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ULAREEst.Tom.Dec.Apunte I

Introducción.

La Estadística y su papel en el conocimiento.

Como la mayoría de nosotros sabemos, el papel más destacado de la Estadística es larecopilación, presentación, análisis y uso de datos, a partir de los cuales podemosobtenerconclusiones y tomar decisiones.

En este sentido, el conocimiento de la Estadística puede resultar de ran utilidad encual!uier campo y en particular en la Ineniería.

"or e#emplo, en el dise$o, desarrollo y me#ora de los procesos de producción %control dela &ariabilidad en el proceso, control de la calidad, etc...'.

(tros ámbitos de aplicación podrían ser) el estudio de materiales %duración, dure*a,elasticidad, etc...', análisis de rendimientos en procesos !uímicos se+n su empleo de

catali*adores, análisis de procesos idrolóicos %cálculo de a&enidas, caudalesenerados por cuencas idrorá-cas, etc...', análisis de dimensionamiento deestructuras y obras basados en el análisis de rieso, etc...

La asinatura de /todos Estadísticos en la Ineniería persiue ense$ar a los alumnoslas erramientas estadísticas básicas !ue le puedan ser de utilidad en sus 0uturose#erciciospro0esionales.

La asinatura consta de tres partes) Estadística Descripti&a, "robabilidad e In0erenciaEstadística.

La Estadística Descripti&a se encara de resumir %rá-ca y num/ricamente'la in0ormación contenida en un con#unto de datos, destacando sus rasos másrele&antes.

La In0erencia Estadística permite obtener conclusiones y tomar decisiones en unapoblación %noobser&able completamente' anali*ando solamente una parte representati&a de ella a la!ue llamamos muestra.

La "robabilidad sir&e de puente entre ambas ramas, !ue constituye la baseteórica para poder acer in0erencias en la población a partir de lo obser&ado y crearmodelospara problemas concretos.

"ro0esor) Ricardo 1apata C. 2

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Resumen:

Distribuciones Unidimensionales:

2. Introducción.

3. "oblación, elementos y caracteres.

4. 5ariables y atributos.

Introducción:

La palabra "estadística" suele utilizarse bajo dos significados distintos, a saber:

1º Como colección de datos numéricos. !sto es el significado ms #ulgar de la palabra estadística. $e

sobrentiende %ue dic&os datos numéricos &an de estar presentados de manera ordenada ' sistemtica. (na

información numérica cual%uiera puede no constituir una estadística, para merecer este apelati#o, los datos

&an de constituir un conjunto co&erente, establecido de forma sistemtica ' siguiendo un criterio de

ordenación.

)enemos muc&os ejemplos de este tipo de estadísticas. !l *nuario !stadístico publicado por el +nstituto

acional de !stadística, !l *nuario de !stadísticas del )rabajo,-

º Como ciencia. !n este significado, La !stadística estudia el comportamiento de los fenómenos de masas.

Como todas las ciencias, busca las características generales de un colecti#o ' prescinde de las particulares de

cada elemento. *sí por ejemplo al in#estigar el se/o de los nacimientos, iniciaremos el trabajo tomando un

grupo numeroso de nacimientos ' obtener después la proporción de #arones. !s mu' frecuente enfrentarnos

con fenómenos en los %ue es mu' difícil predecir el resultado0 así, no podemos dar una lista ,con las personas

%ue #an a morir con una cierta edad, o el se/o de un nue#o ser &asta %ue transcurra un determinado tiempo de

embarazo,-

or tanto, el objeti#o de la estadística es &allar las regularidades %ue se encuentran en los fenómenos de masa.

Población, elementos y caracteres.

!s ob#io %ue todo estudio estadístico &a de estar referido a un conjunto o colección de personas o cosas. !ste

conjunto de personas o cosas es lo %ue denominaremos población.


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Las personas o cosas %ue forman parte de la población se denominan elementos. !n sentido estadístico un

elemento puede ser algo con e/istencia real, como un automó#il o una casa, o algo ms abstracto como la

temperatura, un #oto, o un inter#alo de tiempo.

