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Liceo scientifico “G.Aselli”Liceo scientifico “G.Aselli”classe III Eclasse III E

anno scolastico 2005-2006anno scolastico 2005-2006

BOLLIBOLLI Elena, Elena, DAL RIODAL RIO Chiara, Chiara, FAROLDIFAROLDI Federico, Federico, LOFFILOFFI Ilaria, Ilaria,

MORANDIMORANDI Benedetta, Benedetta, PASINOPASINO Eleonora Eleonora

Gruppo Gruppo 44::

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Le coniche secondo Le coniche secondo APOLLONIO di APOLLONIO di

PERGAPERGA

Le coniche secondo Le coniche secondo APOLLONIO di APOLLONIO di

PERGAPERGA

“Chi capisce Archimede e Apollonio,ammirerà meno le conquiste dei più eminenti matematici dei tempi successivi”

(Leibniz)

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LA VITAI PROBLEMI

MINORI

LE CONICHE

BIBLIOGRAFIA

SITOGRAFIA

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LA VITALA VITALA VITALA VITAApollonio non era nativo di Alessandria, dove compì i suoi studi;

ma era nato a Perga in Panfilia.

Non conosciamo con esattezza le date della sua vita, ma la tradizione riferisce che operò durante la seconda metà del III secolo a.C.

Sono pervenute fino a noi opere di Apollonio che si occupano di diversi campi della matematica:

Sono pervenute fino a noi opere di Apollonio che si occupano di diversi campi della matematica:

- Luoghi Piani

-Dizione Rapida (calcolo approssimato di al valore di 3,1416)

- Tangenze

INDICE

- Le coniche

- La sezione di un rapporto- La sezione di un’area

- Sulla sezione determinata

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I PROBLEMI MINORII PROBLEMI MINORII PROBLEMI MINORII PROBLEMI MINORI Si deve ad Apollonio l’introduzione di due sistemi alternativi a quelli delle sfere concentriche: l’uno formato da moti epiciclici, l’altro da moti eccentrici.

Nel primo schema si assumeva che un pianeta P si muovesse uniformemente lungo un piccolo cerchio

(epiciclo), il cui centro a sua volta si muoveva uniformemente lungo la circonferenza di un cerchio più grande (deferente) che aveva il suo centro nella

Terra O.

Nello schema eccentrico il pianeta P si muove uniformemente lungo la circonferenza di un grande

cerchio il cui centro C’ si muove a sua volta uniformemente in un piccolo cerchi con centro in E. Se PC=C’E, i due schemi geometrici saranno

equivalenti come ben sapeva Apollonio.

INDICE

66

nell’opera nell’opera Luoghi Piani Luoghi Piani Apollonio definisce Apollonio definisce il luogo dei punti tali che il rapporto il luogo dei punti tali che il rapporto delle loro distanze da due punti fissi sia costante (e diverso da uno) è un cerchio, delle loro distanze da due punti fissi sia costante (e diverso da uno) è un cerchio,

oggi noto come “il cerchio di Apollonio”.oggi noto come “il cerchio di Apollonio”.

LA VITA INDICE

77 INDICE LA VITA

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nei libri nei libri La sezione di un rapporto, La sezione di un’area La sezione di un rapporto, La sezione di un’area ee Sulla sezione determinata Sulla sezione determinata vengono risolti problemi che noi assimiliamo alle equazioni di secondo grado. vengono risolti problemi che noi assimiliamo alle equazioni di secondo grado.

ax – x2 = bc(problema di applicare ad un segmento rettilineo un rettangolo

uguale a un rettangolo meno un quadrato)

INDICE LA VITA DERIVAZIONE DEL NOME…

99

nei libri nei libri La sezione di un rapporto, La sezione di un’area La sezione di un rapporto, La sezione di un’area ee Sulla sezione determinata Sulla sezione determinata vengono risolti problemi che noi assimiliamo alle equazioni di secondo grado. vengono risolti problemi che noi assimiliamo alle equazioni di secondo grado.

ax + x2 = bc(problema di costruire su un segmento un rettangolo uguale ad un

rettangolo più un quadrato)

INDICE LA VITA DERIVAZIONE DEL NOME…

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Il trattato delle Il trattato delle TangenzeTangenze presenta il problema oggi noto come il “problema di presenta il problema oggi noto come il “problema di Apollonio”:Apollonio”:

