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CAPITOLO 5. EQUAZIONI DI BILANCIO PER UN VOLUME DI

CONTROLLO FINITO (FORMULAZIONE INTEGRALE)

5.1 Conservazione della Massa o Equazione di Continuit.

Si scriva la forma generale del Teorema di Trasporto di Reynolds:

dd =

d +

d

(5.1)

Essa valida, come dimostrato nel capitolo 4, per un volume di controllo diqualsiasi forma, anche in movimento e deformabile, e dove si considerata la

relazione per il moto relativo

= + la velocit delle particelle fluide rispetto ad un riferimento fisso o

inerziale

la velocit di trascinamento, cio la velocit del volume di controllorispetto al sistema di riferimento fisso

la velocit delle particelle rispetto al sistema di riferimento che si muovecol volume di controllo

Se la grandezza coincide con la massa del sistema, si ha = , e si puricavare immediatamente la grandezza intensiva che compare a secondo menbro

del teorema di Reynolds:

=

dd

=dd

= 1

La grandezza intensiva in questo caso uno scalare adimensionale

Se ora si considera che il Sistema durante il moto fluido sempre composto dalle

stesse particelle, si pu enunciare il principio fisico di Conservazione della Massa:

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La massa del Sistema si mantiene costante durante il suo moto

Dal punto di vista matematico, ci si traduce nel fatto che la derivata nel tempodella massa del Sistema nulla durante il moto fluido. Pertanto, considerando il

teorema di Reynolds applicato alla grandezza estensiva = , si puricavare una relazione equivalente, ma valevole per il Volume di Controllo.

dd =

1 + 1

= 0

Nella precedente si evidenziato che la grandezza intensiva pari ad uno, come

ricavato precedentemente. Nelle applicazioni e negli esercizi, si ha utilizzer un

Volume di controllo scelto in maniera opportuna e si scriver pertanto lequazione:

d +

d = 0 (5.3)

La (5.3) lEquazione generale di conservazione della massa in forma integrale, valida

per i fluidi reali, non stazionari e comprimibili, o Equazione di continuit, per un

Volume di Controllo deformabile.

Nel caso pi semplice di Volume di Controllo fisso e indeformabile, lequazione

(5.3) diventa:

d +

d = 0

(5.4)

Infatti, essendo = 0, dalla relazione di composizione dei moti si ha = Nella (5.4) si ha che:

il primo termine rappresenta la derivata temporale della massa contenutanel Volume di Controllo

il secondo termine rappresenta il flusso netto di massa attraverso laSuperficie di Controllo

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5.2. Conservazione della quantit di Moto.

Ponendo nella (5.1) = , la grandezza estensiva diventa pari alla Quantit diMoto () del Sistema

= ()Lequazione del Teorema di Trasporto di Reynolds, per un Volume di Controllo

fisso ed indeformabile, diventa:

d()d

=

d

+ d

(5.5)

Si consideri ora la seconda legge della Dinamica, o legge di Newton, applicata al

sistema. Il principio fisico pu essere cos enunciato:

La derivata temporale della Quantit di Moto del Sistema

eguaglia la somma delle forze agenti su di esso

Dal punto di vista matematico ci equivale a scrivere

d()d = (5.6)

La (5.6) costituisce il principo di conservazione della Quantit di Moto scritta per il

Sistema. Eguagliando la (5.5) e la (5.6), e ricordando che nella scrittura del Teorema

di Reynolds il Sistema ed il Volume di Controllo coincidono, si ha

d +

d

= (5.7)

La (5.7) rappresenta lespressione matematica del principio di conservazione della

Quantit di Moto, scritta per il Volume di Controllo. Riepilogando, nella (5.7) si ha

che:

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il primo termine a primo membro rappresenta la derivata temporale dellaQuantit di Moto associata al Volume di Controllo

il secondo termine rappresenta il flusso netto di Quantit di Moto attraversola Superficie di Controllo

il primo termine a secondo membro rappresenta la sommatoria di tutte leforze agenti sul fluido contenuto nel Volume di Controllo

Nel caso pi generale di Volume di Controllo mobile e deformabile, tenendo conto

di quanto detto nel capitolo precedente, lequazione di conservazione della

Quantit di Moto in forma integrale diventa

d + (, ) d =

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5.3. Equazione dellenergia

Dato un Sistema fluido, per esso relativamente semplice enunciare il principio di

conservazione dellEnergia:

La variazione in un intervallo di tempo dellenergia totale del Sistema dovuta allo

scambio di energia termica e meccanica nello stesso intervallo di tempo

In termini matematici, riferendosi alle potenze scambiate, si ha

= dd = (5.8)Nella (5.8) si considerata la seguente convenzione di segno:

il calore considerato positivo se fornito dallesterno verso il Sistema il lavoro considerato positivo se fornito dal Sistema allesterno

Lenergia interna delle particelle data dalla somma di diversi contributi, tra i

quali lenergia interna termodinamica, lenergia cinetica, lenergia relativa alle

forze di masse ed altre. Nel seguito si far riferimento solo alle prime due, e comeforza di massa si considerer solo il campo di forze gravitazionali. Pertanto

lenergia interna specifica (per unit di massa) sar data da

= + 122 +

Lenergia interna associata al Sistema risulter data pertanto da

= d = d Si evince immediatamente che ponendo come grandezza intensiva

=

, la

grandezza estensiva risulti pari alla energia totale del Sistema.Infatti

d = d d = d = dsi pu quindi scrivere il teorema di Reynolds per lenergia totale del Sistema

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dEd =

d +

d

(5.9)

Eguagliando la (5.8) e la (5.9) e ricordando, anche in questo caso, che

nellapplicazione del teorema di Reynolds il Sistema ed il Volume di Controllo

coincidono, si ottiene:

d +

d

= = (5.10)

La (5.10) rappresenta il principio di conservazione dellEnergia applicato a un

Volume di Controllo finito (forma integrale), fisso ed indeformabile.

Il significato dei diversi termini della (5.10) il seguente:

il primo termine a primo membro rappresenta la derivata temporale dellaEnergia associata al Volume di Controllo

il secondo termine rappresenta il flusso netto di Energia che fluisceattraverso la Superficie di Controllo

il primo termine a secondo membro rappresenta la potenza termica cheattraversa la Superficie di Controllo (positiva se entrante)

il secondo termine a secondo membro rappresenta la potenza meccanicatrasferita al Volume di Controllo (positiva se uscente)

Come visto precedentemente, nel caso pi generale di Volume di Controllo mobile

e deformabile, lequazione di conservazione dellEnergia in forma integrale diventa

d +

(, ) d

=

con lovvio significato dei simboli.