* su #ez, cada elemento de la población tiene una serie de características %ue pueden ser objeto del estudio

estadístico. *sí por ejemplo si consideramos como elemento a una persona, podemos distinguir en ella lossiguientes caracteres:

$e/o, !dad, i#el de estudios, rofesión, eso, *ltura, Color de pelo,!tc.

Luego por tanto de cada elemento de la población podremos estudiar uno o ms aspectos cualidades o

caracteres.

La población puede ser seg2n su tama3o de dos tipos:

Población finita: cuando el n2mero de elementos %ue la forman es finito, por ejemplo el n2mero de

alumnos de un centro de ense3anza, o grupo clase.

Población infinita: cuando el n2mero de elementos %ue la forman es infinito, o tan grande %ue

pudiesen considerarse infinitos.. Como por ejemplo si se realizase un estudio sobre los productos %ue

&a' en el mercado. 4a' tantos ' de tantas calidades %ue esta población podría considerarse infinita.

*&ora bien, normalmente en un estudio estadístico, no se puede trabajar con todos los elementos de la

población sino %ue se realiza sobre un subconjunto de la misma. !ste subconjunto puede ser una muestra,

cuando se toman un determinado n2mero de elementos de la población, sin %ue en principio tengan nada en

com2n0 o una subpoblación, %ue es el subconjunto de la población formado por los elementos de la población

%ue comparten una determinada característica, por ejemplo de los alumnos del centro la subpoblación

formada por los alumnos de 5º !$6, o la subpoblación de los #arones.

Variables y atributos.

Como &emos #isto, los caracteres de un elemento pueden ser de mu' di#ersos tipos, por lo %ue los podemos

clasificar en: dos grandes clases:

7ariables Cuantitativas.

7ariables Cualitativas o Atributos.

Las #ariables cuantitati#as son las %ue se describen por medio de n2meros, como por ejemplo el peso, *ltura,

!dad, 2mero de $uspensos-

* su #ez este tipo de #ariables se puede di#idir en dos subclases:

• Cuantitativas discretas. A!uellas a las !ue se les puede asociar un n+meroentero, es decir, a!uellas !ue por su naturale*a no admiten un 0raccionamientode la unidad, por e#emplo n+mero de ermanos, páinas de un libro, etc.


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• Cuantitativas continuas) A!uellas !ue no se pueden e6presar mediante unn+mero entero, es decir, a!uellas !ue por su naturale*a admiten !ue entre dos&alores cuales!uiera la &ariable pueda tomar cual!uier &alor intermedio, pore#emplo peso, tiempo. etc.

o obstante en muc&os casos el tratamiento estadístico &ace %ue a #ariables discretas las trabajemos como si

fuesen continuas ' #ice#ersa.

Los atributos son a%uellos caracteres %ue para su definición precisan de palabras, es decir, no le podemos

asignar un n2mero. or ejemplo $e/o rofesión, !stado Ci#il, etc.

* su #ez las podemos clasificar en:

• Ordenables: A!uellas !ue suieren una ordenación, por e#emplo la raduaciónmilitar, El ni&el de estudios, etc.

• No ordenables: A!uellas !ue sólo admiten una mera ordenación al0ab/tica,

pero no establece orden por su naturale*a, por e#emplo el color de pelo, se6o,estado ci&il, etc.

Tablas Estadísticas:

* partir de este momento nos #amos a ocupar de las estadísticas de una sola #ariable, "!stadísticas

(nidimensionales".

Las tablas estadísticas seg2n el n2mero de obser#aciones ' seg2n el recorrido de la #ariable

estadística, así tenemos los siguientes tipos de tablas estadísticas:

Tablas tipo I:

Cuando el tama3o de la muestra ' el recorrido de la #ariable son pe%ue3os, por ejemplo si tenemos una

muestra de las edades de 8 personas, por lo %ue no &a' %ue &acer nada especial simplemente anotarlas de

manera ordenada en filas o columnas.

