1

Introduzione

Tra le fonti rinnovabili derivanti dal Sole, l’energia posseduta dal vento è stata la prima ad

essere utilizzata dall’uomo sotto forma di energia meccanica. L’energia eolica viene

raccolta da adeguate macchine, che sfruttano l’energia contenuta nel campo eolico, in cui

la macchina è immersa. Allo stato dell’arte le macchine eoliche attualmente in uso

sfruttano direttamente l’energia del campo eolico naturale, così come facevano, in maniera

più empirica e rozza, i nostri progenitori sin dall’antichità, con i mulini a vento e sul mare,

con le vele. La caratteristica comune tra i mulini a vento nelle varie parti del mondo dove

essi sono stati installati era la loro costruzione a torre, più o meno voluminosa, in cima alla

quale veniva installato il rotore, solitamente costituito da un numero più o meno elevato di

pale fabbricate in genere in legno e tessuto. Quando si parla di mulini a vento è immediato

pensare agli scenari tipici Olandesi, con campi di tulipani nel cui mezzo spuntano le torri e

le pale dei mulini, ma costruzioni analoghe sono presenti in molti altri paesi.

I mulini a vento moderni presentano ancora delle analogie con i loro predecessori, ma il

loro impiego è unicamente rivolto alla produzione di energia elettrica, ed il nome “mulino”

è stato ormai soppiantato dalla dicitura “turbina eolica”, analogamente a quanto avviene

per gli altri tipi di turbine (idrauliche, a gas, a vapore) comunemente utilizzate per la

conversione di energia meccanica in energia elettrica.

I tipi di rotore fino ad oggi ideati sono numerosi, in base alla loro disposizione rispetto alla

direzione del vento le turbine eoliche possono essere classificate in macchine ad asse

orizzontale e macchine ad asse verticale. In particolare, in questa trattazione si parlerà di

turbine eoliche ad asse orizzontale, le quali rappresentano attualmente le turbine di più

comune utilizzo, e che hanno soppiantato le turbine ad asse verticale, almeno per quanto

riguarda la produzione di potenza “in larga scala” .

Riveste importanza fondamentale per il progettista di turbine eoliche poter prevedere le

prestazioni della macchina prima ancora che di questa venga costruito un prototipo. Il

modello matematico BEMT consente di fare quanto appena detto sfruttando la

combinazione tra la teoria della quantità di moto, la quale consiste nell’andare a calcolare

2

la variazione della quantità di moto del flusso attraverso le pale, e la teoria dell’elemento di

pala, che considera le pale della turbina suddivise in aree di lunghezza infinitesima.

Mediante tale teoria, dunque, si andrà a calcolare la distribuzione radiale, per un

determinato valore della velocità del vento, di un coefficiente che viene denominato fattore

d’induzione. Esistono diversi livelli di approssimazione: quello più semplice utilizza il solo

fattore di induzione assiale, mentre una successiva approssimazione consiste

nell’introdurre anche quello circonferenziale. Quindi, una volta calcolato tale coefficiente

si possono determinare così le prestazioni della turbina andandone a costruire la relativa

curva di potenza, che è un grafico raffigurante l’andamento della potenza della macchina

per diversi valori della velocità del vento.

Per l’analisi delle prestazioni delle turbine eoliche basata sulla teoria BEMT, in questo

contesto si utilizzerà un programma sviluppato nel linguaggio di programmazione

FORTRAN90.

Quindi, mediante due versioni di tale software che permettono di calcolare, l’una il solo

fattore d’induzione assiale, e l’altra sia il fattore d’induzione assiale che quello

circonferenziale, l’obiettivo della presente tesi è quello di andare a confrontare

l’andamento dei fattori d’induzione ottenuti dai due programmi lungo la pala.

3

Cenni sull’energia eolica

1.1 STORIA DELL’EVOLUZIONE DELLE TURBINE EOLICHE

L’energia eolica è stata largamente utilizzata sin dall’antichità in svariate applicazioni

quali la navigazione a vela, la ventilazione dei cereali e l’essiccazione dei prodotti

dell’agricoltura e della pesca. L’uso della vela per lo spostamento di imbarcazioni appare

già in primitive raffigurazioni egizie del 2500 a.C. e costituisce il primo esempio di

utilizzazione delle energie naturali come forza motrice.

I primi mulini a vento comparvero nelle aree considerate la culla della civiltà:

Mesopotamia, Cina, Egitto. È tramandato che il re di Babilonia Hammurabi progettò, nel

17° secolo a.C., di irrigare la pianura mesopotamica per mezzo dei mulini a vento. Si

trattava probabilmente di mulini ad asse verticale simili a quelli tuttora in funzione in quei

paesi. In Europa i mulini a vento apparvero in ritardo, nel Medioevo al tempo delle

Crociate; essi erano di concezione del tutto diversa rispetto a quelli mesopotamici, con

ruota ad asse orizzontale e di dimensioni maggiori, tecnologicamente più complessi e di

maggior rendimento. I mulini furono usati nel corso dei secoli in tutta Europa per i più

svariati usi, come la macinazione dei cereali, la spremitura delle olive, il pompaggio

dell’acqua, l’azionamento di segherie, cartiere, tintorie, industrie del tabacco. Ricordiamo

in particolare i classici mulini che gli olandesi utilizzarono a partire dal 1350 per il

drenaggio delle paludi. Nel secolo scorso cominciarono a diffondersi aeropompe con

giranti multipala di piccolo diametro, utilizzate poi in grandissimo numero di esemplari

nelle fattorie dei territori di nuova colonizzazione.

I primi generatori di energia elettrica azionati dal vento risalgono agli inizi del 900 e nel

1914 erano già in funzione diverse centinaia di macchine di potenza compresa tra 3 e 30

kW. Nel periodo tra le due Guerre Mondiali fu compiuta una rapida evoluzione sul piano

tecnologico, con la costruzione di aerogeneratori di potenze crescenti da 40-80 kW fino ai

1250 kW; in alcuni paesi, come la Danimarca, si arrivò a soddisfare una consistente parte

del fabbisogno di energia elettrica nazionale con generatori a vento di media potenza

ubicati in prossimità di fattorie e villaggi. L’utilizzazione su grande scala dei combustibili

fossili, che nel secondo dopoguerra forniva energia a costi bassissimi, portò a un quasi

4

completo abbandono delle ricerche e della produzione di aerogeneratori. Le restrizioni dei

consumi petroliferi da un lato e l’affinamento delle tecnologie dall’altro hanno riproposto

da qualche anno la validità dei generatori a vento, evidenziata anche da considerazioni di

carattere ambientale, che spingono sempre di più l’opinione pubblica a domandare il

ricorso a fonti energetiche “pulite”. Le iniziative sinora intraprese hanno peraltro già

portato a risultati di notevole rilievo; si è ormai costituito nel mondo un vero e proprio

mercato degli aerogeneratori di potenza fino a 400 kW per collegamento alla rete prodotti

in piccola serie da aziende americane ed europee.

Sono anche già in funzione nel mondo aerogeneratori Enercon di grande taglia, con

potenza nominale di 7,5 MW e diametro del rotore fino a 127 m.

1.2 L’ENERGIA DEL VENTO

Lo scopo di una turbina eolica è quello di catturare l’energia cinetica del vento e

convertirla in energia utile, di solito sotto forma di energia elettrica. Si consideri l’energia

cinetica del vento, avente una velocità V∞, nel momento in cui attraversa un disco di area

A. Se il disco è normale alla direzione del vettore vento, allora la portata massica

attraverso il disco sarà e quindi l’energia cinetica per unità di tempo contenuta

nel vento (ossia la potenza) che attraversa il disco è:

Ciò è equivalente all’energia che potrebbe essere estratta dal vento assumendo che il

processo di conversione dell’energia sia efficace al 100% (caso ideale). Una turbina

moderna può estrarre solo circa la metà di questa potenza a causa di perdite aerodinamiche

e meccaniche. Si osservi dall’eq. (1.1) che la produzione di potenza sviluppabile da una

turbina è proporzionale al quadrato della sua dimensione lineare (diametro) e al cubo della

velocità del vento. Ad esempio si consideri una turbina eolica di 5 m di diametro con un

coefficiente di potenza del 50% che opera con il suo disco indirizzato perpendicolarmente

ad un vento di velocità di 10 m/s in condizioni standard sul livello del mare. La potenza

estratta sarà:

5

Questo esempio dimostra il perché le turbine eoliche debbano essere di dimensioni molto

grandi (diametro) e debbano essere collocate dove il vento soffia in media a velocità

relativamente alte. Le turbine eoliche sono spesso situate in parchi o fattorie con molte

dozzine o centinaia di turbine che producono una potenza utile economicamente attrattiva.

Si noti che se la turbina non è posta con l’asse parallelo alla direzione del vento si avrà

allora che la velocità normale al disco sarà ridotta di un fattore cosγ, dove γ prende il nome

di angolo di imbardata. In questo caso, secondo l’eq. (1.2) la produzione di energia

diminuisce con il cos3γ e così appare subito chiara l’importanza di un controllo accurato

dell’orientamento della turbina rispetto alla direzione del vento. Questo deve essere fatto

da un tipo di apparecchiatura di controllo meccanica che percepisce la direzione del vento

ed automaticamente orienta in modo accurato la turbina nel vento.

1.3 CARATTERISTICHE DEL VENTO

L’energia del vento è legata al movimento di masse d’aria che si spostano al suolo da aree

ad alta pressione atmosferica verso aree adiacenti di bassa pressione, con velocità

proporzionale al gradiente di pressione. Intensità e direzione del vento dipendono da un

gran numero di fattori sia su scala locale che planetaria.

Il principale è il maggiore irraggiamento delle zone prossime all’equatore rispetto ai poli.

Poiché la superficie terrestre cede parte del calore ricevuto all’atmosfera sovrastante, l’aria

calda equatoriale tende a salire in quota (fino a circa 10 Km) richiamando altra aria dai

tropici e innescando così una circolazione di aria fredda dalle zone polari verso l’equatore,

mentre l’aria calda si sposta nelle parti alte dell’atmosfera verso i poli. In assenza di altri

fattori la circolazione dei venti assumerebbe l’aspetto rappresentato in figura 1.

Figura 1: Circolazione dei venti sulla terra.

