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CAPITOLO 7. ALTRE FORME PER LEQUAZIONE

DELLENERGIA IN FORMA INTEGRALE

7.1 Equazione dellEnergia in forma termicaSi visto nel paragrafo 6.4 che lequazione integrale di conservazione

dellenergia (6.10) per un volume di controllo fisso e non deformabile si pu

scrivere nella seguente forma:

d

+

+

dA

=

(7.1)

Si ricordano ancora le convenzioni di segno da considerare per i flussi netti di

lavoro e calore sul Volume di Controllo (Figura 7.1).

Il lavoro considerato positivo se ceduto dal fluido contenuto nelVolume di Controllo verso lesterno;

Il calore considerato positivo se dato dallesterno al fluido contenutonel Volume di Controllo

Figura 7.1. Convenzione di segno per lavoro e calore scambiati

Ad esempio, le turbine (macchine motrici) rendono disponibile verso lesterno

del lavoro utile e per esse > 0. Per compressori, pompe e ventilatori(macchine operatrici), che richiedono energia dallesterno e la cedono al fluido,

si < 0.

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In generale, nella precedente equazione si pu scegliere una Superficie di

Controllo tale che il lavoro delle forze viscose sia trascurabile, cio 0 (vediAppendice 7.B).Se si ricorda lespressione della energia interna totale, , e si introduce lafunzione di stato Entalpia, = + /, la (7.1) diventa

d + +

22

+ dA

= (7.2)

Se inoltre considerata valida lipotesi di flusso stazionario,

d = 0

Con lulteriore ipotesi di flusso quasi-monodimensionale si possono eliminare

gli integrali, ottenendo

++

++=

inouts mgz

Vhmgz

VhWQ

22

22

(7.3)

Se si suppone che il volume di controllo abbia un solo ingesso ed una sola

uscita, dividendo per la portata massica (eguale allingresso ed alluscita per

lipotesi di stazionariet del flusso), si ha

ou tinou tin

s hhgzV

hgzV

hwq 00

22

22+=

+++

++=

+ 22 + + 22 + = (7.4)

La (7.4) si pu anche scrivere:

(0) (0) =

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La quantit 0 = + 2/2 + definita Entalpia totale. Dalla (7.4) si deduceche per un flusso isentropico e fluido perfetto, in assenza di scambi di lavoro e

calore ( = 0 e = 0) si ha 0 = costanteLa (7.4) lEquazione dellEnergia in forma Termica, valida per flussicomprimibili e incomprimibili, sotto le uniche ipotesi di flusso quasi-

monodimensionale e stazionario e per un Volume di Controllo con solamente

un ingresso ed unuscita.

Lequazione (7.4) pu essere riordinata in una forma pi pratica per risolvere

problemi e con flussi comprimibili

+ + + + = + + = (7.5)con i simboli tra parentesi tonda che rappresentano rispettivamente, la

differenza tra ingresso e uscita dellentalpia, dellenergia cinetica e dellenergia

potenziale, tutte riferite allunit di massa:

( ) ( ) ( ) ( )inoutinoutginout

inoutcinoutinout zzgeVV

ehhh =

== ;2

;22

7.2 Equazione dellEnergia in forma meccanicaLequazione dellenergia si pu anche scrivere in una forma applicabile al caso

di flussi reali incomprimibili, in presenza di macchine, ad esempio nel caso di

flusso nei condotti. Per ottenerla si consideri la forma termica dellequazione

dellenergia nel caso di flusso stazionario, ottenuta a partire dalla (7.2)

+ 22 + dA = (7.6)

La (7.6) si pu anche scrivere, per la definizione di entalpia

+ +22

+ dA

= (7.7)

Nel caso di flusso quasi-monodimensionale e incomprimibile essa diventa

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( )outinsh

out

in

umWQgzVp

m =

++

2

2

Si pu dimostrare che nel caso di flussi reali la quantit ( )outinumQ sempre

minore di zero, e rappresenta le perdite di energia utile a causa degli effetti

della viscosit. Pertanto, indicando tale termine con , (dove > 0) edividendo per la portata massica, si ottiene lEquazione dellEnergia in forma

