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TEORIA DELLE COSTANTI ALGEBRICHE LIBRO II di Zino Magri 2013
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TEORIA DELLE COSTANTI
ALGEBRICHE
LIBRO II
di
Zino Magri
2013
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Copyright © ZINO MAGRI 2013 Zino Magri Vigevano (Pv) I contenuti possono essere liberamente copiati a scopo di critica, confronto e ricerca, sempre citando l’autore e riportando la fonte. Editore: ZINO MAGRI Stampa ……….
3
L'interesse verso la matematica porta l’uomo a effettuare incredibili viaggi e avventure in luoghi impervi e sconosciuti dello spazio immaginario. Il matematico è un esploratore dell'immaginazione, e come ogni buon esploratore deve dimostrare a se stesso in ogni momento, di non avere paura di niente e di nessuno. Deve essere in grado di affrontare con grande coraggio l'ignoto matematico, sia esso composto da incredibili enigmi che da inafferrabili problemi. Deve inoltre essere capace di entrare in qualsiasi luogo impervio del pensiero, con una costanza che rasenta la maniacalità, e deve affrontare con coraggio qualsiasi problema difficile e inafferrabile che potrebbe metterlo in imbarazzo e farlo sentire inutile: non importa se poi verrà ricordato più per le sue sconfitte matematiche che per i risultati positivi. A volte questi viaggi nelle regioni oscure della matematica, portano a situazioni di enormi difficoltà di lavoro e di stress mentale; in questo caso è necessario prendere in considerazione l'ipotesi di fermarsi un attimo per riposare. Infatti in quella condizione è difficile concretizzare anche il più piccolo risultato. Sotto l'effetto dello "stress" e di situazioni che disturbano la tranquillità della persona, viene a mancare l'interesse per qualsiasi argomento, anche se normalmente questi è molto piacevole. Questa è la peggior condizione in cui si possa trovare un ricercatore matematico sia esso dilettante come il sottoscritto, che professionista. E' meglio quindi fermarsi un attimo, per poter riprendere in seguito, con più slancio di prima, il cammino verso nuove mete e direzioni ignote. Sono personalmente convinto che le ricerche matematiche siano le esplorazioni più interessanti che l’essere umano possa effettuare nel mondo reale; e queste esplorazioni ci avvicinano sempre più alla soluzione dei misteri della creazione. Questo libro mi ha impegnato quasi tutte le sere degli ultimi 14 mesi. L'uso continuo del computer mi ha provocato una terribile cervicale, e spesso durante le ricerche, mi addormento sulla scrivania davanti al video: anche perchè durante il giorno, il mio lavoro principale, che è più di carattere fisico che intellettuale, mi stanca molto fisicamente. Comunque anche se questi studi mi sono costati parecchio dolore e fatica, sono soddisfatto per i risultati ottenuti, e naturalmente sarei disposto a rifare tutto quello che ho fatto se ciò fosse necessario. Vorrei ringraziare in particolar modo mia moglie Lorella e mia figlia Ilaria, per aver mostrato grande sopportazione nei momenti in cui mostravo poco interesse per loro e molto per la ricerca matematica; e un ringraziamento anche a tutti coloro che avranno la pazienza di leggere questo libro, e fra questi in particolare vorrei ringraziare quelli che come me, liberi da ogni vincolo intellettuale, hanno la passione per la matematica pura. Magri Zino Vigevano Marzo 2013
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LE SERIE DIVERGENTI - SECONDO LIBRO
Niels Henrik Abel (uno dei più grandi matematici della storia) definì le serie divergenti un’invenzione del diavolo. Forse Abel, se avesse avuto a disposizione un computer, non avrebbe fatto quell'affermazione. Infatti è grazie a questo apparecchio, che domina ormai la vita quotidiana delle persone negli ultimi decenni, e utilizzando l'algoritmo di Eulero-Maclaurin, si riesce a calcolare con facilità, migliaia di costanti matematiche, collegate alle serie divergenti più note. Il motivo per cui anche il grande Eulero non si sia accorto dell'importanza che aveva il suo algoritmo è dovuto principalmente al fatto che ai suoi tempi i calcoli si facevano a mano! Prima di iniziare a parlare di costanti, per le quali nel 2009 ho preventivato di scrivere quattro libri, e prima di intraprendere un viaggio in questo meandro di formule e numeri, è necessario dare una definizione precisa di esse. Una costante matematica è un particolare numero reale, che si può ottenere portando ai limiti estremi una determinata funzione matematica: ad esempio una serie, un’integrale improprio, un limite, ecc. ecc.. Solitamente la costante numerica (la costante è matematica se l'espressione è letterale) ha un piccolo valore positivo o negativo, per un motivo particolare che è già stato descritto nel primo libro. I rapporti di interconnessione fra le varie costanti elencate in questo libro, non saranno qui studiati, poiché questi studi esulano dai miei interessi primari, e anche perché questo è un compito alquanto impegnativo. In questo libro cercherò di dare una semplice classificazione delle costanti algebriche, in base al tipo di funzione studiata, senza specificare l’importanza di ognuna di esse. Le costanti trigonometriche (o goniometriche) saranno oggetto di studio nei prossimi due libri: poiché l’argomento è ancora più vasto di quello delle costanti algebriche, e per il quale ho già scritto centinaia di pagine, e descritto migliaia di costanti di ogni tipo. In questo libro non saranno studiate le costanti generate da funzioni con numeri complessi; lascio a voi gentili lettori questo compito. Una semplice classificazione delle costanti numeriche dei numeri reali, può essere quella di dividerle in queste tre classi: Costanti Pure: numeri reali che non derivano da equazioni algebriche a coefficienti razionali: come π o γ . Costanti Semplici: numeri reali che derivano da equazioni algebriche a coefficienti interi o razionali: esempio 7 31 1,633246253168759..=
Costanti Banali: numeri interi o razionali come 7 o 143
1,857142..77
= .
Vi sono però altri modi di distinguere le costanti, e alcuni di questi verranno descritti nei prossimi capitoli.
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CAP I - FUNZIONI ANTAGONISTE Data una serie divergente di una qualsiasi funzione ( )f n continua
→∞
=
∑1
lim [ ( )]z
zn
f n (1)
viene spontaneo domandarsi se esista una funzione ( )af z , tale per cui
→∞
=
− =[ ]∑1
lim [ ( )] ( ) 0z
az
n
f n f z
In pratica i valori numerici della serie e della funzione ( )af z tendono, al crescere di z a diventare uguali. È facile vedere che esistono molte funzioni di questo tipo (in effetti il loro numero è illimitato). Ad esempio la serie
→∞
=
∑ 2
1
lim ( )z
zn
n
ha un valore numerico perfettamente uguale al valore della funzione
+ +
=i i( 1) (2 1)
( )6
az z z
f z
Una serie di questo tipo verrà di seguito chiamata: Serie Divergente Perfetta; e la funzione ( )af z che eguaglia il valore numerico della serie in questione: Funzione Antagonista perfetta. Si può però osservare sperimentalmente, che la maggior parte delle serie divergenti non hanno una funzione antagonista che eguaglia numericamente la serie in questione, ma bensì una funzione che approssima a meno un valore numerico la serie stessa: Funzione Antagonista imperfetta. Questo valore numerico è la cosiddetta Costante Numerica. Possiamo quindi chiamare questo tipo di serie: Serie Divergente Imperfetta. Ci sono poi alcune serie, che hanno una funzione antagonista particolare, composta dalla sommatoria di infiniti termini, la cui somma limite tende a eguagliare il valore della serie, e che chiameremo: Serie Divergente Speciale.
La serie →∞
=
∑2
1lim [ ]
log( )
z
zn n
(2)
è una funzione di questo tipo. Non so però dire, se esistano serie divergenti che non abbiano nessun tipo di
funzione antagonista; lascio a voi gentili lettori il compito di dare una risposta a questo enigma.
Se due serie divergenti diverse fra di loro, hanno la stessa funzione antagonista, la loro differenza o è zero, o converge ad una costante numerica.
6
Data una Serie divergente imperfetta
→∞=
∑ 1 2
1
lim [ ( , , ,.. )]z
kz
n
f n a a a (3)
dicesi "Illary" di questa serie, una funzione nella variabile n, che per ogni gruppo di valori dei coefficienti 1 2( ), ,.., ka a a genera una costante matematica. In genere la illary è composta da una serie (o da integrale improprio) e dalla funzione antagonista della stessa. Possiamo quindi scrivere
→∞
=
= −∑1
lim [ ( )] ( ) z
az
n
I f n f z (4)
o nel caso di integrali
=→∞
= −∫ 0lim [ ( )] ( ) z
anz
nI f n d f z (5)
La costante matematica nasce quindi come differenza fra il valore della serie (o integrale) e il valore della relativa funzione antagonista. Bisogna però specificare che non tutte le costanti matematiche sono generate in questo modo, e di questo vedremo qualche esempio nei prossimi capitoli. Se una determinata serie divergente, possiede una funzione antagonista, ne risulta che, in genere (salvo casi particolari) la costante generata dalla illary ha un piccolissimo valore numerico positivo o negativo. Per una serie divergente perfetta possiamo quindi scrivere
→∞
=
=∑1
lim [ ( )] ( )z
az
n
f n f z (6)
per l’integrale improprio perfetto
=→∞
=∫ 0lim [ ( )] ( )
z
anz
n f n d f z (7)
Per una serie imperfetta
→∞
=
= +∑1
lim [ ( )] ( )z
a nz
n
f n f z Z (8)
o un integrale imperfetto
=→∞
= +∫ 0lim [ ( )] ( )
z
a nnz
n f n d f z Z (9)
dove nZ è una costante numerica. ( )I n è quindi la Illary di ( )f n (cioè una funzione generatrice di costanti).
Ci possono essere più funzioni antagoniste per una determinata serie? Si, per una determinata serie (o integrale), esistono infinite funzioni antagoniste diverse fra di loro, che generano costanti di valore numerico diverso. Ad esempio se la funzione antagonista è 3 7n + , è facile vedere che anche funzioni del tipo
7
1321 4587n + oppure 3 3 2177 3 7 5 4 4265n n n+ + + +i o
7 5 67 20 15 6 412584 5 17 61 24 1222 8 23 1288n n n n n n+ + + + + + + + portano la illary della serie in oggetto alla convergenza. Oppure se la funzione antagonista è log( )n , lo è anche 3log(7 417) / 3n + o 5 4 3 2log(11 107 28 61 417) / 5n n n n− + − + Funzioni antagoniste diverse di una stessa serie possono generare la stessa costante? Questo problema è per ora avvolto da mistero. La Funzione Antagonista di Base è la funzione antagonista che assume la forma matematica più semplice. La illary che ne deriva è una Illary di Base( )BI ,
e la costante da essa generata: Costante di Base( )Bℤ . La Funzione Antagonista Reale è la funzione antagonista che rende il calcolo della costante il più rapido e preciso possibile. La illary che ne deriva è una Illary
Reale( )RI , e la costante da essa generata: Costante di Reale ℤ( )R . In questo libro non verranno distinte tutte le costanti per tipo, poiché l’argomento esula dai nostri studi. Per le serie convergenti poiché si ha
→∞ →∞
= =
= −∑ ∑1 1
lim [ ( )] lim [ ( )] ( )z z
az z
n n
f n f n f z
Ne deriva ch →∞
=lim ( ) 0az
f z (10)
Ad esempio la serie convergente
21
1lim ( ) 0,51009942385177115928135...
3 5
z
zn n n→∞
=
=+
∑i i
fornisce la stessa costante della illary
21
1 3 5 9 3 5 5lim ( ) log( ) 0,51009942385177115928135..
5 5003 5 3 5 5
z
zn
z z
zn n z→∞=
+ + −− − =
+ + +∑
i ii
i ii i
Naturalmente questa è una proprietà caratteristica delle sole serie convergenti. Dobbiamo però osservare che, la illary reale di una serie convergente permette il calcolo della stessa, con una precisione enormemente superiore rispetto al calcolo diretto della serie convergente. E' facile vedere anche che, se si scompone la funzione di una serie convergente in due funzioni le cui serie siano divergenti, ma che abbiano la stessa funzione antagonista ma di segno opposto, la nuova serie è pure convergente. Vale anche il discorso opposto: cioè se si hanno due serie divergenti con la stessa funzione antagonista, la serie che ha come funzione la differenza delle due funzioni, è una serie convergente.
8
Tutte le considerazioni precedenti sulle serie, si possono applicare anche agli integrali impropri; e come vedremo in questo libro, molte delle funzioni antagoniste delle serie divergenti delle funzioni algebriche, sono le stesse di quelle degli integrali impropri delle funzione in oggetto. Questo equivale a dire che, data una serie divergente e la sua funzione antagonista, la stessa funzione antagonista eguaglia o differisce a meno di una costante dall'integrale divergente improprio della stessa funzione. La costante generata dalla illary della serie divergente è in genere diversa dalla costante generata dalla illary dell'integrale divergente improprio della stessa funzione; ma bisogna tener presente che questi sono casi particolari. Possiamo quindi affermare che anche gli Integrali Divergenti come le serie, hanno una funzione antagonista. Gli integrali divergenti saranno classificati Perfetti se la loro illary è zero, e Imperfetti se producono una costante numerica, e Speciali se la loro illary è composta da infiniti termini, come ad esempio
2 31 (log ) (log )
log[log( )] log( ) ..log( ) 2 2! 3 3!
x xdx x x
x= + + + +∫
i i
(11)
TEOREMA FONDAMENTALE DELLE SERIE DIVERGENTI
Sia ( )af z una funzione composta da un numero finito di elementi. Esiste sempre una serie divergente, il cui valore si discosta dal valore della ( )af z per una costante numerica. Chiameremo questa funzione: Serie Divergente Primitiva. Poiché è molto difficile dimostrare questo teorema, penso che passerà parecchio tempo prima che esso venga dimostrato o confutato. Le serie divergenti si possono classificare in due categorie principali: algebriche e trigonometriche. Lo stesso vale per gli integrali impropri. In questo libro verranno considerate solo illary derivate da funzioni algebriche. CAP II – SERIE DI FRAZIONI DI POLINOMI. Queste serie hanno come funzione in oggetto, una frazione composta da due polinomi, primi fra di loro. In tutte le serie polinomiali che tratteremo in questo capitolo, escluderemo le serie contenente radicali. Per queste serie il numero iniziale della variabile è di solito lo zero, ma per semplicità noi partiremo (quasi sempre)da 1n = . Serie Polinomiale di primo grado equilibrata
Le serie di frazioni polinomiali equilibrate hanno come numeratore e denominatore due polinomi dello stesso grado primi fra di loro. Nel caso più semplice di due polinomi di primo grado, il limite
9
1 0
1 01
lim ( )z
zn
c n c
d n d→∞=
+
+∑
i
i (12) produce la Illary di base
→∞
=
+ −=
+− −∑ i
i i ii
i
1 0 1 0 1 1 01 2
1 0 1 11
lim ( ) log( )[ ]z
zn
c n c c c d c dI z z
d n d d d
dove 1 0 1 0( ), , ,c c d d possono essere numeri interi, o reali e ≠ + ≠i1 1 0[ ]0 0d d n d . Ad esempio
1
1
13 567 13 257lim ( )
8 428 8 16log 64,073285750913678504209..
z
zn
n
nz z
→∞=
+=
+− + =∑
iℤ
ii
π π
γ γ→∞=
+=
+− + =
=
∑i
ℤi
i2
1
2,15487567lim ( )
11,2558453(102,40010058851811362864..) log
306,775188255153616533624..
z
zn
n
nz z
Il valore della illary precedente è dato anche da
ψ−
+= −i i
i0 1 1 0 0
1 211
1( )c d c d dI
dd (13)
dove ψ è la funzione digamma. Questa funzione che sostituisce la illary sarà chiamata: Funzione Equivalente Della Illary. La ℤ1 è data anche da 1
257 1071
16 2( ) 64,073285750913678504209..ψ += =iℤ
Possiamo quindi scrivere l'uguaglianza
1 0 1 0 1 1 0 0
21 0 1 111
lim ( ) [log( ) 1 ]( )z
zn
c n c c c d c d dz z
d n d d ddψ
→∞=
+ −− +
+= +∑ i
i i ii
i (14)
Dall’esempio (14) e altri che vedremo in seguito, si è portati a pensare che esista sempre una relazione fra una qualsiasi serie divergente, e una funzione di pari valore, con un numero finito di termini, contenenti funzioni speciali come ( , ...)ϕ π ,
che chiameremo: Funzione Equivalente Della Serie ( )aef . Essa è pari alla differenza fra la funzione equivalente della illary, e la funzione antagonista della serie. La funzione equivalente della serie è anche pari alla somma della funzione antagonista e della funzione che genera la relativa costante. Il valore della sommatoria di un numero finito z di valori interi della variabile n è
ψ ψ=
+ −+ +
+= + + −∑ i
i i ii
i
1 0 1 0 1 1 0 0 0
21 0 1 1 111
( ) [ 1 1 ]( ) ( )z
n
c n c c c d c d d dz
d n d d d ddz (15)
10
La relazione (15) da origine al Teorema delle serie divergenti imperfette Tutte le serie divergenti imperfette, il cui sviluppo è composto da una funzione con un numero finito di elementi, si possono sostituire con una funzione antagonista di equilibrio ( , )f nψ avente un numero finito di termini. Soltanto le serie divergenti speciali, sembrano non godere di queste proprietà. Dal teorema precedente si ricava un'altra importantissima relazione: Teorema delle Illary Ogni costante numerica generata da una illary algebrica (o di diverso tipo), si può calcolare con estrema semplicità e precisione, attraverso la funzione equivalente. Si evita in questo modo il calcolo parziale degli elementi della serie, che potrebbe comportare un numero astronomico di operazioni aritmetiche (a volte per avere solo poche cifre esatte della costante). Questo naturalmente è un grande risultato per l'aritmetica classica. Equazioni con serie divergenti Il teorema delle serie divergenti imperfette, permette di avere anche un'altro grande risultato nell'analisi matematica e nell'algebra, poiché permette di trasformare le equazioni nelle illary, in equazioni algebriche di più facile soluzione. Infatti sostituendo alla illary la sua funzione equivalente, questa si può trattare come una normale equazione algebrica. Ad esempio per quale valore dei parametri 1 0 1 0( ), , ,c c d d si ha l'uguaglianza
→∞
=
+ −= =
+− −∑ i
i i ii
i
1 0 1 0 1 1 01 2
1 0 1 11
lim ( ) log( ) 0[ ]z
zn
c n c c c d c dI z z
d n d d d (16)
Dalla (16) è difficile trarre una soluzione; ma se sostituiamo ad essa la funzione equivalente
ψ−
+= − =i i
i0 1 1 0 0
1 211
1( ) 0c d c d dI
dd
le soluzioni sono più abbordabili. Da questa uguaglianza si trae che =1 0I quando
0 1 1 0
10
c d c d
d
−=
i i cioè 0 1 1 0 0c d c d− =i i
0 0
1 1
c d
c d= (17)
ad es: 1
20 5 5lim ( ) 0
12 3 3
z
zn
nz
n→∞=
+=
+−∑ i
i
i
Quando è verificata la condizione (17), siamo in presenza di una serie divergente perfetta.
11
Infatti in questo caso i due polinomi in questione non sono primi tra di loro, ma sono entrambi divisibili per il M.C.D. che è (4 1)n + . Si ottiene una seconda soluzione della (16) ponendo
)( 0xψ = dalla quale si ricava la soluzione positiva 1,461632144968362341262659..x =
e quindi
0
10,461632144968362341262659..
d
d=
Le equazioni con le serie divergenti, hanno dei comportamenti strani, che ricordano in particolare le funzioni frattali. Infatti se si cerca di risolverle per successivi tentativi numerici, dando a z un valore crescente e calcolando la x, ci si trova ad avere soluzioni molto diverse fra di loro per piccole variazioni della z. Risolvere queste equazioni è abbastanza facile se si conosce la funzione equivalente, peccato però, che ad oggi, non si conosca un metodo generale per trovare la funzione equivalente di una illary. Le equazioni contenenti integrali impropri (o definiti) sono in genere più semplici delle equazioni contenenti serie. La soluzione delle equazioni contenenti integrali sono facili da risolvere se si conosce di questi la funzione antagonista di equilibrio. Ad esempio se vogliamo sapere per quale valore di x si ha
e =→∞
+ − =−∫ i2
0
9lim ( ) log
2 10
z
nzn
xn x n d z
poiché si ha
=→∞+ − = + − + + − +∫ i
2 2 2
0lim ( ) ( ) log( ) log( )
2 2 4 z
nzn
z x xn x n d z x z z x z x
si passa all’equazione
+ − + + − − = 0 + − ii2 2 9
( ) log( ) log( ) log2 2 4 2 10z x x x
z x z z x z x z
Da questa si calcola x tenendo presente che z → ∞ . Passiamo ora ad alcune particolari illary
→∞
=
+=
+− −∑
ii
i
0 1 02 2 2
1 0 1 11
lim ( ) log( )[ ]z
zn
n z d d z dI
d n d d d z
con ≠ + ≠i1 1 0[ ]0 0d d n d . es:
32
1
13 5 13lim ( ) 0,24636303902352454380127343999019151..
5 13 5 25log( )
z
zn
n z z
n z→∞=
+= = −
+− −∑
ii
i
ℤ
12
→∞=
− +−
= +
∑ i3
1
2 loglim ( )[ ]z
zn
z c zn c
In c
es:
4
1
2 log 0,84556..1
lim ( )1
z
zn
z zn
n→∞=
− + =−
=+
∑ iℤ
5
1
4 log 3,6911..2
lim ( )2
z
zn
z zn
n→∞=
− + =−
=+
∑ iℤ
6
1
6 log 7.5366..3
lim ( )3
z
zn
z zn
n→∞=
− + =−
=+
∑ iℤ
Serie polinomiale di primo grado non equilibrata
Le serie di frazioni polinomiali non equilibrate hanno come numeratore e denominatore due polinomi primi fra di loro, ma di grado diverso fra di loro. La funzione in oggetto presenta due possibili casi
I° 0
1 01
lim ( )z
zn
c
d n d→∞= +∑
i II°
→∞=
+∑
i1 0
01
lim ( )z
zn
c n c
d
I° caso: questo si può ricavare ponendo nella 1I , =1 0c La illary di base produce sempre costanti per ogni terna 0 1 0( ; ; )c d d di numeri interi e ≠ + ≠i1 1 0[ ]0 0d d n d .
→∞=
= −+
∑ i
i
0 04
1 0 11
lim ( ) log( )[ ]z
zn
c cI z
d n d d
es:
7
1
0,0206725425210495..11 11
lim ( ) log7 3 7
z
zn
zn→∞
=
== −+
∑ℤ
i
si ha anche
0 0
41 1
( 1)c dI
d dψ= +i (18)
Da queste due relazioni si ricava l'uguaglianza
0 0 0
1 0 1 11
lim ( ) [log( ) ( 1)]z
zn
c c dz
d n d d dψ
→∞=
= − ++
∑ i
i
E per la sommatoria di z valori interi di n si ha
ψ ψ=
= + + − ++
∑ i
i
0 0 0 0
1 0 1 1 11
( ) [ ( 1) ( 1)]z
n
c c d dz
d n d d d d (19)
La 4I è valida anche se 0 1 0( ; ; )c d d sono numeri reali.
13
II° caso La funzione antagonista della serie
→∞
=
+∑
i1 0
01
lim ( )z
zn
c n c
d (20)
non si può dedurre dalla 1I , poiché in essa non può essere =1 0d . La funzione antagonista è
1 0 1 1 02
0 0 01
2lim ( )
2 2
z
zn
c n c c c cz z
d d d→∞=
+ += +∑
ii i
Essendo la differenza fra la serie e la funzione antagonista zero, non siamo in presenza di illary, ma di una serie divergente perfetta. Questo caso verrà trattato in modo più completo nello studio delle sommatorie di interi. Caso particolare è la Serie armonica ridotta, le cui serie iniziano con 1 1 1 1 1
.....1 3 5 7 2 11 1 1 1 1
....1 4 7 10 3 11 1 1 1 1
....1 5 9 14 4 11 1 1 1 1
...1 6 11 16 5 1
j
j
j
j
+ + + ++
+ + + ++
+ + + ++
+ + + ++
Essa produce la illary
−
→∞=
= −+
∑i
1
5
0
1 ln( )lim ( )
1[ ]
z
k
zj
zI
k j k
es: 1
7
8
0
1 lnlim ( ) 1,05199717746062045693564504328812..
7 1 7
z
zj
z
j
−
→∞=
= − =+
∑ℤi
e il limite estremo
1
0
1 lnlimlim ( ) 1
1
z
k
k zj
z
k j k
−
→∞ →∞=
− =+
∑i
Generalizzando i risultati precedenti ad una serie che inizi da un generico numero h intero positivo, la funzione antagonista è la stessa della precedente:
−
→∞=
= −+
∑i
6
0
1 ln( )lim ( )[ ]
z h
k
zj
zI
k j h k
14
Abbiamo un’altra costante legata ai numeri armonici
→∞=
= − = −+
∑ℤ9
0
1lim ( ) log 0,1756467416..
log
z
zj
zj j
Serie Polinomiale di secondo grado equilibrata I due polinomi in considerazione, sono entrambi di secondo grado e primi tra di loro. La funzione antagonista di questa serie è la stessa per tutte le serie polinomiali equilibrate. La funzione antagonista è influenzata solo dal primo coefficiente di ogni polinomio di secondo grado; gli altri coefficienti permettono soltanto di modificare il valore della costante.
→∞
=
+ + −=
+ +− − ∑
i i i ii i
i i
22 1 0 2 1 2 2 1
7 2 222 1 0 20
lim ( ) log( )[ ]z
zn
c n c n c c c d c dI z
dd n d n d dz
dove 2 1 0 2 1 0( ), , , ,c c c d d d sono numeri interi, per i quali deve essere
≠ ≠ + + ≠i i2
2 2 2 1 0[ 0 0 0]c d d n d n d . Essa fornisce una costante per ogni quaterna di numeri positivi 2 1 2 1( ), , ,c c d d . Ad esempio
→∞=
+ +=
+ +− + =∑
i iℤ i
i ii
2
10 20
31 17 5 31 669lim ( )
19 36119 32 27log 0,7324..
z
zn
n n
n nz z
→∞=
+ += −
+ −− + =∑
i iℤ i
i ii
2
11 21
14 9 23 31 1lim ( ) 3,5033263494122129222533099330287899..
19 12111 7 41log
z
zn
n n
n nz z
La 7I è valida anche se la quaterna 2 1 2 1( ), , ,c c d d è composta da numeri reali. Ad esempio se
2( )c π= costante Pigreca 3,14159265358979323846264338.. 1( )c e= costante di Nepero 2,71828182845904523536028747135.. 0( )c γ= costante di Eulero-Mascheroni 0,57721566490153286060651209008.. 2( )d δ= costante Feigembaum 4,66920160910299067185320382046.. 1( )d K= costante di Catalan 0,91596559417721901505460351493.. 0( )d µ= costante di Ramanujan-Soldner 1,45136923488338105028396848589..
Avremo una interessante costante (“figlia” di più famose costanti), la quale sarà probabilmente trascendente
π γ π δ π
δδ µ δ→∞=
−+ + −
=+ +
− − =∑i i i i
ℤ ii i
i
2
12 2 21
log 0,0754519..lim ( )z
zn
zn e n e K
n K nz
La illary reale e equilibrata della serie polinomiale di secondo grado, è più complessa della illary di base. Per scriverla abbiamo bisogno due pagine di formule; però in questo libro non verrà mostrata.
15
Poi per ≠ + ≠i[ 0 0]a a n b si ha
→∞
=
+ −= −
++− ∑
i i ii i
ii
2 2 2
8 2 31
1 ( )lim 2 log( )
( )[ ] [ ]
z
zn
n a z a b z bI b z
a z ba n b a
es:
→∞=
+ + −= − =
+ +− +∑
i i i i i
i ii
ℤ
2 2 2 2
13 2 3 31
19 27 19 21927 27lim 54log( ) 0,008076505220395096..
(19 27) 19 19 (19 27)[ ][ ]
z
zn
n z z zz
n z
→∞
=
= ++ +
− ∑ i
i i
2
9 2 21
lim log[ ( ) ]z
zn
n z bI z
aa n b n c a
≠ + + ≠i2[ 0 0]a a n bn c
es: →∞
=
= + =+ +
−∑i i
ℤ
2
14 21
7lim log 0,109702..
5 255 7 4[ ]
z
zn
n zz
n n
Mentre la illary reale è
→∞
=
− += +
+ + − −
+ + +
− − ∑i
i i i i
i i i
2 2
10 2 2 2 21
22
2 2lim ( )
4 4
log( )2
[ ( )
]
z
zn
ATANn z b a c az b
Iaa n b n c a a c b a c b
b a z b z c
a
con ≠ − ≥ + + ≠i i
2 2[ 0 4 0 0]a a c b a n bn c
es:
→∞=
+= + + + =
+ +− +∑ i i i
i i
ℤ
22
15 21
87 7 3 3lim ( ) log(7 6 15) 0,2907397..
7 497 6 15 196 6 4 6( )
z
zn
n z zATAN z z
n n
Naturalmente la funzione ( )ATAN z nella 10I si può togliere, essendo il suo valore una costante per z → ∞ ; per cui la illary reale si può anche scrivere
→∞
=
= + + ++ +
− ∑ i i i
i i
22
10' 2 21
lim log( )2
[ ( ) ]z
zn
n z bI a z b z c
aa n b n c a
Serie Polinomiale di secondo grado non equilibrata
Le serie che generano queste Illary, hanno un polinomio al numeratore di grado differente di quello al denominatore. Si presentano quattro casi:
I°)
22 1 0
1 01
lim ( )z
zn
c n c n c
d n d→∞=
+ +
+∑
i i
i II°)
22 1 0
01
lim ( )z
zn
c n c n c
d→∞=
+ +∑
i i
III°)
1 0
22 1 01
lim ( )z
zn
c n c
d n d n d→∞=
+
+ +∑
i
i i IV°)
0
22 1 01
lim ( )z
zn
c
d n d n d→∞= + +∑
i i
16
I° caso: questa serie genera la illary di base
−
→∞=
+ + += − +
+
− −−
− ∑
i i i
i
i
i i ii i
i
2
22 1 0 2 2 1 0 1 12
11 21 0 1 11
2 0 1 1 0 0 1
31
)( 2 2lim ( )
2 2( ) log( )
[
]
z
zn
c n c n c c c d d c dI z z
d n d d d
c d d c d c d
dz
dove ≠ ≠ + ≠i2 1 1 0[ 0 0 0]c d d n d Si ha anche
22 0 1 1 0 0 1 0
11 311
( )( 1)
c d d c d c d dI
ddψ
− −+= −
i i i ii (21)
Da notare nella 11I che alla decrescita dell'esponente z , corrisponde la crescita dell'esponente di 1d . Vediamo qualche esempio
→∞=
+ += − − −
+− =∑
i iℤ i i
ii
22
16
1
17 9 1 17 81 939lim ( ) 0,1361097938043565915170494588531..
13 11 26 338 2197log
z
zn
n nz z
nz
→∞=
−+ +
= − − =+
−∑i i
ℤ i ii
i
22
17
1
0,37325351605181323397990657522383..12 5 4 3 1 141
lim ( )8 7 4 16 128
logz
zn
n nz z
nz
→∞=
+ += − − −
+− =∑
i iℤ i i
ii
22
18
1
23 6 7 23 205 3687lim ( ) 0,0326864532335051580837293902181..
19 10 38 722 6859log
z
zn
n nz z
nz
→ ∞=
+ += − −
+
=
− =
∑i i
ℤ i ii
i
22
19
1
881 63 401 881 7270 4175251lim ( )
98 23 196 2401 9411921,09100968749665407017613346297..
logz
zn
n nz z
nz
→ ∞=
= −
+ += + −
+− =
∑i i
ℤ i ii
i
22
20
1
125,860366314319453865726369605..