6

Uno di questi fattori è la forza d’attrito della superficie terrestre per vincere la quale la

corrente dissipa energia, per cui l’aumento della velocità del vento con la quota dipende

dalla “rugosità” della superficie lambita (fig.2); l’orografia che, in conseguenza della

configurazione irregolare dovuta alla presenza di catene montagnose, causa una deviazione

nella traiettoria del vento.

L’energia eolica presenta caratteristiche molto interessanti: è molto diffusa, non è

inquinante e ha, rispetto alla radiazione solare e all’energia geotermica, il vantaggio di

rendersi facilmente disponibile sotto forma meccanica e quindi facilmente trasformabile in

elettricità. La quantità di energia eolica disponibile è teoricamente grandissima; le stime

più attendibili valutano che l’1-2% del flusso energetico solare intercettato dalla terra

venga trasformato in energia del vento, dissipata in turbolenze e in attriti nell’atmosfera e

sulla superficie terrestre. In particolare, circa un terzo della potenza posseduta dal vento,

poco meno di un miliardo di megawatt, è dissipato in media entro il primo chilometro

dell’atmosfera.

Vale la pena di anticipare che direzione e intensità del vento nel nostro paese sono

determinate soprattutto dai fattori climatici tipici dell’area temperata mediterranea, dalla

sua posizione geografica, dalla sua forma allungata circondata dal mare (che fa prevalere il

fattore termico tra terra e mare) e dalla tormentata orografia del territorio (che funziona

spesso da barriera e talvolta da elemento incanalatore).

Questi fattori fanno si che la quantità di energia disponibile entro i primi cento metri a

partire dalla superficie terrestre (che è quella che interessa lo sfruttamento mediante

macchine eoliche) in un paese come l’Italia sia molto inferiore a quella riscontrabile nei

paesi europei che si affacciano sull’oceano.

In ogni caso la possibilità di utilizzare l’energia del vento in modo economico è fortemente

limitata dalla sua bassa concentrazione energetica (i valori medi annui di potenza per unità

di superficie battuta dalle pale di un aeromotore raggiungono i 400-600 W/m2 nelle località

più ventilate) e da una marcata irregolarità e incostanza sia su base giornaliera che

annuale.

Queste caratteristiche negative e, in particolare, la bassa densità energetica del vento, fanno

si che gli impianti eolici debbano avere grandi dimensioni in relazione alla loro potenza e,

7

nello stesso tempo, debbano presentare una grande resistenza meccanica per sopportare le

sollecitazioni indotte da venti eccezionali di notevole intensità.

Figura 2: Lo “strato limite” dipende localmente dal tipo di superficie terrestre.

1.4 SVILUPPO DELL’ENERGIA EOLICA IN EUROPA E NEL MONDO

Come si può osservare dal grafico di figura 3 l’energia eolica mondiale nel corso degli

anni, in particolare dal 1993 al 2009, ha avuto uno sviluppo sempre crescente.

Figura 3: Energia eolica nel mondo.

8

In particolare, si è constatato che alla fine del 2009 l’energia eolica presentava il suo

massimo tasso di crescita proprio in Europa (fig.4).

Figura 4: Ripartizione della potenza eolica mondiale alla fine del

2009.

Per quanto riguarda appunto la sola Europa, le installazioni annuali di energia eolica dal

1995 al 2009 hanno subito delle oscillazioni come si può osservare in figura 5, con periodi

di crescita alternati a periodi di calo. Solo nell’ultimo periodo si è avuto un sostanziale

sviluppo dell’eolico.

Figura 5: Installazioni annuali di energia eolica in Europa (MW).

9

In particolare, alla fine del 2009 gli stati europei che hanno dato il maggior contributo allo

sviluppo dell’energia eolica sono stati la Spagna al primo posto e la Germania al secondo

posto, mentre l’Italia si è classificata al terzo posto insieme alla Francia (fig.6).

Figura 6: Distribuzione della nuova potenza eolica europea nel 2009.

Si tenga presente, per avere un’idea, che in base alle esigenze europee 1 MW di potenza

prodotta corrisponde all’energia elettrica sufficiente a soddisfare il fabbisogno di 750

abitazioni.

Invece, per quanto riguarda le installazioni complessive europee dal 1995 al 2009, a

differenza di quelle annuali, si è registrata una graduale crescita (fig.7).

Figura 7: Installazioni complessive di energia eolica in Europa (MW).

10

Nello specifico, alla fine del 2009 le installazioni totali europee di energia eolica vedevano

al primo posto la Germania, seguita al secondo posto dalla Spagna e al terzo posto da Italia

e Francia (fig.8).

Figura 8: Distribuzione della potenza eolica totale europea nel

2009.

Quindi, come si può osservare, mentre la Germania ha investito maggiormente sull’eolico

in passato in quanto presenta il maggior numero di installazioni complessive, negli ultimi

anni è la Spagna ad aver impiegato finanziamenti sull’eolico.

Per quanto riguarda l’Italia, l’eolico ha avuto sempre uno sviluppo crescente tra il 2000 e il

2008, come si può riscontrare dai dati forniti dal grafico di figura 9.

Figura 9: Quadro italiano della produzione elettrica da fonte eolica dal 2000 al 2008.

11

L’obiettivo di incrementare la potenza eolica entro il 2020 fino a 230 GW, raggiungendo

così il 14-18% del fabbisogno di energia elettrica, tenendo anche conto della domanda

crescente.

L’EWEA è la più importante associazione mondiale non governativa operante nel settore

delle energie rinnovabili, raccoglie oltre 600 associati, tra questi le più importanti aziende

europee costruttrici di turbine eoliche.

Quindi, le installazioni annuali necessarie in Europa a partire dal 2008, per raggiungere i

230 GW entro il 2020, sono mostrate in figura 10.

L’obiettivo dello sfruttamento della risorsa eolica è quello di produrre energia elettrica

senza generazione di CO2, a differenza di quanto accade impiegando gas, carbone o oli

vegetali. I paesi industrializzati hanno i seguenti impegni per la riduzione delle emissioni:

protocolli di Kyoto (entro il 2012);

obiettivi per il 2020 (Europa, Norvegia).

Figura 10: Installazioni annuali necessarie in Europa.

Vediamo ora quale parte di questa riduzione può essere raggiunta grazie all’eolico.

Si consideri che gas, carbone e oli vegetali producono in media 666 gCO2/kWh.

Per il 2012 la produzione di energia eolica è stimata attorno a 234 TWh (terawattora) con

un risparmio di 91 Mt (megaton) di CO2, mentre per il 2020 si stima una produzione di 582

TWh con un risparmio di 333 Mt di CO2 (il megaton è un’unità di misura che non

12

appartiene al SI ed è frequentemente utilizzato per misurare l’energia emanata da una

esplosione, un Mt è equivalente a 4,2 · 1015 J).

Mentre, si tenga presente che per quanto riguarda gli obiettivi previsti per la riduzione

delle emissioni si ha che:

• l’obiettivo dei protocolli di Kyoto per l’Europa, negli anni 2008-2012, prevede una

riduzione delle emissioni del 7,8% rispetto a quelle del 1990, corrispondenti a 450

Mt di CO2 all’anno;

• l’obiettivo per il clima dell’Europa entro il 2020 prevede una riduzione delle

emissioni del 20% rispetto al 1990, corrispondenti a 1160 Mt di CO2.

Quindi, la CO2 che potrà essere evitata grazie all’eolico corrisponde al:

32% degli obiettivi di Kyoto per l’Europa, entro il 2012;

29% degli obiettivi per il clima dell’Europa per il 2020.

13

Sistemi di conversione dell’energia eolica

L’energia del vento viene utilizzata mediante l’impiego di macchine eoliche (o

aeromotori) in grado di trasformare l’energia eolica in energia meccanica di rotazione,

utilizzabile sia per l’azionamento diretto di macchine operatrici che per la produzione di

energia elettrica: in quest’ultimo caso il sistema di conversione (che comprende un

generatore elettrico con i sistemi di controllo e di collegamento alla rete) viene denominato

aerogeneratore. Il componente essenziale di un sistema di conversione dell’energia eolica

è il rotore, costituito di un certo numero di pale fissate su di un mozzo e progettate per

sottrarre al vento parte della sua energia cinetica e trasformarla in energia meccanica di

rotazione.

I tipi di rotore fino ad oggi ideati sono numerosi, in base alla loro disposizione rispetto alla

direzione del vento le macchine eoliche possono essere classificate in tre grandi categorie:

a) macchine ad asse orizzontale, parallelo alla direzione del vento, nelle quali la

direzione del vento è perpendicolare al piano del disco intercettato dal rotore (fig.11)

b) macchine ad asse orizzontale, posto di traverso al vento (fig.11, riquadro)

c) macchine ad asse verticale, nelle quali l’asse del rotore è perpendicolare al terreno e

alla direzione del vento (fig.12).

Figura 11: Tipi di aeromotore ad asse orizzontale.

14

Figura 12: Tipi di aeromotore ad asse verticale.

La maggior parte degli attuali sistemi adotta rotori ad asse orizzontale del tipo a), dato che

questa configurazione è stata oggetto del maggior numero di programmi di ricerca e si

trova perciò in uno stadio di maturazione tecnologica più avanzata, presentando così più

alti rendimenti di conversione e costi minori per unità di potenza installata.

Per questa ragione la descrizione dei componenti principali e della tecnologia impiegata

farà in seguito riferimento, quando non esplicitamente richiamato, agli aerogeneratori ad

asse orizzontale parallelo alla direzione del vento.

2.1 AEROGENERATORI AD ASSE ORIZZONTALE

La tipica configurazione di un aerogeneratore ad asse orizzontale è schematizzata in Figura

13. Il rotore azionato dall’energia del vento è collegato tramite il mozzo ad un albero

principale (albero lento) che ruota con velocità comprese tra 6 giri/min e 25 giri/min (a

seconda della logica di funzionamento può ruotare a diverse velocità di rotazione).

Attraverso un meccanismo moltiplicatore di giri (con rapporti di moltiplicazione da 40:1 a

50:1) la velocità angolare viene aumentata in modo che in uscita dal moltiplicatore si

15

abbiano circa 1500 giri/min (albero veloce) necessari al funzionamento del generatore. Il

freno meccanico ha funzione di sicurezza, ad esso è sempre accoppiato un freno

aerodinamico che consente la regolazione della potenza e l’arresto rapido.