Meccanica nelle ipotesi di flusso reale (in presenza di perdite, losses), quasi-

monodimensionale, stazionario e incomprimibile

+ 22 + = (7.8)

Dove tutte le grandezze della (7.8) si intendono come energie ad unit di massa

[/], o anche potenze per unit di portata massica [/(/)].Nel caso di flussi comprimibili (vedi Appendice 7.A) lequazione diventa

d

+ | +

= (7.9)

La (7.9) si pu riscrivere isolando il lavoro dalbero

= d

+ | +

Si osservi come una macchina operatrice ( < 0) effettui un lavoro checontribuisce allincremento di pressione, allaumento di energia cinetica e

potenziale del fluido, ma anche a sopperire alle irreversibilit (

> 0) della

trasformazione reale.

7.3 Confronto tra lEquazione dellEnergia e lEquazione di BernoulliLEquazione di Bernoulli applicata a un Volume di Controllo valida con le

seguenti ipotesi:

fluido ideale (viscosit nulla) flusso stazionario

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flusso incomprimibile flusso monodimensionale (unica linea di corrente)

inin

inoutout

out zV

pzV

p ++=++22

22

(7.10)

oppure, in termini di energie specifiche

ininin

outoutout gz

Vpgz

Vp++

=++

22

22

(7.11)

Lequazione di Bernoulli, applicata ad una linea di flusso tra due sezioni di uncondotto, mostra come lenergia totale della particella rimane costante, proprio

per il fatto che nei fluidi ideali non sono presenti perdite viscose.

La conseguenza di ci che la Linea dei Carichi Totali mantiene una altezza

costante lungo la linea di flusso, come si dimostra immediatamente dividendo

per laccelerazione di gravit entrambi i membri della (7.11):

+ 22

+

= + 2

2

+

= (7.12)

Pertanto, lipotesi di flusso ideale e lequazione di Bernoulli che ne consegue

non permettono di studiare situazioni di flusso dove sono presenti

intrinsecamente delle forti perdite, ad esempio nello sbocco da un condotto

verso un serbatoio di grandi dimensioni.

LEquazione dellEnergia in Forma Meccanica (7.9) applicata a un Volume di

Controllo valida con le seguenti ipotesi:

flusso reale (sono presenti perdite per attrito viscoso) flusso stazionario flusso comprimibile flusso monodimensionale nelle sezioni di ingresso e uscita

La si riscrive per comodit:

d

+ | + = (7.9)

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O anche,

d

+ | + = + (7.13)

Nelle ulteriori ipotesi di flusso incomprimibile ( = cost) e assenza di lavoroutile si ottiene la (7.8), qui riscritta per comodit

+22

+

=

+

(7.8)

In questo caso, quindi, lenergia meccanica associata alla particella fluida pu

variare tra ingresso ed uscita del Volume di controllo, a seconda del valore del

lavoro specifico dalbero e delle perdite, e in modo analogo la linea dei Carichi

Totali pu variare la sua altezza. La (7.8) diventa infatti

+

+22

= + (7.14)

Per chiarire tali aspetti si considerino due semplici casi di applicazione della

(7.14).

Condotto monodimensionale in assenza di macchine.

E il caso tipico di un condotto che porta un fluido per caduta da una zona a

quota maggiore ad una a quota minore. La (7.14) diventa

+ +22

= (7.15)

Si osserva immediatamente dalla (7.15) che in tal caso la linea dei carichi totali

alluscita sempre ad una quota inferiore a quella di ingresso:

> essendo sempre > 0,

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La linea dei carichi totali ha dunque una pendenza negativa nel verso del moto

del fluido nel condotto, e mostra come lenergia meccanica del flusso

diminuisca per le perdite viscose.

