1... · 2.11 Gli insiemi N, Z, Q pag. 100 ESERCIZI CAPITOLO 2 pag. 103 CAPITOLO 3: LA LOGICA...

BOOK IN PROGRESS

MATEMATICA

ALGEBRAPRIMO ANNOTOMO NR. 1

ITIS “Majorana” Brindisi (BR) ITC “Tosi” Busto Arsizio (VA) ITC “Calabretta” Soveraro (CZ) ISISS “Scarambine” Lecce (LE) ITIS “Buzzi” Prato (PO) ITIS “Ferraris” Napoli (NA)

ITC “Pacioli”Crema (CR) ITIS “FerniI” Francavilla Fontana (BR) LICEO SCIENTIFICO”Guaraci”Soverato (CZ) ITI “Malignani” Udine (UD)

LICEO “Brocchi” Bassano del Grappa (VI) ITIS “Volterra-Elia” Ancona (AN) ITI “Cassata” Gubbio (PG) ITIS “Fermi” Isernia (IS)

In memoria del Preside Francesco Rossi che ha sempre creduto in questo progetto

e l’ha sempre sostenuto.

SOMMARIO DEL TOMO 1

CAPITOLO 1: IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI

1.1 Gli insiemi e la loro rappresentazione pag. 1

1.2 I sottoinsiemi pag. 6

1.3 Insieme delle parti pag. 7

1.4 Operazioni tra insiemi pag. 8

1.5 Esercizi di riepilogo pag. 14

ESERCIZI CAPITOLO 1 pag. 19

CAPITOLO 2: GLI INSIEMI NUMERICI

2.1 Il concetto di numero e l’insieme dei numeri naturali pag. 39

2.2 Operazioni in N pag. 40

2.3 Divisibilità e numeri primi pag. 47

2.4 Considerazioni sui numeri naturali pag. 52

2.5 Il sistema binario pag. 60

2.6 L’insieme Z pag. 65

2.7 Operazioni in Z pag. 69

2.8 L’insieme Q pag. 75

2.9 Operazioni in Qa pag. 86

2.10 Operazioni in Q pag. 89

2.11 Gli insiemi N, Z, Q pag. 100


CAPITOLO 3: LA LOGICA capitolo non presente in questo volume

3.1 Le proposizion logiche e i principi della logica pag. 147

3.2 Operazioni logiche pag. 149

3.3 Espressioni logiche e tavole di verità pag. 155

3.4 Tautologie e contraddizioni pag. 159

3.5 Proposizioni logicamente equivalenti o equiveridiche pag. 160

3.6 Proposizioni aperte pag. 162

3.7 Schemi di ragionamento pag. 170


CAPITOLO 4: LE RELAZIONI

4.1 Le relazioni e la loro rappresentazione pag. 187

4.2 Relazione inversa pag. 192 4.3 Le relazioni in un insieme e le loro proprietà pag. 193

4.4 Relazioni di equivalenza e relazion d’ordine pag. 196 4.5 Funzioni pag. 202

4.6 Funzioni composte pag. 208 4.7 Funzioni numeriche pag. 211


1

CAPITOLO 1

IL LINGUAGGIO DEGLI INSIEMI

1.1 Gli insiemi e la loro rappresentazione

La teoria ingenua degli insiemi1 considera gli insiemi come collezioni ben definite di oggetti,

indipendentemente dalla natura degli elementi che li costituiscono. Gli oggetti che formano un

insieme, chiamati elementi dell’insieme, devono essere, quindi, distinguibili tra loro e individuabili

senza ambiguità.

Così le seguenti collezioni di oggetti:

• i pianeti del sistema solare;

• le capitali europee;

• i numeri naturali;

• 3, a, Arno, 127, Roma, Tirreno;

costituiscono ognuna un insieme dal punto di vista matematico; per loro è infatti vera una delle due

possibilità:

� un dato oggetto è un elemento dell’insieme considerato,

� un dato oggetto non è un elemento dell’insieme considerato.

Invece, le collezioni di oggetti:

• le ragazze carine dell’ITIS “E. Majorana” di Brindisi nel corrente a.s.;

• i segmenti del piano non troppo lunghi;

• alcuni numeri naturali;

non costituiscono esempi di insiemi per la matematica: nel primo caso la scelta è soggettiva,

dipendente dal gusto personale; nel secondo caso non sappiamo cosa significhi “non troppo lunghi”

per cui l’insieme non è ben definito; nel terzo caso la parola “alcuni” dà la possibilità di costruire

collezioni di numeri tra loro diverse e, quindi, non si è in grado di determinare quali elementi

appartengono al nostro “aspirante insieme” e quali no.

Per indicare gli insiemi utilizzeremo le lettere maiuscole dell’alfabeto: A, B, C, D, E, ......

Seguiremo l’usuale convenzione di indicare con N l’insieme dei numeri naturali, con Z quello degli

interi relativi, con Q quello dei razionali e con R quello dei reali.

Gli elementi di un insieme vengono indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto: a, b, c, d, e, ........

1La teoria ingenua (o intuitiva) degli insiemi venne creata, alla fine del XIX secolo, principalmente dal matematico, russo di origine ma tedesco per formazione, Georg Cantor che aveva riformulato la matematica in modo da fondarla solo sulla nozione di insieme. Nei primi anni del XX secolo, la Matematica fu scossa sin dalle fondamenta dalla scoperta di contraddizioni, dette paradossi o antinomie, soprattutto nella teoria degli insiemi per cui, per superare tali problemi, si ricorse all’assiomatizzazione della teoria degli insiemi, cioè ad assiomi che definivano gli insiemi e le operazioni che si potevano effettuare su di essi (teoria assiomatica degli insiemi).

2

Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si utilizza la notazione simbolica:

a∈A (si legge “a appartiene ad A”)

Il simbolo ∈ è detto “simbolo di appartenenza”.

Per indicare che a non è un elemento dell’insieme A si utilizza la notazione simbolica:

a∉A (si legge “a non appartiene ad A”)

Il simbolo ∉ è detto “simbolo di non appartenenza”.

Intuitivamente diremo che un insieme è finito se è possibile elencarne tutti gli elementi, in caso

contrario si parla di insieme infinito.

Inoltre, due insiemi A e B sono detti uguali, e scriveremo A = B, se hanno gli stessi elementi.

Un insieme può essere rappresentato in tre modi diversi:

� rappresentazione tabulare (o per estensione o per elencazione):

Secondo tale rappresentazione, gli elementi vengono scritti tutti all’interno di parentesi graffe, uno

di seguito all’altro, separati da virgole o da punti e virgole.

Così, l’insieme A dei pianeti del sistema solare viene indicato nel seguente modo:

A = { Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno, Urano, Nettuno, Plutone }

(leggi “A è l'insieme formato dagli elementi Mercurio, Venere, Terra, ………………………...…”),

mentre l’insieme B, formato dagli elementi 0 , 1 , 2 , 3 , 4, viene indicato:

B = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 }.

Osserviamo che riusciamo a rappresentare un insieme sotto forma tabulare soltanto se questo

contiene un numero finito di elementi.

L’insieme N dei numeri naturali può, comunque, essere indicato:

N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ….. },

scrivendo, cioè, i “primi” elementi dell’insieme e, poi, aggiungendo i puntini di sospensione;

analogamente, quando non si generano ambiguità, potremo procedere per altri insiemi,.

Gli elementi di un insieme possono essere elencati in un ordine qualsiasi; così:

{ 1 , 2 }= { 2 , 1 };

ed è, inoltre, irrilevante la ripetizione (molteplicità) degli elementi; cioè:

{ 1 , 2 , 2 }= { 1 , 1 , 1 , 2 }= { 1 , 2 },

in quanto gli insiemi risultano uguali perché tutti formati dagli stessi elementi.

� rappresentazione per proprietà caratteristica:

Per indicare l’insieme X dei numeri naturali multipli di 3 possiamo scrivere:

X = { numeri naturali multipli di 3},

3

oppure, utilizzando i simboli del linguaggio matematico:

X = { x / x = 3 · n , n∈N}

che si legge: “X è l’insieme degli x tali che x = 3 · n , con n appartenente all’insieme dei numeri

naturali”. In questo modo X è stato rappresentato per proprietà caratteristica.

La rappresentazione per proprietà caratteristica di un insieme consiste nell’individuarlo, in modo

inequivocabile, attraverso la proprietà che caratterizza tutti e soli i suoi elementi.

Questo metodo è utile, soprattutto, nel caso in cui l’insieme da rappresentare sia infinito o contenga

un numero elevato di elementi.

� rappresentazione grafica:

Un insieme può essere rappresentato graficamente mediante i diagrammi di Venn (detti anche

diagrammi di Eulero – Venn).

Per rappresentare un insieme con i diagrammi di Eulero – Venn si disegna una linea chiusa, al cui

interno vengono posti gli elementi appartenenti all’insieme; all’esterno, eventuali oggetti che non vi

appartengono.

Così, l’insieme A delle vocali dell’alfabeto italiano viene rappresentato come in figura:

Consideriamo ora l’insieme

X = { x∈ N / x2 = 2},

cioè l’insieme dei numeri naturali il cui quadrato è uguale a 2. Quali numeri appartengono ad X ?

Nessuno; infatti:

02 = 0 ; 12 = 1 ; 22 = 4 ; 32 = 9 ; ………

Quindi X è un insieme che non contiene alcun elemento: è l’insieme vuoto, indicato con il simbolo

Ø oppure con { }.

ATTENZIONE

a ≠ {a} in quanto “a” è un elemento di un dato insieme mentre {a} è un insieme il cui

unico elemento è a.

Così: {∅} non è la rappresentazione dell’insieme vuoto, ma rappresenta l’insieme il cui

unico elemento è l’insieme vuoto.

A .e

.i .o

.u .a

4

Esempi

a) I numeri pari sono i multipli di 2 e i numeri dispari sono i successivi dei numeri pari;

pertanto:

� la rappresentazione per caratteristica dell’insieme dei numeri pari è

P = { }/ 2 ,x x n n= ⋅ ∈ N

� la rappresentazione per caratteristica dell’insieme dei numeri dispari è

D = { }/ 2 1,x x n n= ⋅ + ∈ N .

b) Rappresentiamo in forma tabulare e grafica l’insieme

A = { }/ 3 2, 0, 1, 3, 5x x k k∈ = − =N .

Gli elementi dell’insieme A sono i numeri naturali ottenuti sostituendo alla lettera k, uno alla

volta, i numeri 0, 1, 3, 5 così come indicato nell’insieme; pertanto:

− se k = 0: x = 3 ⋅⋅⋅⋅ 0 – 2 = 0 – 2 = - 2; ma – 2 ∉ N, quindi −2 ∉ A;

− se k = 1: x = 3 ⋅⋅⋅⋅ 1 – 2 = 3 – 2 = 1; e 1∈ N , quindi 1∈ A;

− se k = 3; x = 3 ⋅⋅⋅⋅ 3 – 2 = 9 – 2 = 7; e 7 ∈ N, quindi 7∈ A;

− se k = 5; x = 3 ⋅⋅⋅⋅ 5 – 2 = 15 – 2 = 13; e 13∈ N, quindi 13∈ A.

La rappresentazione tabulare di A è quindi:

A =

13,7,1

La rappresentazione grafica di A è la seguente:

♦ Rappresentiamo in forma tabulare e mediante i diagrammi di Eulero - Venn l’insieme

5/ , e 1 5

2

aT x x a N a

− = ∈ = ∈ < ≤

Z .

Prima di tutto determiniamo i valori da assegnare alla lettera a.

La condizione “ 51 ≤< a , con a∈ N ”, indica che ad a devono essere assegnati i valori da 1 a 5,

escluso 1 ed incluso 5; ad a si attribuiscono, allora, i valori 2, 3, 4, 5.

Gli elementi dell’insieme T sono, quindi, i numeri interi ottenuti sostituendo alla lettera a, uno

alla volta, i numeri naturali appena determinati:

A 13 . 1 .

7 .

5

− se 2=a , 2

3

2

52 −=−=x , ma 3

2− ∉ Z , quindi T∉−

2

3

− se 3=a , 12

2

2

53 −=−=−=x , e 1− ∈ Z , quindi T∈−1

− se 4=a , 2

1

2

54 −=−=x , ma 1

2− ∉ Z , quindi T∉−

2

1

− se 5=a , 02

0

2

55 ==−=x e 0∈ Z , quindi T∈0

La rappresentazione tabulare di T è, dunque:

T =

− 0,1

La rappresentazione grafica di T è la seguente:

ATTENZIONE

Sia { }/ 5 2 e 1 6A x x k k= ∈ = − − ≤ <N .

L’insieme A non è “ben definito” perché non è stato indicato a quale insieme numerico

appartiene k.

Non possiamo, quindi, rappresentare l’insieme A.

PROVA TU

1) Rappresenta in forma tabulare e mediante i diagrammi di Eulero - Venn i seguenti insiemi:

= ""/ parcoparoladellavocaleunaèxxA

B =2 1

/ , 1, 3, 4, 6, 73

kx x k

+ ∈ = =

N

22 1/ , e 2 3

1

mD x x m Z m

m

+= ∈ = ∈ − ≤ ≤ − Z

2) Dati gli insiemi:

A = {3, 6, 9, 12} e B = {a, e, i, o ,u},

rappresentali per proprietà caratteristica.

T

-1 . 0 .

{ }/ e 9C x x x= ∈ <N

6

1.2 I sottoinsiemi

Definizione:

Si dice che un insieme A è un sottoinsieme di un insieme B se tutti gli elementi di A sono elementi

di B e si scrive:

A ⊆ B (leggi “ A contenuto in B ” o “A incluso in B ” o, ancora, “ A sottoinsieme di B ”),

oppure

B ⊇ A (leggi anche “B contiene A” o “B include A” ).

Un sottoinsieme A di B si dice proprio se esiste almeno un elemento di B che non

appartiene ad A e scriveremo:

A ⊂ B (leggi “A contenuto strettamente in B ” o “A incluso strettamente in B ” o, ancora,

“A sottoinsieme proprio di B ”),

oppure

B ⊃ A (leggi anche “B include strettamente A”).

Esempio

Dati gli insiemi A = { 1 , 2 , 5 } e B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, si ha che A è un sottoinsieme di B perché

tutti gli elementi di A sono anche elementi di B, quindi A ⊆ B.

Poiché esiste almeno un elemento di B (3 e/o 4) che non appartiene

ad A, si ha che A è un sottoinsieme proprio di B, cioè A ⊂ B.

In base alla definizione data, si ha che ogni insieme A è sottoinsieme di se stesso perché tutti gli

elementi di A appartengono ad A.

Possiamo quindi scrivere:

A ⊆ A .

Tra i sottoinsiemi di un insieme consideriamo anche l’insieme vuoto. Per la sua particolare

caratteristica di non contenere elementi, si conviene di considerare l’insieme vuoto come

sottoinsieme di un qualsiasi insieme.

Possiamo quindi scrivere:

Ø ⊆ A , qualunque sia l’insieme A.

In generale:

dato un insieme A , sono chiamati sottoinsiemi impropri (o banali) di A l’insieme A stesso e

l’insieme vuoto.

Si può facilmente osservare che c’è una certa analogia tra i simboli ⊆ e ⊂ ed i simboli ≤ e <,

così come tra i simboli ⊇ e ⊃ ed i simboli ≥ e > .

.5 .3

B

A .2 .4 .1

7

Il simbolo “⊄ ” significa “non è sottoinsieme”; per esempio, dati gli insiemi:

F =

ba ,7,5,,2 e G =

3,,5,,2 bs

sia ha che F ⊄ G (F non è sottoinsieme di G ) e che G ⊄ F (G non è sottoinsieme di F) [osserva gli

elementi dei due insiemi].

PROVA TU

Rappresenta con i diagrammi di Eulero – Venn gli insiemi

A = {x / x è un numero pari minore di 18} e B = {x / x è un multiplo di 4 minore di 20}

e stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:

A ⊃ B V F

B ⊆ A V F

A ⊆ B V F

B ⊂ A V F

1.3 Insieme delle parti

Definizione

Dato un insieme A, si chiama insieme delle parti di A e si indica con P(A), l’insieme di tutti i

sottoinsiemi, propri e impropri, di A.

Esempio

Dato l’insieme A = { a , b , c }, l’insieme delle parti di A è:

P(A) = { { a }, { b }, { c }, { a , b }, { a , c }, { b , c }, Ø , { a , b , c } } .

Quanti sono gli elementi di P(A) ? Gli elementi di P(A) sono ______ .

PROVA TU

� Sia B ={ },a e ; P(B) = __________________________________________________

� Quanti elementi ha P(B) ? _____________

� Sia C ={ }2, , 5m ; P(C) = _________________________________________________

� Quanti elementi ha P(C) ? __________

� Sia D = { }3, 6, 9, 15 ; P(D) = _________________________________________________

� Quanti elementi ha P(D) ? ______________

� Esiste una relazione fra il numero degli elementi di un insieme A e il numero degli elementi

di P(A)? Se sì, qual è? ______________________________________________________

Si può dimostrare, cioè, che, se A contiene n elementi, P(A) contiene 2 elementi.

8

1.4 Operazioni tra insiemi

1.4.1 Intersezione di insiemi

Definizione:

Dati due insiemi A e B, si dice intersezione dei due insiemi, e si indica con A ∩∩∩∩ B, l’insieme degli

elementi che appartengono sia ad A che a B. In simboli si ha:

A∩ B = { x / x∈A ∧ x ∈B },

( leggi “A intersezione B è l’insieme degli x tali che x ∈ A e x ∈ B” ), dove abbiamo utilizzato il

simbolo di congiunzione logica ∧ (leggi “e”) del quale parleremo in seguito.

Esempio

Dati gli insiemi A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } e B = { 2 , 4 , 6 , 8 }, si ha:

A∩ B = { 2 , 4 }.

La parte in giallo rappresenta l’intersezione tra i due insiemi.

Osserviamo che:

o se B ⊆ A, allora A∩ B = B; A∩ B = B

o se A e B non hanno elementi in comune, allora A∩ B = Ø. In tal caso i due insiemi A e B si

dicono disgiunti.

A∩ B = Ø

1.4.2 Unione di insiemi

Definizione:

Dati due insiemi A e B, si dice unione dei due insiemi, e si indica con A ∪∪∪∪ B, l’insieme degli

elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi dati. In simboli si ha:

A∪ B = { x / x∈A ∨ x ∈B },

( leggi “A unione B è l’insieme degli x tali che x∈A o x ∈B”), dove abbiamo utilizzato il simbolo di

disgiunzione logica (inclusiva) ∨ (leggi “o”) del quale parleremo in seguito.

Esempio: Dati gli insiemi A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } e B = { 2 , 4 , 6 , 8 }, si ha:

A∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}.

La parte colorata rappresenta l’unione tra i due insiemi.

A B

A B

A B .3

.4 .1

.5

.6

.8

.2

9

PROVA TU

a) Rappresenta graficamente gli insiemi A = {x / x è una lettera della parola “calcio” }

e B = {x / x è una lettera della parola “circo” }; successivamente colora di rosso l’insieme

C = A ∩ B e di verde l’insieme F = A ∪ B.

b) Verifica esempi concreti o, astrattamente, mediante i diagrammi di Eulero – Venn, che per

le operazioni di intersezione e unione valgono le seguenti proprietà:

PROPRIETÀ DEFINIZIONE

Idempotenza A∩ A = A A∪ A = A

Commutativa A∩ B = B∩ A A∪ B = B∪ A

Associativa (A∩ B)∩ C = A∩ (B∩ C) = A∩ B∩ C (A∪ B)∪ C = A∪ (B∪ C) = A∪ B∪ C

Distributiva dell’intersezione rispetto all’unione A∩ (B∪ C) = (A∩ B)∪ ( A∩ C) Distributiva dell’unione rispetto all’intersezione A∪ (B∩ C) = (A∪ B)∩ ( A∪ C)

Partizione di un insieme

PROVA TU

Sia X = { Gaia, Anna, Cosimo, Lucia, Arturo, Luca, Ester, Gabriele, Sara, Laura, Aldo, Elena} e

considera i sottoinsiemi di X formati dai nomi che hanno la stessa iniziale.

Completa:

A = {Anna, ___________, ______________}

C = { ______________ }

E = {Ester, ___________}

G = {Gaia, ___________ }

L = {Luca, ___________, ______________}

S = { ______________}

Riporta gli elementi dei sottoinsiemi nel diagramma di Eulero – Venn:

X A

C

E

S

G

L •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

10

Osserva che:

o ogni sottoinsieme è diverso dall’insieme vuoto;

o i sottoinsiemi sono a due a due disgiunti;

o l’unione di tutti i sottoinsiemi è l’insieme X.

Si dice che l’insieme {A, C, E, G, L, S} costituisce una partizione dell’insieme X.

In generale, dato un insieme Y, si chiama partizione di Y l’insieme dei sottoinsiemi di Y tali che:

o ogni sottoinsieme è diverso dall’insieme vuoto;

o i sottoinsiemi sono a due a due disgiunti;

o l’unione di tutti i sottoinsiemi è l’insieme Y.

PROVA TU

Dato l’insieme E = { Milano, Torino, Napoli, Firenze, Mantova, Vercelli, Siena, Pisa }, determina

una partizione dell’insieme E.

1.4.3 Differenza di insiemi

Definizione:

Dati due insiemi A e B, si dice differenza dei due insiemi, presi nell’ordine, e si indica con A – B,

l’insieme degli elementi che appartengono ad A ma non a B. In simboli si ha:

A – B = { x / x∈A ∧ x∉B },

( leggi “A meno B è l’insieme degli x tali che x∈A e x∉B”) .

Esempio

Dati gli insiemi A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } e B = { 2 , 4 , 6 , 8 }, si ha:

A – B = { 1 , 3 , 5 } (parte in azzurro della figura),

e

B – A = { 6 , 8 } (parte in verde della figura).

Quindi, per la differenza non vale la proprietà commutativa.

Osserviamo che:

• se A ⊆ B allora A – B = Ø;

• se A∩ B = Ø allora A – B = A e B – A = B .

Se B è un sottoinsieme di un insieme A, l’insieme differenza A – B viene anche chiamato

complementare di B rispetto ad A ed indicato con il

simbolo CA(B) o BA (parte in rosso della figura).

A

B

11

PROVA TU

• Dopo aver rappresentato graficamente gli insiemi:

E = { }/ 7 4,x x x− < < ∈ Z e F = { }/ 2 9,x x x≤ < ∈ N ,

colora di azzurro l’insieme E – F e di giallo l’insieme F – E.

• Dopo aver verificato che l’insieme { }2/ ( 3) 3, 2 3C x x m m m= ∈ = − − ∈ ∧ − < <Z Z è un

sottoinsieme di { }5, 3, 2, 0, 1, 3, 6, 10, 13, 20, 22, 29, 33D = − − − , determina l’insieme

DC . 1.4.4 Prodotto cartesiano di insiemi

Definizione:

Dati due insiemi A e B, si dice prodotto cartesiano dei due insiemi, presi nell’ordine, e si indica

con A × B, l’insieme di tutte le coppie ordinate (x, y), in cui il primo elemento x appartiene ad A e

il secondo elemento y appartiene a B.

In simboli:

A × B = {(x , y) / x∈A ∧ y∈B}

( leggi “il prodotto cartesiano di A per B è l’insieme delle coppie ordinate (x , y) tali che x∈A e

y ∈B ”).

Se A = B, il prodotto cartesiano si indica A × A o A2.

Esempio

Dati gli insiemi A = { a , b , c} e B = { 1 , 2 } si ha:

A × B = {(a , 1) , (a , 2), (b , 1) , (b , 2) , (c , 1) , (c , 2)}.

B × A = {(1 , a) , (1 , b) , (1 , c) , (2 , a ) , (2 , b) , (2, c)}.

Si può facilmente osservare che A × B ≠ B × A, cioè il prodotto cartesiano di due insiemi, non

vuoti e distinti, non gode della proprietà commutativa.

Osserviamo, inoltre, che l’insieme A ha 3 elementi, l’insieme B ha 2 elementi e l’insieme A× B

ha 6 ( = 3 · 2) elementi.

Questa è una proprietà generale:

se un insieme A è formato da m elementi e un insieme B è formato da p elementi, l’insieme

A× B è formato da m · p elementi.

Oltre che elencandone le coppie, il prodotto cartesiano ha alcune interessanti forme di

rappresentazione grafica:

12

� rappresentazione sagittale ( o a frecce)

Dopo aver disegnato gli insiemi A e B con i diagrammi di Eulero – Venn, si unisce con un segmento

orientato (freccia) ogni elemento del primo insieme con

ciascun elemento del secondo insieme, individuando in

questo modo tutte le coppie ordinate.

Quindi: A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

Questo metodo è consigliabile solo se gli insiemi hanno

un piccolo numero di elementi, perché altrimenti diventa

di difficile lettura.

� rappresentazione matriciale ( o con tabella a doppia entrata)

Costruiamo una tabella ai cui lati sono posti gli elementi degli insiemi

A e B (nella colonna gli elementi di A e nella riga gli elementi di B);

ogni coppia ordinata si trova nella casella incrocio della riga e della

colonna corrispondenti.

Per esempio, la coppia (b;2) deve essere posta all’incrocio tra la riga b

e la colonna 2.

� rappresentazione cartesiana (o reticolo)

Si disegnano due semirette perpendicolari aventi la stessa origine, si indicano sulla semiretta

“orizzontale” gli elementi dell’insieme A e

sulla semiretta “verticale” gli elementi dell’insieme B.

Conducendo le rette che formano la quadrettatura, si rappresentano

simbolicamente le coppie con i punti d’intersezione delle rette

verticali con quelle orizzontali (nodi).

� rappresentazione ad albero

In questo tipo di grafico si parte da un nodo iniziale, detto radice, e si tracciano tanti segmenti,

chiamati rami , per quanti sono gli elementi

del primo insieme, ognuno dei quali termina

in un nodo a sua volta ramificato, con tanti

rami quanti sono gli elementi del secondo

insieme (da qui la struttura ad albero).

Percorrendo le ramificazioni, dalla radice al

nodo finale, si ottengono tutti gli elementi

del prodotto cartesiano.

A 1 2

a (a;1) (a;2)

b (b;1) (b;2)

c (c;1) (c;2)

a b c A

B

2

1 . . . . .

.

. radice

.

. .

.

.

.

.

. .

a

c

b

1

2

1

2

1

2

(a;1)

(a;2)

(b;1)

(c;2)

(b;2)

(c;1)

B

.

.

.

.

.

B

1

2

A

a

b

c

.

13

PROVA TU

1) Dati gli insiemi A = {1, 4, 5} e B = {3, f, 4, s}, rappresenta in tutti i modi possibili A× B.

2) Dati gli insiemi { }mstA ,,= , { }9,5=B , { }uiaC ,,= , verifica che:

o ( ) ( ) ( )CABACBA ×∪×=∪×

o ( ) ( ) ( )CABACBA ×∩×=∩×

OSSERVAZIONE

Tenendo conto dei risultati dell’esercizio 2), possiamo affermare che, per il prodotto cartesiano fra

due insiemi, valgono le seguenti proprietà:

♦ proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto all’operazione di unione;

♦ proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto all’operazione di intersezione.

Esempi:

� Sia A× B = {(−3, 7), (7, 7), (−3, 1), (7, 4), (−3, 4), (7,1)}; determiniamo gli insiemi A e B.

Ricordando la definizione di prodotto cartesiano di due insiemi, osserviamo che gli elementi di

A sono quegli elementi che occupano il primo posto all’interno di ciascuna coppia ordinata e gli

elementi di B sono quegli elementi che occupano il secondo posto all’interno di ciascuna coppia

ordinata. Si ha, dunque, A = { -3, 7} e B = {7, 1, 4}.

� Nella seguente figura è rappresentato P× Q o Q× P ?

Poiché sulla semiretta orizzontale è rappresentato l’insieme P e su quella verticale l’insieme Q,

nella figura è rappresentato l’insieme P× Q.

PROVA TU

a) Rappresenta Q× P con la rappresentazione ad albero, con la rappresentazione sagittale e

con la rappresentazione matriciale, essendo P e Q gli insiemi dell’ esercizio precedente.

14

b) Siano A = 2 1 1 2

/ , , 0,2 2 3

mx x m

m

− ∈ = = − + Q e { }/ 3 , 7B x x n n x= ∈ = ∈ ∧ ≤N N due

insiemi. Dopo averli espressi in forma tabulare, rappresenta in tutti i modi possibili A × B.

1.5 ESERCIZI DI RIEPILOGO

1) Rappresenta graficamente gli insiemi 22 3 1 1

/ , 2, 1, , 0, , 1, 23 1 2 2

mA x x m

m

−= ∈ = = − − − + Z

e { }/ 3 7, e 1 6B x x k k k= = ⋅ − ∈ ≤ <N .

Colora di rosso BA∩ , colora di verde BA∪ , colora di giallo BA− , colora di azzurro AB − .

Rappresenta in forma tabulare P(A).

Stabilisci, inoltre, se le seguenti affermazioni sono vere o false:

BA ⊆ V F

{ }5,4−⊃B V F

AB ⊃ V F

A∈0 V F

{ }∈−1 P(A) V F

B⊆∅ V F

B∈5 V F

{ } A∈−1 V F

B⊂2 V F

A⊂∅ V F

AB ⊄ V F

BA∩∈5 V F

{ } A⊂−− 3,5,1 V F

∅=∩ BA V F

2) Completa inserendo gli elementi mancanti in modo che le seguenti uguaglianze siano vere:

a) { } { } { }5,22.......,,9.......,5........,,3 −=−∩−

b) { } { } { }tspaffpsf ,,,,...............,,,, =∪

c) { }................,,u × { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }............,,............,,......,,8,,1,,8......,.......,1 iia −=−

3) Inserisci negli insiemi E, F, G della figura gli elementi a, d, m, p, s, t in modo tale che siano

vere le seguenti affermazioni:

o { }tmspaFE ,,,,=∪

o { }tmdpaGE ,,,,=∪

o { }tpEF ,=∩

o { }tmEG ,=∩

o { }tGEF =∩∩

15

4) Per ciascuna delle seguenti figure, colora l’insieme indicato:

− nella fig. a, l’insieme (A – B) ∪ (B∩ C) ;

− nella fig. b, l’insieme ( ) ( )BACA −∪∩ .

5) Per ciascuna delle seguenti figure, determina un’espressione con le operazioni fra insiemi che

rappresenti la parte colorata:

________________________ _________________________

ESERCIZIO SVOLTO

E’ stata organizzata una manifestazione di nuoto; i 30 atleti che vi hanno aderito si affrontano sulla

distanza di 100 m nei quattro stili: stile libero, dorso, rana, delfino.

Tutti gli iscritti partecipano ad almeno una prova e gli atleti che gareggiano nella prova a delfino

non partecipano ad alcuna altra prova. Inoltre, si sa che:

12 atleti si sono iscritti alla gara a stile libero; 10 alla gara a rana, 15 alla gara a dorso; 2 atleti

gareggiano nei tre stili: stile libero, dorso e rana; 6 atleti partecipano alle gare a stile libero e dorso;

5 atleti partecipano solo alle gare a dorso, 3 atleti partecipano alle gare a stile libero e rana.

Stabilisci:

a) quanti sono i partecipanti alla prova a delfino;

b) quanti partecipano solo alla prova a stile libero;

c) quanti partecipano alle prove a rana e dorso, ma non a stile libero.

A

B C

fig. b

16

Per rispondere a queste domande rappresentiamo il problema con un “modello” nel quale inserire le

informazioni date.

I partecipanti alla manifestazione possono essere divisi in quattro insiemi: uno per ogni stile di gara

Siano U = { x / x è iscritto alla manifestazione},

L = { x / x partecipa alla gara a stile libero},

D = {x / x partecipa alla gara a dorso},

R = {x / x partecipa alla gara a rana},

F = {x / x partecipa alla gara a delfino}.

Nel rappresentare gli insiemi mediante i diagrammi di Eulero – Venn, teniamo conto di alcune

informazioni contenute nel testo:

o L, D, R, F sono sottoinsiemi di U

o l’insieme F è disgiunto da L, D, R

o (L ∩ D ) ∩ R ≠ ∅

o L ha 12 elementi

o D ha 15 elementi

o R ha 10 elementi

Le questioni poste richiedono di determinare il numero degli elementi di:

a) F (colore giallo nel diagramma)

b) L – ( D ∪ R ) (colore celeste nel diagramma)

c) ( R ∩ D ) – L (colore verde nel diagramma)

Analizziamo, ora, le informazioni date dal problema.

• Dai dati del problema emerge che ( L ∩ D ) ∩ R è

formato da 2 elementi; scriviamo, dunque, nella

parte che rappresenta (L ∩ D ) ∩ R , il numero 2.

17

• Dai dati del problema si ha che L ∩ D è formato da 6

elementi; di questi 2 sono elementi di ( L ∩ D ) ∩ R,

quindi ( L ∩ D ) – [( L ∩ D ) ∩ R ] (parte colorata) è

formato da 4 elementi; scriviamo 4 nella parte colorata

del diagramma.

• Dai dati del problema si rileva che D – ( L ∪ R ) (parte

colorata del diagramma) è formato da 5 elementi;

scriviamo 5 nella parte colorata.

• Dai dati del problema deduciamo che L ∩ R è formato da

3 elementi; di questi 2 sono elementi di ( L ∩ D ) ∩ R,

quindi ( L ∩ R ) – [( L ∩ D ) ∩ R ] (parte colorata del

diagramma) è formato da 1 elemento; scriviamo 1 nella

parte colorata.

L’ultimo diagramma è il “modello” del problema; in esso sono riportate tutte le informazioni (dati)

rilevate dal testo.

Completiamo il diagramma inserendo le informazioni

mancanti che possiamo, adesso, dedurre.

I partecipanti alla sola prova a stile libero (cioè il

numero di elementi di L – ( D ∪ R ) (colore celeste del

diagramma) sono 12 – (4 + 2 + 1) = 5.

Questa è la risposta alla domanda b).

I partecipanti alle prove a rana e dorso, ma non a

stile libero, cioè il numero di elementi di ( R ∩ D ) – L

(colore verde del diagramma) è 15 – ( 5 + 4 + 2) = 4.

Questa è la risposta alla domanda c).

I partecipanti alla sola prova a rana, cioè il numero di elementi di R – ( L ∪ D ) (colore rosso del

diagramma) sono 3.

18

Il numero di partecipanti alla sola prova a delfino, cioè il numero di elementi di F, è dato dalla

differenza fra il numero degli iscritti alla manifestazione (30) e il numero degli elementi di

( L ∪ D ) ∪ R che, come puoi facilmente rilevare dal diagramma, è 24; l’insieme F è formato da

30 – 24 = 6 elementi.

Questa è la risposta alla domanda a).

PROVA TU

Dall’indagine svolta fra i 60 soci di un circolo sportivo è emerso che alcuni praticano il calcio, altri

il basket ed altri ancora il tennis, ma nessun socio pratica tutti e tre gli sport. Inoltre, 24 soci

praticano il basket e 20 il tennis; 15 soci praticano solo il calcio, mentre 6 soci praticano sia il

basket che il calcio, 5 soci praticano sia il calcio che il tennis e 7 soci praticano sia il basket che il

tennis. Quanti soci praticano solo il basket? Quanti soci non praticano alcuno dei tre sport?

(Risolvi il problema con i diagrammi di Eulero – Venn, come nell’esercizio svolto).

I soci del circolo sportivo possono essere divisi nei seguenti insiemi:

U = {x / x è socio del circolo sportivo},

C = { x / x è socio del circolo sportivo che pratica il calcio},

B = { x / x è socio del circolo sportivo che pratica il basket},

T = { x / x è socio del circolo sportivo che pratica il tennis}.

Nella rappresentazione grafica è necessario tenere conto delle seguenti informazioni:

o U è formato da ………. elementi

o C, B, T sono sottoinsiemi di U

o (C ∩ B) ∩ T = ∅

o B è formato da ………. elementi

o T è formato da ………. elementi

Completa il seguente diagramma nel quale è colorato di giallo l’insieme dei soci che praticano solo

il basket e di celeste l’insieme dei soci che non praticano alcuno sport.

( … )

( … )

( … )

( … )

( … )

B ( … )

C ( … )

T ( … )

U ( … )

( … )

19

ESERCIZI CAPITOLO 1

Gli insiemi

Conoscenza e comprensione

1) Come può essere “definito” un insieme?

2) Come si indica, in generale, un insieme? E un elemento di un insieme?

3) Scrivi, a fianco di ciascuno dei seguenti insiemi, il simbolo con il quale essi vengono indicati:

a) l’insieme dei numeri naturali: ……

b) l’insieme dei numeri interi relativi: ……

c) l’insieme dei numeri razionali: ……

4) Le seguenti collezioni di oggetti sono insiemi:

a) I colori dell’arcobaleno. V F

b) I migliori giocatori di calcio. V F

c) Le stelle più luminose dell’Universo. V F

d) I minerali della Terra. V F

e) Le stelle nane rosse dell’Universo. V F

5) Una sola delle seguenti scritture indica che a è un elemento dell’insieme B. Quale?

a) a ⊆ B

b) A ∈ B

c) a ∈ B

d) B ⊃ a

e) B ∈ a

6) Una sola delle seguenti scritture indica che b non è un elemento dell’insieme F. Quale?

a) b ⊄ F

b) b ∉ F

c) b ∈ F

d) F ⊃ b

e) F∉ b

7) Quali delle seguenti scritture indicano l’insieme vuoto?

{} ; {∅} ; 0 ; {0} ; ∅.

20

8) In quali modi si può rappresentare un insieme? Fai un esempio per ciascuno di essi.

9) Sia C = {x / x è un colore della bandiera italiana}; completa con i simboli ∈, ∉:

a) bianco ….. C

b) rosa ….. C

c) rosso ….. C

d) nero ….. C

e) viola ….. C

f) azzurro ….. C

10) Sia B = {x ∈ N / x è divisore di 15}. Quale delle seguenti affermazioni è corretta?

a) 1 ∈ B

b) 15 ∉ B

c) 3 ⊂ B

d) B ⊃ 5

e) {3}∈ B

11) Sia A = {x / −5 < x < 3}. È possibile rappresentare l’insieme A ? Giustifica la tua risposta.

12) Che cosa si intende per sottoinsieme di un dato insieme?

13) Quando, un sottoinsieme di un insieme si dice proprio? Quali sono i sottoinsiemi impropri?

14) Spiega perché le seguenti scritture non sono corrette e, successivamente, riscrivile

correttamente:

a) ♣ ⊂ {♦, ♥, ♠, ♣}

b) A ⊂ A

c) {1, 5 } ⊃ {1, 3, 5, 9}

d) {0} ∈ {−2, 0, 2}

e) ∅ ∈ B

f) 4 ∉ {x ∈ Z / −3 < x ≤ 4}

g) {a}∈ {a, e, i, o, u}

h) B ⊃ ∅

15) Che cos’è l’insieme delle parti di un insieme? Con quale simbolo viene indicato?

16) Se m è il numero degli elementi di un insieme A, qual è il numero degli elementi dell’insieme

delle parti di A ?

17) Sia B = {x ∈ N / x = 2 ⋅ n, con 0 ≤ n < 3}. Allora:

a) 0 ∈P(B) V F f) ∅ ∈P(B) V F

b) 6 ∈B V F g) {2}∈P(B) V F

c) B ∈P(B) V F h) {{0},{2}}⊂ P(B) V F

d) {0, 2} ⊂ P(B) V F i) 1∈B V F

e) 0 ∈B V F l) ∅ ⊆ P(B) V F

21

18) Come è definita l’operazione di unione di due insiemi? Scrivila con i simboli del linguaggio

matematico.

19) Come è definita l’operazione di intersezione di due insiemi? Scrivila con i simboli del

linguaggio matematico.

20) Quali proprietà valgono per l’operazione di unione di due insiemi? E per l’operazione di

intersezione?

21) Quando due insiemi si dicono disgiunti?

22) Che cos’è una partizione di un insieme?

23) Sia A un insieme. Esiste una sola partizione di A ? Giustifica la tua risposta.

24) Sia G = {−2, −1, 0, 1, 2, 3}. Quale, fra i seguenti insiemi, è una partizione di G ?

a) {{−2}, {0, 2}, {−1, 2}, {1, 3}}.

b) {{−2, 0, 2}, {1}, {−1, 3}, {}}.

c) {{−2, 2}, {0}, {1, 3}, {−1}}.

d) {{−2, 0}, {1, 3}, {−1}}.

e) {{−2}, {0, 2, −1}, {1, 3}, ∅}.

25) Come è definita l’operazione di differenza di due insiemi? Scrivila con i simboli del linguaggio

matematico.

26) Siano A e B due insiemi tali che A ⊂ B. Che cosa si intende per insieme complementare di A

rispetto a B ? Con quale simbolo si indica? Scrivi la sua definizione con i simboli del linguaggio

matematico.

27) Per la differenza fra insiemi, vale la proprietà commutativa? Giustifica, anche con degli esempi,

la tua risposta.

28) Come è definita l’operazione di prodotto cartesiano di due insiemi? Scrivila con i simboli del

linguaggio matematico.

29) Come può essere rappresentato il prodotto cartesiano di due insiemi?

30) Quali proprietà valgono per l’operazione di prodotto cartesiano di due insiemi?

31) Siano A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {−3, −2, −1, 0, 1, 2} due insiemi. Completa, inserendo i simboli

delle operazioni fra insiemi, in modo che siano verificate le seguenti uguaglianze:

a) A ….. B = {0, 1, 2}.

b) B ….. A = {−3, −2, −1}.

c) B ….. A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.

d) (−2, 4) ∈ B ….. A.

22

Esercizi

Insiemi e rappresentazione di un insieme

1) Stabilisci se le seguenti collezioni di oggetti costituiscono degli insiemi:

a) I ragazzi più alti di Brindisi.

b) I pianeti del Sistema solare.

c) I numeri naturali maggiori di 298.

d) Le frazioni più piccole.

e) Gli esseri viventi unicellulari della Terra.

f) Gli aerei più veloci.

2) Rappresenta nel modo che ritieni opportuno i seguenti insiemi:

“I numeri naturali minori di 9”;

“I giorni della settimana”;

“I numeri razionali minori 3”;

“Le vocali della parola ‘spazio’ ”;

“I numeri interi relativi maggiori di −14”;

“Le persone residenti a Brindisi”;

“I multipli di 5 minori di 4”;

“I numeri pari multipli di 3”.

3) Rappresenta i seguenti insiemi mediante la rappresentazione tabulare e per caratteristica:

4) I seguenti insiemi sono rappresentati in forma tabulare; rappresentali mediante i diagrammi di

Venn e per caratteristica:

{ }17,14,11,8,5=C ;

F = {Mercurio, Venere};

H = {12, 16, 20, 24, 28};

K = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}.

23

5) Rappresenta gli insiemi:

K = {x / x è una lettera della parola “calcio”};

M = {x / x è una consonante della parola “palco”};

S = {x ∈ Z / − 4 ≤ x < 3},

mediante i diagrammi di Venn e completa le seguenti proposizioni inserendo i simboli ∈, ∉:

a) o … K ; f) a … M ;

b) 3 … S ; g) 0 … S ;

c) l … M ; h) a … K ;

d) − 4 … S ; i) p … K ;

e) − 5… S ; l) i … M .

6) Rappresenta, sotto forma tabulare e mediante i diagrammi di Venn, gli insiemi:

A = 2 1

/ 2, 1, 0, 21

nx x n

n

⋅ + ∈ = ∧ = − − −Z ;

B = {x ∈ N / x = 3 ⋅⋅⋅⋅ m − 2, con m ∈ Z ∧ −2 < m ≤ 2};

C = { 2/ 2 1x x t t∈ = − ⋅ +N ∧ }4,3,2,1,0=t ;

D = / 42 3

n nx x n ∈ = + − ⋅

N ∧ = 3,2,

2

3,1,

2

1n .

7) Rappresenta mediante la rappresentazione per caratteristica i seguenti insiemi:

T = {10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31};

P = {− 4, − 3, − 2, − 1 , 0, 1, 2};

L = {1, 10, 100, 1000, 10000};

E = {16, 8, 0, 20, 12, 4};

F = {1, 5, 10, 17, 26, 37}.

8) Rappresenta, se possibile, mediante i diagrammi di Venn gli insiemi:

B = { }/ 5 7, 0, 2, 4, 6x x k k∈ = − =N ;

{ }""/ parcoparoladellaconsonanteunaèxxF = ;

{ }2/ <= xxL ;

<<−=∈= 62,

2

1/

2

hh

hxQxS .