Il sistema di controllo collegato alla centralina anemometrica ed a tutti i sensori di bordo,

agisce sulle pale del rotore per la regolazione della potenza e sul sistema di imbardata per

orientare la navicella nella direzione del vento, allo scopo di mantenere l’asse della

macchina sempre parallelo alla direzione del vento.

Figura 13: Componenti di una turbina ad asse orizzontale.

2.2 AERODINAMICA DI UN AEROGENERATORE AD ASSE ORIZZONTALE

Una descrizione qualitativa del funzionamento di un aeromotore risulta più immediata

ricorrendo al paragone con l’aerodinamica di un aereo.

Come è noto, una superficie avente sezione a profilo alare posta in un flusso d’aria è

soggetta a una forza risultante avente due componenti: la portanza, perpendicolare alla

velocità del vento, e la resistenza, parallela alla velocità del vento. Queste due forze

16

dipendono, tra gli altri fattori, dal tipo di profilo e, per ogni profilo, dall’angolo con cui il

flusso d’aria investe l’ala.

Negli aeroplani la portanza è la forza utile che sostiene il peso dell’aereo, mentre la

resistenza è quella forza compensata dalla spinta di propulsione dell’aereo stesso.

Analogamente, in un rotore eolico, ogni sezione della pala si comporta come un profilo

alare posto in un flusso d’aria la cui velocità è data dalla risultante della velocità del vento

naturale e dalla velocità del vento dovuto alla rotazione della pala stessa (pari,

quest’ultima, e contraria alla velocità periferica di rotazione della sezione) (fig.14).

La direzione e l’intensità del flusso d’aria risultante variano da un’estremità all’altra della

pala, dato che la componente dovuta alla rotazione della pala varia con la distanza dal

centro del rotore.

Il vento risultante causa, come si è detto, una forza risultante la cui componente sul piano

di rotazione partecipa al movimento del rotore mentre quella parallela alla direzione del

vento sarà assorbita dal sostegno.

L’insieme delle componenti utili di tutte le sezioni delle pale fornisce così l’energia

meccanica sull’albero della macchina.

Figura 14: Insieme di forze a cui è soggetto un elemento di pala di un aeromotore ad asse orizzontale

durante la rotazione.

17

2.3 ANALISI DELLA TEORIA DELLA QUANTITÀ DI MOTO DI UNA TURBINA EOLICA

L’applicazione dell’equazione della quantità di moto all’analisi delle turbine eoliche fu

inizialmente proposta da Betz; essa si basa sulle seguenti ipotesi:

Fluido incomprimibile

Fluido inviscido

Flusso irrotazionale

Flusso stazionario

Rotore con un numero infinito di pale (disco attuatore)

Il disco attuatore si comporta come un ostacolo poroso: produce una perdita di carico

causando una variazione di quantità di moto assiale. Per analizzare questa variazione si

considera un volume di controllo (streamtube) fisso nello spazio e si studia la variazione di

quantità di moto associata al flusso di massa che lo attraversa in direzione assiale

(approssimazione unidimensionale, 1-D). L’analisi del tubo di flusso associato al moto

dell’aria attraverso il rotore conduce alla considerazione che deve verificarsi

necessariamente un’espansione della scia a monte del rotore stesso (fig.15). Infatti la

variazione di quantità di moto, evidenziata dalla diminuzione di velocità dopo il rotore,

non può essere localizzata in un’unica sezione del tubo di flusso ma deve avvenire con

continuità lungo di esso. La diminuzione di pressione statica è invece localizzata nella

sezione del rotore, a valle il flusso recupera pressione fino al valore di flusso indisturbato.

Figura 15: Tubo di flusso con le relative variazioni di pressione e velocità.

18

Dunque, come si può osservare dalla figura 15, l’ipotesi di disco attuatore porta a:

• un progressivo aumento di pressione in ingresso al rotore;

• una caduta di pressione in corrispondenza dell’uscita del rotore;

• un successivo recupero, fino alla pressione del fluido indisturbato;

• una progressiva diminuzione della velocità del fluido che attraversa lo streamtube.

Più precisamente, indicando con V∞ la velocità iniziale del flusso indisturbato (fig.16),

quando la vena d’aria si avvicina al rotore e viene rallentata, per il teorema di Bernoulli la

somma della sua energia cinetica e della sua energia di pressione resta costante

a monte e a valle del rotore. Pertanto, al diminuire dell’energia cinetica, in seguito al

rallentamento, fino alla velocità (vi rappresenta la velocità indotta dalla presenza

del rotore nella corrente indisturbata), in corrispondenza del rotore, l’energia di pressione

aumenta rispetto al valore atmosferico finché la pressione raggiunge un massimo in

corrispondenza del rotore stesso.

La cessione di energia al rotore comporta una brusca caduta della pressione, che scende al

di sotto di quella atmosferica.

Quando la vena d’aria in questione si allontana dal rotore, la pressione risale al valore

atmosferico a spese sempre dell’energia cinetica e la velocità raggiunge il valore minimo

.

Successivamente, per effetto dell’energia cinetica ceduta dall’aria imperturbata circostante,

la velocità della vena d’aria torna al valore V∞.

Figura 16: Variazione della velocità nell’attraversamento della turbina.

19

Tramite l’applicazione del principio di conservazione della massa, la portata massica, ,

attraverso il disco della turbina è:

La variazione della quantità di moto del flusso attraverso il disco può essere collegata alla

spinta dalla seguente relazione:

Semplificando questa equazione si ottiene una relazione che esprime la spinta sulla turbina

in funzione della velocità persa nella scia della turbina:

La potenza in uscita dalla turbina può essere ottenuta effettuando un bilancio energetico

per il sistema. Sostanzialmente, il lavoro compiuto sul flusso dalla turbina va a variarne

l’energia cinetica, sempre assumendo che il fluido sia non viscoso, ovvero trascurando le

perdite. Il lavoro svolto dalla turbina per unità di tempo, , è pari a:

Si noti che la turbina compie un lavoro negativo sull’aria (cioè diminuisce la sua energia

cinetica). Allora, la condizione di funzionamento in cui la turbina estrae potenza da una

corrente di aria è nota come stato di mulino a vento, per ovvie ragioni. Ancora, questa

condizione è definita di solito come mulino a vento frenante poiché la turbina in questo

caso diminuisce o “frena” la velocità del vento. Questo significa che la potenza in uscita

dalla turbina, cioè fornita al disco, è positiva e pari a:

Sostituendo l’eq. (2.3) nell’eq. (2.5) si ottiene:

da cui si ha che o . È evidente che il modello di flusso assunto in figura

16 è valido finché o in alternativa che . Se questo non è

verificato allora c’è la possibilità che si abbiano due direzioni opposte di moto del fluido in

prossimità del disco della turbina e non può essere definito un unico volume di controllo

che comprenda i limiti del disco. Poiché la spinta non si conosce (o non è definita) a priori,

conoscendo solo V∞ non è possibile prevedere le prestazioni della turbina in funzione di un

20

determinato valore di , in quanto questo non è calcolabile (si sa solo che è pari alla metà

di w). Dunque, nell’analisi delle turbine eoliche si è soliti definire un rapporto d’induzione

a, mediante il quale è possibile descrivere la velocità in corrispondenza del disco in

funzione della velocità del vento indisturbato:

Sarà evidente che maggiore è il valore di a più il flusso che attraversa la turbina è

rallentato. La spinta e la potenza in uscita possono quindi essere calcolate come funzione

di a. Infatti, combinando le eq. (2.1) e (2.6), e considerando la definizione di a e che

, si ottiene:

Mentre, dall’eq. (2.3) la spinta può anche essere scritta come:

Nel caso delle turbine eoliche il rendimento è un parametro poco significativo visto che

perde il consueto significato economico, essendo il fluido di processo gratuito. Il

coefficiente di potenza è invece il parametro principale che descrive le prestazioni di una

turbina eolica; esso è definito come:

Il CP rappresenta l’efficienza del rotore in quanto esprime quanta potenza si riesce a

produrre rispetto a quella “teorica” posseduta dalla corrente che investe il rotore; il suo

andamento al variare di a è rappresentato in figura 17.

Analogamente definiamo il coefficiente di spinta come il seguente rapporto:

il quale anch’esso è rappresentato in figura 17.

Tutti questi risultati sono validi solo se , cioè ; questo è il motivo

per cui le curve di figura 17 sono riportate in tratteggio per .

Derivando il coefficiente di potenza rispetto al fattore d’induzione, e ponendo tale derivata

uguale a zero, si ottiene l’efficienza teorica massima:

21

Il massimo di CP dunque si otterrà per un valore di a cui corrisponde

, in corrispondenza di tale valore si ottiene .

Il valore massimo di CP rappresenta il limite teorico di massima sfruttabilità del vento

secondo l’approccio monodimensionale, e prende il nome di limite di Betz o di Lanchester-

Betz; dunque si avrà che anche in teoria è possibile convertire solo il 59,3% della potenza

disponibile. Nella pratica le turbine eoliche raggiungono valori di pari a

circa il 66-83% dell’efficienza teorica massima, e questo avviene quando tali turbine

operano nelle condizioni ottimali di funzionamento.

Come appena fatto per CP , derivando l’espressione di rispetto ad a ed uguagliandola a

zero si ottiene il valore di a in condizioni di massima spinta ed il valore massimo di :

Il massimo di dunque si otterrà per un valore di a cui corrisponde .

Figura 17: Andamento dei coefficienti di spinta e di potenza al variare di a.

22

2.4 CURVA DI POTENZA RAPPRESENTATIVA DI UNA TURBINA EOLICA

La quantità di energia prodotta da una turbina eolica in funzione della velocità del vento è

ovviamente di primaria importanza per la progettazione. Una rappresentazione della curva

di potenza è raffigurata in figura 18 per un diametro della turbina di 47 m che produce una

potenza elettrica nominale pari a 0,66 MW e ruota a 28,5 giri/min.

Figura 18: Curva di potenza di una turbina eolica

Prima di tutto, si noti che esiste un valore di velocità al di sotto del quale la turbina non

produce potenza (cut-in wind speed). Le soglie di cut-in sono variabili in funzione della

taglia del generatore. Questo si ha, in parte, a causa della necessità di superare gli attriti

meccanici nel sistema, che richiederanno una velocità del vento minima prima che la

turbina inizi a produrre potenza utile. Inoltre, ci sono delle perdite aerodinamiche da

superare che derivano dalla viscosità dell’aria.