557 23 8141 557 5779589 21323800445lim ( )
711 5573 1422 1011042 359425431log
z
zn
n nz z
nz
Dalle relazioni precedenti si ricava l'uguaglianza
ψ
−
→∞=
+ + + + +
+
− − + − +
=∑
i i i
i
i
i i ii i
i
2
22 1 0 2 2 1 0 1 12
21 0 1 11
2 0 1 1 0 0 1 0
311
)( 2 2lim ( )
2 2( )
[log( ) ( 1)]
[ ]z
zn
c n c n c c c d d c dz z
d n d d d
c d d c d c d dz
dd
(22) Per la sommatoria di z valori interi della ( )f n si ha (23)
ψ ψ
−
=
+ + + + +
+
− − + + + − +
=∑
i i i
i
i
i i ii i
i
2
22 1 0 2 2 1 0 1 12
21 0 1 11
2 0 1 1 0 0 1 0 0
31 11
)( 2 2( )
2 2( )
[ ( 1) ( 1)]
z
n
c n c n c c c d d c dz z
d n d d d
c d d c d c d d dz
d dd
17
Caso particolare della 11I è
→∞
=
−= − −
+− ∑ i
i
2 22
122 3
1
1 2lim ( )
2 2log( )[ ]
z
zn
n a b bI z
a n b a a az
→∞=
−= − + = −
+
−∑i
i i
i i
ℤi
i
2 22
21 2 31
1 13 2 41 41lim ( ) 0,99380376034707251160219722396..
13 41 213 213 13log( )
z
zn
nz z
nz
II° caso
22 1 0
01
lim ( )z
zn
c n c n c
d→∞=
+ +∑
i i
(24) Questo caso verrà discusso nel capitolo della sommatoria di interi. III° caso: Si ricava dalla 7I , ponendo =2 0c
→∞=
+=
+ +− ∑
ii
i i
1 0 113 2
22 1 01
lim ( ) log[ ]z
zn
c n c cI
dd n d n dz
dove ≠ ≠ + + ≠i i2
1 2 2 1 0[ 0 0 0]c d d n d n d es:
→∞=
+=
+ +− =∑
iℤ i
i i22
21
361 141 361lim ( )
727727 348 568log 0,0134165534..
z
zn
n
n nz
→∞=
+=
+ +− = −∑
iℤ i
i i23
21
87461 13217 87461lim ( )
88298829 11247 28465log 9,736940685..
z
zn
n
n nz
Casi particolari di illary
→∞=
+=
+− ∑
2 2
14 2 21 2
log( )lim ( )[ ]
z
zn
z anI
n a
es:
→∞=
+= = −
+−∑ℤ
2 2
242 2
1 2
log( 8 )lim ( ) 2,080745..
8
z
zn
zn
n
→∞= +
−=
−− ∑
2 2
15 2 21 2
log( )lim ( )[ ]
z
zn a
z anI
n a
es:
→∞=
−= = −
−−∑ℤ
2 2
25 2 29 2
log( 8 )lim ( ) 1,1131487..
8
z
zn
zn
n
→∞
=
= −+ +
− ∑i i i
162 2 2
1
1lim log( )
( ) ( )[ ]
z
zn
n bI z
a n b a a z b a
per ≠ + ≠i[ 0 0]a a n b
18
es:
→∞=
= − = −+ +
−∑ℤi
26 2 2 21
7 1lim log( ) 0,0033051984319782861.
(13 7) 13 (13 7) 13.900185213178994..
[ ]z
zn
nz
n z
Poi
→∞
=
+ += − +
+ + + ∑
i2
17 2 2 2 20
1 2lim log( 1)
2( ) [ ]
z
zn
n c z b zI
n b a a b
es:
→∞=
+ += − + = −
+ + ∑
i
ℤ
2
272 2
1
7 1 22lim log( 1) 0,31729..
2 146( 11) 5 [ ]
z
zn
n z z
n
→∞
=
+= − + + +
+ + ∑ i
ii i
i i
218 2
0
lim log( )2
[ ]z
zn
p n q pI a z b z c
aa n b n c
con ≠ + + >i i2[ 0 0]a a n b n c
es:
→∞=
+= − + + =
+ +∑
iℤ i i i
i i
228 2
0
..23 19 23
lim log(5 7 11) 15,2632105 7 11
[ ]z
zn
nz z
n n
→∞=
= ++ +
− + − +−
∑
i
i i i
i i i
i
ii
19
1
lim( ) ( )
1[ log( ) log( )]
[ ]
z
zn
nI
a n b p n q
b qa z b p z q
b p a q a p
dove ≠ ≠ + ≠ + ≠ − ≠i i i i[ 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0]a p a n b p n q b p a q es:
→∞=
−
= − + − + =+ +
=
∑ i i i
i i i
ℤ i i29
1
0,072115546742313122275958526058038257328940227812452939..
1 8 3lim [ log(5 8) log(7 3)]
(5 8) (7 3) 41 5 7[ ]
z
zn
nz z
n n
→∞=
= ++ + − +
−− + + +
−
− ∑i i i i i i i i
i i ii i i i i
i i
2 2
20 21
2
2 2
lim( ) ( ) ( ) ( )
1 ( 2 )log( ) log( )
( )
[ ]
[ ]
z
zn
n bI
a n b p n q b p a q a a z b
q b b p a q p z q a z b
pb p a q a
dove ≠ ≠ + ≠ + ≠ − ≠i i i i[ 0 0 0 0 0]a p a n b p n q b p a q
es: per 6a = 13b = 5p = 19q =
= −ℤ30 0,018294146008453965086812500264115969883995507208348526..
19
IV° caso →∞
= + +∑
i i
0
22 1 01
lim ( )z
zn
c
d n d n d (25)
con ≠ + + ≠i i2
2 2 1 0[ 0 ( ) 0]d d n d n d Le serie di questo tipo sono sempre convergenti. Ad esempio
1
0,216747..1
lim ( )(3 8)
z
zn n n→∞
=
=+
∑i i
Serie Polinomiale di terzo grado equilibrata. I due polinomi sono entrambi di terzo grado e primi tra di loro. La Illary di base della relativa serie, è sempre del tipo 1I . Anche in questo caso la funzione antagonista di base è influenzata solo dai primi due coefficienti dei polinomi in questione
→∞
=
+ + + −=
+ + +− − ∑
i i i i ii
i i ii
3 23 2 1 0 3 2 3 3 2
21 3 2 233 2 1 0 31
lim ( ) logz
zn
c n c n c n c c c d c dI
dd n d n d n d dz z
con 3 2 1 0 3 2 1 0( , , , , , , )c c c c d d d d numeri interi (o reali), di cui
≠ ≠ + + + ≠i i i3 2
3 3 3 2 1 0[ 0 0 0]c d d n d n d n d . Per valori diversi dei parametri 1 0 1 0( , , , )c c d d si ha la stessa funzione antagonista, ma valori diversi della costante. Es:
→∞=
+ − +=
− + −− − = −∑
i i iℤ i
i i ii
3 2
31 3 21
7 23 17 51 7 171lim ( )
5 255 8 13 44log 21,994887..
z
zn
n n n
n n nz z
Casi particolari sono
→∞=
= − + −++ +
− ∑ i i i
i i ii
3 2 3
223 4 2
1
1 3lim ( ) 3 log( )
( ) 2 ( )[ ]
z
zn
n b bI a z b z
a z ba n b a a z b
≠ + ≠i( 0; 0)a a z b
es:
→∞=
= − + −++ +
− =
=
∑ i iℤi
3
32 3 4 21
1 12 4lim ( ) 5 6 log( )
5(5 2) 5 (5 2)
0,00309486075198047978179169..
[ ]z
zn
nz z
z bn z
→∞=
= ++
− ∑3
3 323 3 3
1
lim ( ) log( )z
zn
nI z a
n a
con a positivo es:
→∞=
= + == −+
−∑ℤ
33 3
33 3 31
lim ( ) log( 28 ) 3,3322..28
z
zn
nz
n
20
Serie Polinomiale di terzo grado non equilibrata
Si presentano tre casi col polinomio al numeratore maggiore di quello al denominatore e tre nel caso opposto.
I°)
3 23 2 1 0
22 1 01
lim ( )z
zn
c n c n c n c
d n d n d→∞=
+ + +
+ +∑
i i i
i i II°)
3 23 2 1 0
1 01
lim ( )z
zn
c n c n c n c
d n d→∞=
+ + +
+∑
i i i
i
III°)
22 1 0
3 23 2 1 01
lim ( )z
zn
c n c n c
d n d n d n d→∞=
+ +
+ + +∑
i i
i i i IV°)
22 1 0
3 23 2 1 01
lim ( )z
zn
c n c n c
d n d n d n d→∞=
+ +
+ + +∑
i i
i i i
V°)
1 0
3 23 2 1 01
lim ( )z
n
c n c
d n d n d n d
∞
→∞=
+
+ + +∑
i
i i i VI°)0
3 23 2 1 01
lim ( )z
n
c
d n d n d n d
∞
→∞= + + +∑
i i i I° caso: se ≠ ≠ + + ≠i i
23 2 2 1 0[ 0 0 0]c d d n d n d la illary di base è
−
→∞=
+ + + += − +
+ +
+ − −−
−∑
i i i i
i i i i ii i
i i
ii
2
3 23 2 1 0 3 2 2 3 1 3 22
242 2
22 1 0 21
2 21 2 3 1 2 3 2 1 2
32
)2(lim ( )
2 2
log
z
zn
c n c n c n c c c d c d c dI z z
dd n d n d d
c d c d d c c d d
dz
ad esempio
→∞=
+ + += − − =
+ +−∑
i i i i iℤ
i ii
3 2 2
34 21
8 3 12 7 4 3 48lim ( ) log 1,6141434..
5 25 1255 4 8
z
zn
n n n z zz
n n
Casi particolari con a positivo sono
→∞=
= − + ++
∑ i i
32
25 2 21
lim ( ) ( 1) log( )2
z
zn
n zI z a z
n a
es:
→∞=
= − + + =+
∑ i iℤ
32
35 2 21
lim ( ) ( 1) 11 log( ) 290,2286..211
z
zn
n zz z
n
→∞= +
= − + −−
∑ i i
32
26 2 21
lim ( ) ( 1) log( )2
z
zn a
n zI z a z
n a
es:
→∞=
= − + − = −−
∑ i iℤ
32
362 2
8
lim ( ) ( 1) 7 log( ) 79,3794..27
z
zn
n zz z
n
II° caso: per ≠ ≠ + ≠i3 1 1 0[ ]0 0 0c d d n d la illary è più complessa di quella del primo caso, ma più facile da calcolare del precedente.
21
→∞=
+ + +=
+
+ −− − +
− + + − +− +
− − −−
∑i i i
i
i ii i
i i i i ii
i i i i i i
3 23 2 1 0
271 01
3 1 2 3 0 33 22
1 1
2 23 1 1 0 0 1 2 1 0 1 1
31
21 2 0 1 1 0 0 1 3
lim ( )
( )3 2
( 3 6 ) 3 [ ( 2 ) 2 ]6
[ ( )]
z
zn
c n c n c n cI +
d n d
c d c c d c z z
d d
c d d d d d c d d c d z
d
d c d d c d c d c i
30
41
logd
zd
Ad esempio
→∞=
+ + += − + − + =
+
=
∑i i i
ℤ i i i ii
3 23 2
37
1
7 5 7 13 7 23 4649 23791lim ( ) log
8 17 24 128 1536 40965,6398172141030823576262131983993..
z
zn
n n nz z z z
n
→ ∞=
+ + += − +
+
− + =
∑i i i
ℤ i ii
i i
3 23 2
38
1
6681 20500523934899760454286
25050085126829060124586873197887283
301 267 411 1083 301 536113lim ( )
178 2117 534 633681815757429 2664271653191
log8459628 1003875856
,
z
zn
n n nz z +
n
z z
52397892025963881478636102319
473658489 .3674509548716479.
si ha pure
ψ− − −
= − +i i i i i i
i
2 31 2 0 1 1 0 0 1 3 0 0
27 411
[ ( )]( 1)
d c d d c d c d c d dI
dd
Possiamo quindi scrivere l’uguaglianza
→∞=
+ + +
+
− + + − ++ +
+ −+ +
− − −
∑i i i
ii
i i i i ii
i ii
i i i i i ii
3 23 2 1 0 3 3
1 0 11
2 23 1 1 0 0 1 2 1 0 1 1
31
1 2 3 0 3 22
1
2 31 2 0 1 1 0 0 1 3 0
41
lim ( )3
( 3 6 ) 3 [ ( 2 ) 2 ]6
( )2
[ ( )][log
z
zn
c n c n c n c cz +
d n d d
c d d d d d c d d c d z
d
d c c d c z
d
d c d d c d c d c d +
d
=
ψ− + i0
1( 1)]d
zd
(26)
22
E per la sommatoria di un numero finito di valori di z si ha
ψ ψ
=
+ + +
+
− + + − + + +
+ − − − −+ +
+ + − +
∑i
i
i
i ii
i i i ii i
i i
i i i
i i i i
i
3 23 2 1 0 3 3
1 0 11
2 23 1 1 0 0 1 2 1 0 1 1
31
2 31 2 3 0 3 1 2 0 1 1 0 0 1 3 02
2 41 1
0 0
1 1
( )3
( 3 6 ) 3 [ ( 2 ) 2 ]6
( ) [ ( )]2
[ ( 1) ( 1)]
z
n
c n c n c n c c= z
d n d d
c d d d d d c d d c dz
d
d c c d c d c d d c d c d c d z
d d
d dz
d d
(27) Caso particolare di illary è
→∞=
− − += − − − +
+
+
∑i
i i ii
i
3 2 23 2
28 2 31
3
4
1 3 6lim ( )
3 2 6
log
[
]
z
zn
n a b a ab bI z z z
a n b a a a
bz
a
≠ + ≠i[ 0 0]a a n b
es:
→∞=
= − − − + =+
∑ℤ i i i i
33 2
39
1
0,0054452499598141740823393174115707..1 1 17 27
lim ( ) log5 3 15 25 375 625
z
zn
nz z z z
n
III° caso
3 23 2 1 0
01
lim ( )z
zn
c n c n c n c
d→∞=
+ + +∑
i i i
(28) Verrà discusso nelle sommatorie di interi.
IV° caso ≠ ≠ + + + ≠i i i3 2
2 3 3 2 1 0( )0; 0; 0c d d n d n d n d si ha la illary di base
→∞=
+ +=
+ + +−∑
i ii
i i i
22 1 0 2
29 3 233 2 1 01
lim ( ) log[ ]z
zn
c n c n c cI
dd n d n d n dz
es:
→∞=
+ +=
+ + +− =∑
i iℤ i
i i i
2
40 3 21
557 23 8141 557lim ( )
319319 48 711 5573log 1,45006..
z
zn
n n
n n nz
Casi particolari di illary sono
23
→∞
=
= − +++ +
−∑ i
ii i
2 2
30 3 3 21
1 2lim log( )
( ) 2( )[ ] [ ]
z
zn
n b bI z
a z ba n b a a z b
≠ + ≠i[ 0 0]a a n b
es:
→∞=
= − + =++ +
−∑ i
i
ℤ
2
413 3 2
1
1 2 1lim log( ) 0,000107729015814025917569641..
8 1(8 1) 8 2 (8 1)[ ][ ]
z
zn
nz
zn z
→∞=
= ++
−∑2
3 331 3 3
1
1lim log( )
3 [ ]
z
zn
nI z a
n a
+ >3 3[ 0]z a
→∞=
= + = −+
−∑ℤ
23 3
423 3
1
1lim log( 17 ) 2,833213..
317[ ]
z
zn
nz
n
V° caso ≠ ≠1 3[ ]0 0c d
1 0
3 23 2 1 01
( )n
c n c
d n d n d n d
∞
=
+
+ + +∑
i
i i i (29) produce una serie che e' sempre convergente. Ad esempio
3 21
23 5( ) 2,017649..11 7 8 5n
n
n n n
∞
=
+=
+ + +∑
i
i i i
VI° caso
0
3 23 2 1 01
( )n
c
d n d n d n d
∞
= + + +∑
i i i fornisce pure una serie sempre convergente. Serie Polinomiale di quarto grado equilibrata. I due polinomi sono entrambi di quarto grado e primi tra di loro. La Illary di base della relativa serie, è sempre del tipo 1I . Anche in questo caso la funzione antagonista è influenzata solo dai primi due coefficienti dei polinomi
→∞=
+ + + += +
+ + + +
− − −
∑
i i
i i i i
i i i i
i i
4 3 24 3 2 1 0
32 4 3 24 3 2 1 01
4 3 4 4 3
24 4
log
lim ( )[
]
z
zn
z
c n c n c n c n cI
d n d n d n d n d
c c d c dz
d d
dove 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0( ), , , , , , , ,c c c c c d d d d d sono in genere numeri interi (ma possono essere anche reali), di cui ≠ ≠ + + + + ≠i i i i
4 3 24 4 4 3 2 1 0[ ]0 0 0c d d n d n d n d n d .
Essa fornisce funzioni antagoniste diverse per ogni quaterna di numeri positivi 3 4 3 4( , , , )c c d d , esclusi alcuni casi particolari.
24
Per valori diversi dei parametri 2 1 0 2 1 0( ), , , , ,c c c d d d si ha la stessa funzione antagonista, ma valori diversi della costante. Esempio
→∞=
− + − + +=
+ − +− + =∑
i i i i i iℤ i
i i ii
4 3 2
434 3 2
1
12 7 5 14 27 12 7 29 12 13lim ( )
2929 13 51 43 29log 0,694678..
z
zn
n n n n
n n nz z
Serie Polinomiale di quarto grado non equilibrata.
Si presentano otto casi:
I°)
4 3 24 3 2 1 0
3 23 2 1 01
lim ( )z
zn
c n c n c n c n c
d n d n d n d→∞=
+ + + +
+ + +∑
i i i i
i i i II°)
4 3 24 3 2 1 0
22 1 01
lim ( )z
zn
c n c n c n c n c
d n d n d→∞=
+ + + +
+ +∑
i i i i
i i
III°)
4 3 24 3 2 1 0
1 01
lim ( )z
zn
c n c n c n c n c
d n d→∞=
+ + + +
+∑
i i i i
i IV°)
4 3 24 3 2 1 0
01
lim ( )z
zn
c n c n c n c n c
d→∞=
+ + + +∑
i i i i
V°)
3 23 2 1 0
4 3 24 3 2 1 01
lim ( )z
zn
c n c n c n c
d n d n d n d n d→∞=
+ + +
+ + + +∑
i i i
i i i i VI°)
22 1 0
4 3 24 3 2 1 01
lim ( )z
zn
c n c n c
d n d n d n d n d→∞=
+ +
+ + + +∑
i i
i i i i
VII°)
1 0
4 3 24 3 2 1 01
lim ( )z
zn
c n c
d n d n d n d n d→∞=
+
+ + + +∑
i
i i i i VIII°) 0
4 3 24 3 2 1 01
lim ( )z
zn
c
d n d n d n d n d→∞= + + + +∑
i i i i Le prime cinque serie producono cinque illary diverse, le altre tre sono serie convergenti.
I° caso: è difficile da risolvere, poiché al crescere del grado del polinomio, la difficoltà di trovare la funzione antagonista della serie in questione cresce esponenzialmente. C’è da dire però che se è difficile trovare la illary per la generica espressione polinomiale algebrica, è invece molto più facile trovare la costante di base relativa ad una determinato polinomio i cui coefficienti siano noti. Esempio
→∞=
+ + + += − + + = −
+ + +∑
i i i iℤ i i i
i i i
4 3 22
44 3 21
17 13 3 7 11 17 57 122lim ( ) log 0,0902219..
10 50 1255 8 9 23
z
zn
n n n nz z z
n n n
Darò spiegazione in un prossimo libro, di come si possa risolvere questo ultimo problema nel caso più generale, e un secondo metodo per risolvere il caso particolare (coefficienti noti).
25
II° caso: il calcolo della illary di base di questa serie, è molto più facile di calcolo quello della serie precedente. Per ≠ ≠ + + ≠i i
24 2 2 1 0[ 0; 0; 0]c d d n d n d si ha
→∞=
+ + + += − +
+ +
− −− +
− + + + − +−
− +−
∑
i
ii
i i
i i i i i
i i i i i
i i i
i i
i
4 3 24 3 2 1 0 4 3
33 222 1 01
3 2 4 1 2 22
2
2 24 2 2 1 0 1 2 3 2 1 2 2
32
2 24 1 0 2 1 2 3 1
( )
lim ( )3
( )2
3 2 6 3 [ ( 2 ) 2 ]6
(2 ) (
][
z
zn
c n c n c n c n c cI z
dd n d n d
c d c d d z
d
c d d d d d d c d d c d z
d
c d d d d d c d
−− +i i i ii
2 30 2 2 1 2 1 2
42
)log d d c d d c d
zd
es:
→∞=
+ + + += − − + − =
+ +∑
i i i iℤ i i i i
i i
4 3 23 2
452
1
7 9 6 2 11 7 26 904 637lim ( ) log 5,742419..
15 25 375 6255 4 13
z
zn
n n n nz z z z
n n
→∞=
+ + + += − − + − = −
+ +∑
i i i iℤ i i i i
i i
4 3 23 2
462
1
4 3 2 13 11 4 1 43 637lim ( ) log 5,9786..
9 18 54 813 5 7
z
zn
n n n nz z z z
n n
III° caso: la illary di base di questa serie è più facile da calcolare rispetto alle due precedenti (anche se dalle dimensioni di questa funzione, sembra vero il contrario)
→∞=
+ + + += − +
+
− + + + − + +− − +
+ + − + + + + −−
∑
i i i
i i i ii
i
i i i ii i
i i i i i
4 3 24 3 2 1 0 4 4
341 0 11
2 21 4 4 0 1 3 1 4 2 3 0 1 3 4 4 03 2
2 31 1
3 2 21 3 1 2 1 0 4 2 3 0 1 3 4
lim ( )4
3 2 2 [ 2( )] 2 ( ) 26 4
[ 3(2 )] [ 3(2 )] 3 (2 )
z
zn
c n c n c n c n c cI z
d n d d
d c c d d c d c c c d d c c c d z z
d d
d c c c d d c c c d d c c +
− + − −−
i
i i i i i i i
i
i
34 0
41
4 3 2 24 0 1 3 0 1 1 0 1 2 0 0 1
51
66
[ ( )]log
c dz
d
c d d c d d c d d c d c d z
d
Con ≠ ≠ + ≠i1 4 1 0[ 0 0 0]d c d n d es:
→∞=
−
+ + + += − − − +
+
− =
∑i i i i
ℤ i i i ii
i
4 3 24 3 2
47
1
10,353404597297770784106179000733071484859.
.6845820377993799937778708..
2 3 8 4 7 1 8 267 5651lim ( )
5 11 10 75 250 187532392
log3125
z
zn
n n n nz z z z +
n
z
26
→∞=
−
+ + + += − − − +
+
+ − =
∑i i i i
ℤ i i ii
i i
4 3 24 3 2
48
1
4,33488040192034568405021312684.
.96309855829895395910728109313683309953
31 19 8 67 15 31 143 27407lim ( )
17 29 68 578 1965288401 7699312
log83521 1419857
z
zn
n n n nz z z
n
z z
14537..
Si ha inoltre
ψ− + − −
= − +i i i i i i i
i
4 3 2 24 0 1 3 0 1 1 0 1 2 0 0 1 0
345
11
[ ( )]( 1)
c d d c d d c d d c d c d dI
dd
Possiamo quindi scrivere l’uguaglianza
→∞=
+ + + + =
+
− + + + − + += + +
+ + − + + + + −+
∑
i i i
i i i i
i
i i i ii i
i i i i i i
4 3 24 3 2 1 0
1 01
2 21 4 4 0 1 3 1 4 2 3 0 1 3 4 4 03 2
2 31 1
3 2 2 31 3 1 2 1 0 4 2 3 0 1 3 4 4 0
lim ( )
3 2 2 [ 2( )] 2 ( ) 26 4
[ 3(2 )] [ 3(2 )] 3 (2 ) 66
z
zn
c n c n c n c n c
d n d
d c c d d c d c c c d d c c c d z z
d d
d c c c d d c c c d d c c c d
ψ
+
− + − −+ + + − +
i
i i i i i i ii i
41
4 3 2 24 4 0 1 3 0 1 1 0 1 2 0 0 1 04
51 11
[ ( )][log ( 1)]
4
zd
c c d d c d d c d d c d c d d z z
d dd
(30) Per la sommatoria di un numero finito z di valori
=
+ + + + =
+
− + + + − + += + +
+ + − + + + + −+ +
∑
i i i
i
i i i i
i
i i i ii i
i i i i i i
4 3 24 3 2 1 0
1 01
2 21 4 4 0 1 3 1 4 2 3 0 1 3 4 4 03 2
2 31 1
3 2 2 31 3 1 2 1 0 4 2 3 0 1 3 4 4 0
41
( )
3 2 2 [ 2( )] 2 ( ) 26 4
[ 3(2 )] [ 3(2 )] 3 (2 ) 66
z
n
c n c n c n c n c
d n d
d c c d d c d c c c d d c c c d z z
d d
d c c c d d c c c d d c c c d z
d
ψ ψ− + − −
+ + + + + − +i i i i i i i
i i
4 3 2 24 4 0 1 3 0 1 1 0 1 2 0 0 1 0 04
51 1 11
[ ( )][ ( 1) ( 1)]
4c c d d c d d c d d c d c d d d
z zd d dd
(31) IV° caso:
4 3 24 3 2 1 0
01
lim ( )z
zn
c n c n c n c n c
d→∞=
+ + + +∑
i i i i
Questo caso verrà discusso nelle sommatorie di interi. Abbiamo poi gli altri quattro casi, nei quali il polinomio al numeratore è più piccolo del polinomio al denominatore. V° caso: ci porta alla Illary di base
→∞
=
+ + += −
+ + + +∑
i i ii
i i i i
3 23 2 1 0 3
354 3 2
44 3 2 1 01
lim ( ) log z
zn
c n c n c n c cI z
dd n d n d n d n d
27
≠ ≠ + + + + ≠i i i i4 3 2
4 3 4 3 2 1 0[ 0 0 ) 0]d c d n d n d n d n d es:
→∞=
+ − += − =
− + − +∑
i i iℤ i
i i i i
3 2
49 4 3 21
11 23 41 67 11lim ( ) log 12,783051056..
77 12 8 18 24
z
zn
n n nz
n n n n
Casi particolari
→∞
=
= − ++
∑3
4 436 4 4
1
1lim log( )
4( )[ ]
z
zn
nI z a
n a
es:
→∞=
= − + = −+
∑ℤ
34
50 41
1lim log( 16) 0,69286..
416[ ]
z
zn
nz
n
→∞ = +
= −−
∑3
37 4 41
lim log( )( )[ ]z
zn a
nI z
n a
es:
→∞=
= − = −−
∑ℤ
3
51 4 44
lim log( ) 1,088138..3
[ ]z
zn
nz
n
→∞
=
= − −+ +
∑3 2
38 2 2 2 2 21
lim log( )( ) 2( )
[ ] z
zn
n aI z
n a z a
es:
→∞=
= − − = −+ +
∑i
ℤ
3 2
52 2 2 2 21
lim log( ) 2,10942..( 5 ) 2 ( 25)
[ ]z
zn
n az
n z
→∞
= +
= + − −− −
∑3 2
2 22 2 2 2 2
1
391
lim log( )2( ) 2( )
[ ] z
zn a
n aI z a
n a z a
es: =ℤ53 6,926224.. per = 21a
VI°-VII-VIII° caso. Nn danno Illary di base, ma serie convergenti. Serie Polinomiale di quinto grado equilibrata. I due polinomi sono entrambi di quinto grado e primi tra di loro. La Illary di base della relativa serie, è sempre del tipo 1I ; e anche in questo caso la funzione antagonista è influenzata solo dai primi due coefficienti dei polinomi
→∞=
+ + + + += +
+ + + + +
− − −
∑
i i
i i i i i
i i i i i
i i
5 4 3 25 4 3 2 1 0
40 5 4 3 25 4 3 2 1 01
5 4 5 5 4
25 5
lim ( )
log
z
zn
c n c n c n c n c n cI
d n d n d n d n d n d
c c d c d
d dz z
dove 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0( ), , , , , , , , , ,c c c c c c d d d d d d sono di solito numeri interi (e a volte reali), di cui ≠ ≠ + + + + + ≠i i i i i
5 4 3 25 5 5 4 3 2 1 0[ ]0 0 0c d d n d n d n d n d n d .
Essa fornisce una funzione antagonista diversa per ogni quaterna di numeri positivi 4 5 4 5( ), , ,c c d d .
28
Per valori diversi dei parametri 3 2 1 0 3 2 1 0( , , , , , , , )c c c c d d d d si ha la stessa funzione antagonista, ma valori diversi della costante.
→∞=
− + − −=
− + +− + = −∑
i i i i i iℤ i
i i ii
5 4 3
545 4 2 2
1
11 13 4 7 11 13 9 11 8lim ( )
99 8 5 12 9log 1,5811169809..
z
zn
n n n n
n n nz z
Serie Polinomiale di quinto grado non equilibrata Si presentano dieci frazioni polinomiali diverse che producono sei illary importanti.
I°)
4 3 24 3 2 1 0
5 4 3 25 4 3 2 1 01
lim ( )z
zn
c n c n c n c n c
d n d n d n d n d n d→∞=
+ + + +
+ + + + +∑
i i i i
i i i i i II°)
3 23 2 1 0
5 4 3 25 4 3 2 1 01
lim ( )z
zn
c n c n c n c
d n d n d n d n d n d→∞=
+ + +
+ + + + +∑
i i i
i i i i i
III°)
22 1 0
5 4 3 25 4 3 2 1 01
lim ( )z
zn
c n c n c
d n d n d n d n d n d→∞=
+ +
+ + + + +∑
i i
i i i i i IV°) 1 0
5 4 3 25 4 3 2 1 01
lim ( )z
zn
c n c
d n d n d n d n d n d→∞=
+
+ + + + +∑
i
i i i i i
V°) 0
5 4 3 25 4 3 2 1 01
lim ( )z
zn
c
d n d n d n d n d n d→∞= + + + + +∑
i i i i i VI°)
5 4 3 25 4 3 2 1 0
4 3 24 3 2 1 01
lim ( )z
zn
c n c n c n c n c n c
d n d n d n d n d→∞=
+ + + + +
+ + + +∑
i i i i i
i i i i
VII°)
5 4 3 25 4 3 2 1 0
3 23 2 1 01
lim ( )z
zn
c n c n c n c n c n c
d n d n d n d→∞=
+ + + + +
+ + +∑
i i i i i
i i i VIII°)
5 4 3 25 4 3 2 1 0
22 1 01
lim ( )z
zn
c n c n c n c n c n c
d n d n d→∞=
+ + + + +
+ +∑
i i i i i
i i
IX°)
5 4 3 25 4 3 2 1 0
1 01
lim ( )z
zn
c n c n c n c n c n c
d n d→∞=
+ + + + +
+∑
i i i i i
i X°)
5 4 3 25 4 3 2 1 0
01
lim ( )z
zn
c n c n c n c n c n c
d→∞=
+ + + + +∑
i i i i i
I° caso: si ha
→∞=
+ + + += −
+ + + + + ∑
i i i ii
i i i i i
4 3 24 3 2 1 0 4
41 5 4 3 255 4 3 2 1 01
lim ( ) log[ ]z
zn
c n c n c n c n c cI z
dd n d n d n d n d n d
≠ ≠ + + + + + ≠i i i i i
5 4 3 24 5 5 4 3 2 1 0[ ]0 0 0c d d n d n d n d n d n d
es:
→∞=
+ − + −= − = −
− + − + +∑
i i i iℤ i
i i i i i
4 3 2
55 5 4 3 21
61 7 42 24 189 61lim ( ) log 44,34895..
2424 37 22 19 5 8
z
zn
n n n nz
n n n n n
Il X° caso, verrà discusso in seguito nello studio delle sommatorie di interi. IX° caso
→∞=
+ + + + + − + −= − + +
+
− + − + + − +− − +
∑i i i i i i i i
i i i i i i ii
ii i
ii
i
5 4 3 2 4 2 2 3 45 4 3 2 1 0 5 5 1 1 0 1 0 05
42 51 0 1 11
2 25 1 0 1 4 5 1 0 1 0 1 4 1 0 3 14 3
2 31 1
( 5 15 30 )lim ( )
5 30
(2 ) (2 3 2 ) [ (3 2 ) 2 ]4 6
z
zn
c n c n c n c n c n c c c d d d d d dI z z
d n d d d
c d d d c c d d d d d c d d c d z z
d d
− + + − + − − +− +
− + − − + + − ++
−−
i i i i i i i i i
i i i i i i i i i i
i i i
i
i
2 2 2 21 4 1 1 0 0 1 3 1 0 2 1 0 5 1 1 0 0 2
41
2 2 2 21 0 4 1 1 0 0 1 3 1 1 0 0 1 2 1 0 1 1
51
41 4 0 1 3
( 2 2 ) 2 [ ( ) ] ( 2 2 )4
5 ( 3 6 ) ( 3 6 ) 3 [ ( 2 ) 2 ]30
d c d d d d d c d d c d d c d d d d z
d
d d c d d d d d c d d d d d c d d c d z
d
d c d d c
− − − −i i i i i i ii
3 2 50 1 2 0 1 1 0 0 1 5 0
61
( )[ ]log
d d c d d c d c d c dz
d
29
con ≠ ≠ + ≠i5 1 1 0[ 0 0 0]c d d n d es:
→∞=
=
+ + + + += − + − + +
+
− +
∑i i i i i
ii i iℤi
i
5 4 3 25 4 3 2
56
1
4173346 1864762631
804357 49870134
853493523775 387167826829706
2318961231 2156633944832847,4957714815745886
105 23 87 7 43 509 7 3511lim ( )
93 407 31 5766
log
z
zn
n n n n nz z z z
n
z z
569274193723712588498726585..