24

Sottoinsiemi

Esempio

Dati gli insiemi A = {x ∈ Z / − 4 ≤ x < 3} e B = {0, 1, 2}, stabilisci se B è un sottoinsieme di A e

rappresenta gli insiemi con i diagrammi di Venn.

Determiniamo gli elementi di A; essi sono : − 4, − 3, − 2, − 1, 0, 1, 2.

Osserviamo che tutti gli elementi di B sono elementi di A, quindi B è un sottoinsieme di A.

Notiamo, anche, che esistono elementi di A che non appartengono a B; quindi B è un sottoinsieme

proprio di A.

Riportiamo gli elementi di A all’interno di una linea chiusa e, all’interno di tale linea, tracciamo

un’altra linea chiusa che racchiuda gli elementi di B. Si ottiene la seguente rappresentazione:

9) Rappresenta gli insiemi B = {x / x è una lettera della parola “pali”}, C = {x / x è una lettera

della parola “palla”} e D ={x / x è una lettera della parola “palio”} con i diagrammi di Venn;

successivamente stabilisci se:

a) B e C sono sottoinsiemi propri o impropri di D;

b) C è un sottoinsieme proprio o improprio di B.

10) Dopo aver rappresentato graficamente gli insiemi A = {−2, 3, 5, 0, −4} e B = {0, −2, 5},

stabilisci quale delle seguenti proposizioni è vera.

A = B ; A ⊂ B ; B ⊃ A.

11) Sia A = {x / x è una vocale della parola “casa”}; scrivi tutti i sottoinsiemi propri di A.

12) Sia G = {−2, 0, 4}. Scrivi tutti i sottoinsiemi impropri di G.

13) Sia M = {x ∈ Z / −3 < x < 5}. Uno solo dei seguenti insiemi è un sottoinsieme di M. Quale?

a) {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

b) {−2, 0, 1, 5, 6}

c) {−3, −2, −1, 3, 4, 5}

d) { −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}

e) { −2, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

A B −4

�

−2 �

−3 �

−1 �

0 �

1 � 2

�

25

14) Sia S = {x ∈ N / x = 4 ⋅⋅⋅⋅ a + 2, con a = 1, 3, 5, 7}; l’insieme R = {6, 20, 14} è un sottoinsieme

di S ? Giustifica la tua risposta.

15) Osserva la figura e completa:

a) 673 −⋅ …. T ; e) 12

3 − …. T ; i) 52:14 + …. T ;

b) 22

3 − …. T ; f) 9283 ⋅−⋅ …. T ; l)

−−3

1

2

1

6

5 …. F;

c) 4315 ⋅− …. T; g)

−−⋅12

5

3

56

3

1 …. F; m) 31787 ⋅−⋅ …. T ;

d) 44

7 − …. F; h) 569 +− …. F; n) 3

24

2

1 +⋅ …. T .

16) Sia A = {a, b, c, d, e} e B = {x ∈ Z / x2 = −4}. Quale delle seguenti proposizioni è vera? E

perché?

a) B ⊆ A;

b) B ⊂ A;

c) B ⊄ A;

d) A ⊂ B;

e) A = B.

17) Dopo aver rappresentato in forma tabulare e con i diagrammi di Venn gli insiemi:

A = {x / x è una lettera della parola “coppia”};

B = {x / x è una lettera della parola “coppa”};

C = {x / x è una lettera della parola “ceppo”},

stabilisci se sono vere o false le seguenti proposizioni:

a) B ⊆ A V F e) A = C V F

b) C ⊄ B V F f) C = B V F

c) B ⊇ C V F g) A ⊃ C V F

d) C ⊂ B V F h) A ⊃ B V F

26

18) Osserva la seguente figura e completa inserendo, in maniera opportuna, i simboli ⊂, ⊆, ⊄, ⊃, ⊇:

a) A ….. B ; e) D ….. A ; i) E ….. B ;

b) B ….. F ; f) E ….. C ; l) D ….. B ;

c) A ….. F ; g) C ….. F ; m) B ….. C ;

d) F ….. E ; h) ∅ ….. B ; n) A ….. A .

19) Siano A = ∈x Z / ,

1

12

+−=

k

kx con

= 2,1,0k e B = { ∈x Z / }12 =x due insiemi.

Quali delle seguenti proposizioni sono corrette?

A = B; A ⊆ B; A ⊃ B; 2 ∈ A; B ⊆ A; {1} ∈ B; {−1} ⊂ A.

20) Sia M = {m}; quali delle seguenti scritture non sono corrette?

m ∈ M; {m} ⊂ M; ∅ ⊆ M; {m} ∈ M; {} ⊂ M.

21) Sia T = {a, e, u}. Scrivi tutti i sottoinsiemi propri di T.

22) Dati gli insiemi:

G = {x ∈ N / x = 3 ⋅⋅⋅⋅ n, con n ∈ N e 0 ≤ n ≤ 10};

H = {x ∈ N / x = 4 ⋅⋅⋅⋅ n, con n ∈ N e 0 ≤ n < 8},

determina almeno tre insiemi che siano sottoinsiemi sia di G che di H. Rappresenta,

successivamente, i sottoinsiemi trovati per caratteristica.

23) Sia A = {b, c, d}; determina tutti i possibili sottoinsiemi di A e rappresenta in forma tabulare

l’insieme P(A).

24) L’insieme A = {{s}, {t},{s, t}} rappresenta l’insieme delle parti di un insieme? Giustifica la

tua risposta.

25) Sia P(C) = {{7}, {3}, {0}, {7,3}, {7,0}, {0,3},{},{3, 7, 0}}; qual è l’insieme C ?

27

26) Sia D = {x / x è una lettera della parola “catastrofe”}. Quanti sono gli elementi di P(D) ?

27) Sia S = {x ∈ N / x = 2 ⋅⋅⋅⋅ n – 5, con n = 0, 1, 2}. Quanti sono gli elementi di P(S)? Elencali.

28) Sia B = {x ∈ Z / x2 = 9} . Uno solo dei seguenti insiemi è l’insieme P(B). Quale?

a) {{3}, {−3}, ∅};

b) {{−3, 3}, {3},{−3}};

c) {{3}, ∅};

d) {{−3}, {3}, {}, {−3, 3}};

e) {−3, 3}.

29) Completa in modo che l’insieme {{7},{7, 9}, ∅, ….. } rappresenti l’insieme delle parti di un

insieme.

30) Sia dato l’insieme B = ∈x Z / ,

1

2

−+=

n

nx con

<≤− 12 n .

Una sola proposizione è falsa; quale?

a) B = {0, −2};

b) 0 ∈ B;

c) {0, −2} ⊂ P(B);

d) {0, −2} ⊆ B;

e) {{0}, {−2}} ∈ P(B).

31) Osserva la figura e completa inserendo, in maniera opportuna, i simboli ∈, ∉, ⊂, ⊆, ⊃, ⊇, ⊄:

a) {s, m} ….. B; i) f ….. A;

b) D ….. A; l) 7 ….. B;

c) {o, 3} ….. D; m) h …. A;

d) {m, h, o, e} ….. B; n) {s, f} ….. A;

e) {1, 3, 7, 5} ….. D; o) {m} ….. B;

f) 3 ….. A; p) g ….. B;

g) ∅ ….. D; q) A ….. {s, m, g, h, f};

h) e ….. D; r) {1, h} ….. D.

28

Operazioni tra insiemi

Unione e intersezione

Esempio:

Dati A = {x ∈ N / 3 < x < 8} e B = {x ∈ N / x <10 ∧ x è pari}¸ rappresentiamo in forma tabulare e

con i diagrammi di Venn gli insiemi A ∪ B e A ∩ B.

Rappresentiamo, innanzi tutto, in forma tabulare gli insiemi A e B; si ha che:

A = {4, 5, 6, 7};

B = {2, 4, 6, 8}.

▪ L’ unione di A e B è l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad A o a B, riportando

una sola volta gli elementi in comune. La rappresentazione tabulare dell’unione dei due insiemi

è la seguente:

A ∪ B = {2, 4, 5, 6, 7, 8}.

Rappresentiamo A ∪ B con i diagrammi di Venn (colore celeste della figura)

A tale scopo, osserviamo che gli insiemi A e B hanno alcuni elementi in comune; allora

rappresentiamo A e B in modo che le due linee chiuse, una per l’insieme A ed una per l’insieme B, si

intersechino e nella parte comune inseriamo gli elementi in comune:

▪ L’ intersezione di due insiemi è l’insieme formato dagli elementi comuni ai due insiemi. La

rappresentazione tabulare di A ∩ B è, quindi:

A ∩ B = {4, 6}

Rappresentiamo A ∩ B con i diagrammi di Venn (colore giallo della figura):

29

32) Per ciascuna delle seguenti coppie di insiemi, rappresenta in forma tabulare e con i diagrammi

di Venn gli insiemi A ∪ B e A ∩ B :

a) A = {m, s, a, t, e} e B = {a, b, c, s, e};

b) A = {1, 3, 5, 7} e B = {−2, 0, 2, 3, 5};

c) A = {x / x è una consonante di “ latte”} e B = {x / x è una lettera di “ moto”};

d) A = {x ∈ N / 2 < x < 6} e B = {x ∈ N / x = 2 ⋅⋅⋅⋅ n, con n = 0, 1, 2, 3};

e) A = {x ∈ N / 2 < x < 8} e B = {x ∈ N / x + 2 = 10}.

33) Dati gli insiemi A = {x / x è una vocale di “podere”}, B = {x / x è una lettera di “dopo”} e

C = {o, p, d, i}. Determina la rappresentazione tabulare dei seguenti insiemi:

A ∩ B ; B ∪ C ; B ∩ C ; A ∩ C ; B ∪ (A ∩ C) ; A ∩ (B ∪ C) .

34) Dati gli insiemi A = ∈x Z /

12

32

−⋅+⋅=

n

nx , con n = }1,0,1− e B = {x ∈ Z / x + 1 = 4};

rappresenta, nel modo che ritieni più opportuno, A ∩ B.

35) Dati gli insiemi A = {x / x è uno dei giorni della settimana che inizia con la lettera “m”} e

B = {Domenica, Lunedì}; determina A ∪ B e A ∩ B.

36) Dati gli insiemi F = {x ∈ N / x + 2 = 0} e G = {−1, 1, 3}, determina F ∪ G e G ∩ F.

37) Siano A = {x ∈ Z / −3 ≤ x < 2} e B = {x ∈ N / 0 ≤ x ≤ 4} due insiemi. Una sola delle seguenti

proposizioni è falsa. Quale?

a) {−3, 3} ⊂ A ∪ B;

b) {0, 1} ⊂ A ∩ B;

c) −2 ∈ A ∪ B;

d) A ∩ B = ∅;

e) 1 ∈ A ∩ B.

Differenza fra insiemi e insieme complementare

38) Per ciascuna delle coppie di insiemi dell’esercizio 32), rappresenta in forma tabulare e mediante

la rappresentazione grafica gli insiemi A – B e B – A.

39) Dati gli insiemi S = {x ∈ N / x è un divisore di 54} e T = {x ∈ N / x è un divisore di 45},

determina gli insiemi S – T e T – S.

30

40) Siano A = ∈

x Q / ,3

n

nx

+= con −−= 2,1,1,2n e B = {x ∈ N / 0 ≤ x ≤ 4} due insiemi.

Rappresenta, mediante i diagrammi di Venn, l’insieme B – A.

41) Completa il diagramma sapendo che:

A – B = {1, 2, 4};

B – A = {8, 9};

A ∪ B = {1, 2, 4, 7, 8, 9}.

42) Dati gli insiemi M = {−4, −2, 0, 2, 4, 6, 8}, P = {−1, 0, 1, 2, 3, 4} e S = {−3, −1, 1, 3, 5},

rappresenta in forma tabulare i seguenti insiemi:

a) M − (P ∪ S);

b) (P − M) ∩ S;

c) (M ∩ S) − P;

d) (M − P) ∩ S;

e) (M ∩ P) − S.

43) Completa inserendo gli elementi mancanti:

a) {−4, …. , 3, 1} − {…. , 7, 1, 9} = {5, 3};

b) {a, e, …. , g} − {a, b, e, c} = {…. , f}.

44) Siano P = {x / x è un mese che inizia con la lettera “a”} e M = {x / x è un mese dell’anno} due

insiemi. Rappresenta in forma tabulare, con i diagrammi di Eulero - Venn e per caratteristica

l’insieme MP .

45) Siano dati gli insiemi A = {x ∈ Z / x = k – 3, con k ∈ N ∧ − 3 < k < 2 } e B = {−3, −2}.

Quali delle seguenti proposizioni sono false?

AB ≠ ∅; BA ≠ ∅; −5 ∈ AB ; −3 ∈ B ∩ AB .

46) Qual è il complementare, rispetto ad N, dell’insieme dei numeri dispari?

47) Qual è il complementare, rispetto a Z, dell’insieme N ?

31

48) Siano A e B due insiemi tali che A ⊂ B; stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:

a) A ∪ B = A V F

b) BA = ∅ V F

c) A ∩ B = A V F

d) A ∪ BA = B V F

e) A ∩ BA = A V F

f) B ∩ BA = BA V F

Esempio:

Nella seguente figura, coloriamo l’insieme A ∪ (B ∩ C).

In una espressione si risolvono prima le parentesi tonde, quindi coloriamo di giallo B ∩ C, cioè la

parte in comune fra gli insiemi B e C; si ottiene:

Determiniamo, adesso, l’unione fra questo nuovo insieme e l’insieme A; si ottiene:

L’insieme richiesto è in colore celeste.

32


fig. 1 fig. 2 fig. 3

fig. 1: (A ∩ C) ∪ B;

fig. 2: (B ∪ C) ∩ A;

fig. 3: (B ∩ A) ∪ (B ∩ C).

50) Nel seguente diagramma sono rappresentati gli insiemi P, S, M. Riportalo più volte sul tuo

quaderno e colora, se possibile, gli insiemi a fianco indicati:

a) P – S;

b) (S – P) ∩ M;

c) MP ∩ (P – S);

d) (P ∩ S) ∪ MS .

51) Riporta più volte sul tuo quaderno il seguente diagramma e colora gli insiemi indicati:

a) ( ) )( GHGK G −∪∩ ;

b) ( ) ( )KHKKH ∩∪− ;

c) (H ∩ G) ∪ ( FH ∩ G);

d) ( ) ( )FGHGK −∩∪ .

33

52) Determina un’espressione con le operazioni fra insiemi che rappresenti la parte colorata nei

seguenti diagrammi:

Partizione

53) Determina una partizione dell’insieme A = {x ∈ N / 0 < x < 10}.

54) Sia M = {x / x è un mese dell’anno}, costruisci una partizione di M con tre sottoinsiemi di M.

55) Siano dati gli insiemi B = {x / x è una lettera della parola “aquilone”}, B1 = {x / x è una lettera

della parola “qua”} e B2 = {x / x è una lettera della parola “Lione”}. L’insieme {B1, B2} è una

partizione di B ? Rappresenta gli insiemi con i diagrammi di Venn e giustifica la tua risposta.

56) Siano dati gli insiemi A = {x ∈ N / x = 2 ⋅⋅⋅⋅ n + 1, con 0 ≤ n < 8 ∧ n ∈ N}, A1 ={x ∈ N / x è un

divisore di 9}, A2 = {x ∈ N / 3 < x ≤ 13 ∧ x è primo} e A3 = {x ∈ N / x + 5 = 20}.

L’insieme {A1, A2, A3} è una partizione di A ?

Rappresenta gli insiemi con i diagrammi di Venn e giustifica la tua risposta.

57) Dati gli insiemi A = {0, 1, 2, 4, 6, 8, 10}, B = {0, 6,10}, C = {x ∈ N / x è un divisore di 8} e

D = {x ∈ N / x + 3 = 1}, l’insieme {B, C, D} è una partizione di A ?

Giustifica la tua risposta.

Prodotto cartesiano

58) Dati gli insiemi A = {−2, 0, 2, 4} e B = {1, 3}, rappresenta in tutti i modi possibili gli insiemi

A × B e B × A.

59) Siano dati gli insiemi F = {x / x è una lettera della parola “mondo”} ed E = {a, e}. Rappresenta

in tutti i modi possibili l’insieme F × E.

34

60) Dati gli insiemi C = { }/ 3 7 ex x x≤ ≤ ∈ Z e D = { }/ 1 2 ex x x− < ≤ ∈ Z rappresenta in

tutti i modi possibili D × C.

61) Siano dati gli insiemi C = {x ∈ Z / x + 4 = 0} e D = {x ∈ N / x è un divisore di 3}. Rappresenta

in forma cartesiana l’insieme D × C.

62) Sia A × B = {(1, 2), (3, 0), (1, 0), (3, 2), (5, 2), (5, 0)}. Rappresenta in forma tabulare gli insiemi

A e B.

63) Sia A × B = {(x, y) / x ∈ N ∧ 0 < x < 6, y = x + 2}. Rappresenta nel modo che ritieni più

opportuno gli insiemi A e B.

64) Dati gli insiemi A = {0, 3, 5}, B = {a, e} e C = {4, 7, 9}, rappresenta con un diagramma ad

albero ed in forma tabulare i seguenti insiemi:

(A × B) × C ; A × (C × B) ; C × (B × A).

65) Dati gli insiemi A = {x / x è una lettera di “terra”}, B = {x / x è una lettera di “torero”} e

C = {x / x è una lettera di “toro”}, rappresenta, con un diagramma ad albero ed in forma

tabulare, i seguenti insiemi:

A × (B × C) ; B × (C × A) ; (A × B) × C.

66) Dati gli insiemi A = {b}, B = {−5, 1, 3}, C = {2, 4} e D = {a, u}, calcola il prodotto cartesiano

di ciascuno di essi per se stesso.

67) Inserisci al posto dei puntini le lettere opportune:

a) {…. , m, f} × {a, ….} = {(d, a), (…. , b), (m, ….), (m, b), (…. , a), (f, ….)};

b) {1, …. , 6} × {2, ….} = {(…. , 2), (1, 5), (4, ….), (…. , 5), (6, 2), (6, ….)};

c) ({6, …. , 9} ∩ {7, …. , 4}) × {1, ….} = {(3, ….), (…. , 2}.

68) Nella seguente figura è rappresentato l’insieme A × B. Determina la rappresentazione tabulare di

A e di B.

35

69) Nella seguente figura è rappresentato l’insieme A × B.

Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?

a) {b} ⊂ A;

b) (a, g) ∈ A × B;

c) {g, h}⊂ A;

d) (f, b) ∈ B × A;

e) {m, h} ⊂ B.

70) Siano dati gli insiemi A = {x ∈ N / x è un divisore di 12} e B = {x / x è un divisore di 30}. Una

sola delle seguenti proposizioni è falsa. Quale?

a) {(2, 1), (6, 3)} ⊂ B × A;

b) {(2, 1), (6, 3)} ⊂ A × B;

c) {(2, 12), (4, 3)} ⊂ B × A;

d) A × B ⊃ {(4, 5), (3, 6)};

e) (3, 2) ∈ (A × B) ∩ (B × A).

71) Siano dati gli insiemi A = {3, 6, 9}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Rappresenta in

forma tabulare i seguenti insiemi:

a) A × ( B ∩ C) ; d) (C − A) × B ;

b) [C − (B ∩ A)] × (B ∩ A) ; e) [(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)] × A ;

c) (A × B) ∩ (B × C) ; f) (C × B) − (B × A) .

c b a

m g h f

36

Esercizi di riepilogo

72) In figura sono rappresentati tre insiemi:

Una sola delle seguenti proposizioni è falsa. Quale?

a) (C − D) ∪ (D − C) = (C ∪ D) − (C ∩ D);

b) C ∩ D ⊂ P(C) ;

c) C − D = CD E ∩ ;

d) ( ) EEE DCDC ∪⊂∪ ;

e) ( ) DDDC E ⊆∩− .

73) Sia A = {x ∈ N / x è divisore di 45}; una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?

a) P(A) ha 12 elementi ;

b) (3, 9) ∈ A2 ;

c) {1, 15} ∈ A2;

d) (3, 5) ∈ A;

e) P(A) è una partizione di A.

74) Siano dati gli insiemi A = {x ∈ N / x è divisore di 45}, B = {x ∈ N / x è divisore di 27}

e C = {x ∈ N / x è divisore di 12}; quale delle seguenti affermazione è falsa?

a) (1, 3, 1) ∈ B2 × C

b) (A ∩ B) − C = ∅

c) (C ∩ B) − A = (A ∩ C) − B

d) {9} ⊂ (A − B)A

e) 2 ∈ C − (A ∩ B)

75) Dati gli insiemi A, B e C dell’esercizio precedente; determina i seguenti insiemi:

a) (A ∩ B) × (B ∩ C);

b) (A ∩ C)B ∪ (B − A);

c) B × (C − A).

37

76) Siano S e T due insiemi generici; stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:

se T ∩ S = S, allora S ⊂ T V F ;

se T ∪ S = T, allora S ⊆ T V F ;

se p ∈ T, allora {p} ∈ P(T) V F ;

se S − T = S, allora T = ∅ V F ;

se T − S = ∅, allora S ⊆ T V F ;

se T − S = ∅, allora S ⊂ T V F ;

se S − T = T − S, allora T = S V F ;

se S × T = T × S, allora S = T V F .


(B ∩ C) ∪ (A ∩ B) (A − B)A ∪ (B ∩ C)

78) Per ciascuna delle seguenti figure, determina un’espressione con le operazioni fra insiemi che

rappresenti la parte colorata:

__________________ __________________ ___________________

CA ∩ (B ∪ A) [(A ∩ C) ∪ CB ] ∩ (A ∪ B)

38

79) Fra i ragazzi di un condominio 25 hanno una bicicletta, 22 hanno i pattini, 20 possiedono uno

skateboard e 6 non possiedono alcuno dei tre giochi; inoltre 9 ragazzi hanno tutti e tre i giochi, 4

soltanto la bicicletta, 2 soltanto lo skateboard e 6 possiedono sia la bicicletta che i pattini, ma

non lo skateboard.

Quanti sono i ragazzi del condominio?

(Rappresenta il modello del problema utilizzando i diagrammi di Eulero – Venn).

[40]

80) Il comitato organizzatore della festa patronale del paese di Manigoldia vuole organizzare una

serata musicale scegliendo il genere di musica preferito dalla maggior parte dei 585 ragazzi del

paese.

Dall’indagine svolta è emerso che 423 ragazzi sono appassionati di almeno uno fra i generi

Rock, House e Reggae; 75 amano Rock e House e, di questi, 45 non amano il Reggae; inoltre,

93 sono appassionati di House e Reggae e 73 di Rock e Reggae; 133 amano il Rock ma non la

musica House e 130 amano la musica House ma non la musica Reggae.

Quale sarà il genere musicale della serata?


[House]

81) Il responsabile della biblioteca dell’Istituto “Gobbar” ha avuto l’incarico dal Dirigente

Scolastico dell’acquisto di alcuni libri per favorire la lettura da parte degli alunni dell’Istituto.

Agli alunni viene sottoposto un questionario nel quale esprimere la preferenza fra romanzo

storico, romanzo giallo e romanzo d’avventura.

Dal questionario è emerso che su 666 alunni:

− 55 alunni gradiscono tutti e tre i generi;

− 127 alunni gradiscono il romanzo giallo e quello d’avventura;

− 95 alunni gradiscono il romanzo storico e quello giallo, ma non quello d’avventura;

− 178 alunni gradiscono il romanzo d’avventura e almeno uno fra il romanzo storico e

quello giallo;

− 36 gradiscono solo il romanzo storico;

− 419 almeno uno fra il romanzo storico ed il romanzo giallo;

− 513 alunni gradiscono almeno uno fra il romanzo giallo e quello d’avventura.

A quanti alunni della scuola non piace nessuno dei tre generi?


[117]

39

CAPITOLO 2

GLI INSIEMI NUMERICI

2.1 Il concetto di numero e l’insieme dei numeri naturali

Osserva la seguente figura:

Gli insiemi C ed E hanno “qualcosa” in comune, così come gli insiemi B e D: gli elementi

di C sono “tanti quanti” gli elementi di E e gli elementi di B sono “tanti quanti” gli elementi di D.

Questo “qualcosa” (quid come lo definì il matematico Luigi Campedelli) che hanno in

comune gli insiemi B e D si chiama numero naturale 5; quello che hanno in comune gli insiemi C

ed E si chiama numero naturale 3.

Così, quel “qualcosa” che hanno in comune gli insiemi

P = { }⊕ , S = { }a , T = {♦}

è il numero naturale 1.

Quel “qualcosa” che hanno in comune gli insiemi privi di elementi, cioè gli insiemi vuoti, è

chiamato numero naturale 0.

Partendo dall’insieme vuoto, aggiungendo ogni volta un elemento all’insieme considerato, si ottiene

l’insieme dei numeri naturali N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ……….} che prende anche il nome di

successione dei numeri naturali.

Si chiama successivo (o consecutivo) di un numero naturale n quel numero che segue

“immediatamente” n nella successione dei naturali.

Si chiama antecedente di un numero naturale m quel numero che precede “immediatamente” m

nella successione dei naturali.

Per esempio, 3 è il successivo di 2, 9 è l’antecedente di 10.

0 (zero) non è il successivo di alcun numero naturale.

A B C

D E

40

Con il simbolo N0 indichiamo l’insieme dei naturali dal quale escludiamo lo zero; in simboli:

N0 = N - {0}.

Per visualizzare l’insieme N è conveniente rappresentare i suoi elementi su una retta come

segue:

� si fissa sulla retta un punto come origine (di due semirette) al quale si associa il numero 0, un

verso (rappresentato con la punta di una freccia) per fissarne l’orientamento e un segmento

come unità di misura. Per rappresentare il numero 1 si riporta, a partire dall’origine e nello

stesso verso dell’orientamento della retta, una volta il segmento unità; per rappresentare il

numero 2 si riporta, a partire dall’origine e nello stesso verso dell’orientamento della retta, due

volte il segmento unità, e così via come mostrato nella seguente figura:

In realtà, per rappresentare l’insieme N sarebbe sufficiente una semiretta, ma preferiamo una retta

…… in attesa di “arricchirla”.

Osserviamo che ad ogni numero naturale possiamo associare un punto sulla retta, ma non è vero il

contrario.

PROVA TU

Rappresenta (su una retta orientata) i seguenti numeri naturali:

3 , 5 , 2 , 10 , 4.

2.2 Operazioni in N

Come già sai, in N sono definite le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e

divisione.

Ricorda:

• L’ addizione è quell’operazione che associa a due numeri naturali a e b il numero naturale c

che si ottiene contando tante unità successive ad a quante ne indica b.

� I termini di una addizione si chiamano addendi, il risultato si chiama somma.

Esempio 3 + 9 = 12

3 e 9 sono gli addendi, 12 è la somma.

• La sottrazione è quell’operazione che associa a due numeri a e b, presi nell’ordine, un terzo

numero d, se esiste, tale che, addizionato al secondo dà come somma il primo.

Per questo motivo si dice che la sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione.

Esempio 18 – 5 = 13 perché 13 + 5 = 18.

41

� Nella sottrazione a − b = c, il numero a si chiama minuendo, il numero b sottraendo, il

numero c differenza.

Nell’esempio precedente, 18 è il minuendo, 5 è il sottraendo, 13 è la differenza.

• Calcolare il prodotto fra due numeri a e b, con b > 1, vuol dire calcolare la somma di tanti

addendi uguali ad a quanti ne indica b. (L’operazione con la quale, dati due numeri

naturali, si trova il loro prodotto è detta moltiplicazione).

♦ Se b = 1, a · 1 = a

♦ Se b = 0, a · 0 = 0

Esempio

2 · 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2

� I termini della moltiplicazione si chiamano fattori, il risultato si chiama prodotto.

Esempio

21 · 15 = 315

I numeri 21 e 15 si chiamano fattori; il numero 315 si chiama prodotto.

• La divisione fra due numeri a e b, nell’ordine e con b ≠ 0, è quel numero q, se esiste, che

moltiplicato per b dà per risultato a (cioè q · b = a).

Per questo motivo si dice che la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione.

Esempio

12 : 4 = 3 perché 3 · 4 = 12

� Nella divisione a : b = q , il numero a si chiama dividendo, il numero b divisore, il numero

q quoziente.

Nell’esempio, 12 è il dividendo, 4 è il divisore e 3 è il quoziente.

Si dice anche che:

o a è divisibile per b;

o b è divisore di a;

o a è multiplo di b;

o b è sottomultiplo di a.

Osservazione: nella definizione dell’operazione di divisione, abbiamo precisato che il divisore deve

essere diverso da zero. Perché?

Si possono presentare due casi:

I. il dividendo diverso da zero e il divisore uguale a zero;

II. il dividendo ed il divisore entrambi uguali a zero.

42

I. a : 0 = ?

Sappiamo che il quoziente tra due numeri, nei quali il dividendo è non nullo, è quel numero che

moltiplicato per il divisore dà come risultato il dividendo. Ora, se il divisore è il numero “0”, devo

trovare un numero che moltiplicato per “0” dà come risultato un numero diverso da “0”; ma

questo numero non esiste perché, come ben sai, per la legge di annullamento del prodotto,

qualsiasi numero moltiplicato per “0” dà come prodotto “0”.

II. 0 : 0 = ?

In tal caso, sempre dalla definizione di divisione, il risultato non sarebbe unico (come lo è il

risultato di qualsiasi operazione), perché qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà come risultato 0.

Possiamo concludere che , in una divisione, il divisore deve essere diverso da zero !

Invece, se il dividendo è zero, il quoziente è sempre zero (0 : b = 0 ∀b∈N0).

Nella scrittura simbolica hai notato un nuovo simbolo “∀”: si legge “per ogni”, o “qualunque sia”

ed è detto quantificatore universale.

Riflettiamo insieme sul “comportamento” delle operazioni definite in N.

L’addizione e la moltiplicazione hanno la seguente caratteristica: la somma di due qualsiasi numeri

naturali è un numero naturale; il prodotto di due qualsiasi numeri naturali è un numero naturale.

Possiamo, allora, dire che:

Le operazioni di addizione e moltiplicazione sono interne

all’insieme N, cioè N è chiuso rispetto alle operazioni di

addizione e moltiplicazione.

Invece la differenza d fra due numeri naturali a e b (d = a – b) è ancora un numero naturale solo

se a è maggiore o uguale a b; il quoziente q fra due numeri naturali s ed r (q = s : r, r ≠ 0) è un

numero naturale solo se s è multiplo di r.

Le operazioni di sottrazione e divisione non sono interne

all’insieme N, cioè N non è chiuso rispetto alle operazioni di

sottrazione e divisione.

43

Da questo nasce la necessità di costruire “nuovi” e “più ampi” insiemi numerici: l’insieme dei

numeri interi relativi e l’insieme dei numeri razionali. Di questi insiemi parleremo più avanti.

Le proprietà dell’addizione e della moltiplicazione in N

Sia per l’operazione di addizione che per quella di moltiplicazione valgono le seguenti proprietà:

Proprietà associativa

La somma o il prodotto non cambiano se i numeri a ,b ,c vengono associati in maniera diversa.

In simboli

� ∀∀∀∀ a, b, c ∈∈∈∈ N: (a + b) + c = a + (b + c)

� ∀∀∀∀ a, b, c ∈∈∈∈ N: (a · b) · c = a · (b · c)

Esempi

• (2 + 7) + 9 = 2 + (7 + 9)

Infatti:

(2 + 7) + 9 = 9 + 9 = 18

2 + (7 + 9) = 2 + 16 = 18

• (3 · 5) · 8 = 3 · (5 · 8)

Infatti:

(3 · 5) · 8 = 15 · 8 = 120

3 · (5 · 8) = 3 · 40 = 120

Proprietà commutativa

La somma di due numeri non cambia se si cambia l’ordine dei numeri; il prodotto di due numeri

non cambia se si cambia l’ordine dei fattori.

In simboli:

� ∀∀∀∀ a, b ∈∈∈∈ N: a + b = b + a

� ∀∀∀∀ a, b ∈∈∈∈ N: a · b = b · a

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e alla sottrazione

� ∀∀∀∀ a, b, c ∈∈∈∈ N: a · (b + c) = a · b + a · c

� ∀∀∀∀ a, b, c ∈∈∈∈ N, c ≤≤≤≤ b: a · (b - c) = a · b – a · c

oppure, in modo equivalente:

� ∀∀∀∀ a, b, c ∈∈∈∈ N: a · b + a · c = a · (b + c)

� ∀∀∀∀ a, b, c ∈∈∈∈ N, c ≤≤≤≤ b: a · b – a · c = a · (b −−−− c)

44

Esempi

• 7 · (3 + 5) = 7 · 3 + 7 · 5

Infatti:

7 · (3 + 5) = 7 · 8 = 56

7 · 3 + 7 · 5 = 21 + 35 = 56

• 4 · 6 + 4 · 7 = 4 · (6 + 7)

Infatti

4 · 6 + 4 · 7 = 24 + 28 = 52

4 · (6 + 7) = 4 · 13 = 52

• 6 · (7 −−−− 5) = 6 · 7 – 6 · 5

Infatti:

6 · (7 − 5) = 6 · 2 = 12

6 · 7 – 6 · 5 = 42 – 30 =12

• 9 · 6 – 9 · 4 = 9 · (6 – 4)

Infatti:

9 · 6 – 9 · 4 = 54 – 36 = 18

9 · (6 – 4) = 9 · 2 = 18

Legge di annullamento del prodotto

Il prodotto di due o più fattori è 0 se e solo se almeno uno dei fattori è 0.

Questo vuol dire che , qualunque sia il numero naturale n, risulta:

n · 0 = 0

e, viceversa, se risulta:

m · n = 0, allora m = 0 o n = 0 oppure sia m che n sono uguali a zero.

Per esempio: 3 · 12 · 45 · 0 · 48 · 2 · 125 = 0

Proprietà della sottrazione e della divisione

Precisiamo che sia per la sottrazione che per la divisione non vale la proprietà commutativa. Puoi

facilmente rendertene conto facendo qualche esempio.

Proprietà invariantiva della sottrazione

La differenza fra due numeri a e b (con a ≥ b) non cambia aggiungendo o sottraendo lo stesso

numero c ad entrambi i termini della sottrazione (con b ≥ c nell’ultimo caso).

� Se a ≥ b: a – b = (a + c) – (b + c)

� Se a ≥ b e se b ≥ c: a – b = (a – c) – (b – c)

45

Proprietà invariantiva della divisione

Nelle ipotesi in cui le operazioni siano possibili, si ha:

il quoziente di due numeri naturali a e b (ovviamente b ≠ 0) non cambia se si moltiplicano o si

dividono a e b per uno stesso numero c ≠ 0.

� a : b = (a · c) : (b · c)

� a : b = (a : c) : (b : c)

Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione

Nelle ipotesi in cui le operazioni siano possibili, si ha:

� (a + b) : c = (a : c) + (b : c)

� (a – b) : c = (a : c) – (b : c)

Poichè la divisione non gode della proprietà commutativa, la proprietà distributiva vale solo nel

caso in cui l’addizione o la sottrazione precedono la divisione.

Potenze e proprietà delle potenze

Ricorderai che il prodotto di più fattori uguali tra loro prende il nome di potenza.

Per esempio: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 62 (si legge “2 alla sesta”) ; 2 si chiama base della potenza e 6

esponente della potenza.

Si pone: aa

aa

=

≠=1

0 01

Per le potenze valgono alcune proprietà di sotto elencate:

� mpmp aaa +=⋅ oppure mpmp aaa ⋅=+

� mpmp aaa −=: oppure mpmp aaa :=−

� ( ) mpmp aa ⋅= oppure ( ) ( )pmmpmp aaa ==⋅

� ( )mmm baba ⋅=⋅ oppure ( ) mmm baba ⋅=⋅

� ( )mmm baba :: = oppure ( ) mmm baba :: =

Osservazione

Le proprietà delle potenze permettono di giustificare le posizioni fatte per 0a e 1a .

Consideriamo la divisione 81 : 81. Il quoziente fra due numeri uguali è 1, quindi 81 : 81 = 1; d’altra

parte, poiché 4381= , la stessa divisione si può scrivere come 44 3:3 e, applicando le proprietà delle

potenze, si ottiene che 04444 333:3 == − .

In definitiva: 4 4

4 4 4 4 0

3 :3 81:81 1

3 :3 3 3 −

= =

= =

46

E’ chiaro che il risultato di un’operazione non può dipendere dal modo con il quale essa viene

eseguita, quindi 130 = . Ovviamente, poi, si può generalizzare al caso in cui la base della potenza è

un qualunque numero naturale (diverso da zero).

Consideriamo, adesso, la seguente divisione:

64 : 32 il cui risultato è 2; d’altra parte, poiché 64 = 26 e 32 = 25, la stessa divisione si può

scrivere come 56 2:2 e, applicando le proprietà delle potenze, si ottiene 156 22:2 = .

In definitiva 6 5

6 5 6 5 1

2 : 2 64 :32 2

2 : 2 2 2 −

= =

= =

Come osservato in precedenza, il risultato di un’operazione non può dipendere dal modo con il

quale essa viene eseguita. Quindi 21 = 2 . Ovviamente, poi, si può generalizzare al caso in cui la

base della potenza è un qualunque numero naturale (diverso da zero).

Esempi

551 =

532 555 =⋅

527 33:3 =

( ) 623 44 =

( ) 4444 155353 =⋅=⋅

( ) 5555 36:186:18 ==

160 =

9 5 4 5 47 7 7 7 + = = ⋅

39396 11:111111 == −

( ) ( )433412 151515 ==

PROVA TU

• Applicando le proprietà delle potenze, calcola:

a) 43 22 ⋅

b) 58 15:15

c) 243 272727 ⋅⋅

d) 55 38 ⋅

e) 88 5:45

f) 012

g) 99 5:5

h) 17

• Applicando le proprietà delle potenze, completa:

a) 12 8 ....... ....... .........5 5 5 5 + = = ⋅

b) 8 ...... ...... 10 .........3 3 3 :3 − = =

c) ( ) 3.......33 .....9......918 ⋅=⋅=

d) ( ) ....................5 3:213:217 ==

e) ........ 3 ....... ........ 28 8 8 8 + = = ⋅

f) ( ) ...............55 ........:36......:369 ==

47

Numeri particolari : 0 , 1

Osserva i risultati delle seguenti operazioni:

5 + 0 = 5 0 + 8 = 8

84 + 0 = 84 107 + 0 = 107

6 ·1 = 6 1 · 56 = 56

48 ·1 = 48 1 · 258 = 258

Generalizzando si ha:

� ∀ a ∈ N : a + 0 = a = 0 + a

� ∀ b ∈ N0 : b ·1 = b =1· b

Quindi, se ad un numero a aggiungiamo 0 otteniamo ancora a e se un numero b∈N0 viene

moltiplicato per 1 otteniamo ancora b.

Il numero 0 (per l’addizione) ed il numero 1 (per la moltiplicazione) si comportano nello stesso

modo: “non fanno cambiare il numero”.

Ciascuno dei due numeri prende il nome di elemento neutro :

� 0 è l’elemento neutro per l’addizione

� 1 è l’elemento neutro per la moltiplicazione

2.3 Divisibilità e numeri primi

Parlando della divisione fra due numeri naturali, abbiamo visto cosa significa che un numero

naturale a è divisibile per un numero naturale b.

Senza eseguire la divisione, esistono dei criteri per stabilire se un numero a è divisibile per un

numero b, per particolari valori di b.

Li elenchiamo di seguito:

o Un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari (0, 2, 4, 6, 8).

o Un numero è divisibile per 3 se lo è la somma delle sue cifre.

o Un numero (di almeno tre cifre) è divisibile per 4 se lo è il numero formato dalle sue due

ultime cifre a destra oppure se termina con due zeri.

o Un numero è divisibile per 5 se termina con 5 o con 0.

o Un numero è divisibile per 9 se lo è la somma delle sue cifre.

o Un numero è divisibile per 11 se la differenza fra la somma delle cifre di posto pari e la

somma delle cifre di posto dispari è 0 oppure è un multiplo di 11.

48

o Un numero (di almeno tre cifre) è divisibile per 25 se lo è il numero formato dalle ultime sue

due cifre oppure se termina con due zeri.

o Un numero è divisibile per 10 quando termina almeno con uno zero.

o Un numero è divisibile per 100 quando termina almeno con due zeri.

o Un numero è divisibile per 1000 quando …………………………….

Scomposizione in fattori primi

� Un numero naturale maggiore di 1 si dice primo se ha come divisori soltanto se stesso e

l’unità (0 e 1 non sono numeri primi).

� Due numeri naturali si dicono primi fra loro (o coprimi ) se hanno come divisore comune

soltanto l’unità.

Euclide ha dimostrato che i numeri primi sono infiniti. I numeri primi minori di 100 sono i seguenti:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17, 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47, 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 89; 97

Curiosità

Due numeri primi consecutivi per i quali la differenza è 2 si chiamano numeri primi gemelli. Ad

esempio sono numeri primi gemelli 3 e 5; 11 e 13.

Ogni numero non primo può essere scritto come prodotto di più numeri primi. Il procedimento che

consente di scrivere un numero come prodotto di numeri primi si chiama scomposizione in fattori

primi o fattorizzazione. Si ha, per esempio:

Il fattore 2 si ripete 3 volte ed il fattore 3 si ripete due volte, quindi

72 = 23 · 32

� La scomposizione in fattori primi di ciascun numero naturale maggiore di 1 è unica, a meno

dell’ordine.

Massimo Comun Divisore e minimo comune multiplo

Consideriamo due numeri naturali, per esempio 45 e 75. Determiniamo tutti i loro divisori.

I divisori di 45 sono: 1, 3, 5, 9, 15, 45

I divisori di 75 sono: 1, 3, 5, 15, 25, 75

Come puoi notare i numeri 1, 3, 5, 15 sono divisori di entrambi; il più grande dei divisori comuni,

cioè 15, è chiamato Massimo Comun Divisore fra 45 e 75 e si indica M.C.D.(45, 75) = 15.

49

Per determinare il MCD fra due o più numeri non è necessario, tuttavia, determinare tutti i divisori

dei numeri dati e poi scegliere il maggiore fra quelli comuni; esiste, infatti, il seguente “algoritmo”

che ne consente la determinazione:

� si scompongono i numeri dati in fattori primi;

� si moltiplicano fra loro i fattori comuni, presi una sola volta, con il minimo esponente con

cui compaiono nelle singole scomposizioni.

Esempio MCD(144, 24, 84)

144 = 24 · 32

24 = 23 · 3

84 = 22 · 3 · 7

quindi MCD (144, 24, 84) = 22 · 3 = 12

Consideriamo, adesso i numeri 18 e 24. Determiniamo i loro multipli (diversi da zero: sono

infiniti!).

I multipli di 18 sono: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234, ……..

I multipli di 24 sono: 24, 48, 72, 96, 12, 144, 168, 192, 216, 240, 264, …….

Come puoi osservare vi sono multipli comuni dei due numeri (72, 144, 216,…); il più piccolo dei

multipli comuni, cioè 72, è chiamato minimo comune multiplo fra 18 e 24 e si indica:

m.c.m.(18, 24) = 72.

Per determinare il mcm fra due o più numeri non è necessario trovare i multipli comuni e, poi,

scegliere il minore; esiste, così come per il MCD, il seguente “algoritmo” che ne consente la

determinazione:

� si scompongono i numeri dati in fattori primi;

� si moltiplicano fra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo

esponente con cui compaiono nelle singole scomposizioni.

Esempio mcm (90, 24)

90 = 2 · 32 · 5

24 = 23 · 3

quindi mcm (90, 24) = 23 · 32 · 5 = 8 · 9 · 5 = 360

Esercizi svolti

Ecco alcuni esempi nei quali è necessario calcolare il MCD fra due numeri.

Applicando la proprietà distributiva, riscriviamo la somma 6 + 14 come prodotto fra un fattore

esterno ed una addizione fra due numeri in modo che gli addendi siano coprimi:

50

� osserviamo che 6 = 2 · 3 e 14 = 2 · 7, quindi 6 + 14 = 2 · 3 + 2 · 7;

� 2 è un divisore sia di 6 che di 14, quindi 2 è un fattore comune ai due numeri; anzi 2 è il

Massimo Comun Divisore fra 6 e 14 [MCD (6, 14) = 2]; tale numero è il fattore esterno

cercato;

� i termini della somma sono 3 e 7 che sono, rispettivamente, i quozienti fra 6 e 2 (6 : 2 = 3)

e fra 14 e 2 (14 : 2 = 7).