Come si può notare la potenza di uscita aumenta rapidamente all’aumentare della velocità

del vento ed è essenzialmente proporzionale a , come ci si aspetterebbe dall’eq. 1.1.

Quindi, all’aumentare della velocità del vento corrisponde un progressivo aumento della

potenza istantanea erogata dalla macchina, fino al raggiungimento della velocità nominale

23

(rated wind speed), cioè della velocità del vento alla quale il generatore eroga la potenza di

targa.

La potenza erogata rimane costante fino alla soglia massima (cut-out wind speed) di

velocità del vento tollerata dalla macchina. Oltre questa soglia, il generatore smette di

produrre energia e si mette in sicurezza, ricorrendo a sistemi attivi o passivi di protezione,

al fine di evitare danni alle componenti meccaniche. Le turbine sono dotate di sistemi

frenanti , che provvedono a rallentare la velocità di rotazione del rotore, fino alla soglia

massima di vento tollerata (cut-out wind speed). Oltrepassata la velocità di cut-off, la

turbina smette di produrre energia e si mette in sicurezza attraverso:

• il completo arresto del rotore

oppure

• il disallineamento tra l’asse del rotore e quello di rotazione della pala.

I mini generatori utilizzano soprattutto quest’ultima soluzione, poiché si tratta di un

meccanismo passivo che non richiede la presenza di dispositivi elettronici. Semplicemente,

raggiunta la velocità di cut-off il rotore, grazie alla presenza di una “cerniera”, ruota

verticalmente sul proprio asse; l’imbardata è la rotazione della turbina intorno al proprio

asse verticale, indispensabile per posizionare il rotore secondo la direzione del vento. Il

controllo dell’imbardata contribuisce anche a regolare la potenza prodotta.

I due principali sistemi di controllo e regolazione dell’imbardata sono:

• regolazione attiva dell’imbardata: le turbine di media e grande taglia sono dotate

di un sofisticato servomeccanismo, regolato da un anemometro, che garantisce

l’allineamento ottimale tra l’asse del rotore e la direzione del vento;

• regolazione passiva dell’imbardata: per orientare la navicella in base alla

direzione del vento, le turbine di piccola taglia sono dotate di un semplice timone

(o banderuola) direzionale.

Il sistema di controllo della potenza ha la funzione di ottimizzare la potenza erogata, al

variare della velocità del vento.

Esistono due tipologie di sistemi di controllo della potenza:

controllo del passo: le pale sono realizzate in modo da poter ruotare intorno al

proprio asse. Si tratta di una forma automatizzata di controllo, che aumenta o riduce

24

l’angolo di incidenza del profilo e modifica in questo modo l’efficienza

aerodinamica delle pale;

controllo di stallo: le pale non ruotano intorno al proprio asse, poiché sono

vincolate al mozzo. Si utilizza quindi il disegno aerodinamico delle pale per il

controllo della potenza, sfruttando l’insorgere dello stallo aerodinamico (ma solo

per le turbine di potenza inferiore ai 100 kW) . Si tratta in ogni caso di un controllo

della potenza di tipo passivo.

Una rappresentazione più usuale della curva di potenza consiste nell’andare a tracciare su

un grafico l’andamento del coefficiente di potenza CP in funzione del rapporto della

velocità di punta, XTSR (tip-speed ratio), come rappresentato in figura 19. Il tip-speed ratio

è definito come il rapporto tra la velocità tangenziale dell’estremità della pala e la velocità

del vento incidente:

dove è la velocità di rotazione dell’albero, mentre R è il raggio del rotore.

Figura 19: Curva di potenza rappresentante l’andamento di CP in funzione XTSR.

Si noti che l’efficienza aerodinamica raggiunge un picco quasi dell’85% del massimo

teorico quando la turbina lavora alla sua velocità nominale. Inoltre, il picco dell’efficienza

25

è raggiunto per un intervallo di velocità molto ristretto (cioè per un unico XTSR) e questo è

uno svantaggio nel caso in cui si utilizzino delle turbine con velocità di rotazione costante.

26

Codici BEMT

Poiché la teoria del disco attuatore di Betz non è in grado di correlare la potenza estratta

dal fluido con l’elemento meccanico che la estrae , ossia l’elica (è quindi impossibile

caratterizzare la macchina in funzione: del numero di giri, del numero di pale e delle

grandezze aerodinamiche generate dall’elica), si ricorre al metodo BEMT (blade element

momentum theory). Il modello BEMT permette di calcolare la distribuzione radiale del

fattore d’induzione a essendo noti i coefficienti aerodinamici (portanza e resistenza) per il

profilo palare utilizzato, mediante la teoria dell’elemento di pala che rappresenta

l’aerodinamica sezionale ed utilizzando l’equazione di bilancio della quantità di moto sugli

anelli consecutivi del disco della turbina (basato dunque sulla teoria di Betz).

Il principio di base è, certamente, che ogni sezione si comporta come un profilo

bidimensionale, il che implica che i gradienti dei carichi lungo la pala (dalla radice alla

punta) siano piccoli.

Il BEMT, dunque, permette di chiarire l’analisi dei principali fattori che influenzano le

prestazioni e il progetto di una turbina eolica.

3.1 MODELLO DELL’ELEMENTO DI PALA PER LE TURBINE EOLICHE

Tale modello considera le pale della turbina suddivise in aree di lunghezza infinitesima

come rappresentato in figura 20.

Come detto nel paragrafo 2.2, ogni sezione della pala di un rotore eolico si comporta come

un profilo alare posto in un flusso d’aria la cui velocità, U, è data dalla risultante della

velocità del vento nel momento in cui attraversa il rotore, pari a , e dalla velocità

del vento dovuto alla rotazione della pala stessa, y (pari, quest’ultima, e contraria alla

velocità periferica di rotazione della sezione).

Con riferimento alla fig. 20, l’angolo θ rappresenta l’inclinazione locale del profilo, ossia

l’angolo che è formato dall’asse del profilo e il piano di rotazione della turbina; è

l’angolo di afflusso, ossia l’angolo tra la velocità del flusso d’aria e il piano del rotore; ed

infine α è l’angolo d’attacco, pari alla somma dei due angoli precedenti. L’angolo d’attacco

dipende da y, a parità di ed , ed in particolare diminuisce all’aumentare di y.

Poiché si vuole mantenere lo stesso valore di angolo d’attacco effettivo (quello di

27

massima efficienza del profilo) su tutte le sezioni, la pala di una turbina eolica è

sempre svergolata geometricamente.

Lo svergolamento geometrico viene fatto in modo da aumentare α (che tenderebbe a

diminuire) verso l’estremità. Questo si ottiene incrementando l’angolo θ verso la punta

della pala (rotazione oraria dalla base alla punta).

Figura 20: Modello dell’elemento di pala per una turbina eolica.

La risultante della portanza dL e della resistenza dD che agiscono su di un elemento

infinitesimo della pala di spessore dy, sono:

dove CL e CD sono i coefficienti di portanza e resistenza, rispettivamente; dy è la lunghezza

dell’elemento di pala o della “striscia” in cui è suddiviso il piano del rotore (disco), mentre

c è la sua corda che varierà con la distanza y dell’elemento dal centro di rotazione (mozzo).

Come si può osservare si avrà che:

28

dove è pari alla velocità di rotazione dell’albero.

La portanza dL e la resistenza dD operano perpendicolarmente e parallelamente alla

velocità del flusso risultante, e dalla figura 20 è evidente che queste forze possono essere

scomposte parallelamente e perpendicolarmente al piano del disco del rotore, ottenendo

così:

dove dFx è la forza utile per la rotazione, mentre dFz è la spinta trasversale.

Il contributo dell’elemento di pala alla spinta, al momento torcente, e alla potenza sono

quindi:

Sostituendo le eq. (3.4) e (3.5) nelle eq. (3.6) si ottiene:

Dunque, ad ogni elemento di pala corrisponderà un coefficiente di spinta elementare pari a:

con , dove R è il raggio della punta della pala.

Tenendo presente che , si ottiene:

dove σ è la solidità locale, o della corda, e X è il rapporto di velocità della sezione locale,

entrambi pari a:

La solidità è il rapporto tra la superficie delle pale e l’area “spazzata” dal rotore.

Si noti inoltre che . Dunque:

29

Procediamo in ugual modo per trovare il coefficiente di potenza elementare dCP,

ottenendo:

Sono appena state dimostrate le equazioni fondamentali per l’analisi della turbina eolica

attraverso la teoria dell’elemento di pala. Tuttavia, per valutare CT e CP è necessario

prevedere le variazioni dalla radice alla punta della velocità indotta vi (o del rapporto

d’induzione a) così come i coefficienti della forza aerodinamica sezionale, CL e CD; questo

perché come si è potuto studiare α=α(V∞, θ, vi), mentre vi = vi (r).

Dunque, per una data turbina, dovrà essere nota la distribuzione radiale dell’angolo di

calettamento θ; in più devono anche essere noti i valori di V∞ e .

Quindi, per ogni elemento di pala, a partire da un valore iniziale di a, si deve calcolare

dall’eq. (3.15), poi si calcola ed infine si leggono i valori di CL e CD dalle

tabelle (che riportano tali coefficienti in funzione di α e Re); successivamente, mediante

metodo iterativo si verifica che a sia convergente, altrimenti in caso contrario si continua

ad iterare finché ciò avvenga.

Possiamo calcolare ora la spinta elementare su un anello del disco della turbina mediante il

bilancio della quantità di moto 1-D:

3.2 METODO BEMT PER TURBINE EOLICHE

Poiché il metodo dell’elemento di pala, da solo, è di difficile implementazione si ricorre al

metodo BEMT, il quale è un metodo ibrido tra la teoria della quantità di moto e la teoria

dell’elemento di pala.

30

Per prima cosa si fanno delle semplificazioni sulle equazioni analizzate per la teoria

dell’elemento di pala. La prima assunzione consiste nell’andare a considerare che l’angolo

di afflusso sia piccolo, questo implica che e che .

Dunque le equazioni (3.7), (3.8) e (3.9) diventano:

.

Mentre l’equazione (3.14) diventa:

(3.22).

Siccome è piccolo, questo implica che e dunque l’equazione (3.15) diventa:

La seconda approssimazione è basata sul fatto che , e tenendo presente che è

considerato essere piccolo, si ha che l’equazione (3.22) diventa:

.

