Circuiti elettriciin regime stazionario

Introduzione

www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm

(versione del 20-1-2007)

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Equazioni fondamentali

● In condizioni stazionarie, dalle equazioni fondamentali si ottiene

● In un mezzo lineare isotropo J ed E sono legati dalla relazione

● E può essere espresso come gradiente di un potenziale V

● i tubi di flusso di J sono chiusi (eventualmente all’infinito)

∫∫

=⋅=⋅∇

=⋅=×∇Γ

S

0ˆ0

0ˆ0

dS

dl

nJJ

tEE

)( iEEJ +σ=

V−∇=E

0=⋅∇ J

0=×∇ E

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Corrente

● Si considera un tronco di tubo di flusso di J delimitato da due superfici SA e SB normali alle linee di campo

● Su ciascuna sezione del tubo il flusso di J è costante e rappresenta la corrente i associata al tubo di flusso

Il flusso di J attraverso la superficie laterale del tubo di flusso ènullo dato che J è tangente alla superficie

Valutando il flusso di J attraverso la superficie che ST racchiude il tronco di tubo di flusso di ottiene

● Se il flusso è valutato su una sezione normale S si ha

dSJdSiSS∫∫ =⋅= tJ ˆ

idSdSdSdSdSBABAT S

B

S

A

S

B

S

A

S

=⋅=⋅⇒=⋅+⋅−=⋅ ∫∫∫∫∫ nJnJnJnJnJ ˆˆ0ˆˆˆ

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Tensione

● Si assume che all’interno del tronco di tubo di flusso non agiscano campi impressi

● Le sezioni normali del tubo di flusso sono ortogonali alle linee di campo di E sono superfici equipotenziali

● La differenza di potenziale (tensione) tra le superfici SA e SB è

dove A e B sono due generici punti rispettivamente di SA e SB e l’integrale è valutato su una qualunque linea che collega A e B

● Se l’integrale è valutato lungouna linea di campo ΓAB

∫ ⋅=−=B

A

AB dlBAV tE ˆ)V()V(

∫∫ΓΓ

=⋅=ABAB

EdldlVAB tE ˆ

EJ σ=

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Resistenza

● Si definisce resistenza (unità di misura ohm, Ω) del tratto di tubo di flusso compreso tra le superfici equipotenziali SA e SB il rapporto

dl0 = tratto infinitesimo della linea di campo ΓAB compreso tra due sezioni normali del tubo di flusso

dl = tratto infinitesimo di una generica linea di campo compreso tra due sezioni normali del tubo di flusso

La resistenza dipende unicamente dalla geometria del tubo di flusso e dalla conducibilità del materiale

∫∫∫

∫

∫

∫

Γ

ΓΓ

σ==

⋅

⋅

==AB

ABAB

SSS

ABAB

dSdldldl

JdS

Edl

dS

dl

i

VR

0

0

ˆ

ˆ

tJ

tE

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Resistenza

● Se la distanza tra due superfici equipotenziali è uguale lungo tutte le linee di campo (e quindi E è uniforme su ogni sezione normale), si ha

● Se, inoltre, σ è costante (cioè all’interno del tubo di flusso il mezzo è omogeneo )

● Infine, se l’area della sezione normale non dipende da l

∫∫ΓΓ

ρ=σ

=ABAB

lS

dl

lS

dlRAB )()(

1

S

l

S

ldl

SR ABAB

AB

AB

ρ=σ

=σ

= ∫Γ

1

∫ ∫Γ σ=⇒=

AB

lS

ABdS

dlR

dl

dl

)(

0 1

lAB = lunghezza del tubo di flusso

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Legge di Ohm in forma integrale

● La differenza di potenziale (tensione) tra le sezioni terminali del tubo di flusso e la corrente attraverso il tubo di flusso sono legate dalla relazione

e quindi

dove

GAB = 1/RAB = conduttanza (unità di misura siemens, S)

iRV ABAB =

ABABVGi =

Legge di Ohm in forma integrale

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Legge di Ohm per un tubo di flusso sede di f.e.m.