VIII° caso: è più difficile da trattare rispetto al IX° caso. La sua illary è
→∞=
−
+ + + + += +
+ +
− −− − +
+ + + − +− +
+ −+
∑i i i i i
i ii
i i ii
i i i
i i
i
5 4 3 25 4 3 2 1 0
43 22 1 01
5 4 2 5 1 24 32
2 2
2 25 2 2 1 0 1 2 4 2 1 3 2 2
32
25 2 1 0 2 1
2
lim ( )
2 (2 3 )4 6
[ ( ) 2 ] 2 [ ( ) ]4
[ ( 3 ) 3 (
z
zn
c n c n c n c n c n cI
d n d n d
c c d c d d z z
d d
c d d d d d d c d d c d z
d
c d d d d d
−
+ ++
− + + + +− +
− +− +
− − − + −−
i
i i i i i ii
i i i
i i i i
i
i
2
31 0 1
42
22 4 2 2 1 0 1 2 3 2 1 2 2
42
2 2 2 45 2 0 2 1 0 1
52
2 22 4 1 2 0 1 2 3 2 0 1 2 2 1 1 2
52
4 ) 6 ]6
[ 3 ( 2 ) 6 ] 3 [ ( 2 ) 2 ]6
( 3 )log
(2 ) [ ( )] ( )lo
d d dz
d
d c d d d d d d c d d c d z
d
c d d d d d d z
d
d c d d d d d c d d d d c d c d
dgz
con ≠ ≠ + + ≠i i
25 2 2 1 0[ 0 0 0]c d d n d n d
es:
→∞=
+ + + + += − − − − + =
+ +∑ iℤ i i
5 4 3 24 3 2
572
1
4 3 2 5 1 2 1 19 25 263 179lim ( ) log 0,3973..
3 27 54 162 2433 2 1
z
zn
n n n n nz z z z z
n n
→∞=
+ + + + += − − − − +
+ +
− =
∑ iℤ i
i
5 4 3 24 3 2
57'2
1
11 4 5 2 3 9 11 587 3389 49669lim ( )
68 1734 19652 50112617 5 8223149
log 0,52759..1419857
z
zn
n n n n nz z z z
n n
z
→∞=
+ + + + += − − − − +
+ +
− =
∑ iℤ i
i
5 4 3 24 3 2
57''2
1
29 14 13 9 7 2 29 1359 100621 807436lim ( )
164 3362 275684 282576141 11 313271201
log 0,0679954..115856201
z
zn
n n n n nz z z z
n n
z
Ma se veramente vorrete passare decine di notti insonni, cimentatevi con la illary del sesto e settimo caso!
30
Serie Polinomiale di r-esimo grado equilibrata.
I due polinomi sono di grado uguale, ma primi tra di loro. La Illary di base è dello stesso tipo dei casi precedenti: entrano in gioco solo i primi due coefficienti dei due polinomi
→∞=
+ + + += +
+ + + +
− − −
∑
i
i i i
i i i
i ii
r-1r-1 1 0
44r-1
r-1 1 01
r-1 r-1
2
...lim ( )
...
log
[
]
rzr
rz rn
r r r
r r
c n c n c n cI
d n d n d n d
c c d c dz
d dz
con r-1 r-1( , ,.... , ....)r rc c d d numeri interi, fornisce una costante per ogni quaterna
r-1 r-1( , , , )r rc c d d , e ≠ ≠ + + + + ≠i i ir-1
r-1 1 0[ 0 0 ... 0]rr r rc d d n d n d n d .
Ad esempio
→∞=
+ + + += = −
+ + + +− −∑ i
i i i iℤ i
i i i i
5 4 2
58 5 4 21
61 22 14 11 61 61 541lim ( ) log 0,43509..
44 193644 7 37 18 24
z
zn
n n n nz
n n n nz
Tutti i termini dal terzo in poi, delle due funzioni polinomiali di grado r-esimo, diventano insignificanti per la funzione antagonista. La 44I è valida anche quando r-1 r-1( , ,.... , ....)r rc c d d sono numeri reali. Serie Polinomiale di r-esimo grado non equilibrata. I due polinomi sono di grado diverso e primi tra di loro. abbiamo )(2r combinazioni polinomiali, per le quali queste serie generano illary (r è il grado maggiore fra i due polinomi). Fra le illary facilmente calcolabili abbiamo la seguente
→∞
=
+ + +=
+ + + + +− ∑ i
i i i
i i i i
r-1 2r-1 2 1 0 r-1
45r-1 2
r-1 2 1 01
.... clim ( ) log
....[ ]
z
rz rrn
c n c n c n cI z
dd n d n d n d n d
con ≠ ≠ + + + + ≠i i i
r-1r-1 r-1 1 0( 0; 0; ... 0)r
r rc d d n d n d n d . E’ evidente che lo studio delle Illary dei polinomi di grado r-esimo, comporta difficoltà di analisi con crescita esponenziale funzione di r. La discussione generale su tutte le possibili serie non equilibrate, richiede uno studio particolarmente impegnativo, soprattutto per quelle che hanno il polinomio al numeratore di grado poco diverso di quello al denominatore. Il metodo che ho applicato per trovare le illary dei casi appena visti (e che descriverò in un prossimo libro), può essere utilizzato per le frazioni polinomiali di qualsiasi grado; però per i polinomi di grado superiore al quinto è necessario avere un programma di calcolo rapido, che in questo momento non possiedo. E’ però importante sapere che è molto più facile trovare la funzione antagonista di una serie polinomiale di r-esimo grado i cui coefficienti sono noti, che quella generica, anche se la difficoltà di calcolo della propria illary, cresce al crescere del grado del polinomio.
31
Una serie polinomiale non equilibrata
p-1p-1 1 0
r-1r-1 1 01
...lim ( )
...
pzp
rz rn
c n c n c n c
d n d n d n d→∞=
+ + + +
+ + + +∑
i i i
i i i (32)
è convergente se − ≥[ 2]r p
CAP III - INTEGRALI ALGEBRICI IMPROPRI E FUNZIONI
POLINOMIALI. Anche gli integrali divergenti impropri, come le serie divergenti, generano costanti numeriche. Le funzioni antagoniste di base degli integrali impropri delle funzioni polinomiali, a volte sono le medesime delle funzioni antagoniste delle serie divergenti dei polinomi in questione. Possiamo fare una classificazione degli integrali impropri delle funzioni polinomiali simile a quella fatta per le serie polinomiali. Anche per gli integrali impropri che tratteremo in questo capitolo, escluderemo quelli contenente radicali, e considereremo solo polinomi che siano primi fra di loro. Gli integrali impropri possono avere delle Illary di Base (la cui rappresentazione algebrica è la più semplice possibile), e delle Illary Reali la cui convergenza è la più rapida possibile. Vediamo qualche applicazione sulle frazioni polinomiali.
Integrale Polinomiale Improprio di primo grado equilibrato. L'integrale polinomiale equilibrato di primo grado di una frazione algebrica, è relativo alla frazione di due polinomi, nella quale il polinomio al numeratore ha lo stesso grado di quello al denominatore. La illary di base di questa frazione di polinomi, possiede la stessa funzione antagonista della serie divergente analoga:
→∞ =
+
+
−= − − ∫
i
i
ii i
i01 1 0 1 1 0
46 20 1 0 1 1(lim ) log[ ]
z n
z
nc n c c c d c d
I d z zd n d d d
dove 1 0 1 0( ), ,c c d d sono numeri interi, ed è ≠ + ≠i1 1 0[ ]0 0d d n d . La 46I fornisce una costante diversa per ogni quaterna 1 0 1 0( ), , ,c c d d . Ad esempio
=→∞
+=
+− − =∫
iℤ
ii59
0
5 7 5 13lim ( )
4 3 4 16log 0,233742..
z
nzn
nd
nz z
La serie della stessa funzione avrebbe fornito la costante
= −ℤ60 0,20107136850682.. La 46I è valida anche se 1 0 1 0( ), , ,c c d d sono numeri reali positivi.
32
Esempio: se prendiamo
1( 3,14159265358979323846264338..)c π= =
0( 2,71828182845904523536028747135..)c e= =
1( 0,57721566490153286060651209008..)d γ= =
0( 1,45136923488338105028396848589..)d µ= = costante di Ramanujan-Soldner
π π γ π µ
γ µ γ γ=→∞
+ −=
+− − =∫
i ii i
iℤ
i61 20
lim ( ) log 8,27621121..z
nzn
n e ed
nz z
La illary reale per gli integrali polinomiali equilibrati impropri di primo grado è
=→∞
+ −= +
+− − ∫ i i i
i i i
i
1 0 1 0 1 1 047 1 020 1 0 1 1
log(lim ( ) )[ ]z
nzn
c n c c c d c dI d z d z d
d n d d d (33)
≠ + >i1 1 0[ ]0 0d d n d
es: =→∞
+= +
+− + =∫ℤ i i
ii62
0
11 17 11 134lim ( ) 7 23 8,5746168353..
7 23 7 49log( )
z
nz
nz
nz
Il cui valore è dato anche da
−
= − ii i0 1 1 0
47 021
log( )c d c dI d
d (34)
Infatti si ha
1 0 1 0 1 1 0 1 0
20 1 0 1 01log(lim ( ) )
z
nzn
c n c c c d c d d z dd z
d n d d dd=→∞
+ − +
+= +∫ i
ii
i i i
i
Integrale Polinomiale Improprio di primo grado non equilibrato. Si presentano due casi. I° caso - Si può ricavare dalla (33) ponendo in essa =1 0c La illary di base è
=→∞= −
+ ∫
i
0 048
0 1 0 1lim ( ) log[ ]z
nzn
c cI d z
d n d d
con ≠ + ≠i1 1 0[ ]0 0d d n d . Esempio
=→∞= − =
+∫ℤi
630
7 7lim ( ) log 0,29335..
15 8 15
z
nznd z
n
La illary reale è
=→∞
= − ++
∫ ii
0 049 1 0
0 1 0 1lim ( ) log( )[ ]z
nzn
c cI d d z d
d n d d (35)
33
≠ + >i1 1 0[ ]0 0d d n d es:
=→∞= − + = −
+∫ℤi
640
13 13lim ( ) log (7 11) 4,45323407805411672..
7 11 7
z
nznd z z
n
Si ha pure
= −0
49 01log( )
cI d
d (36)
Nel caso precedente
= − = −ℤ6413
log(11) 4,45323407805411672468646664479..7
per cui
0 0 1 0
0 1 0 1 0lim ( ) log( )
z
nzn
c c d z dd
d n d d d=→∞=
+
+∫ ii
i
II° caso: l'integrale improprio è del tipo perfetto
1 0 1 1 02
0 0 0 0
2
2 2lim ( ) 0
z
nzn
c n c c c cd z z
d d d=→∞
+ +− − =∫
i
Integrale Polinomiale Improprio di secondo grado equilibrato. I due polinomi in considerazione, sono entrambi di secondo grado. La Illary di base, è sempre del tipo (33).
=→∞
+ + −=
+ +− − ∫
i i i ii
i ii
22 1 0 2 1 2 2 1
502 20 22 1 0 2
lim ( ) log[ ]z
nzn
c n c n c c c d c dI d
dd n d n d dz z
dove 2 1 0 2 1 0( ), , , ,c c c d d d sono numeri interi, e
≠ ≠ + + ≠i i2
2 2 2 1 0[ 0 0 0]c d d n d n d . Ad esempio
=→∞
+ +=
+ +− + =∫
i iℤ i
i ii
2
65 20
8 5 6 8 1lim ( )
11 12111 7 4log 0,557789936..
z
nzn
n nd
n nz z
Anche la 50I è valida se la quaterna 2 1 2 1( , , , )c c d d è composta da numeri reali. La illary reale dell'integrale polinomiale equilibrato di secondo grado è
=→∞
−
+ + −=
+ +
+ −+ +
−
+−
−
− −
+
∫ i
i i
i i i ii
i i
i i i i ii
i i
ii
i i
2
2
2
22 1 0 2 1 2 2 1
51 2 20 22 1 0 2
2 2 0 1 2 1 1 0 222 1 0
22 2 0 1
2 1 1
2 0 1 2 0
lim ( )2
[ (2 ) ( 2 )]
42
[ ( ) ( )]4 4
log( )
z
nz
ATAN ASIN
nc n c n c c c d c d
I ddd n d n d d
c d d d d c d c dd d z d
d d d d
d z d d
d d d d d
z
z
(37)
34
e
−
= − ii i1 2 2 1
51 022
log2
( )c d c dI d
d (38)
es:
=→∞
+ + += + + − =
+ +
=
− − −
−
∫i i i
ℤ i ii i i
i
22
66 20
5 8 7 5 13 195 7 3 3lim ( ) 7 6 2 [ ( ) [ ( )]
7 497 6 2 49 5 5 14..
log( )
0,183896190760801816784163624060
z
nzn
n n zd z ATAN ASIN
n nz z
= − = −ℤ i6613
249
log( ) 0,183896190760801816784163624060..
Integrale Polinomiale Improprio di secondo grado non equilibrato.
I due polinomi (numeratore e denominatore), sono di grado diverso. Si presentano quattro casi:
I°)2
2 1 0
0 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n cd
d n d=→∞
+ +
+∫i i
i II°)
22 1 0
0 0lim ( )
z
nzn
c n c n cd
d=→∞
+ +∫
i i
III°) 1 0
20 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n cd
d n d n d=→∞
+
+ +∫i
i i
IV°) 0
20 2 1 0lim ( )
z
nzn
cd
d n d n d=→∞ + +∫i i
I° Caso - genera la illary
=→∞
+ + −= − +
+
− −−
− ∫i i i
i
i i ii i
i
2
22 1 0 2 1 1 2 02
5220 1 0 1 1
2 0 1 1 0 0 1
31
lim ( )2
( ) log( )
[
]
z
nzn
c n c n c c c d c dI d z z
d n d d d
c d d c d c d
dz
(39)
dove ≠ ≠ + ≠i2 1 1 0[ 0 0 0]c d d n d
e − −
= −i i i i
i
22 0 1 1 0 0 1 0
52 311
( ) log( )c d d c d c d dI
dd (40)
es:
=→∞
+ += − − = −
+−∫
i iℤ i i i
i
22
670
7 8 5 7 67 404lim ) log( ) 0,3943728967608004391264809..
11 3 22 121 1331
z
nzn
n nd z z z
n
= − = −ℤ i67
4041331 11
3log( ) 0,3943728967608004391264809..
II° caso: è un integrale improprio perfetto
2 3 2
2 1 0 2 1 0
0 0 0
2 3 6lim ( ) 0
6
z
nzn
c n c n c c z c z czd
d d=→∞−
+ + + +=∫
i i
35
III° caso: si ricava dalla (39), ponendo =2 0c
=→∞
+=
+ +− ∫
ii
i i
1 0 153 20 22 1 0
lim ( ) log[ ]z
nzn
c n c cI d
dd n d n dz
dove ≠ ≠ + + ≠i i
21 2 2 1 0[ 0; 0; 0]c d d n d n d
es:
=→∞
+=
+ +− = −∫
iℤ i
i i68 20
88 47 88lim ( )
2929 13 64log 0,2920028..
z
nzn
nd
n nz
La illary reale è
=→∞
+=
+ +
− +− −
− −
− + + + ∫i i i
ii i
ii i i
i i
i2 2
1 0 1 254 2 1 020 22 1 0
0 2 1 1 2 1 1
2 02 2 0 1 2 0 1
lim ( )2
2 2( ) ( )
44 4
log( )
[ ]
z
nz
ATAN ASIN
nc n c c
I d d z d z ddd n d n d
c d c d d z d d
d dd d d d d d d
(41)
>≠ ≠ ≠ + + > −ii i22
1 2 0 2 1 0 2 0 1 0[ 0 0 0 0 4 ]c d d d n d n d d d d Abbiamo
= − i1
54 022log( )c
I dd
(42)
es: 1 37C = 2 83d = 1 41d = 0 67d = = −ℤ69 0,937190523..
IV° caso: 0
20 2 1 0lim ( )
z
nzn
cd
d n d n d=→∞ + +∫i i
Questo integrale è sempre convergente. Integrale Polinomiale Improprio di terzo grado equilibrato. I due polinomi sono entrambi di terzo grado. La Illary di base , è sempre del tipo (33).
=→∞
+ + + −=
+ + +− − ∫ i i
i i i i i
i i i
3 23 2 1 0 3 2 3 3 2
55 3 2 20 33 2 1 0 3lim ( ) log z
nzn
c n c n c n c c c d c dI d z
dd n d n d n d dz
dove 3 2 1 0 3 2 1 0( , , , , , , )c c c c d d d d di solito sono numeri interi, di cui
≠ ≠ + + + ≠i i i3 2
3 3 3 2 1 0[ 0 0 0]c d d n d n d n d . Per valori diversi dei parametri 1 0 1 0( , , , )c c d d si ha la stessa funzione antagonista, ma valori diversi della costante.
36
es:
=→∞
+ + +=
+ + +− − =∫
i i iℤ i
i i ii
3 2
70 3 20
3 5 7 1 3 17lim ( )
8 328 2 9 4log 0,179263..
z
nzn
n n nd
n n nz z
La Illary precedente è valida anche se i numeri 3 2 1 0 3 2 1 0( ), , , , , , ,c c c c d d d d sono numeri reali. Integrale Polinomiale Improprio di terzo grado non equilibrato. Si presentano sei casi.
1)3 2
3 2 1 0
20 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n c n cd
d n d n d=→∞
+ + +
+ +∫i i i
i i 2)
3 23 2 1 0
0 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n c n cd
d n d=→∞
+ + +
+∫i i i
i
3)=→∞
+ + +∫
i i i3 2
3 2 1 0
0 0lim ( )
z
nzn
c n c n c n cd
d 4)
22 1 0
3 20 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n cd
d n d n d n d=→∞
+ +
+ + +∫i i
i i i
5) 1 0
3 20 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n cd
d n d n d n d=→∞
+
+ + +∫i
i i i
6) 0
3 20 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
cd
d n d n d n d=→∞ + + +∫i i i
I° caso- se ≠ ≠ + + ≠i i
23 2 2 1 0[ 0 0 0]c d d n d n d la illary di base è
−
=→∞
+ + += − +
+ +
+ − −−
− ∫i i
i i
i i i i i
i ii i
i
2
3 23 2 1 0 3 2 2 3 12
56 2 20 22 1 0 2
21 2 3 1 2 0 3 2 1 2
32
lim ( )2
log
[
]
z
nzn
c n c n c n c c c d c dI d z z
dd n d n d d
c d c d d d c c d d
dz
ad esempio
=→∞
+ + += − + − =
+ +∫i i i
ℤi i
3 22
71 20
5 2 9 14 5 7 95lim ( ) log 2,297463..
16 32 1288 6 7
z
nzn
n n nd z z z
n n
II° caso: in questo caso è ≠ ≠ + ≠i3 1 1 0[ ]0 0 0c d d n d . La sua illary di base è
=→∞
+ + += − +
+
− + − − − +
− − − −
∫i i i
ii
i i i i ii i
i i i i i ii
3 23 2 1 0 3 3
570 1 0 1
2 22 1 3 0 3 0 1 1 2 1 02
2 31 1
2 31 2 0 1 1 0 0 1 3 0
41
lim ( )3
2[ ( )]
log
z
nzn
c n c n c n c cI d z
d n d d
c d c d c d c d c d dz z
d d
d c d d c d c d c dz
d
37
es: =→∞
+ + += − + − + =
+∫i i i
ℤi
3 23 2
720
4 7 8 2 4 23 325 3521lim ( ) log 56,47711464..
3 11 9 18 27 81
z
nzn
n n nd z z z z
n
La illary reale è
=→∞
+ + + −= − − +
+
+ −− +
− − −− +
∫i i i i i
i ii
i i ii
i i i i i ii i
3 23 2 1 0 3 2 1 3 03 2
58 20 1 0 1 1
2 23 0 1 1 2 1 0
31
2 31 2 0 1 1 0 0 1 3 0
1 041
lim ( )3 2
[ ( )]log( )
z
nzn
c n c n c n c c c d c dI d z z
d n d d d
c d c d c d d z
d
d c d d c d c d c d d z d
d
≠ ≠ + >i3 1 1 0[ ]0 0 0c d d n d
Si ha pure
− − −
= −i i i i i i
i
2 31 2 0 1 1 0 0 1 3 0
58 041
[ ( )]log( )
d c d d c d c d c dI d
d (43)
III° caso: produce un integrale improprio perfetto
3 23 2 1 0 3 3 2 3 2 1 2 1 04 3 2
0 0 0 0 0 0
3 2 2 2 3 6lim ( ) ( ) 0
4 6 4 6
z
nz
c n c n c n c c c c c c c c c cz z z z
d d d d d=→∞
+ + + + + + + +− + + + =∫
i i i
IV° caso si ha la illary di base
=→∞
+ +=
+ + +−∫
i ii
i i i
22 1 0 2
59 3 20 33 2 1 0lim ( ) log[ ]z
nzn
c n c n c cI d
dd n d n d n dz
≠ ≠ + + + ≠ i i i
3 22 3 3 2 1 0[ ]0; 0; 0c d d n d n d n d
es: =→∞
+ −= − =
− + −∫i i
ℤi
2
73 3 20
2 5 6 1lim ( ) log 0,06120366..
48 4 3 11
z
nzn
n nd z
n n n
V° caso: 1 3( )0, 0c d≠ ≠
1 0
3 20 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n cd
d n d n d n d=→∞
+
+ + +∫i
i i i (44)
produce un'integrale convergente. VI° caso
0
3 20 3 2 1 0( )
z
nn
cd
d n d n d n d= + + +∫i i i
E’ pure un'integrale convergente.
38
Integrale Polinomiale Improprio di quarto grado equilibrato.
I due polinomi sono entrambi di quarto grado. La Illary di base della relativa serie, è sempre del tipo (33). Anche in questo caso la funzione antagonista è influenzata solo dai primi due coefficienti dei due polinomi
=→∞+
+ + + +=
+ + + +
−− −
∫
i i
i i i i
i i i i
i i
4 3 24 3 2 1 0
60 4 3 20 4 3 2 1 0
4 3 4 4 3
24 4
log
lim ( )[
]
z
nzn
z
c n c n c n c n cI d
d n d n d n d n d
c c d c dz
d d
dove 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0( ), , , , , , , ,c c c c c d d d d d sono in genere numeri interi, di cui
≠ ≠ + + + + ≠i i i i4 3 2
4 4 4 3 2 1 0[ ]0 0 0c d d n d n d n d n d . Essa fornisce funzioni antagoniste diverse per ogni quaterna di numeri
3 4 3 4( , , , )c c d d . Esempio
=→∞= −
− + + +=
+ − + +− +∫ i i
i i i iℤ
i i i i
4 3 2
74 4 3 20log 3,685137101..
41 11 7 8 3 41 332lim ( )
63 396963 25 8 5 1
z
nzn z
n n n nd z
n n n n
La 60I è valida anche se 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0( ), , , , , , , ,c c c c c d d d d d sono numeri reali. Integrale Polinomiale Improprio di quarto grado non equilibrato. Come per le serie analoghe si presentano otto casi: 1)
4 3 24 3 2 1 0
3 20 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n c n c n cd
d n d n d n d=→∞
+ + + +
+ + +∫i i i i
i i i
2) 4 3 24 3 2 1 0
20 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n c n c n cd
d n d n d=→∞
+ + + +
+ +∫i i i i
i i
3)
4 3 24 3 2 1 0
0 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n c n c n cd
d n d=→∞
+ + + +
+∫i i i i
i
4) 4 3 2
4 3 2 1 0
0 0lim ( )
z
nzn
c n c n c n c n cd
d=→∞
+ + + +∫
i i i i
5) 3 2
3 2 1 0
4 3 20 4 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n c n cd
d n d n d n d n d=→∞
+ + +
+ + + +∫i i i
i i i i
6) 22 1 0
4 3 20 4 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n cd
d n d n d n d n d=→∞
+ +
+ + + +∫i i
i i i i
7) 1 0
4 3 20 4 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n cd
d n d n d n d n d=→∞
+
+ + + +∫i
i i i i
8) 0
4 3 20 4 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
cd
d n d n d n d n d=→∞ + + + +∫i i i i
I primi cinque integrali producono illary diverse, gli altri sono convergenti. I° caso E’ difficile da calcolare; occorrerebbe un programma particolare. II° caso: il calcolo della illary di base di questa serie, è molto più facile del calcolo della illary del caso precedente. Per ≠ ≠ + + ≠i i
24 2 2 1 0[ 0 0 0]c d d n d n d
Si ha:
39
=→∞
+
+ + + += +
+ +
− − + −− − +
− − − −−
∫i
i i i i i
i i i i i i i i
i i i
i i
i i i
i
4 3 24 3 2 1 0
62 20 2 1 0
24 3 2 4 1 4 2 0 1 2 3 1 2 23 2
2 32 2 2
2 24 1 0 2 1 2 3 0 2 1 2 2 1 1 2
42
(
( )
lim ( )
) ( )3 2
(2 ) ( ) ]lo
[
z
nzn
c n c n c n c n cI d
d n d n d
c c d c d c d d d d c d c d z z z
d d d
c d d d d d c d d d d c d c d
dg z
es:
=→∞
+ + + += − − + − =
+ +∫i i i i
ℤ i i i ii i
4 3 23 2
7520
7 9 6 2 11 7 17 373 637lim ( ) log 7,583599005..
15 50 125 6255 4 13
z
nzn
n n n nd z z z z
n n
III° caso: abbiamo la illary di base
=→∞
+
+ + + += −
+
−− +
+ − − −− − +
− − −−
∫i i
i i i ii
i i i i i i
i i i ii
i
i
i i ii
4 3 24 3 2 1 0 4 4
630 1 0 1
3 1 4 0 32
1
2 2 2 2 34 0 2 1 3 0 1 1 3 0 2 0 1 1 1 4 02
3 41 1
4 3 24 0 1 3 0 1 2 0 1 1[
lim ( )4
3( )
2 (
z
nzn
c n c n c n c n c cI d z +
d n d d
c d c d z
d
c d c d c d d d c d c d d c d c d z z
d d
c d d c d d c d d c d
− ii
0 0 1
51
)]log c d
zd
con ≠ ≠ + ≠i4 1 1 0[ 0 0 0]c d d n d es:
=→∞
+ + + += − + − + +
+
− =
∫i i i i
ℤ i i i ii
i
4 3 24 3 2
760
31 19 8 67 15 31 192 9508 222293lim ( )
17 29 68 289 4913 835217699312
log1419857
z
nzn
n n n nd z z z z
n
z - 2,8960214675..
=→∞
+ + + += − − − − +
+
− =
∫i i i i
ℤ i i i ii
i
4 3 24 3 2
770
7 11 5 3 18 1 31 253 3463lim ( )
21 2 12 189 2646 27783493168
log 1,9876320376957..583443
z
nzn
n n n nd z z z z
n
z
La illary reale (45)
=→∞
+
+ + + + −= − −
+
+ − − −− − +
− − − −−
∫i i
i i i ii
i i i i i i i
i i i ii i
i
i i ii
4 3 24 3 2 1 0 4 3 1 4 04 3
6420 1 0 1 1
2 2 2 2 34 0 2 1 3 0 1 1 3 0 2 0 1 1 1 4 02
3 41 1
4 3 24 0 1 3 0 1 2 0 1 1 0 0 1[
lim ( )4 3
( )2
( )]
z
nzn
c n c n c n c n c c c d c dI d z z +
d n d d d
c d c d c d d d c d c d d c d c dz z
d d
c d d c d d c d d c d c d +i i1 05
1log( )d z d
d
≠ ≠ + >i4 1 1 0[ 0 0 0]c d d n d
40
Il cui valore si può calcolare anche con
− − − −
= −i i i i i i i
i
4 3 24 0 1 3 0 1 2 0 1 1 0 0 1
64 051
[ ( )]log( )
c d d c d d c d d c d c dI d
d....(46)
IV° caso: è un integrale improprio perfetto
4 3 24 3 2 1 0 4 4 3 4 3 25 4 3
0 0 0 0 0
3 1 3 3 1 0 02
0 0
2 2 3 2lim ( ) (
5 4 62( ) 5[ 3( 2 )]
) 04 30
z
nzn
c n c n c n c n c c c c c c cd z z z
d d d d
c c c c c c d z z
d d
=→∞
+ + + + + + +− + + +
+ + + + −+ + =
∫i i i i
V° caso: ci porta alla Illary di base
=→∞
+ + += −
+ + + +∫i i i
ii i i i
3 23 2 1 0 3
65 4 3 20 44 3 2 1 0lim ( ) log z
nzn
c n c n c n c cI d z
dd n d n d n d n d
≠ ≠ + + + + ≠i i i i
4 3 23 4 4 3 2 1 0[ 0 0 0]c d d n d n d n d n d
es:
=→∞
+ + += − =
+ + + +∫i i i
ℤ ii i i i
3 2
78 4 3 20
11 23 41 67 11lim ( ) log 3,49996223169..
77 12 8 18 24
z
nzn
n n nd z
n n n n
Integrale Polinomiale Improprio di quinto grado equilibrato.
I due polinomi sono entrambi di quinto grado. La Illary di base della relativa serie, è del tipo della (33).
=
→∞
+
+ + + + +=
+ + + + +
−− −
∫i i i i i
i i i i i
i ii i
5 4 3 25 4 3 2 1 0
66 5 4 3 20 5 4 3 2 1 0
5 4 5 5 4
25 5
lim ( )
log
z
n
z
nc n c n c n c n c n c
I dd n d n d n d n d n d
c c d c d
d dz z
dove 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0( ), , , , , , , , , ,c c c c c c d d d d d d sono numeri interi, di cui ≠ ≠ + + + + + ≠i i i i i
5 4 3 25 5 5 4 3 2 1 0[ ]0 0 0c d d n d n d n d n d n d .
Essa fornisce una costante per ogni quaterna di numeri positivi 4 5 4 5( ), , ,c c d d . Per valori diversi dei parametri 3 2 1 0 3 2 1 0( , , , , , , )c c c c d d d d si ha la stessa funzione antagonista, ma valori diversi della costante, per esempio
=→∞
+ + + + +=
+ + + + +− − = −∫
i i i i iℤ i
i i i i ii
5 4 3 2
79 5 4 3 20
7 5 3 5 2 7 7 23lim ( )
2 162 8 6 2 4 3log 3499905,330539007..
z
nzn
n n n n nd
n n n n nz z
41
Integrale Polinomiale improprio di quinto grado non equilibrato.