La terza assunzione è che il flusso sia sempre attaccato al profilo. Questo implica la

relazione lineare , e quindi si può scrivere:

con indicante l’angolo d’attacco cui corrisponde portanza nulla.

Utilizzando l’equazione (3.23), si ottiene:

Assumendo che θ sia misurato a partire dalla direzione con portanza nulla, e inserendo la

(3.26) nella (3.24) si ottiene:

Ora, considerando che:

Uguagliando queste ultime due equazioni si ottiene:

31

da cui il fattore d’induzione, a, ora può essere calcolato direttamente tramite la seguente

formula:

Una volta che il fattore d’induzione è stato determinato, può essere ottenuto integrando

l’equazione (3.24):

e andando ad integrare :

Questo mette in evidenza il contributo (positivo) della portanza e il contributo (negativo)

della resistenza per la produzione di potenza. Utilizzando l’eq. (3.23) si ottiene:

Facciamo ora delle osservazioni sul design di una pala:

a) torsione ideale: si può dimostrare che la “torsione della pala ideale” (cioè

producendo la minore potenza indotta e quindi la maggiore estrazione di potenza

efficiente) è ottenuta fornendo un fattore d’induzione, a, uniforme.

L’eq. (3.30) dimostra che ciò accade solo se, per un dato valore di XTSR, il prodotto

, cioè che ( è l’inclinazione della punta).

b) controllo del calettamento delle pale: il calettamento della pala può essere variato

con il rapporto della velocità di punta (e quindi della velocità del vento) per

mantenere la potenza a livelli elevati per un range più ampio di condizioni

operative.

Nel caso di svergolamento ideale, nel quale CD è assunto essere costante e uguale a CD0 ,

ed a è distribuito uniformemente sul disco del rotore, dall’eq. (3.33) si ottiene che:

32

I risultati rappresentativi della BEMT sono mostrati nelle figure 21 e 22 per un rotore con

una torsione ideale ed operante a differenti angoli di calettamento della pala. In questo caso

bisogna tener presente che non sono considerate le perdite reali. Come si può osservare una

leggera rotazione della pala intorno al proprio asse permette di estrarre energia per un

range più ampio di velocità del vento; né ampie rotazioni positive, né negative consentono

un’estrazione efficiente di energia.

Figura 21: Coefficiente di potenza ottenuto in funzione del rapporto della velocità

di punta per differenti angoli di calettamento.

Figura 22: Coefficiente di spinta ottenuto in funzione del rapporto di velocità di

punta per differenti angoli di calettamento.

33

La variazione della potenza generata in funzione del rapporto della velocità di punta per

una turbina eolica è influenzata anche dal numero di pale. Se non si considerano le perdite

reali, il comportamento risultante è come quello rappresentato in figura 23. Si noti che

incrementando il numero delle pale (o la solidità) questo non incide sull’efficienza

massima della turbina, ma incide sul rapporto della velocità di punta (o sulla velocità del

vento) cui corrisponde la massima efficienza. Aumentando il numero delle pale o la

solidità si riduce l’intervallo dei rapporti delle velocità di punta per il quale sono ottenuti

valori di alti. Inoltre, molte pale o una elevata solidità danno una curva di potenza più

ripida il cui massimo si ottiene per bassi . Questo, tuttavia, non è molto vantaggioso in

pratica, per il fatto che le pale in queste condizioni si avvicinano allo stallo (velocità del

vento elevate).

Figura 23: Coefficiente di potenza ottenuto in funzione del rapporto della velocità di punta

per differenti numeri di pale.

Le tipologie di turbine più utilizzate sono le seguenti:

1. macchine tripala: sono la tipologia dominante sul mercato, sono preferibili in

termini di prestazioni, in termini di stabilità dinamica del rotore ed in termini di

impatto visivo. Infatti, a parità di potenza (stesso diametro) una macchina tripala

ruota più lentamente di un bi o mono pala generando meno fastidio alla vista e

minor inquinamento acustico.

34

2. Macchine bipala: presentano problemi al carico dinamico poiché quando la pala

superiore sopporta il massimo carico, quella inferiore è sottoposta al carico

minimo, subendo anche l’effetto di schermo della torre. Per questo devono dotarsi

della tecnologia “teetering hub” (ossia necessitano di sistemi di contrappeso e

bilanciamento dinamico durante la rotazione). Ruotano a velocità più alta del

tripala generando maggiore impatto visivo e sonoro. Si risparmia il costo di una

pala.

3. Macchine monopala: presentano tutti i problemi del bipala, sia di carico dinamico

che di impatto ambientale, avendo una velocità di rotazione ancora maggiore di

questo tipo di rotore. Si risparmia il costo di due pale ma è necessario inserire un

contrappeso.

Il differente impatto ambientale a parità di potenza è decisivo nella scelta. Questo

spingerebbe verso macchine con un maggior numero di pale, in grado di ruotare più

lentamente, partire ad una velocità del vento più bassa e fornire la massima potenza ad una

velocità del vento più bassa, con riduzione modesta del CP.

Aggiungendo le perdite viscose del profilo, tuttavia, si riscontra che i livelli di potenza

estratta (che dipendono dal CP) decrescono con il numero di pale in quanto la solidità σ

aumenta. Se, tuttavia, il numero di pale aumenta, ma la solidità rimane costante (ad

esempio diminuendo la corda), i livelli di CP rimangono invariati.

La figura 24 mostra come la potenza in uscita da una turbina eolica dipende dalla

resistenza viscosa dei profili alari che compongono le pale della turbina.

Chiaramente, la massima efficienza si ottiene per i profili alari con i coefficienti di perdita

più piccoli, considerando che tutti gli altri fattori sono mantenuti costanti, ma questo è

abbastanza ovvio. Per i numeri di Reynolds incontrati nelle turbine eoliche, la maggior

parte dei profili alari tendono ad avere dei coefficienti di perdita compresi nell’intervallo

(si tenga presente che CD dipende da α e Re) a meno che la finitura

35

superficiale sia degradata dall’erosione, da insetti morti, brina, o ghiaccio. Delle sezioni dei

profili alari sono più sensibili a questi effetti rispetto ad altre. L’assenza di informazioni

specifiche sulle caratteristiche delle sezioni dei profili alari, suggerisce dalle misurazioni

l’uso di come assunzione iniziale per i primi studi sulla progettazione.

Figura 24: Potenza ottenuta per una turbina eolica in funzione di XTSR, con differenti

coefficienti di perdita viscosa. Non sono considerate le perdite di punta.

La scia vorticosa prodotta alla punta della pala induce delle perdite addizionali e modifica

il carico aerodinamico lungo la pala. Poiché la BEMT è una teoria strettamente

bidimensionale, gli effetti tridimensionali devono essere trattati utilizzando delle

correzioni. Un modo per stimare gli effetti indotti dalla punta è di usare la correzione della

perdita di punta di Prandtl, il cui effetto può essere descritto utilizzando il fattore di

correzione F:

, dove

mentre f è dato in funzione del numero delle pale e della posizione radiale dell’elemento,

r, della pala mediante la seguente equazione:

Se si considerano anche gli effetti delle perdite indotte alla radice, allora il fattore f è:

36

dove è la distanza della radice dal centro di rotazione, la quale rappresenta la mancanza

di superfici aerodinamiche che producono portanza vicino al centro.

Con l’inserimento degli effetti della resistenza della radice e della punta nella BEMT, il

fattore d’induzione diventa:

L’esame delle perdite di punta tende a favorire le turbine con un numero di pale maggiore

(per una data solidità complessiva). Questo ridurrà la perdita di punta o gli effetti indotti

perché la turbina si avvicinerà di più ad un disco attuatore ideale.

Gli effetti separati della resistenza viscosa e delle perdite di Prandtl sulla potenza prodotta

dalla turbina sono mostrati in fig.25. Si noti che entrambi i tipi di perdite non ideali

tendono a diminuire la potenza prodotta (diminuzione dell’efficienza della turbina).

Considerandole insieme, entrambe le perdite costituiscono il 15% della perdita di

efficienza, che è chiaramente vicino ai risultati ottenuti in pratica per condizioni operative

che non inducono nessuno stallo della pala.

Figura 25: Andamento dell’efficienza in funzione di XTSR in funzione delle perdite.

37

3.3 EFFETTI DELL’INSTABILITÀ AERODINAMICA SULLA TURBINA EOLICA

Bisogna tener presente che le turbine eoliche per la maggior parte del loro tempo operano

in un campo di afflusso ambientale relativamente instabile. Gli effetti di instabilità

aerodinamica che devono essere considerati per le turbine eoliche sono:

velocità del vento variabile: l’esperienza suggerisce che il vento raramente soffia a

velocità costante e, combinato con la bassa velocità indotta prodotta dalle pale

eoliche, fluttuazioni modeste della velocità del vento possono cambiare

significativamente l’angolo d’attacco sulle pale. Questo effetto si riscontra così in

un mutamento nell’ampiezza e nella fase delle forze prodotte localmente sulle pale,

confrontate con quelle che possono essere predette assumendo stati aerodinamici

quasi stabili;

gradienti di velocità del vento: le turbine eoliche operano in un’atmosfera di

confine stratificata (strato limite) con gradienti di velocità notevoli (come visto in

fig.2). Ciò produce un'altra causa di non uniformità nell’angolo d’attacco, con

relativa instabilità delle pale;

fluttuazioni instabili della velocità nel flusso di imbardata: variazioni ampiamente

instabili nella velocità locale sugli elementi della pala potrebbero essere prodotte

ogni volta che la turbina eolica è disallineata (imbardata) rispetto al vento. Questa è

una situazione che si verifica frequentemente perché il meccanismo di controllo

dell’imbardata solitamente non può seguire il vento con una buona accuratezza,

assicurando così degli allineamenti perfetti per tutto il tempo;

effetti della torre d’ombra: poiché durante la progettazione di una turbina è

possibile la scelta di un rotore sopravento o sottovento (fig.26) rispetto al sostegno,

per la seconda configurazione il transito della pala nella scia della torre o “ombra”

comporta dei cambiamenti transitori dell’angolo d’attacco sugli elementi della pala.