Si ottiene, allora, la seguente uguaglianza:

6 + 14 = 2 · 3 + 2 · 7 = 2 · (3 + 7)

Proviamo ancora.

Vogliamo scrivere la sottrazione 30 – 12 come prodotto fra un fattore esterno ed una sottrazione fra

due numeri che siano coprimi.

Poiché i termini della sottrazione non devono avere fattori in comune, il fattore esterno deve essere

non uno qualunque dei divisori comuni di 30 e 12, ma deve essere il Massimo Comun Divisore fra

30 e 12 [MCD (30, 12)].

Scomponiamo in fattori primi 30 e 12:

30 = 2 · 3 · 5 12 = 22 · 3

quindi MCD (30, 12) = 2 · 3 = 6

allora

30 – 12 = 6 · (5 – 2)

osserva che 5 = 30 : 6 e 2 = 12 : 6.

PROVA TU

Applicando la proprietà distributiva, riscrivi le seguenti operazioni come prodotto fra un fattore

esterno ed una addizione o sottrazione fra due numeri coprimi:

a) 84 + 90 = ………………………………………………

b) 75 – 45 = ………………………………………………

Espressioni in N

Un’espressione aritmetica è una sequenza di numeri legati tra loro da operazioni e in cui possono

presentarsi delle parentesi.

In generale, vi sono tre tipi di parentesi: tonde ( ), quadre [ ], graffe { }.

Negli ultimi tempi, con l’avvento di programmi di calcolo, si usano solo parentesi tonde.

Esempio

Sono espressioni aritmetiche:

18 + (8 – 3) · 2 ; 17 + 5 – 3 + 2 · 4 ; [(5 + 3) : 4 + 12] · 4 + 3

51

Semplificare un’espressione vuol dire eseguire le operazioni e determinare il suo valore.

Per semplificare un’espressione è necessario osservare alcune regole:

� se non sono presenti parentesi si eseguono prima le moltiplicazioni e le divisioni

nell’ordine in cui si presentano e, successivamente, le addizioni e le sottrazioni sempre

nell’ordine.

� se nell’espressione sono presenti delle parentesi, si eseguono prima le operazioni in esse

racchiuse tenendo conto delle seguenti priorità:

prima si risolvono le operazioni indicate nelle parentesi tonde, poi quelle indicate nelle

parentesi quadre ed infine quelle indicate nelle parentesi graffe, oppure si eseguono prima le

operazioni indicate nelle parentesi più interne.

Per eseguire le operazioni all’interno delle parentesi si seguono le regole esposte al punto

precedente.

Esempi

♦ Semplificare la seguente espressione:

17 + 5 – 3 + 2 · 4 = (si esegue prima la moltiplicazione) =

= 17 + 5 – 3 + 8 = (si eseguono addizioni e sottrazioni nell’ordine) =

= 22 – 3 + 8 = 19 + 8 = 27


[(5 + 3) : 4 + 12] · 4 + 3 = (si esegue l’operazione indicata nelle parentesi tonde) =

= [8 : 4 + 12] · 4 + 3 = (si esegue la divisione all’interno delle parentesi quadre) =

= [2 + 12] · 4 + 3 = (si esegue l’operazione indicata nelle parentesi quadre) =

= 14 · 4 + 3 = (si esegue la moltiplicazione) =

= 56 + 3 = 59


2 · {7 + [(16 – 8) · (12 + 3) + 42] – 10} =

= 2 · {7 + [8 · 15 + 16] – 10} =

= 2 · {7 + [120 + 16] – 10} =

= 2 · {7 + 136 – 10} = 2 · {143 – 10} = 2 · 133 = 266

PROVA TU

Semplifica le seguenti espressioni:

a) ( ) ( ) ( )24956:532 ⋅−−++⋅

b) [8 – (18 – 15 : 5 ⋅⋅⋅⋅ 4)] ⋅⋅⋅⋅ 3 – [(12 – 8) ⋅⋅⋅⋅ 2 – 7] ⋅⋅⋅⋅ 5

c) 23 ⋅⋅⋅⋅ 2 – [32 – (72 – 7) : 7 – 50 +2] + {[(22 ⋅⋅⋅⋅ 32 +13) : 7] : 7} ⋅⋅⋅⋅ 23

52

Osservazione

Il sistema di numerazione (insieme dei simboli e delle regole per rappresentare i numeri) che noi

usiamo è decimale, perché usiamo dieci simboli: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (detti cifre), ed è un

sistema posizionale, perché il valore di ciascuna cifra dipende dalla posizione che occupa

all’interno del numero.

Consideriamo i numeri 12 e 21; per scriverli usiamo le stese cifre (2 e 1) che, però, occupano

posizioni diverse. Nel numero 12 , la cifra 1 rappresenta la decina, quindi vale 1 · 10 = 10, la cifra 2

rappresenta le unità ed il suo valore è 2; nel numero 21, la cifra 2 rappresenta il numero delle

decine, cioè vale 2 · 10 = 20, la cifra 1 rappresenta le unità ed il suo valore è proprio 1.

I numeri naturali si possono scrivere come una somma i cui termini sono prodotti fra una potenza di

dieci e una cifra opportuna (scrittura polinomiale):

• 745 = 7 · 102 + 4 · 101 + 5 · 100

• 12654 = 1 · 104 + 2 · 103 + 6 · 102 + 5 · 101 + 4 · 100

PROVA TU

Scrivi in forma polinomiale i seguenti numeri naturali:

567; 7456; 23; 15892

2.4 Considerazioni sui numeri naturali

0 0 0 0 0 0 0 0 Per avere una maggiore consapevolezza di come funziona il

sistema di numerazione decimale consideriamo un contachilometri formato da otto ingranaggi: su

ogni ingranaggio sono disposte tutte le cifre a nostra disposizione, naturalmente sistemate in ordine

crescente (nel nostro caso da 0 a 9).

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2

………… 0 0 0 0 0 0 0 9

Stabiliamo che sia sempre l’ultimo ingranaggio a dover

ruotare autonomamente: così sul contachilometri si

visualizzerà prima 1, poi 2, in ordine crescente, fino ad

arrivare a 9, senza che gli altri ingranaggi possano subire

variazioni. Arrivati a 9, l’ultimo ingranaggio non ha altri

simboli a disposizione e, quindi, deve ricominciare da 0.

0 0 0 0 0 0 1 0

A questo punto, però, il penultimo ingranaggio fa uno scatto

in avanti e diventa 1: questo succede perché il nostro

sistema di numerazione ha base 10.

53

0 0 0 0 0 0 1 1 ………… 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 2 0

L’ultimo ingranaggio continua a girare autonomamente e

così arriverà 1, 2 e così fino a 9, senza che l’ingranaggio

precedente possa ruotare.

Terminate le cifre a disposizione, si deve ricominciare da 0,

ma questo fa ruotare l’ingranaggio che precede, per cui si

visualizza la cifra 2. E così via, fino ad arrivare a 99.

0 0 0 0 0 0 9 9 0 0 0 0 0 1 0 0

E’ sempre l’ultimo ingranaggio a girare autonomamente e,

non avendo altri simboli a disposizione, ricomincia da 0 ed

avvisa l’ingranaggio precedente che deve ruotare.

Ma anch’esso si trova alla fine dei simboli a disposizione e, dovendo ricominciare da 0, avvisa

l’ingranaggio che lo precede (il terzultimo) che deve ruotare portandosi sulla cifra 1.

0 0 0 0 0 9 9 9 0 0 0 0 1 0 0 0

………… 0 0 0 1 0 0 0 0

………… 0 0 1 0 0 0 0 0

Si continua fino a 999 e, con lo stesso meccanismo di prima,

il numero successivo diventa 1000 e poi 10000, 100000,

ecc., senza alcun limite al numero degli ingranaggi, cioè al

numero delle cifre che compongono il numero che vogliamo

scrivere. Il numero è costruito a partire dall’ultima cifra,

anche se noi siamo abituati a leggere e scrivere il numero da

sinistra verso destra.

Naturalmente gli zeri iniziali non hanno valore e quindi non si scrivono e non si leggono.

Per una più comoda lettura dei numeri grandi ogni 3 cifre, a partire dalla destra, possiamo mettere un

puntino che, prima dell’avvento del calcolo elettronico, si poneva manualmente in alto; avendo

difficoltà a posizionarlo in alto con la tastiera del computer, ora il puntino si può posizionare in basso,

cioè 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000, ecc.

104 103 102 101 100

5 3 1 7 4

5�104 = 50.000 +

3�103 = 3.000 +

1�102 = 100 +

7�101 = 70 +

4�100 = 4 =

53.174

L’ultima cifra (4) del numero 53174 è chiamata unità; la penultima

cifra rappresenta quanti giri completi ha effettuato l’ultimo

ingranaggio ed è chiamata decina (il suo valore = 7 � 10); la

terzultima cifra rappresenta quanti giri completi ha effettuato il

penultimo ingranaggio ed è chiamata centinaia (10 � 10 = 100 = 1 �

102), e così via per le migliaia, decine di migliaia, centinaia di

migliaia, ecc.

Per comodità di calcolo scriviamo sopra ogni cifra la potenza del 10

per cui deve essere moltiplicata: 100, 101, 102, 103, ecc., cioè, andando

da destra verso sinistra, la base elevata a 0, 1, 2, 3 e così via.

54

I numeri naturali si possono scrivere in forma polinomiale, come una somma i cui termini sono i

prodotti tra le cifre che compongono il numero e le corrispondenti potenze del dieci.

Esempi

• 53.174 = 5�104 + 3�103+ 1�102 + 7�101+ 4�100 • 745 = 7�102 + 4�101 + 5�100

Questo procedimento sarà molto utile quando si dovrà trasformare un numero scritto utilizzando un

sistema di numerazione in base n nello stesso numero scritto nel sistema di numerazione decimale.

ATTENZIONE

I simboli che utilizziamo nell’attuale sistema di numerazione decimale per indicare tutte le cifre

hanno avuto nella loro storia una continua e profonda evoluzione.

Gli Indù (India), a partire dal I secolo d.C., usarono inizialmente solo 9 cifre (da 1 a 9) ed i simboli

utilizzati erano molto diversi da quelli attuali. Verso il IV secolo d.C. introdussero un simbolo per

indicare il nulla, lo zero; ma solo a partire dal VII secolo d.C. il sistema di numerazione è diventato

decimale con l’inserimento del simbolo 0 nel set completo dei numeri.

L’evoluzione della forma delle cifre è stata continua nel tempo: prima per il contributo degli Arabi

che li hanno utilizzati per primi dopo gli Indù, per arrivare agli Europei nel Medio Evo

attraversando la Spagna, fino ad assumere la loro forma attuale solo intorno agli inizi del XVI

secolo d.C., come riportato in fonti ufficiali dell’epoca.

PROVA TU

Inventa dieci simboli diversi: il primo simbolo chiamalo ZERO, il secondo UNO, il terzo DUE, e

così via fino all’ultimo che chiamerai NOVE; comincia a contare come sai, scrivendo però i tuoi

simboli e non quelli attualmente in uso. Non cambia assolutamente la modalità di scrivere i numeri,

ma i simboli che li rappresentano graficamente saranno completamente diversi.

In conclusione possiamo dire che un sistema di numerazione è un insieme di simboli e di regole

che servono per contare.

Proviamo ora ad evidenziare le regole che unitamente ai dieci simboli in uso costituiscono il

sistema di numerazione decimale:

• si utilizzano dieci simboli indipendenti uno dall’altro e sistemati rigorosamente in ordine

crescente: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;

• il successivo di un numero naturale si ottiene facendo aumentare di uno l’ultima cifra,

lasciando inalterate tutte le cifre che precedono; solo nel caso in cui l’ultima cifra è pari a 9

55

(ultima cifra a disposizione) nel numero successivo l’ultima cifra diventa 0 (si riparte

dall’inizio) e la cifra precedente aumenta di 1.

Osserviamo che:

� se un numero è formato solo da cifre pari a 9 il successivo sarà sempre costituito da un 1

seguito da tanti 0 quanti erano i 9 (dopo 99 troviamo 100, dopo 999 troviamo 1000 ecc.);

� una cifra assume un valore diverso in funzione del posto che occupa: se il 5 occupa l’ultimo

posto vale cinque, se occupa il penultimo posto vale cinquanta, se occupa il terzultimo posto

vale cinquecento, e così via; per questo motivo si dice che il sistema di numerazione

decimale è un sistema di numerazione posizionale.

CENNI STORICI

Tra tutti i sistemi di numerazione utilizzati nel tempo dai vari popoli, e di cui sia rimasta traccia,

solo tre sono posizionali:

1) La numerazione babilonese (all’inizio del secondo millennio a.C.) ha come base 60 e per

contare fino a 60 utilizza solo due simboli:

− ▼ che vale 1 e si può ripetere 9 volte, disposti al massimo su tre righe;

− � che vale 10 e si può ripetere solo 5 volte, disposto al massimo su due righe;

− lo zero è indicato con il simbolo ′′′′ (60 si scrive ▼ ′′′′ );

− tra una cifra e l’altra si lascia uno spazio per indicare che si passa ad un altro livello.

La procedura per scrivere il numero in forma polinomiale è la seguente:

� si divide il numero assegnato per la base 60: il resto costituisce l’ultima cifra ed il

quoziente, se minore di 60, costituisce la penultima cifra;

� se invece il quoziente è maggiore o uguale a 60 si divide ancora per 60: il resto costituisce

la penultima cifra ed il quoziente, se minore di 60, costituisce la terzultima cifra;

� se invece il quoziente è maggiore o uguale a 60 si divide ancora per 60: il resto costituisce

la terzultima cifra ed il quoziente, se minore di 60, costituisce la quartultima cifra;

� e cosi via, fino a quando si ottiene un quoziente minore della base 60, che costituirà

l’ultima cifra (la prima a partire da sinistra).

Esempi

• 57 =

��

▼▼▼ ▼▼▼ ▼

56

• 124 60

120 2

4

→ 124 = 2�60 + 4 =

aa

▼▼ ▼▼ ▼▼

• → 5706 = 1�602 + 35�60 + 6

=

5706 60

5700 95 60

6 60 1

35

= ▼ ��

� ▼▼▼ ▼▼

▼▼▼ ▼▼▼

2) La numerazione cinese (I secolo a.C.) alternava due gruppi formati da 9 simboli ciascuna, uno

per le cifre di posto dispari, a partire da destra, e l’altro per le cifre di posto pari:

� per le unità (ultima cifra), le centinaia (terzultima cifra), le decine di migliaia

(quintultima cifra), ecc., utilizzava i seguenti simboli:

� per le decine (penultima cifra), le migliaia (quartultima cifra), centinaia di migliaia

(sestultima cifra), ecc., utilizzava i seguenti simboli:

� per scrivere numeri contenenti lo zero, per esempio 2061, poiché non avevano un

simbolo che valesse 0, tra le cifre 2 e 6 lasciavano uno spazio maggiore.

Esempi

• 271 =

• 4.868 =

• 72.201 =

57

Questo modo di scrivere i numeri portava spesso ad una grandissima confusione;

successivamente, per eliminare questo problema i numeri maggiori di 99 sono stati scritti

introducendo ideogrammi particolari per indicare le potenze del 10 (100, 1000, 10000, ecc.),

preceduti dai simboli da 1 a 9 che li moltiplicavano, facendo diventare addizionale il vecchio

sistema di numerazione cinese.

3) La numerazione maya (dal V al IX secolo d.C.) si scriveva dal basso verso l’alto ed aveva

come base 20; per scrivere i numeri fino a 20 utilizzava solo tre simboli:

a) • (chicco di grano) che vale 1 e si può ripetere al massimo 4 volte;

b) (bastone o baccello di fagiolo) che vale 5 e si può ripetere al massimo 3 volte;

c) (conchiglia) per indicare lo zero.

Per ottenere il valore complessivo del numero bisogna addizionare al valore dell’ultima cifra

il valore della penultima cifra moltiplicata per la base 20, il valore della terzultima cifra

moltiplicata per 400 (=202) e così via.

La procedura per scrivere il numero in forma polinomiale è la stessa utilizzata per la

numerazione babilonese, ricordando che la base è uguale a 20.

Esempi

� 124 = 6�20 + 4 → •

••••

124 20

120 6

4

� 400 = 1�202 + 0�20 + 0 → •

400 20

400 20 20

0 20 1

0

� 16.228 = 2�203 + 0�202 + 11�20 + 8 → ••

•

16228 20

16220 811 20

8 800 40 20

11 40 2

•••

58

Tutti i resti e l’ultimo quoziente delle divisioni continue sono scritti in grassetto per rendere più

semplice e immediata la scrittura del numero naturale in forma polinomiale: il primo resto nella

divisione continua rappresenta, come si verifica in ogni sistema di numerazione posizionale,

l’ultima cifra, che nella numerazione maya si scrive in basso; il secondo resto rappresenta la

seconda cifra andando verso l’alto, da moltiplicare per 20 (abbiamo eseguito una sola volta la

divisione per la base); il terzo resto rappresenta la terza cifra da moltiplicare per 202 (abbiamo

eseguito due volte la divisione per la base); e cosi via fino al’ultimo quoziente da moltiplicare

per una potenza della base con esponente sempre crescente e che rappresenta l’ultima cifra in

alto nella numerazione maya.

Da notare, infine, come l’uso di un simbolo per indicare lo ZERO renda il sistema di

numerazione maya molto simile al sistema di numerazione decimale.

Riflettiamo

Il sistema di numerazione decimale offre dei notevoli vantaggi rispetto ai sistemi di

numerazione posizionali ora esposti per due motivi: usa una base 10 e le cifre utilizzate sono

tutte indipendenti una dall’altra, il che ha reso molto più semplici e veloci i calcoli ed ha

permesso la sua completa diffusione essendo i numeri più usati in tutto il mondo.

Tutti gli altri sistemi di numerazione sono di tipo additivo, cioè il valore del numero è dato dalla

somma di tutti i valori scritti:

→ Gli Egiziani usavano diversi geroglifici per indicare 1, 10, e tutte le potenze del 10 fino ad

un milione, e che potevano ripetere al massimo 9 volte; le cifre potevano essere disposte

sia in orizzontale (in ordine crescente da sinistra a destra) sia in verticale (in ordine

crescente dal basso verso l’alto).

→ I Greci utilizzavano come cifre le 27 lettere dell’alfabeto arcaico (le lettere indicate con *

sono sparite nell’alfabeto greco attuale): nove lettere per i numeri che vanno da 1 a 9;

altre nove lettere per i numeri che vanno da 10 a 90 e, infine, le ultime nove lettere per i

numeri che vanno da 100 a 900; non avevano alcun simbolo per indicare lo Zero.

1= α (alpha) 10 = ι (iota) 100= ρ (rho)

2= β (beta) 20 = κ (kappa) 200= σ (sigma)

3= γ (gamma) 30 = λ (lambda) 300= τ (tau)

4= δ (delta) 40 = µ (mu) 400= υ (ypsilon)

5= ε (epsilon) 50 = ν (nu) 500= φ (phi)

6= ϛ (stigma) * 60 = ξ (xi) 600= χ (chi)

7= ζ (zeta) 70 = ο (omicron) 700= ψ (psi)

8= η (eta) 80 = π (pi) 800= ω (omega)

9= θ (theta) 90 = ϛ (koppa) * 900= ϛ (sampi) *

59

Questi simboli non potevano essere ripetuti, si scrivevano da sinistra verso destra in ordine

decrescente; sommando il loro valore si poteva contare tranquillamente fino a 999.

Per scrivere numeri da 1000 a 9999 anteponevano ad una delle cifre della prima colonna

un apostrofo ( ’ ) che moltiplicava per 1000 il simbolo che seguiva.

Per ottenere numeri sempre più grandi utilizzavano il simbolo M che valeva 10.000; si poteva

ottenere un suo multiplo qualunque posizionando su M il numero che doveva essere

moltiplicato per 10.000.

Esempi

’β = 1000 · 2 = 2000; ’γφ = 1000·3 + 500 = 3500;

π δ π δ M = 10.000 · 84 = 840.000; M’ γφ = 10.000·84+1000·3+500 = 843.500.

→ Il sistema di numerazione romano, che ha subito modifiche essenziali nel tempo, alla fine

della sua evoluzione (Medioevo) utilizzava 7 simboli:

I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; C = 100; D = 500; M = 1000.

Le regole utilizzate per scrivere i numeri romani sono:

� I simboli I , X, C e M si possono ripetere al massimo 3 volte, mentre V, L e D non

si possono ripetere;

� le cifre si scrivono in ordine decrescente, dal più grande al più piccolo da sinistra

verso destra: essendo un sistema di numerazione di tipo addizionale tutti questi

valori devono essere sommati;

� se invece le cifre I , X e C precedono un’altra cifra che vale di più, devono essere

sottratte dalla cifra che segue:

IV = 5 −1 = 4 IX = 10 − 1 = 9 IL = 50 − 1 = 49

IC = 100 − 1 = 99 ID = 500 – 1 = 499 IM = 1000 − 1 = 999

XL = 50 −10 = 40 XC = 100 − 90 = 90 XD = 500 − 10 = 490

XM = 1000 −10 = 990 CD = 500−100 = 400 CM =1000 − 100 = 900

Con questi simboli i numeri si possono scrivere fino a 3999; per scrivere numeri più grandi i

romani utilizzavano altri simboli aggiuntivi: una lettera sopra segnata moltiplicava il suo

valore originario per mille, una lettera sopra segnata due volte moltiplicava il suo valore per

un milione.

60

= 5.000; = 10.000; = 50.000; = 100.000;

= 500.000; = 1.000.000; = 1.000.000.000

I numeri romani sono ancora utilizzati per indicare i numeri ordinali (primo, secondo, ecc.),

per indicare i capitoli di un libro, individuare una sequenza (XII secolo d.C.; Papa Paolo VI,

Papa Benedetto XVI), indicare la data di costruzione di edifici importanti (MXMLXXVI) o

sul portale delle chiese (MCCXLIII), ecc.

2.5 Il sistema di numerazione binario

Il sistema di numerazione binario merita una particolare attenzione, perché è quello utilizzato nel

calcolo numerico elettronico. Il computer non riesce a distinguere 10 simboli diversi come numeri,

ma ha solo una possibilità di scelta: VERO o FALSO, ON o OFF (in qualche elettrodomestico e in

parecchi interruttori di macchinari ci sono due simboli per indicare se il collegamento è chiuso o

aperto : O e │).

Il sistema di numerazione binario utilizza proprio questi due simboli:

O (cerchietto) che vale 0 e │ (barretta) che vale 1.

Per i due simboli del sistema binario spesso sono utilizzate le cifre 0 (zero) e 1 (uno), ma questo

provoca una gran confusione perché i numeri scritti nel sistema binario si possono leggere nello

stesso modo di quelli scritti nel sistema decimale (10 nel sistema binario non può essere letto dieci).

Il sistema di numerazione binario ha come base 2 ed è del tipo posizionale, come il sistema di

numerazione decimale, del quale ha le stesse regole, anche se la lettura non è altrettanto semplice ed

immediata:

� a ruotare autonomamente è sempre l’ultimo ingranaggio;

� nella rotazione da O a │ gli ingranaggi precedenti restano fermi;

� │ è l’ultima cifra a disposizione (svolge la stessa funzione del 9 nel sistema di numerazione

decimale) e per il numero successivo l’ultimo ingranaggio torna indietro e riparte da O, con

la conseguente rotazione dell’ingranaggio precedente, che da O si porta su │.

Proviamo a contare, utilizzando anche per il sistema binario lo stesso schema del contachilometri.

61

O 0

│ 1

│ O 2

│ │ 3

│ O O 4

│ O │ 5

│ │ O 6

│ │ │ 7

│ O O O 8

│ O O │ 9

│ O │ O 10

│ O │ │ 11

Partiamo con 5 ingranaggi su cui sono posizionati solo i due simboli

utilizzati; per un controllo più immediato eliminiamo tutti i cerchietti

iniziali, perché altrimenti i numeri sarebbero difficilmente identificabili.

L’ultima cifra diventa alternativamente cerchietto e barretta e si

possono notare le seguenti caratteristiche:

− se il numero termina con un cerchietto è pari, se termina con una

barretta è dispari;

− tutti i numeri uguali ad una potenza del 2 si scrivono con una

barretta seguita da un numero di cerchietti pari all’esponente:

2 = 21 → │O ; 4 = 22 → │OO ; 8 = 23 → │OOO

L’uso di due soli simboli comporta una scrittura del numero 8 con

quattro cifre, per cui risulterebbe poco pratico per noi utilizzare

questo sistema di numerazione per scrivere numeri molto grandi.

PROVA TU

Continua a scrivere da solo in sequenza i numeri controllando che:

� a numeri pari corrispondano sempre numeri che terminano col cerchietto;

� ad ogni numero pari ad una potenza di 2 (2n) corrispondano sempre numeri formati da una

barretta e da n cerchietti:

24 = 16 → │OOOO; 25 = 32 → │OOOOO; 26 = 64 → │OOOOOO.

Per la trasformazione di un numero qualsiasi dal sistema decimale a quello binario basta ricavare la

forma polinomiale del numero dato, ricordando che la base è 2.

Esempi

• 95 = │O│││││

95 2 94 47 2 1 46 23 2

1 22 11 2 1 10 5 2 1 4 2 2 1 2 1 0

62

• 150 = │OO│O││O

150 2 150 75 2

0 74 37 2 1 36 18 2 1 18 9 2 0 8 4 2 1 4 2 2 0 2 1 0

• 237 = │││O││O│

237 2 236 118 2

1 118 59 2 0 58 29 2 1 28 14 2 1 14 7 2 0 6 3 2 1 2 1 1

Il numero scritto nel sistema binario lo puoi ricavare facendo corrispondere all’ultimo

quoziente della divisione continua la prima cifra del numero (da sinistra verso destra),

all’ultimo resto la seconda cifra, al penultimo resto la terza cifra e così via.

PROVA TU

Trasforma i seguenti numeri dal sistema di numerazione decimale al sistema di numerazione

binario, utilizzando il metodo della divisione continua per la base 2:

• 66; 240; 385; 144; 2068.

Per la trasformazione di un numero qualsiasi dal sistema binario a quello decimale bisogna attivare

la procedura adottata per scrivere un numero in forma polinomiale; sapendo che la base è 2,

vediamo a quale numero corrisponde nel sistema decimale il seguente numero: │O││O││O│.

28 27 26 25 24 23 22 21 20

│ O │ │ O │ │ O │

Per scrivere il numero in forma polinomiale dobbiamo sommare i prodotti tra le cifre che

compongono il numero e le potenze della base sovrastante; in corrispondenza di ogni cerchietto

(che vale 0) il prodotto è nullo per la legge di annullamento del prodotto e pertanto non dà alcun

contributo, mentre in corrispondenza di ogni barretta (che vale 1) il prodotto sarà esattamente

uguale al valore della potenza, per cui avremo:

1�28 + 0�27 + 1�26 + 1�25 + 0�24 + 1�23 + 1�22 + 0�21 + 1�20 = 256 + 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = 365.

63

Per rendere i calcoli sempre più semplici, invece delle potenze della base potremmo scrivere

direttamente il loro valore, annullando quelli in corrispondenza dei cerchietti e cioè:

256 128 64 32 16

8 4 2 1

│ O │ │ O │ │ O │

PROVA TU

Trasforma i seguenti numeri dal sistema di numerazione binario al sistema di numerazione

decimale:

• │ O │ O ││; │ O O ││││; │││ O O O │; │ O │ O │ O │ O │; ││ O ││ O ││││.

ATTENZIONE

A questo punto dovresti essere abbastanza pratico per costruire un sistema di numerazione ternario

utilizzando come cifre tre figure geometriche:

� = 1; � = 2 = 3

Il sistema di numerazione geometrico è posizionale, ha base 3 e non ha lo Zero.

Completare la seguente tabella:

1 = � 10 = = �� 55 =

2 = � 11 = = � � 99 =

3 = 12 = = �� 100 =

4 = �� 13 = = �� 75 =

5 = �� 14 = = �� 72 =

6 = � 15 = = � 123 =

7 = �� 16 = = 415 =

8 = �� 17 = = �� 365 =

9 = � 18 = = �� 222 =

64

� Per completare la seconda colonna della tabella basta applicare il metodo del

contachilometri e contare in maniera progressiva.

� Per completare la terza colonna della tabella si deve scrivere il numero in forma

polinomiale; come esempio, trasformiamo il primo numero della colonna:

27 9 3 1

� � � 1 2 3 1

� sopra ogni cifra scriviamo il valore assunto dalle potenze

della base con esponente crescente a partire da destra;

� sotto ogni cifra scriviamo il proprio valore;

1�1 + 3�3 + 2�9 + 1�27 = 55

� Per completare la quarta colonna della tabella si deve eseguire la divisione continua per la

base 3, facendo attenzione che si deve scrivere � quando il resto è 1, � quando il resto

è 2, quando non c’è resto (numero divisibile per 3):

55 = �� ?!?

55 3

54 18 3

1 18 6 3

↓ 0 6 2

↓ 0 ↓ �

↓

�

Questa discordanza con la trasformazione di un numero dal sistema ternario al sistema

decimale è dovuta al fatto che il primo non ammette lo Zero al contrario del secondo; il cerchio

dovrebbe essere il corrispondente di 3, ma nella divisione sappiamo che il resto deve essere

sempre minore del divisore. Pertanto, la procedura per trasformare un numero dal sistema

ternario a quello decimale diventa la seguente:

55 = ��

55 3

54 18 3

1 18 6 − 1 = 5 3

↓ 0 3 1

� ↓ 2 ↓

↓ �

65

Quando il resto è 0 (numero divisibile per 3) si deve diminuire di 1 il quoziente

corrispondente e poi si può procedere nella divisione; se ciò avviene nell’ultima divisione

anche il quoziente finale diminuisce di 1: da 2 passa a 1 (→�) e da 1 passa a 0 (in questo

caso all’ultimo quoziente non corrisponde alcun simbolo).

Ora si può completare la tabella senza ulteriori intoppi.

PROVA TU

Adesso costruisci un sistema ternario con le stesse figure geometriche ma introducendo lo Zero:

il sistema ternario diventa di tipo posizionale, di base 3 e con una cifra di valore nullo.

= 0 � = 1; � = 2 Assegna questi valori e completa la stessa tabella di prima e

con gli stessi numeri. Le assonanze che riscontrerai con i sistemi di numerazione decimale e

binario ti faranno accorgere quanto sia importante l’inserimento dello Zero in un sistema di

numerazione. Buon divertimento! 2.6 L’insieme Z

Quanti sono i numeri naturali?

Sicuramente sono tanti e non si possono contare, solitamente si dice che sono ”infiniti”.

Eppure i numeri naturali non sono sufficienti a descrivere situazioni della realtà ed è, quindi,

necessario definire altri “numeri”.

�

99 = ��

99 3

99 33 - 1 = 32 3

0 30 10 3

↓ 2 9 3 3

↓ 1 3 1 - 1 = 0

� ↓ 0

� ↓

66

Con un numero naturale possiamo indicare:

� quante persone si trovano sulla metropolitana di Roma alle ore 13;

� quante caramelle ci sono in un sacchetto;

� quanti goal ha segnato Del Piero nel campionato 2008/2009;

� quante stelle ci sono nella bandiera americana.

Esaminiamo la seguente situazione:

Roberta vuole comprare un i-pod nuovo, ma non ha il denaro sufficiente; Giuseppe le presta

200 € e dopo un settimana Roberta gli restituisce 80 €; qual è il debito di Roberta, e qual è il

credito di Giuseppe?

Il debito di Roberta e il credito di Giuseppe sono espressi dallo stesso numero (120 €), ma per

Giuseppe e Roberta la situazione è ben diversa: Roberta deve dare soldi a Giuseppe e Giuseppe

deve ricevere soldi da Roberta.

I numeri naturali non sono sufficienti a descrivere questa situazione, così come non sono sufficienti

per indicare la temperatura di località diverse del nostro pianeta : al Polo Nord la temperatura

potrebbe essere di 15° al di sotto dello zero, mentre in Italia potrebbe essere di 15° sopra lo zero.

Analizziamo, inoltre, i seguenti problemi:

1) Qual è quel numero che addizionato a 10 dà come somma 23 ?

2) Qual è quel numero che addizionato a 15 dà come somma 7 ?

Sicuramente sai risolvere rapidamente il problema al punto 1). Il numero che risolve il problema è il

numero 13 (perché 23 – 10 = 13) che è un numero naturale.

Prova a trovare la soluzione in N del problema al punto 2).

Dopo vari tentativi dovrai arrenderti e ammettere che il problema non ha soluzione in N. Dovresti

trovare il risultato di 7 – 15 !

Si rende, dunque, necessario ampliare l’insieme N ed introdurre un nuovo tipo di numero: il numero

preceduto dal segno “+” o dal segno “−”: questi nuovi numeri sono chiamati interi relativi o,

semplicemente, interi .

L’insieme degli interi relativi è indicato con Z, cioè:

Z = { ………, −−−− 3, −−−−2, −−−− 1, 0, + 1, + 2, + 3, ………}

Grazie a questo nuovo insieme, il numero che descrive il credito di Giuseppe è +120, quello che

descrive il debito di Roberta −−−−120; la temperatura al Polo Nord è −−−−15°, quella in Italia è +15°.

Il problema al punto 2) ha come soluzione il numero −−−−8.

67

Osservazione

I segni “+” e “-” che precedono il numero intero non sono simboli di addizione e sottrazione, ma

sono strettamente legati al numero.

Definizioni

♦ I numeri preceduti dal segno “+” sono detti interi positivi.

♦ I numeri preceduti dal segno “−” sono detti interi negativi.

♦ Due numeri che hanno lo stesso segno si dicono concordi; due numeri che hanno segno

diverso si dicono discordi.

♦ Il numero 0 si scrive sempre senza segno.

Esempi

(− 7) e (− 12) sono concordi; (+5) e (+14) sono concordi;

(− 89) e (+54) sono discordi; (+45) e (− 21) sono discordi.

♦ Si chiama valore assoluto o modulo di un numero intero il numero stesso senza segno

(utilizzeremo indifferentemente e “volutamente” i due modi di dire).

Per indicare il valore assoluto di un numero si usa scrivere il numero fra due linee verticali.

Esempi

o per indicare il valore assoluto di – 3 si scrive 3− ;

o per indicare il valore assoluto di +10 si scrive 10+ .

Valgono, secondo la definizione, le seguenti uguaglianze:

55 =− ; 2424 =+

♦ Due interi si dicono uguali se sono concordi ed hanno lo stesso modulo.

♦ Due interi si dicono opposti se sono discordi ed hanno lo stesso modulo.

Ad esempio: – 47 e + 47 sono due numeri interi opposti.

� Il sottoinsieme di Z formato dagli interi positivi si indica con Z ; il sottoinsieme di Z

formato dagli interi negativi si indica con Z .

Quindi:

Z = Z ∪∪∪∪ {0} ∪∪∪∪ Z .

ATTENZIONE

- +

-

+

68

Il numero “− a” indica l’opposto di a e non è detto che sia un numero negativo

(non deve ingannare la presenza del segno “-”):

>−<

<−>

0,0

0,0

aase

aase

Anche i numeri interi possono essere rappresentati su una retta orientata (cominciamo, così, ad

“arricchire” la nostra retta).

Dopo aver fissato, infatti, un punto sulla retta come origine di due semirette (al quale associare il

numero zero) e un segmento come unità, per rappresentare il numero +1 si riporta, a partire

dall’origine e nello stesso verso dell’orientamento della retta, una volta il segmento unità; per

rappresentare il numero +2 si riporta, a partire dall’origine e nello stesso verso dell’orientamento

della retta, due volte il segmento unità; per rappresentare il numero −−−−1 si riporta, a partire

dall’origine e nel verso opposto all’orientamento della retta, il segmento unità; per rappresentare il

numero - 3 si riporta, a partire dall’origine e nel verso opposto all’orientamento della retta, tre volte

il segmento unità; e così via.

Osservazione

Un intero a è maggiore di un intero b (a > b) se a segue b nella successione degli interi (oppure

sulla retta).

Un criterio per confrontare due interi a e b è il seguente:

� se a e b sono discordi, è maggiore il numero positivo;

� se a e b sono positivi, è maggiore il numero che ha valore assoluto maggiore;

� se a e b sono entrambi negativi, è maggiore quello che ha valore assoluto minore.

Esempi

� Fra i numeri (+3) e (−1) è maggiore (+3) perché i due numeri sono discordi e (+3) è

positivo.

� Fra i numeri (+7) e (+2) è maggiore (+7) perché i due numeri sono positivi e |+7| = 7 è

maggiore di |+2| = 2.

� Fra i numeri (−5) e (−14) è maggiore (−5) perché i due numeri sono entrambi negativi e

|−5| = 5 è minore di |−14| = 14.

Ti potrai rendere conto, facilmente, di quanto affermato rappresentando i numeri sulla retta.

PROVA TU

−−−−5 −−−−3 −−−−1 0 +1 +2 +4

69

o Rappresenta su una retta orientata i seguenti numeri interi:

+3; −8; 0; +1; −7; −5; +9

o Confronta i seguenti numeri interi:

(− 8) e (+ 5); (+ 4) e (+ 3); (− 6) e (−15)

2.7 Operazioni in Z

In Z l’operazione di addizione è così definita:

• La somma di due numeri interi concordi è un numero intero, concorde con quelli dati,

avente per modulo la somma dei moduli dei numeri dati.

• La somma di due numeri interi discordi è un numero intero che ha per segno il segno del

numero che ha modulo maggiore e per modulo la differenza fra i moduli dei due numeri

dati.

Esempi

(+ 53) + (+ 41) = + 94 (+ 25) + (−31) = - 6

(− 56) + (+ 84) = + 28 (−24) + (− 36) = − 60

In Z l’operazione di sottrazione è così definita:

• La sottrazione fra due interi è definita come l’addizione fra il primo numero e l’opposto

del secondo.

Esempi

(+ 12) – (+ 5) = (+ 12) + (− 5) = + 7

(− 23) – (+ 15) = (− 23) + (− 15) = − 38

(+ 15) – (+ 7) = (+ 15) + (− 7) = + 8

(− 31) – (− 17) = (− 31) + (+17) = − 1

Dal momento che la sottrazione fra due interi è, comunque, un’addizione, non si fa più distinzione,

in Z, fra addizione e sottrazione ma si parla in generale di “somma algebrica”.

Per la moltiplicazione in Z vale la seguente regola:

� Il prodotto di due numeri interi concordi è un numero intero positivo che ha per modulo il

prodotto dei moduli dei due fattori.

� Il prodotto di due numeri interi discordi è un numero intero negativo che ha per modulo il

prodotto dei moduli dei due fattori.

In modo molto impreciso, ma efficace, possiamo schematizzare la regola della moltiplicazione

con la seguente tabella:

70

• + −

+ + −

− − +

Esempi

(+ 12) · (+ 4) = + 48

(−18) · (− 9) = + 162

(- 24) · (+ 3) = −72

(+ 6) · (− 9) = − 54

� il prodotto di più fattori uguali si chiama potenza.

Esempi

( ) ( ) ( ) ( ) 81)3(3333 4 +=+=+⋅+⋅+⋅+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3125555555 5 −=−=−⋅−⋅−⋅−⋅−

( ) ( ) ( ) 9333 2 +=−⋅−=−

( ) ( ) ( ) 3437)7(77 3 +=+⋅+⋅+=+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32222222 5 −=−⋅−⋅−⋅−⋅−=−

Osservando gli esempi precedenti, possiamo dedurre le seguenti regole:

� La potenza di un intero positivo è sempre un intero positivo.

� La potenza di un intero negativo è un numero positivo se l’esponente è pari.

� La potenza di un intero negativo è un numero negativo se l’esponente è dispari.

E’ consuetudine per gli interi positivi “omettere” il segno + davanti al numero; per esempio per

indicare il numero intero +5 si scrive semplicemente 5, per indicare il numero +9 si scrive

semplicemente 9 e così via; in questo modo gli interi positivi possono essere “identificati” con i

numeri naturali e l’insieme Z è considerato un “ampliamento” dell’insieme N.

ATTENZIONE

Le potenze (−−−− 2)4 e −−−− 24 non sono uguali!

Infatti:

(− 2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = +16

− 24 = − (2 · 2 · 2 · 2) = −16

PROVA TU

71

(− 3)2 = ……………

(+4)3 = ……………

(− 2)5 = ……………

− 43 = ……………

(−5)2 = …………… −52 = …………….

Per la divisione in Z vale la definizione data per la divisione in N: il quoziente q fra due interi m e s

è quel numero intero q (q = m : s) tale che m = q · s.

Esempi

a) (+ 15) : (− 3) = − 5 [perché (− 5) · (− 3) = + 15]

b) (− 15) : (+ 3) = − 5 [perché (− 5) · (+ 3) = − 15]

c) (− 36) : (− 9 ) = + 4 [perché (+ 4) · (− 9) = − 36]

d) (+ 54) : (+ 6) = + 9 [perché (+ 9) · (+6) = + 54]

e) (− 63) : (− 3) = + 21 [perché (+ 21) · (−3) = − 63]

f) (+ 63) : (+ 3) = + 21 [perché (+21) · (+3) = + 63]

Dagli esempi svolti puoi notare che per la divisione fra due interi vale la “regola dei segni” come

quella della moltiplicazione; possiamo, quindi, schematizzare la regola con la seguente tabella:

: + −

+ + −

− − +

Facciamo alcune riflessioni sulle operazioni definite in Z, e poniamoci qualche domanda:

� La somma (algebrica) di due qualsiasi numeri interi è ancora un numero intero?

Sì, la somma algebrica fra due qualsiasi interi è ancora un numero intero!

� Il prodotto di due qualsiasi numeri interi è ancora un numero intero?

Sì, il prodotto fra due qualsiasi interi è ancora un numero intero!

� La divisione fra due qualsiasi numeri interi è ancora un numero intero?

No, la divisione fra due qualsiasi interi non sempre è un numero intero.

Come abbiamo già osservato per le operazioni di addizione e moltiplicazione in N, possiamo

affermare che:

72

� Le operazioni di somma (algebrica) e moltiplicazione sono

interne all’insieme Z, cioè Z è chiuso rispetto alle

operazioni di somma (algebrica) e di moltiplicazione.

� L’operazione di divisione non è interna all’insieme Z, cioè Z

non è chiuso rispetto all’operazione di divisione.

Le proprietà della somma algebrica e della moltiplicazione in Z

Sia per l’operazione di somma algebrica che per quella di moltiplicazione valgono le seguenti

proprietà:

Proprietà associativa

La somma o il prodotto non cambiano se i numeri a, b, c vengono associati in maniera diversa.

In simboli

� ∀∀∀∀ a, b, c ∈∈∈∈ Z : (a + b) + c = a + (b + c)

� ∀∀∀∀ a, b, c ∈∈∈∈ Z : (a · b) · c = a · (b · c)

Proprietà commutativa

La somma di due numeri non cambia se si cambia l’ordine dei numeri; il prodotto di due numeri

non cambia se si cambia l’ordine dei fattori.

In simboli:

� ∀∀∀∀ a, b ∈∈∈∈ Z : a + b = b + a

� ∀∀∀∀ a, b ∈∈∈∈ Z : a · b = b · a

Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica

� ∀∀∀∀ a, b, c ∈∈∈∈ Z : a · (b + c) = a · b + a · c

oppure, in modo equivalente

� ∀∀∀∀ a, b, c ∈∈∈∈ Z : a · b + a · c = a · ( b + c)

Esempi

• (+5) · (+3 + (−−−− 8)) = (+5) · (+3) + (+5) · (−−−− 8)

infatti :

(+5) · (+3 + (−8)) = (+5) · (−5) = − 25

(+5) · (+3) + (+5) · (−8)= +15 + (− 40) = − 25

• (+4 ) · (+9) – (+4) · (+11) = +4 · (+9 −−−− (+11))

73

infatti

(+4) · (+9) – (+4) · (+11) = +36 – (+44) = −8

+4 · (+9 – (+11)) = +4 · (−2) = − 8

Anche in Z:

� vale la legge di annullamento del prodotto, come nell’insieme dei numeri naturali.

Esempio

( ) ( ) ( ) 08025 =−⋅⋅+⋅−

Ancora sulla somma e moltiplicazione in Z

Poniamo ancora la nostra attenzione sui due “numeri particolari”: 0 e 1.