Si presentano dieci frazioni polinomiali diverse, che producono sei illary importanti. Si osserva facilmente che, al crescere del grado del polinomio le difficoltà di trovare le generiche illary delle frazioni polinomiali aumentano esponenzialmente. 1) 4 3 2
4 3 2 1 0
5 4 3 20 5 4 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n c n c n cd
d n d n d n d n d n d=→∞
+ + + +
+ + + + +∫i i i i
i i i i i
2) 3 23 2 1 0
5 4 3 20 5 4 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n c n cd
d n d n d n d n d n d=→∞
+ + +
+ + + + +∫i i i
i i i i i
3) 2
2 1 0
5 4 3 20 5 4 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n cd
d n d n d n d n d n d=→∞
+ +
+ + + + +∫i i
i i i i i
4) 1 0
5 4 3 20 5 4 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n cd
d n d n d n d n d n d=→∞
+
+ + + + +∫i
i i i i i
5) 0
5 4 3 20 5 4 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
cd
d n d n d n d n d n d=→∞ + + + + +∫i i i i i
6) 5 4 3 25 4 3 2 1 0
4 3 20 4 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n c n c n c n cd
d n d n d n d n d=→∞
+ + + + +
+ + + +∫i i i i i
i i i i
7) 5 4 3 2
5 4 3 2 1 0
3 20 3 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n c n c n c n cd
d n d n d n d=→∞
+ + + + +
+ + +∫i i i i i
i i i
8) 5 4 3 25 4 3 2 1 0
20 2 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n c n c n c n cd
d n d n d=→∞
+ + + + +
+ +∫i i i i i
i i
9) 5 4 3 2
5 4 3 2 1 0
0 1 0lim ( )
z
nzn
c n c n c n c n c n cd
d n d=→∞
+ + + + +
+∫i i i i i
i
10) 5 4 3 25 4 3 2 1 0
0 0lim ( )
z
nzn
c n c n c n c n c n cd
d=→∞
+ + + + +∫
i i i i i
I° caso: si ha
=→∞
+ + + += −
+ + + + +∫i i i i
ii i i i i
4 3 24 3 2 1 0 4
675 4 3 20 55 4 3 2 1 0
lim ( ) log z
nzn
c n c n c n c n c cI d z
dd n d n d n d n d n d
≠ ≠ + + + + + ≠i i i i i
5 4 3 24 5 5 4 3 2 1 0[ 0 0 0]c d d n d n d n d n d n d
es:
=→∞
+ + + += − =
+ + + + +∫i i i i
ℤ ii i i i i
4 3 2
80 5 4 3 20
61 7 42 24 189 61lim ( ) log 10,066970462567..
2424 37 22 19 5 8
z
nzn
n n n nd z
n n n n n
X° caso: è un integrale improprio perfetto.
5 4 3 25 4 3 2 1 0 5 5 4 5 4 36 5 4
0 0 0 0 0
4 3 2 3 2 1 5 2 1 0 43 2
0 0 0
5 2 5 3(2 )lim ( ) [
6 10 122 3 2 3( 2 2 ) 5( 3 6 )
] 06 12 30
z
nzn
c n c n c n c n c n c c c c c c cd z z z
d d d d
c c c c c c c c c c c z z z
d d d
=→∞
+ + + + + + + +− + + +
+ + + + − + + −+ + + =
∫i i i i i
IX° caso ≠ ≠ + ≠i5 1 1 0[ 0 0 0]c d d n d
=→∞
+ + + + + −= − − +
+
− + − + −− − +
− −−
∫i i i i i i i
i i
i
i i i i i i i i i i
i i i i
ii
5 4 3 25 4 3 2 1 0 5 1 4 5 05 4
68 20 1 0 1 1
2 2 2 2 35 0 4 0 1 3 1 1 4 0 3 0 1 2 1 5 03 2
3 41 1
2 35 0 1 4 0 1
lim ( )5 4
( )3 2[ (
z
nzn
c n c n c n c n c n c c d c c dI d z z
d n d d d
c d c d d c d d c d c d d c d c d z z
d d
c d d c d d c
− ++
− − − − −−
i i i i
i i i i i i i i i i
i
i
2 23 0 2 0 1 1 1
51
4 3 2 51 4 0 1 3 0 1 2 0 1 1 0 0 1 5 0
61
)]
[ ( )]log
d c d d c dz
d
d c d d c d d c d d c d c d c d z
d
42
=→∞
+ + + + += − − + − +
+
+ − = −
∫i i i i
ℤi
i
5 4 3 25 4 3 2
810
4 13 7 11 24 5 4 33 89 2087lim ( )
5 8 25 100 375 12501696 29193
log 0,84847..3125 15625
z
nz
n n n n nz z z z
n
z z
VIII° caso è più difficile da trattare rispetto al IX° caso . Dovrà naturalmente essere ≠ ≠ + + ≠i i
25 2 2 1 0[ 0 0 0]c d d n d n d .
La sua illary di base è
=→∞
+ + + + += − +
+ +
− − + −− + +
− − − + −−
∫i i i i i
i
i i
i i i i i i ii i
i i ii
5 4 3 25 4 3 2 1 0 5 4
69 20 22 1 0
24 2 5 1 5 2 0 1 2 4 1 3 23 2
2 32 2
2 25 1 2 0 1 2 4 2 0 1 2 3 1 2 2
42
( )
lim ( )4
( ) ( )3 2(2 ) [ ( ) ]
z
nzn
c n c n c n c n c n c cI d z
dd n d n d
c d c d c d d d d c d c d z z
d d
c d d d d d c d d d d c d c d
d+
− +− +
− − − + −−
i i i
i i i i
i
i
2 2 2 45 2 0 2 1 0 1
52
2 22 4 1 2 0 1 2 3 2 0 1 2 2 1 1 2
52
( 3 )log
(2 ) [ ( )] ( )log
z
c d d d d d d z
d
d c d d d d d c d d d d c d c d z
d
Quella sopra è esatta
=→∞
+ + + + += − − − − + =
+ +∫ iℤ i i
5 4 3 24 3 2
82 20
4 3 2 5 1 2 1 1 2 124 179lim ( log 0,409865466..
3 27 27 81 2433 2 1)
z
nz
n n n n ndn z z z z z
n n
Integrale Polinomiale Improprio equilibrato di r-esimo grado. La Illary di base è dello stesso tipo dei casi precedenti: entrano in gioco solo i primi due coefficienti dei polinomi
=→ ∞
+ + + += +
+ + + +
− − −
∫i i i
i i i
i ii i
r-1r-1 1 0
70 r-10 r-1 1 0
r-1 r-1
2
...lim ( )
...
log
rz r
rnz r
r r r
r r
nc n c n c n c
I dd n d n d n d
c c d c d
d dz z
dove r-1 r-1( , ,.... , ....)r rc c d d sono in genere numeri interi, fornisce una illary diversa per ogni quaterna r-1 r-1( , , )r rc c d d , e
≠ ≠ + + + + ≠i i ir-1
r-1 1 0[ 0 0 ... 0]rr r rc d d n d n d n d .
La 70I è valida anche quando r-1 r-1( , ,.... , ....)r rc c d d sono numeri reali. Integrale Polinomiale Improprio di r-esimo grado non equilibrato. Fra tutte le due ( )2r combinazioni polinomiali, per le quali queste serie generano illary diverse, (r è il grado massimo fra i due polinomi) abbiamo un integrale dal quale si può facilmente ricavare la illary di base
43
=→∞
+ + +=
+ + + + +−∫
i i ii
i i i i
r-1 2r-1 2 1 0 r-1
71 r-1 20 r-1 2 1 0
.... clim ( )
....log[ ]z
rnz rr
nc n c n c n c
I ddd n d n d n d n d
z
con − ≠ ≠ + + + + ≠i i i
r-11 r-1 1 0[ 0 0 ... 0]r
r r rc d d n d n d n d . CAP IV - ILLARY PARTICOLARE Per ogni valore di a intero positivo la illary seguente
→∞
=
= + −
+− −∑ i72
1
lim ( )( 1)!
log[ ]z
zn
n CI
n a az a z
fornisce costanti. Il valore di C appartiene alla successione numerica
1 2 3 4 5 6 7 80 1 5 26 154 1044 8028 69264
a
C
− − − − − − − −
− − − − − − − −
la quale viene soddisfatta da
1
1
( 1)! ( )a
j
jC a
a j
−
=
= −−
∑i (47)
per cui la 72I si può scrivere
γ−
→∞= =
= = −+ −
+ −−∑ ∑i i
1
73
1 0
lim ( ) ( ) (1 )log( )[ ]z a
zn j
n jI a
n a a jz a z
es:
γ→∞
=
=+
+ = = −−∑ℤ83
1
lim ( )1
log( ) 0,42278433509.. 1[ ]z
zn
n
nz z
γ→∞
=
=+
+ − = = −−∑ℤ i84
1
lim ( )2
2 log( ) 1 0.845563.. 2 2[ ]z
zn
n
nz z
γ→∞
=
=+
+ = = −− −∑ℤ i85
1
5lim ( )
3 23 log( ) 1,268353.. 3 3[ ]
z
zn
n
nz z
γ→∞
=
=+
+ = = −− −∑ℤ i86
1
13lim ( )
4 34 log( ) 1,6911373.. 4 4[ ]
z
zn
n
nz z
CAP V - SERIE DIVERGENTI PERFETTE Una serie divergente è perfetta, come abbiamo già visto, se esiste una funzione antagonista ( )af z tale per cui
→∞
=
− =[ ]∑1
lim [ ( )] ( ) 0z
az
n
f n f z
Sono perfette ad esempio tutte le serie la cui funzione è un polinomio di grado r, con r intero:
r r-1 2r r-1 2 1 0
1
lim ( .... )z
zn
c n c n c n c n c→∞
=
+ + + +∑ i i i i
(48)
44
e r-1( ), ,....,rc c c numeri interi. Le funzioni antagoniste di questo tipo sono facili da trovare. Ad esempio
3 2
3 2
1
(21 10 15 224)lim (7 8 2 19)
12
z
zn
z z z z n n n
→∞=
+ − +− + + =∑
ii i i
Anche se i numeri r-1( , ,...., )rc c c sono reali la serie (48) è comunque perfetta. Ad esempio dalle frazioni polinomiali di r-esimo grado, ricava
1 0 1 1 0 02
0 0 0 01
2lim ( )
2 2
z
zn
c n c c c c cz z
d d d d→∞=
+ += + +∑
i
2
2 1 0 2 1 2 2 1 0 03 2
0 0 0 0 01
3 6lim ( )
3 2 6
z
zn
c n c n c c c c c c c cz z z
d d d d d→∞=
+ + + + += + + +∑
i i
3 2
3 2 1 0 3 3 2 3 2 1 2 1 0 04 3 2
0 0 0 0 0 01
3 2 2 2 3 6lim ( )
4 6 4 6
z
zn
c n c n c n c c c c c c c c c c cz z z z
d d d d d d→∞=
+ + + + + + + += + + + +∑
i i i
4 3 2
4 3 2 1 0 4 4 3 4 3 25 4 3
0 0 0 01
3 1 3 3 1 0 0 02
0 0 0
2 2 3 2lim ( )
5 4 62( ) 5[ 3( 2 )]4 30
z
zn
c n c n c n c n c c c c c c cz z z
d d d d
c c c c c c d c z z
d d d
→∞=
+ + + + + + += + + +
+ + + + −+ + +
∑i i i i
5 4 3 2
5 4 3 2 1 0 5 5 4 5 4 36 5 4
0 0 0 01
4 3 2 3 2 1 5 2 1 0 4 03 2
0 0 0 0
5 2 5 3(2 )lim ( )
6 10 122 3 2 3( 2 2 ) 5( 3 6 )
6 12 30
z
zn
c n c n c n c n c n c c c c c c cz z z
d d d d
c c c c c c c c c c c c z z z
d d d d
→∞=
+ + + + + + + += + + +
+ + + + − + + −+ + + +
∑i i i i i
Altre serie perfette si ottengono dalle sommatorie multiple dei polinomi a esponenti interi. Per i polinomi più semplici abbiamo:
2
1
1lim ( ) ( ) 0
2
z
zj
j z z→∞
=
− + =∑ già osservato
Sono perfette anche le serie di tipo
→∞=
− + + + +∑ i i i i ir r-1 2
r r-1 2 1 0
1
lim [( 1) ( .... )]z
n
zn
c n c n c n c n c
es:
→∞=
+− − =∑ i
2
1
( 1)lim [( 1) ] 0
2
zn
zn
z z n
La cui funzione antagonista è di grado inferiore di quella della serie
→∞=
+ +− =∑ 2
1
( 1)(2 1)lim ( ) 0
6
z
zn
z z z n
45
e le serie
→∞=
+ + + +− + + + +∑ i i i ii i i i i
r r-1 2r r-1 2 1 0 r r-1 2r r-1 2 1 0
1
( .... )lim [( 1) ( .... )]z
zn
d n d n d n d n d c n c n c n c n c
es:
→∞=
+ + + +− + =∑
i ii ii
2 2
1
(5 7 3) ( 1)(2 1)lim [( 1) ] 0
6
z
zn
n n z z z n
La funzione antagonista della serie precedente è uguale ma di segno opposto alla
funzione antagonista della serie →∞
=
∑ 2
1
lim ( )z
zn
n , poiché l’esponente di (-1) è sempre
un numero dispari. Poi
1 1
1limlim ( ) [ ( 1) ( 1)] 0
4
w z
w zk j
j k w z w z→∞ →∞
= =
− + + + =∑∑ i i i i
1 1 1
1limlimlim ( ) ( 1) ( 1) ( 1) 0
8
v w z
v w zy k j
j k y v w z v w z→∞ →∞ →∞
= = =
− + + + =∑∑∑ i i i i i i i
1 1 1 1
1limlimlimlim ( ) ( 1) ( 1)( 1)( 1) 0
16
u v w z
u v w zx y k j
j k y x u v w z u v w z→∞ →∞ →∞ →∞
= = = =
− + + + + =∑∑∑∑ i i i i i i i i i i
E in generale
1 2
1 21 21 1 1 1 1
1lim lim....lim ... [ ( )] [ ( 1)]
2k
k
k
k ka a a
j j jka a a
b b b j j
b a a→∞ →∞ →∞
= = = = =
= +∑ ∑ ∑ ∏ ∏i i (49)
E' perfetta anche la serie del tipo
1
1
1lim ( ) 0
1
jzj
zj
aa
a
+
→∞=
−− =
−∑
in cui [ 1]a >
Per 1a <
1
1lim ( ) ln( ) 0
1
jz
zj
a
j a→∞=
− =−
∑
→∞=
= −∑ iln
2
lim ( ) ( 1)z
n
zn
n e z
Sono perfette le serie di Taylor ? a voi la risposta. Sono inoltre perfette tutte le serie del tipo
(2 1)1
( 1)
1lim ( )
[ ( )]n
z
zj f n
+→∞
=−∑
Abbiamo anche una particolare serie divergente perfetta
2
2 21
1lim ( ) 0
2arctan( )
z
zn
n za
an az
→∞=
=+
− + −∑ i
e la serie
2
2 21
lim ( ) 02
log( )z
zn a
n a z a A
z a Bn az
→∞= +
−=
+−− − −∑ i (50)
46
es: 2
2 29
8 995119lim ( ) 4 0
8 1801808log( )
z
zn
n z
znz
→∞=
−=
+−− − −∑ i
E' chiaro che i numeri ( ; )A B sono funzione di a, ma è difficile trovare la loro rappresentazione. La (37) si può anche scrivere
2
2 21
lim ( ) 12
log( )z
zn
B n B B a z a
A A A z an az
→∞=
−
+−− − =∑
ii i i
o
→∞
=
−=
+−− − −∑
i ii i
i
2
2 21
lim [ ] 1 02( )
log( )z
zn
B n B B a z a
A A z aA n az
La serie divergente
r-1 2
r-1 2 1 0
1 01
....lim ( )
z
zn
c n c n c n c
d n d→∞=
+ + +
+∑
i i i
i
è perfetta quando si ha l'uguaglianza
0
11
dx
d= −
dove x è la soluzione positiva dell'equazione ( ) 0xψ = . La soluzione di questa equazione si ha per
0
10,46163321449683623412626595423257213284681962040064..
d
d=
In questo caso si ha dunque la perfetta uguaglianza della serie con la funzione antagonista:
r-1 2
r-1 2 1 0
1 01
....lim ( ) ( )
z
az
n
c n c n c n cf z
d n d→∞=
+ + +
+=∑
i i i
i
Teoremi sulle serie perfette
Teorema diretto: data la funzione continua ( )f n , se la sommatoria
=
∑1
1
[ ( )]n
zf n
ha una funzione antagonista 1( )af z per la quale è
=
− =∑1
1
1
[ ( )] ( ) 0a
n
zf n f z
allora anche la serie avente la stessa funzione antagonista della sommatoria è pure perfetta. Cioè
→∞
=
− =∑1
lim [ ( )] ( ) 0z
az
n
f n f z
Teorema inverso: se f(n) è una funzione continua la cui serie
→∞
=
∑1
lim ( ( )z
zn
f n
47
è perfetta, cioè
1
lim ( ( ) ( ) 0z
az
n
f n f z→∞
=
− =∑
allora, anche una somma parziale applicata alla stessa funzione è perfetta. Cioè
1
1
1
( ( ) ( ) 0a
n
zf n f z
=
− =∑ Fra le serie imperfette, assumono notevole importanza quelle che forniscono costanti con valori prossimi allo zero. Chiameremo Serie Quasi Perfetta, la serie che genera una costante il cui valore numerico è inferiore ad un determinato valore (naturalmente da stabilire). Di conseguenza avremo una Illary Quasi Perfetta. Se la funzione in considerazione dipende da un esponente k che assume valori sempre più grandi, a volte è scontato immaginare che le costanti generate da questa illary, assumano valori sempre più prossimi allo zero. Per cui le serie quasi perfette vanno misurate in base al grado della funzione. Nasce quindi il problema di trovare la più piccola costante numerica generata da una serie la cui funzione sia di grado k. Ad esempio data la funzione nella variabile n
+
+
i
i
1 0
1 0
c n c
d n d
poiché si ha l’uguaglianza
ψ→∞
=
+ − −= − +
+− =∑
i iii
i i ii
i
1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 01
2 21 0 1 11 11
lim ( ) 1log ( )z
zn
c n c c c d c d c d c d dI
d n d d dd dz z
la 1I assume valori numerici tanto più piccoli, quanto minore è −i i0 1 1 0( )c d c d cioè quando le frazioni
≈0 0
1 1
c d
c d
sono all’incirca uguali. Ma anche quando la funzione
ψ +0
11( )d
d
assume piccoli valori numerici. Questo si verifica se
=0
10,461632144968362341262659..
d
d
=0
1[0,2,6,63,135,1,1,1,1,4,1,38,9,2,5,734,6,4,1,1,2,16,1,1,1,2,1,5,3,1,2,2478,...]
d
d
=0
1
1 6 379 51171[0, , , , ,..]
2 13 821 110848d
d
Ad esempio se prendiamo =0
1
379821
d
d
48
→∞=
+= − = −
++∑ i
iℤ i
i87 2
1
13 6 13 1lim ( ) 0,0000000000000157044335227261177..
821 379 821 821log
z
zn
n
nz z
Nel caso di una serie generica si tratta di trovare la funzione equivalente e eguagliarla a zero, poi calcolare per quali valori interi delle costanti la funzione è quasi nulla. Con la serie quasi perfetta si ottiene un bilanciamento quasi perfetto tra la serie in questione e la sua funzione antagonista. Si potrebbe addirittura stabilire un Guinnes matematico delle costanti quasi perfette per ogni funzione di grado k. Ad esempio la serie seguente, che verrà descritta dettagliatamente nel prossimo libro sulle serie trigonometriche, è una delle serie che maggiormente rispecchia la definizione di serie quasi perfetta:
→∞=
+ + − −− =∑i
i
2 4 3 2
1
(144 360 140 150 71)lim 0,0005568808976..
1 1 360tan( ) tan( )2
[ ]z
zJ
n z z z z z
n n
INTEGRALI DIVERGENTI IMPROPRI E PERFETTI Sono perfetti gli integrali impropri che possiedono una funzione antagonista
( )f z , il cui valore è numericamente uguale al valore dell’integrale. Alcuni esempi di integrali perfetti:
=→∞+ + − + − =∫ i i
2 2 2 2
0lim [log( )] 2 log( ) 2 ( ) 0
z
nzn ATAN
zx a d z z z a a
a
=→∞
+ +− =
+∫
2 2 2
20 2 2
1 1 ( )lim ( ) log[ ] 0
2
z
nzn
z z cd
cn c
=→∞− − =
−∫
233
1 3lim ( ) ( ) 0
2
z
n aznd n a
n a
=→∞
+ + ++ − − =∫
2 2 2 2 2 22 2
20
( )lim ( ) log[ ] 0
2 4
z
nzn
z z a a z z an a d
a
=→∞− =∫ ii
52
0
2lim ( ) 0
5
z
nzn n dn z
CAP VI - SERIE DIVERGENTI (E INTEGRALI) CON RADICALI La funzione in oggetto è del tipo
1( )r f n Ad esempio per a positivo si ha
→∞
=
+= + − − + + −∑
2 2 22 2 2 2
74
0
lim ( ) log( )2 2 2
[ ]z
zn
z z a a zI n a z z a
49
es:
→∞=
+= + − − + + − = −∑ℤ
2 2 22 2 2 2
88
0
14 14lim ( 14 ) log( 14 ) 251,544..
2 2 2
z
zn
z z zn z z
→∞=
+= + − − + + − = −∑ℤ
2 2 22 2 2 2
89
0
5 5lim ( 5 ) log( 5 ) 17,53457..
2 2 2
z
zn
z z zn z z
l’integrale della funzione precedente è perfetto. Poi
→∞
= +
−= − − + + − −∑
2 2 22 2 2 2
75
1
lim ( ) log( )2 2 2
[ ]z
zn a
z z a a zI n a z z a
per [ 0]a >
→∞=
−= − − + + − − =∑ℤ
2 2 22 2 2 2
90
10
9 9lim ( 9 ) log( 9 ) 88,185922..
2 2 2
z
zn
z z zn z z
=→∞
−= − − + + −
=
=
∫2 2 2
2 2 2 276
2
lim ( ) log( )2 2
log( )2
z
n azn
z z a aI n a d z z a
aa
per [ 0]a >
=→∞
−= − − + + − =∫ℤ
2 2 22 2 2 2
917
7 7lim ( 7 ) log( 7 ) 47,674798651..
2 2
z
nzn
z zn d z z
→∞
=
+ + += + −∑
ii
22
77
1
(2 3 3 1)lim ( )
6[ ]
z
zn
z z z aI n n a
es:
→∞=
+ += + − = −∑
iℤ i
22
92
1
(2 3 7)lim ( 2) 0,55746..
6
z
zn
z z zn n
→∞=
+ += + − = −∑
iℤ i
22
93
1
(2 3 10)lim ( 3) 1,12385..
6
z
zn
z z zn n
=→∞
+= + − = −∫ i
3 32 2 2
278
0
( ) ( )lim ( )
3 3 z
nzn
z a aI n n a d
es:
=→∞
+= + − = −∫ℤ i
32 2
294
0
( 5)lim ( 5) 3,72677996249964949401..
3
z
nzn
zn n d
Poi →∞
= +
−= − − − +∑ i i
2 2 32 2
79
1
( )lim ( ) (3 1)
3 6
z
zn a
z a zI n n a z
→∞=
−= − − − + = −∑ i iℤ
2 2 32 2
95
18
( 17 ) 1lim ( 17 ) ( ) 93,042084..
3 2 3
z
zn
z zn n z
=→∞
−= − − =∫ i
2 2 32 2
80( )
lim ( ) 03
z
n azn
z aI n n a d
50
è perfetto. Ma
=→∞
−= − − = −∫ iℤ
2 2 32 2
968
( 7 )lim ( 7 ) 19,3649167311..
3
z
nzn
zn n d
=→∞
=
+ + + + − +∑
i ii
2 22 2
81
1
( 1) ( )lim ( ) log
4 8
z
zn
z z z z b bI n n b z
es:
=→∞
=
+ + ++ − + =∑
i iℤ i
2 22 2
97
1
( 1) ( 11) 11lim ( 11) log 11,88147..
4 8
z
zn
z z z zn n z
=→∞
=
+ ++ − + + + − + + =∑
i iℤ i
2 2 22 2 2 2
98
1
7 (2 7) 7lim 7 log( 7 ) (2 7) 6,242680..
8 8 4
z
zn
z z z zn n z z z z
==→ ∞
+ + + − +
+ + +
∫i i
i
2 22 2
820
22
(2 )lim ( )
8
log( )8
z
nzn
z z b z bI n n b d
bz b z
==→∞
+ ++ − + + + =∫
iiℤ i
2 2 22 2 2
990
7 (2 7) 7lim ( 7) log( 7 ) 5,95934983146..
8 8
z
nzn
z z zn n d z z
La illary reale è
==→∞
+ − + + +
+ + + =
∫ i i
i i
2 2 2 283
0
2 22
1lim ( ) (2 )
8
log( ) log( )8 16
[
]
z
nznI n n b d z z b z b
b bz z b b
=→ ∞= + − + + + + + =
=
∫ i i iℤ
22 2 2 2 2
1000
1lim ( 11) (2 11) 11 log( 11)
8 818,134083000537677239..
z
nzn
bn n d z z z z z
Poi
→∞
=
= + − + + + +
+ − + −
∑ i i i
i
3 2 4 3 284
1
2
1lim [24 60 20( 2)
120
30 15 10 4]
z
zn
I n n c z z z c z
c z c c
es:
→∞=
+ + + −= + − =∑
iiℤ
4 3 23 2
101
1
(6 15 50 60 221)lim ( 8) 20,158..
30
z
zn
z z z z zn n
→∞=
+ + + −= + − =∑
iℤ i
4 3 23 2
102
1
(24 60 860 1230 24809)lim 41 1330,13..
120
z
zn
z z z z zn n
oppure
→∞
=
+ − += + − − +
+ + + −
∑i i
i i
4 2 2 23 2 3
85
1
2
(3 2 )lim (30
15 60
20 15 5 2)
[
]
z
zn
z c z c z c zI n n c z
z cz c
51
es:
→∞=
+ − += + − − + + + =∑
i ii iℤ
4 2 23 2 3 2
103
1
(3 98) 7lim 7 (30 20 105 33) 14,244339..
15 60
z
zn
z c z z zn n z z z
==→∞
+ − + − + = ∫ i i i
53 2 4 2 2 2
860
1 2lim ( ) (3 2 )
15 15[ ]z
nzn
bI n n b d z b z b z b
es:
==→∞
+ − + − + =∫ i iℤ3 2 4 2 2
1040
1lim ( 13) (3 13 338) 13 81,245088740455225404..
15
z
nznn n d z z z
→∞=
+ + −= + − +
− + + +
− + + + − −
∑i i i
i
i
i i i
2 4 2 24 2
87
1
32
4 3 2 2
(8 2 3 )lim
48
log( )16
[24 20 12 2 (3 2) 3 ]48
z
zn
z z d z d z dI n n d
d z d z
z z z d z z d d
es:
→∞=
+ + −= + − − + + +
− + + + − = −
∑i i
i i
i
ℤ
2 4 24 2 2
105
1
4 3 2
1 (8 2 3) 1lim 1 log( 1 )
48 16
[24 20 12 2 3] 0,011517..48
z
zn
z z z zn n z z
zz z z z
==→∞
+ − + − + +
− + + = −
∫ i i i i
i
4 2 4 2 2 288
0
32
1lim ( ) (8 2 3 )
481 log( )
log( )16 32
z
nznI n n f d z z f z f z f
f fz z f
es: = 13f = −ℤ106 176,099804323218631534.. Poi
→∞
=
= + − + − ∑ 389
1
2 1lim ( ) ( )
3 2[ ]
z
zn
I n b z b z
es:
→∞=
−= + − + − =∑ℤ3
107
1
25,992789201536854572163..2 1
lim ( 11) ( 11)3 2
z
zn
n z z
=→∞
= + − + = − ∫3 3
900
2 2lim ( ) ( )
3 3[ ]z
nznI n b d z b b
es:
=→∞−= + − + =∫ℤ
3108
0..12,346839451634756
2lim ( 7) ( 7)
3
z
nznn d z
→∞
= +
= − − − − ∑ 391
1
2 1lim ( ) ( )
3 2[ ]
z
zn b
I n b z b z
52
es:
→∞=
−= − − − − =∑ℤ3
109
26
0,2078862249773545660200..2 1
lim ( 25) ( 25)3 2
z
zn
n z z
→∞
=
+ += + − + ∑ i i i
i92
1
(4 3) 4lim ( )
6[ ]
z
zn
a z bI a n b a z b
a
Con [ 0 0]a a n b≠ + >i es:
→∞=
−+ +
= + − + =∑ iℤ110
1
10,801630857117318077021510..13(4 3) 116
lim ( 13 29) 13 2978
z
zn
zn z
=→∞
+= + − = − ∫
i
i
3 3
930
2 ( ) 2lim ( )
3 3[ ]z
nzn
a z b bI a n b d
a a
es:
=→∞
+= + − = −∫ℤ
3
1110
2 (3 5)lim ( 3 5) 2,48451997499976632934..
9
z
nzn
zn d
Abbiamo poi una costante reale
→∞=
−
.
= − + − =∑ iℤ5 3
112
1
0,025485201889833035949542.
9869107047454690249846009729968346454983492493771883392..
2 1 1lim ( )
5 2 8
z
zn
n n z z z
e una illary reale [ 0 0]a a n b≠ + >i
→∞=
+= + − + +
+
+ − − + −
∑ i i i i i
i
i ii
3 294
1
2 2 2 2
2
1 2 15 16lim ( ) [
5 30
15 60 16 (16 5 )]
120 60
z
zn
a a bI n a n b z z
a z b
a a b b b b az
a a
es:
→∞=
= + − + + + =+
∑ i iℤ3 2
113
1
1 4 39 23 31lim ( 2 3) ( ) 0,894135..
5 15 20 202 3
z
zn
n n z z zz
=→∞
+ − += + − = ∫
i i i i ii i
2 2 2 5
95 2 20
2(3 2 ) 4lim ( )
15 15[ ]z
nzn
a z a b z b a z b bI n a n b d
a a
es:
=→∞
+ − += + − =∫
i iiℤ
2
1140
2 (147 35 50) 7 5lim ( 7 5) 0,304226935714257101552..
735
z
nzn
z z zn n d
Un'altra illary reale
→∞=
+= + − + +
+
+ − + + + +
∑ i i i i i
i
i ii i
2 4 396
1
2 2 2 2 42
2 3
1 2 35 24lim ( ) [
7 70
175 420 16 (35 16 ) 16]
840 210 105
z
zn
a a bI n a n b z z
a z b
a a b b b a b bz z
a a a
53
[ 0 ( ) 0]a a n b≠ + >i es:
→∞=
= + − + + + + = −+
∑ i iℤ2 4 3 2
115
1
1 6 153 4031 379 256lim ( 3 2) [ ] 0,05573..
7 70 2520 945 28353 2
z
zn
n n z z z zz
=→∞= + − + +
− + + = −
∫ i i i i
i i i i
2 3 3 2 297
30
72 3
3
1lim ( ) [2(15 3
105
164 8 ) ]
105
z
nznI n a n b d a z a b z
a
ba b z b a z b
a
es: 11a = 2b = = −ℤ116 0,00129526196546639595182.. Poi
→∞=
= + + − ++
+ + + +
+ + + − + +
+ + + − +
∑i
i i i
i
i i
i i i i
i
i i i i
398
1
2
2 2
3 2 2 3
2
1 2lim [( ) ] [
5
5 (3 4 ) 1630
15 ( 4 ) 20 (3 8 ) 16120
5 10 ( 6 ) 80 32]
120
z
zn
a pI pn q an b z
a z b
a p q b pz
a p q a b p q b pz
a
a q a b p q ab q b p
a
[ 0 0]a a n b≠ + >i es:
→∞=
= + + − + + + = −+
∑i i i iℤ3 2
117
1
1 24 194 287 28lim [(3 2) 4 1] ( ) 1,864850126..
5 15 30 154 1
z
zn
n n z z zz
=→∞= + + − + −
− + = −
∫ i i i i i i i i i
i i i
i i
99 20
33
2
2lim [( ) ] (3 5 2 )
15
2 (5 2 )( )
15
[
]
z
nznI p n q a n b d a p z aq p b
a
b aq b pa z b
a
es:
=→∞
− += + + − =∫
i
iℤ
3
1180
(6 1) (2 3)lim [(2 1) 2 3] 0,346410161513..