● Si considera il caso in cui nel tubo di flusso agisce anche un campo impresso Ei tale che, all’interno del tubo di flusso, valga la condizione

● Si definisce forza elettromotrice (f.e.m.) dovuta al campo impresso la quantità

● In queste condizioni risulta

La legge di Ohm assume la forma

∫∫∫

∫

Γ

Γ

σ=

⋅

⋅+

=+

=AB

AB

SS

i

ABAB

dSdl

dldl

dS

dl

i

eVR

0

0

ˆ

ˆ)(

tJ

tEE

∫Γ

⋅=AB

dle i tE ˆ

eiRV ABAB −=

0=×∇ iE

(ΓAB = linea che collega le superfici SA e SB)

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Legge di Ohm per un circuito elementare

● Un tubo di flusso chiuso di J costituisce un circuito elettrico elementare

● Più in generale i circuiti elettrici possono avere strutture più complesse (ramificate)

● Per un circuito elementare le sezioni SA e SB coincidono

VAB = 0 e quindi dalla legge di Ohm si ha

dove

è la f.e.m. agente nel circuito

eRi =

∫Γ

⋅= dle i tE ˆ

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Nota

● La condizione all’interno del tubo di flusso non implica che il campo impresso sia conservativo, dato che la regione interna al tubo di flusso non è semplicemente connessa

E’ possibile che risulti

In generale, per un tratto del tubo di flusso compreso tra due superfici SA e SB, si può affermare che l’integrale

è indipendente dalla linea ΓAB che unisce le superfici terminali solo sela linea è interamente contenuta all’interno del tratto considerato

0=×∇ iE

0ˆ ≠⋅= ∫Γ

dle i tE

∫Γ

⋅=AB

dle iAB tE ˆ

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Generatori

● Normalmente Il campo impresso è diverso da zero solo in alcune regioni del circuito

● Nell’esempio Ei ≠ 0 solo nel tratto compreso fra le sezioni S1 e S2 quindi

dove Γ12 è il tratto di Γ compreso tra le due sezioni

● Le regioni in cui agiscono i campiimpressi corrispondono a disposi-tivi nei quali avviene conversionein energia elettrica di energia di altro tipo (es. meccanica, termica, chimica)

generatori elettrici

∫∫ΓΓ

⋅=⋅=12

ˆˆ dldle ii tEtE

12

Necessità dei campi impressi

● In assenza di campi impressi la legge di Ohm per l’intero circuito fornisce

Affinché si possa avere una corrente nel circuito è indispensabile la presenza si un campo impresso non conservativo

● Il campo elettrico E è conservativo

se le cariche percorrono traiettorie chiuse il lavoro del campo elettrico è nullo

nel circuito non può circolarecorrente, dato che la presenzadi una corrente comporta dissipazione di energia pereffetto Joule

0=Ri

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Circuiti elettrici

● Un sistema elettromagnetico sede di un campo di corrente stazionaria può essere convenientemente descritto in forma sintetica mediante un modello circuitale

● Il sistema viene rappresentato come interconnessione di sottosistemi detti componenti circuitali

● Un componente è un sottosistema delimitato idealmente da una superficie chiusa (superficie limite) attraversata da correnti elettriche in corrispondenza di un certo numero di regioni, ciascuna equipotenziale, dette poli o terminali

● Il comportamento del circuito (e in particolare lo scambio di energia tra i componenti) è descritto mediante grandezze integrali, indipendenti dalle coordinate spaziali

correnti attraverso i terminali

tensioni (differenze di potenziale) tra i terminali

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Nota

● Per poter utilizzare il modello circuitale è necessario conoscere l’andamento dei tubi di flusso di J

● Generalmente i circuiti elettrici sono realizzati mediante conduttori circondati da un mezzo isolante (nel quale σ = 0 e quindi J = 0)

● In condizioni stazionarie le componenti di J ortogonali alle superfici di separazione tra regioni occupate da materiali diversi devono essere continue

Sulle superfici che delimitano i conduttori la componente ortogonale di J deve essere nulla

J deve essere tangente alle superfici che delimitano i conduttoriSe nel sistema agiscono opportuni campi impressi, i conduttori si possono comportare come tubi di flusso di J