Date tre cose, ciascuna delle Date tre cose, ciascuna delle quali può essere un quali può essere un

punto,una retta o un cerchio, punto,una retta o un cerchio, tracciare un cerchio che sia tracciare un cerchio che sia

tangente a ciascuna delle tre tangente a ciascuna delle tre cose (dove tangenza a un cose (dove tangenza a un

punto va intesa nel senso che punto va intesa nel senso che il cerchio passa per il punto). il cerchio passa per il punto). Questo problema comporta Questo problema comporta

dieci casi, dai due più facili(in dieci casi, dai due più facili(in cui le tre cose sono tre punti o cui le tre cose sono tre punti o tre rette) a quello più difficile tre rette) a quello più difficile di tutti (tracciare un cerchio di tutti (tracciare un cerchio

tangente a tre cerchi).tangente a tre cerchi).

INDICE LA VITA

1111

LE CONICHELE CONICHELE CONICHELE CONICHE Premettiamo alla presentazione dei problemi riguardanti le coniche Premettiamo alla presentazione dei problemi riguardanti le coniche

il fatto che Apollonio doveva necessariamente operare con il più il fatto che Apollonio doveva necessariamente operare con il più rigoroso, ma molto più ingombrante, strumento dell’algebra rigoroso, ma molto più ingombrante, strumento dell’algebra

geometrica, a causa della totale mancanza di geometria analitica.geometrica, a causa della totale mancanza di geometria analitica.

- il cono non doveva necessariamente essere retto, ma anche obliquo o scaleno.

- non era necessario prendere sezioni perpendicolari a un elemento non era necessario prendere sezioni perpendicolari a un elemento del conodel cono

- da un unico cono era possibile ottenere da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche tutte e tre le varietà di sezioni coniche semplicemente variando l’inclinazione del semplicemente variando l’inclinazione del piano di intersezione.piano di intersezione.

INDICE

Apollonio, per la prima volta, dimostrò che:Apollonio, per la prima volta, dimostrò che:

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Derivazione del Derivazione del nome delle delle conicheconiche

Derivazione del Derivazione del nome delle delle conicheconiche

Per circa un secolo e mezzo le curve erano state indicate con generici Per circa un secolo e mezzo le curve erano state indicate con generici appellativi, fu Apollonio che introdusse i nomi di ellisse, di parabola e di appellativi, fu Apollonio che introdusse i nomi di ellisse, di parabola e di

iperbole in relazione a queste curve (usati invece in precedenza dai iperbole in relazione a queste curve (usati invece in precedenza dai pitagorici per la risoluzione di equazioni di 2°grado).pitagorici per la risoluzione di equazioni di 2°grado).

Per classificare le diverse curve prendeva in considerazione il Per classificare le diverse curve prendeva in considerazione il parametro: : un segmento perpendicolare all’asse maggiore della conica, passante per un segmento perpendicolare all’asse maggiore della conica, passante per

un fuoco, avente gli estremi sulla conica.un fuoco, avente gli estremi sulla conica.

È ad Eutocio, commentatore dell’antichità, che risale la responsabilità dell’opinione, largamente diffusa, ma errata, secondo cui i termini ellisse, parabola e iperbole furono adottati da Apollonio per indicare le differenti

disposizioni del piano di intersezione rispetto alla seconda falda del cono.

INDICE

1313

ELLISSE (che significa “mancanza”) era stato usato quando un rettangolo di area data veniva adagiato su un segmento dato – il parametro - in modo che

ne differiva per difetto. Quindi per l’ellisse il quadrato costruito sull’ordinata è minore del rettangolo formato dall’ascissa x e dal parametro l (y2<lx).

INDICE

1414

IPERBOLE (che significa “lanciare al di là”) era stato adottato per il caso in cui l’ area da applicare eccedeva il segmento. Per l'iperbole il quadrato

costruito sull’ordinata è maggiore del rettangolo formato dall’ascissa x e dal parametro l (y2>lx).

INDICE

1515

PARABOLA (che significa “porre accanto” o “confrontare”) era stato usato per indicare l’assenza sia di eccesso sia di difetto.

La parabola ha la proprietà per cui,qualunque punto della curva si scelga,il quadrato costruito sull’ordinata è esattamente uguale al rettangolo formato

dall’ascissa x e dal parametro l (y2=lx).