15
z
nzn
z zn n d
→∞=
+ + += + + −
−+ + + + + +
∑i i i i i
i i i i
i
i i
i i i i i i i i
i i i
100
0
2
2 2lim [ ( )( )] ( )
4
( )( )( ) log[ ( ) ( )]
4
z
zn
a p z a p b p aqI p n q a n b
a p
b p aqp z q a z b a p z q p a z b
a p a p
54
in cui 0 0 ( ) ( ) 0[ ]a p a p a n b p n q≠ ≠ ( ) > 0 + + >i i i i . Esempio
→∞=
+= + + − + + +
+ + + =
∑i
i i i i i
i
i i i i i
ℤ119
0
56 89 81lim [ (7 3)(8 6)] (7 3)(8 6)
112 56 56
log[ 8(7 3) 7(8 6)] 1,32080357262..
z
zn
zn n z z
z z
Abbiamo anche l’interessante e voluminosa serie
→∞=
= + + + −+
+ + + +
+ + + + + +
− + + + + + +
∑ i i i i i
i i
i i i i i i i
i i i i i
i i i i i i
2101
30
4 4 3 3
2 2 2
2 3 2
1lim [( ) ]
840
240 12 [7 (5 4 ) 24 ]
35 [5 4(3 4 )] 28 (15 16 )
16 [105 ( 4 ) 140 ( 3 8 )
z
zn
I p n q n r a n ba a n b
a p z a z a p q b p
a z a p q r a b p q
b p a z a q r a b p q r
− + + + + +
+ − +
i i i i i i
i i i i i
2 3 4 3
2 2 3 4
112 64 ] 35 70 ( 6 )
560 224 128 a b q b p a r a b q r
a b r a b q b p
con [ 0 0]a a n b≠ + >i
=→∞
+= + + + −
+ − + − + =
− += −
∫i
i i i i i
i i i i i i i i i i
i i i
32
102 30
2 2 2 2
2 2 3
3
2 ( )lim [( ) ]
105
[15 3 (7 4 ) 35 14 8 ]
2(35 14 8 )105
z
nzn
a z bI p n q n r a n b d
a
a p z a z a q b p a r a b q b p
a r a b q b p b
a
es:
=→∞
+ + += + + + − = −∫
i
i iℤ
2 32
1200
(45 24 167) (2 1)lim [(3 2 5) 2 1] 1,590476..
105
z
nzn
z z zn n n d
La costante dell’integrale 102I è banale qualora 3/2b sia intero: cioè quando è
2b r= con 1,2,3,4,..r = Poi
=→∞= + + + + +
+ − + − +
+ − + +
− + − + −
= −
∫ i i i i i
i i
i i i i i i
i i i i i i
i i i i i i i i i
i
3 2103
0
33 3 2 2
4
2 2
3 2 2 3 3
4
3
lim [( ) ]
4 ( )[35 15 (3 2 )
3153 (21 12 8 )]
[105 42 24 16 ] 4 ( )315
2
z
nznI p n q n r n s a n b d
a z ba p z a z a q b p
a
a z a r a b q b p
a s a b r a b q b p a z b
a
b − + −i i i i i i3 2 2 3
4
(105 42 24 16 )315
a s a b r a b q b p
a
55
es:
=→∞
− + − += + + + + − =
=
∫i i i
iℤ
3 2 33 2
1210
2 (35 45 171 237] ( 3)lim [( 1) 3]
3157,8189722170252..
z
nzn
z z z zn n n n d
→∞=
+ += + + + −
+ + + + +
− −− − + + +
+ +
∑i i
i i i i i
i i i i i i i i
i i i i
22
104 21
2
22 2
5
lim ( ) )24
4 (2 3 ) 2 [ ( 3 ) 4 ]
(2 )(4 )3 log(2 ( )
16
2 )
[ ]
z
zn
a z b z cI p n q a n b n c
a
a z z p q a b z p q c p
aq bp ac bb p a a z b z c
a
az b
valida per
2 2 2[ 0 ( ) 0 ( ) 0]a a n b n c a n a b n a c≠ + + > + + >i i i i i i
=→∞
−
− −= + + + −
+ + + + + +
+
+ + + + − =
+ − = −
∫i i i i
i i i i i
i i i i i ii
i
i i i i i i i i i
i i
i
22
1050 5
2 2
2
2 2
(2 ) (4 )lim ( ) )
16
2 ( ) 2log[ ]
242
[8 2 (6 ) 2 (3 4 ) 3 ]
[2 (3 4 )
z
nzn
a q b p a c bI p n q a n b n c d
a
a a z b z c a z b a z b z c
aa c b
a p z a z a q b p a b q c p b p
c a b q c p i2
2
3 ]24
b p
a
→∞
=
+ += + − +
− + + + + +
∑ i
i i
2 2 22 2 3 4
106 20
2 2 3 2 2 2
3 ( )lim [ ( ) ] log
161
[2 4 (5 2) 4 ]8
[ ]z
zn
nz z a
I n a d aa
z a z z z a a
con [ 0 ]a ≠
=→∞= + − ⋅ + +
+
+ + + + + − +
+ + + − +
+ + + −
∫ i
i i i
i i i
i i
2 2 3 8 7107
2 2 3 20
6 2 2 5 4 4 2
4 3 2 2 4 2
6 4 4 2
1lim [ ( ) ] 48 120
240( )
16 (12 5) 360 4 (72 45 2)
360 12 (16 10 1)
120 (48 20 3)
[
]
z
nznI n n a d z z
z a
z a a z z a a
a z a z a a
a z a a a
56
RADICI CUBICHE
→∞=
= + − + + + + + ∑ 43 3 3108
1
3 1lim ( ) ( 1) ( 1)
4 2[ ]
z
zn
I n a z a z a
es:
→∞=
−
= + − + + + =∑ℤ43 3 3122
1
7,2768906666873075381.
.6975490664967528706551740060973968940501703410354833956464..
3 1lim ( 5) ( 6) ( 6)
4 2
z
zn
n z z
=→∞
= + − + = − ∫34 43 3109
0
3 3lim ( ) ( )
4 4[ ]z
nznI n a d z a a
=→∞= + − + = −∫ℤ
43 31230
3lim ( 3) ( 3) 3,24506153319166886022..
4
z
nzn z
→∞=
+= + − + +
+ +
− − + − − − −
∑ i i3 23
110 21 3
2 3 2
1 3 15 22lim ( ) (
7 28( 1)
27 72 50 81 54 30 10)
126 252
z
zn
aI n n a z z
z a
a a a a az
Esempio
→∞=
= + − + − − =+
∑ i iℤ3 23
124231
1 3 127 769 30209lim ( 7) ( ) 29,96921917772..
7 28 126 252( 8)
z
zn
n n z z zz
=→∞
= + − + + − = ∫ i i i32 2 73 3
1110
3 9lim ( ) (4 3 )
28 28 z
nznI n n a d z a z a z a a
es:
=→∞= + − + + − =∫ i iℤ
23 3125
0
3lim ( 5) 5 (4 5 75) 13,740878142937743..
28
z
nznn n d z z z
→∞=
= + − ++
+ + + + + +
∑ i i
i i i
3 2 4112
2 231
3 2
1lim ( ) 27
72 ( )
36 2 (27 5) 36 3 (9 2)
[
]
z
zn
I n n a zz a
z z a a z a a
es:
→∞=
= + − + + + + = −+
∑ i i iℤ3 2 4 3 2
1262 231
1lim ( 8) 27 36 442 288 1776 6,1659572180..
72 ( 8)( )
z
zn
n n z z z zz
=→∞= + − + = − ∫ i
3 32 2 4 43113
0
3 3lim ( ) ( )
8 8[ ]z
nznI n n a d z a a
57
es:
=→∞= + − + =∫ℤ
3 2 2 431270
3lim ( 11) ( 11) 9,173917873598426524..
8
z
nznn n d z
π
=→∞= + − + +
+ ++ − + +
+
+ + − =+ +
∫ i i i
i
i i
i
i i
3 3 2 331140
3333
33
2
3 2 3 23 3
1 3lim ( ) ( )
3 9
3 ( ( ) 2 )[ ] log[ ( )
183 ( )
3] log[1 ]
9 54( ) ( )
z
nzn
ATAN
aI n n a d z z a
z a z az a
z a
z a zz a
z a z a
8a = =ℤ128 0,806133050770763489..
→∞=
= + − ++
+ − − − + + +
∑ i i
i i i
2 4 33115
231
2 2 2 4
1lim ( ) [348 18 (24
1260 ( )
35) (27 630 245) 6 (27 35) 243 ]
z
zn
I n n a z z az a
z a a a z a a
es:
→∞=
= + − + + + +
+
+ 151875 = −
∑ i i iℤ2 4 3 23
129 21 3
1lim ( 5) [348 2790 2720 21300
1260( 5)] 41,221688..
z
zn
n n z z z z
z
=→∞
= + − + + − +
+ = −
∫ i i i i2 3 2 23 3116
0
33 10
3lim ( ) ( ) (14 2 3
14027
9 )140
[
]
z
nznI n n a d z a z a z a z
a a
5a = =ℤ130 41,2226344288132309933338746..
→∞=
= + − ++
+ + + + + +
∑ i i
i i i
32 3 6117
3 231
5 4 3 2 2
1lim ( ) (3
12 ( )
6 3 6 6 2 3 )
[
]
z
zn
I n n a zz a
z z a z a z a z a
es:
→∞=
−
+ + + + + += + − =
+
=
∑ iℤ
6 5 4 3 232 3
1313 231
2,1462581799429858752882879..
3 6 3 30 30 10 75lim ( 5)
12 ( 5)
z
zn
z z z z z zn n
z
58
=→∞
+= + − = − ∫ i
3 4 3 4332 3
1180
( )lim ( )
4 4[ ]z
nzn
z a aI n n a d
=→∞
+= + − =∫ iℤ
3 4332 3
1320
( 2)lim ( 2) 0,6299625249474365..
4
z
nzn
zn n d
Poi →∞=
+= + − − ∑
i
i i
433 3
119
1
3 ( ) 1lim ( )
4 2[ ]
z
zn
a z bI a n b a z
a
[ 0 ]a ≠ es:
→∞=
−+
= + − − =∑ℤ
4333
133
1
1,496340297478675635104499859435..3 (12 5) 1
lim ( 12 5) 1248 2
z
zn
zn z
=→∞
+= + − = − ∫
i i ii
4 3 433
1200
3 ( ) 3lim ( )
4 4 z
nzn
a z b bI a n b d
a a
es:
=→∞
++ − = −∫
i
i
433
0
3 (2 1) 3lim ( 2 1)
8 8
z
nzn
zn d
→∞
=
+ += + − − ∑
i i
i
5 23 323121
1
3 ( ) ( )lim [ ( ) ]
5 2
z
zn
a z b a z bI a n b
a
[ 0 ]a ≠ es:
→∞=
+ + −= + − − =∑ℤ
35 2 23 323134
1
3 (5 2) (5 2) 2lim [ (5 2) ] 0,198533761243726653683910..
25 2
z
zn
z zn
=→∞
+= + − = − ∫
i i ii
5 3 5323
1220
3 ( ) 3lim [ ( ) ]
5 5 z
nzn
a z b bI a n b d
a a
=→ ∞
+= + − = −∫
i
iℤ
533
1350
3 (2 3)lim ( 2 3) 1,872075440746713703..
10
z
nzn
zn d
→∞=
+= + − + +
+
+ − − + −
∑ i i i i
i
i i
3 23123 2
1 3
2 2 2 2
2
1 3 14 15lim ( ) [
7 28( )
14 63 27 (27 7 )]
126 84
z
zn
a a bI n a n b z z
a z b
a a b b b b az
a a
[ 0 0]a a n b≠ + ≠i
59
es:
→∞=
= + − + + + = −+
∑ i i i iℤ3 23
136231
1 9 57 16 1lim ( 3 1) ( ) 0,05242104..
7 28 21 21(3 1)
z
zn
n n z z zz
=→∞
+ − += + − = ∫
i i i ii i
i32 2 2 73
3124 2 20
3(4 3 ) 9lim ( )
28 28[ ]z
nzn
a z a b z b a z b bI n a n b d
a a
=→∞
+ − += + − =∫
ii
iℤ
2 2 33
1520
(36 15 3 ) 3 5lim ( 3 5) 1,5267642381041937..
84
z
nzn
z z b zn n d
→∞=
+= + − + +
+
+ − − + −
∑ i i i i
i
i ii
2 3 231253
1
2 2 2 2
2
1 3 20 21lim [ ( ) ] [
8 40
50 180 27 (27 10 )]
360 120
z
zn
a a bI n a n b z z
a z b
a a b b b b az
a a
[ 0 0]a a n b≠ + ≠i es:
→∞=
= + − + + + = −
+
∑ iℤ2 3 23137 1
1 3
1 9 81 107 7lim [ (6 2) ] ( ) 0,1013286..
4 20 60 60(6 2)
z
zn
n n z z z
z
=→∞= + − + −
+ =
∫ i i
i
i i i i i
i
2 2 2 23126 20
3 823
2
3lim [ ( ) ] (5 2 3 )
40
9( )
40
z
nznI n a n b d a z a b z b
a
ba z b
a
es:
=→∞
+ − += + − =∫
i i
i i
iℤ
2 233
1380
3(80 8 27) (4 3)lim ( 4 3) 0,2632606088550066..
640
z
nzn
z b z zn n d
→∞=
+= + − + +
+
+ − + + + +
∑ i i i i
i
i i
2 4 33127
31
2 2 2 2 42
2 3
1 3 22 15lim ( ) [
11 44
440 990 27 (110 27 ) 27]
1980 660 220
z
zn
a a bI n a n b z z
a z b
a a b b b a b bz z
a a a
[ 0 0]a a n b≠ + ≠i es:
→∞=
= + − + + + + = −
+
∑ iℤ
42 3 23
139 11 3
1 6 119 2197 1115 3375lim ( 2 5) [ ] 5,6008..
11 44 792 528 352(2 5)
z
zn
zn n z z z
z
=→∞
+= + − + +
− + = −
∫i
i i i i i i
i i
32 3 3 2 23
128 30
3 102 3
3
lim [ ] [3 (14 2140
273 9 )]
140
z
nzn
a z bI n a n b d a z a b z
a
ba b z b
a
60
es:
=→∞
+ − + += + − = −∫
i i i i i i ii iℤ
3 2 2 3 32 3
1400
3 (112 8 6 9 ) 2lim [ 2 7] 15,817549717549..
1120
z
nzn
z b z b z b z bn n d
→∞=
= + − ++
+ + + + − +
+ + +
∑ i i i i
i i
i i i i i
i i
2 2 4 431293 3
1
3 3 2 2 2 2
2 2 4
1lim [ ( ) ] 540
198045 (22 15 ) (440 990 27 )
3 (110 27 ) 243
[
]
z
zn
I n a n b a za a z b
a z a b a z a a b b
a b z a b b
[ 0 0]a a n b≠ + ≠i
=→∞
+= + − + +
− + = −
∫i i
i i i i i
i i
232 2 3 3 2 23130
30
3 102 3
3
3 ( )lim ( ( ) ) (20 5
220
276 9 )
220
[
]
z
nz
a z bI n a n b a z a b z
a
ba b z b
a
=→∞
+ − + += + − =∫
i i i
i iℤ
3 2 232 23141
30
3 (1280 880 2904 11979) (4 11)lim ( (4 11) ) 12,624115372729301..
220
z
nz
z z z zn n
a
→∞=
= + + − +
+ + + +
+ + + − +
+ + + + −
∑ i i i i
i i
i i i i i i i i i
i i i i i
i i i i i i
3131
2 231
3 3 2 2
2 2
3 2 2 3
1lim [( ) ]
252 ( )
108 9 [7 (2 3 ) 15 ] 2
[7 (2 9 ) 63 ( 3 ) 27 ]
7 21 ( 6 ) 189 81
z
zn
I p n q a n ba a z b
a p z a z a p q b p a z
a p q a b p q b p
a q a b p q a b q b p
[ 0 0]a a n b≠ + ≠i
=→∞
+ − += + + − =
− = −
∫i i i i i
i i i
i i
433
132 20
3 4
2
3[ (4 7 ) 3 ] ( )lim [( ) ]
28
3(7 3 )28
z
nzn
a z p q b p a z bI p n q a n b d
a
aq b p b
a
es:
=→∞
+ += + + − = −∫
i
iℤ
433
1420
(120 189) (5 7)lim [(2 3) 5 7] 3,615439935439815401..
700
z
nzn
z zn n d
=→∞
+ − += + + − =
− = −
∫i i i i i
i i i
i i i
5323133 20
3 5
2
3[ (5 8 ) 3 ] ( )lim [( ) ( ) ]
40
3(8 3 )40
z
nzn
a p z q b p a z bI p n q a n b d
a
a q b p b
a
61
ù=→∞
+ += + + − = −∫
i i i
i i iℤ
5323143
0
(105 78) (3 2)lim [(7 5) (3 2) ] 2,063621367558659..
120
z
nzn
z zn n d
→∞=
= + + + − ⋅+
+ + + +
+ + + + − +
+ + + +
⋅
∑ i i i i
i i
i i i i i i i i
i i i i i
i i i i i
2 3134
3 231
4 4 3 3 2 2
2 2
3 2
1lim [( ) ]
1260 ( )
378 18 [5 (7 6 ) 24 ]
35 [7 9(2 3 )] 45 (14 15 ) 27
2 35 (2 9 ) 105 [ 3(
z
zn
I p n q n r a n ba a z b
a p z a z a p q b p a z
a p q r a b p q b p
a z a q r a b p q + − +
+ + + + + +
− +
i i
i i i i i i
i i i
2
3 4 3 2 2
3 4
3 )] 135
81 35 105 ( 6 ) 945
405 243
r a b q
b p a r a b q r a b r
a b q b p
[ 0 0]a a n b≠ + ≠i
=→∞+
= + + +
− + − + − +
− + ++ = −
∫ i i i i
i i i i i
ii i
2 3135
0
2 2 2 23
42 2 3
433
(
lim [( ) ]
3[14 4 5 3 ) 35 15 9 ]
140
3[35 15 9 ]( )( )
140
z
nznI p n q n r a n b d
a p z az a p bp a r abq b pa
a r abq b p a z ba z b
a
es:
=→∞
+ + += + + + − =
=
∫i i
i i i iℤ
2 432 3
1440
(672 1680 4305) (4 5)lim [(2 5 7) 4 5]
44808,21590005629819256..
z
nzn
z z zn n n d
RADICI QUARTE Con b positivo
→∞=
= + − + + ⋅ + ∑ 4 4136
0
1lim ( ) (8 8 5)
10[ ]
z
zn
I n b z b z b
→∞=
= + − + ⋅ + = −∑ℤ4 4
145
0
1lim ( 3) (8 29) 3 2,5096583792312983495079444636..
10
z
zn
n z z
=→∞
= + − + = − ∫45 54 4137
0
4 4lim ( ) ( )
5 5[ ]
z
nznI n b d z b b
es:
=→∞= + − + = −∫ℤ
54 41460
4lim ( 7) ( 7) 9,1088287455076001..
5
z
nznn d z
→∞=
= + − + + + ∑ i i i i4 4
138
0
1lim ( ) (8 5 8 )
10[ ]
z
zn
I a n b a z a b a n ba
62
[ 0 0]a a n b≠ + >i es:
→∞=
= + − + + = −
∑ i iℤ4 4
147
0
1lim ( 2 5) (8 25) 2 5 2,2554423537488286833182265.
10.7917580414566902211309620004874994575419351848201093644004..
z
zn
n z n
=→∞
+= + − = − ∫
i
i
544 54
1390
4 ( ) 4lim ( )
5 5[ ]
z
nzn
a z bI a n b d b
a a
es:
=→ ∞
+= + − = −∫ℤ
544
1480
4 (3 5)lim ( 3 5) 1,993798374961627389215..
15
z
nzn
zn d
→∞=
= + −+
+ + + +
+ − + −
∑ i i i
i i
i i i i i
i i
4140
2 341
3 3 2 2 2
2 2 2
1lim ( )
720 ( )
[320 24 (15 16 ) 3 (25
120 64 ) 4 (15 64 )]
z
zn
I n a n ba a z b
a z a z a b a z a
a b b b a b
[ 0 0]a a n b≠ + >i
=→∞
+ − += + − =
=
∫i
i i i i i
i
i
i
2 2 2 44
141 20
4 92
4 (5 4 )lim ( )
4516
45
z
nzn
a z a b z b a z bI n a n b d
a
ba
es:
=→∞
+ − += + − =∫
i
i iℤ
2 44
1490
(20 28 784) 7lim ( 1 7) 28,3385783193569782817..
45
z
nzn
z z zn n d
→∞=
= + −+
+ + + +
+ − + + +
∑ i i i
i i
i i i i i
i i i i
2 4142
3 341
3 3 2 2 2
2 2 2 4
4 4
1lim ( )
9360 ( )
2880 40 (117 80 ) 3 (585
1560 64 ) 24 (65 64 ) 2048 ]
[
z
zn
I n a n ba a z b
a z a z a b a z a
a b b a b z a b b
dove [ 0 0]a a n b≠ + >i
=→∞
+= + − + +
− + = −
∫ i
i
i i i i i
i i
42 3 3 2 24
143 30
42 3 133
( )lim ( ) [4 (45 5
585128
8 32 )]585
z
nzn
a z bI n a n b d a z a b z
a
a b z b ba
63
es:
=→∞
+ − + += + − =∫ i
i i i i i
iℤ
3 2 42 4
1500
(180 40 128 1024) (2 4)lim ( 2 4) 2,4754780989231612478169..
585
z
nzn
z z z zn n d
=→∞
+= + − ⋅ + +
− + − =
∫i
i i i i i i
i i i i
43 4 4 3 34
144 40
42 2 2 3 4 174
( )lim ( ) [4 (195 15
3315512
20 32 128 )]3315
z
nzn
a z bI n a n b d a z a b z
a
a b z a b z b ba
es:
=→∞
+ − + − += + − =
=
∫ i
i i i i i iiℤ
4 3 2 43 4
1510
4 (487500 29791000 672400 5120 2048) 5 2lim ( 5 2)
20718750,00470201372481558538934..
z
nzn
z z z z zn n d
→∞=
= + + −+
+ + + +
+ + + + − +
+ + + + −
∑i i
i
i i i i
i i i i i i
i i i i i i
i i i i i i
4145
2 341
3 3 2 2
2 2
3 2 2 3
1lim [( ) ]
720 ( )
24 [3 (5 8 ) 16 ]
3 [5 (5 24 ) 24 (5 16 ) 64 ]
15 60 ( 6 ) 576 256
320
z
zn
I p n q a n ba a z b
a z a p q b p
a z a p q a b p q b p
a q a b p q a b q b p
a p z
[ 0 0]a a n b≠ + >i
=→∞
+ −= + + −
−+ = −
∫i i i
i i i
i i
4146
20
45 542
4[ (5 9 ) 4 ]lim [( ) ]
454(9 4 )
( )45
z
nzn
a p z q b pI p n q a n b d
a
aq bpa z b b
a
es:
=→∞
+= + + − + =∫ i i iℤ
54 41520
40 28lim [(4 6) 2 5] (2 5) 4,652196208243797241503..
45
z
nz
zn n z
=→∞+= + + +
− + + − + + ⋅
− + ⋅ + = −
∫ i i
i i i i i i i
ii
2 4147
0
2 2 23
2 245 54
3
lim [( ) ]
4[ (45 65 117 ) 4 (10 13 ) 32 ]
5854 (117 52 32 )
( )585
z
nznI p n qn r a n b d
a p z q z r a b p z q b pa
a r abq b pa z b b
a
es:
=→∞
− + += + + + − = −∫
i i i
i iℤ
2 542 4
1530
(84 40 188) (3 3)lim [(7 2 5) 3 3] 6,3441516521812457085644..
117
z
nzn
z z zn n n d
RADICI K-ESIME Più in generale abbiamo per 1k > e b positivo
64
→∞=
+ + += + − +
+ ∑
i ii148
0
2 2 1lim ( )
2( 1)[ ]
zk k
zn
k z b k kI n b z b
k
es:
→∞=
−+
= + − + =∑ iℤ7 7
154
0
2,49073224543911674701473029..7 25
lim ( 3) 38
z
zn
zn z
→∞=
+ + += + − +
+ ∑
i i i ii i i
i
149
0
2 2 ( 1)lim ( )
2 ( 1)[ ]
zk k
zn
a k z b k a kI a n b a z b
a k
[ 0 0]a a n b≠ + >i es:
→∞=
+= + − + = −∑ iℤ
5 5155
0
15 29lim ( 3 4) 3 4 0,8226611389961629469451176007145..
18
z
zz
zn z
++
=→∞
+= + − = −
+ + ∫
i i
i i
i i
11
1500
( )lim ( )
( 1) ( 1)[ ]
kkzk kk
nzn
k a z b kI a n b d b
k a k a
es:
=→∞
+= + − =∫
i iiℤ
65
5156
0
5 (6 5)lim ( 6 5) 0,958145598236954744..
36
z
nzn
zn d
→∞=
−
= ++ +
+ + ++
+ + + + + + + +
+ + + − − +
− ∑
i i
i i i
i i i
i i i i i i i
i
i i i i i i i
i i i i i i
151 21
3 2 3 2 2
1
2 2
2
1lim ( )
12 ( 1) (2 1)1
12 ( 1) 6 [ (( )
1) (2 1) 2 ( 2)] [ ( 1) (2 1)
6 ( 1) (2 1) 12 ( 1)]
z
k
zn
kk
I n a n ba k k k
a k z k a k z a ka z b
k b k k a z a k k
a b k k k b k k b +
+ + −
i i i
i i
2
2 2
[ (
1) (2 1) 12 ]k a k
k b k
dove [ 0 ( ) 0 ]a a n b per k pari≠ + > i
=→∞
+
+= + − + +
+ +
+ − =+ +
∫i i
i i i i i
i i
i i i i
i i
2 2152
20
22 2 1
2
lim ( ) [( 1)( 1)(2 1)
]( 1)(2 1)
kzk
nz
k k
nk a z b
I n a n b d k a zk k a
ka b z k b b
k k a
es:
=→∞
+ − += + − =∫
i iiℤ
27
1570
8,793214591864726728693..[14 7 196] 2 8
lim ( 2 8)30
kz
nzn
z z zn n d
65
−
→∞=
+= +
+ + +
+ + + + +
+ + + + + + + +
+ +
− ∑ i i
i i i i i i i i i i i
i i i i i i i i
i
i
i
i i i i
12
1533
1
4 2 4 3 3
2 2 2 2
( )lim ( )
12 ( 1)(2 1)(3 1)
12 ( 1)(2 1) 6 ( 1)[ (2 1)
(3 1) 4 ( 1)] [ ( 1)(2 1) (3
1) 6
kz k
k
zn
a z bI n a n b
a k k k k
a k z k k a k z k a k
k b k k a z a k k k
a + + + − − +
+ + + + + − +
+
i i i i i i
i i i i i i i i i
i
2 2
2 2 2
4 4
( 1)(2 1)(3 1) 12 ( 1)]
2 [ ( 1)(2 1)(3 1) 12 ( 1)]
24
b k k k k b k k
a b k z a k k k b k k
b k
[ 0 ( 0 )]a a n b se k è pari≠ + > i
=→∞
+
+= +
+ + +
+ + + + − + =
= −+ + +
−∫i
i i i
i i i
i i i i i i i i i i i
i
i i i
2154 30
3 3 2 2 2 2 3
3 3 1
3
( )lim ( )
( 1)(2 1)(3 1)
[( 1)(2 1) ( 1) 2 2 ]
2( 1)(2 1)(3 1)
kzk
nz
k k
na z b
I n a n b dk k k a
k k k a z k a b z k a b z k b
k b
k k k a
→∞=
−
= + −+ + +
+ + + ++ +
+ + + + + + + +
+
∑ i i
i i i i
i i i i i i i
i
i i i i i i i i i
i
7
6
3155 4 3
1
4 7
3 6
(3 1)
1lim ( )
720 ( 1)(2 1)(3 1)1
720 ( 1)(2 1)(3 1)(4 1) ( )
360 ( 1)(2 1) (3 1)(4 1) 2 (9 4)][
z
k
zn
k kk
k
I n a n ba k k k k
z k k kk az b
z k k k k b k k
a
a a
+ + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ +
i i i i i i i i i i
i i i i i i i i i
i i i i i i i i i i
i i i
5
4
2 5 2 2
2 2 2 2 4
2
60 ( 1)[ (2 1)(3 1) (4 1) 18
(2 1)(3 1)(4 1) 72 (3 3 1)] 60
[ ( 1)(2 1)(3 1)(4 1)(9 2) 18 ( 1)
(2 1)(3 1)(4
k
k
z k a k k k a b k
k k k b k k k b z
a k k k k k a b k k
k k
a
a
+ + + + + −
+ + + + − +
+ + + + − + +
+ + +
i i i i
i i i i i i i i i
i i i i i i i i i
i i i
4
2 2 3 2 3 3
2 2 2 2 2 2
3 3
4
1) 24 (3 7 3 2)]
[ ( 1) (2 1) (3 1) (4 1) 60 ( 1)
(2 1)(3 1)(4 1)(9 1) 360 ( 1)(2 1)
(3 1) (4 1) 720
k b k k k k a z
k k k k a b k k
k k k k a b k k k
k k b
a
− − + −
+ + + + − + +
+ + + − + −
+ + + +
i i i i i i
i i i i i i i i i i
i i i i i i i i
i i i i
2
4 2 2 2
4 2 2 2 2
4 4 2 2 2
4 2
( 1) (6 5 1)] 9
[ ( 1) (2 1) (3 1)(4 1) 20 ( 1) (2 1)
(3 1)(4 1) 240 (6 5 1)] 18
[ ( 1) (2 1)(3 1)(4 1
k
k k
k k k k a b k z
a k k k k b k k
k k b k k a b z
a k k k k
a
+ − −
+ + + + +
i i i i
i i i i i i
4 4 3 3
4 4 4
) 240 (3 1)] 6
[ ( 1)(2 1)(3 1)(4 1) 720 ]b k k b k
a k k k k b k
66
[ 0 ( 0 )]a a n b se k è pari≠ + > i
=→∞
+
+= +
+ − + + +
+ + + +
+ − − + + −
=+ + +
∫ i i
i
i i i i
i i i i
i i i i i i i i i i i i i
ii
i i
3156
0
4
4 4 3 3 2 2 2 2 3 3
4 4 14
lim ( )
( )[( 1)(2 1)(3 1)
( 1)(2 1)(3 1)(4 1)
(2 1) 3 ( 1) 6 6
6]
( 1)(2 1)(3 1
zk
nz
k
k k
nI n a n b d
a z bk k k k
k k k k a
a z k k a b z k k a b z k a b z k
k bb
k k k +i i4) (4 1)k a
→∞=
+ + + += + + − +
−− + + + +
∑i i i i
i i
ii i i i i
22
157
0
22
32
(2 2 )lim ( )
4
4log 4 ( ) 2
8
z
zn
a z a b a n b n cI a n b n c
a
a c ba a z b z c a z b
a
2[ 0 ( ) 0 ]a a n b n c≠ + + > i i es:
→∞=
−+ + +
= + + − + + + + =∑i
iℤ
22 2
158
0
(3 4) 3 2 1 1lim ( 3 2 1) log 12 (3 2 1) 6 2 0,060348043..
6 27
z
zn
z z zn n z z z
=→∞
+ + += + + − +
+ + + +−− = −
+
∫i i
i i
i i
22
1580
22
3
(2 )lim ( )
4
2 ( ) 2(4 )log[ ]
428
z
nzn
az b a z b z cI a n b n c d
a
a a z b z c az bac b b c
aac ba
es:
=→∞
+ + + − + + + += + + − − =
= −
∫i i
ℤ
2 22
1590
(4 1) 4 2 3 11 ( 12 1)(2 4 2 3 4 1)lim ( 4 2 3) log[ ]
8 16 110,216506350946..
z
nzn
z z z z z zn n d
Poi
→∞=
= + + −+ +
+ + + + + +
− + + + − + + +
−− − + + + +
∑ i i
i i
i i i i i i i
i i i i i i
i ii i i i i
i2
1592 2
1
3 4 2 3 2 2
2 2 3 2
22 2
5
1lim ( )
24
8 2 (6 5 ) [4 4 (3 4 )
] [3 ( 4 ) 10 3 ] (2 8
( 4 )3 ) log(2 ( ) 2 )
16
z
zn
I n an b n ca az b z c
a z a z a b a z a a b c
b z a b c a b c b c a a c
b b a c b a a z b z c a z b
a
67
dove
2 2 2[ 0 ( ) 0 ( ) 0]a a n b n c a n a b n a c≠ + + > + + >i i i i i i
=→∞
−= + + −
+
+ + + + − + +
−+ − + + = −
−+
∫i i
i i i
i
i i i i i i i i
i ii i i i
i ii
i
22
1600 5
2 2 22
22 2
2
2
5
( 4 ) 1lim ( ) log
2161
[2 ( ) 2 ] [(8 224
(8 3 )8 3 ) ]
24(4 )
log( 4 )16
z
nz
b b a cI n an b n c
a c ba
a a z b z c a z b a z a b za
c a c ba c b a z b z c +
a
b a c b+ ac b
a
es:
=→∞
− + + + += + + + +
+ + + +− = −
∫i
i
i
ℤ i
22
1600
2 2
( 32 3)( 16(4 3 2) 8 3)69lim ( 4 3 2) log[ ]
512 23
(128 24 37) 4 3 20,136265369..