Adesso è facile rendersi conto che anche in Z il numero 0 è l’elemento neutro per la somma

algebrica e il numero 1 è l’elemento neutro per la moltiplicazione. Infatti:

o ( ) ( ) 333003 =+=++=++

o ( ) ( )6 0 0 6 6− + = + − = −

o ( ) ( ) 1414141114 =+=+⋅=⋅+

o ( ) ( ) 77117 −=−⋅=⋅−

In generale:

• Za∈∀ : aaa +==+ 00

• Za∈∀ : aaa ⋅==⋅ 11

Osserva le seguenti operazioni:

( ) ( ) 055 =++− ( ) 0)3(3 =−++

( ) ( ) 01212 =++− ( ) ( ) 05656 =−++

E’ facile generalizzare: la somma fra un numero intero ed il suo opposto è sempre uguale a zero.

Quindi:

per qualunque intero a esiste un intero a′ che sommato con a dà come risultato 0, cioè l’elemento

neutro per la somma algebrica.

In simboli possiamo scrivere così:

∈∀a Z, ∃ ∈'a Z / '' aaa =+ + 0=a

dove il simbolo “∃” si legge “esiste almeno” ed è detto quantificatore esistenziale.

In generale, questo elemento a′ prende il nome di simmetrico di a.

Si può dimostrare che il simmetrico di un elemento è unico.

74

Il simmetrico di un numero intero rispetto all’operazione di somma algebrica è il suo opposto.

Diciamo, allora, che ogni elemento di Z è simmetrizzabile rispetto alla somma algebrica.

Il simmetrico (rispetto all’operazione di somma algebrica) di −3 è +3; il simmetrico (rispetto

all’operazione di somma algebrica) di + 15 è −15; il simmetrico (rispetto ….) di + 54 è - 54, ecc…

Per l’operazione di moltiplicazione esiste il simmetrico di un numero intero?

Per esempio, esiste in Z un numero che moltiplicato per −−−−5 dà per risultato 1, cioè l’elemento neutro

per la moltiplicazione? Oppure, esiste in Z un numero che moltiplicato per +14 dà per risultato 1?

Se riflettiamo per qualche minuto, la risposta è NO! Non riusciamo a trovare in Z numeri che

soddisfano la condizione richiesta.

Ma, ricorda, che 0 e 1 sono numeri proprio particolari!

Riflettiamo ancora: esiste in Z un numero che moltiplicato per 1 dà come risultato 1?

Adesso la risposta è SI’. Il numero cercato è 1, perché 1·1 = 1.

Esiste in Z un numero che moltiplicato per −−−−1 dà come risultato 1?

Anche questa volta la risposta è SI’. Il numero cercato è −1, perche (−1) · (−1) = 1

Possiamo affermare che qualunque numero intero, diverso da 1 e da −1, non ammette simmetrico

rispetto all’operazione di moltiplicazione e, quindi, si ha che:

� non tutti gli elementi di Z sono simmetrizzabili.

Riguardo la somma algebrica e la moltiplicazione in Z possiamo, quindi, dire che:

L’operazione di somma algebrica, in Z, ammette elemento

neutro e ogni elemento di Z è simmetrizzabile.

L’operazione di moltiplicazione, in Z, ammette elemento neutro

ma non tutti gli elementi di Z sono simmetrizzabili.

Espressioni in Z

Un’espressione nella quale compaiono interi relativi è detta algebrica.

Per semplificare un’espressione algebrica si seguono le regole già viste per le espressioni

aritmetiche.

75

Dal momento che l’operazione di sottrazione in Z è un’addizione, un’espressione algebrica può

essere “liberata” dalle parentesi seguendo questa semplice regola:

� se la parentesi è preceduta dal segno “ + ” , si tolgono parentesi e segno che la precede e si

scrivono i termini che vi sono racchiusi con gli stessi segni;

� se la parentesi è preceduta dal segno “ − ”, si tolgono parentesi e segno che la precede e si

scrivono i termini che vi sono racchiusi con i segni opposti.

Esempi

• – 8 + (+ 7 – 5 + 9) – (+ 3 + 5 – 8) =

(davanti alla prima parentesi tonda c’è il segno “+”, per cui possiamo togliere parentesi e

segno e scrivere i termini racchiusi nella parentesi con gli stessi segni )

= – 8 + 7 – 5 + 9 – (+ 3 + 5 – 8) =

(davanti alla parentesi c’è il segno “–”, togliamo parentesi e segno, trascrivendo tutti i

termini racchiusi in parentesi con il segno opposto)

= – 8 + 7 – 5 + 9 – 3 – 5 + 8 = 3

Ovviamente, possiamo “liberare” dalle due parentesi in un unico passaggio.

• 12 · {2 + (12 – 4 + 6) + 3 · [15 – (23 + 4 – 2)] + 8} =

= 12 · {2 + 12 – 4 + 6 + 3 · [15 – 23 – 4 + 2] + 8} =

= 12 · {16 + 3 · (–10) + 8} =

= 12 · {16 – 30 + 8} =

= 12 · {– 6} = – 72

2.8 L’insieme Q

Nell’insieme Z l’operazione di divisione non è interna ed inoltre gli interi relativi non sono adatti a

rappresentare alcune situazioni della realtà.

Tre amici si vogliono dividere in parti uguali i 20 cioccolatini contenuti in una scatola; quanti

cioccolatini avrà ciascuno di essi?

Qual è quel numero che moltiplicato per 5 dà come prodotto 3?

Problemi come questi non hanno soluzione nè in N nè in Z. E’ necessario ampliare l’insieme Z !

Nel primo problema devo trovare il risultato di 20 : 3; il secondo problema si riconduce a trovare il

quoziente fra 3 e 5 ( ricorda la definizione di divisione).

76

Il quoziente fra 20 e 3 si indica 3

20, il quoziente fra 3 e 5 si indica

5

3.

In generale, se a e b (b ≠ 0) sono numeri naturali, il quoziente a : b si indica con b

a e si chiama

frazione; a è il numeratore e b il denominatore.

E’ chiaro, dagli esempi, che la linea “ _ ” che separa il numeratore a e il denominatore b ha il

significato di divisione.

Se il denominatore di una frazione è 1, la frazione rappresenta un numero intero:

∀ a∈ N: a= 1

a

Ricorda:

� Una frazione si dice propria se il numeratore è minore del denominatore.

� Una frazione si dice impropria se il numeratore è maggiore del denominatore.

� Una frazione si dice apparente se il numeratore è multiplo del denominatore.

� Una frazione propria è sempre minore di 1.

� Una frazione impropria è sempre maggiore di 1.

� Una frazione apparente è, in realtà, un numero intero.

Osserva la seguente figura:

il segmento AD, nel caso a), rappresenta i 3

2 del segmento AB,

il segmento AD, nel caso b), rappresenta i 6

4 del segmento AB.

In realtà, il segmento AD, nei due casi, ha la stessa lunghezza; quindi le due frazioni rappresentano

lo stesso numero.

Definizione

Due frazioni b

a e

d

c, (b ≠ 0, d ≠ 0) sono equivalenti se a · d = b · c

Esempi:

o Le frazioni 7

3 e

21

9 sono equivalenti, infatti: 3 · 21 = 7 · 9 = 63

o Le frazioni 3

2 e

15

10 sono equivalenti, infatti: 2 · 15 = 3 · 10 = 30

77

La frazione 3

2 è equivalente a

6

4, ma anche a

12

8 ed anche a

18

12, e potrei continuare a scrivere

frazioni equivalenti a 3

2.

In realtà esistono infinite frazioni equivalenti ad una frazione data e tutte queste frazioni

rappresentano la stesso numero.

Allora, nell’insieme di tutte le possibili frazioni, posso costruire dei sottoinsiemi i cui elementi sono

tutte le frazioni equivalenti ad una data frazione; ciascuno di questi sottoinsiemi si chiama classe di

frazioni equivalenti.

Tali sottoinsiemi formano una partizione dell’insieme delle frazioni.

Definizione

Si chiama numero razionale assoluto ciascuna classe di frazioni equivalenti.

Per indicare una classe di frazioni equivalenti si scrive, racchiusa fra parentesi quadre, una delle

frazioni appartenente ad essa.

Così:

4

1 è la classe di tutte le frazioni equivalenti a

4

1;

6

8 è la classe di tutte le frazioni equivalenti a

6

8.

In generale, per indicare un numero razionale assoluto, è conveniente scegliere come

“rappresentante” quella frazione nella quale numeratore e denominatore sono coprimi e scriverlo

senza usare le parentesi quadre.

Esempi

3

2

3

2 =

2

1

8

4 =

36

18 =

L’ insieme dei numeri razionali assoluti si indica con Qa.

Possiamo estendere il concetto di frazione al caso in cui a e b (b ≠ 0) siano numeri interi relativi.

Ricordando che il quoziente fra a e b è un numero positivo se a e b sono concordi ed è un numero

negativo se a e b sono discordi, esistono frazioni precedute dal segno “+” o dal segno “−” .

L’insieme Qa viene così ampliato, ottenendo l’insieme dei numeri razionali relativi (o

semplicemente insieme dei numeri razionali) indicato con Q.

Anche l’insieme Q può essere rappresentato su una retta orientata.

Si fissa su una retta orientata un punto origine al quale si associa il numero 0 e si sceglie un

segmento come unità al quale si associa il numero 1.

78

� Per rappresentare un numero razionale positivo si divide l’unità in tante parti quante ne indica il

denominatore e, di queste parti, se ne riportano, nello stesso verso indicato dall’orientamento,

tante quante ne indica il numeratore.

� Per rappresentare un numero razionale negativo si procede come nel caso dei numeri razionali

positivi, riportando le parti nel verso opposto a quello indicato dall’orientamento della retta.

Rappresentiamo i numeri 3

2+ , 4

3− , 2

3+

PROVA TU

Rappresenta, su una retta orientata, i seguenti numeri razionali:

3

1+ , 3

4− , 8

5+ , 7

3− , 5

11− .

Come per gli interi, chiamiamo valore assoluto o modulo di un numero razionale, il numero

razionale senza segno, cioè il numero razionale assoluto e possiamo, inoltre, “identificare” i numeri

razionali positivi con i numeri razionali assoluti.

5

3

5

3 =

+ ; 7

15

7

15 =

+

� Qualunque intero relativo è un numero razionale nel quale il denominatore è 1; in simboli:

:1

aa a∀ ∈ =Z

� Se il numeratore è 0 e il denominatore è un numero diverso da zero, la frazione è

equivalente a zero; in simboli

{ } 00 : 0b

b∀ ∈ − =Z

Dalla definizione di frazioni equivalenti, segue la seguente proprietà:

Proprietà invariantiva

Se si moltiplica o si divide numeratore e denominatore di una frazione per uno stesso numero

intero, diverso da zero, si ottiene una frazione equivalente a quella data.

In simboli:

( )0, ≠⋅⋅= kkb

ka

b

a

−−−−1 − 3

4 0 2

3++++ 1 3

2++++

79

oppure (se h è un divisore comune di a e b):

)0(,:

: ≠= hhb

ha

b

a

Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore sono

coprimi.

Usando la proprietà invariantiva, una frazione può essere ridotta ai minimi termini o, come si dice,

semplificata.

Per ridurre una frazione ai minimi termini, si determina il MCD fra numeratore e denominatore e,

successivamente, si dividono entrambi per il MCD trovato.

Esempio

La frazione 45

18 non è ridotta ai minimi termini. Infatti, MCD(18, 45) = 9;

− dividiamo numeratore e denominatore per 9;

− otteniamo: 5

2

9:45

9:18 = .

Le frazioni 45

18 e

5

2 sono equivalenti e, quindi, rappresentano lo stesso numero.

Spesso, per semplificare una frazione, non si determina il MCD fra numeratore e denominatore, ma

si procede per “semplificazioni successive”, dividendo numeratore e denominatore per un divisore

comune e ripetendo la stessa operazione fino a quando numeratore e denominatore non siano

coprimi.

Nell’esempio della frazione precedente, poiché 18 e 45 sono entrambi divisibili per 3, si ha 45

18

e ancora: 6 e 15 sono divisibili per 3, quindi: 45

18 =

5

2.

La proprietà invariantiva si usa anche per ridurre frazioni allo stesso denominatore.

Esempio

Consideriamo le frazioni 12

5 e

18

7; ci proponiamo di scrivere due frazioni equivalenti ad esse che

abbiano lo stesso denominatore.

Calcoliamo il mcm fra i denominatori: mcm (12,18) = 36.

Questo è il denominatore comune delle due frazioni.

COMPLETA , applicando la proprietà invariantiva: 36

.........125 =

36

........

18

7 = .

6

15

6

15 2

5

80

Perché è necessario ridurre due o più frazioni allo steso denominatore ?

♦ Per confrontarle, cioè stabilire se sono equivalenti e, se non lo sono, quale è maggiore o minore;

♦ per poter calcolare la loro somma algebrica.

Confronto fra numeri razionali relativi

• Consideriamo due numeri razionali positivi; se i due numeri hanno lo stesso denominatore

è maggiore il numero razionale che ha numeratore maggiore; se i due numeri hanno

denominatore diverso, prima si riducono allo stesso denominatore e poi si procede come

nel caso precedente.

• Se i due numeri razionali sono negativi, così come per gli interi relativi, è maggiore quello

che ha valore assoluto minore. (Il confronto è, quindi, riconducibile a quello di due

numeri razionali assoluti).

• Se i due numeri razionali sono discordi è maggiore il numero positivo.

Esempi

Nelle seguenti coppie di numeri razionali, individua il numero maggiore:

a) 4 9

e13 13

b) 3 5

e8 12

c) 4 3

e9 8

− + d) 6 8

e5 7

− −

a) I due numeri razionali sono entrambi positivi ed hanno lo stesso denominatore:

9 > 4

quindi:

13

4

13

9 > .

b) I due numeri sono entrambi positivi, ma hanno denominatore diverso; li riduciamo, prima, allo

stesso denominatore e, successivamente, confrontiamo i numeratori:

mcm (8, 12) = 24 ⇒ 24

9

38

33

8

3 =⋅⋅= ,

24

10

212

25

12

5 =⋅⋅= ;

allora: 10 > 9 ⇒ 8

3

12

5 > .

c) i due numeri razionali sono discordi, quindi: 9

4

8

3 −>+ .

d) i due numeri sono entrambi negativi; dobbiamo confrontare i loro valori assoluti, cioè 5

6 e

7

8;

riduciamo le due frazioni allo stesso denominatore: 5

6 =

35

42 e

7

8 =

35

40;

81

confrontiamo i numeratori: 42 > 40 ⇒ 7

8

5

6

35

40

35

42 >⇒> ;

è maggiore il numero razionale con valore assoluto minore, quindi 5

6

7

8 −>− .

PROVA TU

Confronta le seguenti frazioni:

a) 4

6− e 6

9−

b) 3

7+ e 8

21+

c) 12

13+ e 21

19+

d) 5

4− e 3

2+

Assegnati due numeri razionali, è possibile, qualche volta, trovare “scorciatoie” per stabilire quale

dei due è maggiore?

Se sei un abile osservatore, risponderai SI’.

Considera i numeri razionali alla lettera d):

se hai ben compreso il significato di frazione propria ed impropria, ti sarai accorto che 12

13 è una

frazione impropria (quindi è > 1), 21

19 è una frazione propria (quindi è < 1). E’ facile, quindi, senza

ridurre i numeri razionali allo stesso denominatore, stabilire quale di essi è il maggiore: “è più

grande” il numero maggiore di 1 quindi 12

13.

PROVA TU

Confronta i seguenti numeri razionali:

6

5− e 4

7− ; 38

27+ e 43

45+

Frazioni e numeri decimali

Ricorda

♦ Un numero decimale si dice limitato se il numero di cifre dopo la virgola è finito.

♦ Un numero decimale si dice illimitato se il numero di cifre dopo la virgola non è finito.

♦ I numeri decimali illimitati si dividono, a loro volta, in due gruppi:

numeri decimali illimitati “periodici” e numeri decimali illimitati “aperiodici” .

82

♦ I numeri periodici (cioè quei numeri che, dopo la virgola, presentano un gruppo di cifre che

si ripete e che viene detto periodo) si dividono in numeri periodici “semplici” e numeri

periodici “misti” .

(Un numero è periodico semplice quando il gruppo di cifre che si ripete inizia subito dopo la

virgola; un numero è periodico misto quando il gruppo di cifre che si ripete non inizia subito

dopo la virgola e, in questo caso, il gruppo di cifre che precede il periodo è chiamato

antiperiodo).

� Una qualsiasi frazione dà origine ad un numero decimale limitato oppure ad un numero

decimale illimitato periodico.

� Anticipiamo che i numeri decimali illimitati “aperiodici” sono chiamati numeri irrazionali.

Consideriamo alcune frazioni e determiniamo, eseguendo la divisione fra numeratore e

denominatore, il numero decimale corrispondente:

=7

4 0,571428571428571428......= 571428,0 64,0........466666,0

15

7 ==

4,1....44444,19

13 == 45,020

9 =

=26

5 0,1923076923076………. = 9230761,0 75,1

4

7 =

38,0........833333,06

5 == 25

6 = 0,24

In quali casi il quoziente è un numero decimale limitato?

In quali casi il quoziente è un numero decimale periodico?

In quali casi il quoziente è un numero periodico semplice?

In quali casi il numero è un numero periodico misto?

Fra le frazioni considerate, ne esiste una che origina un numero decimale illimitato aperiodico?

Per rispondere a queste domande dobbiamo fissare la nostra attenzione sui denominatori delle

frazioni.

Negli esempi esaminati abbiamo ottenuto:

♦ un numero decimale limitato con i denominatori 25, 20, 4 (cioè con numeri che, scomposti

in fattori primi, contengono solo potenze di 2 e/o potenze di 5);

♦ un numero decimale illimitato periodico con i denominatori 15, 26, 6, 7, 9 [cioè con

numeri che, scomposti in fattori primi, contengono solo potenze di numeri primi diversi da

83

2 e/o da 5 (in tal caso si ottengono numeri periodici semplici) o con numeri che, scomposti

in fattori primi, contengono, oltre a potenze di 2 e/o di 5, anche potenze di altri numeri

primi (in tal caso si ottengono numeri periodici misti)].

Generalizzando, si ha la seguente proprietà:

� una frazione che ha per denominatore un numero nella cui scomposizione in fattori primi

compaiono solo potenze di 2 e/o potenze di 5 dà origine ad un numero decimale limitato

(perché moltiplicando per una opportuna potenza di 2 e/o di 5, sia il numeratore che il

denominatore, posso ottenere al denominatore una potenza di 10).

� Una frazione che ha per denominatore un numero nella cui scomposizione in fattori primi non

compaiono potenze di 2 e/o di 5 dà origine ad un numero decimale periodico semplice.

� Una frazione che ha per denominatore un numero nella cui scomposizione in fattori primi, oltre

a potenze di 2 e/o di 5, compaiono potenze di altri numeri primi dà origine ad un numero

decimale periodico misto.

� Nessuna delle frazioni considerate ha generato un numero decimale illimitato aperiodico.

Da frazione decimale a numero decimale

Esempi

• =⋅

=52

3

20

32

(se moltiplico numeratore e denominatore per 5 ottengo al denominatore

100 = 102) = 22 52

53

⋅⋅

= 100

15 = 15,0

• =5

8 (se moltiplico numeratore e denominatore per 2, il denominatore diventa 10) =

=25

28

⋅⋅

= 10

16 = 6,1

• 25

7

25

7 = = (se moltiplico numeratore e denominatore per 22, il denominatore diventa

100=102) = 22

2

25

27

⋅⋅

= 100

47 ⋅ =

100

28 = 28,0

PROVA TU

..........10

13 = ..........25

56 = ..........50

15 =

Da numero decimale limitato a frazione

84

Viceversa, ogni numero decimale limitato può essere trasformato in una frazione che ha al

numeratore il numero senza la virgola e al denominatore una potenza di 10 avente per esponente il

numero delle cifre decimali.

Esempi

• 45,36 è uguale ad una frazione che ha al numeratore 4536 e, poichè le cifre dopo la virgola

sono 2, al denominatore 102; per cui: 45,36 = 25

1144

100

4536

10

45362

== .

• 0,523 è uguale ad una frazione che ha al numeratore 523 e, poichè ci sono 3 cifre dopo la

virgola, al denominatore 103; per cui: 0,523 = 1000

523

10

5233

= .

PROVA TU

0,23 = ………… 12,2 = …………… 4,125 = …………

Da numero periodico semplice a frazione

Un numero periodico semplice è uguale ad una frazione che ha per numeratore la differenza fra il

numero senza la virgola e la sua parte intera, e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del

periodo.

♦ Trasformiamo in frazione il numero6,2

Il numero senza la virgola è 26 e la sua parte intera è 2; il periodo è formato da una sola

cifra; quindi: 6,2 = 9

226− =

9

24 =

3

8.

♦ Trasformiamo in frazione il numero 23,1

Il numero senza la virgola è 123 e la sua parte intera è 1; il periodo è formato da due cifre;

quindi:

23,1 = 99

1123− =

99

122.

Da numero periodico misto a frazione

Un numero periodico misto è uguale ad una frazione che ha al numeratore la differenza fra il

numero senza la virgola e la “parte” che precede il periodo (compresa la parte intera) e al

denominatore il numero formato da tanti 9 per quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri

per quante sono le cifre dell’antiperiodo.

♦ Trasformiamo il numero 32,1

85

Il numero senza la virgola è 123; la “parte” che precede il periodo è 12; periodo e

antiperiodo sono formati, entrambi, da una sola cifra; seguendo la regola esposta in

precedenza si ha : 32,1 = 90

12123− =

90

111 =

30

37.

♦ Trasformiamo il numero 13254,21

Il numero senza la virgola è 2154132; la “parte” che precede il periodo è 2154; il numero di

cifre dell’antiperiodo è due; il numero di cifre del periodo è tre; seguendo la regola esposta

in precedenza si ha :

13254,21 = 99900

21542154132− =

99900

2151978 =

33300

717326.

Tentiamo, con alcuni esempi, di giustificare la regola esposta in precedenza.

Sia n = 6,2

Moltiplicando ambo i membri per 10, otteniamo: 10 n = 6,26

Eseguiamo la seguente sottrazione: 10 n – n

10 n – n = 26,66666666666… - 2,666666666666… (le cifre decimali sono uguali).

Mettiamo in colonna:

00000000000,24

......66666666666,2

......66666666666,26

=

−

Quindi 10 n – n = 26 - 2 = 24.

Ma 10 n – n = ( per la proprietà distributiva) = (10 - 1) n = 9 n,

per cui: 9 n = 24 ⇒ n = 9

24; riducendo ai minimi termini si ottiene n =

38

.

In definitiva:

3

8

9

246,2 ==

Sia n = 32,1

Moltiplicando ambo i membri prima per 10 e poi per 100, otteniamo:

10 n = 3,12 e 100 n = 3,123

Eseguiamo la seguente sottrazione: 100 n – 10 n

86

100 n – 10 n = 123,3333333……. – 12,3333333…….

Mettiamo in colonna:

000000000000,111

............333333,12

............333333,123

=

−

Quindi, 100 n – 10 n = 111

Ma 100 n – 10 n = (per la proprietà distributiva) = (100 – 10) n = 90 n

per cui: 90 n = 111 ⇒ n = 90

111 ; riducendo ai minimi termini, si ottiene n =

30

37.

In definitiva:

30

37

90

11132,1 ==

Se il numero decimale è preceduto dal segno “−”, basta, ovviamente, trasformare in frazione il suo

valore assoluto e lasciare lo stesso segno:

30

3732,1 −=− ,

5

6

10

122,1 −=−=−

PROVA TU

.........4,12 = .............65,1 = ..........65,234 = 2134,5

2.9 Operazioni in Qa

Somma e differenza

La somma o la differenza di due frazioni aventi lo stesso denominatore è una frazione che ha

per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore, rispettivamente, la somma o la

differenza dei numeratori.

In simboli:

b

ca

b

c

b

a +=+ , b

ca

b

c

b

a −=−

Esempi

5

4

5

13

5

1

5

3 =+=+ , 7

5

7

49

7

4

7

9 =−=− .

Se le frazioni hanno denominatore diverso, per calcolare la loro somma o differenza, si riducono

le frazioni allo stesso denominatore e ci ritroviamo, così, nel caso precedente.

87

o Calcoliamo la somma: 7

5

3

2 + ;

riduciamo allo stesso denominatore le due frazioni:

mcm (3, 7) = 21, quindi

=3

2 (per la proprietà invariantiva) =

21

14

=7


21

15;

allora:

21

15

21

14

7

5

3

2 +=+

Le due frazioni hanno, ora, lo stesso denominatore; basta, quindi, sommare i numeratori:

21

29

21

1514

21

15

21

14

7

5

3

2 =+=+=+

o Calcoliamo la differenza: 2

1

5

8 − ;

riduciamo allo stesso denominatore le due frazioni:

mcm(2, 5) = 10, quindi

=5


10

16;

=2

1(per la proprietà invariantiva) =

10

5;

allora: 10

5

10

16

2

1

5

8 −=− .

Le due frazioni hanno ora lo stesso denominatore; basta, quindi, sottrarre i numeratori:

10

11

10

516

10

5

10

16

2

1

5

8 =−=−=−

Moltiplicazione in Qa

Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per

denominatore il prodotto dei denominatori. In simboli:

db

ca

d

c

b

a

⋅⋅=⋅

o Il prodotto fra 9

5 e

7

4 é:

88

63

20

79

45

7

4

9

5 =⋅⋅=⋅ .

o Il prodotto fra 35

6 e

9

14 è:

315

84

935

146

9

14

35

6 =⋅

⋅=⋅ .

In questo caso, il risultato della moltiplicazione è una frazione riducibile [MCD(84, 315) = 21];

quindi, applicando la proprietà invariantiva:

15

4

21:315

21:84

315

84

935

146

9

14

35

6 ===⋅

⋅=⋅

Avremmo ottenuto lo stesso risultato se avessimo “semplificato” le frazioni prima di eseguire la

moltiplicazione, con quella operazione che viene chiamata “semplificazione a croce”.

♦ Nella moltiplicazione di due frazioni, se il numeratore di una frazione e il denominatore

dell’altra hanno divisori in comune, possiamo dividerli per il loro MCD e, successivamente,

eseguire la moltiplicazione.

Calcoliamo lo stesso prodotto:

9

14

35

6 ⋅

Osserviamo che:

− MCD(6, 9) = 3 (il numeratore di 35

6 e il denominatore di

9

14 sono entrambi divisibili per 3);

− MCD(35,14) = 7 (il denominatore di 35

6 e il numeratore di

9

14 sono entrambi divisibili per 7).

Procedendo nelle divisioni descritte, otteniamo: 35

6 ⋅⋅⋅⋅

9

14 =

15

4

35

22 =⋅⋅

E’ sempre opportuno, prima di eseguire una moltiplicazione, semplificare per due motivi:

♦ si eseguono moltiplicazioni fra numeri “più piccoli”;

♦ il prodotto delle due frazioni (dopo la semplificazione) è una frazione irriducibile.

Quoziente in Qa

Definizione

Si chiama reciproco di un numero razionale quel numero razionale che si ottiene da quello dato

scambiando fra loro numeratore e denominatore.

2

5

2

3

89

Esempi

o il reciproco di 2

7 è

7

2;

o il reciproco di 3 è 3

1;

o Il reciproco di 1 è 1.

• Esiste il reciproco di “0” ?

Ricorda che 0 = a

0 0≠∀a ; il suo reciproco avrebbe per denominatore 0 e questo non è

possibile.

Il reciproco di 0 non esiste

Anche in Qa, come in N e in Z, si definisce quoziente di due numeri razionali assoluti quel numero

razionale assoluto che moltiplicato per il divisore dà come risultato il dividendo.

Come già sai, per calcolare il quoziente fra due frazioni, si calcola il prodotto fra il dividendo ed il

reciproco del divisore:

9

8

7

15

8

9:

7

15 ⋅= = (dopo aver semplificato) = 21

40

37

85

3

8

7

5 =⋅⋅=⋅ .

Infatti:

=⋅8

9

21

40(dopo aver semplificato) =

7

15

17

35

1

3

7

5 =⋅⋅=⋅ .

Per le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione definite in Qa, valgono le

proprietà già viste per le operazioni definite in N e in Z.

2.10 Operazioni in Q

Le operazioni definite in Qa si estendono al caso di numeri razionali relativi.

Per eseguire le operazioni fra numeri razionali relativi si seguono i procedimenti già visti per gli

interi relativi.

Potenza di un numero razionale

Se in un prodotto ci sono n fattori uguali il prodotto è una potenza, in analogia con quanto detto per

i numeri interi.

90

Esempio: 4

44

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2 =⋅⋅⋅=

In generale: n

nn

b

a

b

a =

Per le potenze in Q valgono le proprietà già viste per le potenze in Z.

Val la pena soffermarsi sulla seguente proprietà:

mpmp aaa −=:

Se l’esponente del dividendo è minore dell’esponente del divisore, otteniamo per quoziente una

potenza con esponente negativo.

Per esempio:

25353 555:5 −− == .

Con quale numero razionale possiamo identificarla?

Abbiamo detto che, in Q, l’operazione di divisione non è altro che la moltiplicazione fra il

dividendo ed il reciproco del divisore, per cui si ha:

5

353

5

55:5 = (ricordando il significato di potenza) =

55555

555

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Ora, riduciamo l’ultima frazione ai minimi termini, otteniamo:

55555

555

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

= 2

2 5

1

5

1

55

1

==⋅

.

In definitiva:

====

= −

2

2

2

25

353

253

5

1

5

1

5

1

5

55:5

55:5

Come ben sai, il risultato di una stessa operazione è unico, quindi:

2

22

5

1

5

15

==−

Osserva che 5

1 è il reciproco di 5.

1 1 1

1 1 1

91

Ancora un esempio:

35252

3

2

3

2

3

2:

3

2−−

=

=

D’altra parte, per definizione di divisione si ha:

( )tosemplificaaverdopo=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

3

2

3

2

3

2

3

2

3

23

2

3

2

3

2

3

2

3

2:

3

25

2

52

3

3

2

1

3

2

3

2

3

21

=

⋅

⋅

= = =

33

2

3

2

31

=

⋅

In definitiva:

33

352

352

2

3

3

2

2

3

3

2:

3

2

3

2

3

2:

3

2

=

⇒

=

=

−

−

Osserva che 2

3 è il reciproco di

3

2.

Generalizziamo:

Una potenza con esponente negativo è equivalente ad una potenza che ha come base il reciproco

della base e come esponente il valore assoluto dell’esponente.

In simboli:

{ } 1 10 :

pp

pa Q p N a

a a− ∀ ∈ − ∧ ∀ ∈ = =

Esempi

o 33

2

3

3

2

+=

+−

o 22

5

7

7

5

−=

−−

3

2

1 (

)

3

92

o 55

4

9

9

4

−=

−−

o ( )4

4

2

12

+=+ −

Dal momento che una uguaglianza è vera anche se la leggo “da destra verso sinistra”, si ha che:

se 55

4

9

9

4

−=

−−

allora 55

9

4

4

9−

−=

−

Possiamo, allora, generalizzare:

{ } 10 :

ppa Q p Z a

a

− ∀ ∈ − ∧ ∀ ∈ =

Esercizi svolti

Applicando le proprietà delle potenze, semplifichiamo le seguenti espressioni:

o 3385832

3

4

4

3

4

3:

4

3

4

3:

4

3

4

3

−=

−=

−

−=

−

−⋅

−−

o 462642

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1:

2

1

+=

+⋅

+=

+⋅

+

+−

.

PROVA TU

Applicando le proprietà delle potenze, semplifica le seguenti espressioni, come negli esempi

precedenti:

a) ..................9

55

=

+−

; ............7

4

7

453

=

−⋅

− ; ............8

3:

8

3137

=

+

+

b) ......................3

2:

3

2

3

2

3

29285

=

+

+⋅

+⋅

+

c) ...................2

5:

2

5

2

5:

2

5141264

=

−

−⋅

−

−

Esercizi svolti

Giochiamo con le potenze!

a) Calcoliamo il prodotto: ( )53

22

1 +⋅

+

Un osservatore molto superficiale direbbe che le due potenze hanno basi diverse per cui non

possono essere applicate le proprietà delle potenze. Invece…….sei un osservatore molto

93

acuto e ti accorgi che le basi delle due potenze sono “parenti molto stretti”: trascurando,

infatti, il segno “+”, 2

1 è il reciproco di 2 (potresti tranquillamente affermare il viceversa) e,

per quanto detto a proposito delle potenze con esponente negativo, 122

1 −= . Sostituendo nel

prodotto, otteniamo:

( ) ( )[ ] ( )53

153

2222

1 +⋅+=+⋅

+ − = (applicando le proprietà viste) = ( ) ( )53 22 +⋅+ − = ( )22+

b) Calcoliamo il prodotto: 53

3

2

3

2

+⋅

−

Anche in questo caso, in modo frettoloso, diresti che le due potenze hanno basi diverse.

Se osservi attentamente, le due basi, come nel caso precedente, sono “parenti molto stretti”:

si differenziano solo per il “segno”.

Fai molta attenzione alle seguenti considerazioni:

• i numeri razionali positivi si scrivono senza segno (si identificano con il loro

modulo);

• qualsiasi numero razionale negativo lo posso considerare come il prodotto fra −1 ed

il modulo del numero dato;

quindi 3

21

3

2 ⋅−=− ;

sostituendo nel prodotto dato, si ha:

5353

3

2

3

21

3

2

3

2

+⋅

⋅−=

+⋅

−

e, applicando le proprietà delle potenze, otteniamo:

( )8853

3353

3

2

3

21

3

2

3

21

3

21

3

2

3

2

−=

⋅−=

⋅

⋅−=

⋅−=

+⋅

− .

c) Calcoliamo il prodotto 23

5

3

5

3

−⋅

+

Ricordando le considerazioni fatte nell’esercizio precedente, si ha 5

31

5

3 ⋅−=

− .

94

Sostituendo nel prodotto e applicando le proprietà delle potenze, si ottiene:

( )2

232323

5

31

5

3

5

31

5

3

5

3

5

3

⋅−⋅

=

⋅−⋅

=

−⋅

+

Applicando la proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione, si ha:

( )552

232323

5

3

5

31

5

31

5

3

5

31

5

3

5

3

5

3

=

⋅=

⋅−⋅

=

⋅−⋅

=

−⋅

+

Dagli esempi precedenti, deduciamo che:

� una potenza con base negativa ed esponente dispari è equivalente all’opposto della potenza

avente per base il modulo della base e per esponente lo stesso esponente.

In altre parole, meno rigorose dal punto di vista formale, il segno “−” si porta fuori dalle

parentesi.

� Una potenza che ha base negativa ed esponente pari è equivalente ad una potenza avente per

base il modulo della base e per esponente lo stesso esponente.

In altre parole, meno rigorose dal punto di vista formale, il segno “−” si elimina.

Esempi

o 5 5

5 5

7 7 − = −

o 66

4

7

4

7

=

−

PROVA TU

Applicando le proprietà delle potenze, semplifica le seguenti espressioni:

a) 72

9

4

9

4

−⋅

+

b) 65

8

3:

8

3

−

+

c) ( )5

62

4

1:4

4

1

−+⋅

−

d) ( )43

2

3

1

3

13

−−

+⋅

−⋅+

Giochiamo ancora con le potenze.

• Riscriviamo la potenza 3

7

4

in modo che non vi compaia la linea di frazione.

Ricordando che la linea di frazione ha il significato di divisione e che la divisione fra due

numeri razionali si trasforma in moltiplicazione, si ha:

33

3333

3

33

7

14

7

147:4

7

4

7

4

⋅=⋅===

95

Ma ( ) 33

77

1 −=

, quindi si ha: 333

747

4 −⋅=

• Riscriviamo la potenza 2

3

5−

in modo che non vi compaia la linea di frazione.

Seguendo il procedimento indicato nell’esempio precedente, si ha:

222

22

2222

22

353

15

3

153:5

3

5

3

5 ⋅=

⋅=⋅===

−−

−−

−−−−

−−

Ormai sei diventato un attento osservatore e non ti sarà certamente sfuggito che la potenza al

denominatore è “passata al numeratore” con esponente opposto.

• Semplifichiamo la seguente espressione: 32

2

3

9

4

+⋅

−

Osserviamo che

2222

3

2

9

4

9

4

=

=

− e che 33

3

2

2

3−

=

+ , quindi:

3

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

3

9

4343

2232

=

⋅

=

⋅

=

+⋅

−−−

.

• Dopo averle riscritte in modo che vi compaiano solo moltiplicazioni, semplifichiamo le

seguenti espressioni:

a) 32

3

2

3:

4

14

+

−⋅

Ricorda che:

o 4 = 22;

o 222

44

1

4

1 −=

=

− ;

o la divisione si trasforma in moltiplicazione;

o il denominatore di una potenza “passa” al numeratore con esponente opposto.

Quindi, l’espressione data diventa :

( ) ( ) 3533463

223232

3 3232223

222

2

3:

4

14 −−−− ⋅=⋅⋅⋅=

⋅⋅=

+

−⋅

96

b) 2

53

27

4

10

9

5

1

−⋅

Ricorda che:

o 33

55

1 −=

;

o ( ) ( ) 55105525555

52352310910

9

10

9 −−−− ⋅⋅−=⋅⋅−=⋅−=

−=

−

o ( ) ( ) 642322222

323227427

4 −−− ⋅=⋅=⋅=

;

o Le potenze che si trovano al denominatore “passano” al numeratore con

esponente opposto.

Allora:

( ) 6455103

64

55103

2

53

32523532

5235

27

4

10

9

5

1

⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅

⋅⋅−⋅=

−⋅

−−−−−

−−−

.

Applicando la proprietà commutativa e la proprietà associativa si ottiene:

( ) 8169645510364

55103

2

53

53232523532

5235

27

4

10

9

5

1

−−−−−−−

−−−

⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅

⋅⋅−⋅=

−⋅

.

c) 36

254

24

5

9

8

4

25

3

4:

5

6

⋅

−

⋅

−

Sicuramente ora sei in grado di seguire “consapevolmente” la sequenza dei passaggi e, quindi, puoi

completare descrivendo le proprietà che di volta in volta sono state applicate.

97

4 5 2

6 3

4 5 2

2

6 4 25:

5 3 4.....................................................................................................................

8 59 24

2 3 3 55 4 2

− ⋅ =

− ⋅

⋅ ⋅ − ⋅ =

2

6 33

2 3

54 4 4

4 2 4

18 3

12 9 3

..................................................................................................................2 53 2 3

2 3 3 55 2 2

...............2 53 2 3

= − ⋅ ⋅

⋅ − ⋅ ⋅ = =

⋅⋅

54 4 4 4 4

10

18 12 3 9 3

.........................................................................................................

32 3 5 5 2

2 ...................................................2 3 5 2 3

− −

− − −

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

4 4 4 5 10 4 4 18 12 3 9 3

19 24 3

............................................................

(2 3 5 3 2 5 2 ) (2 3 5 2 3 ) .................................................................

2 3 5 .

− − − − −

− −

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= − ⋅ ⋅

PROVA TU

Dopo averle riscritte in modo che vi sia solo l’operazione di moltiplicazione, semplifica le seguenti

espressioni:

a) ( )2

5

2

1:2

−−

b) 3653

25

4

2

5:

5

2

5

2

−⋅

−

⋅

−−

c) 5

34

15

4

9

10:

3

5

−

Applicazioni delle potenze

98

E’ evidente che l’utilizzo delle potenze permette di scrivere con pochi simboli numeri “molto

grandi” e “molto piccoli”.

In particolare risulta di grande utilità pratica l’uso delle potenze di 10.

Ricorda che una potenza di 10 è uguale al numero formato dall’unità seguita da tanti zeri quanto ne

indica l’esponente della potenza. Così 100 = 1; 101 = 10; 102 = 100, 103 = 1000; ………….

Inoltre 1,010

110 1 ==− ; 01,0

100

1

10

110

22 ===− ; 001,0

1000

1

10

110

33 ===− ; …………

Osserva:

o 2350000 = 235 ⋅⋅⋅⋅ 10000 = 235 ⋅⋅⋅⋅ 104;

o 300000 = 3 ⋅⋅⋅⋅ 105:

o 0,00000027 = 27 ⋅⋅⋅⋅ 0,00000001 = 27 ⋅⋅⋅⋅ 10−8.

Quando un numero è scritto usando le potenze di 10, si dice che è scritto in notazione

esponenziale.

Convenzionalmente, per facilitare ulteriormente calcoli e confronti, quando si scrivono i numeri in

notazione esponenziale, si lascia una sola cifra (diversa da zero) prima della virgola.

Così:

o 2350000 = 235 ⋅⋅⋅⋅ 104 = 2,35 ⋅⋅⋅⋅ 106

o 0,00000027 = 27 ⋅⋅⋅⋅ 10-8 = 2,7 ⋅⋅⋅⋅ 10-7

o 529 ⋅⋅⋅⋅ 10−10 = 5,29 ⋅⋅⋅⋅ 102 ⋅⋅⋅⋅ 10−10 = 5,29 ⋅⋅⋅⋅ 10−8

PROVA TU

Scrivi in notazione esponenziale i seguenti numeri:

a) 14600000 = …………….

b) 0,0000034 = …………….

c) 23,4 ⋅⋅⋅⋅ 10−3 = …………….

d) 2347,21 ⋅⋅⋅⋅104 = ……………

Esempi di operazioni con numeri in notazione esponenziale

a) 3,4 ⋅⋅⋅⋅ 107 ⋅⋅⋅⋅ 5,87 ⋅⋅⋅⋅ 10-3 = (3,4 ⋅⋅⋅⋅ 5,87) ⋅⋅⋅⋅ (107 ⋅⋅⋅⋅ 10-3) =

= 19,958 ⋅⋅⋅⋅ 107+(-3) = 19,958 ⋅⋅⋅⋅ 104 = 1,9958 ⋅⋅⋅⋅ 105

99

b) ( )

7 77 3 10 9

3 3

3,4 10 3,4 100,579 10 0,579 10 5,79 10

5,87 10 5,87 10− −

− −

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

c) =⋅=⋅ 67 104,791094,7 =⋅ 6104,79 8,91 ⋅⋅⋅⋅ 103

PROVA TU

a) 25,3 ⋅⋅⋅⋅ 10-3 ⋅⋅⋅⋅ 1,5 ⋅⋅⋅⋅ 107 = ………………

b) =⋅⋅

−8

6

1027,3

1045,2 …………………….

c) =⋅ 51036,5 …………………….

Proprietà delle operazioni in Q

Per le operazioni in Q valgono le proprietà già viste per le operazioni in Z

Nell’insieme Q le operazioni di somma algebrica e di moltiplicazione sono operazioni interne;

infatti la somma algebrica di due qualsiasi numeri razionali è ancora un numero razionale e il

prodotto di due qualsiasi numeri razionali è ancora un numero razionale.

In simboli:

, :a b Q c a b Q∀ ∈ = + ∈

, :a b Q p a b Q∀ ∈ = ⋅ ∈

• Per la somma algebrica in Q esiste l’elemento neutro: il numero 0; infatti:

aaaQa =+=+∈∀ 00,

• Per la moltiplicazione in Q esiste l’elemento neutro: il numero 1; infatti:

aaaQa =⋅=⋅∈∀ 11,

• Ogni numero razionale ammette simmetrico rispetto alla somma algebrica; tale elemento è

l’opposto; infatti

0''/', =+=+∈∃∈∀ aaaaQaQa

Si può dimostrare che il simmetrico di un elemento è unico.

In Z non esiste il simmetrico di un numero rispetto alla moltiplicazione; e in Q ?

Ci chiediamo, cioè, se per qualunque numero razionale a esiste un altro numero razionale b tale che

a · b = b · a = 1.

100

Per esempio, consideriamo il numero 5

2− ; esiste un numero razionale che moltiplicato per 5

2− dà

come risultato 1?

Se rifletti, ti convincerai facilmente che questo numero esiste ed è quello che abbiamo chiamato

reciproco; infatti:

15

2

2

5

2

5

5

2 =

−⋅−=

−⋅−

Il simmetrico di 11

6 rispetto all’operazione di moltiplicazione è

6

11.

Possiamo affermare che tutti i numeri razionali ammettono simmetrico rispetto alla

moltiplicazione (cioè sono tutti simmetrizzabili)?

Pensa al numero 0 (ancora lui)!