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1616

Nell’opera Nell’opera Le conicheLe coniche Apollonio affronta varie questioni: Apollonio affronta varie questioni:

individua la relazione fondamentale tra quelle che oggi chiameremmo le coordinate piane di un punto sulla curva espresse dalle tre equazioni y2=lx,

e la proprietà dell’iperbole riferite ai suoi asintoti come assi,

proprietà attualmente espressa, per l’iperbole equilatera, dall’equazione xy=k2 a

xb 222 lxy

risolve problemi, divenuti famosi nell’antichità, come il “luogo geometrico rispetto a tre o quattro rette” che risolve riconducendo la soluzione alle sezioni coniche (in quanto il problema viene risolto mediate un’equazione si 2°grado

nelle incognite x e y)

introduce l’idea dell’iperbole come curva a due rami

INDICE

inizia lo studio delle diverse intersezioni tra le varie coniche

1717

Studiando i punti di intersezione tra le normali, giunge a definire il Studiando i punti di intersezione tra le normali, giunge a definire il luogo dei punti che oggi identifichiamo con l’luogo dei punti che oggi identifichiamo con l’evoluta della evoluta della conicaconica (per evoluta di una conica si intende la curva su cui (per evoluta di una conica si intende la curva su cui

giacciono i centri di curvatura, cioè i centri dei cerchi che meglio giacciono i centri di curvatura, cioè i centri dei cerchi che meglio approssimano la curva in ogni suo punto: i approssimano la curva in ogni suo punto: i cerchi osculatoricerchi osculatori) )

INDICE

tratta dei segmenti massimi e minimi che si possono tracciare rispetto ad una conica riducendo questo problema a teoremi sulle

tangenti e sulle normali definendone esattamente la natura

1818

• cerchi osculatori dell’ellisse

• esempi di evolute di ellissi

• esempio di evoluta di una parabola

1919

Notazioni su Notazioni su Le conicheLe coniche Notazioni su Notazioni su Le conicheLe coniche-- è presumibile che Apollonio conoscesse la proprietà delle curve di avere un è presumibile che Apollonio conoscesse la proprietà delle curve di avere un

fuoco e anche una direttrice, ma di questi non viene fatta alcuna menzione fuoco e anche una direttrice, ma di questi non viene fatta alcuna menzione nelle nelle Coniche, Coniche, se non indirettamente se non indirettamente

- la trattazione antica delle coniche non presentava nessun concetto numerico - la trattazione antica delle coniche non presentava nessun concetto numerico che corrispondesse a quella che oggi chiamiamo eccentricitàche corrispondesse a quella che oggi chiamiamo eccentricità

- i metodi usati da Apollonio nelle Coniche sono, per molti aspetti, molti simili a - i metodi usati da Apollonio nelle Coniche sono, per molti aspetti, molti simili a quelli moderni. L’impiego di rette di riferimento in generale, e quello di un quelli moderni. L’impiego di rette di riferimento in generale, e quello di un diametro e di una tangente all’estremo di una conica in particolare, non è diametro e di una tangente all’estremo di una conica in particolare, non è essenzialmente diverso dall’uso di un sistema di coordinate, siano esse essenzialmente diverso dall’uso di un sistema di coordinate, siano esse

rettangolari o, più generalmente, oblique rettangolari o, più generalmente, oblique

- parlando della geometria greca possiamo dire che le equazioni sono - parlando della geometria greca possiamo dire che le equazioni sono determinate da curve, ma non che le curve siano definite da equazioni determinate da curve, ma non che le curve siano definite da equazioni

INDICE

2020

BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIA

APOLLONIO DI PERGA, Les coniques, trad. di P. Ver Eecke, Desclèe de Brouwer, Bruges, 1924.

BOYER, CARL B., Storia della Matematica, trad. di A. Carugo, Mondadori, Milano, 1990.

KLINE, MORRIS, Storia del Pensiero Matematico, trad. A. Conte, Einaudi, Torino, 1996.

2121

SITOGRAFIASITOGRAFIASITOGRAFIASITOGRAFIA

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http://www.homolaicus.com/teorici/ipazia/ipazia.htm http://www.homolaicus.com/teorici/ipazia/ipazia.htm

http://digilander.libero.it/diogenes99/Greci/Grecia.htmhttp://digilander.libero.it/diogenes99/Greci/Grecia.htm