!dad de los 8 miembros de una familia:

8, 9, 1, 59, ;8

Tablas tipo II:

Cuando el tama3o de la muestra es grande ' el recorrido de la #ariable es pe%ue3o, por lo %ue &a' #alores de

la #ariable %ue se repiten. or ejemplo, si preguntamos el n2mero de personas acti#as %ue &a' en 8< familias

obtenemos la siguiente tabla:


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ersonas *cti#as en 8< familias

1 1 ; 1 1

5 1 1 1 5 ;

1 1 1 1 5

5 5 1 ; 1 ; 1

1 5 ; 5 1 5 5

odemos obser#ar %ue la #ariable toma #alores comprendidos entre 1 ' ;, por lo %ue precisaremos una tabla

en la %ue resumamos estos datos %uedando la siguiente tabla:

ersonas *cti#as 2mero de =amilias

1 1

<

5 >

; 8

)otal 8<

Tablas tipo III:

Cuando el tama3o de la muestra ' el recorrido de la #ariable son grandes, por lo %ue ser necesario agrupar en

inter#alos los #alores de la #ariable. or ejemplo si a un grupo de 5< alumnos les preguntamos el dinero %ue

en ese momento lle#an encima, nos encontramos con los siguientes datos:

;8< 118 8< 5

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!#identemente, la #ariable estadística tiene un recorrido mu' grande, ;>>9 pesetas, por lo %ue sí %ueremos

&acer una tabla con estos datos tendremos %ue tomar inter#alos. ara decidir la amplitud de los inter#alos,

necesitaremos decidir @cuntos inter#alos %ueremosA. ormalmente se suele trabajar con no ms de 1< o 1

inter#alos.

*mplitud B;>>91< B ;>>,9 or lo %ue tomaremos inter#alos de amplitud 8

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E ;8

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8. :recuencia relati&a acumulada

9. "orcenta#e acumulado

;. E#emplo

!recuencia absoluta:

La frecuencia absoluta de una #ariable estadística es el n2mero de #eces %ue aparece en la muestra dic&o

#alor de la #ariable, la representaremos por ni

!recuencia relati"a:

La frecuencia absoluta, es una medida %ue est influida por el tama3o de la muestra, al aumentar el tama3o de

la muestra aumentar también el tama3o de la frecuencia absoluta. !sto &ace %ue no sea una medida 2til para

poder comparar. ara esto es necesario introducir el concepto de frecuencia relativa, %ue es el cociente entre

la frecuencia absoluta ' el tama3o de la muestra. La denotaremos por # i

Donde $ B )ama3o de la muestra

Porcenta%e:

La frecuencia relati#a es un tanto por uno, sin embargo, &o' día es bastante frecuente &ablar siempre en

términos de tantos por ciento o porcentajes, por lo %ue esta medida resulta de multiplicar la frecuencia

relati#a por 1

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!recuencia 'elati"a &cunulada:

*l igual %ue en el caso anterior la frecuencia relati#a acumulada es la frecuencia absoluta acumulada di#idido

por el tama3o de la muestra, ' la denotaremos por !i

Porcenta%e &cumulado:

*nlogamente se define el orcentaje *cumulado ' lo #amos a denotar por Pi como la frecuencia relati#aacumulada por 1

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!n el resto del tema nos ocuparemos e/clusi#amente de las #ariable cuantitati#as, puesto %ue con losatributos no se pueden realizar operaciones aritméticas. Como &emos estudiado, las #ariables estadísticas

cuantitati#as se di#iden o clasifican en discretas o continuas, por lo %ue necesitaremos precisar cómo se

calculan dic&as medidas en cada caso.

!n las #ariables cuantitati#as continuas, dado %ue la tabulación de los datos se &ace mediante inter#alos,necesitaremos tomar un #alor del inter#alo para poder operar. !ste #alor se denomina marca de clase ' es el

851upunto medio del inter#alo.

Las medidas estadísticas pretenden "resumir" la información de la "muestra" para poder tener así un mejor

conocimiento de la población. $e clasifican en:

TIP) DE (EDID&:

2. edidas de Centrali*ación)

o

>ue sir&en para determinar los &alores centrales o medios de ladsitribución

3. edidas de Dispersión)

o ?os &an a dar una idea sobre la representati&idad de las medidascentrales, a mayor dispersión menor representati&idad.

4. edidas de Locali*ación)

o @tiles para encontrar determinados &alores importantes, para unaclasi-cación de los elementos de la muestra o población.

7. edidas de la Bimetría)

o Bir&en para &er si la distribución tiene el mismo comportamiento porencima y por deba#o de los &alores centrales.