Condotto monodimensionale in assenza di perdite viscose.

Si tratta ovviamente di un caso particolare, utile comunque per capire leffetto

del termine sulla Linea dei Carichi Totali. La (7.14) diventa

++22

=

(7.16)

In questo caso, la Linea dei Carichi Totali in uscita pu avere altezza maggiore

o minore rispetto a quella di ingresso, e ci dipende dal segno del lavoro

dalbero

se < 0, > . Pertanto una macchina operatrice (pompacompressore) tende ad aumentare lenergia meccanica del flusso e

incrementare il valore del Carico Totale

se > 0, < . Una macchina motrice (turbina) estraeenergia dal flusso e la rende disponibile allesterno, riduce il valore delCarico Totale ed abbassa la posizione della corrispondente Linea dei

Carichi Totali

Quindi sono evidenti le analogia dei termini presenti nella equazione di

Bernoulli (forme (7.10-11-12) e in quella dellEnergia in forma meccanica (7.8-

14). Lequazione dellenergia in forma meccanica per uno strumento pi

potente per lo studio del flusso nei condotto, permette di studiare sistemi

fluidodinamici nei quali sono inserite delle macchine idrauliche (pompe,

turbine idrauliche) e consente di tenere conto degli effetti viscosi nella pi

ampia generalit di casi.

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Appendice 7.A: Equazione dellEnergia in forma Meccanica

Dalla seconda Legge della Termodinamica, per una trasformazione

termodinamica ciclica reale, ricordando lespressione della funzione di stato

Entropia, S ( )rev

TQS dd = ), si ottiene

( ) ( )inoutinoutout

inssmSS

T

dQ

T

dQ= 0

da cui, per una trasformazione reale infinitesima, STQ dd . Dalla prima Legge

della Termodinamica, per una trasformazione ideale, si ottiene

== phqT dddds . Confrontando una trasformazione reale e una ideale tragli stessi punti estremi si ha

= phqq idr dddd

Integrando nella suddetta trasformazione si pu scrivere

out

ininoutr

dphq

Dalla equazione dellenergia in forma termica si ha

( ) ( ) ( )inou tginou tcinou tshaft eehwq +++=

pertanto, per la trasformazione reale

( ) ( ) ( ) +++ out

ininoutinoutginoutcinoutshaft

dpheehw

Si ha dunque

( ) ( ) ++ out

ininoutginoutcshaftdp

eew

affinch sia verificata leguaglianza occorre sottrarre a primo membro una

quantit che tenga conto delle irreversibilit ( 0lossesw ):

( ) ( )inoutginoutcout

inlossesshaftee

dpww ++=

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Che rappresenta lequazione dellenergia in forma meccanica per un flusso

stazionario, monodimensionale e comprimibile.

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Appendice 7.B: Sforzi di taglio per i flussi interni

Se consideriamo il flusso in un condotto, come mostrato in Fig. 6.11, il lavoro

fatto dagli sforzi tangenziali espresso dalla formula seguente

VFW

= tangtang dd

Per la superficie di controllo indicata in Fig. 6.11 la velocit della particella di

fluido nulla dappertutto sulla superficie interna bagnata del tubo. Pertanto

sar nullo anche il contributo di lavoro degli sforzi tangenziali sulla parete.

Fig. 7.1: Flusso in un condotto. Sforzi tangenziali sulla parete interna

La figura 6.12 mostra inoltre che dove il fluido attraversa la superficie di

controllo del condotto (sezioni dingresso e di uscita), la forza tangenziale

perpendicolare alla velocit della particella di fluido e quindi il lavoro fatto

dagli sforzi tangenziali ancora nullo su tali superfici. In conclusione, per un

condotto fermo attraversato da un flusso gli sforzi tangenziali non compiono

lavoro su una superficie del volume di controllo opportunamente scelta.

Fig.7.2: Flusso in un condotto. Sforzi tangenziali sulla sezione duscita