Questo effetto provoca anche periodiche variazioni della coppia motrice e quindi

della potenza resa. I carichi risultanti della pala quindi non possono essere predetti

accuratamente usando modelli quasi stazionari. Tali problemi provocano notevoli

gradienti di velocità nell’afflusso. Un sostegno di opportuna snellezza può ridurre

tali conseguenze negative;

38

Figura 26: Rotore sopravento e sottovento

effetto d’ instabilità dell’induzione della scia: la presenza del rotore rallenta il

flusso, creando una scia vorticosa e turbolenta a valle (fig.27). La presenza della

scia si ripercuote su altri aerogeneratori eventualmente posti in prossimità per

formare un parco eolico. La presenza di una scia vorticosa ed a basso contenuto

energetico impone di distanziare le turbine collocate in un parco eolico (wind

farm). Come si può osservare dalla figura 28 gli aerogeneratori (punti bianchi) sono

distanziati di sette diametri nella direzione prevalente in cui spira il vento e quattro

diametri nella direzione a questa perpendicolare. La perdita dovuta all’effetto

“parco eolico” è quantificabile in circa il 2% della potenza di targa dell’intero

parco.

A causa di tutti questi fattori sembrerebbe che la BEMT non sia molto efficiente nel

progettare l’aerodinamica di una turbina a causa del flusso fortemente non

assialsimmetrico che si verrebbe a creare e della natura tridimensionale dei carichi alari sul

disco della turbina. Tuttavia, nonostante le varie assunzioni e approssimazioni usate nella

BEMT, studi convalidati hanno mostrato che può dare buone assunzioni preliminari sui

carichi della turbina e sulle prestazioni della macchina. Ciò è molto importante per i

39

parametri del progetto di base che interessano le prestazioni della turbina, includendo i

parametri geometrici della pala per la forma in pianta.

Figura 28: Pianta di un parco eolico.

3.4 TURBINA EOLICA AD ASSE ORIZZONTALE IDEALE CON SCIA ROTAZIONALE

Finora abbiamo utilizzato la teoria della quantità di moto, assumendo che non era impartita

nessuna rotazione al flusso. L’analisi precedente può essere estesa al caso in cui la

rotazione del rotore genera un momento angolare, che può essere connesso alla coppia del

rotore. Nel caso della rotazione del rotore della turbina eolica, il flusso dietro al rotore

Fig. 27: Effetto della scia vorticosa.

40

ruota nella direzione opposta del rotore, in reazione alla coppia esercitata dal flusso sul

rotore. Un modello di tubo di flusso con corrente anulare, includendo la rotazione della

scia, è rappresentato in figura 29.

Figura 29: Tubo di flusso con scia rotazionale

La generazione dell’energia cinetica rotazionale nella scia risulta in una minore estrazione

di energia dal rotore di quanto ci si aspetterebbe senza scia rotazionale. In generale,

l’energia cinetica addizionale nella scia della turbina eolica sarà più alta se la coppia

generata è superiore. Quindi, le turbine eoliche a rotazione lenta (con bassa velocità

rotazionale e coppia elevata) in pratica hanno più perdite di rotazione nella scia, delle

macchine eoliche ad alta velocità con piccola coppia. Se si assume che la velocità angolare

assegnata al flusso di corrente, ω, è piccola rispetto alla velocità angolare, , del rotore

della turbina eolica, allora può anche essere assunto che la pressione sulla scia

lontana è uguale alla pressione della corrente indisturbata. L’analisi che segue è

basata sull’uso di un tubo di corrente anulare con un raggio y ed uno spessore dy,

individuati in una sezione trasversale di area uguale a . La pressione, la scia

rotazionale, e il fattore d’induzione sono tutti assunti come funzione del raggio. Se si

utilizza un volume di controllo che si muove con la velocità angolare della pala,

l’equazione dell’energia può essere applicata nelle sezioni prima e dopo delle pale per

ricavare un espressione per la differenza di pressione attraverso le pale. Si noti che

attraverso il disco di flusso, la velocità angolare dell’aria attaccata alla pala aumenta

da a +ω, mentre la componente assiale della velocità resta costante.

41

La spinta risultante su un elemento anulare, dT, è:

Un fattore d’induzione angolare (o circonferenziale), a’, è definito come:

Si noti che quando la scia rotazionale è inclusa nell’analisi, la velocità indotta dal rotore

consiste non solo della componente assiale, , ma anche di una componente nel piano

del rotore, . L’espressione per la spinta diventa:

In seguito della precedente analisi della quantità di moto, come si è visto, la spinta su una

sezione trasversale anulare può essere determinata dalla seguente espressione che usa il

fattore d’induzione assiale, a:

Uguagliando le due espressioni per la spinta si ottiene:

dove X è il rapporto di velocità locale.

In seguito, si può ricavare un’espressione della coppia sul rotore applicando la

conservazione della quantità di moto angolare. Per questa situazione, la coppia esercitata

sul rotore, Q, deve essere uguale al cambiamento nella quantità di moto angolare della scia.

Su un elemento di area anulare questo dà:

Utilizzando la definizione del fattore d’induzione angolare, l’equazione (3.45) si riduce a:

La potenza generata in ogni elemento, dP, è data da:

In generale, un rotore non è della forma ottimale a causa di vincoli costruttivi. Inoltre,

quando una pala “ottimale” lavora ad un rapporto di velocità di punta differente rispetto a

quello di progetto, non è più ottimale. Quindi, le forme della pala devono essere progettate

per poter essere facilmente fabbricate e per avere delle prestazioni globali in un ampio

42

campo di velocità del vento e del rotore, che si combinano tra loro. Considerando che le

pale non sono ottimali, generalmente si utilizza un approccio iterativo. Questo consiste

nell’andare ad assumere la forma della pala e predire le sue prestazioni, provare con

un’altra forma e ripetere la previsione fino a quando viene trovata una pala adeguata.

3.4.1 Teoria della striscia per un rotore generico, includendo la scia rotazionale

L’analisi della pala che include la scia rotazionale si fonda sull’analisi appena descritta.

Qui consideriamo anche il campo non lineare della portanza in funzione dell’angolo

d’attacco, cioè dello stallo. L’analisi parte con le quattro equazioni, della spinta e della

coppia elementare, ricavate dalla teoria del bilancio della quantità di moto e dalla teoria

dell’elemento di pala. In questa analisi, si è assunto che le distribuzioni della corda e dello

svergolamento sulla pala sono note. L’angolo d’attacco non è noto, ma possono essere

utilizzate le relazioni addizionali per calcolare l’angolo d’attacco e le prestazioni della

pala. Le forze e i momenti derivanti dalla teoria della quantità di moto e dalla teoria

dell’elemento di pala devono essere uguali. Uguagliando queste, si possono ricavare le

condizioni per il progetto della turbina.

Per il bilancio della quantità di moto assiale e angolare abbiamo già ottenuto,

rispettivamente:

Si avrà dunque, che i rispettivi coefficienti di spinta e di coppia saranno pari a:

Per la teoria dell’elemento di pala, invece, abbiamo ottenuto:

43

Si tenga presente che, come in precedenza, il vento relativo è dato sempre dalla somma

vettoriale della velocità del vento sul rotore, , e della velocità del vento dovuta

alla rotazione della pala. Nel presente caso, in cui viene considerato il fattore d’induzione

circonferenziale, quest’ultima componente è pari alla somma vettoriale della velocità sulla

sezione della pala, y, e della velocità angolare indotta sulle pale per la conservazione

della quantità di moto angolare, ωy/2, ovvero:

La velocità relativa dunque può essere espressa nel modo seguente:

e il relativo angolo d’inclinazione rispetto al piano del rotore sarà pari a:

Quindi si avrà che le equazioni (3.52) e (3.53) potranno essere scritte come:

I rispettivi coefficienti di spinta e di coppia sono pari a:

Quindi, andando ad eguagliare tra loro le equazioni dei coefficienti di coppia (3.51) e

(3.60), e dei coefficienti di spinta (3.50) e (3.59) si ottiene un sistema di due equazioni

nelle due incognite a ed a’; tali valori verranno calcolati mediante un procedimento

44

iterativo. Questo procedimento consiste nell’iniziare ad ipotizzare i valori di a ed a’, da cui

sono calcolate le condizioni di flusso e i nuovi fattori d’induzione. In particolare, si hanno

le seguenti fasi:

1. Ipotizzare i valori di a ed a’.

2. Calcolare l’angolo d’inclinazione del vento relativo mediante l’equazione (3.56).

3. Calcolare l’angolo d’attacco e dunque CL e CD.

4. Aggiornare a ed a’ all’interno del sistema iniziale di due equazioni.

Il procedimento è quindi ripetuto fino a quando i nuovi fattori d’induzione calcolati

differiscono di una quantità piccola rispetto a quelli calcolati all’iterazione precedente.

Quindi, come per il caso senza il fattore d’induzione circonferenziale si procede con il

calcolo dei parametri relativi alla costruzione della curva di potenza.

Inoltre, anche in questo caso bisogna tenere in considerazione la presenza delle perdite alla

radice e alla punta delle pale, le quali continuano ad essere analizzate mediante il fattore di

correzione di Prandtl.

3.5 PROFILI PER TURBINE EOLICHE

Nel campo del regime di flusso attaccato, il comportamento del profilo è generalmente ben

conosciuto, essendo questo il normale campo di funzionamento dei profili per uso

aeronautico. Anche ai limiti del regime di flusso attaccato, quando inizia una separazione

notevole, che conduce allo stallo, il comportamento aerodinamico del profilo è

generalmente noto ed i dati relativi ad esso sono disponibili in letteratura. È soprattutto lo

spessore del profilo che gioca un ruolo importante nel determinare il punto di inizio della

separazione e la tipologia di stallo. Il regime successivo è di estrema importanza per i

costruttori di turbine. Infatti i valori di portanza e resistenza prodotti in tale campo hanno

un effetto preponderante sul “picco” di potenza che il rotore può produrre. Ad angoli di

attacco ancora più alti, il comportamento del profilo si avvicina a quello della lastra piana:

intorno a 45°, il coefficiente di portanza e quello di resistenza assumono pressoché lo

stesso valore, mentre per angoli intorno a 90°, il coefficiente di portanza tende ad

annullarsi.

I profili usati per le pale di aerogeneratori in passato sono stati in genere NACA di tipo

simmetrico per aerogeneratori ad asse verticale e di tipo asimmetrico per quelli ad asse

45

orizzontale. In una fase successiva sono stati sviluppati profili appositamente per turbine

eoliche (NREL, SERI) e non di derivazione aeronautica.