8. E#emplo del cálculo de los coe-cientes de simetría y Curtósis

(edidas de *entrali-ación:

2. edia

2. edia aritm/tica

3. edia eom/tica

4. edia armónica

3. ediana


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2. 5ariable discreta.

3. 5ariable contínua.

4. oda

2. 5ariable discreta.

3. 5ariable contínua.

(EDI&: 7amos a estudiar en este apartado los distintos tipos de media %ue &emos detallado en el apartadoanterior

(edia aritmtica:

La media aritmética de una #ariable se define como la suma ponderada de los #alores de la #ariable por sus

frecuencias relati#as ' lo denotaremos por ' se calcula mediante la e/presión:

i representa el #alor de la #ariable o en su caso la marca de clase.

Propiedades:

2. Bi multiplicamos o di&idimos todas las obser&aciones por un mismo n+mero, lamedia !ueda multiplicada o di&idida por dico numero.

3. Bi le sumamos a todas las obser&aciones un mismo n+mero, la mediaaumentará en dica cantidad.

4. Además de la media aritm/tica e6isten otros conceptos de media, como son lamedia eom/trica y la media armónica.

(edia /eomtrica: La media geométrica de obser#aciones es la raíz de índice del producto detodas las obser#aciones. La representaremos por J.

$olo se puede calcular si no &a' obser#aciones negati#as. !s una medida estadística poco o nada usual.


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(edia armónica: La media armónica de obser#aciones es la in#ersa de la media de las in#ersas de lasobser#aciones ' la denotaremos por 4

*l igual %ue en el caso de la media geométrica su utilización es bastante poco frecuente.

(ediana: La mediana es el #alor central de la #ariable, es decir, supuesta la muestra ordenada en ordencreciente o decreciente, el #alor %ue di#ide en dos partes la muestra. ara calcular la mediana debemos tener

en cuenta si la #ariable es discreta o continua.

*0lculo de la mediana en el caso discreto:

)endremos en cuenta el tama3o de la muestra.

$i $ es Impar, &a' un término central, el término %ue ser el #alor de la mediana.

$i $ es Par, &a' dos términos centrales, la mediana ser la media de esos dos #alores

7eamos un ejemplo.

par +mpar

1,;,,?,9,>,1,1,,1,1,

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$i la #ariable es continua, la tabla #endr en inter#alos, por lo %ue se calcula de la siguiente forma:

os #amos a apo'ar en un grfico de un &istograma de frecuencias acumuladas.

De donde la mediana #ale: donde ai es la amplitud del

inter#alo

7emoslo por medio de un ejemplo.

$upongamos los pesos de un grupo de 8< personas se distribu'en de la siguiente forma:

#i$1 #i ni Ni omo el tama&o 'e la m(estra es N)50* +(scamos el intervalo en el ,(e la Frec(encia

ac(m(la'a es ma-or ,(e 50/2)25* ,(e en este caso es el 3 - aplicamos la rm(la

anterior. #(eo la e'iana ser

e)

45 55 6 6

55 65 10 16

65 75 1 35

75 !5 11 46

!5 5 4 50


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()D&: La moda es el #alor de la #ariable %ue tenga ma'or frecuencia absoluta, la %ue ms se repite, es la

2nica medida de centralización %ue tiene sentido estudiar en una #ariable cualitati#a, pues no precisa larealización de ning2n clculo.

or su propia definición, la moda no es 2nica, pues puede &aber dos o ms #alores de la #ariable %ue tengan la

misma frecuencia siendo esta m/ima. !n cu'o caso tendremos una distribución bimodal o polimodal seg2n

el caso.

or lo tanto el clculo de la moda en distribuciones discretas o cualitati#as no precisa de una e/plicación

ma'or0 sin embargo, debemos detenernos un poco en el clculo de la moda para distribuciones cuantitati#as

continuas.