Se esistesse il simmetrico di 0 rispetto alla moltiplicazione, coerentemente con quanto detto prima,

dovrebbe essere il suo reciproco; allora si avrebbe un numero razionale con denominatore 0 e

questo è impossibile; oppure dovrebbe esistere un numero razionale a tale che a · 0 = 1!

La risposta alla domanda precedente è, quindi, NO!

E’ chiaro, allora, che non tutti gli elementi di Q sono simmetrizzabili.

Esiste un insieme numerico per il quale tutti gli elementi sono simmetrizzabili?

SI’! E’ l’insieme dei numeri razionali privato dello zero, quindi l’insieme Q − {0}.

In simboli:

{ } { }0 : ' 0a Q a Q∀ ∈ − ∃ ∈ − / a ⋅ 'a = 'a ⋅ a = 1

In generale:

• Il simmetrico di un numero razionale (≠ 0) rispetto alla moltiplicazione è il suo reciproco.

Si può dimostrare che tale simmetrico è unico.

Per le operazioni in Q possiamo dire che:

L’operazione di somma algebrica, in Q, ammette elemento neutro ed

ogni elemento è simmetrizzabile.

L’operazione di moltiplicazione, in Q, ammette elemento neutro, ma non

tutti gli elementi ammettono simmetrico.

101

In Q - {{{{0}}}}, ogni elemento ammette simmetrico rispetto all’operazione di

moltiplicazione.

2.11 Gli insiemi N, Z, Q

Facciamo una rapida sintesi su quello che abbiamo visto a proposito degli insiemi numerici.

Abbiamo visto che, ampliando l’insieme N, si costruiscono gli altri insiemi numerici Z, Q.

Inoltre:

� i numeri relativi positivi si possono “identificare” con i numeri naturali;

� i numeri razionali con denominatore 1 si possono “identificare” con i numeri interi.

Possiamo, allora, dire che:

N è sottoinsieme di Z e che Z è sottoinsieme di Q.

In simboli:

N ⊂⊂⊂⊂ Z ⊂⊂⊂⊂ Q

Rappresentiamo queste relazioni con i diagrammi di Eulero – Venn:

APPROFONDIMENTO

Le operazioni definite in N, Z e Q associano, in modo univoco, a due numeri un altro numero e per

questo sono dette operazioni binarie.

In generale, un’operazione si dice binaria se a due elementi di un dato insieme associa un

elemento dello stesso insieme.

Inoltre, avrai sicuramente osservato che, talvolta, le operazioni definite in insiemi diversi hanno le

stesse proprietà.

Classifichiamo, allora, gli insiemi numerici in base alle proprietà delle operazioni che in essi sono

definite.

102

L’insieme N è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione; si dice che:

� (N, +) è una struttura algebrica;

� (N, ⋅⋅⋅⋅) è una struttura algebrica.

L’insieme Z è chiuso rispetto alle operazioni di somma algebrica e di moltiplicazione; quindi:

� (Z, +) è una struttura algebrica;

� (Z, ⋅⋅⋅⋅) è una struttura algebrica.

L’insieme Q è chiuso rispetto alle operazioni di somma algebrica e di moltiplicazione; quindi:

� (Q, +) è una struttura algebrica;

� (Q, ⋅⋅⋅⋅) è una struttura algebrica.

Per l’operazione di somma algebrica in Z ed in Q valgono anche altre proprietà:

� l’operazione di somma algebrica è associativa;

� l’operazione di somma algebrica ammette elemento neutro;

� ogni elemento ammette il simmetrico (è, cioè, “simmetrizzabile”).

Allora, si dice che:

� (Z, +) è un gruppo;

� (Q, +) è un gruppo.

Inoltre, la somma algebrica è commutativa; si dice, allora, che:

� (Z, +) è un gruppo abeliano;

� (Q, +) è un gruppo abeliano.

L’operazione di moltiplicazione in Z, pur essendo associativa ed avendo elemento neutro, è tale che

ogni elemento di Z non è simmetrizzabile, quindi (Z, ⋅⋅⋅⋅) non è un gruppo.

L’operazione di moltiplicazione in Q, pur essendo associativa ed avendo elemento neutro, è tale che

ogni elemento di Q non è simmetrizzabile (ricorda che esiste un numero razionale, lo zero, che

non ha simmetrico), quindi ( ), ⋅Q non è un gruppo.

103

Si ha, invece, che:

(Q −−−− {{{{0}}}}, ⋅⋅⋅⋅) è un gruppo abeliano.

104

ESERCIZI CAPITOLO 2

GLI INSIEMI NUMERICI


1) Completa la seguente tabella, come nell’esempio della seconda riga:

Insieme Simbolo

Numeri naturali N

Numeri interi ……

……………………………… N0

Numeri razionali assoluti ……

Numeri interi negativi ……

……………………………… Z +

……………………………… Q

Numeri razionali positivi ……

……………………………… Q −−−−

2) Dopo aver definito il successivo di un numero naturale, completa la seguente tabella come

nell’esempio:

n antecedente successivo

3 2 4

… 15 …

0 … …

21 … …

… 32 …

… … 32

44 … …

… … 101

… 0 …

105

3) Come puoi rappresentare i numeri naturali su una retta orientata?

4) Elenca le proprietà dell’addizione e della moltiplicazione in N e fai un esempio per ciascuna di

esse.

5) Cosa vuol dire che un insieme è chiuso rispetto ad una operazione?

6) Rispetto a quali operazioni è chiuso l’insieme dei numeri naturali?

7) Quali operazioni non sono interne ad N ?

8) Perché il numero “0” è chiamato elemento neutro dell’addizione in N ?

9) Qual è l’elemento neutro della moltiplicazione in N ?

10) Che cosa si intende per “potenza” di un numero naturale?

11) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:

a) 32 ⋅⋅⋅⋅ 34 = 36 V F

b) 53 + 56 = 59 V F

c) 40 = 0 V F

d) 86 : 82 = 84 V F

e) 79 − 73 = 76 V F

f) 62 ⋅⋅⋅⋅ 42 = 244 V F

g) 125 : 45 = 35 V F

h) 94 ⋅⋅⋅⋅ 92 = 310 V F

i) 183 : 23 = 36 V F

12) Che cos’è il massimo comun divisore fra due o più numeri naturali? Come si indica?

13) Che cos’è il minimo comune multiplo fra due o più numeri naturali? Come si indica?

14) Qual è il procedimento che ti consente di determinare il massimo comun divisore ed il minimo

comune multiplo fra due o più numeri naturali?

15) Perché è stato costruito l’insieme dei numeri interi (relativi)?

16) Quando due numeri interi sono concordi? E quando sono discordi?

17) Scrivi almeno tre coppie di interi concordi e tre coppie di interi discordi.

18) Come rappresenti i numeri interi su una retta orientata?

19) Che cosa si intende per valore assoluto o modulo di un numero intero?

20) Quando due interi si dicono opposti? Scrivi almeno tre coppie di numeri opposti.

106

21) Che cosa si intende per “somma algebrica” in Z ?

22) Quali operazioni sono interne a Z ? Quali non sono interne a Z ?

23) Quali operazioni, in Z, ammettono elemento neutro? Qual è l’elemento neutro per ciascuna di

esse?


a) La somma di due numeri concordi è sempre positiva. V F

b) La somma di due numeri discordi è sempre concorde con il primo numero. V F

c) La differenza fra due numeri discordi è sempre negativa . V F

d) Il prodotto di due numeri concordi è sempre positivo. V F

e) Il quoziente di due numeri discordi, se esiste, è negativo. V F

f) La somma di due numeri discordi ha per modulo la differenza dei moduli V F

dei due numeri.

25) Cosa significa che ogni elemento di Z è simmetrizzabile rispetto all’operazione di somma

algebrica?

26) Ogni elemento di Z è simmetrizzabile rispetto all’operazione di moltiplicazione?

27) Perché è stato necessario “costruire” l’insieme dei numeri razionali?

28) Quali delle seguenti affermazioni sono vere?

a) Una frazione si dice apparente soltanto se numeratore e denominatore sono uguali.

b) Una frazione si dice impropria soltanto se il denominatore è un multiplo del numeratore.

c) Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se il numeratore è minore del denominatore.

d) Una frazione si dice impropria se il numeratore è un multiplo del denominatore.

e) Una frazione si dice apparente se il numeratore è un multiplo del denominatore.

f) Una frazione si dice propria se il numeratore è minore del denominatore.

g) Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se il numeratore e il denominatore sono

numeri primi.

h) Una frazione si dice ridotta ai minimi termini se numeratore e denominatore sono coprimi.

29) Due frazioni p

s e

m

k sono equivalenti se:

a) s ⋅⋅⋅⋅ k = p ⋅⋅⋅⋅ m b) k ⋅⋅⋅⋅ p = m ⋅⋅⋅⋅ s c) s − m = k − p d) s + k = p + m

30) Come definisci un numero razionale assoluto?

107

31) Qual è il significato della scrittura

5

6 ?

32) A quale classe appartiene la frazione 15

12 ?


a) 4

9 ∈

2

3 V F b)

20

10,

12

8 ⊂

∩

2

1

3

2 V F

c)

8

4,

4

2 ⊂

2

1 V F d)

20

10,

12

8 ⊂

∪

2

1

3

2 V F

e)

16

4 ∈

4

1 V F f)

36

108 =

17

51 V F

g) 15

18 ∈

5

6 V F h) 1 ∈

45

45 V F

34) Come rappresenti i numeri razionali su una retta orientata?

35) È possibile stabilire, senza eseguire la divisione, se una frazione genera un numero decimale

finito o un numero periodico? Come procedi per stabilire se il numero è periodico semplice o

periodico misto?

36) Come operi per eseguire la somma fra due numeri razionali (distingui i due casi: i numeri hanno

lo stesso denominatore; i numeri hanno denominatore diverso)? E per eseguire la

moltiplicazione? E per eseguire la divisione?


a) 5

3

2

1

3

2 =+ V F

b)

∈⋅24

10

4

3

9

5 V F

c) 8

3

10

7:

28

15 = V F

d) 2 + 5

4 ∈

5

6 V F

38) Quali operazioni sono interne all’insieme Q ? E quali ammettono elemento neutro?

39) Ogni elemento di Q è simmetrizzabile rispetto alla somma algebrica? E rispetto alla

moltiplicazione?

40) Con quale numero razionale puoi identificare una potenza con esponente negativo?

108


a) 2−3 = −23 V F

b) 2

5

4−

= 2

2

4

5 V F

c) 7

2

1

− = − 7

2

1

V F

d) 4

5

3−

− = − 4

3

5

V F

e) 2

5

2

− ⋅⋅⋅⋅ 5

2

5

− = 3

5

2

− V F

Esercizi

L’insieme N

42) A quali dei seguenti insiemi puoi associare il numero naturale “4”?

A = {x / x è una lettera della parola “collo”};

B = {x / x è una lettera della parola “colla”};

C = {x / x è una lettera della parola “Marta”};

D = {x / x è una lettera della parola “pollo”};

E = {x / x è una lettera della parola “parco”}.

43) Uno solo dei seguenti insiemi non definisce il numero naturale “5”; quale?

A = {x / x è una lettera della parola “roccia”};

B = {x / x è una lettera della parola “marina”};

C = {x / x è uno dei continenti della Terra};

D = {x / x è una lettera della parola “pareo”};

E = {x / x è una lettera della parola “calcio”}.

44) Individua tre insiemi che definiscono, rispettivamente, i numeri naturali 5, 9, 10.

45) Indica se, nell’insieme N, le seguenti affermazioni sono vere o false:

a) 11 è il precedente di 10 V F

b) 11 è il successivo di 10 V F

c) 12 è il precedente di 14 V F

d) 9 < 9 V F

109

e) 2 ≠ 6 V F

f) 302 è un numero dispari V F

g) 3024 è un numero pari V F

h) l’antecedente di un numero pari è dispari V F

i) 7 ≥ 7 V F

l) 252 è divisibile per 3 V F

46) Dire se ciascuna delle seguenti scritture è “corretta” o “non corretta”:

27 > 27 ……………………………

27 = 27 ……………………………

27 ≥ 27 ……………………………

27 < 27 ……………………………

27 ≤ 27 ……………………………

47) Traduci le seguenti frasi nella simbologia matematica:

a) 10 è diverso da 21 ………………………

b) 24 è minore di 27 ………………………

c) 35 è maggiore di 31 ………………………

d) a è maggiore di b ………………………

e) a è maggiore o uguale a b ……………..

f) x è uguale a 23 ………………………

g) x è minore o uguale a 8 ………………………

h) a è maggiore di 2 e minore di 7 ………….……………………

i) a è maggiore o uguale a b e minore di 10 ………………………

l) a è maggiore di 8 e minore o uguale a 12 ………………………

m) a è maggiore o uguale a 20 e minore o uguale a 30 ………………………

n) a è diverso da b ………………………

Inserire al posto dei puntini uno dei simboli “<” (minore), “ >” (maggiore), così da ottenere

relazioni corrette.

48) 3 ….. 5 15 ….. 21 12 ….. 10

49) 7 ….. 0 34 ….. 72 15 ….. 12

50) 0 ….. 7 25 ….. 15 26 ….. 28

51) 19 ….. 41 43 ….. 97 137 ..... 130

110

52) 2 ….. 640 89 ….. 88 72 ..... 124

53) 625 ….. 619 71 ….. 59 184 ..... 183

54) 2720 ….. 294 536 ….. 29 444 ..... 356

55) n − 1 ….. n n ….. n + 1 n + 3 ….. n + 2

56) 2n + 3 ….. 2 2n − 1 ….. 2n n − 3 ….. n − 4

57) 2n + 6 ….. 5 n − 10 ….. n − 12 5 − 2n ….. 0

58) Disponi in ordine crescente i seguenti numeri:

23 , 5 , 9 , 72 , 624 , 103 , 11 , 499 , 71 .

59) Disponi in ordine decrescente i seguenti numeri:

6 , 83 , 27 , 122 , 101 , 98 , 59 , 77 , 90 , 299 .

60) Scrivi il precedente ed il successivo di ognuno dei seguenti numeri naturali:

1 ; 7 ; 12 ; 152 ; 0 ; 3099 ; 99999 ; n ; n − 1 ; n + 2 .

61) Scrivi i numeri naturali n che soddisfano le seguenti relazioni:

a) n < 5 ……………………….....

b) n ≤ 5 ……………………….....

c) n > 5 ……………………….....

d) n < 1 ……………………….....

e) n ≤ 0 ……………………….....

f) 5 < n < 6 ……………………….....

g) 5 ≤ n < 11 ……………………….....

h) 5 < n ≤ 11 ……………………….....

i) 5 < n < 11 ……………………….....

l) 5 ≤ n ≤ 11 ……………………….....

m) n ≤ 1 ……………………….....

n) n < 0 ……………………….....

62) Rappresenta su una retta orientata (ricorda dalla teoria che per rappresentare l’insieme N è

sufficiente una semiretta ma … ) i seguenti numeri:

7, 0, 1, 9, 14, 10, 3 .

63) Rappresenta su una retta orientata i seguenti numeri:

111

0 , 70 , 10 , 120 , 50 , 115 , 20 .

Perché non è opportuno scegliere come unità di misura la stessa dell’esercizio precedente?

64) Completa la seguente tabella eseguendo in N l’operazione indicata:


– 0 1 3 5 10 18

0

2

9

10

15

18

20

66) Completa la seguente tabella eseguendo l’operazione indicata:

0 1 3 5 10 18

0

2

9

10

15

18

20

+ 0 1 3 5 10 18

0

2

9

10

15

18

20

Vi è qualche casella che rimane

“vuota”? Cosa puoi dedurre?



.



112


: 0 1 3 5 10 18

0

2

9

10

15

18

20

68) Riscrivi con i simboli della matematica le seguenti frasi e stabilisci se esse sono vere o false

come nell’esempio:

69) Inserisci al posto dei puntini il numero mancante e indica l’operazione eseguita per ottenere

quel numero:

a) 7 + … = 16 l’operazione eseguita è ……………….

b) 12 – … = 3 l’operazione eseguita è ……………….

c) …. + 23 = 35 l’operazione eseguita è ……………….

Se dal doppio di 12 si sottrae il triplo di 4 si ottiene 12. 2 ⋅⋅⋅⋅ 12 – 3 ⋅⋅⋅⋅ 4 =

= 12 V F

a) Aggiungendo 8 al quoziente fra 15 e 3 si ottiene la

differenza fra il quadruplo di 5 e il doppio di 3. V F

b) La somma fra la quarta parte di 24 e il doppio di 3 è

uguale alla differenza fra il triplo di 5 e 3. V F

c) Il doppio della somma fra 7 e 4, diminuito di 5, è

uguale al triplo di 6. V F

d) Il quadrato di 6, diminuito di 20, è uguale al quadrato

di 4. V F

e) Se al cubo di 3 aggiungi il quadrato di 5 ottieni il

triplo di 18. V F

f) Se moltiplichi il quadrato della differenza fra 15 e il

doppio di 5 per 3 ottieni un numero uguale alla somma

fra il doppio di 30 e il triplo di 5.

V F



×

113

d) …. ⋅⋅⋅⋅ 2 = 88 l’operazione eseguita è ……………….

e) ….. − 9 = 7 l’operazione eseguita è ……………….

f) 30 : …. = 5 l’operazione eseguita è ……………….

g) ...... ⋅⋅⋅⋅ 31 = 0 l’operazione eseguita è ……………….

h) ….. : 6 = 16 l’operazione eseguita è ……………….

Calcolare le seguenti espressioni in N:

70) 33 – 21 + 16 [ … ]

71) 24 – 3 + 12 – 10 [23]

72) 104 – 36 + 15 [83]

73) 87 – 40 – 27 [20]

74) 18 – 35 : 7 [ ... ]

75) 7 ⋅⋅⋅⋅ 9 – 6 ⋅⋅⋅⋅ 5 [ … ]

76) 21 : 3 – 14 : 2 [ … ]

77) 10 ⋅⋅⋅⋅ 2 – 2 ⋅⋅⋅⋅ 3 + 5 – 3 [16]

78) 49 : 7 + 18 : 9 – 20 : 20 [8]

79) 56 + 12 + (30 + 15 – 9) + 4 [108]

80) 34 – (25 – 6 + 10) – 5 [0]

81) (18 + 90 – 73) + 12 – (56 + 34 – 80) [37]

82) (12 + 4 ⋅⋅⋅⋅ 2) – (5 ⋅⋅⋅⋅ 4 – 5) : 3 [15]

83) (10 ⋅⋅⋅⋅ 2 – 2 ⋅⋅⋅⋅ 3 – 15 : 15) : (3 ⋅⋅⋅⋅ 5 – 28 : 2 – 1) [?]

84) (38 + 97) + [20 + (36 – 12)] + (12 + 72 – 80) [183]

85) 154 – [139 – (54 + 70) + 2] – (86 – 19) [70]

86) (29 + 54 – 10) – [(250 – 138) – (45 + 15 – 20)] [1]

87) 24 ⋅⋅⋅⋅ 3 + 12 ⋅⋅⋅⋅ 2 – 50 [46]

88) 2 ⋅⋅⋅⋅ (12 + 3) + 7 ⋅⋅⋅⋅ 2 – 20 [24]

89) 42 – [24 – (2 ⋅⋅⋅⋅ 3 + 8)] [32]

114

90) 7 + [(11 – 2 ⋅⋅⋅⋅ 5) + (6 + 3) ⋅⋅⋅⋅ 4 – 20] [24]

91) 54 + 3 – [46 – (20 ⋅⋅⋅⋅ 3 – 49) – (24 – 10 ⋅⋅⋅⋅ 2)] [26]

92) 54 – {36 – [10 + (7 ⋅⋅⋅⋅ 3 – 5) – 9] ⋅⋅⋅⋅ 2}– 38 [14]

93) (28 – 3 ⋅⋅⋅⋅ 7) + {12 ⋅⋅⋅⋅ 10 – [9 + (34 ⋅⋅⋅⋅ 12 – 26 ⋅⋅⋅⋅ 13) – (5 ⋅⋅⋅⋅ 12 – 58)]} [50]

94) 12 + 72 : 9 – 3 ⋅⋅⋅⋅ 4 + 21 – 14 [15]

95) [18 – 3 ⋅⋅⋅⋅ (3 ⋅⋅⋅⋅ 8 – 5 ⋅⋅⋅⋅ 4)] : (21 – 3 ⋅⋅⋅⋅ 5) [1]

96) {[12 – (15 : 3 + 5) + 4 ⋅⋅⋅⋅ 5] : 11 + (14 ⋅⋅⋅⋅ 5 : 10 + 12 : 4)} : (6 ⋅⋅⋅⋅ 8 – 5 ⋅⋅⋅⋅ 9) [4]

97) 64 : 16 ⋅⋅⋅⋅ {(7 ⋅⋅⋅⋅ 5 – 3 ⋅⋅⋅⋅ 5) ⋅⋅⋅⋅ (7 ⋅⋅⋅⋅ 2 – 4) : [(6 ⋅⋅⋅⋅ 9 – 27 ⋅⋅⋅⋅ 2) + (3 + 22 : 11)] ⋅⋅⋅⋅ (13 ⋅⋅⋅⋅ 3 – 12 ⋅⋅⋅⋅ 3)} [480]

98) [3 + (10 ⋅⋅⋅⋅ 4 – 19 ⋅⋅⋅⋅ 2 + 3)] : (28 : 7 + 12 : 3) [1]

99) {[21 – (44 : 11 + 24 : 3) + (6 ⋅⋅⋅⋅ 7 – 21) ⋅⋅⋅⋅ 2] : 17 + 12 ⋅⋅⋅⋅ 10 – 23} : (5 ⋅⋅⋅⋅ 5 – 15) [10]

Esempio

Sostituisci x con un numero naturale in modo che le seguenti relazioni siano vere:

a) x – 3 = 0; b) 2 ⋅⋅⋅⋅ x = 0; c) 2 ⋅⋅⋅⋅ x − 4 = 0.

a) La differenza fra due numeri naturali è 0 quando i due numeri naturali sono uguali; quindi x

deve essere uguale a 3.

b) Ricorda la legge di annullamento del prodotto: il numero richiesto è, dunque, 0.

c) La differenza fra due numeri naturali è 0 quando i due numeri naturali sono uguali; allora deve

essere 2 ⋅⋅⋅⋅ x = 4. Per ottenere x è sufficiente dividere i prodotto per 2: il numero richiesto è 2.

Sostituisci x con il numero naturale che rende vera ciascuna delle seguenti uguaglianze:

100) 1 ⋅⋅⋅⋅ x = 0 x + 0 = 0 x ⋅⋅⋅⋅ 0 = 0

101) x + 12 = 18 x : 9 = 27 20 : x = 10

102) 5 ⋅⋅⋅⋅ x + 2 = 22 2 ⋅⋅⋅⋅ x – 5 = 7 10 ⋅⋅⋅⋅ x + 1 = 31

103) 5 : 0 = x 0 : 5 = x 0 : 0 = x

104) 20 – (x + 2) = 12 2 ⋅⋅⋅⋅ (x – 3) = 0 26 + (x − 4) = 26

115

105) (x – 3) ⋅⋅⋅⋅ (x – 5) = 0 (2 ⋅⋅⋅⋅ x − 4) ⋅⋅⋅⋅ (x + 7) = 0 5 ⋅⋅⋅⋅ (x – 11) = 0

106) 3 ⋅⋅⋅⋅ (x + 2) = 0 4 ⋅⋅⋅⋅ (x − 1) = 16 9 − (x + 2) ⋅⋅⋅⋅ (x −1) = 9

107) (x – 3) : 5 = 0 6 : (x – 1) = 1 (x + 2) : 9 = 2

108) (2 ⋅⋅⋅⋅ x + 8) : 6 = 8 (x − 10) : 2 = 10 (4 − x) : 3 = 0

109) Barra con il segno ×××× le caselle corrispondenti alle operazioni che rendono vere le seguenti

proposizioni:

a) N è chiuso rispetto all’operazione

b) 1 è l’elemento neutro per l’operazione

c) 0 è l’elemento neutro per l’operazione

d) L’insieme P dei numeri pari è chiuso rispetto all’operazione

e) L’insieme D dei numeri dispari è chiuso rispetto all’operazione

f) L’operazione è commutativa in N

g) L’operazione è associativa in N

Per ciascuna delle seguenti operazioni indica la proprietà applicata:

110) 5 + 9 = 9 + 5 ………………………………………

111) 3 ⋅⋅⋅⋅ 9 ⋅⋅⋅⋅ 2 = 27 ⋅⋅⋅⋅ 2 ………………………………………

112) 12 + 7 + 13 = 12 + 20 ………………………………………

113) 225 : 45 = 25 : 5 ………………………………………

114) (12 + 5) ⋅⋅⋅⋅ 3 = 36 + 15 ………………………………………

115) a ⋅⋅⋅⋅ b = b ⋅⋅⋅⋅ a ………………………………………

116) (a + b) ⋅⋅⋅⋅ c = a ⋅⋅⋅⋅ c + b ⋅⋅⋅⋅ c ………………………………………

Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione o alla

sottrazione e, senza far uso della calcolatrice, determina il valore delle seguenti espressioni:

117) 15 ⋅⋅⋅⋅ (23 + 12)

118) (34 − 15) ⋅⋅⋅⋅ 24

119) 36 ⋅⋅⋅⋅ (42 + 65)

+

+

+

+

+

+

+

–

–

–

–

–

–

–

.

:

:

:

:

:

:

:

.

.

.

.

.

.

116

120) (108 − 76) ⋅⋅⋅⋅ 57

121) 45 ⋅⋅⋅⋅ (157 + 43)

122) 74 ⋅⋅⋅⋅ (238 − 145)

123) (45 − 21) ⋅⋅⋅⋅ 13

124) (32 + 12) ⋅⋅⋅⋅ 9

125) (43 + 56 + 21) ⋅⋅⋅⋅ 3

126) 13 ⋅⋅⋅⋅ (23 + 5 − 12)

127) (35 − 12 + 24) ⋅⋅⋅⋅ 17

Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione o sottrazione,

completa le seguenti uguaglianze in modo che risultino vere:

128) 3 ⋅⋅⋅⋅ (5 + 4) = 3 ⋅⋅⋅⋅ …… + …… ⋅⋅⋅⋅ 4 = …… + 12 = 27

129) 6 ⋅⋅⋅⋅ (9 − 2) = …… ⋅⋅⋅⋅ 9 − 6 ⋅⋅⋅⋅ …… = ….... −−−− …… = ……

130) …… ⋅⋅⋅⋅ (12 + 3) = 2 ⋅⋅⋅⋅ …... + 2 ⋅⋅⋅⋅ …... = 24 + …… = 30

131) 7 ⋅⋅⋅⋅ (…… − 4) = 7 ⋅⋅⋅⋅ ……−−−− 7 ⋅⋅⋅⋅ 4 = …… −−−− …… = 42

132) …… ⋅⋅⋅⋅ (15 − ……) = 6 ⋅⋅⋅⋅ …… −−−− …… ⋅⋅⋅⋅ 7 = …... − 42 = 48

Applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione o alla sottrazione e,

senza far uso della calcolatrice, determina il valore delle seguenti espressioni:

133) (32 + 44) : 4 (225 − 165) : 15

134) (36 + 180) : 12 (72 − 40) : 8

135) (385 − 245) : 14 (64 + 352) : 16

Calcola il valore delle seguenti potenze:

31; 18 ; 32; 25; 42; 40; 53; 120; 07.

136) Completa le seguenti uguaglianze come mostrato nel primo esempio:

105 = 100.000

107 = ………

102 = ………

101 = ………

117

137) Scrivi i seguenti numeri come potenze che hanno base 10:

10 = ………

1.000 = ………

100.000 = ………

100.000.000 = ………

138) Completa in modo da ottenere uguaglianze vere:

a) 75 ⋅⋅⋅⋅ 7… = 79 (35)… = 320

b) 125 : 4…. = 35 3… ⋅⋅⋅⋅ 4… = 123

c) (54 ⋅⋅⋅⋅ 54) 3 : 5… = 25

d) 164 = (80 : 5)4 = 80…. : 5….

e) (2… ⋅⋅⋅⋅ 34 ) 2 = 6….

f) 7….. = 74 + …. = 7…. ⋅⋅⋅⋅ 75

g) (72 ⋅⋅⋅⋅ 75)2 : (710 ⋅⋅⋅⋅ 7…) = 1

h) 37 = (.... : 6)7 = ….. …. : 6 ….

123) Le seguenti relazioni non sono corrette. Correggi gli errori :

a) 25 ⋅⋅⋅⋅ 24 : 23 = 217

b) (96 : 92)5 = 915

c) 156 + 154 = 1510

d) 215 : 75 ⋅⋅⋅⋅ 32 = 97

Risolvi applicando le proprietà delle potenze:

139) 32 ⋅⋅⋅⋅ 35 67 : 65 25 ⋅⋅⋅⋅ 44

140) (135 ⋅⋅⋅⋅ 136) : 1310 74 ⋅⋅⋅⋅ 79 : 710

141) (162 : 82) ⋅⋅⋅⋅ (123: 63)

142) ( ) 10234 2:22 ⋅ [24]

143) ( ) ( )33:33:3 2025 ⋅⋅ [1]

118

144) (75 ⋅⋅⋅⋅ 72)4 : [(73)2 ⋅⋅⋅⋅ 79] : 75 [78]

145) ( ) ( )53426 131313:13 ⋅⋅ [1315]

146) [(34)5 ⋅⋅⋅⋅ 33 : (32)0] : (37 ⋅⋅⋅⋅ 32)2 ⋅⋅⋅⋅ 36 [311]

147) (39 ⋅⋅⋅⋅ 33 ⋅⋅⋅⋅ 30) : (33)4 [1]

148) [510 ⋅⋅⋅⋅ (56 ⋅⋅⋅⋅ 55) : 519]0 [1]

149) {[(57⋅⋅⋅⋅ 53)2 : 515]2 : 56} 3 : 510 [ … ]

150) [(45 : 25)3 ⋅⋅⋅⋅ (123 : 63) ] : 210 [28]

Esempio:

Applicando le proprietà delle potenze, calcola il valore delle seguenti espressioni:

a) 23 ⋅⋅⋅⋅ (8 2 : 4)

b) 123 ⋅⋅⋅⋅ 16 ⋅⋅⋅⋅ 92

a) Riscrivi, prima, le basi di ciascuna potenza come potenza di 2 e, successivamente, applica le

proprietà delle potenze. Ottieni:

23 ⋅⋅⋅⋅ [(23)2: 22] ( ) 743263 2222:22 =⋅=⋅=

b) Scomponi in fattori le basi di ciascuna potenza e, successivamente, applica le proprietà delle

potenze e le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione. Ottieni:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 71043464433222432 32332232323232 ⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

Applicando le proprietà delle potenze, come nell’esempio, calcola il valore delle seguenti

espressioni:

151) ( )[ ] 532234 81:27981:927 ⋅⋅⋅ [322]

152) ( )[ ]{ } 233 32128:4:648:164 ⋅⋅⋅ [214]

153) 183 ⋅⋅⋅⋅ 252 ⋅⋅⋅⋅ 154 ⋅⋅⋅⋅ 8 [26 ⋅⋅⋅⋅ 310 ⋅⋅⋅⋅ 58]

154) ( ) ( )32432 2418:612 ⋅⋅ [217 ⋅⋅⋅⋅ 313]

155) [(36 : 93) ⋅⋅⋅⋅ 27]3 : 39 [ …]

156) [242 ⋅⋅⋅⋅ (43)5 : 32] ⋅⋅⋅⋅ 162 [244]

119

Calcola il valore delle seguenti espressioni, applicando, se possibile, le proprietà delle

potenze:

157) (35 : 27 + 9 ⋅⋅⋅⋅ 2) : {35 : 32 ⋅⋅⋅⋅ [15 – (4 ⋅⋅⋅⋅ 5 – 32) : 11 – (4 ⋅⋅⋅⋅ 2 – 50) ⋅⋅⋅⋅ 2 + 30]} [1]

158) [(34 – 25 – 52) : 23 + 32 ⋅⋅⋅⋅ 5 – 114 : 114 + 25 : 32] : (3 ⋅⋅⋅⋅ 24) + (113)0 [2]

159) {[(47 : 45 + 32)2 : 52 – (53 – 11 ⋅⋅⋅⋅ 10)2 : 32] : [(53 – 3)0 – (34 : 81)]} + 7 [Priva di significato]

160) {53 : 5 – 103 ⋅⋅⋅⋅ 10 : [153 ⋅⋅⋅⋅ 154 : 155 – (4 ⋅⋅⋅⋅ 8 + 62 – 54 : 53 ⋅⋅⋅⋅ 10 – 70 ⋅⋅⋅⋅ 3)2 + 10] 3 } 2 :

: [34 : 32 + 3 ⋅⋅⋅⋅ 2]2 [1]

161) {[(37 : 34)5 : (34 ⋅⋅⋅⋅ 33)] : 35 – 32 ⋅⋅⋅⋅ 2} : [(35)2 : 39] + {[(42 ⋅⋅⋅⋅ 3 – 25 + 2) : 6]2 + 30} : 5 [5]

162) Completa in modo che le seguenti relazioni siano vere (esempi pag. 52):

a) 2 ⋅⋅⋅⋅ … + ….. ⋅⋅⋅⋅ 10 0 = 23

b) …. ⋅⋅⋅⋅ 10 2 + 4 ⋅⋅⋅⋅ …. + …. ⋅⋅⋅⋅ 10 0 = 240

c) 4 ⋅⋅⋅⋅ .… + 2 ⋅⋅⋅⋅ …. = 402

d) 1 ⋅⋅⋅⋅ …. + … ⋅⋅⋅⋅ 10 + 3 ⋅⋅⋅⋅ …. = 1063

e) 2 ⋅⋅⋅⋅ …. + 3 ⋅⋅⋅⋅ …. = 2030

163) Scrivi in forma polinomiale i seguenti numeri naturali:

37; 245; 425; 3678; 12698; 13065; 1001 .

DIVISIBILITA’

164) Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:

a) Un numero è divisibile per 4 se lo è la somma delle sue cifre. V F

b) Un numero è divisibile per 5 soltanto se termina con 0. V F

c) Se l’ultima cifra di un numero è 6, esso è divisibile per 2. V F

d) Un numero che termina con 5 è divisibile per 5. V F

e) Un numero è divisibile per 3 se lo è il prodotto delle sue cifre. V F

f) Un numero pari è sempre divisibile per 4. V F

g) Un numero pari, multiplo di 5, è divisibile per 10. V F

120

h) Un numero pari tale che la somma delle sue cifre è multiplo di 3 V F

è divisibile per 6.

i) Un numero che termina con 4 o con 8 è divisibile per 4. V F

Scomponi in fattori primi i seguenti numeri:

165) 936 ; 2.646 ; 1.296 ; 60.480 ; 42.000 .

166) 12.000 ; 21.168 ; 13.552 ; 43.200 ; 1.690 .

167) 77.077 ; 23.625 ; 201.344 ; 4.900 ; 17.303 .

168) Determina il M.C.D. e il m.c.m.:

a) (792 ; 1.080) [72 ; 11.880]

b) (1.890 ; 4.620) [210 ; 41.580]

c) (3.840 ; 2.160 ; 5 40) [60 ; 34.560]

d) (4.536 ; 1.890 ; 1.260) [126 ; 22.680]

Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione o alla

sottrazione, riscrivi le seguenti addizioni o sottrazioni come prodotto fra un fattore esterno ed

una addizione o sottrazione fra numeri coprimi:

169) 60 + 198

170) 72 – 48

171) 819 − 294

172) 4500 − 2835

173) 1081 + 2940

174) 340 – 128

175) 216 + 660

176) 2450 + 3600

177) 8624 − 1872

178) 630 + 294

179) 220 + 165 – 330

180) 280 + 385 – 245

181) 210 + 60 + 90

121

L’INSIEME Z

182) Nella seguente tabelle n è un intero relativo; completala:

n precedente successivo

+ 5 … …

… – 8 …

…. … + 1

– 208 …. ….

…. + 11 ….

… … – 17

+ 21 … …

… … – 101

– a … …

a … …


a) Il successivo di un intero negativo può essere un intero positivo. V F

b) Il precedente di un intero positivo può essere un intero negativo. V F

c) Il successivo di un intero positivo è sempre un intero positivo. V F

d) Il precedente di un intero positivo può essere 0. V F

e) Il successivo di un numero non negativo è sempre positivo. V F

f) Il successivo di un intero negativo è sempre un intero negativo. V F

g) Il precedente di un intero positivo è sempre positivo. V F

h) Il successivo di un intero non positivo può essere positivo V F

i) Il precedente di un intero negativo è sempre un intero negativo. V F

l) Il precedente di un intero non positivo è sempre un intero negativo. V F

m) Il successivo di un intero negativo può essere 0. V F

n) Se il precedente ed il successivo di un intero n sono entrambi negativi, V F

allora n è un intero negativo.

o) Se il precedente ed il successivo di un intero b sono discordi, allora b è 0. V F

Inserisci al posto dei puntini uno dei simboli “<”, “ >”, in modo da ottenere relazioni vere:

184) – 3 ….. + 2 ; + 3 ….. + 2 ; 0 ….. – 1 .

185) – 12 ….. – 3 ; + 1 ….. – 4 ; – 5 ..... 0 .

186) – 205 ….. + 1 ; + 5 ….. + 3 ; + 72 ..... – 124.

187) 5− …. 1+ ; 3− …. 7− ; 5+ …. 1+ .

122

Sapendo che n < 0, completa inserendo al posto dei puntini uno dei simboli “<”, “>”, in

modo da ottenere relazioni vere:

188) n …. n − 1 ; − n − 1 …. n ; − n + 1…. 0

189) − n …. 0 ; − n ….. n ; − n + 1…. 1

190) |− n| …. 0 ; − |− n| − 1…. 0 ; |− n| + 1 …. 0

Scrivi in forma tabulare gli insiemi formati dai numeri interi che soddisfano le seguenti

relazioni:

191) – 2 ≤ a ≤ 3 A = { ……………… }

192) – 1 ≤ b < 2 B = { ……………… }

193) – 3 < c < + 3 ………………………

194) – 1 < d ≤ 3 ………………………

195) – 7 ≤ e < – 1 ………………………

196) + 2 ≤ f < + 3 ………………………

197) + 6 < g < 7 ………………………

198) + 2 < h < + 3 ………………………

199) – 7 ≤ m ≤ – 1 ………………………

200) − 5 < n < − 4 ………………………

201) − 1 < p ≤ 0 ………………………

202) Scrivi prima in ordine crescente e, successivamente, in ordine decrescente i seguenti interi:

− 4 ; + 3 ; − 5 ; + 10 ; − 11 ; 0 ; − 1 ; + 2 .

203) Rappresenta su una retta orientata i seguenti interi:

− 5 ; + 4 ; + 1 ; − 3 ; + 6 ; − 2 ; 0 .

204) Completa la seguente tabella:

– 7 + 1 – 103 – 1 – 4 0 + 12 – 5 + 5 + 10

scrivi l’opposto di ciascun numero

scrivi l’opposto dell’opposto di ciascun numero

scrivi il modulo di ciascun numero

scrivi il modulo dell’opposto di ciascun numero

scrivi l’opposto del modulo di ciascun numero

123

Le operazioni in Z

205) Completa le seguenti tabelle:

a b a + (– b) − a + b – a + (– b)

– 12 + 7

+ 1

– 2

+ 5

a b a – b b – a – a – b

– 5 – 9

+ 7 – 12

– 4 – 6

+ 8 + 12

– 13 + 15

– 10 + 3

+ 6 – 1

Completa in modo che le seguenti relazioni siano corrette:

206) (− 5) + (……) = 0 ; (+12) − (……) = + 16 ; (…..) − (− 15) = + 30 .

207) (+ 18) + (…..) = + 25 ; (…...) + (− 8) = − 20 ; (− 24) − (…..) = 0 .

208) (− 58) − (…..) + (+ 32) = + 7 ; (……) + (− 24) + (− 18) = − 64 .

Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni di numeri interi:

209) (– 10) + (– 8) ; (– 12) + (+ 9) ; (+ 15) + (– 20)

210) (+ 8) – (+ 7) ; (+ 12) – (– 5) ; (+ 4) – (– 9)

211) (+ 7) + (+ 2) ; (+ 12) + (+ 7) ; (– 3) + (+ 3)

212) ( − 4) − (+ 21) ; (+ 32) − (+ 45) ; (−24) − (−9)

213) (– 11) – (+ 4) ; (– 9) – (– 7) ; (− 5) – (– 5)

214) (+7) + (−5) − (+ 6) ; (−3) + (−12) + (+ 21)

215) (– 102) – (– 305); (+ 97) – (– 101) ; (−304) – (– 703)

216) (−12) − (− 45) − (+ 23)

217) (+ 7) + (+ 2) + (– 8) + (– 5) + (+ 3)

124

218) (– 3) + (– 5) + (– 1) + (– 4) + (– 12)

219) (+ 7) + (+ 1) + (+ 3) + (+ 9)

220) (− 201) + (+ 172) + (– 36) + (+ 55)


a b – a – b a b a− b− a + b a + (– b) a + b ba +

– 7 – 4

+ 3 – 5

+ 2 + 6

– 12 + 10

– 9 – 9

0 − 15

− 8 + 8

222) Dal confronto delle ultime due colonne dell’esercizio precedente stabilisci quali delle

seguenti relazioni è vera:

a) a + b < ba + ;

b) a + b > ba + ;

c) a + b = ba + ;

d) a + b ≤ ba + ;

e) a + b ≥ ba + .

Esegui le seguenti somme algebriche:

223) (– 7) + (+ 3) – (– 12) + (– 3) – (– 5) [+ 10]

224) (– 23) – (– 21) + (– 2) – (– 13) + (– 12) [– 3]

225) – 8 – 5 – 12 + 7 – 9 + 5 [– 22]

226) – 121 + 102 – 37 – 12 + 47 [– 21]

227) – (– 7 + 2) + (– 9 + 4 – 2) + 2 [0]

228) – { – [– (– 12 + 3) – (– 8 + 9) + (+ 5 – 7)] – 3} – 8 [+ 1]

229) – { – [– (– 1 – 5)] – [– (– 7 + 8)] – 3} – 8 [0]

230) 26 – {– [– 5 – (– 7 – 21 + 6) + (– 9 – 2)] – [– 7 – (– 10 – 7) – (– 3 + 5)] + 5} – 14 [+ 21]

125

Riscrivi le seguenti espressioni togliendo tutte le parentesi e, successivamente, calcolane il

valore (esempi pag. 75):

231) − [− (5 + 8 − 2) + (7 + 12 − 20 − 4)] − (− 2 + 6 + 11)

232) − {− 15 + [−12 + 3 − ( 7 − 25) + 14] − 21} + 8

233) 32 + {− 15 − [5 + (24 − 16 + 7) – 13] – 20 − (− 7 + 18)}+ 10

234) − {− [− (−2 – 7 – 3) + 21− 4] – 16} + [− (− 5 – 8) + 25] + 1

235) − 3 + {− 1 − [1 – 5 – 12 + (5 – 14 – 6) + 8] – 4} − (− 13 – 21 + 33)

236) Completa la tabella:

a b a ⋅⋅⋅⋅ b a ⋅⋅⋅⋅ (– b) (– a) ⋅⋅⋅⋅ b (– a) ⋅⋅⋅⋅ (– b)

– 2 + 3

– 10 – 2

+ 7 – 3

+ 1 – 5

– 0 – 4

0 0

+ 3 + 5

Esegui le seguenti moltiplicazioni:

237) (+ 7) ⋅⋅⋅⋅ (+ 12) ; (− 7) ⋅⋅⋅⋅ (+ 9) ; (– 5) ⋅⋅⋅⋅ (– 9) .

238) (– 18) ⋅⋅⋅⋅ (− 32) ; (+ 15) ⋅⋅⋅⋅ (– 12) ; (− 25) ⋅⋅⋅⋅ (– 1) .

239) (– 7) ⋅⋅⋅⋅ (– 5) ⋅⋅⋅⋅ (− 3) ; (– 2) ⋅⋅⋅⋅ (+ 3) ⋅⋅⋅⋅ (– 4) ⋅⋅⋅⋅ (– 1) ⋅⋅⋅⋅ (+ 10) .