384
z
nz
z z zn n n
z z z z
→∞=
−
= + + −+ +
+ + ++
+ + + + + + +
+ + + + +
∑
i i i i i i i i
i i i i i i i i
i i i i i
i i i i
i i i
i
161 20
3 2 3 2 2
1
2
1lim ( ) )
12 ( 1) (2 1)1
12 ( 1) 6 (2( )
1) ( 2 ) ] 2 ( 2) [ (
1)(2 1)[ ( 2 ) ] 6
[
[
]
zk
zn
kk
I p n q a n ba k k k
a k p z k a k z a ka z b
p q p b k k a z a k
k p q p a b
pk
k
+
+
+ +
+ + − − + + +
+ + + + +
+ −
i i i
i i i i i
i i i i i i i i i
i i
2 2 3
2 2 2
3 3
(2 1)[ (
2 ) ] 12 ( 1)] ( 1)(2 1)
( 1)(2 1)( 6 ) 12 (2
1) 12
k k p
q p b k p k a q k k
a b k k k p q a b k q k
b k p
k
[ 0 ( 0 )]a a n b se k è pari≠ + > i
=→∞
+
+
+
= + +
+ + + − +=
+ +
− +=
+ +
−
∫ i i i
i i i i i i i i i i
i i
i i i i i i
i i
1620
1
2
1
2
lim [( ) )]
( 1) (2 1) ( )( 1) (2 1)
[ (2 1)]( 1) (2 1)
[ ]
zk
nz
kk
k k
nI p n q a n b d
k a p z k a q k b k p a z b
k k a
k b k p a q k b
k k a
68
Tipo 1 2( ) ( )r f n f n− Si ha
→∞=
+ += + =−∑
i iℤ
2 4161
1
( 1) (2 1)lim ( 1) 1,73457..
6
z
zn
z z zn
=→∞= + =−∫ℤ
32 4
1620
lim ( 1) 1,23604978..3
z
nzn
zn d
→∞=
+ += + + − =−∑
i iℤ
2 4163
1
( 1) (2 1) loglim ( 1) 1,82298..
6 2
z
zn
z z z zn n
=→∞= + + − =−∫ℤ
32 4
1640
loglim ( 1) 1,3645425..
3 2
z
nzn
z zn n d
→∞=
+ += + + + − =−∑
iℤ
22 4 2
165
1
(2 3 4) loglim ( 1) 1,45721..
6 2
z
zn
z z z zn n n
=→∞
+= + + + − =−∫
iℤ
22 4 2
1660
(2 3) loglim ( 1) 0,749333..
6 2
z
nzn
z z zn n n d
→∞=
+ += + + + + − =−∑
i iℤ
22 4 3 2
167
1
(8 18 19) 5 loglim ( 1) 1,353610..
24 16
z
zn
z z z zn n n n
=→ ∞
+ += + + + + − =−∫
iℤ
22 4 3 2
1680
(8 6 9) 5lim ( 1) log 0,661560..
24 16
z
nzn
z z zn n n n d z
Poi
→∞=
+= + =−∑
iℤ
2 6 2169
1
( 1)lim ( 1) 1,514992285816057..
2][
z
Zn
z zn
=→∞= + =−∫ℤ
42 6
1700
lim ( 1) 1,051636578..4
z
nZn
zn d
→∞=
+= + + =−∑
iℤ
2 6 2171
1
( 1)lim ( 1) 1,15328..
2][
z
Zn
z zn n
=→∞= + + =−∫ℤ
42 6
1720
lim ( 1) 1,71863..4
z
nZn
zn n d
→∞=
+= + + + − =−∑
iℤ
2 6 2 2173
1
( 1) loglim ( 1) 2,19937..
2 2][
z
Zn
z z zn n n
=→∞= + + + − =−∫ℤ
42 6 2
1740
loglim ( 1) 1,758395..
4 2
z
nZn
z zn n n d
→∞=
+ + += + + + + − =−∑
iℤ
3 22 6 3 2
175
1
( 2 2) loglim ( 1) 1,88135..
4 2
z
Zn
z z z z zn n n n
=→∞
+= + + + + − =−∫
iℤ
32 6 3 2
1760
( 2) loglim ( 1) 1,1835278..
4 2
z
nZn
z z zn n n n d
69
→∞=
+ + += + + + + + − =−∑
iℤ
3 22 6 4 3 2
177
1
( 2 2 3) 3lim ( 1) log 1,45567..
4 8
z
Zn
z z z zn n n n n z
=→∞
+ − += + + + + + − =−∫
i iℤ
22 6 4 3 2
1780
( 1) ( 2) 3lim ( 1) log 0,713764654..
4 8
z
nZn
z z z zn n n n n d z
→∞=
+ + += + + + + + + − =−∑
iℤ
3 22 6 5 4 3 2
179
1
(12 32 33 28) 35lim ( 1) log 1,521380..
48 128
z
Zn
z z z zn n n n n n z
Abbiamo poi anche
→∞
=
= + − −∑ i2
163
0
loglim ( )
2[ ]
z
zn
zI n a n a
I primi 17 valori delle costanti di questo limite sono positivi, i restanti negativi
→∞=
= + − =−∑ℤ2
180
0
loglim ( 1 ) 1,17959..
2
z
zn
zn n
→∞=
= + − =−∑ℤ2
181
0
lim ( 2 ) log 1,63698..z
zn
n n z
→∞=
= + − =−∑ℤ2
182
0
loglim ( 3 ) 1,91511..
23
z
zn
zn n
→∞=
= + − =−∑ℤ2
183
0
lim ( 4 ) 2log 2,08333252561..z
zn
n n z
………………………………………………………………………………
→∞=
= + − =−∑ℤ2
184
0
loglim ( 17 ) 17 0,24974..
2
z
zn
zn n
→∞=
= + − = −−∑ℤ2
185
0
loglim ( 18 ) 18 0,05917..
2
z
zn
zn n
L’annullamento della funzione (19) avviene per un valore dato dalla costante
=ℤ227 17,798.. Per calcolare esattamente tale valore bisogna risolvere l’equazione con illary in y
→∞
=
+ − =−∑ i2
0
lim ( ) log 02
z
zn
n y n zy
(51)
la cui soluzione si ricava facilmente sostituendo alla illary la funzione equivalente. La illary reale della funzione + −2( )n a n è
→∞
=
= + − + + +
+ + + −
−∑ i
i
2 2164
0
2
1lim ( ) [ log( )
2
( 1) ]
z
zn
I n a n a z z a
z z a z
70
Per a positivo abbiamo
→∞=
= + − + + + + + − = − −∑ iℤ2 2 2
186
0
1lim ( 8 ) [8log( 8) ( 1) 8 ] 2,66133619288..
2
z
zn
n n z z z z z
e =→∞
= + − −∫ i2
1650
lim ( ) log2
z
nzn
aI n a n d z
=→∞= + − =−∫ℤ
2187
0
loglim ( 1 ) 0,5965735..
2
z
nzn
zn n d
=→∞= + − =−∫ℤ
2188
0lim ( 2 ) log 0,84657359..
z
nznn n d z
=→∞= + − =−∫ℤ
2189
0
3lim ( 3 ) log 0,96576155..
2
z
nznn n d z
=→∞+ − =−∫
2
0lim ( 4 ) 2log 1
z
nznn n d z
La illary reale dell'integrale improprio della funzione precedente è
=→∞= + − + − +
+ + = −
−
−
∫
i
2 2190
0
2
lim ( ) ( )2
log( ) log( )2 4
z
nzn
zI n a n d z a z
a az a z a
Dalla relazione precedente si ricavano facilmente gli integrali di base. La illary
→∞ =
= − − +∑ i2
167 lim ( ) log2
z
zn a
aI n a n z
è simile alla 163I (cambia solo il segno davanti al logaritmo). Solo due valori interi di a (1;4) producono valori negativi della illary precedente
→∞=
= − − = −+∑ℤ2
191
1
loglim ( 1 ) 0,816566..
2
z
zn
zn n
→∞=
= − − =+∑ℤ2
192
2
lim ( 2 ) log 0,295236..z
zn
n n z
→∞=
= − − =+∑ℤ2
193
2
lim ( 3 ) log 0,285713..23z
zn
n n z
→∞=
= − − = −+∑ℤ i2
194
2
lim ( 4 ) 2 log 0,338944..z
zn
n n z
→∞=
= − − =+∑ℤ2
195
3
5lim ( 5 ) log 2,000578..
2[ ]
z
zn
n n z
71
In tutti gli altri casi le costanti sono positive. Abbiamo quindi due valori particolari di a (reali) per il quale la illary si annulla. Lascio a voi il compito di calcolarli. La funzione (19) generalizzata alle potenze r-esime
0
( )[ ]R R
n
n a n∞
=
+ −∑ (52)
si comporta come la serie armonica, con l'unica differenza che in questa funzione l’esponente R corrisponde nella serie armonica all'esponente ( 1)R − . Quindi per
3R ≥ e a intero positivo qualsiasi, la serie converge sempre. Sarebbe interessante trovare le funzioni antagoniste dei limiti
→∞ →∞
=
+ − −∑ i2
0
limlim ( ) log ]2
[z
a zn
an a n z
→∞ →∞ =
− − +∑ i2limlim ( ) log
2
z
a zn a
an a n z
ma l’operazione non è tanto facile. Vediamo ora alcune serie le cui funzioni antagoniste hanno rapporti stretti con i numeri simmetrici (la cui descrizione verrà fatta in modo esaustivo nel prossimo libro sulle Onde Numeriche)
→∞
=
− += + − −∑
i i3 6168
1
( 1) ( 1)lim ( )
3[ ]
z
zn
z z zI n a n
es: →∞
=
− += + − =−∑
i iℤ
3 6196
1
( 1) ( 1)lim ( 41 ) 3,461370080029..
3
z
zn
z z zn n
=→∞
−= + − −∫
i2
3 6169
0
(2 3)lim ( )
6[ ]z
nzn
z zI n a n d
es: =→∞
−= + − =−∫
iℤ
23 6
1970
(2 3)lim ( 21 ) 3,709825144..
6
z
nzn
z zn n d
→∞ =
− + += + − −∑
i i i3 9170
1
( 1) ( 1) ( 2)lim ( )
4[ ]
z
z n
z z z zI n a n
es:
→∞=
− + += + − =−∑
i i iℤ
3 9198
1
( 1) ( 1) ( 2)lim ( 41 ) 2,7075760961790118763826937542..
4
z
zn
z z z zn n
=→∞
−= + − −∫
i2 2
3 9171
0
( 2)lim ( )
4[ ]z
nzn
z zI n a n d
es:
=→∞
−= + − =−∫
iℤ
2 23 9
1990
( 2)lim ( 7 ) 1,993665577..
4
z
nzn
z zn n d
→∞
=
− + + += + − −∑
i i i2
3 12172
1
( 1) ( 1) (6 15 16)lim ( )
30[ ]
z
xn
z z z z zI n a n
72
→∞=
− + + += + − =
=
−∑i i i
ℤ
23 12
200
1
2,53157331800724027717330402842003351741947966..
( 1) ( 1) (6 15 16)lim ( 41 )
30
z
xn
z z z z zn n
=→∞
−= + − −∫
i2 3
3 12173
0
(2 5)lim ( )
10[ ]z
nxn
z zI n a n d
es:
=→∞
−= + − =−∫
iℤ
2 33 12
2010
(2 5)lim ( 11 ) 2,35043..
10
z
nxn
z zn n d
Abbiamo poi l’interessante serie
1
lim ( )z
k k
zn
n n n→∞
=
+ −∑ (53)
che per 3k ≤ produce costanti, mentre per 4k ≥ produce serie convergenti (k intero). Esempio
→∞=
= + − + =−∑ℤ2
202
1
loglim ( ) 0,0011722..
2 8
z
zn
z zn n n
=→∞= + − + = −−∫ℤ
2203
0
loglim ( ) 0,110786..
2 8
z
nzn
z zn n n d
→∞=
= + − =−∑ℤ3 3
204
1
loglim ( ) 0,098529..
3
z
zn
zn n n
=→∞= + − =−∫ℤ
3 3205
0
loglim ( ) 0,2901697..
3
z
nzn
zn n n d
4 4
1
lim ( ) 0,34718462..z
zn
n n n→∞
=
+ − =∑ convergente
4 4
0lim ( ) 0,5813..
z
nznn n n d
=→∞+ − =∫ convergente
5 5
1
lim ( ) 0,188464533..z
zn
n n n→∞
=
+ − =∑ convergente
5 5
0lim ( ) 0,4554443..
z
nznn n n d
=→∞+ − =∫ convergente
Ponendo nella (40) 2k s= + si ha la serie
+ +
→∞=
+ −∑ 2 2
1
lim ( )z
s s
zn
n n n (54)
Che per ≥ 1s si comporta quindi in modo simile alla serie armonica generalizzata
1
1lim ( )
z
kzj j→∞
=
∑
73
Anche L'integrale improprio
+ +
=→∞+ −∫
2 2
0lim ( )
z s s
nznn n n d
per ≥ 1s ha le caratteristiche della serie precedente, e della serie armonica. La illary reale dell’integrale
=→∞
+ −∫3 3
0lim ( )
z
nznn n n d
fornisce una costante funzione di pigreca; ma è l’unica funzione di questo tipo a dare un risultato del genere.
3 3
0
3lim ( ) ( )
36
z
anz
nn n n d f n π=→∞
+ − − =∫
Poi
→∞=
+ += + =−∑
i iℤ
3 6206
1
( 1) (2 1)lim ( 1) 1,28725255309869..
6
z
zn
z z zn
=→∞= + =−∫ℤ
33 6
2070
lim ( 1) 0,80955021596..3
z
nzn
zn d
→∞=
+ += + + =−∑
iℤ
23 6
208
1
(2 5 3)lim ( 1) 1,536057848..
6
z
zn
z z zn n
=→∞= + + =−∫ℤ
33 6
2090
lim ( 1) 1,07714308..3
z
nzn
zn n d
→∞=
+ += + + + =−∑
iℤ
23 6 2
210
1
(2 3 1)lim ( 1) 1,891775..
6
z
zn
z z zn n n
=→∞= + + + − =∫ℤ
33 6 2
2110
lim ( 1) 1,4278917..3
z
nzn
zn n n d
→∞=
+ += + + + + − =−∑
iℤ
23 6 3 2
212
1
(2 3 1) loglim ( 1) 1,852911..
6 3
z
zn
z z z zn n n n
=→∞= + + + + − =−∫ℤ
33 6 3 2
2130
loglim ( 1) 1,383506..
3 3
z
nzn
z zn n n n d
→∞=
+ += + + + + + − =−∑
iℤ
23 6 4 3 2
214
1
(2 3 3) loglim ( 1) 1,501501..
6 3
z
zn
z z z zn n n n n
→∞=
+ += + + + + + + − =−∑
iℤ
23 6 5 4 3 2
215
1
(3 6 5) 14lim ( 1) log 1,402877..
9 81
z
zn
z z zn n n n n n z
=→∞
+ += + + + + + + − =−∫
iℤ
23 6 5 4 3 2
2160
(6 3 4) 14lim ( 1) log 0,7912385164..
18 81
z
nzn
z z zn n n n n n d z
=→∞
+= + + + + + − =−∫
iℤ
23 6 4 3 2
2170
( 1) loglim ( 1) 0,862539..
3 3
z
nzn
z z zn n n n n d
74
Tipo 1 2( ) ( )r rf n f n± Se a è un numero intero positivo, si ha
−
→∞= =
= + − − = − ∑ ∑i
1
174
0 1
lim ( ) a ( )[ ]z a
zj w
I j a j z w (55)
Ad esempio
→∞= =
− + − =∑ ∑i
0
0 1
lim 1 ( 1 ) ( )[ ]z
zj w
z j j w
1
0 1
lim 2 ( 2 ) ( ) 1[ ]z
zj w
z j j w→∞
= =
− + − ==∑ ∑i
→∞= =
= − + − = + ==∑ ∑ℤ i
2
218
0 1
lim 3 ( 3 ) ( ) 1 2 2.414213562391155391534270..[ ]z
zj w
z j j w
→∞= =
= − + − = + + ==∑ ∑ℤ i
3
219
0 1
lim 4 ( 4 ) ( ) 1 2 3 4.146264369943223456780984..[ ]z
zj w
z j j w
→∞= =
= − + − = + + + ==∑ ∑ℤ i
4
220
0 1
lim 5 ( 5 ) ( ) 1 2 3 4 6.146264369943223456780984..[ ]z
zj w
z j j w
E’ evidente che quando ( 1)a − è un quadrato perfetto, si ha l’uguaglianza
− − − −
= = = =
− = −
∑ ∑ ∑ ∑1 1 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )a a a a
w w w w
w w w w (55)
e quindi i valori delle costanti adiacenti, hanno le stesse cifre decimali dopo la virgola: esempio ℤ219 e ℤ220 . per le radici cubiche si ha
1
3 33 3
0 1
lim a ( ) ( )[ ]z a
zj w
z j a j w−
→∞= =
− + − =∑ ∑i
1
4 44 4
0 1
lim a ( ) ( )[ ]z a
zj w
z j a j w−
→∞= =
− + − =∑ ∑i
E nel caso più generale, per qualsiasi valore di a, si ha
1
0 1
lim a ( ) ( )[ ]z a
k kk k
zj w
z j a j w−
→∞= =
− + − =∑ ∑i
Se a tende ad infinito, sappiamo dalle formule precedenti che:
−
→∞=
− + = −
+∑
i1
a1
2 1 1lim ( ) a-1
2( 1) 2
ak k
w
k a kw
k
per cui
0
2 1 1limlim a a-1 ( )
2( 1) 2[ ]
zk k k k
a zj
k a kz j a j
k→∞ →∞=
− +− + − =
+− ∑
ii
75
Da questo si ricava il limite più generale ancora
0
limlimlim ( ) ln2 0.693147180559945309417232..z
k k
k a zj
j a j→∞ →∞ →∞
=
+ − = =∑
Sappiamo che esso si può rappresentare anche come
1 1 1ln2 1 ..
2 3 4= − + − +
Ecco dunque che ln2 catalizza ancora una volta un risultato importante sui limiti. Per questo limite di s-esimo grado possiamo scrivere la relazione
2 111 2 s-1
0 0
lim lim lim.... lim ( .... ) limlim ( ) lns
a ak k k k
k a a a k aj j
j a a a j s j j s−→∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞
= =
+ + + + − = − =∑ ∑ i
tipo 1
2
( )( )
r f n
f n
→∞=
+ + + += −
+ +∑
i i i i
i i i
175
1
(4 4 )lim
2 ( )( )[ ]
z
zn
a n b p z p q a z bI
p n q p p z q
≠ + ≠ + > ]i i[ 0 0 0p p n q a n b
es:
→∞=
−+ + +
= −+ +
=∑i
ℤ221 ..
1
0,50175 1 (28 11) 5 1
lim7 1 14(7 1)
( )z
zn
n z z
n z
=→∞
− ++ += − + =
+ −
− = −
−
∫i i i ii
i i
i i i
i i
i
i
1760 3
3
2 ( )2lim [ ( )
2 2( )
( ) z
nzn
a q b p p a z ba n b a z bI d ATAN
p n q p a q b pp
a q b p b p bATAN
pa q b pp
→∞=
+ + + + −= − − ∑
i i i
i
i177
1
(4 1)lim 2 log
2( ) ( )[ ]
z
zn
a n b z a z b a z b bI b
n z z
es: = 28a = 19b
→∞=
+ + + + −= − − −= ∑
i
iℤ222
1
28 19 (4 1) 28 19 28 19 19lim 2 19 log 17,8861958..
2( ) ( )
z
zn
n z z z
n z z
oppure
→∞
=
+ + −= − + − ∑ i
i ii178
1
lim 2 2 log( )( )[ ]z
zn
a n b a z b bI a z b b
n z
76
es:
→∞=
+ + −= − + − = − ∑ i178
1
13 5 13 5 5lim 2 13 5 2 5 log( ) 9,26700609..( )
z
zn
n zI z
n z
=→∞
+ + −= − + − =
= −
∫ ii i
i1790
lim ( ) 2 2 log( )
2
[ ]z
nzn
a n b a z b bI d a z b b
n z
b
[ 0]b > es:
=→∞
+ + −= − + − = −∫ iℤ224
0
3 2 3 2 2lim ( ) 2 3 2 2 2 log( ) 2,8284271247461900976..
z
nzn
n zd z
n z
Poi
→∞=
+ += + +
+ − −
+ +
∑i i
ii
i
180 21
lim
log2
( )
( )
z
zn
a n b a z bI
zn
a a z b b
b a z b b
≠ + > i[ 0 0]b a n b
→∞=
+ + + −= + −
+ += ∑ iℤ225 2
1
5 3 5 3 5 5 3 3lim log 6,65154535126..
2 3 5 3 3( ) ( )
z
zn
n z z
zn z
=→∞
+ + + −= + −
+ − + −
=
=
∫i i i
i181 21lim log
log( )
( ) ( )[ ]z
nzn
a n b a z b a a z b bI d
zn b z
aa b a b b
b
es:
=→∞
+ + + −= + − =∫ iℤ226 21
2 7 2 7 2 2 7lim log 3,784469875937..
7( ) ( )
z
nzn
n z z bd
zn z
Poi
→∞=
+ + += − + + ∑ i
2 2 2 22 2
182
1
lim ( ) log( )[ ]z
zn
n a a z aI z a a
n z
es:
→∞=
+ + += − + + =∑ℤ i
2 2 2 22 2
227
1
12 12 12lim ( ) 12 12 log( ) 33,559761116..
z
zn
n zz
n z
77
=→∞
+ + −= − + + =
= − + + + +
∫ i
i
2 2 2 22 2
1831
2 2
lim ( ) log( )
1 log( 1 )
[ ]z
nzn
n a z a aI d z a a
n z
a a a a
es:
=→∞
+ + −= − + + =∫ℤ
2 22
2281
9 9 3)lim ( ) 9 3log( ) 2,293061717527821..
z
nzn
n zd z
n z
Poi
→∞
=
+ += + − + + ∑
2 2 2 22 2
184 21
lim ( ) log( )[ ]z
zn
n a z aI z z a
zn
es:
→∞=
+ += + − + + = ∑ℤ
2 2 2 22 2
229 21
10 10lim ( ) log( 10 ) 14,8148..
z
zn
n zz z
zn
=→∞
+ += + − + + =
− + + = + +
∫2 2 2 2
2 2185 21
22
2
lim ( ) log( )
1 11 log( )
[ ]z
nzn
n a z aI d z a z
zn
aa
a
es: per = 3a =ℤ230 1,73621522126301119728.. Poi
→∞
=
+ + + += + + ∑
2 2 2 2 2 2
186 3 21
1lim ( ) log( )
22[ ]
z
zn
n a z a z z aI
a zn z
es:
→∞=
+ + + += + + =∑ℤ
2 2 2 2 2 2
231 3 21
61 61 1 61lim ( ) log( ) 73,373677996904..
1222
z
zn
n z z z
zn z
→∞=
+ += + − + +
+ + +
∑
i i
2 2 3 2 2 32 2
187 3 21
2 2
( ) ( ) 3lim [ ]
22
3log( )
2
z
zn
n a z aI z a
n z
a z aa
z
es:
→∞=
+ + + += + − + + = ∑ℤ i
2 2 3 2 2 3 2 22 2
232 3 21
( 8 ) ( 8 ) 3 8 8lim [ ] 8 12 log( ) 650,146879793..
22
z
zn
n z zz
zn z
78
La illary di base
→∞= +
−= − − ∑
2 22 2
188
1
lim ( )[ ]z
zn a
n aI z a
n
→∞=
−= − − = −∑ℤ
2 22 2
233
13
12lim ( ) 12 18,433..
z
zn
nz
n
→∞=
−= − − = −∑ℤ
2 22 2
234
6
5lim ( ) 5 7,482..
z
zn
nz
n
→∞
− −= − − + =∫ i
2 2 2 22 2
189 lim ( ) ( ) 0z
azn ATAN
n a z aI d z a a
n a
è perfetto Poi
→∞= +
− −= + − + − ∑
2 2 2 22 2
190 21
lim ( ) log( )[ ]z
zn a
n a z aI z z a
zn
per
→∞=
− −= + − + − = − ∑ℤ
2 22
235 22
1 1lim ( ) log( 1) 2,22219..
z
zn
n zz z
zn
→∞=
− −= + − + − = − ∑ℤ
2 2 2 22 2
236 218
17 17lim ( ) log( 17 ) 2,83735..
z
zn
n zz z
zn
+→∞
− −= + − + − =
+ = − + + + +
+
∫2 2 2 2
2 2191 21
lim ( ) log( )
2 1log( 2 1 1)
1
[ ]z
azn
n a z aI d z z a
zn
aa a
a
per = 6a −=ℤ237 1,8462988156270348..
→∞= +
− −= − − +
+ + − −
+∑ i
2 2 3 2 2 32 2
192 21
2 2 2
( ) ( ) 3lim
23
log( )2 2
[ ]
z
zn a
n a z aI z z a
zn
za z z a
es:
→∞=
− −= − − + + − +
− =
+∑ℤ i
2 2 3 2 2 32 2 2 2
2782
25
( 24 ) ( 24 ) 3lim 24 864log( 24 )
2
2745,906..2
[ ]z
zn
n zz z z z
zn
z
Abbiamo la illary di base
79
→∞=
⋅= −
+ ∑193 2
1
lim ( ) 2[ ]z
zn
n nI z
n a
es:
→∞=
⋅= − = −
+ ∑ℤ279
21
lim ( ) 2 3,73926490813..z
zn
n n z
n a
mentre la illary reale è
→∞=
= − ++ +
− + − + +
+ +
∑i
i i i
ii i
i
24238 2 2
1
42
4
2lim ( ) [ ( )
4( )
2log( ) 4 (4 4 )]
2
z
zn
n nI a z a
n a z a
z z a az z z a
z z a a
Poi
→∞=
+ += − + + +
− + + + + +
+ + − −−
∑i
i
i i i i
i i i
i
ii
i
i
22
195
1
2
2
lim
log(2 ( ) 2 )2
2 ( ) 2log[ ]
( )
z
zn
a n b n cI a z b z c
n
b a a z b z c a z b
a
c a z b z c b z c c
z
≠ + + > ( + + >i ii i i
2 2[ 0 0 ) 0]a a n b n c a a n b n c es:
→∞=
+ +== − + + − + + + + +
+ + − −− = −
∑ i i i
i
i
ℤ
22 2
239
1
2
11 7 8 7lim 11 7 8 log(2 11(11 7 8) 22 7)
2 11
2 8 (11 7 8) 7 168 log[ ] 10,082328..
( )z
zn
n nz z z z z
n
z z z
z
Poi
=→∞
+ += − + + − + + +
+ + − −+ + + − =
= − + + + + − + + − − − + +
∫i
i i i i
i i i
i i
i i i i i
ii i
i
22 2
1961
2
lim ( ) log(2 ( )2
2 ( ) 22 ) log[ ]
log(2 ( ) 2 ) log[2 ( ) 2 ]2
z
nzn
a n b n c bI d a z b z c a a z b z c
n a
c a z b z c b z c a z b c
z
b a a b c a b c c a b c b c a b c
a
es: = 11a = 7b = 8c = −ℤ240 14,4618066627744..
80
→∞=
+ + + += + +
− + + + + +
+ + − −−
∑i
i i i i
i i i
i
i i i
i
i
2 2
197 21
2
2
lim
log(2 ( ) 2 )
2 ( ) 2log[ ]
2
( )
z
zn
a n b n c a z b z cI
zn
a a a z b z c a z b
c a z b z c b z cb
zc
≠ + + > ( + + > ( + + >i i ii i i i i
2 2 2[ 0 0 ) 0 ) 0]c a n b n c a a n b n c c a n b n c es:
→∞=
+ + + +== + − + + + + +
+ + − −− −
=
∑ i i
i
i
ℤ
2 22
241 21
2
18 11 7 18 11 7lim 18 log(2 18 (18 11 7) 36 11)
2 7 (18 11 7) 11 1411log[ ] 13,815790469..
2 7
( )z
zn
n n z zz z z
zn
z z z
z
Tipo 1
2
( )( )
rf n
f n
→∞
=
+ ++ −= − −
+
+ + +
∑i i ii i i
i
i i
i i i i i
1983
1
( ) ( )lim ( )
log ( ) ( )[ ]
z
zn
a n b p n qp n q a q b pI
a n b a a p
p a n b a p n q
+
≠ ≠ > 0 + ≠ > ]+
[ + + > + > + >
i i
i
i i i i i i i
[ 0 0 ( ) 0 0
( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0]
pn qa p a p a n b
a n b
a n b p n q p a n b a p n q
es:
→∞=
+ ++= − + + +
+
+ + −
=
∑i
i i
i
i
ℤ2423
1
(31 37) (41 43)41 43 184lim ( ) log 41 (31 37)
31 37 31 31 41
31(41 43) 0,5357535..
[
]
z
zn
n nnn
n
n
Casi particolari
→∞=
= − + + −+ +
+−
+
∑ ii i
i i i
i ii i
i
199 2 31
2
lim ( ) (2 2 )4 ( ) 2
log ( 1)
[ ]
z
zn
n z bI a z a b
a n b a a z b a
a z b a z
b a z b
con ≠ ≠ + ≠ ]i[ 0 0 ( ) 0a b a n b
81
→∞
=
= − + + + ++
∑ i i200
1
lim ( ) ( ) ln( )[ ]z
zn
nI n n b b n n b
n b
+ >[ 0]n b es:
→∞=
= − + + + ++
=∑ℤ i i243
1
7,23282..lim ( ) ( ) ln( )z
zn
nn n b b n n b
n b
→∞=
+ + += − +
+−
∑ i i
i
i i
i
201
1
2
(2 1)lim ( )
2 2
log ( )
[ ]
z
zn
a n b z a z b bI
n z a
z a z ba
b n
[ 0 0]a a n b≠ + >i
→∞=
+ += − + −
+ −
∑ i i
ii
i202 2
1
4 1lim ( ) 2
2
( )log
[ ]
z
zn
a n b zI a z b b
zn
a z b b
z
[ 0]a n b+ >i es:
→∞=
+ + + −= − + − − =∑ iℤ244 2
1
2 3 4 1 ( 2 3 3)lim ( ) 2 3 12 log 0,84224033..
2 [ ]
z
zn
n z zz
zn z
Poi
→∞=
+ + += + − +
+ + −
∑i i
ii i
i203 3 3
1
1lim ( ) 2
2
( )2 log )
[ ( ]
z
zn
a n b a z b a z bI
zn z
a z b a z z a
z
[ 0]a n b+ >i
=→∞
+ += − + + +
− + − + + =
∫ ii i i i
i i i
i204
31lim ( ) 2 ( ) 2 og ( )
) ( ) 2 og ) 2
[(
] (
z
nzn
a n b a z bI d sign z a l z a z b
zn
a z sign z a l a b a a b
es: = 3a = 4b =ℤ245 4,978859006138703..