*po'ndonos en el grfico podemos llegar a la determinación de la e/presión para la Ioda %ue es:

6tros autores dan una e/presión apro/imada para la moda %ue #iene dada por la siguiente e/presión:

7eamos su clculo mediante un ejemplo, para ello usaremos los datos del apartado anterior

#i$1 #i ni Ni

45 55 6 6


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tilian'o la rm(la aproima'a

55 65 10 16

65 75 1 35

75 !5 11 46

!5 5 4 50

(EDID& DE DIPE'I+$:

2. re&e Introducción

3. Rano

4. Concepto de des&iación

7. Des&iación edia

8. 5arian*a

9. Des&iación Típica

;. Cuasi&arian*a

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Des"iación: !s la diferencia %ue se obser#a entre el #alor de la #ariable ' la media aritmética. Ladenotaremos por di . o es una medida, son muc&as medidas, pues cada #alor de la #ariable lle#a asociada sucorrespondiente des#iación, por lo %ue precisaremos una medida %ue resuma dic&a información.

La primera solución puede ser calcular la media de todas las des#iaciones, es decir, si consideramos como

muestra la de todas las des#iaciones ' calculamos su media. ero esta solución es mala pues como #eremossiempre #a a ser

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!ste estadístico tiene el incon#eniente de ser poco significati#o, pues se mide en el cuadrado de la unidad de

la #ariable, por ejemplo, si la #ariable #iene dada en cm. La #arianza #endr en cm.

Des"iación típica:

!s la raíz cuadrada de la #arianza, se denota por o .

!ste estadístico se mide en la misma unidad %ue la #ariable por lo %ue se puede interpretar mejor.

6tros dos estadísticos importantes son la cuasi#arianza ' la cuasides#iación típica, %ue como #eremos cuando

estudiemos el tema de estimación estadística, son los estimadores de la #arianza ' des#iación típica

poblacionales respecti#amente.

*uasi"arian-a:

!s una medida de dispersión, cu'a 2nica diferencia con la #arianza es %ue di#idimos por 1, la

representaremos por o ' la calcularemos de la siguiente forma:

*uasides"iación típica: La raíz cuadrada de la cuasi#arianza ' la denotaremos por $21 o σ $1.

)odas estas medidas de dispersión #ienen influidas por la unidad en la %ue se mide la #ariable, esto implica

%ue si cambiamos de unidad de medida, los #alores de estos estadísticos se #ean a su #ez modificados.

*dems, no permite comparar por ejemplo, en un grupo de alumnos si los pesos o las alturas presentan mas

dispersión. ues no es posible comparar unidades de distinto tipo.

recisamos por lo tanto, una medida "escalar ", es decir, %ue no lle#e asociado ninguna unidad de medida.

"ro0esor) Ricardo 1apata C. 2;

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*oe#iciente de Variación: !s un estadístico de dispersión %ue tiene la #entaja de %ue no lle#a asociadaninguna unidad, por lo %ue nos permitir decir entre dos muestras, cual es la %ue presenta ma'or dispersión.

La denotaremos por *.V.

E%emplo

7eamos por 2ltimo un ejemplo de cómo se calculan todas estas medidas.

45 55 6 6 50 300 $1*4 116*4 225!*16 15000

55 65 10 16 60 600 $*4 4 !!3*6 36000

65 75 1 35 70 1330 0*6 11*4 6*!4 3100

75 !5 11 46 !0 !!0 10*6 116*6 1235*6 70400

!5 5 4 50 0 360 20*6 !2*4 167*44 32400

N) 50 3470 420*! 60!2 24600


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)

m)

)

.8.)

(edidas de 4ocali-ación: *uartiles, Deciles y Percentiles.

Las medidas de localización di#iden la distribución en partes iguales, sir#en para clasificar a un indi#iduo o

elemento dentro de una determinada población o muestra. *sí en psicología los resultados de los test o

pruebas %ue realizan a un determinado indi#iduo, sir#e para clasificar a dic&o sujeto en una determinada

categoria en función de la 851upuntuacióIn obtenida.

"ro0esor) Ricardo 1apata C. 2=

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1. uartiles.

!. Deciles.

". #ercentiles.

$. E%emplos de c&lculo.

8. 'lgunas medidas de dispersión asociadas

Cuarteles Iedida de localización %ue di#ide la población o muestra en cuatro partes iguales.

• >2 5alor de la &ariable !ue de#a a la i*!uierda el 38F de la distribución.

• >3 5alor de la &ariable !ue de#a a la i*!uierda el 8F de la distribución mediana.