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Bipoli

● Un componente dotato di due terminali è detto bipolo● Un bipolo si identifica con un tronco di tubo di flusso di J

● ∇⋅J = 0 la corrente entrante in uno dei terminali è uguale a quella uscente dall’altro terminale

● ∇×E = 0 la tensione fra i terminali è univocamente determinata

A un bipolo sono associate una corrente i e una tensione v

∫∫ ⋅=⋅=BA S

B

S

A dSdSi nJnJ ˆˆ

S = superficie limiteSA, SB = terminali

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Versi di riferimento

● Per definire la corrente e la tensione occorre anche specificarne i versi di riferimento

● Il verso di riferimento della corrente viene indicato sugli schemi mediante frecce poste sui terminali dei componenti

● Il verso di riferimento della tensione è indicato sugli schemi ponendo i simboli + e − vicino ai terminali oppure mediante una freccia diretta dal terminale negativo al terminale positivo

Simbolo di unbipolo generico

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Verso di riferimento della corrente

● La scelta del verso di riferimento della corrente corrisponde alla scelta del verso della normale alla superficie attraverso la quale èvalutata la corrente stessa

il verso di riferimento può essere scelto in modo arbitrario

il verso di riferimento non ha nulla a che vedere con il verso della velocità delle cariche

● La corrente può assumere sia valori positivi sia valori negativi

i > 0 trasferimento di una quantità positiva di carica in senso concorde con il verso di riferimento

i < 0 trasferimento di una quantità positiva di carica in senso opposto al il verso di riferimento

Il segno della corrente in relazione al verso di riferimento consente di determinare il verso del moto delle cariche

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Verso di riferimento della tensione

● Le denominazioni terminale positivo e terminale negativoindicano solo quali segni sono attribuiti ai potenziali dei terminali nella valutazione della differenza di potenziale, non quale dei terminali si trova effettivamente a potenziale maggiore

● Come avviene per la corrente, anche il verso della tensione può essere scelto in modo del tutto arbitrario

● La tensione può assumere sia valori positivi sia valori negativi

v > 0 il terminale positivo ha potenziale maggiore del terminale negativo

v < 0 il terminale positivo ha potenziale minore del terminale negativo

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Potenza scambiata da un bipolo

● Si può dimostrare che il prodotto vi rappresenta la potenza scambiata tra il bipolo e il resto del circuito

● Si hanno 4 possibilità per la scelta dei versi di riferimento

● Casi a) e b): Convenzione dell’utilizzatore (convenzione normale)vi > 0 quando il bipolo assorbe energiaPotenza assorbita: pa = vi

● Casi c) e d): Convenzione del generatorevi > 0 quando il bipolo cede energiaPotenza erogata: pe = vi = −pa

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Potenza assorbita da un bipolo

● Per il teorema di Poynting, la potenza assorbita dal bipolo è

cioè (in condizioni stazionarie)

● Utilizzando l’identità

si ottiene

∫ ⋅×=S

a dSp nHE ˆ

∫∫ ⋅×∇+

=

⋅×∇−=SS

a dSdSp nHnH ˆV

0

ˆ)(V

44 344 21

bbb ×∇+×∇=×∇ aaa )(

∫ ⋅×∇−=S

a dSp nH ˆV

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Potenza assorbita da un bipolo

● Dalla legge di Ampere-Maxwell, in condizioni stazionarie si ha

quindi

● Dato chela densità di corrente su S èdiversa da zero solo in corri-spondenza dei terminalisu ciascun terminale il poten-ziale è costante

si ottiene

JH =×∇

∫ ⋅=S

a dSp nJ ˆV

viiVV

i

dSV

i

dSVp BA

S

BB

S

AAa

BA

=−=

=

⋅−

=

⋅= ∫∫ )(ˆˆ

4342143421

nJnJ

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Equazione caratteristica

● La tensione e la corrente di un bipolo sono legate da una relazione (equazione caratteristica o relazione costitutiva del componente) che dipende dalla struttura interna del bipolo stesso