Calcola il valore delle seguenti espressioni:

240) (+ 3) ⋅⋅⋅⋅ (– 5) – {– [– 7 ⋅⋅⋅⋅ (– 3 + 2) – 6 ⋅⋅⋅⋅ (– 5 + 7)] + 11} ⋅⋅⋅⋅ (– 1) + 3 [+ 4]

241) (+ 5 – 3) ⋅⋅⋅⋅ [– 2 + (– 2 + 7 + 4) ⋅⋅⋅⋅ (– 2)] + (– 2 – 5) ⋅⋅⋅⋅ [(– 3) ⋅⋅⋅⋅ (– 6 + 10 – 1 )] [+ 23]

242) (– 4 + 7) ⋅⋅⋅⋅ [– 3 – 2 + (– 3) ⋅⋅⋅⋅ (– 5 + 3) ⋅⋅⋅⋅ (3 + 5) – 1] + (+ 3) ⋅⋅⋅⋅ (– 2) [+ 120]

243) {− 3 ⋅⋅⋅⋅ [2 + (− 5 − 3) ⋅⋅⋅⋅ 3 − (− 6 + 2)] ⋅⋅⋅⋅ (− 2) – 10} ⋅⋅⋅⋅ (2 – 4) [+ 236]

126


a b a : b a : (− b) (− a) : (− b) (− a) : b (− a) : (− a)

+ 28 − 7

− 33 + 11

− 30 − 6

− 35 + 5

− 52 − 13

+ 48 + 8

0 − 6

+ 12 − 1

Esegui le seguenti divisioni:

245) (− 9) : (+ 3) ; (+ 24) : (− 8) ; (− 32) : (− 8) ; (+ 49) : (− 7) .

246) (− 252) : (− 9) : (− 4) ; [(− 63) : (− 7)] : (+ 9) ; (− 56) : [(+ 36) : (− 9)] .

247) − 48 : [− 42 : (− 7) ] : [(− 16 : (+ 4)]; + 16 : {[− 20 : (+ 5)] : [− 6 : (− 3)} : [(− 4) : (− 4)] .

Completa in modo che le seguenti relazioni siano corrette:

248) (− 4) ⋅⋅⋅⋅ (…..) = − 36 ; (… 7) ⋅⋅⋅⋅ (+ ….) = − 56 ; (+ ….) ⋅⋅⋅⋅ (… 9) = + 63

249) (− ….) ⋅⋅⋅⋅ (… 45) = − 45 ; (−….) ⋅⋅⋅⋅ (… 42) = + 294 ; (+ 43) ⋅⋅⋅⋅ (…..) = 0

250) (+ ….) : (… 8) = − 9 ; (…45) : (+ 3) = − …… ; (− … ) : (… 12) = + 9

251) (+ ….) ⋅⋅⋅⋅ (… 1) = − 37 ; (… 27) ⋅⋅⋅⋅ (− 13) = …; (− ….) ⋅⋅⋅⋅ (…25) = + 100

252) (+ 35) : (…. ) = + 7 ; (− ….) : (… 14) = + 1 ; (……) : (+ 16) = 0

253) (+….) ⋅⋅⋅⋅ (…7) ⋅⋅⋅⋅ (+ 12) = − 252 ; (− 9) ⋅⋅⋅⋅ (… 12) ⋅⋅⋅⋅ (− ….) = − 324

254) (+ 12) : (− ….) ⋅⋅⋅⋅ (… 7) = + 21; (+ 14) ⋅⋅⋅⋅ (− …) : (… 10) = − 7

Calcola il valore delle seguenti espressioni:

255) [3 ⋅⋅⋅⋅ (6 − 8) + 10 : (− 2 )] ⋅⋅⋅⋅ (− 2) – [3 ⋅⋅⋅⋅ 5 + 3 ⋅⋅⋅⋅ (− 4) – (+ 20) : (− 5)] – 5 [10]

256) {− [− (− 7 + 4) ⋅⋅⋅⋅ (5 – 7) – (− 20) : (− 10)] ⋅⋅⋅⋅ (− 10) + (− 10 + 2) ⋅⋅⋅⋅ (− 7 – 2 )} : (− 8 + 6) [4]

257) {− [− (− 5 + 4) ⋅⋅⋅⋅ (− 2) − (− 72) : 3 : (− 6)] ⋅⋅⋅⋅ [(− 8) : 2 – (− 4 ⋅⋅⋅⋅ 3 + 2)] + 4} : (− 10) [− 4]

258) {[(− 10) : 5 – 12 : 3 – 8 : (− 2)] ⋅⋅⋅⋅ (4 – 10) – (− 12) : ( − 3)} − {[(− 8) : (− 2) +

+ 8 ⋅⋅⋅⋅ (− 10) : 5 – (+ 40) : (− 10) : 2] – 2} : (− 2 + 5) – 4 [8]

127

Traduci in espressioni le seguenti frasi e calcolane il valore:

259) Aggiungi il quadruplo di – 2 alla differenza tra il triplo di – 3 e il doppio di 2. [– 21]

260) Somma il prodotto di 3 per la somma tra 3 e il doppio di – 2 alla differenza tra 9 e il

quadruplo di – 2. [+ 14]

261) Sottrai il triplo di − 5 dal prodotto fra 15 e – 9; successivamente dividi il numero

ottenuto per l’opposto della somma fra il doppio di –14 e il triplo di 6. [– 12]

262) Moltiplica per –10 la somma fra il successivo del doppio di –3 con il precedente di 8;

dividi il numero così ottenuto per la quinta parte della differenza fra il quadruplo di 8

e il doppio di 11. [–10]

Sostituisci x con il numero intero che rende vera ciascuna delle seguenti uguaglianze (ricorda

l’esempio di pag.113):

263) x + 21 = 0; − x − 10 = 0; − x + 12 = 0 3 ⋅⋅⋅⋅ (− x) = 0

264) 3 ⋅⋅⋅⋅ x + 2 = 14; 4 ⋅⋅⋅⋅ (− x) = 4; − 6 ⋅⋅⋅⋅ x = − 6; − 8 ⋅⋅⋅⋅ x = 8

265) (x + 3) ⋅⋅⋅⋅ (x – 1) = 0; (5 – x) ⋅⋅⋅⋅ (x + 1) = 0

266) x ⋅⋅⋅⋅ (2 ⋅⋅⋅⋅ x + 6) = 0; − x ⋅⋅⋅⋅ (4 ⋅⋅⋅⋅ x + 8) = 0

267) (− 5) ⋅⋅⋅⋅ (x – 7) = 35; (3 ⋅⋅⋅⋅ x – 6 ) ⋅⋅⋅⋅ 2 = − 8

268) (+ 7) ⋅⋅⋅⋅ (− 5 – x) = − 49; [2 ⋅⋅⋅⋅ (− x) + 7] ⋅⋅⋅⋅ 5 = 25

Applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma algebrica,

completa le seguenti uguaglianze in modo che risultino vere:

269) − 64 + 36 = + 4 ⋅⋅⋅⋅ (− …. + 9) ; − 64 + 36 = − 4 ⋅⋅⋅⋅ (16 − …. )

270) − 64 − 72 = … 4 ⋅⋅⋅⋅ (… 16 + ….) ; …… − 56 = − 8 ⋅⋅⋅⋅ (− 9 ... ….)

271) 45 − ….. = ... …. (− 5 … 2) ; − 144 + ….. = … …… (− 9 + 5)

Riscrivi le seguenti somme algebriche come prodotto fra un intero negativo ed una somma

algebrica fra interi i cui moduli siano coprimi:

272) − 45 − 9 ; 243 − 63 ; 125 + 30

273) − 315 + 49 ; −180 + 25 ; − 48 − 96

274) − 81 − 36 ; − 121 + 11 ; 42 − 84

128

Riscrivi le seguenti somme algebriche come prodotto fra un intero positivo ed una somma

algebrica fra interi i cui moduli siano coprimi:

275) − 450 + 1620 ; −1323 + 252 ; 675 + 50

276) − 256 − 64 ; 297 − 66 ; 45 − 450

277) 84 + 42 ; − 150 + 65 ; − 120 − 60

Calcola le potenze indicate:

278) (− 2)5 ; (− 1)11 ; (− 1)6 ; − (− 2)4 ; − (− 2)5

279) (+ 7)3 ; (− 5) 3 ; (− 4)2 ; − (− 7)2 ; − (− 1)9

280) − 13 ; − 34 ; (− 3)4 ; 0 5 ; (−12)0 ; − (+ 2)3

Calcola il valore delle seguenti espressioni utilizzando le proprietà delle potenze:

281) (− 3) 5 : (− 3) 2 ; (− 2) 7 : (− 2) 4 ; (− 5) 5 : (+5) 3 ; (− 2) 3 ⋅⋅⋅⋅ (− 2) 4

282) ( )[ ] 322− ; ( ) ( )[ ] 3

45 7:7 −− ; ( ) ( )[ ] ( )142

35 4:44 ++⋅+

283) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )723

325

37 3:33:3:3 −

−⋅−−− [− 33]

284) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )2 2 33 3 3 2 6

16 : 4 : 4 : 4 : 2 − − − − − + −

[−1]

285) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }44 5 4 3 5 515 10 5 : 2 9 3 : 5 5 : 5 :3 − ⋅ + ⋅ − − ⋅ + +

[33]

286) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )1023223

223323 4745647:355:54:4 −+−−−⋅−−

⋅−+−⋅−+− [0]

287) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )123

27202683

45

47 3:3:322.23:322:2:242 −−−+−⋅−+−−+−−−

[86]

129

L’insieme Qa

288) Associa ad ogni classe la frazione ad essa appartenente:

a)

7

3 b)

3

1 c)

8

11 d)

9

5 e) [8]

1) 27

15 2)

24

33 3)

33

264 4)

18

6 5)

56

24

289) Per ciascuna delle seguenti classi scrivi quattro frazioni ad essa appartenenti:

9

7 ; [3] ;

15

9 ;

8

3 ; [1]

Completa in modo che le seguenti relazioni risultino vere:

290) 4

1 =

......

6 =

48

...... =

.......

15 =

16

......

291) 3

5 =

9

....... =

........

20 =

........

35 =

36

......

292) 24

36 =

12

...... =

.......

9 =

......

3 =

4

......

293) 5 = ......

20 =

3

...... =

......

80 =

12

......

294) Completa la tabella inserendo in maniera opportuna le frazioni elencate a sinistra:

5

3;

5

15;

3

8;

9

3;

8

5;

4

20;

7

15;

39

13;

13

39;

12

7;

32

5;

10

20;

17

17;

21

23.

Completa in modo da ottenere coppie di frazioni appartenenti alla stessa classe:

295) 27

9

3

.... = ; 18

12

....

4 = ; ....

10

9

5 =

296) 5

....

25

20 = ; ....

28

15

12 = ; .....

10

52

26 =

297) 56

21

32

.... = ; 36

....

27

6 = ; 8

.....

12

30 =

Frazioni proprie 5

3

Frazioni improprie 3

8

Frazioni apparenti 4

20

130

Fra le seguenti frazioni individua quelle che non sono ridotte ai minimi termini e riducile:

298) 6

21 ;

25

12 ;

24

46 ;

27

56 ;

45

72 ;

81

121 ;

48

64

299) 116

58 ;

32

45 ;

128

81 ;

135

162 ;

65

54 ;

200

120 ;

56

145

300) 33

46 ;

231

121 ;

180

99 ;

79

42 ;

81

124 ;

32

24 ;

26

91

Completa, inserendo i simboli “ >, <, = ” in modo che le seguenti relazioni siano vere:

301) 8

7 …

10

9;

15

45 …

24

72;

5

3 …

6

7

302) 7

11 …

2

3;

18

24 …

48

54;

7

12 …

70

120

303) 81

36 …

56

24;

28

16 …

21

12;

13

5 …

13

7

304) 17

15 …

17

12;

7

8 …

10

8;

24

15 …

16

10

305) 15

12 …

25

21;

8

15 …

10

13;

15

20 …

10

8


Numero Frazione generatrice

8,6 ……

3,6 ……

…… 25

3

…… 40

1

2,34 ……

…… 15

7

0,13 ……

131

307) Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri razionali assoluti:

4

3; 12,0 ;

8

5; 3;

9

12; 65,2 ;

4

5;

18

36;

24

16;

12

27

308) Scrivi in ordine decrescente i seguenti numeri razionali assoluti:

5

3;

4

5; 2; 54,1 ;

8

9; 84,3 ;

3

2;

9

35;

4

9;

10

21

309) Qual è il maggiore fra i numeri 2,5; 5,2 ; 50,2 ? E il minore fra 762,3 ; 627,3 ; 276,3 ?

Esegui le operazioni indicate e, se possibile, riduci ai minimi termini i risultati ottenuti:

310) 7

4

7

3 + ; 10

13

5

9 − ; 25

9 + ; 4

1

12

7 +

311) 16

2 +

6

5 ;

10

3 +

45

6 ; 4 +

24

10 +

36

10 ;

15

17

6

11−

312) 8

7 +

6

2 ; 5 −

3

7 ;

2

1

4

1

3

2 −+ ; 7

53

+

313) 4

9 ⋅⋅⋅⋅ 2

3 ;

5

3 :

9

4 ;

16

21 ⋅⋅⋅⋅

15

8;

25

12 :

35

8

314) 7

3 ⋅⋅⋅⋅

9

14 ;

8

5 ⋅⋅⋅⋅

3

10 ⋅⋅⋅⋅ 25

12 ; 27

55 ⋅⋅⋅⋅ 35

42 ⋅⋅⋅⋅

154

36 ⋅⋅⋅⋅ 8

3

315) 15

68 :

20

34 ;

50

98 :

25

14 :

12

28

316) 12

73− ; 1

2

5

25

14 −⋅ ; 24

3:

12

5 + ; 25

34 −⋅

317) 18

113,2 − ;

5

241,0 + ; 36,1

6

13− ; 6

772,15,0 −+

Determina il valore delle seguenti espressioni:

318) 8

9 −

10

5 −

12

5 −

24

1

1

6

319) 4

3

3

1

9

5 +− 35

36

320)

++

++

+8

6

2

1

5

6

3

5

6

2

10

8

21

4

321) 16

9

3

4

2

5 ⋅− 7

4

132

322) 3

10

5

2

9

73 ⋅−⋅ [1]

323) 15

11

5

6

8

3

3

2 +⋅

− 13

12

324) 60

41

2

1

5

41

20

7

5

1

2

3

4

3

12

5

10

7 −

+−+

−−+

+− [2]

325) 8

9 ⋅⋅⋅⋅

−+−

+2

3

4

7

10

6

60

9

4

5 29

40

326)

+4

78 ⋅⋅⋅⋅

−−26

15

13

162 ⋅⋅⋅⋅

−−

−−8

71

12

5

15

9

2

3 25

32

327) 3

7

7

4

4

3

3

1

5

2

4

5 ⋅+

+

−⋅ 13

6

328)

−

−+8

3

12

7:

6

5

4

5

8

5 [5]

329) 9

8

4

1

2

1

5

3

10

9:

3

22

10

7

5

9 ⋅

++

−

−⋅− 32

9

330) Calcola il valore delle seguenti potenze:

3

5

2

; 2

4

3

; 2

6

1

; 4

3

2

Applicando le proprietà delle potenze, calcola il valore delle seguenti espressioni:

331) 3

2

3

⋅⋅⋅⋅ 4

2

3

; 5

4

3

⋅⋅⋅⋅ 3

4

3

; 3

9

7

⋅⋅⋅⋅ 3

14

12

332)

52

3

2

;

7

5

3

: 4

5

3

; 6

3

2

: 6

9

4

333) 5

3

14

⋅⋅⋅⋅ 5

28

9

: 3

2

3

;

23

5

2

⋅⋅⋅⋅ 6

4

15

:

22

2

3

334) 4

4

5

⋅⋅⋅⋅ 4

5

6

⋅⋅⋅⋅ 2

3

2

3

:

24

2

3

:

2

2

3

[1]

133

Determina il valore delle seguenti espressioni, applicando, se possibile, le proprietà delle potenze:

335) 2233

5

2

2

1

5

4

2

3

⋅

+

⋅

221

125

336) 33

34

9

4

2

33:3

⋅

− 73

27

337) 3522

4

3:

4

3

3

10:

4

5

+

45

64

338)

⋅+

−

⋅

34033

5

4:

5

4

8

15

9

2

7

3

9

14

5

2

339) 22

2

3

53

2

11:

2

1:

8

4

10

7:

4

31

9

8

2

33

−⋅−

+

−−⋅

− 13

6

340)

−++

+

++ 10:25

3

2

1

10

29:

5

1710:

5

2:

5

232

22

2322 [5]

L’insieme Q

341) Siano a e b numeri razionali; completa le seguenti tabelle:

a − a |a| − |a| a

1 −

a

1 −

a

1

4

3−

2

5

7

0

− 3

134

a b a + b a − b a ⋅⋅⋅⋅ b a : b a

1 ⋅⋅⋅⋅b

1

ba

11 + −a

1:b

1

4

9

3

2

2

5− 4

3

6

5− 4

7

5

9 − 1

342) Scrivi in ordine decrescente i seguenti numeri razionali:

7

12− ; 3,1− ; 5

4 ; − 0,85 ;

7

10 ;

5

6 ; − 4 ;

2

1 .

343) Stabilisci se sono vere o false le seguenti affermazioni:

a) Tutti i numeri razionali ammettono opposto. V F

b) Esiste il reciproco di qualsiasi numero razionale. V F

c) Esiste un numero razionale che è uguale al suo reciproco. V F

d) Il prodotto fra un numero razionale e il suo reciproco è sempre 0. V F

e) Il reciproco di un numero razionale a, se esiste, è sempre minore di a. V F

f) Il reciproco di un numero razionale, se esiste, è sempre minore di 1. V F

g) Un numero razionale e il suo reciproco, se esiste, sono discordi. V F

h) Sia a un numero razionale tale che 0 < a < 1, allora a

1 > 1. V F

i) Siano a, b due numeri razionali, diversi da zero, tali che a < b, allora ba

11 > . V F

l) Sia a un numero razionale tale che a < − 1, allora 11 <a

. V F

Completa, inserendo i simboli “ >, <, = ” in modo che le seguenti relazioni siano vere:

344) 5

7− …. 3

4− ; 8

3 ….

7

4− ; 13

12 …. 48,0

345) 2

5 ….

2

7;

2

5 ….

3

8; − 1,25 ….

4

5−

346) 3,2− …. 3

7;

4

7− …. 3

7− ; 6 ….5

36; −5 ….

4

21−

135

Esegui le seguenti operazioni:

347) 4

3

18

7 + ; 6

5

24

13 +− ; 5

23−− ; 2

7

4 −

348) 5

4

3

21 +− ;

6

52

4

3 ++− ; 10

7

2

3

5

12 ++

349) 18

5

6

1

12

5

9

4 ++− ; 10

3

15

7

5

3 +− ; 12

5

16

5

4

7

8

9 +−−

350) 4

7

2

1

5

3 −+ ; 6

7

4

5

3

2 −+− ; 6

5

18

11

12

5 +− ; 3

1

5

22 −−−

351) 5

9 ⋅⋅⋅⋅

4

15 ;

−9

14 ⋅⋅⋅⋅

−8

27 ; 12

25 ⋅⋅⋅⋅

−15

32 ⋅⋅⋅⋅

−5

2

352) 7

12− :

−14

27 ; −8 :

4

15 ;

8

3− : 5

4 ⋅⋅⋅⋅

35

24

353) 16

45− ⋅⋅⋅⋅

−27

8 ⋅⋅⋅⋅ 10

3 ; 13

3:

−2

9 :

18

5

354)

− 45

2 ⋅⋅⋅⋅

+−2

7

8

3 ;

13

5− ⋅⋅⋅⋅

+−10

7

4

3 ⋅⋅⋅⋅

− 33

7

355) 36

17 :

−9

2 ;

−2

1 :

−3

2 ; −3 :

5

6 ;

4

5 : (− 4)

356)

−7

3 :

−4

21 ⋅⋅⋅⋅

5

6 ; − 2 ⋅⋅⋅⋅

−9

4:

27

8

357) 7

3 :

−+

−7

3

6

5

14

9

21

5 ;

25

14− ⋅⋅⋅⋅

+−−

− 12

3

7

32 :

5

8

358) 8

25 :

− 52

15 ;

+− 27

4 :

−28

25 ;

+− 210

3

5

1 :

+−3

4

4

3

359)

+−−6

7

3

1

5

2 ⋅⋅⋅⋅

5

7

13

12 −

− 9

5 −

360)

−

⋅

−−−

−

−

+⋅

++−15

13:

5

64

2

72

20

13:

4

1

26

27

13

9

2

3

6

1

5

4

14

13

136

361)

+−+

−

−

−

+−+⋅

−−4

13

3

8

15

16:

2

7

36

5:

6

17

4

13

2

27

18

7

12

53

4

3

362) 4

1

2

32

5

93

2

1:

5

1

4

1

3

23

2

3 +−

+

+

−−

−⋅

− 3

14 −

Stabilisci se sono vere o false le seguenti affermazioni:

363) Aggiungi ai 4

3 di

3

2 l’opposto del doppio di

6

5; dividendo, poi, il numero così ottenuto per

il reciproco di 6 ottieni l’opposto di 7. V F

364) Se sottrai dai 5

7 di

3

5 i

4

3 della differenza fra 2 e

2

1 ottieni la metà di

12

27. V F

365) Il prodotto fra la differenza tra 6

5 e 1 e i

3

5 della somma fra 2 e

3

4 è maggiore della terza

parte della somma fra 9

5 e

3

10− . V F

366) Il quoziente tra la somma di 4

3 e 2 con i

13

5 della differenza tra 3 e

5

2 è uguale alla

differenza tra 3 e 4

1 . V F

367) Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?

a) Il cubo dell’opposto di un numero razionale è uguale all’opposto del cubo del numero

stesso.

b) Il quadrato dell’opposto di un numero razionale è uguale all’opposto del quadrato del

numero stesso.

c) Il quadrato del reciproco di un numero razionale, diverso da zero, è uguale al reciproco del

quadrato del numero stesso.

d) Il cubo di un numero razionale può essere uguale all’opposto del cubo del modulo del

numero stesso.

e) L’opposto del quadrato di un numero razionale è uguale all’opposto del quadrato del

modulo del numero stesso.

137

368) Calcola il valore delle seguenti potenze:

2

7

3

+ ; 4

3

1

− ; 0

9

4

− ; 3

5

2

− ; 3

2

5

+ ; 1

13

6

− ; 3

4

1

−

Esegui le seguenti operazioni applicando le proprietà delle potenze e lasciando il risultato

sotto forma di potenza:

369) 3

3

2

− ⋅⋅⋅⋅ 4

3

2

− ; 5

4

1

+ : 7

4

1

+ ;

42

9

7

− ; 4

5

1

+ : 4

10

3

−

370)

03

9

4

+ ; 5

7

3

− ⋅⋅⋅⋅ 5

25

14

− ; 5

7

5

+ : 8

7

5

+ ; 3

8

3

+ ⋅⋅⋅⋅ 3

8

3

−

371) 4

5

3

− : 4

5

12

+ : 5

4

1

− ; 3

7

3

+ ⋅⋅⋅⋅ 5

7

3

+ :

+⋅

+64

7

3

7

3

372) 114

355

8

3:

3

1:

9

2

2

3

+

−

+⋅

−

373)

022

8

15:

3

5

+

− ⋅⋅⋅⋅ 2

333

5

6:

5

9

2

3

−

+⋅

−

374) Calcola il valore delle seguenti potenze con esponente negativo (esempi, pag. 91):

3

2

1−

− ; − 4− 1 ; 4

3

2−

− ; 4

3

2−

− ; 2

3

5−

+ ; (− 5)− 4; − 1− 4; (− 1)− 4

375) Trasforma le seguenti potenze con esponente negativo in potenze con esponente positivo:

(−3)−2; 6

7

4−

; 5−3; 4

3

1−

− ; 8

4

5−

; 3

25

1−

− ; 5

8

9−

−

376) Trasforma le seguenti potenze con esponente positivo in potenze con esponente negativo:

4

5

3

− ; 52; 5

9

7

; 8

5

2

− ; (− 4)9; 12

3

7

; 6

7

5

−

138

Esempio:

a) Scriviamo la frazione 5

3 sotto forma di prodotto.

b) Scriviamo la potenza 3

7

2

sotto forma di prodotto.

a) Una frazione è il prodotto fra il numeratore e il reciproco del denominatore; quindi:

35

3 = ⋅⋅⋅⋅ 5

1; ma

5

1 = 5−1, dunque

5

3 = 3 ⋅ 5−1

b) Per quanto visto al punto a), 3

7

2

= (2 ⋅⋅⋅⋅ 7 -1)3 = (applicando la proprietà distributiva delle

potenze) = 2 3 ⋅⋅⋅⋅ 7–3.

In definitiva 3

7

2

= 2 3 ⋅⋅⋅⋅ 7 –3.

377) Riscrivi le seguenti frazioni sotto forma di prodotto come nell’esempio:

5

4

3

; 4

9

5−

− ; 3

1;

13

9;

3

12

7

− ; 13

4− ; 7

9

2−

Applicando le proprietà delle potenze, semplifica le seguenti espressioni (esempi, pag. 91 e

successive):

378) ( )63

5:5

1 −

−

; 53

4

9

9

4

⋅

; 54

9

13

13

9−

−⋅

379) ( ) 35

12:12

1 −−

; 52

5

7

7

5

⋅

− ; 2

3

9

1:9

−−

380) 23

3

2

2

3

⋅

− ; ( )24

5:5

1 −

−

; 46

5

8

8

5

−⋅

−−

381) 125

11

6:

11

6

11

6−−

−⋅

−

382) ( )2

53

4

8

18

8

1:8

⋅−⋅

−−

139

383) 3 6

2 1 14 :

4 4− ⋅ −

[− 4]

384) 75243

2

3:

3

2

2

3

3

2

−

−⋅

−⋅

[− 1]

385) ( )12 7

4 51 13 : 3

3 3

−− − ⋅ ⋅ −

43 −

386)

232 3 4 42 5 2 5

: :5 2 5 2

−− − ⋅ −

6

2

5

387) 3 2 3 4

7 4 7 4: :

4 7 4 7

− − − ⋅ −

2

4

7

−

388) ( ) ( ) ( )12 32 5 4 4 4

5 3 331 1 1 1 12 : : 2 2 2 :

2 2 2 2 2

− −− − −−−

− ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − −

[−27]


a) − 5− 3 ⋅⋅⋅⋅ 53 = 0 V F

b) − 53 ⋅⋅⋅⋅ 5− 5 = 52 V F

c) ( )4

4

5

15 =− − V F

d) 5 −3 : (− 5)−3 = 0 V F

e) − 5−3 : (− 5)−3 = 1 V F

f) 2

5

1−

− ⋅⋅⋅⋅ 5−2 = 5−4 V F

g) 4

5

1−

− ⋅⋅⋅⋅ 4

5

1

= 1 V F

h) ( ) 45 −− ⋅⋅⋅⋅ 4

5

1

− = 5−8 V F

140

Dopo averle riscritte in modo che non vi siano né l’operazione di divisione né la linea di

frazione, semplifica le seguenti espressioni (Esercizi svolti pag. 91 e successive):

390) 32 : 93 [3−4]

391) 16−3 : 86 [2−30]

392) (−5)−6 : 125 [5−9]

393) (−9)3 : 27 ⋅⋅⋅⋅ 9−4 [−3−5]

394) 2−3 ⋅⋅⋅⋅ (−4)2 : 25 [2−4]

395) 54 : 25−2 ⋅⋅⋅⋅ 5−6 [52]

396) (−4)3 ⋅⋅⋅⋅ 8−2 : (−2)4 [−2−4]

397) 4 5

2 1 13 :

9 9

−− ⋅ ⋅

(− 34) [3−4]

398) ( )3 2

1

8 4

32

−

−

− ⋅ [−210]

399) ( )

( )

2 2

54

7 : 49

7 : 7

−

−−

−

− [−75]

400)

3 55

2 3

1 12 :

2 28 4

−

−

⋅ − − ⋅

[2−7]

401) ( )3 2 5

4 5

6 :18 :12

3 24

−−− ⋅

[ 2−4 ⋅⋅⋅⋅ 3− 5]

402) ( ) ( )1 43

2 3

12 8 : 9

16 6

−⋅ − −⋅

[−6−8]

403) :8

7

7

443

−⋅

(7)2 [2−6 ⋅⋅⋅⋅ 7−1]

404) 3 2 1

3 2 16: :

4 9 3

− − −

[− 28]

141

405)

4 2

3

5 13 15

925

−

− ⋅

[5−4]

406)

3 2

2 3

7 81 1:

9 49 7

1 79 3

−

−

− ⋅

− ⋅

A [33 ⋅⋅⋅⋅ 7]

407) 156

22

3

5

4

3

2:

24

25

27

49:12

16

9

−

−

⋅

−

−⋅

[− 29 ⋅⋅⋅⋅ 311 ⋅⋅⋅⋅ 5−13 ⋅⋅⋅⋅ 7 −4]

Applica, se possibile, le proprietà delle potenze e determina il valore delle seguenti espressioni:

408) ( ) 43

32

2 23

1:3

2

122 ⋅

−

⋅−+−−

− [− 17]

409)

+

⋅

⋅−−

032

3 28

1

4

13 [− 891]

410)

⋅

+

−⋅

−−−−

322

33

1

4

1

2

13 [− 5]

411) ( )

⋅+

−−

−

++−

−− 1

21

0

5

7:

7

5

4

3

6

11:2

17

7:

8

5

12

15 [−1]

412) ( )222

222

3

41

7

3

4

3

2

3

3

23

3

1:

6

1

2

3

2

13

−⋅−+

+−−−

+

−−

+−−

− 59

100

413)

2 23 1 4 4 3 32 3 2 3 2 3

: :3 2 3 2 3 2

−− − − − − ⋅ − + − ⋅

26

27

414) 2 2 2 2 2 2

5 8 1 3 3 9 1 1 1 1 1: 2 : :

4 5 5 2 5 10 3 2 2 3 3

− − − − − + − − − + ⋅ − + − −

223

60 −

142

Calcola il valore delle seguenti espressioni sostituendo al posto delle lettere le quantità indicate:

415) abba 32 −+ 2

1;

3

2 −== ba 2

3

416) 2223 212 ++− − xyyx 2

5;

5

1 −=−= yx 21

50

417) 2

2 14

3

−+

+−

cb

abca

4

5;

5

2;1 =−=−= cba

125

24

418) 2

22

3

1

3

1

12

5:

12

5−

− −

−+

+−b

ba 2;6

5 == ba 5

6 −

419) 22

2

5

23

1

xy

yxxy+

−−

2

1;3 −=−= yx [14]

420) cbba

ba⋅

⋅−

− 32

1

23

13

2

4

1;2;3 =−=−= cba

1

12 −

421) Completa i seguenti calcoli sulla notazione esponenziale come mostrato nei primi due esempi:

a) 2100 = 2,1 ⋅⋅⋅⋅ 103

b) 0,075 = 7,5 ⋅ 10−2

c) 3500 = ………

d) 0,64 = ………

e) 60000 = ………

f) 8150 = ………

g) 0,14 = ………

h) 0,00036 = ………

143

Problemi

422) Lucia e Barbara si incontrano in profumeria.

Lucia: “Che sorpresa, non pensavo di incontrarti qui proprio oggi, 27 agosto! Sai, entro in

questo negozio ogni 12 giorni”.

Barbara: “Anche per me è una sorpresa! Io ci passo ogni 8 giorni. Chissà quando ci

incontreremo di nuovo in questo posto!”

Lucia: “Ma è facile! Basta fare un po’ di conti”.

Barbara, perplessa: “Eh?!”

Quando si incontreranno nuovamente Lucia e Barbara nella profumeria?

[20 settembre]

423) Stefano e Francesco hanno terminato di decorare l’albero di Natale con tre serie di lampadine

intermittenti: una rossa, una blu e una verde.

Stefano: “Bello, vero? Pensa, le lampadine rosse si accendono ogni 3 secondi, quelle blu ogni

6 secondi e quelle verdi ogni 9 secondi”.

Francesco, guardando l’orologio: “Bellissimo! Adesso sono le 20.10 e le lampadine sono tutte

accese; io dico che anche alle 20.30 saranno tutte accese”.

Stefano, dubbioso, pensa per qualche attimo: “Ma che dici! Saranno tutte accese alle 20.40”.

Chi ha ragione?

[Stefano]

424) Il gioco del “BOOM”.

Marta spiega alla sua amica Giorgia il gioco che ha fatto stamattina a scuola.

“Si conta da 1 a 100, ma quando si deve dire un multiplo di 7 o un numero che contiene la

cifra 7 si dice “BOOM”. Come mi sono divertita; ad un certo punto si diceva solo BOOM!”

Giorgia:“Chissà quante volte avrete detto “BOOM”!

Marta: “Forse 30 volte.”

Marta ha indovinato?

E quante volte si dice BOOM se si conta fino a 300?

[si; 92]

144

425) Il nome nascosto.

Inserisci , nel seguente schema, i numeri derivanti dalle definizioni. Riportando nella colonna

a fianco, le lettere dell’alfabeto italiano corrispondenti ai numeri inseriti nelle caselle gialle

( esempio A = 1; B = 2; C = 3; … ), si ottiene un nome di persona.

1. Il numero che sostituito ad x rende

vera

l’uguaglianza 3 ⋅⋅⋅⋅ (2 ⋅⋅⋅⋅ x − 14) = 0.

2. Il quadrato del doppio del numero alla

definizione 1.

3. Il più piccolo numero palindromo pari di

cinque cifre tutte diverse da zero. (un

numero si dice palindromo se letto da

sinistra verso destra e viceversa non

cambia).

4. Il quadrato del numero naturale che rende vera la relazione (x + 3) ⋅⋅⋅⋅ (3 ⋅⋅⋅⋅ x – 36) = 0.

5. L’elemento neutro della moltiplicazione in Q.

426) Tre amiche vanno regolarmente al parco a correre: la prima ogni 10 giorni; la seconda ogni 15

giorni e la terza ogni 14 giorni. Una domenica si trovano a correre insieme. Dopo quante

domeniche si ritroveranno al parco per la prima volta a correre insieme.

a) 22 b) 25 c) 30 d) 70 e) mai

[c]

[Olimpiadi Matematica, giochi di Archimede 2002]

427) Fra le seguenti affermazioni:

(i) 310 è un cubo;

(ii) 310 è dispari;

(iii) 310 è un quadrato

Quali sono quelle corrette?

a) solo (i); b) solo (ii); c) solo (iii); d) (ii) e (iii); e) tutte e tre

[d]


145

428) a, b, c sono tre numeri naturali. Sappiamo che a è divisibile per 15, b è divisibile per 12 e c è

divisibile per 21. Quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera?

a) a2 + b2 + c2 è divisibile per 18;

b) a + b + c è divisibile per 9;

c) a + b + c è divisibile per 2;

d) (a + b + c)2 è divisibile per 9;

e) a2 + b2 + c2 è divisibile per 15.

[d]


429) Il numero 10100 + 10010 è uguale a:

a) 10020 ;

b) 1020 (1 + 1080);

c) 10100 (1010 + 1);

d) 10120 ;

e) 110110 .

[b]


430) Quanti sono i numeri interi positivi multipli di almeno uno tra 5 e 7 e minoro o uguali a 1000?

a) 288;

b) 302;

c) 314;

d) 342;

e) 382.

[c]


146

431) Quale dei seguenti numeri termina con il maggior numero di zeri?

a) 22 ⋅⋅⋅⋅ 33 ⋅⋅⋅⋅ 55

b) 23 ⋅⋅⋅⋅ 35 ⋅⋅⋅⋅ 52

c) 25 ⋅⋅⋅⋅ 53 ⋅⋅⋅⋅ 32

d) 45 ⋅⋅⋅⋅ 56 ⋅⋅⋅⋅ 64

e) 46 ⋅⋅⋅⋅ 65 ⋅⋅⋅⋅ 54

[d]


432) Dati cinque interi consecutivi, cosa si può dire della cifra delle unità del loro prodotto?

a) Può essere qualunque cifra.

b) Può essere qualunque cifra pari.

c) Può essere 0 oppure 5.

d) E’ sempre 0.

e) Nessuna delle precedenti.

[d]


433) Ogni mese un grossista spedisce ad un negoziante 24 litri, 32 litri e 40 litri di tre varietà

diverse di vino utilizzando il minimo numero possibile di recipienti tutti uguali e

completamente riempiti, ovviamente senza mescolare qualità diverse di vino nello stesso

recipiente. Quanti recipienti riceverà quel negoziante in un anno?

a) 36

b) 72

c) 144 d) 288

e) i dati non sono sufficienti

[c]


147

434) Nonostante siano passati parecchi mesi dalle elezioni , nella repubblica delle Banane non si è

ancora fatta chiarezza sui risultati. La nuova commissione che sta esaminando i verbali

provenienti dai seggi si trova spesso di fronte a verbali pasticciati. In uno compare la seguente

sottrazione

a 0 0 8 c 2

4 ♦ ♥ 8 8 d

2 ♣ ♠ b 7 3

in cui lettere e simboli rappresentano cifre illeggibili (non è detto che simboli e lettere diversi

rappresentino cifre diverse). Nonostante tutto, la commissione riesce a ricostruire in parte, il

calcolo.

Quali sono le cifre corrispondenti alle lettere a, b, c, d ?

[Coppa Fermat, 2007]

1

CAPITOLO 4

Le relazioni

4.1 Le relazioni e la loro rappresentazione

Siano A = {Roma, Parigi, Valencia, Oslo} e B = {Francia, Italia, Spagna, Cile, Libia} due insiemi;

consideriamo la proposizione aperta p(x , y) : “x è capitale di y”, con x ∈ A e y ∈ B.

Alcuni elementi di A × B, rendono vera la proposizione, altri la rendono falsa.

Per esempio, la coppia ordinata (Roma , Italia) ∈ A × B rende vera la proposizione “Roma è la

capitale dell’Italia”; invece la coppia ordinata (Valencia , Cile) ∈ A × B rende falsa la proposizione

“Valencia è la capitale del Cile”.

Diciamo, allora, che esiste una relazione ℜ da A verso B e che Roma è in relazione con Italia, ma

Valencia non è in relazione con Cile.

Esistono altri modi per dire che “Roma è in relazione con Italia”: “Italia è il corrispondente di

Roma”, “a Roma associa Italia”.

Per indicare che “Roma è in relazione con Italia” si scrive “Roma ℜℜℜℜ Italia”; per indicare che

“Valencia non è in relazione con Cile” si scrive “Valencia ℜℜℜℜ Cile”.

Definizione

Dati due insiemi A e B non vuoti definiamo relazione ℜℜℜℜ da A verso B (o che A è in relazione con B)

una qualsiasi legge che lega elementi di A ad elementi di B. Se l’elemento a∈A è in relazione

mediante la legge ℜℜℜℜ con l’elemento b∈B si scrive aℜℜℜℜb e b è detta immagine di a e a

controimmagine di b.

L’insieme formato dalle coppie ordinate di elementi (x, y) con x∈A e y∈B che sono in relazione è

un sottoinsieme di A ×××× B che prende il nome di grafico della relazione ed è indicato con la stessa

lettera con la quale si indica la relazione; per questo, è in uso definire una relazione ℜℜℜℜ come un

qualsiasi sottoinsieme di A ×××× B.

Nell’esempio precedente, Italia è immagine di Roma e Roma è controimmagine di Italia; il grafico

ℜ della relazione è il seguente: ℜ = {(Roma , Italia), (Parigi , Francia)}.

Come si può notare, alcuni elementi di A (Roma , Parigi) hanno un’immagine in B, mentre altri

elementi di A (Valencia , Oslo) non hanno immagine in B: il sottoinsieme di A, formato da

elementi che hanno almeno un’immagine in B, si chiama dominio della relazione ℜ e si indica

con D.

In maniera analoga, esistono elementi di B (Italia , Francia) che hanno una controimmagine in A e

altri elementi di B (Spagna , Cile , Libia) che non hanno controimmagine in A: il sottoinsieme di B,

2

formato da elementi che hanno almeno una controimmagine in A, si chiama codominio della

relazione ℜ e si indica con C.

In altre parole:

o si chiama dominio di una relazione l’insieme formato dalle controimmagini;

o si chiama codominio di una relazione l’insieme formato dalle immagini.

Nell’esempio considerato

D = {Roma , Parigi} e C = {Italia , Francia}

Una relazione tra due insiemi A e B è un sottoinsieme di A × B ; pertanto può essere rappresentata

in diversi modi (fasc. 1, pag. 12 e succ.):

� rappresentazione sagittale:

si rappresentano gli insiemi A e B con i diagrammi di Eulero -

Venn e si collegano, con un segmento orientato (freccia), gli

elementi di A e di B che sono in relazione.

� rappresentazione mediante tabella a doppia entrata:

si riportano in una tabella gli elementi di A e di B: nella prima colonna si scrivono gli elementi di A,

nella prima riga si scrivono gli elementi di B.

Nella casella intersezione fra una riga e una colonna si scrive SI’ (o si mette una crocetta) se

l’elemento della riga e l’elemento della colonna sono in relazione, altrimenti si scrive NO.

In alternativa, nella casella intersezione fra una riga e una colonna, si scrive 1 se l’elemento della

riga e l’elemento della colonna sono in relazione, altrimenti si scrive 0.

ℜ Italia Cile Francia Libia Spagna

Roma SI’ NO NO NO NO

Parigi NO NO SI’ NO NO

Valencia NO NO NO NO NO

Oslo NO NO NO NO NO


Roma 1 0 0 0 0

Parigi 0 0 1 0 0

Valencia 0 0 0 0 0

Oslo 0 0 0 0 0

3

Si è soliti, però, scrivere soltanto SI’ o mettere una crocetta o 1, per non “appesantire” la tabella; ad

esempio:

� rappresentazione cartesiana:

si disegnano due semirette, tra loro perpendicolari,

aventi la stessa origine. Si riportano sulla semiretta

orizzontale gli elementi di A, cioè gli elementi del

primo insieme, e sulla semiretta verticale gli elementi di

B, cioè gli elementi del secondo insieme. Si conducono,

poi, da ciascun elemento le semirette che formano la

quadrettatura e si segna, infine, una crocetta, od un

puntino, all’intersezione delle semirette condotte dagli

elementi che sono in relazione.

� rappresentazione tabulare:

si rappresenta, in forma tabulare, il sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B formato dalle coppie

ordinate i cui elementi sono in relazione. Praticamente, non è altro che il grafico della relazione.

ℜ = {(Roma , Italia), (Parigi , Francia)}.

� rappresentazione mediante grafo:

si usa questo tipo di rappresentazione se la relazione è definita da un insieme A in se stesso; cioè

associa ad elementi di A altri elementi di A.

Ciascuno degli elementi di A viene rappresentato con un puntino; gli elementi che sono in relazione

si collegano con delle frecce.

In figura è rappresentata con un grafo una relazione ℜ definita

nell’insieme A = {a, b, c, d} tale che a ℜ a, b ℜ c e b ℜ d.

Il segno �� sta ad indicare che un elemento è in relazione con se stesso.


Roma ××××

Parigi ××××

Valencia

Oslo


Roma 1

Parigi 1

Valencia

Oslo

4

Esempi

a) Dati gli insiemi A = {x ∈ N : 0 < x < 6} e B = {y ∈ Z : −2 ≤ y < 4} , sia ℜ la relazione da A

verso B definita dalla proposizione p(x, y) : “x è il quadrato di y”.

Determiniamo dominio e codominio di ℜ.

Per determinare gli elementi di A × B che rendono vera p(x, y) si opera così:

scegliamo un elemento di A, per esempio 1; formiamo, poi, le proposizioni p(1, y) scegliendo y

in tutti i modo possibili fra gli elementi di B. Si hanno, così, proposizioni del tipo:

p(1, −1): “1 è il quadrato di -1” (V);

p(1, 0) : “1 è il quadrato di 0” (F);

p(1, 1) : “1 è il quadrato di 1” (V);

………………………………….;

p(1, 3) : “1 è il quadrato di 3” (F).

Ripetiamo lo stesso procedimento per gli altri elementi di A e, successivamente, rappresentiamo

la relazione ℜ in forma sagittale:

Gli elementi di A che hanno almeno un immagine in B sono 1 e 4; quindi il dominio della

relazione è D = {1, 4}. Gli elementi di B che hanno almeno una controimmagine in A

sono −1, 1, −2, 2; quindi il codominio della relazione è l’insieme C = {−2, −1, 1, 2}.

b) In figura è rappresentata, mediante tabella a doppia entrata, una relazione ℜ da A verso B:

ℜ b c d

a 1

e 1

i 1

o

u 1

−1

−

5

Rappresentiamo gli insiemi A e B in forma tabulare e determiniamo dominio e codominio della

relazione.