3.6 TAGLIA DELLE TURBINE

La potenza cresce linearmente con l’area del disco spazzato dalle pale e determina

l’energia elettrica che il sito può produrre nell’arco dell’anno.

La figura 30 mostra le dimensioni tipiche dei rotori eolici attualmente in commercio.

Una tipica turbina accoppiata ad un generatore da 600 kW ha un diametro di circa 44 m.

Raddoppiando il diametro, quadruplicherà l’area del disco spazzato e, nella stessa misura

la potenza elettrica generata.

Un generatore elettrico di grossa taglia richiede una maggiore potenza (quindi venti più

forti) per essere mantenuto in rotazione. Pertanto, dovendo installare una turbina eolica in

un sito a modesta ventosità, la resa energetica annua risulterà massimizzata impiegando un

aerogeneratore di taglia modesta, in quanto sarà in grado di ruotare per più ore nell’arco

dell’anno.

Figura 30: Dimensioni tipiche dei rotori eolici.

46

Risultati numerici

Ciò che faremo nel presente capitolo sta nell’andare a prevedere le prestazioni di una

turbina eolica, basate sullo studio della teoria dei codici BEMT, mediante l’aiuto di un

programma sviluppato nel linguaggio di programmazione FORTRAN90.

Il programma Winstrip è stato realizzato dal Dr. M. Sergio Campobasso, lecturer presso

l’università di Glasgow, con la quale l’Ateneo lucano ha attivato un accordo di

cooperazione in ambito ERASMUS. Questo programma consiste nell’andare ad inserire

dei dati di input, come ad esempio la velocità del vento in ingresso, la geometria della pala

che si utilizza e il coefficiente di correzione di Prandtl, per dare in uscita i dati relativi alla

costruzione della curva di potenza per quella determinata turbina che si sta considerando e

funzionante per un dato range di velocità del vento.

Esistono due diverse versioni del programma Winstrip, rispettivamente descritte

nell’Appendice A.1 e A.2. L’una si basa sul modello BEMT che utilizza il solo fattore

d’induzione assiale, mentre l’altra si serve dell’effetto combinato del fattore d’induzione

assiale con il fattore d’induzione circonferenziale.

Nel presente capitolo verrà effettuato un confronto fra i risultati ottenuti dalle due versioni

al fine di valutare l’importanza del fattore d’induzione circonferenziale sulla previsione

delle prestazioni della turbina eolica.

La turbina oggetto dello studio ha un profilo palare NACA4413, un numero di pale pari a

tre, una lunghezza palare di 6,04 m, ed una velocità di rotazione di 123,2 rad/s. Le pale

sono state suddivise in 40 fasce (o strisce), mentre il campo di variazione delle velocità

oscilla tra una velocità minima di 8,4 m/s ed una velocità massima di 17 m/s, con un

numero di variazioni della velocità pari a 201.

I grafici ottenuti considerando in uno il solo fattore d’induzione assiale, e nell’altro la

combinazione tra il fattore d’induzione assiale e quello circonferenziale sono rappresentati

in figura 31.

Come si può osservare, l’andamento della curva di potenza ottenuta senza considerare il

fattore d’induzione circonferenziale, a parità di velocità del vento, presenta dei valori di

potenza maggiori rispetto alla curva in cui sono considerati sia il fattore d’induzione

assiale che quello circonferenziale.

47

Questa differenza si ha proprio perché i valori della curva di potenza ottenuti con la

seconda versione del programma tengono conto anche della presenza del fattore

d’induzione circonferenziale e quindi, per logica, dovrebbero essere delle misurazioni più

vicine alla realtà, e dunque minori a causa della presenza di maggiori perdite.

Figura 31: Confronto tra le curve di potenza ottenute con le due versioni del programma.

Se invece consideriamo l’andamento della curva di potenza ottenuta andando a

rappresentare il coefficiente di potenza, CP, in funzione del rapporto della velocità di punta,

XTSR, possiamo osservare dalla figura 32 che le due curve in prossimità del mozzo

presentano un andamento pressoché simile, mentre, man mano che il rapporto della

velocità di punta aumenta, il coefficiente di potenza relativo al caso ottenuto con la

combinazione dei due fattori d’induzione, presenta dei valori più piccoli.

48

Figura 32: Curve di potenza ottenute andando a rappresentare CP in funzione di XTSR.

Consideriamo ora l’andamento dei fattori d’induzione assiale, con e senza scia rotazionale,

e del fattore d’induzione circonferenziale, al variare di r.

Come si può osservare dal grafico di figura 33, in cui si è tracciato l’andamento dei fattori

d’induzione per una velocità di 8,83 m/s, si è ottenuto che le due curve relative ai fattori

d’induzione assiale presentano un andamento quasi uguale, poiché il fattore d’induzione

circonferenziale è molto piccolo e dunque il suo effetto è poco rilevante.

All’aumentare della velocità del vento, come si può osservare dai grafici delle figure 34 e

35, i fattori d’induzione assiale presentano dei valori sempre più piccoli poiché, come da

definizione, questi sono inversamente proporzionali a V∞.

Per quanto riguarda, invece, il fattore d’induzione circonferenziale, questo all’aumentare

della velocità del vento presenta dei valori crescenti, soprattutto in corrispondenza della

radice, mentre tende quasi ad annullarsi verso la punta della pala.

49

Figura 33: Andamento dei fattori d’induzione assiale e circonferenziale al variare di r, per una velocità di

8,83 m/s.

Bisogna notare inoltre che all’aumentare della velocità del vento (fig. 34 e 35) i due fattori

d’induzione assiale (con e senza scia rotazionale) presentano dei valori differenti in

prossimità della radice, e in particolare a parità della distanza r il fattore d’induzione

assiale che tiene conto della scia rotazionale presenta dei valori maggiori rispetto al fattore

d’induzione assiale calcolato senza tener conto della scia rotazionale.

Questa differenza nelle due curve si ha perché se si considera la presenza della scia

rotazionale, come abbiamo detto nel paragrafo 3.4 la velocità indotta è composta oltre che

da una componente assiale, , anche da una componente nel piano del rotore pari a

, e dunque è maggiore in modulo. Quindi, siccome il fattore d’induzione assiale è

direttamente proporzionale alla velocità indotta ( ), si avrà che di conseguenza

quello che tiene conto della scia rotazionale risulterà essere maggiore a parità di r.

E dato che, come abbiamo appena notato, il fattore d’induzione circonferenziale è

maggiore verso la radice si avrà che per tale motivo le curve dei due fattori d’induzione

assiale presentano uno scostamento maggiore in tale zona, il quale va appunto diminuendo

verso la punta (dove la componente della velocità indotta nel piano del rotore tende ad

annullarsi in quanto è direttamente proporzionale ad a’).

50

Figura 34: Andamento dei fattori d’induzione assiale e circonferenziale al variare di r,

per una velocità di 13,34 m/s.

Figura 35: Andamento dei fattori d’induzione assiale e circonferenziale al variare di

r, per una velocità di 16,09 m/s.

51

Conclusioni

Il presente lavoro di tesi ha avuto come obiettivo il confronto della distribuzione radiale dei

fattori d’induzione assiale calcolati utilizzando due livelli di approssimazione: quello più

semplice utilizza il solo fattore d’induzione assiale, mentre una successiva

approssimazione consiste nell’introdurre anche quello circonferenziale.

Tutto ciò è stato possibile grazie all’utilizzo di un programma che si chiama Winstrip,

scritto in FORTRAN90 e realizzato dall’ingegnere M. Sergio Campobasso, docente presso

l’università di Glasgow.

Tale programma si fonda sulla teoria del modello bidimensionale BEMT, e ne sono state

realizzate due versioni, a seconda del livello di approssimazione utilizzato, in quanto una

prima versione utilizza il solo fattore d’induzione assiale, mentre l’altra utilizza sia il

fattore d’induzione assiale che quello circonferenziale.

Mediante tale programma, oltre a poter confrontare l’andamento dei fattori d’induzione

assiale lungo la pala, è stato anche possibile andare a confrontare le curve di potenza della

turbina per i due livelli di approssimazione utilizzati.

Come è stato detto, i risultati ottenuti sono basati su una teoria bidimensionale, che non

tiene dunque conto degli effetti tridimensionali legati alla realtà. Nonostante ciò, però, tale

teoria permette comunque di ottenere un buon livello di approssimazione per la previsione

delle prestazioni delle turbine eoliche ad asse orizzontale, tant’è vero che la progettazione

di tutte queste macchine è basata sui risultati ottenuti da tale teoria.

Lo studio fatto in questa tesi ha permesso dunque di poter conoscere i principi di base sui

quali si fonda la progettazione delle turbine eoliche, che ricordiamo, sono macchine che

trasformano l’energia cinetica posseduta dal vento in energia utile, di solito sotto forma di

energia elettrica. Quindi, poiché le turbine eoliche sfruttano l’energia del vento, la quale è

un’energia rinnovabile, e pulita, derivante dal Sole, non emettono CO2 in atmosfera e per

tale motivo si spera che tali macchine in un futuro, non lontano, possano diventare una

delle fonti di produzione di energia maggiormente utilizzate al mondo, per poter

contribuire alla salvaguardia del nostro Pianeta.

52

Ringraziamenti

Innanzitutto, un ringraziamento sentito va al professor Aldo Bonfiglioli, che oltre ad essere

un uomo di grande esperienza e conoscenza, è soprattutto un uomo dotato di grande calma

e disponibilità, ragione per cui lo stimo sia come professore che come uomo.

Un ringraziamento particolare va anche al professor M. Sergio Campobasso, in quanto

anche grazie al suo contributo è stata possibile la realizzazione della presente tesi,

innanzitutto, per il programma da lui realizzato, ma anche per i suoi preziosi consigli.

Infine, ringrazio i miei genitori per il sostegno e i sacrifici fatti durante questi anni e

Marianna Reale per avermi sempre incoraggiato nei momenti più difficili del mio percorso

di studi.

53

Appendice A.1

STRUTTURA DEL PROGRAMMA WINSTRIP

Il programma Winstrip che viene utilizzato in tale paragrafo si basa sull’utilizzo del solo

fattore d’induzione assiale, ed è strutturato nel seguente modo:

Dichiarazione delle variabili.