82
→∞=
+= − + −
+
+ + +− +
− + +
+ + − + −
∑i
i i i i i i
ii
i i i i i
i i i i
i i i i
i i i i i i i i i i
i2055 3
1
2
2 2
1lim ( 3 )( )
8
( )log 2
2 [ (2 ) ] ( 3 )
( )
( )[ ]
z
zn
pn qI n a q b p aq b p
an b a p
a z b p z q a p p z qa p
aq b p a z b a z b
a p z a z a p q b p b aq b p
[ 0 0 0 0 0 0 ]p n q p n q
a p a n b aq bp a pa n b a n b
+ +≠ ≠ + ≠ − ≠ > >
+ +
i i
i i i
i i
→∞=
+= + − −
+
+ +− + −
− +
++ + + +
++
+
∑i
i i i i i i
ii
i i
i i i i i i i i i
i i i
i i i
i i i i i i i i i
i
2065 3
1
2
2 2
1lim ( ) ( )
8
( 4 ) 3 log
( )2 2 (2 ) 4
]
]
[ ]
[ ( )
[
[ ]
z
zn
pn qI c n d aq b p
an b a p
a z b p z qc q d p bc p a p
aq b p a z b
a p p z qa c p z a z a p q d p
a z b
a
c
+ + + −i i i i i i i i2 22 ( 4 ) 3 a d p ab c q d p b c p
[ 0 0 0 0 0 0 ]p n q p n q
a p a n b aq bp a pa n b a n b
+ +≠ ≠ + ≠ − ≠ > >
+ +
i i
i i i
i i
La illary generale per >sn c
∞
= +
−= − +
+∑207
1
( )s
ss
n c
n cI z c
n c (56)
nella quale per s pari −
> + ≠+
[ 0 0]s
s
s
n cn c
n c
es: ∞
−
=
−= − + = −
+∑ℤ i
102210246 10
278
277( ) 277 6,307818952966252377852366532 10
277n
nz
n
il limite estremo è
1
1limlimlim ( ) 1[ ]
sz
sss c z
n c
z cn c c
zn c→∞ →∞ →∞= +
− + =− +
−+
∑ (57)
83
Tipo 3
1 2
( )
( ) ( )
s
r
f n
f n f n±
→∞=
= − + − ++
∑ i2
208
1
lim ( ) 2 2 log( )[ ]z
zn
nI z a z a a z
a n
>[ 0]a
es: →∞
=
= − + − + = −+
∑247
1
lim ( ) 10 50log(5 ) 80,01021609..5
z
zn
nz z z z
n
=→∞
= − + − ++
= −
=
∫ i i
i
2209
0
2
lim ( ) 2 2 log( )
2 log( )
[ ]z
nzn
nI d z a z a a z
a n
a a
[ 0]a > Alcune costanti particolari
→∞=
= − + − + ++ − + +
− + + + =
∑ i i
i
i
ℤ3
2482
1
3
1lim ( ) [2(1 )log( 1)
6( 1)( 1)
4(1 )log( 1) 3] 1,952015109..
z
zn
nz z z
n n z z z
z z
→∞=
= − + − + ++ − + +
− + + + + + = −
∑ i i
i
i
i
ℤ3
2492
1
3 3
1lim ( ) [2(1 )log( 1)
6( 1)( 1)
4(1 )log( 1) 3 (4 4)] 2,50650208..
z
zn
n nz z z
n n z z z
z z z z z
→∞=
= + − + + + + = −+ +
∑i
ℤ3
250
1
lim ( ) (4 2 9 12) 2log(1 ) 0,0613..6(1 )
z
zn
n n zz z z z
n n z
→∞=
= + + − + + + ++ +
+ + + + = −
∑i
iℤ
23 5 2
2512
1
3
lim ( ) 2log(1 ) (48 36 68120(1 )
40 95 380 240) 0,0035987969..
z
zn
n n zz z z z
n n z
z z z
→∞=
= + + − − + = −+ +
∑i
ℤ
23 3
2522 3
1
2 2lim ( ) log(1 ) 0,0069599571..
3 2 3 2(1 )
z
zn
n n z zz z
n n z
→∞=
= + + − + − ++ +
+ − − + + = −
∑i
i i i
i i
ℤ
33 6
253
1
36 3
1lim ( ) [20( 1) log( 1) 40( 1)
20( 1)
log( 1) (15 9 46 60)] 7,302..
z
zn
n nz z z z
n n z
z z z z z
π π
→∞=
= + + + − + −+ +
+ + − + − + − = −
∑ i i i
i
i i i i
iℤ
36 3 6 6
2546
1
3 26 6
1lim ( ) [6 ( 1)log( 1)] 12
6 ( 1)
( 1)log( 1) 18 12 18 12 3] 5,898..
z
zn
nz z z z z
n n z z
z z z z z z
84
→∞=
= − + − + − ++ +
+ + + − + + + = −
∑ i i
i i
i
ℤ3 32 23 6
2553 3 2
1
3 32 4 23 6 6
1lim ( ) 2[45( 1)log( 8 1)] 45( 1)
60( 1)
log( 8 1) 8 (20 16 15 144 180)] 6,681..
z
zn
n nz z z z
n n z
z z z z z z z
→∞=
+= + +
+ + − + − +
− + −− + − + + +
− +− + − + +
∑i
i i i
i
i i i i
i i i
ℤ3 5
2562 3 3 34 23 3
1
3 53 6 3 6
3 5 53 6
1 9 5 45lim ( ) 1)
502( 1)( 1)
5 5 9 5 45 5 5log( 1) ( 1) log( 1)
2 50 2
45 9 5 5 51) log( 1)
50 2
(
( (
z
zn
n nz
n n z z z z z
z z z z z
z z z z
−+
++ + − + + −=
i
i i i
3
3 35 23 6
45 9 51)
50
5 5log( 1) (4 4) 2,3972..
2z z z z z
→∞=
= + + − + ++ +
− + + + − + + = −
∑ i i
i i
ℤ3 2 3 6
2573 3 2
1
3 2 3 36 6
1lim ( ) 2[3( 1) log( 8 1)
4( 1)
3( 1)log( 8 1) 8 (4 4 1)] 6,9135..
z
zn
nz z z
n n z
z z z z z z
→∞=
= + + − + − ++ +
+ + − − + + = −
∑i
i i i
i i
ℤ
33 6
258
1
36 3
1lim ( ) [20( 1) log( 1) 40( 1)
20( 1)
log( 1) (15 9 46 60)] 7,3029..
z
zn
n nz z z z
n n z
z z z z z
→∞=
= + + − + − ++ +
+ − − − = −
∑ i i i i i
i
i
ℤ
36 3 6 6
2596
1
6
1lim ( ) [2 ( 1) log( 1) 4 ( 1)
2 ( 1)
log( 1) 6 6 1] 7,7126..
z
zn
nz z z z z z
n n z z
z z z
→∞=
+ += − =
+ +∑ℤ
3 3
2603 3 2
1
6 6 1lim ( ) 5,092701..
2( 1)
z
zn
n z z
n n z
→∞=
+ + + − + −= − = −
+ +∑
i i ii
ℤ
3 3 3 32 2 2 3 4 23 3
2613 3 2
1
6( 1) log( 1) ( 3 3 2 6)lim ( ) 0,06724416007..
4( 1)
z
zn
n n z z z z z z
n n z
Tipo 4
1 2 3
( )
( ) ( ) ( )
t
sr
f n
f n f n f n± ±
85
→∞=
+= − + + +
−+ + +
+ + − + + + + − + +−
+ + − − + + +
∑ i i
i
210
1
2
2
1lim ( ) [ (2
4( )
1) (2 )] [( ) log(
4( )
) ( ) log( )]
z
zn
n cI n c n a n
a bn a n b
a c n b n b c a c n aa b
n c b c n b n c
[ 0 0 0 0]a b n a n b n c− ≠ + > + > + > es:
→∞=
−
+= − + + + + − + +
+ + +
+ + + + − + + + =
+∑ i i i
i
ℤ262
1
3,84626..
5 1lim ( ) 5 [ 3 (2 8) 2 (2 7)]
43 21
log( 3 5) 9 log( 2 5)]4
z
zn
n n n n n n
n n
n n n n
Casi particolari
→∞=
= − + − − + − ++ +
+ − − = −
∑ℤ
66 35 26
2633 6
1
3 6
lim ( ) 6log(1 ) (10 2 3 510(1 )
10 30 55) 0,212261..
z
zn
n z z z z z z
n n z
z z
→∞=
= − + − − ++ +
+ − − = −
∑ iℤ
44 34
2644 4
1
4
lim ( ) 4log(1 ) (6 26(1 )
4 12 21) 0,1943209..
z
zn
n z z z z
n n z
z z
→∞=
= − + − − + ++
+
+ + − − + − +
+ − + − −
∑ℤ
171 1312612 12265 13 4
1 12
5 211 3 7 56 312 4 12 12
1 11 13 64 12
lim ( ) 12log( 1) (25740 1980 231030030(1 )
2730 3276 4004 5005 6435 8580 12012
18018 30030 75075 180180 360
z
zn
n z z z z z
n nz
z z z + z z z z
z z z z = −360) 0,17180..
→∞=
= + + − − + − + ++ +
+ + = −
∑ iℤ
36 35 26 3
2663 6
1
6
1lim ( ) 6log(1 ) (12 3 5 10 30
10(1 )
60 5) 0,2877..
z
zn
n z z z z z z
n n z
z
→∞=
= − + − − ++ +
+ − + − + − + +
− + − − = −
∑ iℤ
3 1212 1112
266'34 12
1
6 34 12 125 3 2 7 5 3
64 12
lim ( ) 12 log(1 ) (2310 2102310(1 )
252 308 385 495 660 924 1386
2310 4620 13860 26565) 0,23092685..
z
zn
n z z z z
n n z
z z z z z z z
z z z
86
Funzioni tipo
± ± ± ±
4
5 1 2 3
( )
( ) ( ) ( ) ( )
v
s tr
f n
f n f n f n f n
(58) Alcune funzioni antagoniste sono troppo complesse per essere calcolate con un computer portatile. La serie (46) dà origine a funzioni antagoniste di questo tipo.
Tipo 3
1 2
( )
( ) ( )r
f n
f n f n+ (59)
Abbiamo molte serie di questo tipo. Per [ 0]c >
→∞=
−=+
∑ i211
0
21
lim ( )[ ]z
zn
zIn c
ad esempio
→∞=
− −= =+
∑ iℤ267
0
2 1,460354508..1
lim ( )1
z
zn
zn
→∞=
− − = − += =+
∑ iℤ ℤ268 267
1
2 2,460354508.. 11
lim ( )2
z
zn
zn
Si ha →∞ →∞
=
− = −+
∑ i i
0
21
limlim ( ) 2z
c zn
z cn c
=→∞− += = −
+ ∫ i212
02
1lim ( ) 2[ ]
z
nzn z cI d c
n c
=→∞− += = − = −
+∫ iℤ269
02 5
1lim ( ) 4,472135954999.. 2
5
z
nzn zd c
n
Per 2c r= le costanti sono banali.
Poi per [ 0]c >
→∞=
= − −+
∑ i i213
0
lim ( ) 2 [ log( )] z
zn
dI d z c z
c n
es:
→∞=
= − − =+
∑ℤ270
0
5lim ( ) 10[ 3ln( )] 33,89329..
3
z
zn
z zn
=→∞= − + + =
+ ∫ i i i i i214
0lim ( ) 2 2 ln( ) 2 log( )[ ]
z
nzn
dI d d z c d c z c d c
c n
es:
=→∞= − + + =
+∫ i iℤ271
0
5lim [ ] 10 30 ln(3 ) 32,95836866004..
3
z
nznd z z
n
87
Poi
→∞=
+= −
+ ∑
i
i
215
0
1 2lim ( )[ ]
z
zn
a z bI
aa n b
[ 0 0]a a n b≠ + ≠i es:
→∞=
−+
= − =+
∑i
ℤ272
0
2,0598866870859596154..1 2 5 29
lim ( )55 29
z
zn
z
n
=→∞
+= − = −
+ ∫
i
i
2160
1 2 2lim ( )[ ]
z
nzn
a z b bI d
a aa n b
es:
=→∞= − + = −
+∫ℤ273
0
1lim ( ) 2 7 2,64575131106..
2 7
z
nznd z
n
Se 2b r= le costanti della 216I sono banali.
Più in generale abbiamo
→∞
=
= − + − + ++ +
∑ i i i i
i
217
0
2lim ( ) [ log( )]
z
zn
d dI a z b c c a z b
ac a n b
[ 0 0 0 0]a b a n b c b≠ ≥ + ≠ + ≠i per 8a = 3b = 7c = 2d = =ℤ274 6,83766695..
=→∞
= + + + − + =+ +
= − − +
∫ i i i i
i
i i
2180
2lim ( ) [ log( ) ]
2[ log( )]
z
nzn
d dI d c c a z b a z b
ac a n b
db c c b
a
es:
=→∞= + + + − + =
+ +∫ℤ275
0
4 8lim ( ) [5log(5 3 2) 3 2] 21,008982460362766..
35 3 2
z
nznd z z
n
Poi
→∞
=
= ++
−∑ i i i
i i
219
1
2lim ( ) log( )[ ]
z
zn
d dI c a z a
cc n a n
+ ≠i i[ 0]c n a n es:
1a = 1c = 1d = 276 2,565722..=ℤ
=→∞= + = − +
+ −∫ i i i i i
i i
2201
2 2lim ( ) log( ) log( )[ ]
z
nz
d d dI c a z a c a a
c cc n a n
es: 1a = 1c = 1d = 277 1,386294361119890618..= −ℤ
88
→∞=
= − + ++ + +
+ + −− +
+ + + − +
+ + − − +
∑ i i
i
ii i
i i i i
i i i i ii
i i i i i
i
221
0
2 2
2 2
2 2
lim ( ) log(
)4 4
2 4 4log( )
2 4 4
[
]
z
zn
d dI a z b
cf c n a n b
d ac z f
c a a c f b c
a c a z b a a c f b c
a c a z b a a c f b c
dove
≠ ≠ + ≥ − + ≥ + + + ≠i i i i i i2 2[ 0 0 0 4 4 0 0]f c a z b a a c f b c f c n a n b
es:
→∞=
+ + += − + + + − = −
+ + + + + −∑ i iℤ278
0
5 5 10 1 3 2 7 10lim ( ) log( 2 7 3 2) log( ) 2,476267..
3 62 3 2 7 1 3 2 7 10
z
zn
zz z
n n z
→∞=
= − − + ++
+ +
∑ i
i
i
3 23222
31
3
3
lim ( ) log )3
2log( )
3
([
]
z
zn
d dI z z c c
c n n c
dz c
c
≠ + ≠i[ 0 0]c c n n es:
→∞=
= − − + + + = −+
∑ i
i
ℤ3 23 3
2793 3
1
4 4 8lim ( ) log( 3 3 ) log( 3) 7,386647..
3 3 3 3 3
z
zn
z z zn n
π
=→∞= − − + + +
+
− + + =
∫ i i
i
i
3 2 3 3223
3 30
3
3 3 3
2lim ( ) log[ ] log[
3 3
2 3 3( 2 ) 3] [ ]
3 3 9
z
nzn
ATAN
d d dI d c z c z c
c n n c c
d c z dz
c c c
es: = 4d = 7c 280 1, 264237403881582644..=ℤ
→∞=
= − − ++ +
− − + + +
∑i i
i
i i
i ii i i
224
1
3 33 23 3
lim ( ) 22( )
2log[ ] log[ ]
3 3
z
zn
d n d zI d z
c n n c z z
d c d cz z c c z c
+ ≠i[ 0]c n n
89
es:
→∞=
= − − − − + + ++ +
= −
∑i
i
i i
ℤ3 23 3 3 3
281
1
6 6lim ( ) 12 40log[ 5 5 ] 320log[ 5]
5 2(5 )24,8999208..
z
zn
n z z z z z
n n z z
π
=→∞= − − − + +
+
− + + + = −
∫i i
i i i
i
ii i
33 23
2250
3 3 3 33
3
lim ( ) 2 log[ ]3
2 12 3( 2 ) 3log[ ] [ ]
3 3 93
z
nzn
ATAN
d n d cI d d z z z c c
c n n
d c d c c z d cc z
c
es:
= 4d = 7c 282 4,62623115084..= −ℤ Abbiamo
→∞
=
− += −+
∑ i226
1
2 log( )1 1
lim ( )[ ]z
zn
a aI zn n a
>[ 0]a
es: →∞
=
− += − = −+
∑ iℤ283
1
10 log(5 )1 1
lim ( ) 17,4623..5
z
zn
zn n
=→∞
− + = −= −+
∫ i i2270
2 log( ) 2 log( )1 1
lim ( )[ ]z
nzn a a a aI d z
n n a
per 7a = 284 27,242742086774386271..= −ℤ
→∞
=
−= − + −+
∑228
1
2(1 1
lim ( ) )[ ]z
zn
I z a zn n a
[ 0]a ≥ es:
→∞=
−= − + −+
∑ℤ285
1
5.02099789929266650050620329386725..=2(1 1
lim ( ) 10 )10
z
zn
z zn n
=→∞
+= − + − =+
∫2290
2(1 1
lim ( ) ) 2[ ]z
nznI d z a z a
n n a
es: = 11a =ℤ286 6,6332495807107996982.. Se 2 1a r= − con r intero positivo, le costanti sono banali. Caso particolare è poi
→∞
=
= −+
∑2302 2
0
1lim log( )[ ]
z
zn
I zn c
[ 0]c ≠
es: →∞
=
= − = −+
∑ℤ2872 2
0
1lim log( ) 2,224975..
19
z
zn
zn
90
Il suo integrale improprio è perfetto. Possiamo inventare a piacere altre funzioni antagoniste della 230I . Ad esempio
→∞=
= − + + = −+
∑ℤ2 2
2882 2
0
1lim log(25 8 19 ) 5,603665..
19
z
zn
z zn
→∞=
= − + + + + + = −+
∑ℤ6 73 7 3
2892 2
0
1lim log( 33 4 67 21 142 91) 2,713..
19
z
zn
z z z zn
Il limite estremo della 230I è
2 2
2 21
1limlim log( ) log
z
a zn
z z c cn c→∞ →∞
=
− + + = −+
∑
Abbiamo poi
→∞=
= −+ +
∑ i2312
0
lim ( ) log( )[ ]z
zn
bI b z
a n c
> + + ≠2[ 0 0]c a n c Questa funzione antagonista dipende dal valore di b, ma non da a e c come potrebbe sembrare a prima vista.
Es: →∞
=
= − = −+ +
∑ iℤ2902
0
5lim ( ) 5 log( ) 7,2710..
3 7
z
zn
zn
Poi
→∞
=
= − + + ++ +
+ +
∑ i i i
i i
i
2232
21
1 1lim ( ) log(2 ( )
2 )
[
]
z
zn
I a a z b z caa n b n c
a z b
≠ + + > + + ≥i i i i i2 2[ 0 0 ( ) 0]a a n b n c a a z b z c
es:
→∞=
= − + + + + =+ +
∑ i
i
ℤ2
2912
1
0,718702..1 1
lim ( ) log(2 19 (19 4 13) 38 4)1919 4 13
z
zn
z z zn n
=→∞= − + + + + =
+ +
= − +
∫ i i i i
ii i
i i
2233
0 2
1 1lim ( ) log[ 4 ( ) 2 ]
1log( 4 )
z
nznI d a a z b z c a z b
aa n b n c
a c ba
es:
=→∞= − + + + + = − 1,0182398521697132667..
+ +∫ i i i
i
ℤ2
2920 2
1 1lim [ ] log[ 20 (5 2 3) 10 2]
55 2 3
z
nznd z z z
n n
=→∞
+= −
+ + − −
−−−
= ∫i i
i
i i i i i i i i
i
i
i ii i i
2340
( )2lim ( )
( ) ( )
2
( )
[ ]
( )
z
nzn ATAN
ATAN
p a z bd dI d
p n q a n b p a q b p a q b p
d p b
a q b pp a q b p
dove + > + > − > − >[ 0 0 0 ( ) 0]pn q an b aq bp p aq bp
91
es: =→∞
= − + = −+ +
∫ i i iℤ2930
1 1lim [ ] [ (5 3)] 0,721136912924..
(6 4) (5 3) 33
z
nznd ATAN z
n n
−=ℤ294 ..0,545084441 per = 19a = 4b = 7p 3q = 5d = Poi
→∞=
= − + − + =+
∑ℤ294
1
lim ( ) 2 2log( 1) 0,353152672..z
zn
n z z z
n n
→∞
=
− − −= −
+ + ∑
i i i i i i
i i i
i2 2 2
2352
1
4 (4 3 ) 8lim ( )
6[ ]
z
zn
d n a d z d a b a z d bI
a n b a a z b
≠ + ≠i[ 0 0]a a n b
es: →∞
=
+ −= − = −
+ +∑ℤ
2
295
1
2 100 15 72lim ( ) 0,08995..
5 3 75 5 3
z
zn
n z z
n z
=→∞= − − + =
+ ∫
ii i i i
i
i3
236 2 20
2 4lim ( ) ( 2 )
3 3[ ]z
nzn
d n d dI d a z b a z b b
a aa n b
es:
=→∞= − − + =
+∫ iℤ296
0
1lim ( ) (4 7) 8 7 0,3858387328635861277..
488 7
z
nzn
nd z z
n
Poi
→∞=
= − − ++ +
+ + − + − + +
− −+ +
∑i i
i i
i
i i i i i i
ii i
i
2237 2
1
22
2lim ( ) ( ) log(
) [2 ( 2 3 )3
3 ]2( )
z
zn
d n c dI c b c
ac a n b
da z b a z b a z b c
a
d za c z
c a z b
≠ + ≥ + + ≠i i[ 0 0 0]a a n b c a n b
es:
→∞=
= − + + − + + − − =+ + + +
=
∑ i iℤ297
1
4 2 2lim ( ) 48 log(3 2 1) [ 2 1(2 25) 9 ]
33 2 1 (3 2 1)49,793..
z
zn
n nz z z z
n n
92
=→∞= + − + + +
+ +
− + − + − =
= − + + −
∫i i
i i i
i
i i i i i i i
i ii i i
2238 20
22
2 22 2
2lim ( ) ( )l og( )
[2 ( 2 3 )] 3 3
2 2( ) log( ) (2 3 )
3
z
nzn
d n c dI d c b c a z b
ac a n b
da z b a z b c a c z
a
c d d bc b c b b c
a a
es:
=→∞= − + + − + − + =
+ +
= −
∫i
iℤ2980
2 1lim ( ) 2log(1 2 3) 2 3 (2 3)
31 2 30,2780542699158847245..
z
nzn
nd z z z z
n
Poi
→∞
=
= + −+
+
−∑i i
i i i i
i
i i i
i
2392 3
1
2 2lim ( )
log( )
[
]
z
zn
d n d d d aI z a z
c c cc n a n
c a z a
≠ > + ≠i i[ 0 0 0]c a c n a n es:
→∞
=
= + − + =+
−∑i
ℤ
i
299
1
6 3 3 15lim ( ) 5 log(8 5 5) 0,023229244..
4 16 1288 5
z
zn
nz z z
n n
=→∞= + − + =
+
= −
−∫i i
i i i i i i
i i
ii
2402 30
3
2 2lim ( ) log( )
2log( )
z
nzn
d n d d d aI d z a z c a z a
c c cc n a n
d aa
c
es: = 5a = 3d = 2c = −ℤ300 6,03539217..
Poi
→∞
=
= − + = −+
∑ℤ3
3012
1
2lim ( ) log( 1) 0,20092..
3
z
zn
n z
n n
La illary della serie
→∞
= + + +∑
i
i i1
lim ( )z
zn
d n
f c n a n b
occupa una pagina intera. Vedremo il suo sviluppo in altro libro.
Poi
→∞=
= − ++
∑ 2 2241
2 21
lim ( )[ ]z
zn
nI z a
n a
93
es:
→∞=
= − + = −+
∑ℤ2 2
3022 2
1
lim 11 10,5075788..11
z
zn
nz
n
=→∞= − + = −
+ ∫
2 2242
0 2 2lim ( )[ ]z
nzn
nI d z a a
n a
es:
=→∞= − + = −
+∫ℤ
2303
0 25lim ( ) 25
25
z
nzn
nd z
n
Il limite estremo 2 2
2 21
1limlim
2
z
a zn
nz a a
n a→∞ →∞=
− + + =+
∑
Dall’esempio precedente e da molti altri, i limiti del tipo
→∞ →∞
=
−∑1
limlim ( , ) ( , )z
aa z
n
f n k f z k
sembrano produrre solo costanti banali; però questo è da dimostrare. Poi
→∞= +
= − −−
∑ 2 2243
2 21
lim ( )[ ]z
zn a
nI z a
n a
es:
→∞=
−= − −−
=∑ℤ2 2
3042 2
6
1,85807028795..lim ( ) 55
[z
zn
nz
n
=→∞= − − =
− ∫
2 2244
2 2lim ( ) 0[ ]z
n azn
nI d z a
n a
E’ quindi un integrale perfetto. Per n=3 abbiamo la costante
=→∞= − − = −
−∫ℤ
2305
3 2lim ( ) 4 2,2360679774997..
4
z
nzn
nd z
n
Poi
→∞=
=+
−∑i
245
1
1lim [ ]
( )ln
z
zn
In n d
z
[ 0]d ≥
es: →∞
=
=+
=−∑i
ℤ306
1
1lim [ ]
( 1)log 0,01903..
z
zn n n
z
→∞
=
= −+
− =∑i
ℤ307
1
1lim [ ] 0,3045..
( 2)log
z
zn n n
z
94
=→∞
= + + ++
=
=
−
−
∫ i
i
2460
1lim ( ) 2
( )log[2 ]
log( )
[ ] z
nznI d z z d z d
n n d
d
[ 0]d >
=→∞= + + +
+= −−∫ i
i
ℤ3080
1lim [ ] ( 4) 2 4
( 4)log[2 ] 1,3862943611198906188..
z
nznd z z z
n n
l limite estremo della 245I è
→∞ →∞=
=+
+− =∑i
ℤ309
1
1limlim [ ]
( )1,76275..ln ln
z
d zn n n d
z d
Poi
→∞=
+ += − +
+ +
+ + + + +
∑i i
i i
i i i i i i
2
2472
1
2
3
lim ( )
log(2 ( ) 2 )2
[
]
z
zn
n a z b z cI
aa n b n c
ba a z b z c a z b
a
≠ + + > ( + + >i i i i i
2 2[ 0 0 ) 0]a a n b n c a a n b n c
→∞=
+ += − + + +
+ +
+ + =
∑ i i i
i
ℤ
22
3102 3
1
11 7 15 7lim ( ) log(2 11(11 7 15)
1111 7 15 2 1122 7) 0,111148..
[z
zn
n z zz z
n n
z
=→∞
+ += − +
+ +
+ + + + + =
= − + +
∫i i
i i
i i i i i
i i
2
2480 2
2
3
3
lim ( )
log(2 ( ) 2 )2
log(2 )2
z
nzn
n a z b z cI d
aa n b n c
ba a z b z c a z b
a
c ba c b
a a
es: = 11a = 7b = 15c −=ℤ311 0,017554552491090895673.. Poi
95
→∞=
+ += − +
+ +
++ + + +
∑i i
ii i i
i ii i i i i
i
i249
1
3
( ) ( )lim
( ) ( )
log ( ) ( )( )
[ ]
[ ]
z
zn
a z b p z qnI
a pa n b p n q
b p a q p a z b a p z q
a p
≠ ≠ > + + > + > + >i i i i i i i i[ 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0]a p a p a n b p n q p a z b a p z q
es:
→∞=
+ += − + + +
+ +
+ + =
∑ i i i
ii i
i i
iℤ312
31
0,25262..
(31 37) (41 43) 2850lim log 41(31 37)
31(31 37)(41 43) (31 41)
31(41 43)
[ ] [
]
z
zn
z zn z
pn n
z
=→∞
+ + += − +
+ +
++ + + + +
+ +
=
−
∫i i i i i
i
ii i i i
i ii i i i i i i i i i i
i
i
i i i i i i
i
2500 3
32
2
( )( )lim
( )( ) 2 ( )
log ( )( ) 22 ( )
log
[ ]
( )
[ ]
z
nzn
a z b p z qn a q b pI d
a pa n b p n q a p
a q b p a p a z b p z q a p z a q b p
a p
b q a b p q a q b p
a p
es:
=→∞
+ += − + + + + +
+ +=∫ i i i i
i
iℤ313
0
(2 1) (3 1) 5lim [ ] log 24 (2 1)(3 1) 12 5
6(2 1)(3 1) 864
= 0,0223484977449..
[ ]z
nzn
z znd z z z
n n
Caso particolare
→∞=
= − ++ +
+ + + + + +
+ + +
∑ i i
i
i
i i
i
i
i
24
2513
1
2 23 2
2 2 4
2 3
1 2lim ( )
5( )
15 8 5 20 1630 40
(5 48 ) 1630 15
]
[
z
zn
n aI z
a n b a z b
a b a a b bz z
a
b a b bz
a a
≠ + >i[ 0 ( ) 0]a a n b
es:
→∞=
= − + + + + = −+ +
∑ iℤ
24 3 2
3143
1
1 4 19 19 17 2lim ( ) ( ) 0,1383371714..
5 15 20 30 152 1 (2 1)
z
zn
nz z z z
n z
96
=→∞= − − +
+
+ = −
∫ i i i i
i
i i
22 2 2
252 30
5
3
2lim ( ) (3 4 8 )
15
1615
[
]
z
nz
nI dn a z a b z b
aa n b
ba z b
a
es:
=→∞= − − + + = −
+∫ iℤ
22
3150
2lim ( ) (75 40 32) 5 2 0,04827182292900164433..
18755 2
z
nz
ndn z z z
n
Poi
→∞=
= − + + + − + =+
∑ℤ
322316
1
2lim ( ) ( 1) 2 2log( 1) 0,55973..
2 3
z
zn
n z z z z z
n n
→∞=
= + − − + = −+
∑ℤ
23
317
1
2 5lim ( ) log 0,562..
3 2
z
zn
n z z z z
n n n
→∞=
= −+ + +
+ ++
+ + + + + + +
+ + + − −
∑ i
i i
i i i i i i
i i i i i i i
i
i i i i i i i i i i i i
i i i i i i i i i
2
2535
1
2 2 2 2
2 2 3 2
1lim [ ]
( )( ) 8 ( ) ( )
1(3 2 3 )log[2
( )
( )( ) 2 ] ( )
( ) 2 2 [ (2 )
z
zn
nI
a n b p n q a p a z b
a q a b p q b p a pp z q
a z b p z q a p z aq b p a p a z b
p z q a p a p z a p z a p q +
− + + − +
i
i i i i i i i i i2 2 2 2
]
(3 4 3 ) 3 ( )b p
z a q a b p q b p b q aq b p
dove
≠ ≠ > + + > + + >i i i i ii i i i[ 0 0 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0]a p a p a n b p n q a p a z b p z q Poi
→∞=
−= − − + + − + =+
∑ i iℤ
2
3182
1
1,95201519..2 1
lim ( ) log( 1) log( 1)3 3
z
zn
n z z z z
n n
→∞=
= − + − =+
∑i
ℤ
2
3192
1
0,35355571..lim ( ) 2 log( )z
zn
n z z z
n n n
Poi
→∞=
= + + + + +
+ − + + + + +
+ + − + − + − +
−
∑ i
i i i i i
i i i i i i i i i
i i i i i i i
i
2
2542 5 2
1
2 2 2
2 3 2 2
)1
lim (8 ( )
(4 3 ) log(2 ( )
2 ) 2 [2 (2 ) (2 3 )
3 ]
z
zn
nI
a n b n c a a z b z c
a c b a z b z c a a z b z c
a z b a a z a z a b z a c b
b c
97
≠ + + > + + >i i i i i2 2[ 0 0 ( ) 0]a a n b n c a a n b n c
e
=→∞
−= − + + +
+ +
− − + + + +
− − + +
=
=
∫i
i i
i i
ii i i i
i ii
22
255 20 2
22
5
2
25
2 3lim ( )
4
3 4log(2 ( ) 2 )
8
3 4 3log(2 )
48
[
]
z
nzn
n a z bI d a z b z c
aa n b n c
b a ca a z b z c a z b
a
b a c b ca c b
aa
→∞=
= − + ++
+ + ++
− − + +
∑i i
i i i
i i
i i i i i i i
i i i
i i i
2 2
2565
1
2
4
4 2 2 2 2
2lim ( ) log( )
1 [ ( 6 )
6 ( )
3 (2 3 ) 12 ]
z
zn
d n a dI g a z a
gg n a n
d z g g z a a zg g n a n
g z g z a g a
≠ + ≠ + >i ii i[ 0 0 0]g g n a n g a z a
Caso particolare
→∞
=
= − + + + + −+
∑2 2
2 2 2 2257
2 21
lim log( )2 2 2
[ ]z
zn
n z c zI z c z z c
n c
es:
→∞=
= − + + + + − =+
∑ℤ
2 22 2 2 2
3202 2
1
145,1559..11
lim 11 log( 11 )2 2 211
z
zn
n z zz z z
n
=→∞= − + + + −
+
+ + + = −
∫ i
i
2 22 2 2
258 21 2 2
22 2
1lim ( ) log [ ( 1) 1]
2 2
1( )
2
z
nzn
n z cI d z c c
cn c
cz z c
es:
=→∞
− + += − + + = −
+∫
iℤ
2 2 2 22 2
321 21 2 2
( 37 1) ( 6 )lim ( ) 6 log[ ] 3,041381265..