Ricorda che, nella rappresentazione mediante tabella a doppia entrata, gli elementi del primo

insieme (quelli di A) sono riportati nella prima colonna e gli elementi del secondo insieme

(quelli di B) sono riportati nella prima riga. Si ha, dunque: A = {a, e, i, o, u} e B = {b, c, d}.

Osservando la posizione degli “1” si rileva che a ℜ b, e ℜ c, i ℜ b, u ℜ c; gli elementi di A

che hanno almeno un’immagine in B sono a, e, i, u; gli elementi di B che hanno almeno una

controimmagine in A sono b e c. Allora si ha che il dominio della relazione è D = {a, e, i, u} e

il codominio C = {b, c}.

PROVA TU

1. Siano A = {Anna, Carlo, Ada, Fabio, Marta, Clara} e B = {a, b, c, d, e, f, g} due insiemi e ℜ

una relazione da A verso B così definita: x ℜ y ⇔ “x inizia con y”.

Rappresenta ℜ mediante tabella a doppia entrata e con la rappresentazione cartesiana;

determina, successivamente, dominio e codominio di ℜ.

2. In figura è rappresentata una relazione ℜ fra due insiemi E ed F:

a) Rappresenta ℜ in forma sagittale ed in forma tabulare; determina dominio e codominio di ℜ.

b) Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:

▪ 11 ℜ m V F

▪ r ℜ 16 V F

▪ s ℜ 20 V F

▪ t ∈ D V F

▪ t ∈ C V F

▪ (m, 11) ∈ ℜ V F

m p s t r z E

F

20

9

11

16

6

4.2 Relazione inversa

Siano A = {x ∈ N : 1 < x ≤ 8} e B = {−3, −1, 2, 3, 4} due insiemi.

Considera le seguenti relazioni:

ℜ1, da A verso B, così definita: x ℜ1 y ⇔ “x è il doppio di y”

ℜ2, da B verso A, così definita : y ℜ2 x ⇔ “y è la metà di x”

Osservando la rappresentazione sagittale di ℜ1 e di ℜ2, notiamo che:

4 ℜ1 2 e 2 ℜ2 4 ,

quindi 2 è immagine di 4 nella relazione ℜ1 e 2 è controimmagine di 4 nella relazione ℜ2;

6 ℜ1 3 e 3 ℜ2 6 ,

quindi 3 è immagine di 6 nella relazione ℜ1 e 3 è controimmagine di 6 nella relazione ℜ2;

8 ℜ1 4 e 4 ℜ2 8 ,

quindi 4 è immagine di 8 nella relazione ℜ1 e 4 è controimmagine di 8 nella relazione ℜ2.

Il dominio di ℜ1 è D1 = {4, 6, 8}, il codominio di ℜ1 è C1 = {2, 3, 4}; mentre il dominio di ℜ2 è

D2 = {2, 3, 4}, il codominio di ℜ2 è C2 = {4, 6, 8}.

Osserviamo, quindi, che D1 = C2 e D2 = C1.

La relazione ℜℜℜℜ2 è chiamata relazione inversa di ℜℜℜℜ1 e si indica con (ℜℜℜℜ1)−−−−1

.

ℜ1

ℜ2

7

Definizione

Dati due insiemi A e B ed una relazione ℜ da A verso B, si chiama relazione inversa di ℜℜℜℜ la

relazione ℜℜℜℜ-1

che ad y ∈∈∈∈ B fa corrispondere x ∈∈∈∈ A tale che x è la controimmagine di y nella

relazione ℜ . In simboli: y ℜℜℜℜ-1

x ⇔⇔⇔⇔ x ℜℜℜℜ y.

Come osservato, nell’esempio introduttivo, il dominio di ℜℜℜℜ-1

è uguale al codominio di ℜℜℜℜ ed il

codominio di ℜℜℜℜ-1

è uguale al dominio di ℜℜℜℜ.

ATTENZIONE

In figura sono rappresentate due relazioni ℜ1 (colore blu ) e ℜ2 (colore rosso).

Osservandole con molta attenzione, notiamo che il

dominio di ℜℜℜℜ1 è uguale al codominio di ℜℜℜℜ2 e,

viceversa, il codominio di ℜℜℜℜ1 è uguale al dominio di

ℜℜℜℜ2; le due relazioni non sono, però, una l’inversa

dell’altra.

Sai spiegarne il motivo?

4.3 Le relazioni in un insieme e le loro proprietà

Siano dati l’insieme A = {mina, casa, gatto, palla, circo, boa} e la relazione ℜ definita dalla

proposizione aperta p(x, y): “x ha lo stesso numero di lettere di y”, con (x, y) ∈ A2.

Rappresentiamo la relazione mediante grafo:

8

Osserviamo che:

− per ogni elemento di A c’è una freccetta che torna sull’elemento stesso e ciò indica che ogni

elemento è in relazione con se stesso: si dice, allora, che vale la proprietà riflessiva.

− alcune coppie di elementi di A, per esempio mina e casa, sono collegate da due frecce

orientate in senso opposto; questo vuol dire che “mina ℜ casa” e, viceversa, “casa ℜ

mina” e questo si verifica per ogni coppia di elementi che sono in relazione; infatti,

ancora ad esempio, “circo ℜ palla” e “palla ℜ circo”: si dice, allora, che vale la proprietà

simmetrica.

− I tre elementi circo, palla, gatto sono tali che “circo ℜ palla”, “palla ℜ gatto” e “circo ℜ

gatto”: si dice che vale la proprietà transitiva.

Se in una relazione accade che x ℜ y e y ℜ x, nella rappresentazione mediante grafo si preferisce

collegare x e y con una linea (anziché con due frecce orientate in senso opposto una rispetto

all’altra), come mostrato nella seguente figura:

Consideriamo, adesso, l’insieme B = {21, 35, 23, 45} e la relazione ℜ definita in B dalla

proposizione p(x, y) : “la somma delle cifre di x è minore della somma delle cifre di y”.

Per esempio, 21 ℜ 35 perché la somma delle cifre di 21 è (2 + 1) = 3, la somma delle cifre di 35 è (3

+ 5) = 8, e 3 < 8. Possiamo dire che 35 ℜ 21? No, perché 8 < 3 è una proposizione falsa.

In figura è rappresentata con un grafo la relazione ℜ.

B21

• 35

• 23

•

•

45

9

Osserviamo che:

▪ nessun elemento ha la freccetta che ritorna su se stesso e quindi nessun elemento è in

relazione con se stesso: si dice, allora, che vale la proprietà antiriflessiva;

▪ gli elementi che sono in relazione sono collegati da una sola freccia e non c’è la freccia

orientata in senso opposto; per esempio 21 e 23 sono collegati da una freccia orientata da 21

verso 23, ma non c’è una freccia orientata da 23 verso 21; questo significa che 21 ℜ 23, ma

che 23 ℜ 21: si dice che vale la proprietà antisimmetrica.

In generale, si hanno le seguenti definizioni:

Sia ℜ una relazione definita in un insieme A:

o se ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ A : x ℜℜℜℜ x, si dice che per ℜ vale la proprietà riflessiva;

o se ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ A : x ℜℜℜℜ x, si dice che per ℜ vale la proprietà antiriflessiva;

o se ∀∀∀∀ x, y ∈∈∈∈ A tali che x ℜℜℜℜ y anche y ℜℜℜℜ x, si dice che per ℜ vale la proprietà simmetrica;

o se ∀∀∀∀ x, y ∈∈∈∈ A, x ≠ y, tali che x ℜℜℜℜ y e y ℜℜℜℜ x, si dice che per ℜ vale la proprietà

antisimmetrica;

o se ∀∀∀∀ x, y, z ∈∈∈∈ A tali che x ℜℜℜℜ y ∧ y ℜℜℜℜ z, anche x ℜℜℜℜ z, si dice che per ℜ vale la proprietà

transitiva.

ATTENZIONE

In figura è rappresentata una relazione ℜ definita in un insieme B.

Osserviamo che:

• esiste almeno un elemento (il 3) che non è in relazione

con se stesso e quindi non vale la proprietà riflessiva;

poiché esiste almeno un elemento (quale?) che, invece, è

in relazione con se stesso, non vale la proprietà

antiriflessiva;

• esiste almeno una coppia (x, y) tale che x ℜ y, ma y ℜ x

[la coppia (0, 1)] e quindi non vale la proprietà simmetrica; d’altra parte esiste almeno una

coppia (x, y) tale che x ℜ y e y ℜ x, quindi non vale la proprietà antisimmetrica;

• osserviamo che alcune terne, ad es. (5, 2, 3), sono tali che se x ℜ y e y ℜ z anche x ℜ z [infatti

5 ℜ 2 ∧ 2 ℜ 3 ⇒ 5 ℜ 3], ma vi è almeno una terna, (0, 1, 2), che non verifica tale proprietà;

quindi non vale proprietà transitiva.

10

Esempi

Nelle figure 1, 2 e 3 sono rappresentate tre relazioni (osserva che, nelle figure 1 e 2, gli elementi

dell’insieme sono riportati nello stesso ordine):


Analizziamo la relazione rappresentata nella fig. 1:

▪ in tutte le caselle della “diagonale” (di colore giallo nella figura) c’è “1”; questo vuol dire che

ogni elemento è in relazione con se stesso e, quindi, vale la proprietà riflessiva;

▪ le caselle di colore celeste sono disposte simmetricamente rispetto alla diagonale, questo vuol

dire che vale la proprietà simmetrica.

Analizziamo la relazione rappresentata nella fig. 2:

▪ Esiste un punto sulla ideale “diagonale” sul quale non c’è la crocetta; questo indica che esiste

un elemento che non è in relazione con se stesso, ma esiste qualche elemento che è in

relazione con se stesso; dunque, non valgono nè la proprietà riflessiva né quella antiriflessiva;

▪ per ognuna delle crocette in verde non esiste la sua simmetrica rispetto alla diagonale; questo

vuol dire che vale la proprietà antisimmetrica.

Analizziamo la relazione rappresentata dalla fig. 3:

▪ su nessun elemento c’è la freccia che torna su stessa e questo indica che nessun elemento è in

relazione con se stesso: vale, quindi, la proprietà antiriflessiva;

▪ le frecce sono orientate in un solo senso; questo indica che ogni qualvolta un elemento è in

relazione con un altro elemento, quest’ultimo non è in relazione con il primo: vale, quindi, la

proprietà antisimmetrica;

▪ le frecce formano un “triangolo” (ma è necessario fare attenzione al loro orientamento) e

questo indica che “0” è in relazione con “1”, “1” è in relazione con “3” e “0” è in relazione con

“3”: vale, quindi, la proprietà transitiva.

ℜ a b c d

a 1 1 1

b 1

c 1 1 1

d 1 1 1

0

• 1

•

2

•

•

3

11

PROVA TU

1) Rappresenta con un grafo le relazioni rappresentate in fig. 1 ed in fig. 2 dell’esempio precedente

e stabilisci se per esse vale la proprietà transitiva.

2) Osserva le seguenti relazioni e stabilisci quali proprietà valgono per esse:

fig. a fig. b fig. c

4.4 Relazioni di equivalenza e relazioni d’ordine

Definizione

Sia ℜ una relazione definita in un insieme A.

ℜℜℜℜ è una relazione d’equivalenza se per essa valgono le seguenti proprietà:

− proprietà riflessiva;

− proprietà simmetrica;

− proprietà transitiva.

Gli elementi che sono in relazione in una relazione d’equivalenza si dicono equivalenti.

Consideriamo, nuovamente, l’insieme A = {mina, casa, gatto, palla, circo, boa} e la relazione ℜ

definita dalla proposizione aperta p(x, y): “x ha lo stesso numero di lettere di y”, con (x, y) ∈ A2.

Abbiamo visto che per ℜ valgono le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva: essa è, quindi, una

relazione di equivalenza. Gli elementi equivalenti sono: mina e casa; gatto, palla e circo.

Possiamo, allora, determinare dei sottoinsiemi di A formati da elementi tra loro equivalenti (nella

relazione ℜ).

Si hanno i seguenti sottoinsiemi: A1 = {boa}; A2 = {mina, casa}; A3 = {circo, gatto, palla}.

Adesso, completa le seguenti proposizioni:

A1 ∪ A2 ∪ A3 = …………………………………….... ;

ogni sottoinsieme è ……………… dall’insieme vuoto;

A1 ∩ A2 = ………..; A1 ∩ A3 = …………; A2 ∩ A3 = …………….

ℜℜℜℜ 3 6 9 12

3 1 1 1

6 1 1 1

9 1

12 1

�� •

• •

•

��

��

•

12

Possiamo, allora, dire che l’insieme {A1, A2, A3} è una …….………………… dell’insieme A.

Ciascuno dei sottoinsiemi A1, A2, A3 si chiama classe di equivalenza e l’insieme {{{{A1, A2, A3}}}} si

chiama insieme quoziente e si indica con ℜ/A .

Una classe di equivalenza può essere indicata racchiudendo fra parentesi quadre un elemento del

sottoinsieme scelto come rappresentante; ad esempio, per indicare l’insieme A3 si scrive [circo]; si

ha, dunque:

• A1 = [boa] = {boa}; A2 = [mina] = {mina, casa}; A3 = [circo] = {circo, gatto, palla}

• ℜ/A = {[boa], [mina], [circo]}

La simbologia usata per indicare una classe di equivalenza ti è già nota: nello stesso modo abbiamo,

infatti, indicato un insieme formato da frazioni equivalenti che prende il nome di “classe”. Del resto,

se rifletti, la relazione “essere equivalenti” nell’insieme delle frazioni è una relazione d’equivalenza.

In generale:

sia ℜ una relazione d’equivalenza definita in un insieme A:

▪ se x ℜℜℜℜ y, allora x è equivalente a y;

▪ un sottoinsieme di A formato da elementi tra loro equivalenti si chiama classe d’equivalenza e

si indica con [x], dove x è un elemento del sottoinsieme scelto come suo rappresentante;

▪ l’insieme formato da tutte le classi di equivalenza si chiama insieme quoziente e si indica con

la scrittura ℜ/A .

La relazione di equivalenza determina sempre una partizione dell'insieme A.

13

Definizione

Sia ℜ una relazione definita in un insieme A.

ℜℜℜℜ è una relazione d’ordine se per essa valgono:

▪ la proprietà riflessiva o la proprietà antiriflessiva;

▪ la proprietà antisimmetrica;

▪ la proprietà transitiva.

In particolare,

� ℜ è una relazione d’ordine stretto se è una relazione d’ordine e per essa vale la proprietà

antiriflessiva;

� ℜ è una relazione d’ordine largo se è una relazione d’ordine e per essa vale la proprietà

riflessiva.

Esempi

1) Studiamo la relazione rappresentata in figura:

Studiare una relazione vuol dire determinare le proprietà che valgono per essa e, eventualmente,

stabilire di che tipo è la relazione.

Osserviamo la figura data:

▪ in ognuna delle caselle della diagonale (in colore giallo) c’è una crocetta e ciò indica che

ogni elemento è in relazione con se stesso: vale la proprietà riflessiva;

▪ le crocette (nelle caselle in celeste) sono disposte simmetricamente rispetto alla diagonale:

vale la proprietà simmetrica.

Con questo tipo di rappresentazione non è proprio semplice stabilire se vale la proprietà transitiva.

ℜℜℜℜ a c d e f

a × × ×

c × × ×

d × ×

e × ×

f × × ×

14

Rappresentiamo, allora, la stessa relazione con un grafo:

Notiamo che gli elementi a, c, f sono collegati in modo da formare un triangolo; vale, dunque, la

proprietà transitiva.

Poiché valgono la proprietà riflessiva, la proprietà simmetrica e la proprietà transitiva, la relazione è

una relazione d’equivalenza.

Le classi di equivalenza sono: [a] = {a, c, f}; [d] = {d, e}; l’insieme quoziente è ℜ/A = {[a], [d]}.

2) Studiamo la relazione rappresentata in figura:

o nei punti intersezione appartenenti alla diagonale non ci sono crocette, quindi nessun elemento

è in relazione con se stesso: vale la proprietà antiriflessiva;

o per ogni crocetta non c’è la sua simmetrica rispetto alla diagonale: vale la proprietà

antisimmetrica.

o Per stabilire se vale la proprietà transitiva, in generale, la cosa più opportuna è, quindi, quella di

rappresentare la relazione con un grafo, come nell’esempio precedente.

A

0 2 4 6 8 10

10 8 6

4 2

0

15

Talvolta un po’ di attenzione può evitare del lavoro in più.

Se osserviamo attentamente le crocette ci accorgiamo che esistono tre elementi 0, 2, 4 tale che

0 è in relazione con 2, 2 è in relazione con 4, ma 0 non è in relazione con 4.

In simboli si ha:

0 ℜℜℜℜ 2, 2 ℜℜℜℜ 4, ma 0 ℜℜℜℜ 4 : non vale la proprietà transitiva.

La relazione, dunque, non è una relazione d’ordine.

PROVA TU

▪ Sia A = {2, 3, 5, 6, 9, 12, 36} e la relazione ℜ in esso così definita:

x ℜ y ⇔ “x è divisore di y”.

Verifica che ℜ è una relazione d’ordine e stabilisci se è d’ordine largo o stretto, se è totale o

parziale.

▪ Sia B = {41, 56, 401, 74, 35} e ℜ la relazione in esso così definita:

x ℜ y ⇔ “la somma delle cifre di x è uguale alla somma delle cifre di y”.

Verifica che ℜ è una relazione d’equivalenza; determina le classi d’equivalenza e l’insieme

quoziente.

4.5 Funzioni

Dati gli insiemi A = {Alma, Bruno, Carlo, Anna} e B = {a, b, c, d}, sia ℜ una relazione da A verso

B definita dalla proposizione aperta p(x, y): “x inizia con la lettera y”.

Rappresentiamo, in forma sagittale, la relazione ℜ:

Osserviamo che ad ogni elemento di A corrisponde uno ed un solo elemento di B; in questo caso la

relazione ℜ prende il nome di funzione.

16

Definizione

Una relazione ℜℜℜℜ da A verso B è una funzione se ogni elemento di A ha una sola immagine in B; in

simboli: ∀∀∀∀ x ∈∈∈∈ A, ∃∃∃∃!!!! y ∈∈∈∈ B | x ℜℜℜℜ y.

Riflettiamo sulla definizione di funzione: affinché una relazione ℜ da A verso B sia una funzione si

deve verificare che:

− il dominio della relazione ℜ sia uguale all’insieme A (D = A);

− ogni elemento di A deve avere una sola immagine, cioè la relazione deve essere univoca.

Se una di queste due proprietà non è verificata, la relazione non è una funzione.

Osserva le figure 1 e 2:

fig. 1 fig. 2

▪ la relazione rappresentata in fig. 1 non è una funzione perché l’elemento 0 non ha immagine

in B; quindi D ≠≠≠≠ A;

▪ la relazione rappresentata in fig. 2 non è una funzione perché all’elemento 1 di E

corrispondono due elementi in F (1 e −1), quindi la relazione non è univoca.

Qual è la legge che definisce la relazione in fig. 1 ?

x ℜ y : ……………………………………………………………………………….

Qual è la legge che definisce la relazione in fig. 2 ?

x ℜ y : ……………………………………………………………………………….

Osserva la fig. 2; la relazione inversa di quella rappresentata è una funzione? …………

17

Una funzione si indica con una lettera minuscola dell’alfabeto (generalmente la lettera f ) e si può

scrivere in vari modi:

▪ f : A →→→→ B (si legge “la funzione effe da A verso B”);

▪ f : x →→→→ y (si legge “la funzione effe che ad x associa y”, o “la funzione f che ad x fa

corrispondere y”).

Per indicare l’immagine di x tramite una funzione f si scrive f(x) (si legge “effe di x”) e poiché

si è soliti indicare il corrispondente di un elemento con la lettera y, si scrive anche y = f(x).

Useremo indifferentemente y o f(x) per indicare l’immagine di x tramite la funzione f.

Per esempio, per indicare la funzione f da N0 verso Z che a ciascun numero naturale associa il suo

opposto, scriveremo indifferentemente:

f : N0 →→→→ Z | y = −−−− x

f : x →→→→ y = −−−− x (x∈ N0 ∧ y ∈ Z )

f(x) = −−−− x (x∈ N0 ∧ y ∈ Z )

y = −−−− x (x∈ N0 ∧ y ∈ Z ).

Nelle seguenti figure sono rappresentate tre funzioni:


▪ Osserviamo la fig. 3:

non accade mai che due elementi distinti di A abbiano la stessa immagine in B, il che è lo stesso

dire che elementi distinti di A hanno immagini distinte in B.

Funzioni di questo tipo si dicono iniettive.

18


il codominio della funzione è l’insieme F (tutti gli elementi di F sono “colpiti” da frecce).

Funzioni di questo tipo si dicono suriettive.


ha le caratteristiche delle funzioni di cui alle figg. 3 e 4; cioè elementi distinti di Q hanno

immagini distinte in P e, inoltre, il codominio della funzione è l’insieme P; quindi questa

funzione è sia iniettiva che suriettiva.

Funzioni di questo tipo si dicono biunivoche.

In generale:

Sia f : A → B una funzione:

▪ f è iniettiva se elementi distinti di A hanno immagini distinte in B;

in simboli:

f iniettiva ⇔⇔⇔⇔ ∀∀∀∀ x1, x2 ∈∈∈∈ A | x1 ≠≠≠≠ x2 ⇒ f(x1) ≠≠≠≠ f(x2)

oppure, in modo equivalente:

f iniettiva ⇔⇔⇔⇔ ∀∀∀∀ y ∈∈∈∈ Cf , ∃∃∃∃!!!! x ∈∈∈∈ A | y = f(x)

▪ f è suriettiva se ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A;

in simboli:

f suriettiva ⇔⇔⇔⇔ ∀∀∀∀ y ∈∈∈∈ B, ∃∃∃∃ x ∈∈∈∈ A | y = f(x)

▪ f è biunivoca se f è iniettiva e suriettiva;

in simboli:

f biunivoca ⇔⇔⇔⇔ ∀∀∀∀ y ∈∈∈∈ B, ∃∃∃∃!!!! x ∈∈∈∈ A | y = f(x)

Osserviamo ancora le funzioni rappresentate nelle figg. 3, 4 e 5 e, per ciascuna di esse, stabiliamo se

anche la relazione inversa è una funzione.

Fig. 3: poiché Cf ≠ B, l’inversa è soltanto una relazione, perché esiste qualche elemento di B

che

non ha immagine in A.

Fig. 4: ciascun elemento di F ha due controimmagini in G; l’inversa è soltanto una relazione

perché non è univoca.

Fig. 5: ciascun elemento di P ha una sola controimmagine in Q; la relazione inversa, dunque, è

una funzione.

19

La funzione rappresentata in fig. 5 è una funzione biunivoca; possiamo, dunque, affermare che:

se f è una funzione da A verso B, la sua inversa è una funzione se solo se f è biunivoca.

Se f è una funzione biunivoca, si dice, anche, che f è invertibile.

Se f è la lettera usata per indicare la funzione, la funzione inversa si indica con f −1

.

Riassumendo:

f invertibile f biunivoca

f −−−−1

funzione f biunivoca

Esempi

1) Stabiliamo se la relazione rappresentata in figura è una funzione e, in caso affermativo,

classifichiamola (classificare una funzione vuol dire stabilire di che tipo è: generica, iniettiva,

suriettiva o biunivoca):

Poniamo A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; la relazione è, allora, da A verso B.

Fissiamo la nostra attenzione sulla disposizione degli “1”:

in ogni riga della tabella c’è un solo “1”; significa che ogni elemento di A ha una sola

immagine in B. La relazione, dunque, è una funzione.

Nella tabella ci sono colonne (1, 3, 5) le cui caselle non contengono “1”, quindi qualche

elemento di B, (1, 3, 5), non ha controimmagine in A: la funzione non è suriettiva.

Solo in una casella di ciascuna delle rimanenti colonne, (0, 2, 4, 6), c’è “1”; questo vuol dire

che gli altri elementi di B (0, 2, 4, 6) hanno una sola controimmagine in A: la funzione,

dunque, è iniettiva.

Non essendo suriettiva, però, la funzione non è biunivoca e la sua inversa non è, quindi, una

funzione.

ℜℜℜℜ 0 1 2 3 4 5 6

0 1

1 1

2 1

3 1

⇔

⇔

20

2) Stabiliamo se la relazione rappresentata in figura è una funzione ed, eventualmente,

classifichiamola:

Poniamo E = {0, 3, 6, 9, 12} e G = {0, 1, 2, 3, 4}; quindi ℜ è una relazione da E verso G.

Ancora una volta, fissiamo la nostra attenzione sulla disposizione delle crocette nella

rappresentazione della relazione.

Su ciascuna semiretta verticale c’è una sola crocetta, quindi ogni elemento di E ha una sola

immagine in G; la relazione, dunque, è una funzione.

Su ciascuna semiretta orizzontale c’è una crocetta, quindi tutti gli elementi di G hanno una

controimmagine in E; la funzione è suriettiva.

Se osserviamo con attenzione, su ciascuna semiretta orizzontale c’è una sola crocetta, quindi

ogni elemento di G ha una sola controimmagine in E; la funzione è anche iniettiva.

Essendo iniettiva e suriettiva, la funzione è biunivoca.

Poiché la funzione è biunivoca, la sua inversa è una funzione.

PROVA TU

a) Sia ℜ la relazione da A = {2, 3, 7, 5} verso B = {4, 25, 9, 49, 11, 17} definita dalla

proposizione aperta p(x, y) : “il quadrato di x è y”.

ℜ è una funzione? In caso di risposta affermativa, classifica la funzione.

b) Stabilisci se la relazione ℜ da N verso N così definita :

x ℜ y ⇔ y = 2 ⋅⋅⋅⋅ x

è una funzione e, in caso di risposta affermativa, classificala. Stabilisci, inoltre, se la relazione

inversa è una funzione.

21

4.6 Funzioni composte

Siano A = {Enna, Nizza, Madrid, Roma, Beirut, Lima}, B = {Italia, Libia, Spagna, Francia, Perù},

C = {Europa, Asia, Africa, America, Oceania} tre insiemi; siano f e g due funzioni così definite:

f : A → B definita dalla proposizione p : “x è una città di y ”,

g : B → C definita dalla proposizione q : “y è una nazione di z”.

In figura sono rappresentate in forma sagittale le funzioni f e g:

Possiamo notare che, se applichiamo una dopo l’altra le funzioni f e g, ogni elemento di A ha

un’immagine in C ; per esempio l’elemento “Enna” di A ha come immagine l’elemento “Europa” di

C; l’elemento “Lima” di A ha come immagine l’elemento “America” di C; e così via.

Si ottiene, quindi, una nuova funzione da A verso C; questa funzione è chiamata funzione

composta e si indica con g °°°° f (si legge “g composto f ”).

Nell’esempio, la funzione g ° f è definita dalla proposizione t : “x è una città del continente y”.

Per indicare l’elemento di C, immagine di un elemento di A tramite la funzione composta g ° f , si è

soliti scrivere anche y = g(f(x)) (si legge “y è uguale a gi di effe di x”).

In generale:

f g

22

date due funzioni f : A → B e g : B → C, si chiama funzione composta mediante f e g la

funzione g ° f che ad ogni elemento x di A fa corrispondere un elemento y di C in modo tale che

f(x) ∈ B e g(f(x) ∈ C.

Osserviamo che, per poter parlare della funzione composta g ° f , è necessario che la funzione f sia

suriettiva.

Poniamo la nostra attenzione sul modo di indicare una funzione composta:

la scrittura g °°°° f indica che prima è stata applicata la funzione f e, successivamente, è stata

applicata la funzione g.

Abbiamo, allora, definito una operazione binaria tra funzioni chiamata operazione “composizione”

di funzioni o “prodotto” tra funzioni e indicata con il simbolo “°°°°”.

Siano f e g due funzioni così definite:

f : N → N tale che f(x) = x + 1

g : N → N tale che g(x) = 2 ⋅⋅⋅⋅ x

o determiniamo f(g(0)), cioè, l’immagine di “0” nella funzione f ° g. Prima si applica la

funzione g e, successivamente, la funzione f; quindi si ottiene:

0 →g 2 ⋅⋅⋅⋅ 0 = 0 → f 0 + 1 = 1, dunque: f(g(0)) = 1;

▪ determiniamo g(f(0)), cioè, l’immagine di “0” nella funzione g ° f; prima si applica la

funzione g e, successivamente, la funzione f; quindi si ottiene:

0 → f 0 + 1 = 1 →g 2 ⋅⋅⋅⋅ 1 = 2, dunque: g(f(0)) = 2;

possiamo, subito, notare che f(g(0)) ≠ g(f(0)).

o determiniamo f(g(1)), cioè, l’immagine di “1” nella funzione f ° g :

1 →g 2 ⋅⋅⋅⋅ 1 = 2 → f 2 + 1 = 3, dunque: f(g(1)) = 3;

▪ determiniamo g(f(1)), cioè, l’immagine di “1” nella funzione g ° f:

1 → f 1 + 1 = 2 →g 2 ⋅⋅⋅⋅ 2 = 4, dunque: g(f(1)) = 4;

notiamo, ancora, che h(k(1)) ≠ k(h(1)).

o determiniamo f(g(2)), cioè, l’immagine di “2” nella funzione f ° g:

2 →g 2 ⋅⋅⋅⋅ 2 = 4 → f 4 + 1 = 5, dunque: f(g(2)) = 5;

23

▪ determiniamo g(f(2)), cioè, l’immagine di “2” nella funzione g ° f:

2 → f 2 + 1 = 3 →g 2 ⋅⋅⋅⋅ 3 = 6, dunque: g(f(2)) = 6;

osserviamo, ancora una volta, che f(g(2)) ≠ g(f(2)).

o determiniamo f(g(3)), cioè, l’immagine di “3” nella funzione f ° g (COMPLETA) :

3 →g 2 ⋅⋅⋅⋅ ….. = ….. → f ….. + 1 = ….., dunque: f(g(3)) = …..;

▪ determiniamo g(f(3)), cioè, l’immagine di “3” nella funzione g ° f (COMPLETA):

3 → f ….. + 1 = ….. →g 2 ⋅⋅⋅⋅ ….. = ….., dunque: g(f(3)) = ……;

osserviamo che f(g(3))….. g(f(3)) .

In generale, possiamo dire che f(g(x)) ≠ g(f(x)) e, quindi, f °°°° g ≠≠≠≠ g °°°° f.

Per l’operazione di composizione di funzioni non vale la proprietà commutativa.

Sia g una funzione da N verso N0 che a ciascun numero naturale associa il suo successivo; in

simboli g : N → N0 tale che g(x) = x + 1.

E’ facile verificare che g è una funzione biunivoca e, pertanto, essa è invertibile; la sua inversa è la

funzione g -1

che ad ogni numero naturale, diverso da zero, associa il suo precedente.

In simboli:

g -1

: N0 → N tale che g −1

(x) = x − 1.

Consideriamo la funzione composta g −1

° g :

0 →g 0 + 1 = 1 →−1g 1 − 1 = 0, quindi: g

−1(g(0)) = 0;

1 →g 1 + 1 = 2 →−1g 2 − 1 = 1, quindi: g

−1(g(1)) = 1;

2 →g 2 + 1 = 3 →−1g 3 − 1 = 2, quindi: g

−1(g(2)) = 2:

3 →g … + 1 = … … − 1 = …, quindi: g −1

(g(3)) = ….

In generale:

x →g y = x + 1 →−1g y − 1 = (x + 1) − 1 = x + 1 − 1 = x, quindi g

−1(g(x)) = x ;

in altre parole, la funzione g -1

°°°° g è tale che ad ogni numero naturale associa se stesso.

24

La funzione che ad un elemento associa se stesso si chiama funzione identità e si indica con la

lettera i.

In generale:

se f è una funzione invertibile, allora f -1

°°°° f = i

PROVA TU

1) Dati gli insiemi A = {Milan, Juventus, Real Madrid}, B = {Milano, Torino, Madrid} e

C = {Francia, Italia, Spagna, Argentina}, siano f e g due funzioni :

f : A → B definita dalla proposizione p : “x è una squadra della città y”,

g: B → C definita dalla proposizione q : “y è una città di z”.

Determina la proposizione che definisce la funzione g ° f .

2) Sia A = {−3, −1, 0, 2, 4}; siano h e k due funzioni così definite:

h : Z → Z tale che h(x) = x − 2,

k : Z → Z tale che k(x) = 3 ⋅⋅⋅⋅ x

Determina l’immagine degli elementi di A tramite la funzione h ° k e la funzione k ° h.

4.7 Funzioni numeriche

Una funzione f definita da A verso B si dice numerica se gli insiemi A e B sono insiemi numerici.

In alcuni esempi precedenti abbiamo già incontrato funzioni numeriche.

Le seguenti sono funzioni numeriche:

a) f : Q → Q tale che y = x – 5

b) g(x) = 3

2+x

c) h(x) = x

32x −

25

In una funzione numerica, x prende il nome di variabile indipendente e y prende il nome di

variabile dipendente; infatti mentre il valore da assegnare ad x può essere scelto a piacere, quello

di y dipende da quello assegnato ad x.

Per la funzione al punto a) è stato indicato l’insieme numerico nel quale è definita la funzione, per

le funzioni al punto b) e al punto c) è stata solo indicata la proposizione che definisce la funzione,

ma non gli insiemi numerici fra i quali essa è definita.

La funzione al punto b) associa ad un numero il quoziente fra la somma del numero stesso con 2, e

il numero 3.

La funzione al punto c) associa ad un numero il quoziente fra il doppio del numero stesso diminuito

di 3, ed il numero stesso.

Per le funzioni, si definisce come insieme di partenza (cioè come dominio) l’insieme di tutti numeri

con i quali siano possibili le operazioni da eseguire per determinare il corrispondente di un numero.

Per esempio, il dominio della funzione al punto b) è l’insieme Q ; infatti, le operazioni necessarie

per determinare l’immagine di un qualsiasi numero sono tutte possibili in Q (anche l’operazione di

divisione perché il divisore è diverso da zero).

La funzione al punto c) è espressa per mezzo di una frazione il cui denominatore non è un numero

fisso, ma dipende dal valore assegnato ad x. Ora, sappiamo che, in una frazione, il denominatore

deve essere diverso da zero. In questo caso, dunque, deve essere x ≠ 0; il dominio della funzione s è,

allora, Q −−−− {{{{0}}}}.

Esempi

1) Determiniamo il dominio della funzione:

2 4

1

x+y =

x −.

La funzione è espressa mediante una frazione; quindi il suo denominatore (x − 1) deve essere

diverso da zero.

Quindi:

x − 1 = x + (− 1) ≠ 0.

Ora l’unico caso in cui una somma algebrica vale zero è quello in cui i due termini della somma

sono opposti. Non sarà, dunque, possibile attribuire ad x il valore “1” perché in tal caso il

denominatore della frazione è “0” e la frazione perde di significato.

Il dominio della funzione è, allora, Q −−−− {{{{1}}}}.

26


( )3

2 1

xh x

x

−=

−.

Anche questa funzione è espressa mediante una frazione; deve essere, dunque, 2x − 1 ≠ 0.

Ma 2x −1 ≠ 0 ⇒ ( l’unico caso in cui una somma algebrica vale zero è quello in cui i termini

della somma sono opposti) 2x ≠ 1 ⇒ (il prodotto fra due numeri è “1” solo se i due numeri sono

uno il reciproco dell’altro) 2

1≠x .

Il dominio della funzione h è Q −−−−

2

1.


y = 3 4

x

x+.

Come per le funzioni precedenti, deve essere 3x + 4 ≠ 0.

Ma 3x + 4 ≠ 0 ⇒ 3x ≠ − 4; il numero che moltiplicato per 3 dà come prodotto − 4 è 3

4− ,

quindi, dovrà essere 3

4−≠x .

Il dominio delle funzione è, allora, Q −−−−

−

3

4.

PROVA TU

Determina il dominio delle seguenti funzioni:

▪ x

y3

= ;

▪ f(x) = 2x – 3 ;

▪ 1

3 1

xg(x)=

x+

− ;

▪ ( )2

7−=

xxh ;

27

▪ ( ) 63

2−= xxl ;

▪ ( )x

xxm

3

2−= ;

▪ ( )5−

=x

xxn .

28

IL PRESENTE FASCICOLO E’ STATO REALIZZATO DA:

Prof.ssa Rescio Anna Maria

Prof. Tiralongo Salvatore

Prof. Vadacca Antonio

Patrocinio gratuito di

Il Sindacato dei Consumatori

Provincia di Brindisi Comune di Brindisi

COORDINAMENTO

GENITORI

DEMOCRATICI

ONLUS

Associazione Dirigenti Scolastici

CAPITOLO 4

Le relazioni


1) Quando due insiemi A e B si dicono in relazione ℜ?

2) Quale simbolo indica che a è in relazione ℜ con b?

3) Quale simbolo indica che d non è in relazione ℜ con e?

4) Che cos’è il dominio di una relazione ? E il codominio?

5) Se b è immagine di a tramite la relazione ℜ, allora:

a) a ℜ b V F

b) b ℜ a V F

c) a è un elemento del dominio di ℜ V F

d) b è un elemento del dominio di ℜ V F

e) a è un elemento del codominio di ℜ V F

f) b è un elemento del codominio di ℜ V F

g) (a, b) è un elemento del grafico di ℜ V F

h) (b, a) è un elemento del grafico di ℜ V F

i) a è controimmagine di b V F

l) b è controimmagine di a V F

[Negli esercizi che seguono, D indica il dominio di ℜ e C indica il codominio di ℜ].

6) Sia ℜ una relazione da A verso B. Una sola delle seguenti affermazioni è sempre vera.

Quale?

a) D ⊂ A;

b) B ⊃ C ;

c) ℜ ⊆ A ∩ B ;

d) D ⊆ A;

e) ℜ ⊂ B × A .

2

7) In quanti e quali modi si può rappresentare una relazione?

8) Se ℜ una relazione da A verso B, come puoi definire la relazione inversa?

9) Osserva la relazione ℜ da L verso F rappresentata in figura e completa le seguenti proposizioni:

a) D = { …………………};

b) C = { …………………};

c) ℜ …. L … F ;

d) ℜ = { …………………………};

e) d ….. m ;

f) a è …………………… di s ;

g) e …… D ;

h) m è ……………… di c ;

i) (t, d) …… ℜ ;

l) ..... ℜ t ;

m) s è immagine di ….. e di ……;

n) d è …………………………… di s e di ……;

o) D ….. L; C ….. F ;

p) ….. ℜ −1

b .

10) Sia ℜ = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)} il grafico di una relazione definita da una proposizione aperta

p(x, y); le seguenti proposizioni sono vere o false?

a) {a, c} ⊂ D V F

b) 1 ℜ −1

a V F

c) b ℜ 2 V F

d) c ℜ 3 V F

e) {1, 2, 3} ⊆ C V F

3

f) D ⊃ {a, b, c} V F

g) c è immagine di 3 V F

h) a è controimmagine di 1 V F

i) 2 è controimmagine di b V F

l) {(1, a), (2, b), (3, c)} = ℜ −1

V F

m) a ℜ 2 V F

n) ℜ = D × C V F

o) 1 ℜ a V F

p) (a, 1) ∈ C × D V F

q) 3 è controimmagine di c V F

11) Nella seguente tabella è rappresentata una relazione ℜ da S verso T :

Completa le seguenti proposizioni in modo che esse risultino vere:

a) (1, − 1) …. ℜ e ( …. , 9) ∈ ℜ;

b) 2 … D e 1 …. C ;

c) S …. D e C …. T ;

d) (2, …. ) ∈ ℜ e (1, 3) …. ℜ ;

e) {2, 4} ⊄ …. e {0, 3}⊄ ….;

f) ℜ = {(… , …), (… , …), (… , …), (… , …)};

g) ℜ …. S × T ;

h) y ℜ x se “y è ……………………… di x” ;

i) (1, 1) …. ℜ −1

e (1, 1) …. ℜ .

ℜ 0 1 3 4 6 9

− 1 1

1 1

2 1

3 1

4

4

12) Siano ℜ1 = {(m, p), (s, z), (n, f), (s, p)} e ℜ2 = {(z, s), (p, m), (z, n), (f, s)} le rappresentazioni

tabulari delle relazioni ℜ1 e ℜ2 ; siano D1 e C1 il dominio e codominio di ℜ1, D2 e C2 il

dominio e codominio di ℜ2. Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?

a) D1 = C 2

b) C 1 = D 2

c) ℜ2 = (ℜ1) −1

d) m ℜ1 p ∧ p ℜ2 m

e) n ℜ1 f ∨ f ℜ2 n

13) Sia ℜ una relazione definita in un insieme A. Quali proprietà possono valere per ℜ ? Enuncia

tali proprietà.

14) Sia ℜ una relazione definita in un insieme A:

a) se ∃! x ∈ A x ℜ x, allora ℜ è riflessiva V F

b) se ∃ x ∈ A x ℜ x , allora ℜ non è antiriflessiva V F

c) se ∃ x, y ∈ A x ℜ y e y ℜ x, allora ℜ è simmetrica V F

d) se ∀ x, y ∈ A, x ≠ y : x ℜ y e y ℜ x, allora ℜ è antisimmetrica V F

e) se ∃ x, y ∈ A x ℜ y e y ℜ x, allora ℜ non è simmetrica V F

f) se ∃ x, y, z ∈ A x ℜ y, y ℜ z e x ℜ z, allora ℜ è transitiva V F

g) se ∃ x ∈ A x ℜ x, allora ℜ è riflessiva V F

15) Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?

a) Se ℜ è una relazione d’equivalenza, valgono la proprietà simmetrica e transitiva.

b) Se ℜ è una relazione d’equivalenza, vale la proprietà riflessiva.

c) Se per una relazione ℜ valgono la proprietà riflessiva e transitiva, ℜ è una

relazione d’equivalenza.

d) Se per una relazione ℜ vale la proprietà antiriflessiva, ℜ non è una relazione

d’equivalenza.

e) Se ℜ è una relazione d’equivalenza, valgono la proprietà riflessiva e transitiva.

16) Sia ℜ è una relazione d’equivalenza definita in un insieme A. Che cos’è una “classe di

equivalenza”? Come si indica?

5

17) Sia ℜ una relazione d’equivalenza definita in un insieme A. Che cos’è l’insieme quoziente?

Come si indica?

L’insieme quoziente è una partizione ? Motiva la tua risposta.

18) Sia ℜ una relazione d’equivalenza definita nell’insieme B = {f, g, h, k, m, n, p, s, t}; allora:

a) se m ℜ s allora s ℜ m V F

b) ∃ x ∈ B x ℜ x V F

c) se g ℜ h e g ℜ k, è sempre vero che h ℜ k V F

d) ∃ x ∈ B, x ℜ x V F

e) se m ℜ s, allora m∈ [s] V F

f) se g ℜ h e k ℜ h, è sempre vero che g ℜ k V F

g) ∃ x, y ∈ B x ℜ y , ma y ℜ x V F

19) Nella seguente tabella è rappresentata una relazione ℜ.

ℜ 2 4 6 8

2 ×××× ××××

4 ×××× ××××

6 ×××× ×××× ××××

8 ×××× ××××

Rappresentala in forma sagittale e in forma cartesiana e, successivamente, stabilisci se le seguenti

affermazioni sono vere o false:

a) ℜ è riflessiva V F

b) ℜ è simmetrica V F

c) ℜ è transitiva V F

d) ℜ è antisimmetrica V F

e) ℜ è antiriflessiva V F

f) ℜ è una relazione d’equivalenza V F

20) Quando una relazione è una relazione d’ordine?

21) Quando una relazione si dice di ordine stretto? E quando si dice d’ordine largo?

6

22) Quando una relazione d’ordine si dice d’ordine totale? E quando di ordine parziale?

23) Stabilisci se sono vere o false le seguenti affermazioni:

a) Se ℜ è una relazione d’ordine, vale sicuramente la proprietà antiriflessiva. V F

b) Se ℜ è una relazione d’ordine, vale la proprietà transitiva. V F

c) Se ℜ è una relazione d’ordine, vale la proprietà simmetrica. V F

Rappresenta con un grafo:

24) una relazione d’equivalenza;

25) una relazione d’ordine largo totale;

26) una relazione d’ordine stretto totale;

27) una relazione d’ordine largo parziale;

28) una relazione d’ordine stretto parziale.

29) In figura è rappresentata una relazione ℜ definita in un insieme A.

Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:

a) ℜ è una relazione d’ordine. V F

b) ℜ è una relazione d’ordine stretto. V F

c) ℜ è una relazione d’ordine parziale . V F

30) Sia ℜ = {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d)} il grafico di una relazione ℜ definita in un insieme A.

Della relazione ℜ si può dire che:

a) è riflessiva V F

b) è antisimmetrica V F

c) è transitiva V F

f) è una relazione d’ordine parziale V F

7

31) Quali caratteristiche deve avere una relazione per essere una funzione?

32) Perché la relazione rappresentata in figura non è una funzione?

33) Sia ℜ = {(1, a), (2, b), (3, b)} una relazione da A verso B, dove A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c}.

La relazione ℜ è una funzione? Giustifica la tua risposta.

34) Quando una funzione è iniettiva? E suriettiva?

35) Quando una funzione è biunivoca?

36) Nelle seguenti figure sono rappresentate tre relazioni. Stabilisci se esse sono delle funzioni e, in

caso affermativo, indicane il tipo.

fig. 1 fig. 2 fig.3

37) Sia f una funzione da S = {−1, 0, 4, 7} verso T = {9, 6, 8}; le seguenti affermazioni sono vere o

false?

a) f può essere iniettiva; V F

b) f può essere suriettiva; V F

c) f può essere biunivoca; V F

d) almeno un elemento di A ha più di un’immagine in B; V F

e) ciascuno degli elementi di B può avere una sola controimmagine in A. V F

ℜ 1 2 3 4 5

bus ××××

orso ××××

la ××××

per ××××

8

38) Dati gli insiemi D = {−5, −1, 1, 5} e F = {0, 2, 4, 7}, sia g una funzione da F verso D . Le

seguenti affermazioni sono vere o false?

a) g può essere iniettiva; V F

b) g può essere suriettiva; V F

c) g può essere biunivoca; V F

d) se g è suriettiva, almeno un elemento di F ha due V F

immagini in D;

e) se g è iniettiva, non può essere suriettiva; V F

f) la relazione inversa può essere una funzione ; V F

g) se g non è suriettiva, g non è iniettiva. V F

39) Dati gli insiemi G = {a, b, c} e M = {1, 3, 7, 9, 13} sia h una funzione da M verso G. Le

seguenti affermazioni sono vere o false?

a) h può essere iniettiva; V F

b) h può essere suriettiva; V F

c) h può essere biunivoca; V F

d) se h è suriettiva, almeno un elemento di M ha più di V F

un’immagine in G;

e) la relazione inversa non può essere una funzione. V F

40) Sia f : A → B una funzione. Una sola delle seguenti affermazioni è vera; quale?

a) Se f è suriettiva , almeno un elemento di B non ha controimmagine in A.

b) Se elementi distinti di A hanno immagini distinte, f è biunivoca.

c) Se un elemento di B ha due controimmagini in A, f è iniettiva.

d) Se f è iniettiva, è anche suriettiva.

e) Se f è biunivoca, allora f è iniettiva.

41) Quando l’inversa di una funzione è ancora una funzione?

42) Di seguito sono rappresentate tre funzioni; la relazione inversa è una funzione:

9


a) Solo in fig. 1

b) Solo in fig. 2

c) Solo in fig. 3

d) In fig. 2 e in fig. 3

e) In fig. 1 e in fig. 3

43) Siano f : A→ B e g : B → C due funzioni; cosa indica la scrittura g ° f ? E la scrittura f ° g ?

Stabilisci se le seguenti relazioni sono corrette:

( )( ) ))(( xfgxfg =o ; ( ) ))(()( xfgxgf =o ;

( ) ))(()( xgfxgf =o ; ( )( ) ))(( xgfxfg =o .

44) Per il prodotto fra due funzioni vale la proprietà commutativa?

45) Se una funzione f è invertibile, quale funzione si ottiene dal prodotto fra f e la sua inversa f −1

?

46) Siano F = {(1, 5), (2, 5), (3, 6)} e G = {(5, 9), (6, 10)} le rappresentazioni tabulari,

rispettivamente, di una funzione f e di una funzione g. Una sola delle seguenti affermazioni è

vera. Quale?

a) {(9, 1), (9, 2), (10, 3)} è la rappresentazione tabulare di g ° f

b) 2 è l’immagine di 9 nella funzione g ° f

c) 1 è la controimmagine di 9 nella funzione g ° f

d) 10 è la controimmagine di 3 nella funzione f ° g

e) La funzione g ° f è invertibile.

10

Esercizi

Le relazioni

1) Dati gli insiemi

A = {Bari, Milano, Trento, Napoli, Rieti, Ancona, Parma};

B ={Lazio, Marche, Veneto, Puglia, Piemonte, Campania},

sia ℜ la relazione da A verso B definita dalla proposizione aperta p(x, y) : “x è una città di y”.

Dopo aver rappresentato la relazione mediante tabella a doppia entrata, determina:

a) il grafico ℜ della relazione;

b) il dominio della relazione;

c) il codominio della relazione.

2) Siano E = {mare, neve, ferro, strada, scia, ruota, foglia} e F = {x ∈ N 1 < x ≤ 7 } due insiemi

e ℜ una relazione da E verso F così definita: “x è formata da y lettere”.

Rappresenta la relazione in tutti i modi possibili e, successivamente, determina la

rappresentazione tabulare del suo dominio e del suo codominio.

3) Sia ℜ la relazione da S verso T così definita: “x termina con y”, essendo S = {rosso, nero,

celeste, viola, bianco, rosa, verde} e T = {a, e, i, o, u}.

Rappresenta la relazione ℜ in forma cartesiana e mediante tabella a doppia entrata; stabilisci se

le seguenti affermazioni sono vere o false:

a) (o, rosso) ∈ ℜ V F

b) {(viola, a)} ⊂ ℜ V F

c) u ∉ C V F

d) D ⊆ S V F

e) a ℜ rosa V F

f) e è immagine di verde V F

g) nero ℜ o V F

h) C ⊂ T V F

i) nero è controimmagine di o V F

l) i non ha controimmagine in S V F

11

4) Siano A = {x ∈ Z −4 ≤ x ≤ 3} e B = {x ∈ N 1 ≤ x < 10} due insiemi; ℜ una relazione da A

verso B così definita: x ℜ y ⇔ y = x2.

Dopo aver rappresentato ℜ in forma cartesiana, completa le seguenti proposizioni in modo che

esse risultino vere:

a) {−2, 1} …. D

b) −4 ∉ ….

c) 2 ℜ ….

d) 9 è immagine di …. e di ….

e) 6 …. C

f) −1 è controimmagine di ….

g) −2 …. 4

h) {1, 4, 9} = ….

i) 3 …. D

l) 0 …. D

m) −3 è .………………………. di 9

n) ℜ …. A × B

5) Sia ℜ = {(a, m), (c, s), (a, d), (e, p), (e, s)} la rappresentazione tabulare di una relazione ℜ.

Qual è il dominio di ℜ ? E il codominio?

6) Rappresenta in forma tabulare il dominio D e il codominio C delle relazioni rappresentate nelle

seguenti figure:

fig. a fig. b fig.c

Completa, poi, le seguenti proposizioni:

in fig. a: A … D e C … B

in fig. b: D … M e T … C

in fig. c: D … S e C … P

12

7) Nelle seguenti figure sono rappresentate alcune relazioni da un insieme A verso un insieme B;

per ciascuna di esse determina:

� l’insieme A e l’insieme B;

� il grafico di ℜ;

� dominio e codominio.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

8) Nella seguente tabella è rappresentata una relazione ℜ da A verso B:

rappresentala in forma sagittale ed in forma tabulare; stabilisci, inoltre, se le seguenti

affermazioni sono vere o false:

5 ℜ 4 V F; 6 ℜ 7 V F

2 ℜ 5 V F; 5 ∈ B V F

{1, 5} ⊂ C V F; D ⊃ {0, 2} V F

7 ∉ C V F; {0}⊂ D V F

(6, 7) ∈ ℜ V F; (6,1) ∉ ℜ V F

(1, 0) ∉ ℜ V F; {0, 4, 6} ⊂ D V F

ℜ 0 3 5 7

1 ××××

6 ×××× ××××

9 ××××

ℜ f g h s

a 1

b 1

c 1 1

d 1

ℜ 3 6 9 12

2

4 1 1

6 1

8

ℜ 1 5 7

0 ××××

2

4 ××××

6 ××××

13

9) Completa le seguenti figure in modo che esse rappresentino la stessa relazione ℜ da A verso B.

Siano A = {x ∈ Z −2 ≤ x < 6} e B = {x ∈ Z −4 ≤ x < 3 } due insiemi.

Rappresenta, in forma tabulare e cartesiana, le seguenti relazioni e determina, per ciascuna di

esse, dominio e codominio.

10) ℜ : x ℜ y ⇔ “x − y < 0”.

11) ℜ: x ℜ y ⇔ “x e y sono discordi”.

12) ℜ: x ℜ y ⇔ “x è la metà di y”.

13) ℜ: x ℜ y ⇔ “la differenza fra il doppio di x e y è minore di 1”.

14) ℜ: x ℜ y ⇔ “y

x è una frazione apparente”.

Sia B = {x ∈ N / x < 15}; rappresenta, in forma tabulare e con un grafo, le seguenti relazioni

definite in B:

15) ℜ1: x ℜ1 y ⇔ “x è il triplo di y”.

16) ℜ2: x ℜ2 y ⇔ “x e y sono coprimi”.

17) ℜ3: x ℜ3 y ⇔ “la somma fra x e il doppio di y è maggiore di 15”.

18) ℜ4: x ℜ4 y ⇔ “il prodotto fra x e y è minore di 10”.

19) ℜ5: x ℜ5 y⇔ “la differenza fra la metà di x e il doppio di y è un numero naturale”.

20) ℜ6: x ℜ6 y ⇔ “il quoziente fra x e y è un numero naturale”.

21) Dati gli insiemi A = {x ∈ N 2 ≤ x < 18 e x è pari} e B = {x ∈ N x ≤ 5}, sia ℜ la relazione da

A verso B definita dalla proposizione aperta p(x, y) : “y è un divisore di x”.

o Rappresenta ℜ mediante tabella a doppia entrata.

o Rappresenta in forma tabulare l’insieme D = {y ∈ B ∀ x ∈ A, x ℜ y} e l’insieme

F = {y ∈ B ∀ x ∈ A, x ℜ y}.

o Determina il sottoinsieme di B formato da elementi che hanno solo due controimmagini in A.

o Determina il sottoinsieme di A formato da elementi che hanno almeno tre immagini in B.

ℜ … 5 9 …

a ××××

…

c ××××

14

La relazione inversa

22) Sia ℜ = {(m, 2), (f, 5), (h, 7), (m, 4), (h, 9)} il grafico di una relazione ℜ. Determina la

rappresentazione tabulare di ℜ−1.

23) Dati gli insiemi A = {x ∈ Z −4 ≤ x < 5} e B = {x ∈ N x ≤ 8 }; sia ℜ la relazione da A verso B

così definita: x ℜ y ⇔ “y è la differenza fra 1 e x”.

Rappresenta, in forma tabulare e mediante tabella a doppia entrata, ℜ−1 . Qual è la proposizione

aperta che definisce ℜ−1?

24) Siano A = {x ∈ N x = 4n ∧ n = 1, 3, 5, 7 } e B = {1, 3, 5} due insiemi; sia ℜ la relazione da A

verso B definita dalla proposizione p(x, y) : “x è multiplo di y”.

Rappresenta ℜ−1 in forma cartesiana ; determina dominio e codominio di ℜ−1

.

Stabilisci se sono vere o false le seguenti affermazioni:

a) 4 ℜ 1 V F

b) (2,12) ∈ ℜ−1 ∧ (20, 2) ∈ ℜ−1

V F

c) (4, 3) ∉ ℜ V F

d) 3 ℜ 12 V F

e) 2 è immagine di 4 nella relazione ℜ ed è V F

controimmagine di 12 nella relazione ℜ−1

f) 3 non ha controimmagini nella relazione V F

ℜ ma ha un’ immagine nella relazione ℜ−1

g) Dℜ ⊂ Cℜ1− V F

h) D ℜ1− = C ℜ V F

25) In figura sono rappresentate tre relazioni. Per ciascuna di esse determina la rappresentazione

sagittale della relazione inversa e rappresenta, nel modo che ritieni opportuno, dominio e

codominio di ℜ−1.

(a) (b) (c)

ℜ 7 8 9 10

0 1

1

2 1 1

3

ℜ d f g

m 1

p 1

s

t 1 1

15

Le relazioni in un insieme

26) Sia ℜ = {(1, 1), (1, 4), (1, 2), (2, 4), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} la rappresentazione

tabulare di una relazione ℜ definita in un insieme A. Rappresenta ℜ con un grafo e stabilisci

quali proprietà valgono per essa.

27) Le seguenti figure rappresentano delle relazioni definite da un insieme in se stesso.

Individua le proprietà che valgono per ciascuna di esse.

fig. a fig. b fig. c

fig. d fig. e fig. f

fig. g fig. h fig. i

28) Sia A = {x ∈ N 0 < x ≤ 8} e ℜ una relazione da A in se stesso così definita:

x ℜ y ⇔ “il prodotto fra x e y è un numero pari”.

Dopo aver rappresentato la relazione in tutti i modo possibili, individua le proprietà che

valgono per essa.

ℜ 2 4 6 8 10

2 1 1

4

6

8 1 1

10

ℜ 5 6 7 8 9

5 ×××× ×××× ××××

6 ×××× ××××

7 ××××

8 ××××

9

ℜ a b c d e

a ×××× ×××× ××××

b ×××× ×××× ××××

c ××××

d ×××× ×××× ××××

e ××××

16

29) Osserva il grafo della relazione ℜ definita nell’insieme A e completa le seguenti affermazioni in

modo che risultino vere:

a) ℜ = {……………………………………………………………………………… };

b) ℜ è riflessiva perché ………………………………………………………………..;

c) ℜ è ……………………. perché ∀ x, y ∈ A, x ≠ y : se x ℜ y anche y ℜ x ;

d) ℜ è transitiva perché ………………………………………………………………. ;

e) ℜ è una relazione … ………………………. perché è …………………….,

…………………… e ………………………………….. .

f) [a] = {…, …, …};

g) […] = {b, …};

h) [ ] [ ] [ ]{ }...,...,a=ℜ... .

30) Osserva il grafo della relazione ℜ definita nell’insieme B e completa le seguenti proposizioni in

modo che esse risultino vere:

a) ℜ è …………………………….. perché ogni elemento di B non è in relazione con

se stesso;

b) ℜ è antisimmetrica, perché ………………………………………………………. ;

c) ℜ è transitiva, perché ……………………………………………………………. ;

d) ℜ è una relazione ….. …….…….. …………….. perché è …………………….,

…………………………………… e ……………………………………. ;

e) ℜ è una relazione … ……………….. parziale, perché …………………………. .

17

31) Osserva i seguenti grafi e stabilisci se le relazioni da essi rappresentate sono relazioni di

equivalenza o relazioni d’ordine.

Qualora siano relazioni di equivalenza, determina le classi di equivalenza e l’insieme quoziente;

qualora siano relazioni d’ordine, specifica se sono relazioni d’ordine stretto o relazioni d’ordine

largo, relazioni d’ordine parziale o relazioni d’ordine totale.

fig. 1 fig. 2

fig. 3 fig. 4

Studia la relazione ℜ definita nell’insieme indicato.

Qualora ℜ sia una relazione d’equivalenza, determina l’insieme quoziente; qualora sia una

relazione d’ordine, indica se è d’ordine largo o stretto, parziale o totale. (Esempi 1 - 2, Teoria,

fasc. 2, pag. 42):

32) ℜ : x ℜ y ⇔ “x termina con la stessa lettera di y”.

A = {mosca, bue, panda, gatto, cane, iena, orso}

Rappresenta ℜ con un grafo.

33) ℜ : x ℜ y ⇔ “x e y iniziano con la stessa cifra”.

B = {23, 456, 201, 43, 37, 44, 65, 232, 48, 60}


34) ℜ : x ℜ y ⇔ “y

x è una frazione propria”.

C = {x ∈ N 2 < x < 8}

Rappresenta ℜ in forma cartesiana.

18

35) ℜ : x ℜ y ⇔ “x è divisore di y”.

D = {x ∈ N 0 < x ≤ 15}

Rappresenta la relazione mediante tabella a doppia entrata.

36) ℜ : x ℜ y ⇔ “la somma fra x e y è multiplo di 3”.

E = {x ∈ N 3 ≤ x ≤ 12}

Rappresenta la relazione con un grafo.

37) ℜ : x ℜ y ⇔ “il prodotto delle cifre di x è minore del prodotto delle cifre di y”.

F = {13, 67, 25, 28, 43, 428, 301, 182, 92}


38) Marco, Luigi, Simone e Nicola si sono sfidati in una corsa in bicicletta ed hanno chiesto a

Marta di compilare l’ordine di arrivo.

Marta, allora, ha costruito un grafo dove è rappresentata la relazione “x è arrivato dietro a y”

(per semplicità ha riportato solo le iniziali dei nomi dei quattro amici).

Qual è l’ordine di arrivo?

39) Aldo, Luca, Bruno, Enrico, Carlo, Giulio, Dario, Fabio, partecipano ad un torneo di tennis

organizzato dal Circolo di Manigoldia. Il torneo si svolge con incontri ad eliminazione diretta.

Il seguente grafo (per semplicità sono state riportate le iniziali dei nomi dei giocatori)

rappresenta la relazione “x ha vinto con y”.

a) Chi è stato eliminato al primo turno?

b) Quali sono stati gli incontri di semifinale?

c) Chi ha vinto il torneo?

19

Funzioni

40) Quali delle relazioni rappresentate nelle seguenti figure sono funzioni? Perché?




r

s

fig. 10 fig. 11 fig. 12

ℜ 3 4 5 6

a 1

b

c 1

d 5

e 1

ℜ 2 4 6

7 1

12 1

19 1

25 1

29 1

ℜ f g h m p

10 1

13 1

16 1

19 1 1

22 1

•

•

•

• •

•

•

• a

b

a

c

a

d

a

1

2

3

4 •

•

• •

•

•

• m

p

bs

c e

1

h2

f1

vg c

d

•

•

•

•

•

• b

m

a

p

6

7

8

• •

• •

• a

b

a c

a

d

a

e

a

•

•

•

•

42

3

5 m

e

•

•

g

b

t

b

• •

•

20

41) Dati gli insiemi A = {4, 6, 8, 10, 12} e B = {x ∈ N x < 7}, sia ℜ la relazione da A verso B così

definita:

x ℜ y ⇔ “y è la metà di x”.

Determina dominio e codominio di ℜ e stabilisci se ℜ è una funzione.

42) Sia ℜ una relazione da A verso B così definita:

x ℜ y ⇔ “ x inizia con y”,

dove A = {x x è una parola della lingua italiana } e B = {x x è una lettera dell’alfabeto

italiano }.

ℜ è una funzione? Motiva la tua risposta.

La relazione inversa è una funzione? Motiva la tua risposta.

43) Siano A l’insieme formato dai cognomi dei tuoi compagni di classe e B l’insieme delle lettere

dell’alfabeto italiano; la relazione da A verso B che ad ogni alunno associa la lettera con cui

inizia il cognome è una funzione?

La relazione inversa è una funzione? Motiva le tue risposte.

44) Siano A = {−1, 0, 1, 2} e B = {a, b, c} due insiemi e ℜ = {(−1, d), (0, c), (2, b), (1, a)} il

grafico di una relazione ℜ.

Rappresenta ℜ in forma sagittale e stabilisci se essa è una funzione.

45) Dati gli insiemi E = {4, 6, 8} e F = {5, 7, 9, 11}, sia ℜ = {(4, 5), (6, 7), (8, 9)} la

rappresentazione tabulare di una relazione ℜ da E verso F.

Rappresenta la relazione in forma cartesiana, stabilisci se essa è una funzione e, in caso di

risposta affermativa, determina il suo codominio.

46) Dati gli insiemi G = {m, n, p, s} e H = {a, e, u}, sia ℜ una relazione da G verso H tale che:

m ℜ a , n ℜ e , p ℜ u .

Rappresenta ℜ in forma matriciale; stabilisci se ℜ è una funzione e, in caso di risposta

affermativa, determina il suo codominio.

47) Dati gli insiemi M = {−2, −1, 0, 1, 2} e P = {0, 1}, sia ℜ la relazione da M verso P tale che

ogni numero negativo di M ha come immagine 0 e ogni numero positivo di M ha come

immagine 1.

Dopo aver rappresentato ℜ, sia in forma sagittale che mediante tabella a doppia entrata,

stabilisci se essa è una funzione. In caso di risposta negativa, determina un sottoinsieme di M in

modo tale che la relazione ℜ sia una funzione.

21

48) Nelle seguenti figure sono rappresentate alcune relazioni.

Stabilisci se esse sono delle funzioni e, nel caso di risposta affermativa, classificale.

(Classificare una funzione vuol dire stabilire se essa è iniettiva, suriettiva, biunivoca)



fig. 7 fig. 8 fig. 9 fig. 10

fig. 11 fig. 12 fig. 13

m

bn

c

r

c

s

c

f

c

g

c

n

s

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• 2

4

a

2 b

ac

a

3

6 •

•

•

• •

• 9 8

2

5 5

3

61

7

2 •

•

•

• •

•

•

8

v

cb

n

m

b

•

•

•

•

•

•

•

•

u

n

s

c

c

u

a

cz

cv

cm

b

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• •

• r

b

m

a s

c

z

ed

a

•

•

•

1

23

r

b

s

c

•

• •

•

•

t

c

z

cv

c

•

•

• •

a

b

a

c

a

1

22

49) Nella seguente figura è rappresentata una funzione f :

Completa le seguenti proposizioni:

a) f ( … ) = f ( … ) = 1;

b) a è controimmagine di ……;

c) 3 non ha …………………..;

d) c è ………………….. di 1;

e) f (b) = ……. ;

f) C f = {………………….} ;

g) C f ⊂ …. .

Esempio

Siano A = {− 4, −2, 0, 2} e B = {x ∈ Z −2 < x < 4} due insiemi e ℜ la relazione da A verso B

definita dalla proposizione aperta m(x, y) : “y è uguale alla metà di x, aumentata di 1”.

Stabilisci se ℜ è una funzione e, eventualmente, classificala.

Rappresentiamo B in forma tabulare: B = {−1, 0, 1, 2, 3}.

Riscriviamo la relazione ℜ in simboli:

x ℜ y ⇔ y = 12

+x

e stabiliamo se ogni elemento di A ha un’immagine in B.

Se x = − 4, allora y = 12

4+

− = −2 + 1 = −1; poiché −1 ∈ B, (− 4) ℜ (−1) e, quindi, − 4 ha

immagine in B;

se x = −2, allora y = 12

2+

− = −1 +1 = 0; poiché 0 ∈ B, (−2) ℜ 0 e, quindi, −2 ha immagine in B;

se x = 0, allora y = 12

0+ = 0 + 1 = 1; poiché 1 ∈ B, 0 ℜ 1 e, quindi, 0 ha immagine in B;

1

2

c

a

a

b

a

•

•

•

•

•

•

•

d

a

3

A B

A

23

se x = 2, allora y = 12

2+ = 1 + 1 = 2; poiché 2 ∈ B, 2 ℜ 2 e, quindi, 2 ha immagine in B.

Tutti gli elementi di A hanno una ed una sola immagine in B, quindi la relazione ℜℜℜℜ è una

funzione.

Rappresentiamo ℜ in forma sagittale:

2

Osserviamo che:

• elementi distinti di A hanno immagini distinte in B, quindi ℜℜℜℜ è una funzione iniettiva;

• esiste un elemento di B che non ha controimmagine in A, quindi ℜℜℜℜ non è suriettiva e,

dunque, non è biunivoca.

La relazione ℜℜℜℜ è, pertanto, una funzione iniettiva.

50) Dati gli insiemi A = {x ∈ N 0 < x < 6} e B = {x ∈ Z − 4 < x < 7}, sia ℜ la relazione da A

verso B così definita dalla:

x ℜ y ⇔ : “ y è uguale al doppio di x, diminuito di 3”.

Dopo aver rappresentato in forma tabulare l’insieme A, il dominio e il codominio di ℜ,

stabilisci se la relazione ℜ è una funzione. Nel caso in cui ℜ sia una funzione, classificala.

51) Dati gli insiemi A = {x ∈ Z x = 3n − 5 con n ∈ N ∧ 0 ≤ n < 6} e B = {x ∈ Z − 4 < x < 40},

sia ℜ la relazione da A verso B così definita :

x ℜ y ⇔ “y è uguale al triplo di x, aumentato di 4”.

Dopo aver rappresentato in forma tabulare l’insieme A, il dominio e il codominio di ℜ,


52) Siano F = {x ∈ Z −3 ≤ x ≤ 4} e E = {1, 3, 9, 19, 33} due insiemi e ℜ una relazione da D

verso E così definita:

x ℜ y ⇔ “y è uguale alla somma fra il doppio del quadrato di x e 1”.

Dopo aver rappresentato in forma tabulare l’insieme F, il dominio e il codominio di ℜ,


B

A

A

2

0

−2

2

−4

2

1

−1

0

3 •

•

• •

•

•

•

•

•

24

53) Sia ℜ la relazione da G verso H così definita:

x ℜ y ⇔ “ y è uguale al doppio della somma fra x e 3”

con G = {x ∈ N x = 2n + 1 ∧ n ∈ N ∧ 1 ≤ n < 9} e H = {x ∈ N x = 4n ∧ n ∈ N ∧ 2 ≤ n < 6}.

Dopo aver rappresentato in forma tabulare l’insieme G, il dominio e il codominio di ℜ,

stabilisci se la relazione ℜ è una funzione.

Nel caso in cui ℜ sia una funzione, classificala.

54) Dati gli insiemi F = {−1, 1, 2, 7} e S = {−3, −2, −1, 0, 1, 2}, sia ℜ la relazione da F verso S così

definita:

x ℜ y ⇔ “aggiungendo 2 ad x si ottiene il quadrato di y”.

Dopo aver rappresentato in forma tabulare l’insieme F, il dominio e il codominio di ℜ,


55) Siano A = {2, 3, 4, 5} e B = {0, 1, 2} due insiemi e f una funzione da A verso B tale che:

f (2) = 2; f (3) = 0; f (4) = 2; f (5) = 0 .

Rappresenta la funzione mediante tabella a doppia entrata e classificala.

56) Sia f una funzione da E = {−3, −2, −1, 0} verso H = {2, 3, 4, 5, 6} tale che:

f (−2) = 6; f (−3) = 2; f (0) = 5; f (−1) = 3 .

Rappresenta f in forma cartesiana e classificala.

57) Sia f una funzione da A = {−2, 0, 3} verso B = {−1, 1}; quale delle seguenti affermazioni è

sicuramente vera?

a) Ogni elemento di B ha almeno una controimmagine in A.

b) Esiste almeno un elemento di B che non ha controimmagine.

c) Elementi distinti di A hanno sempre immagini distinte.

d) Ogni elemento di B ha una sola controimmagine in A.

e) Esistono almeno due elementi distinti di A che hanno la stessa immagine in B.

58) Sia g una funzione suriettiva da A = {−1, 0, 1, 2} verso B = {a, b, c} tale che:

f (−1) = f (1) = b; f (0) = c.

A quanto è uguale f (2)? Motiva la tua risposta.

25

59) Sia f una funzione iniettiva da S = {−4, −2, −1, 1} verso T = {0, 1, 2, 4, 5} tale che:

f (−4) = 4; f (−1) = 0; f (1) = 2.

Una sola delle seguenti affermazioni è sicuramente vera. Quale?

a) f (−2) = 2;

b) f (−2) = 1;

c) f (−2) = 5;

d) f (−2) = 1 ∨ f (−2) = 5;

e) f (−2) = 1 ∧ f (−2) = 5.

60) Sia s una funzione suriettiva da M = {3, 4, 6, 7, 9} verso P = {a, b, c, d, e} tale che:

s (4) = a; s (3) = d; s (7) = e; s (9) = b.

Qual è la controimmagine di c? Motiva la tua risposta.

61) Dati gli insiemi A = {3, 0, 1, 2, −1} e B = {a, b, c, d}, sia f : A → B una funzione suriettiva.

Sapendo che :

� a, c, d hanno una sola controimmagine;

� f (3) = a; f (0) = c; f (−1) = d ,

determina f (2) e f (1).

62) Dati gli insiemi A = {−1, 2, 0, 4} e B = {m, s, p, t}, sia f una funzione iniettiva da A verso B.

Sapendo che:

f (2) = s; f (0) = p; f (4) = t,

puoi affermare che f è biunivoca?

63) Siano A = {x ∈ N 0 < x < 6} e B = {x ∈Q 1 ≤ x ≤ 2} due insiemi e sia ℜ la relazione da A

verso B così definita:

x ℜ y ⇔ y = 1

32

−−

x

x .

Dopo aver rappresentato in forma tabulare l’insieme A, il dominio ed il codominio di ℜ, spiega

per quale motivo la relazione ℜ non è una funzione.

Determina il sottoinsieme A’ di A in modo tale che la relazione ℜ da A’ verso B sia una

funzione.

26

64) Dati gli insiemi A = {x ∈ Z − 4 ≤ x ≤ 2} e B = {x ∈Q −3 ≤ x < 2}, sia ℜ la relazione da A


x ℜ y ⇔ y = 4

32 −x

x .

Rappresenta in forma tabulare gli insiemi A e B, il dominio e il codominio di ℜ e spiega per

quale motivo la relazione ℜ non è una funzione.


funzione.

65) Siano A = {x ∈ Z −3 < x ≤ 2} e B = {−4, −1, 1, 4} due insiemi; sia ℜ una relazione da A


x ℜ y ⇔ “y è uguale alla differenza fra il triplo di x ed il rapporto fra 4 e x stesso”.

Rappresenta in forma tabulare gli insiemi A e B, il dominio e il codominio di ℜ e spiega per

quale motivo la relazione ℜ non è una funzione.


funzione.

66) Sia ℜ una relazione da N verso N così definita:

x ℜ y ⇔ y = 2

1−x.

Rappresenta per caratteristica il dominio di ℜ e spiega per quale motivo la relazione ℜ non è

una funzione.

Determina il sottoinsieme A di N in modo tale che la relazione ℜ da A verso N sia una

funzione.

67) Siano A = {x ∈ Z −3 ≤ x ≤ 3} e B = {x ∈ N 0 ≤ x < 10} due insiemi e sia ℜ la relazione da A


x ℜ y ⇔ y = x 2.

Una sola delle seguenti proposizioni è vera; quale?

a) ℜ è una funzione suriettiva;

b) ℜ−1 è una funzione;

c) ℜ è una funzione biunivoca;

d) ℜ è una funzione iniettiva;

e) ℜ è una funzione.

27

68) Siano A = { ∈x Z ∈∧−

= nn

nx

43 N }71 <≤∧ n e B = {x ∈ N 0 < x < 3} due insiemi

e sia f la funzione da A verso B tale che f(x) = x .

Rappresenta la funzione f in forma sagittale e stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o

false:

a) f è iniettiva V F

b) f è suriettiva V F

c) f è biunivoca V F

d) l’inversa di f è una funzione V F

e) C f ⊂ B V F

f) ∃! x ∈ A f(x) = 1 V F

g) ∃! x ∈ A f(x) = 2 V F

69) Completa la seguente figura sapendo che f : A → B è una funzione biunivoca e che:

f (1) = 9; f −1

(6) = 3; f −1

(7) = 4.

70) Completa la seguente figura sapendo che f : A → B è una funzione biunivoca e che:

f (a) = r; f −1

( t) = b; f (d) = s; f −1

(m) = c.

9

2

3

4

1

8

•

•

•

• •

•

•

•

A8

B

A

7

6

28

Esempio

La funzione f : N → N f (x) = x + 2 non è invertibile.

Affinché una funzione sia invertibile, essa deve essere biunivoca, cioè deve essere iniettiva e

suriettiva.

La funzione f è sicuramente iniettiva per definizione di addizione.

Vediamo se f è suriettiva e, a tal fine, determiniamo i corrispondenti di alcuni numeri naturali:

f (0) = 0 + 2 = 2;

f (1) = 1 + 2 = 3;

f (2) = 2 + 2 = 4;

f (3) = 3 + 2 = 5;

..............................

f (9) = 9 + 2 = 11

Osservando i risultati ottenuti, notiamo che, aumentando il valore assegnato ad x, anche il

valore del suo corrispondente aumenta.

Si vede, allora, che dal codominio di f sono esclusi i numeri 0 e 1, cioè C f = {x ∈ N x > 1 }.

La funzione f non è, quindi, suriettiva e, dunque, non è biunivoca.

La funzione f , allora, non è invertibile.

La funzione f è invertibile se è definita da N verso N − {0, 1}, cioè f : N → N − {0, 1}.

Determiniamo, in tal caso, la sua funzione inversa.

La funzione inversa ha come dominio N − {0, 1}, come codominio N ed è tale che:

f −1

(2) = 0; f −1

(3) = 1; f −1

(4) = 2; ........................

L’immagine di x ∈ N − {0, 1} si ottiene sottraendo ad x il valore 2. Del resto, se riflettiamo, la

sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione.

La funzione inversa, dunque, è f −1

: N − {0, 1} → N tale che f −1

(x) = x − 2.

Spiega perché le seguenti funzioni non sono invertibili. Dopo aver determinato, per ciascuna di

esse, un sottoinsieme di N in modo tale che esse risultino invertibili, scrivi la funzione inversa.

71) f : N → N tale che f (x) = x + 3

72) f : N → N tale che f (x) = x + 5

73) f : N → N tale che f (x) = 2 ⋅⋅⋅⋅ x

74) f : N → N tale che f (x) = 2 ⋅⋅⋅⋅ x + 1

29

75) f : N → N tale che f (x) = 2 ⋅⋅⋅⋅ x + 2

76) f : N0→ N tale che f (x) = 3 ⋅⋅⋅⋅ (x − 1)

77) f : Z → Z tale che f (x) = 2 ⋅⋅⋅⋅ (x − 4)

78) f : Z → Z tale che f (x) = x 2 − 1

79) f : Z → Z tale che f (x) = 2

32 +x

80) f : Z → Z tale che f (x) = 3 ⋅⋅⋅⋅ (x − 2)

81) f : {x ∈ N x = 2 ⋅⋅⋅⋅ n ∧ n ∈ N} → N tale che f (x) = 22

+x

Le seguenti funzioni sono invertibili; determina la funzione inversa:

82) f : Z → Z tale che f(x) = x − 2

83) f : Z → Z tale che f(x) = x − 5

84) f : Z → Z tale che f(x) = 8 − x

85) f : Q → Q tale che f(x) = 2 ⋅⋅⋅⋅ x

86) f : Q → Q tale che f(x) = 13

+x

87) f : Q → Q tale che f(x) = 3

1+x

88) f : Q → Q tale che f(x) = 2 ⋅⋅⋅⋅ x − 3

89) f : Q → Q tale che f(x) = 2 ⋅⋅⋅⋅ x + 5

90) f : Q → Q tale che f(x) = 2 ⋅⋅⋅⋅ (x + 5)

91) f : Q → Q tale che f(x) = 12

+−x

92) f : Q → Q tale che f(x) = 2

3+−

x

30

93) Nella seguente figura sono rappresentate le funzioni f : A → B e g : B → C

aA

Completa le seguente relazioni in modo che esse risultino vere:

a) ( )fg o (a) = ……

b) g (f (…)) = 7

c) ( )fg o (c) = ……

d) g (f (…)) = g (f (…)) = g (f (…)) = 6

e) g (f ( d )) = g (…) = …

94) Completa la rappresentazione sagittale delle funzioni f : A → B e g : B → C sapendo che:

f (4) = 6; g (5) = 8; )( fg o (1) = 8;

)( fg o (2) = 10; g (7) = 9; )( fg o (3) = 9.

95) Sia F = {(1, 3), (2, 5), (0, 6)} il grafico di una funzione f e sia G = {(5, 9), (3, 7), (6, 4)} il

grafico di una funzione g.

Determina:

( )fg o (1); ( )fg o (2); ( )fg o (0)

2

3

1

7

6

a

Ab

ac

ad

a

•

•

• •

•

• •

•

•

A8

B

A

C

a

f g

f

7

3

2

1

•

•

•

• •

•

• •

•

•

g

f f

A8

B

AC

a

6

4

58

9

10

31

96) Dato l’insieme A = {2, 4, 6, 8}, siano f e g due funzioni definite in A tali che:

f (2) = 4; f (4) = 6; f (6) = 8; f (8) = 2;

g (2) = 8; g (4) = 2; g (6) = 4; g (8) = 6 .

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:

a) g (f (2)) = 6 V F

b) f (g (0)) = 0 V F

c) )( fg o (4) = 2 V F

d) )( gf o (8) = 8 V F

e) gffg oo = V F

f) gf o = i (dove i è la funzione identità) V F

97) Siano f e g due funzioni definite nell’insieme A = {0, 1, 2, 3} tali che:

f (0) = 3; f (1) = 1; f (2) = 0; f (3) = 2;

g (0) = 1; g (1) = 0; g (2) = 3; g (3) = 2

Determina:

( )fg o (0); ( )gf o (1); ( )gf o (3); ( )fg o (2);

f ( g (0)); g ( f(3)); f ( g (2)); g ( f (1).

E’ vero che fg o = gf o ?

98) Siano f : Z → Z tale che y = x + 4 e g : Z → Z tale che y = x − 2 due funzioni.

Determina 1−f , 1−g , fg o , gf o .

Completa:

)( fg o (0) = ...... ; )( gf o (−1) = ..... ; )( fg o (−2) = ..... ;

)( gf o (3) = ...... ; g ( f (...)) = 5; f ( g (1)) = ....... ;

)( 1−gf o (2) = ..... ; f ( f (−4)) = ..... ; f −1

( f (4)) = .....;

g(g( −3)) = .... ; )( 1 gg o− (....) = 9 ; )( 11 −− gf o (−7) = ..... ;

g−1

( f (−2)) = ….; f (g (….)) = 6; f −1

(g(−3)) = …..;

(....))( 1−ff = −1; 3(....))( =fg ; (....))( 11 −− fg = 1;

))5(( −gg = ….. ; (....))(gf = −3; )( 11 −− ff o (2) = …. .

99) Sia f : Z → Z tale che y = 4 − x una funzione.

Verifica che ff o = i (dove i è la funzione identità).

32

100) Sia g : Q − {0}→ Q −−−− {0} tale che y = x

2 una funzione.

Verifica che gg o = i

101) Sia f : Z → Z tale che y = x 2 + 1. Completa in modo che le seguenti relazioni risultino vere:

f (0) = …..

f (−1) = f (…) = ….

f ( …) = 0

f (…) = f (−2) = 5

f (…) = f (…) = 10

Rifletti sulle relazioni precedenti: f è iniettiva? Giustifica la tua risposta.

102) Siano h : Q → Q tale che y = 2 ⋅⋅⋅⋅ x e k : Q → Q tale che y = x + 1 due funzioni.

Una sola delle seguenti affermazioni è falsa. Quale?

a) )( hk o (−1) = −1;

b) h(k (−2)) = −2;

c) )( hk o (2) = h(k (2));

d) )1()()1)(( 111 −−− = hkkh oo ;

e) 11 −− = kkhh oo .

103) Siano f : Q → Q tale che y = 13

+−x

e h : Q → Q tale che y = −x due funzioni.

Una sola delle seguenti affermazioni è vera. Quale?

a) )0)(()0)(( fhhf oo = ;

b) ))3(())3(( fhhf =− ;

c) ihh ≠o ;

d) ( )3

21 =−fh ;

e) 3

4)1)(( −=−hf o .

104) Sia f : Q −{1}→ Q tale che f (x) = 1

2

−x. Una sola delle seguenti affermazioni è falsa; quale?

a) f (2) = 2;

b) f è iniettiva;

c) f è suriettiva;

d) )( ff o (3) non esiste;

e) f non è biunivoca.

33

105) Sia f (x) = 1+x

x. Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:

a) Df =Q + V F

b) ∃ x ∈ Q tale che f (x) = 1 V F

c) Se x < −1, allora f (x) > 0 V F

d) Se x > 0 , allora 0 < f (x) < 1 V F

e) Cf = Q V F

f) ∃! x ∈ Q tale che f (x) = 2 V F

g) f

−2

1 = −3 V F

Determina il dominio delle seguenti funzioni e, per ciascuna di esse, calcola le immagini dei

valori a fianco indicati:

106) y = 3

52 −x x = 0; x = −2; x =

3

2; x =

2

1− .

107) f (x) = 4

3

+x x = −2; x =

2

3; x =

5

3− ; x = −1.

108) y = 12

13

+−

x

x x = 0; x =

5

2; x =

3

1− ; x = 2.

109) y = 2 + 2

1

−x x = 0; x =

2

1− ; x =

3

4; x = −2.

110) f (x) = 2 − 2

1

+x x = 2; x =

3

2− ; x = 0; x =

4

3.

111) f (x) = 32

12

−−

x

x x = −1; x =

2

1; x = 3; x =

3

2− .

Problemi

112) Anna, Chiara, Elisa, Giulia, Bianca hanno i capelli biondi, neri o castani.

Solo una di loro ha i capelli neri e solo Giulia ha i capelli castani; Elisa e Chiara hanno capelli

dello stesso colore, invece Bianca e Anna hanno capelli di colore diverso; inoltre Bianca ed

Elisa non hanno capelli dello stesso colore.

Indica con ℜ la relazione “x ha i capelli dello stesso colore di y” e rappresenta il problema con

un grafo. Rispondi ai seguenti quesiti:

a) Qual è il colore dei capelli di Anna?

b) Qual è il colore dei capelli di Bianca?

34

113) Ad un controllo, il medico ha misurato l’altezza di Lucia, Marta, Francesca, Paola e Rita. Il

suo collaboratore ha riportato su di un foglio le misure rilevate espresse in centimetri: 175,

172, 168, 165, 161; ha però, dimenticato di scrivere a fianco di ciascuna misura il nome della

ragazza; ricorda, però, che:

− Paola è più bassa di Francesca e di Lucia;

− Rita non è più alta di Paola;

− Francesca è più bassa di Marta;

− Marta non è la più alta.

Sapresti indicare l’altezza di ogni ragazza?

(Rappresenta con un grafo la relazione ℜ “x è più alta di y”).

114) Arianna, Beatrice, Cecilia, Daniela, Elvira, Giorgia si preparano per andare in pizzeria e non

hanno ancora deciso se indossare una maglia gialla o una maglia rossa. Giorgia, raffreddata,

decide di non uscire con le amiche e il giorno dopo telefona ad Arianna per sapere quale

maglia avessero indossato.

Arianna risponde in un modo un po’ strano dicendo:

“Tre di noi avevano la maglia rossa; io e Daniela abbiamo indossato maglie di colore diverso,

così come Cecilia ed Elvira; invece Daniela e Beatrice hanno indossato una maglia dello

stesso colore, ma diversa da quella di Elvira.”

Qual è il colore della maglia di Arianna?

(Rappresenta con un grafo la relazione ℜ “x ha la maglia dello stesso colore di y”).

115) Arturo, Bruno, Claudio e Danilo si sfidano in una gara di tiro con l’arco. Al termine chiedono

a Francesco, l’arbitro, chi ha vinto. Francesco risponde così:

“Bruno ha realizzato un punteggio maggiore di quello realizzato da Claudio, ma minore di

quello di Danilo che, comunque, non ha vinto; Antonio ha superato Bruno.”

Indicata con ℜ la relazione “x ha realizzato un punteggio maggiore di y”, rappresenta il

problema con un grafo e stila la classifica.

116) Anna, Barbara, Claudia, Debora partecipano ad una gara sui 100 metri. La gara termina senza

ex–aequo. Se Claudia è arrivata subito dopo Debora e Barbara è arrivata seconda, chi è

arrivata terza?

117) Delle sei persone, Alberto, Bruna, Cristina, Domenico, Enrico e Fabio, si sa che Domenico e

Enrico sono gemelli, Fabio è il padre di Alberto, Cristina è la madre di Domenico, Bruna è la

moglie di Fabio e Enrico è più vecchio di Bruna. Chi è il più giovane?

35

IL PRESENTE FASCICOLO E’ STATO REALIZZATO DA

Ptof.ssa RESCIO ANNA MARIA

Prof. TIRALONGO SALVATORE

Prof. VADACCA ANTONIO

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