• >4 5alor de la &ariable !ue de#a a la i*!uierda el ;8F de la distribución.

*l igual %ue ocurre con el clculo de la mediana, el clculo de estos estadísticos, depende del tipo de #ariable.

Caso I) 5ariable cuantitati&a discreta)

En este caso tendremos !ue obser&ar el tama$o de la muestra) ? y paracalcular >2 o >4 procederemos como si tu&i/semos !ue calcular la mediana dela correspondiente mitad de la muestra.

Caso II) 5ariable cuantitati&a continua)

En este caso el cálculo es más simple), sea la distribución !ue siue)

$iendo el inter#alo coloreado donde se encuentra el Cuartil

correspondiente:

'

Deciles Iedida de localización %ue di#ide la población o muestra en 1< partes iguales. o tiene muc&osentido calcularlas para #ariables cualitati#as discretas. or lo %ue lo #amos a #er sólo para las #ariables

continuas.

d B Decil simo es a%uel #alor de la #ariable %ue deja a su iz%uierda el M1< G de la distribución.


ELi Li1F ni1 i1

ELi1 LiF ni i

ELi Li1F ni1 i1

ELi1 LiF ni i

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt153.html#seccion1%23seccion1http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt153.html#seccion2%23seccion2http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt153.html#seccion1%23seccion1http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/53-1-u-punt153.html#seccion2%23seccion2

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+nter#alo donde se encuentra el Decil correspondiente:

B 1 .. >

Percentiles: Iedida de localización %ue di#ide la población o muestra en 1>

E5E(P4):Como se puede obser#ar la forma de calcular estas medidas es mu' similar a la del clculo de lamediana.7eamos el clculo de algunas de estas medidas en el ejemplo %ue estamos estudiando.

7amos a calcular N1,N5, d5, ' p;8

#i$1 #i ni Ni

45 55 6 6

55 65 10 16

65 75 1 35

75 !5 11 46

!5 5 4 50

Clculo de N1: Huscamos en la columna de las frecuencias *cumuladas el #alor %ue supere al 8G de B8

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*nlogamente calculemos N5, Huscamos a&ora en la misma columna el correspondiente al ?8 Gde %ue en

este caso es el ;º inter#alo O5.8

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al no ser una medida relati#a, 'a %ue esta influida por la unidad en %ue se mida la #ariable, por lo %ue se

define el coeficiente de *simetría como:

!sta medida es mu' fcil de calcular, pero menos precisa %ue el coeficiente de asimetría de earson.

!l coeficiente de asimetría de earson, se basa en la comparación con la media de todos los #alores de la

#ariable, así %ue es una medida %ue se basar en las diferencias , como #imos en el caso de la

dispersión si medimos la media de esas des#iaciones sería nulas, si las ele#amos al cuadrado, serían siempre

positi#as por lo %ue tampoco ser#irían, por lo tanto precisamos ele#ar esas diferencias al cubo.

ara e#itar el problema de la unidad, ' &acer %ue sea una medida escalar ' por lo tanto relati#a, di#idimos por

el cubo de su des#iación típica. Con lo %ue resulta la siguiente e/presión:

(edida de a631upuntamiento, *urtosis:

La curtosis es una medida del a851upuntamiento, %ue nos indicar si la distribución es mu' a851u

puntada o poco a851upuntada

Curtosis egati#a Curtosis nula Curtosis ositi#a

latic2rtica Iesoc2rtica Leptoc2rtica


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Como podemos obser#ar, el coeficiente de curtosis nos mide el grado de a851u

puntamiento de la distribución. !ste coeficiente lo #amos a denotar por 7 ' se calculaseg2n la siguiente e/presión:

7eamos por 2ltimo el clculo de estos dos 2ltimos coeficientes en el ejemplo %ue estamos estudiando.


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45 55 6 6 50 300 $1*4 $43!0!*304 !4!!1*0!

55 65 10 16 60 600 $*4 $!305*!4 7!074*!6

65 75 1 35 70 1330 0*6 4*104 2*4624

75 !5 11 46 !0 !!0 10*6 13101*176 13!!72*466

!5 5 4 50 0 360 20*6 3467*264 720325*63!

N) 50 3470 $4041*6 17!7156*56

)

o) ?

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