettangolo, conoscendosi la sua area e quella della superficie totale del solido generato dalla rotazione del triangolo introno all’ipotenusa. Discussione dei risultati.

III) Due corde uscenti da un punto di una circonferenza di raggio r fanno tra loro un angolo φ ed hanno somma uguale a un segmento a. Trovare le lunghezze delle corde e discutere la soluzione. Applicazione a uno qualunque dei casi nei quali φ=30°, φ=60°, φ=90°.

IV) Un tetraedro regolare è segato da un piano, parallelo a una delle facce, in un triangolo che si assume per base di un prisma retto inscritto nel tetraedro. A qual distanza dal vertice opposto a quella faccia bisogna condurre il piano secante, in modo che l’area laterale del prisma sia uguale a quella di un quadrato dato?

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nostre questioni didattiche da un punto di vista elevato; un po’ per difficoltà frapposte alle iniziative innovatrici da ogni vasta organizzazione burocratica, un po’ per la paura delle considerazioni d’indole generale, caratteristica della seconda metà del secolo passato in ogni ordine di persone colte, il nostro discutere è stato sempre un continuo piétiner sur place. E non solo non ci siamo mai preoccupati di orientare il nostro insegnamento verso quello superiore, ma neanche abbiamo badato a coordinarlo con quello di scienze strettamente affini. In qualche Istituto è il professore di fisica che dà agli alunni la nozione di derivata, e nelle pagine precedenti il lettore avrà notato come si sia provvisto, in talune sezioni industriali, a dare agli alunni la preparazione matematica necessaria a seguir le lezioni di meccanica. Si vegga per es. come nel programma della 3a classe della sezione industriale di Roma si eviti di parlar di integrali, sebbene le questioni cui si riferisce siano tutte delle integrazioni, e poi si rifletta se con sì… timida matematica si possa procedere a una buona esposizione della meccanica. E taccio di quegli istituti ove si crede di aver provvisto a tutto mescolando gli alunni della sezione industriale con quelli della fisico-matematica; cioè costringendo i primi a sorbirsi, per es., l’analisi indeterminata di I° grado, le frazioni continue e i problemi di massimo e di minimo trattati con mezzi elementari, cioè con artifizi né semplici, né istruttivi. Palermo, luglio 1910.

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