● Esempi: si è visto che

per un bipolo costituito da un mezzo lineare isotropo la relazione costitutiva è

se il bipolo è anche sede di un campo impresso si ha

● Più in generale, in presenza di un mezzo non lineare la relazione costitutiva può essere un’equazione del tipo

dove f è una funzione non lineare

Riv =

eRiv −=

0),f( =iv

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N-poli

● Se i tubi di flusso di J hanno struttura ramificata, la suddivisione del circuito può mettere in evidenza componenti con più di due terminali

● Un componente dotato di N terminali è detto N-polo

Simbolo di unN-polo generico

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N-poli

● La corrente che complessivamente entra nell’N-polo deve essere nulla

è nulla la somma algebrica delle correnti ai terminali, prese consegno + o segno − a seconda che il loro verso di riferimento sia entrante o uscentenote N−1 correnti è univocamente determinata anche l’N-esima

3210 iiii +−=

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N-poli

● A un N-polo si possono associare N(N−1)/2 tensioni

● Tutte le tensioni possono essere determinate a partire dai potenziali di N−1 terminali valutati rispetto all’N-esimo terminale, fissato come riferimento

Per caratterizzare un N-polo sono sufficienti N−1 correnti e N−1 tensioni

● Queste tensioni e correnti risultano legate da N−1 equazioni dipendenti dalla struttura interna dell’ N-polo (equazioni caratteristiche)

1331

3223

2112

vvv

vvv

vvv

−=−=−=

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N-poli

● Convenzione normale

Si fissa un terminale di riferimento (0)

Si utilizzano per descrivere il comportamento del componente

le N−1 tensioni degli altri terminali rispetto al riferimento(che quindi ha sempre il ruolo di terminale negativo)v1, ..., vN−1

Le N−1 correnti degli altri terminali prese con verso entrantei1, ..., iN−1

● Mediante il teorema di Poynting, in questecondizioni si ottiene che la potenza assorbitadall’N-polo è

∑−

=

=1

1

N

kkka ivp

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N-porte

● Porta: coppia di terminali di un componente tale che la corrente entrante in uno dei terminali è sempre uguale a quella uscente dall’altro

● I terminali di un bipolo costituiscono una porta

● N-porte (o N-plo bipolo): componente con 2N terminali che costituiscono N porte

3'3

2'2

1'1

ii

ii

ii

−=

−=

−=

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N-porte

● Il comportamento di un N porte è caratterizzato mediante i valori delle Ncorrenti (i1, ..., iN) associate alle porte e delle N tensioni (v1, ..., vN) tra le coppie di terminali di ciascuna porta

● Un N-porte, impone N vincoli alle N correnti e N tensioni alle porte, dipendenti dalla sua struttura interna (equazioni caratteristiche)

● Le tensioni e le correnti si dicono orientate secondo la convenzione dell’utilizzatore quando per ciascuna porta il verso della corrente èentrante nel terminale positivo

● Mediante il teorema di Poynting si può dimostrare che, quando le tensioni e le correnti sono orientate secondo la con-venzione normale, la potenza assorbitada un N porte è

∑=

=N

kkka ivp

1

29

N-poli e N-porte

● Un generico N-polo può essere considerato come un componente a Ν −1 porte avente tutti i terminali negativi delle porte collegati tra loro

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Collegamenti

● I collegamenti tra i componenti sono realizzati ponendo a contatto i loro terminali o unendoli mediante conduttori trattabili come ideali (connessione ideale)

Un conduttore si dice ideale se ha conducibilità σ → ∞In queste condizioni la resistenza è nulla e quindi la tensione tra gli estremi del conduttore è nulla indipendentemente dal valore della corrente che scorre nel conduttore stesso In seguito si supporrà che i collegamenti tra i terminali dei componenti siano sempre realizzati mediante connessioni ideali (eventualmente di lunghezza infinitesima)

● Il collegamento tra due o più terminali comporta che tali terminali siano allo stesso potenziale

● I collegamenti tra componenti danno luogo a vincoli tra le correnti e le tensioni ai loro terminali espressi dalle leggi di Kirchhoff,che rappresentano le leggi fondamentali dei circuiti elettrici