Lettura dei dati di input mediante la subroutine rd_input, i quali vengono letti dal

file “input.dat”.

I dati di ingresso sono i seguenti:

vinf_mn: velocità minima del flusso indisturbato;

vinf_mx: velocità massima del flusso indisturbato;

nvinf: numero di variazioni della velocità del vento, includendo vinf_mn e

vinf_mx;

nstrip: numero totale di fasce;

instrip_s: indice di partenza delle fasce da analizzare;

istrip_e: indice finale delle fasce da analizzare;

omega: velocità di rotazione (rad/s);

rho: densità dell’aria (kg/m3);

mu: viscosità;

gamma: rapporto tra i valori dei coefficienti a pressione costante e a

volume specifico costante;

rair: 287 J/(kg·K);

tinf: temperatura dell’aria;

rtip: raggio della punta;

rhub: raggio del mozzo;

toler: tolleranza massima accettabile;

pcorr: logica per decidere se utilizzare o meno la correzione di Prandtl;

nb: numero delle pale;

bladegeo: geometria delle pale;

scalfac: fattore di scala;

54

twistoff: variazione della torsione della pala;

tcorr: fattore di correzione della punta;

rcorr: fattore di correzione della radice;

tip_rad_coef: fattore di correzione delle perdite secondo Prandtl.

Allocare in memoria i vettori e le matrici dichiarati precedentemente.

Calcolo delle variazioni della velocità del vento; ciascun valore viene inserito

all’interno del vettore “v_inf (ivinf)”, dove ivinf è un indice che va da 1 a nvinf.

Lettura dei parametri geometrici della pala mediante la subroutine rd_bladegeo,

che li legge dal file “bladegeo”.

Questo file per ogni fascia riporta i valori di theta, del raggio, della corda, di dy e

del tipo di pala utilizzato.

Messa in scala dei parametri geometrici acquisiti precedentemente, del raggio della

punta e del raggio del mozzo, mediante la subroutine scaleblade.

Calcolo del rapporto della velocità di punta, XTSR, per ogni variazione della velocità

del vento v_inf (ivinf).

Dopo di ciò, per ogni valore di v_inf (ivinf) si analizzano le fasce (o anelli, o

strisce), e per ogni fascia si procede nel modo seguente:

Inizializzazione dei seguenti fattori d’induzione assiali a destra e a sinistra

delle pale:

al = 0.10d0

ar = 0.43d0

Calcolo della solidità come: sigma = nb * chord (istrip) / pi / rtip.

Lettura dei valori di CL e CD dal file “xtables”, i quali vengono estrapolati

dalla lettura di tabelle che ne riportano i rispettivi valori in funzione

dell’angolo d’attacco, α, e del numero di Reynolds.

Calcolo del fattore d’induzione, a, per ogni fascia.

Per fare ciò si utilizza un metodo iterativo, il quale permette di compiere

fino ad un massimo di 10000 iterazioni; per ogni iterazione:

Si calcolano:

vi = al * v_inf (ivinf)

v = v_inf (ivinf) – vi

55

phil = atan (v / (omega * r (istrip)))

w = sqrt ((v**2) + ((omega * r (istrip))**2))

rel = rho * w * chord (istrip) / mu

machl = w / sqrt (gamma * rair * tinf)

alphal = (phil / pi * 180) – theta (istrip).

Allo stesso modo, si avranno anche:

vi, v, phir, w, rer, machr, alphar.

Si eseguono quattro interpolazioni lineari mediante la subroutine

bilipo. Di tali interpolazioni, due servono per calcolare i valori di

CL, indicati rispettivamente con cl_l e cl_r, e le restanti due per

calcolare i valori di CD, indicati rispettivamente con cd_l e cd_r.

Tramite la subroutine resid si ricava una funzione denominata resid,

pari alla differenza tra i coefficienti di spinta elementare, dCT,

ottenuti dalla teoria 2-D della portanza/resistenza e del bilancio della

quantità di moto unidimensionale, e la si pone uguale a zero,

ottenendo rispettivamente le funzioni resr e resl. Si tenga presente

che in questo passaggio vengono anche considerate le perdite alla

radice e alla punta secondo la teoria di Prandtl.

Si aggiorna il fattore d’induzione an come segue:

an = al – (ar - al) * resl / (resr - resl)

Si ricalcolano i valori precedenti come:

vi = an * v_inf (ivinf)

v = v_inf (ivinf) – vi

phin = atan (v / omega * r (istrip))

w = sqrt ((v**2) + ((omega + r (istrip))**2))

ren = rho * w * chord (istrip) / mu

machn = w / sqrt (gamma * rair * tinf)

alphan = (phin / pi * 180) – theta (istrip)

Si eseguono due interpolazioni lineari mediante la subroutine bilipo

per poter ricavare i valori di cl_n e cd_n.

Si calcola nuovamente la funzione, “resn” questa volta.

56

Se oppure allora:

am (istrip, ivinf) = an

alpha (istrip, ivinf) = alphan

phi (istrip, ivinf) = phin

cl (istrip, ivinf) = cl_n

cd (istrip, ivinf) = cd_n

dct (istrip, ivinf) = dctl

mach (istrip, ivinf) = machn

re (istrip, ivinf) = ren

Se iter = 1000 allora compare la scritta “massimo numero di

iterazioni raggiunto” e il programma esce dal do utilizzato per

determinare il fattore d’induzione.

Se allora al=an, altrimenti ar=an.

Calcolo del coefficiente di potenza elementare, dcp.

Vengono visualizzate le seguenti scritte:

• fascia completata … (al posto dei puntini viene visualizzato l’indice

di fascia);

• per la velocità del vento … (al posto dei puntini viene visualizzata la

velocità v_inf (ivinf));

• iter, istrip, r, dr … (al posto dei puntini vengono visualizzati i valori

di iter, istrip, r (istrip), dr (istrip));

• a, phi, theta, alpha, re, cl, cd …

Se poldat = 0 allora vengono rilasciate le seguenti memorie allocate in

precedenza:

• x_aoa_l, y_re_l, cldata

• x_aoa_d, y_re_d, cddata

Creazione della cartella di output e trascrizione dei risultati ottenuti durante

l’esecuzione del programma in tale cartella.

57

Appendice A.2

STRUTTURA DEL PROGRAMMA WINSTRIP CONSIDERANDO IL

FATTORE D’INDUZIONE CIRCONFERENZIALE

Il programma Winstrip che viene utilizzato in tale paragrafo si basa sull’utilizzo

contemporaneo, sia del fattore d’induzione assiale che di quello circonferenziale, e per il

calcolo di tali fattori si utilizza un procedimento iterativo basato sulla risoluzione di un

sistema di due equazioni, come è stato descritto nella teoria, la cui soluzione viene

calcolata grazie al metodo di Newton. Tale programma si differenzia dal precedente per i

seguenti punti:

Questa volta vengono inizializzati un fattore d’induzione assiale e uno

circonferenziale, pari rispettivamente a:

al(1) = 0.10d0

al(2) = 0.50d0

Tali valori corrispondono ai punti iniziali delle variabili indipendenti, che si

considerano nel metodo di Newton.

Calcolo dei fattori d’induzione assiale e circonferenziale, a ed a’, per ogni fascia.

Per fare ciò si utilizza un metodo iterativo, il quale permette di compiere fino ad un

massimo di 10000 iterazioni, basato sul metodo di Newton; per ogni iterazione:

Si inizializzano le seguenti variabili:

wax = v_inf(ivinf) * (1 – al(1))

wcrc = omega * r(istrip) * (1 + al(2))

phil = atan(wax / wcrc)

w = sqrt(wax**2 + wcrc**2)

rel = rho * w * chord(istrip) / mu

machl = w / sqrt(gamma * rair * tinf)

alphal = phil / pi * 180 – theta(istrip)

Si eseguono solo due interpolazioni lineari mediante la subroutine bilipo per

calcolare i valori di cl_l e di cd_l.

58

Mediante la subroutine resid si calcola il vettore resl composto dagli

elementi resl(1), che indica la funzione data dalla differenza dei coefficienti

di spinta elementare calcolati con la teoria della quantità di moto e con la

teoria dell’elemento di pala, e resl(2), che indica la funzione data dalla

differenza dei coefficienti di coppia calcolati anche questi con la teoria della

quantità di moto e con la teoria dell’elemento di pala. Si tenga presente che

tali funzioni sono calcolate in corrispondenza dei punti iniziali al(1) e al(2).

Poiché per utilizzare il metodo di Newton bisogna avere a disposizione la

matrice di Jacob, la quale è una matrice avente come righe le derivate

parziali delle funzioni costituenti il sistema rispetto alle variabili

indipendenti che nel nostro caso ricordiamo essere a ed a’, e poiché le

derivate delle funzioni a nostra disposizione sono di difficile risoluzione si

procede andandole a calcolare mediante la definizione di rapporto

incrementale.

Una volta nota la matrice Jacobiana, mediante la subroutine inv_jac se ne

calcola l’inversa.

Si calcolano i nuovi valori di a ed a’, indicati rispettivamente con an(1) e

an(2), e con tali dati a disposizione, dopo aver nuovamente calcolato i valori

di CL e CD mediante interpolazione (indicati questa volta con cl_n e cd_n),

si calcola il vettore resn, questa volta (sempre mediante la subroutine resid).

Si calcolano i moduli dei vettori an e al, i quali vengono indicati

rispettivamente come:

modn = sqrt(an(1)**2 + an(2)**2)

modl = sqrt(al(1)**2 + al(2)**2)

Se allora:

am(istrip, ivinf) = an(1)

alpha(istrip, ivinf) = alphan

phi(istrip, ivinf) = phin

cl(istrip, ivinf) = cl_n

cd(istrip, ivinf) = cd_n

dct(istrip, ivinf) = dct1

59

mach(istrip, ivinf) = machn

re(istrip, ivinf) = ren

Se il numero delle iterazioni è uguale a10000 allora a schermo comparirà la

scritta “arrivato al massimo numero di iterazioni” e il programma uscirà dal

do utilizzato per determinare il fattore d’induzione.

Se invece non è stato raggiunto il numero massimo di iterazioni, si

sostituiscono i valori di al(1) e al(2) rispettivamente con an(1) e an(2).

Una volta calcolati i fattori d’induzione si procede allo stesso modo del programma

precedente.