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Definizioni

● Un insieme di terminali uniti tra loro mediante connessioni ideali costituisce un nodo del circuito (come caso degenere, un nodo può essere costituito da un terminale isolato)

● Per ramo o lato si intende un tratto del circuito che unisce due nodi

● Si definisce maglia un percorso chiuso formato da rami del circuito che a partire da un nodo riconduce al nodo stesso senzapassare più di una volta per lo stesso ramo

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Rappresentazione dei collegamenti

● Negli schemi dei circuiti i collegamenti sono rappresentati unendo i terminali dei componenti mediante segmenti o archi

● Lo scopo dello schema è solo mostrare quali terminali sono collegati tra loro, quindi lo schema non riproduce necessariamente

l’effettiva disposizione dei componenti

la forma dei conduttori con cui sono realizzate le connessioni

● Esempio: 3 rappresentazioni equivalenti dello stesso collegamento

I terminali 1 3 5 e 7, collegati tra loro, costituiscono un nodo

I terminali 2 4 6 e 8, collegati tra loro, costituiscono un nodo

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Legge di Kirchhoff per le correnti (LKI)

● La somma algebrica delle correnti attraverso una superficie chiusa che interseca il circuito in corrispondenza delle connessioni è nulla(Alle correnti va attribuito segno + o segno − a seconda che i loro versi di riferimento siano concordi o discordi con il verso della normale alla superficie considerata)

● Come caso particolare si può considerare una superficie chiusa (eventualmente infinitesima) che racchiude un solo nodo

La somma algebrica delle correnti afferenti a un nodo è nulla

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Legge di Kirchhoff per le correnti (LKI)

● Esempio

Superficie S1: −i1 + i2 + i3 − i4 = 0Superficie S2: −i5 + i6 + i7 = 0

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Legge di Kirchhoff per le correnti (LKI)

● La legge di Kirchhoff per le correnti è diretta conseguenza del fatto che la densità di corrente in condizioni stazionarie èsolenoidale

● Dato che la densità di correntediversa da zero solo nelle areeSk che rappresentano le inter-sezioni tra la superficie e il cir-cuito, si ha

● L’integrale di J sulla superficie Sk coincide con la corrente di un terminale o con il suo opposto a seconda che il verso della normale a S e il verso della corrente siano concordi o discordi

0ˆˆ =±=⋅=⋅ ∑∑ ∫∫k

kk SS

iSdSdk

nJnJ

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Legge di Kirchhoff per le tensioni (LKV)

● La somma algebrica delle tensioni lungo una linea chiusa passante per i nodi di un circuito è nulla

(Alle tensioni va attribuito segno + o segno − a seconda che i loro versi di riferimento siano concordi o discordi con il verso di percorrenza delle linea considerata)

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Legge di Kirchhoff per le tensioni (LKV)

● Esempio

Linea Γa: −vBA + vBC + vCD − vAD = 0Linea Γb : vED − vCD − vEC = 0

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Legge di Kirchhoff per le tensioni (LKV)

● La legge di Kirchhoff per le tensioni è diretta conseguenza del fatto che il campo elettrico in condizioni stazionarie è irrotazionale e quindi su una generica linea chiusa si ha

● Si suddivide la curva Γ in una succes-sione di curve Γk, ciascuna delle qualicollega un nodo al successivo

● L’integrale di E lungo la linea Γk rappresenta la tensione Vk tra i nodi collegati dalla linea Γk o il suo opposto (−Vk) a seconda che il verso della tensione e il verso di Γ siano concordi o discordi

0ˆ =⋅∫Γ

dltE

∑ ∫ ∑∫ΓΓ

=±=⋅=⋅k k

k

k

Vdldl 0ˆˆ tEtE

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Analisi di un circuito in regime stazionario

● Dati:caratteristiche dei componentistruttura dei collegamenti

● Incognite:correnti e tensioni dei componenti

● Equazioni:

equazioni dei collegamenti (lineari algebriche omogenee)legge di Kirchhoff per le correntilegge di Kirchhoff per le tensioni

equazioni dei componenticomponenti lineari equazioni lineari algebrichecomponenti non lineari equazioni non lineari