2 2 66
z
nzn
n z c z zd z
n
→∞
= +
= − − − + − −−
∑2 2
2 2 2 2259
2 21
lim ( ) log( )2 2 2
[ ]z
zn c
n z c zI z c z z c
n c
98
es:
→∞
= +
= − − − + − − = −−
∑ℤ
2 22 2 2 2
3222 2
1
12lim ( ) 12 log( 12 ) 179,6053..
2 2 212
z
zn c
n z zz z z
n
Per 3r ≥ la serie seguente
→∞
= +∑
i1
1lim [ ]
( )
z
r rzn n n a
è convergente es:
= 5a = 7r =ℤ323 0,000027989164948596461324836666327264176884.. Anche la illary di base
→∞
=
−++
∑i1
1 1lim [ ] log( )
( )
rz
r r rr rzn
z
ra z an n a
porta agli stessi risultati es: = 5a = 7r =ℤ324 0,000027989164948596461324836666327264176884.. Poi
→∞
=
+ −= −
+ + + ∑
ii
i i i
260
1
1 1lim ( ) log( )[ ]
z
zn
a z b bI
n a n b b a z b b
> + >i[ 0 0]b a n b
es:
→∞=
+ −= − = −
+ + + ∑ i
i
ℤ325
1
1 1 8 13 13lim ( ) log( ) 0,95169..
8 13 13 8 13 13
z
zn
z
n n z
=→∞
+ −= − =
+
= − + −
∫i
i
i
i
i
2611
1 2lim ( ) log( )
2log( )
[ ]z
nzn
a z b bI d
n a n b b z
a b bb
es:
=→∞
+ −= − =
+∫ i
i
ℤ3261
1 2 4 3 3lim ( ) log( ) 0,104214538663..
4 3 3
z
nzn
zd
n n z
Abbiamo poi
→∞=
= − + + ++ +
+ + + −+ +
∑
i
i i i i
i i i i
i i i
i i i
i262
0
1 1lim [ ] log(2 ( )( )
( ) ( )
12 )
2 ( ) ( )
z
zn
pI a a z b p z qa n b p n q a p
a p z a q b pa z b p z q
≠ ≠ + + > + + >i i i i i ii[ 0 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0]pa p a n b p n q a a n b p n q
99
es:
→∞=
= − + + + + − = −+ + + +
∑ i i
i i
ℤ327
0
1 1 1lim [ ] log(2 6 (3 1)(2 1) 12 5) 0,2786146230..
(3 1) (2 1) 6 2 (3 1) (2 1)
z
zn
z z zn n z z
=→∞
= − + + ++ +
+ + + = − + +
∫ i i i
i i ii i i i
i i
i i i i
i
2630
1 1lim [ ] log( 4 ( ) ( )
( ) ( )
12 ) log( 4 )
z
nznI d a p a z b p z q
a n b p n q a p
a p z a q b p a p b q aq bpa p
es: 5a = = 11b = 3p = 4q =ℤ328 1,200120574619..
Poi
→∞
=
+= − + + − +
+ ∑ i
2 2 332 2 2
2642 2
1
( )lim ( ) (3 1)
3 6[ ]
z
zn
z an zI a z a z
n a
es:
→∞=
+= − + + − + =
+ ∑ iℤ
2 2 332 2
3292 2
1
( 5 )lim ( ) 25 5 (3 1) 77,08501640..
3 65[
z
zn
zn zz z
n
=→∞
+= − − =
+ ∫
32 232 2
2650 2 2
2( )lim ( ) ( 2 )
3 3[ ]
z
nzn
az anI d z a
n a
es:
=→∞
+= − − =
+∫ iℤ
2 232
3300 2 2
( 5 )lim ( ) ( 50) 83,3..
35
z
nzn
znd z
n
→∞= +
+ + − − + += −
− − ∑
i i i3 6 5 4 2 3 2 2 2 6
2662 2 2 2 3
1
4 6 2 6 3 ( 4 1) 8lim ( )
12 ( )[ ]
z
zn a
n z z z a z a z a aI
n a z a
es:
→∞=
+ + − − += − =
− −
= −
∑ℤ
3 6 5 4 3 2
3312 2 2 2 3
19
4 6 2 1944 1260684 272097792lim ( )
18 12 ( 18 )
1450,5141840060376114956..
[z
zn
n z z z z z
n z
=→∞
−= − + =
− ∫
2 232 2
2672 2
( )lim ( ) ( 2 ) 0
3[ ]
z
n azn
z anI d z a
n a
È quindi perfetto. invece per 1n a= + la questione è diversa. Ad esempio
→∞
−= − + = −
−∫ iℤ3323
2 23 ( 2 ) 2lim ( ) ( 8) 16,02775370689..32 22
z
zn
znd z
n
Poi
100
→∞=
+= − + +
+ +
+ + − + + − −
∑ i i
i i
i ii i i
35 4
2683
1
2 2 2 2 4 53 2
2 3 4
1 2 35 16lim ( ) [
7 70( )
175 420 48 (35 48 ) 48 32]
840 140 35 35
z
zn
n a a bI z z
a n b a z b
a a b b b a b b bz z z
a a a a
≠ + >i[ 0 0]a a n b es:
→∞=
+ + − − −= − =
+ +∑
i
ℤ
3 5 4 3 2
3333
1
48 180 305 795 9000 15000lim ( ) 15,97553..
2 5 84 (2 5)
z
zn
n z z z z z
n z
→∞
+= − − + +
+
− =
∫ ii i i i i
i
33 3 2 2 2
26940
72
34
2lim ( ) (5 6 8
35
3216 )
35
[
]
z
z
n a z bI dn a z a b z a b z
aa n b
bb
a
es:
→∞
= − − + − + =+
∫ iℤ
33 2
3340
2lim ( ) (5 12 32 128) 2 10,343962056..
352
z
z
ndn z z z z
n
Poi
→∞
+= − = −
+ +∫
3 2 2
2700 2 2 3 2 2
2lim ( ) 2
( )[ ]z
z
n z aI dn a
n a z a
→∞=
−= −
+ +
+ + + + −+ +
+ + + + + +
+ + − + + +
∑ i ii
i i
i i i i i i
i i i
i i i i i i i
i i i i i
3 2
2712 7
1
2
3 2 3
4 6 3 5 2 4 2 2
3 2 3
(12 5 )lim ( )
161
log[2 ( ) 2 ]24 ( )
8 6 (2 ) (4 12 3 )
[ (5 12 ) 36 20 ] 3
z
zn
n b a c bI
a n b n c a
a a z b z c a z ba a z b z c
a z a z a b a z a a b b
a z a b c a b c b +
− − + + − +
− −
i i
i i i i i i i
i i
2 3
2 2 2 4 2
2 2
(2
8 2 5 ) 6 (5 7 )
(16 15 )
z a c
a c a b c b b c z b a c
c a c b
≠ + + > + + >i i i i i
2 2[ 0 0 ( ) 0]a a n b n c a a z b z c
101
→∞=
= − ++ +
+ + + + + +
+ + + − +
− − − −
∑ i i
i i i
i i i i i
i i i i i i
i i
48 8
2725 7
1
7 7 6 6 2 2
5 5 2 2 4 4 4
2 2 3 4
1lim ( ) 8960
40320 ( )
320 (63 80 ) 112 (105 540 224 )
224 (165 270 32 ) 35 (21
1104 576 256 )
[z
zn
nI a z
a n b a a z b
a z a b a z a a b b
a b z a a b b a z a
a b a b b − +
− + − + +
− +
i i i i
i i i i i i
3 3 4 2 2
4 2 2 2 4 4 3 4
4 8
280 (9 48
256 ) 112 (1280 27 ) 448 (256
3 ) 32768 ]
a b z a a b
b a b z b a a b z b
a b ≠ + >i[ 0 0]a a n b
→∞
=
= + − + ++ +
∑2
2 2273
2 2 3 2 21
lim [ ] log( )( )
z
zn
n zI z z a
n a z a
es:
→∞=
= + − + + = −+ +
∑ℤ
22 2
3352 2 3 2 2
1
lim [ ] log( 9 ) 2,197224..( 9 ) 9
z
zn
n zz z
n z
L’integrale che segue per n=0 è perfetto. per n=1
=→∞
−= − − =
++
− = −
+
∫2 2 2
274 2 2 2 2 31 2 2 3
2
2 2 2 3
( )( )lim [ ]
8 ( ) 8( )
1( )1
8 (1 ) 8
z
nzn
ATAN
ATAN
zn z z a aI d
a z a an a
a aa a a
es:
= 9a −=ℤ336 0,00000061352908131..
→∞
= +
= + − + −− −
∑2
2 2275
2 2 3 2 21
lim log( )( )
[ ] z
zn a
n zI z z a
n a z a
es:
→∞
=
= + − + − =− −
∑ℤ
22 2
3372 2 3 2 2
8
lim log( 7 ) 0,253938..( 7 ) 7
[ ]z
zn
n zz z
n z
= +→∞
−+ += + − =−−
+ + + + = ++
∫i
i
i
i
2 2 2
276 2 2 2 2 31 2 2 3
2
2 2 3
log( )( )lim [ ]
8 ( ) 16( )
1log( )( 1) (2 2 1) 1 2
8 (2 1) 16
z
n azn
z an z z a z aI d
a z a an a
a a a aa a a
102
es: = 4a =ℤ338 0,0176266494..
Poi
→∞=
= −++
∑i
3 4
277 2 2 2 22 2 31
lim [ ]4 ( )( )
z
zn
n zI
a z an a
es:
→∞=
= − =++
∑i
ℤ
3 4
339 2 2 22 2 31
lim [ ] 0,0000005667486..100 ( 5 )( 5 )
z
zn
n z
zn
L’integrale della funzione precedente
=→∞
−= =++
∫3 4
2782 2 2 20 2 2 3
lim [ ] 04 ( )( )
z
nzn
n zI d
a z an a
è perfetto. Poi
→∞=
= − + − + + + + + =+
∑ i iℤ
32 2
340
1
1 1lim ( ) 2log( 1) ( 3 5) (48 140 315) 0,5869371..
3 120
z
zn
n z z z z z z z
n n
→∞=
= + − + − + − + − − =+ +
∑ℤ
33 2 3
3412 3
1
1 2lim ( ) log( 1) log( 1) ( 4 3 ) 2,506458..
3 3 2( 1)
z
zn
n z z z z z z z
n n z
→∞=
= − = −+
∑ℤ
3
3423
1
lim ( ) 0,80953..z
zn
n z
n n
=→∞= − = −
+∫ℤ
3
34330
lim ( ) 1,32130639..z
nzn
n d z
n n
→∞=
= − + =+
∑ℤ
37
3444
1
2lim ( ) log( 1) 0,0263..
7
z
zn
n z
n n
→∞=
= + − + + ++ +
+ − + + + − − = −
−∑ iℤ
49 7 5
3452
1
3 4 3 2
lim ( ) 2log( 1) (210 430 238840( 1)
140 2520 180 404 198 560 1680) 0,0049181346..
[ ]z
zn
n zz z z z
n n z
z z z z z z
→∞=
= + − + + − ++ +
+ + − =
−∑ℤ
4 33 9 7 5 3
3462 3 2
1
2
2lim ( ) log( 1) (8 12 4 24
3 24( 1)
12 7 16) 0,00695995728053..
[ ]z
zn
n zz z z z z
n n z
z z
Poi
→∞
=
= − − + ++
∑ i i i3 2 23 3
2793
0
3lim ( ) [ 2 2 log( )]
2
z
zn
dI d z c z c c z
c n
+ ≠3[ 0]c n
es: →∞
=
= − − + + −+
=∑ i iℤ3 2 3 3
3473
0
7 21lim ( ) [ 4 8 log(2 )] 56,110876..
22
z
zn
z z zn
103
=→∞
= − − − + =+
= −
∫ i i
i
23 3 3280
30
2
)3
lim ( ) ( 2 3 log( )2
3 log( )
[ ]z
nz
dI dn d z z c c d c z
c n
c d c
es:
=→∞= − − − + = −
+∫ i iℤ
3 3 3348
30)
4lim ( ) 6 ( 6 108 log(3 )] 118,6501271763..
3
z
nzdn z z z
n
Poi per [ 0]a >
→∞=
−=+
∑ i3 2
2813
0
1 3lim ( )
2[ ]
z
zn
I zn a
es:
→∞=
−= = −+
∑ iℤ3 2
3493
0
1 3lim ( ) 1,9733602483507827154688868624478..
21
z
zn
zn
e 2
3 2 33
1
1 3 3limlim ( ) ( )
2 2
z
a zn
z an a→∞ →∞
=
− = −+
∑ i i
=→∞
−= + = −+
∫ i i32 23282
30
1 3 3lim ( ) ( )
2 2
z
nznI d z a a
n a
es:
=→∞−= + = −
+∫ iℤ
23350
30
1 3lim ( ) ( 2) 2,3811015779522..
22
z
nznd z
n
Poi
→∞
=
= − + + + + ++ +
+ + −+ +
∑ i
i
i
i i i
i
i
2 23 32833
0
3
3
3lim ( ) [2 log( ) ( )
2
2 ]2( )
z
zn
d dI c a z b c a z b
ac a n b
dc a z b
c a n b
≠ + + ≠i
3[ 0 0]a c a n b es:
→∞=
= − + + + + + + ++ +
− = −+ +
∑ iℤ23 33351
30
3
5 5lim ( ) [32 log( 3 2 4) (3 2) 8 3 2]
24 3 25
112,04554763..2(4 3 2)
z
zn
z z zn
n
=→∞= − − + +
+ +
+ + − + − + =
= − + − −
∫ i
i i
i
i
i
i i i
23
28430
2 33
23 3 3
3lim ( ) log(
3) ) [ ( ) 2 ( )]
23 3
log( ) ( 2 )2
z
nz
d c dI dn a z b
ac a n b
dc c a z b c a z b
a
c d db c b b c
a a
104
Per 4d = 6a = 5b = 3c = = −ℤ352 20,5584524788.. In particolare si ha la illary di base
→∞
=
= − ++
∑ i
i
232853
0
1 3lim ( ) ( )
2[ ]
z
zn
I a z baa n b
≠ + ≠i[ 0 0]a a n b es:
→∞=
−= − + =+
∑ℤ23353
30
0,075687466865..1 3
lim ( ) (21 10)4221 10
z
zn
zn
e la illary reale
→∞
=
+ += −
+ + ∑
i i
i i i
23
2863 3
0
3 ( )1lim ( )
2[ ]
z
zn
a b a z bI
a n b a a z b
→∞=
−+ +
= −+ +
=∑ℤ
3
3543 3
0
0,941476820649343..5 243(5 3)1
lim ( )5 3 10 5 3
z
zn
z
n z
=→∞= − + = −
+ ∫ i i i
i
2 23 3287
30
1 3 3lim ( ) ( )
2 2[ ]z
nznI d a z b b
a aa n b
es:
=→∞= − + = −
+∫ iℤ
23355
30
1 3lim ( ) (4 5) 1,0965066518298..
84 5
z
nznd z
n
Poi
=→∞
+ − + + + += − + +
+
+ + + − + +− − −
+ ++
= +
∫i i i i
i i
i
i
1 1 2 1 23 3 3 3 3
356 1 1313 3
1 1 1 1 1 13 3 3 3 3 3
1 1 1 1 13 3 3 3 3
23
1 log[( ) ] log( ) [ ( )] lim ( )
2
3 3[2( ) ] log( ) 3 3[2( ) ]atan
3 3
log( ) [ (
z
nzn
a z b b a z b b a z b bI d
n a n bb b
a n b b a b b a b b ATAN
b b b b b
a b b a
+ +1 23 3
13
)]
2
b b
b
Vediamo ora una illary reale
→∞=
+ − −= −
+ + ∑
i i i
i i i
2 2 2
28923 3
1
6 (5 3 ) 9lim ( )
10[ ]
z
zn
n a z a z a b bI
a n b a a z b
≠ + ≠i[ 0 0]a a n b
es: →∞
=
+ −= − =
+ +∑
i
ℤ
2
3573 3
1
150 95 36lim ( ) 0,053..
5 2 250 5 2
z
zn
n z z
n z
105
=→∞
− += − =
+ ∫
i i
2 53 3
2902 230
3(2 3 )( ) 9lim ( )
10 10[ ]z
nzn
n a z b az b bI d
a aan b
es:
=→∞
− += − =
+∫
iℤ
23
35830
3(10 6) (5 2)lim ( ) 0,114292875..
2505 2
z
nz
n z zdn
n
→∞=
= − ++ +
+ + + + + +
+ + +
∑ i
i i i
i i i i i
i i i
24 4
2913 3 431
3 3 2 2 2 2
2 2 4
1lim ( ) [135
360 ( )
36 (5 3 ) 2 (25 90 27 )
12 (5 27 ) 243 ]
z
zn
nI a z
a n b a a z b
a z a b a z a a b b
a b z a b b
≠ + ≠i[ 0 0]a a n b es:
→∞=
+ + + += − = −
+ +∑
i i i
i
ℤ
2 4 3 2
3593 431
135 396 626 2712 3888lim ( ) 4,2870269350..
2 360 ( 2)
z
zn
n z z z z
n z
=→∞
− + += − = −
+ ∫
i i i i i
i
2 82 2 2 2 3 3
292 3 330
3(5 6 9 )( ) 27lim ( )
40 40[ ]
z
nzn
n a z a b z b a z b bI d
a aa n b
Poi
→∞=
− + −= − =
+ +∑
iℤ
3 34 23 3
3603 3 2
1
(2 4 6)lim ( ) 4,592701..
2( 1)
z
zn
n z z z z
n n z
→∞=
− + + − + + + += + =
+ +∑
i iℤ
3 3 3 3 32 2 2 2 4 2 2
3613 3 2
1
(2 2 3 6) 6(1 ) log(1 )lim ( ) 0,06723..
4(1 )
z
zn
n z z z z z z z
n n z
→∞=
= − + = −+
∑ℤ
23 8
3623 3
1
3lim ( ) log( 1) 0,02036..
8
z
zn
n z
n n
→∞=
= − + − + + + ++ +
+ + + = −
∑ℤ
3 33 3 34 3 2 10 8 7
3633 3 2 2
1
3 34 2
lim ( ) [210 315 39 150 48 315630(1 )
1148 3150 1890] 4,70825..
z
zn
n z z z z z z z
n n z
z z
→∞=
= − − + + + + − − +
+ + − + − + + + + + +
+ + + + + − −
∑
=
i i i
i
i i i
i i
ℤ
33 5
3642 3 3 34 23 3
1
3 3 32 5 23 3
3 3 3 35 10 7 53 3
1lim ( ) 3( 5 1)(1 )
20(1 )( 1)
log[2 ( 5 1) ) 2] 3( 5 1)(1 ) log[2 ( 5 1) ) 2]
12(1 ) log( 1) 10 ( 5 6) 3,50..
z
zn
n z
n n z z z z z
z z z z z
z z z z z z
Passando alle radici quarte, abbiamo
→∞
=
= − ++
∑ i
i
342934
1
1 4lim ( ) ( )
3[ ]
z
zn
I a z baa n b
106
≠ + >i[ 0 0]a a n b es:
→∞=
−= − + =+
∑ℤ34365
41
0,3622658322120581978372..1 4
lim ( ) (45 5)13545 5
[z
zn
zn
=→∞= − + = −
+ ∫ i
i
3 34 4294
40
1 4 4lim ( ) ( )
3 3[ ]
z
nznI d a z b b
a aa n b
es:
=→∞= − + = −
+∫ℤ
34366
40
1 4lim ( ) (3 8) 2,114145982227059..
93 8
z
nznd z
n
Poi
→∞=
= + ++ + + +
+ + + + + + −
+ − + − − −
∑ i i
i i i
i i i i i
i i i i i
3295
4 41
3 24 4 4
3 4
lim ( ) [24 (6 ( )
) log( ) 4 ( ) 12
24 8 3 8 ]
z
zn
d dI c c
c a n b a c a z b
a z b c a z b c a z b c
a z b c a z b a z a b
≠ + + ≠ + ≥i i
4[ 0 0 0]a c a n b a n b es:
→∞=
= + + + + + ++ + + +
+ + − + − + − − =
∑ i i i
i
ℤ4 4
3674 4
1
3 44
1 1lim ( ) [192 (2 3 4) log(2 3 4)
2 3 4 18(2 3 4)
8 (3 4) 48 3 4 192 3 4 24 41] 6,82063883..
z
zn
z zn z
z z z z
=→∞= − + +
+ +
− + + + + + +
= − + − + +
=
∫ i i
i
i i i i
i i
3429640
32 4 4
342 4 4
2lim ( ) [2 ( )
3
43 6 ] log( )
2 4( 4 6 3 ) log( )
3
z
nzn
d dI d a z b
ac a n b
c dc az b c a z b c a z b
a
d b c db c c b c b
a a
es:
=→∞= − + − + + + + + + =
+ +∫ i i iℤ
3 4 4436840
2 4lim ( ) (2 5) 36 2 5 6 2 5 108log(3 2 5) 117,45425491..
33 2 5
z
nznd z z z z
n
→∞=
+ − −= −
+ + ∑
i i i
i i i
2 2 2
29724 4
1
24 (21 8 ) 32lim ( )
42[ ]
z
zn
n a z a z a b bI
a n b a a z b
≠ + >i[ 0 0]a a n b
es: →∞
=
+ −= − =
+ +∑
i
i
ℤ
2
3694 4
1
24 13 32lim ( ) 0,45451..
5 5 42 5 5
z
zn
n z z
n z
107
=→∞
− + − += − = −
+ ∫
i i i i
i
3 34 4
2982 241
4(3 4 ) ( ) 4(3 4 ) ( )lim ( )
21 21[ ]
z
nzn
a z b a z b a b a bnI d
a aa n b
es:
=→∞
− += − = −
+∫
i
ℤ
34
37041
4(9 4) (3 1)lim ( ) 0,299304457645099..
1893 1
z
nzn
z znd
n
Poi
→∞=
= −+ +
+ + +
+ + + +
+ + +
∑ i
i i i
i i i
i i i
i i i
2
2994 3 541
4 4 3 3
2 2 2 2
2 2 4
1lim ( )
3696 ( )
[1344 23 (77 48 )
(539 1848 320 )
8 (77 320 ) 2048 ]
z
zn
nI
a n b a a z b
a z a z a b
a z a a b b
a b z a b b
≠ + >i[ 0 0]a a n b
es:
→∞=
+ + + += − = −
+ +∑
i i i
i
ℤ
2 4 3 2
3714 541
1344 2875 2907 3176 2048lim ( ) 0,5558942..
1 3696 ( 1)
z
zn
n z z z z
n z
=→∞= − − +
+
+ = −
∫ i i i i i
i
i i i
22 2 2
300 340
3 114 4
3
4lim ( ) (21 24 32 )
231
128( )
231
[
]
z
nzn
nI d a z a b z b
aa n b
a z b ba
es:
→∞=
−= − − + + =+
∑ i i i iℤ
322 4372
40
1,420991412127653595..1
lim ( ) (14 24 48)(2 3)772 3
z
zn
nz z z
n
Poi
→∞=
= + − + − + − − + ++ +
+ + = −
∑ iℤ
34
9 3 524 4 4 2 4373
4 4 31
2 4lim ( ) log( 1) log( 1) [5 3 5
3 3 10(1 )
12 20] 4,7592..
z
zn
n z z z z z z z
n n z
z
→∞=
= − + − + + + + ++ +
+ + − + − − =
∑ℤ
43 34 4 4 43 15 3 11 9
3744 4 3 2
1
4 42 7 3 3
144
288 192 0,00504202427..
4lim ( ) log(1 ) (48 32 72 16
3 (1 )
72 24 64 33 )
z
zn
n z z z z z z
n n z
z z z z z
Abbiamo poi alcune illary di funzioni contenenti la radice k-esima:
→∞=
+ + −= −
+ − + ∑
i i i
i i i i
301
0
1 2 ( 2 )lim ( )
2 ( 1)[ ]
z
k kzn
a k z k a b aI
a n b a k a z b
108
> ≠ + ≠ ( + > i i[ 1 0 0 0 )]k a a n b a n b se k è pari es:
→∞=
+= − = −
+ +∑ℤ375
7 70
1 21 23lim ( ) 0,23642836536318522127676933693124118949..
3 2 18 3 2
z
zn
z
n z
− −
=→∞
+= − = −
− −+ ∫
i i i
i ii
1 1
3020
( )1lim ( )
( 1) ( 1)[ ]
k k kkz
knz
k a z b k bI
a k a ka n b
es:
=→∞
+= − = −
+∫
iℤ
67
37670
1 7 (2 6)lim ( ) 2,70958999485513..
122 6
z
nz
z
n
Abbiamo poi
→∞
=
= −+ − − +
− + − − − −
∑
i
i
i i i i i
i i i i i i i i
3032
1
2 2 2 2
1lim ( )
2 ( 1)(2 1) )
2 ( 1) [ ( 1) (2 1) 2 ] 2
z
k kzn
nI
a n b a k k a z b
a k k z a a k k b k z b k
≠ + ≠ ( + > i i[ 0 0 0 )]a a n b a n b se k è pari
es:
→∞=
+ −= − =
+ +∑
i i
i i
ℤ
2
37711 11
1
2750 2405 1936lim ( ) 0,25207..
5 4 5250 5 4)
z
zn
n z z
n z
−
=→∞
−
− − += − =
− −+
=− −
∫i i i i i i
i ii
i
i i
1
304 20
2 2 1
2
[( 1) ] ( )lim ( )
( 1)(2 1)
( 1)(2 1)
kkz
knz
k k
nk k a z k b a z bn
I da k ka n b
k b
k k a
es:
=→∞=
− += −
+∫
i iℤ
45
37850
0,07716049382716049382..5 (12 5) (3 1)
lim ( )3243 1
z
nzn
n z zd
n
Poi
→∞=
+
= −− − −+
− − ++
− − − + − +
− − − +
∑ i
i i ii
i i i i i i i
i
i i i i i i i i
i i i i i i i
2
305 31
4 2 4 3
1
3 2
2 2 2
1lim ( )
12 ( 1) (2 1) (3 1)
112 ( 1) (2 1) 6
( )
( 1) [ (2 1) (3 1) 4 ( 1)]
[ ( 1) (2 1) (3 1) 6
z
kzn
kk
nI
a k k ka n b
a k z k k a ka z b
k z a k k b k k a
z a k k k a b
−
− − + + +
− − − + + +
i i
i i i i i i i i i
i i i i i i
2 2 2
2 2 4 4
( 1)
(2 1) (3 1) 12 ( 1)] 2 [
( 1) (2 1) (3 1) 12 ( 1)] 24
k k
k k b k k a b k z a
k k k b k k b k
109
≠ + ≠ ( + > i i[ 0 0 0 )]a a n b a n b se k è pari
=→∞
−
−
+=+
− − − − + +− =
− − −
= −− − −
∫i
i i i i i i i i i i
i i i
i
i i i
2
3060
12 2 2 2
3
3 13
3
lim ( )
[( 1) (2 1) 2 ( 1) 2 ]( )( 1) (2 1) (3 1)
2( 1)(2 1) (3 1)
z
knz
k
k
k
k
nn
I da n b
k k k a z k k a b z k b a z b
k k k a
k b
k k k a
es:
=→∞−
− + += − =
+∫
i iℤ
22 2 3
37930
0,35279340368218881644..3(4 24 45)(4 5)
lim ( )642 5
z
nzn
n z z zd
n
Questa funzione presenta notevoli difficoltà al calcolo
+→∞=
= −+
∑3071
1
lim ( ) log[ ]kz
k rzn
nI z
n n
es:
→∞=
= − =+
∑ℤ
6
3807 4
1
lim ( ) log 0,07..z
zn
n z
n n
CAP VIII - Serie armonica speciale
∞
→∞=
= −−
∑308
2
1lim ( ) logz[ ]
kzn
In n
La funzione antagonista non dipende da k, ma fornisce una costante diversa per ogni valore di k (sia intero che non). Per =[ 2;4]k abbiamo
∞
→∞=
= − =−
∑ℤ381
2
1lim ( ) logz 2,760..z
n n n
∞
→∞=
= − =−
∑ℤ3824
2
1lim ( ) logz 1,225..z
n n n
e il limite estremo
2
1limlim ( ) logz
kk zn n n
γ∞
→∞ →∞=
− =−
∑
Serie Particolari
Abbiamo la illary di base
110
→∞=
= − =+ −
−∑ℤ3832
1
1 1lim ( ) 2 log 0,13237..
2
z
zn
z zn n n
La illary reale di questa serie divergente è invece molto più complessa della precedente
→∞
=
+ + += − − + + + =
+ −
= −
−∑i i
i iℤ3842
1
(2 1)[ ( 1)]1 1lim ( ) log (3 2 2)[1 2 2 ( 1)]
2 2
2,06077906209..
z
zn
z z z z z z z
zn n n
=→∞= − + − − + + + = + =
+ −−∫ iℤ385
1 2
1 1lim ( ) ( 1) log(3 8) [2 ( 1) 2 1] 2 1 2,414213..
2
z
nzn d z z z z z z
n n n
Poi
→∞=
+= − =
+ −−∑
iℤ386
3 31
1 3 ( 1)lim ( ) log 0,38324..
2
z
zn
z z z
n n n
=→∞= − = −
+ −−∫ℤ
2
3871 3 3
1 3lim ( ) log 1,591094..
2
z
nzn
z d z
n n n
→∞=
+ += − =
+ −−∑
i iℤ388
4 41
1 2 ( 1) (2 1) 3lim ( ) log 0,6266..
3 2
z
zn
z z z z
n n n
→∞=
+= − =
+ −−∑
iℤ i i
2389
5 51
1 ( 1)lim ( ) 5 2 log 0,865081..
2[ ]
z
zn
z z z
n n n
→∞=
+ + + −= − =
+ −−∑i i i
ℤ
2
3906 6
1
1 ( 1) (2 1) (3 3 1) 5lim ( ) log 1,100533..
5 2
z
zn
z z z z z z
n n n
→∞=
+ + −= − =
+ −−∑i i i
ℤ
2 2 2
3917 7
1
1 7 ( 1) (2 2 1)lim ( ) 3log 1,334041..
12
z
zn
z z z z z
n n n
→∞=
+ + + − += − =
+ −−∑
i i iℤ
4 3
3928 8
1
1 4 ( 1) (2 1) (3 6 3 1) 7lim ( ) log 1,56638..
21 2
z
zn
z z z z z z z
n n n
→∞=
+ + − − += − =
+ −−∑
i iℤ
2 2 4 3 2
3939 9
1
1 3 ( 1) (3 6 4 2)lim ( ) 4log 1,79807..
8
z
zn
z z z z z z z
n n n
→∞=
+ + + + − − + −= − =
+ −−∑i i i
ℤ
6 5 4 3 2
39410 10
1
1 ( 1) (2 1) (5 15 5 15 9 3) 9lim ( ) log 2,029399..
9 2
z
zn
z z z z z z z z z z
n n n
→∞=
+ + − + − − += − =
+ −−∑
i i i iℤ i
2 2 2 4 3 2
39511 11
1
1 11 ( 1) ( 1) (2 4 3 3)lim ( ) 5 log 2,26055..
20
z
zn
z z z z z z z z z
n n n
→∞=
+ + + − + + − + + −= − =
+ −−∑i i i i i
ℤ
2 6 5 4 3 2
39612 12
1
1 2 ( 1) (2 1) ( 1) (3 9 2 11 3 10 5) 11lim ( ) log 2,4916..
11 2
z
zn
z z z z z z z z z z z z
n n n
In generale, se h è la potenza della variabile n, la funzione antagonista di questa serie è
−
=
−+∑ ii
2
1
1
2( ) log
zh
z
hh z z
e la sua Illary
111
−
→∞= =
−= −
+ − −∑ ∑i i
2309
1 1
1
2
1lim ( ) ( ) log[ ]
z zh
h hzn z
hI h z z
n n n
Poi
→∞=
+ ++= − − + + + + =
+ −∑
iiiℤ397
21
(2 1) ( 1)( 2) 1lim ( ) log[2 ( 1) 2 1] 0,111958..
2 4 8
z
zn
z z zn z z z z z
n n n
→∞
=
+ += − +
+ − −∑
2 3 3
3102
1
( )lim ( ) (3 1)
3 3[ ]
z
zn
z a zn zI z
a an a n
es: = 7a = −ℤ398 0,663184980947..
=→∞
+ + + += − = −
+ − ∫
2 3 3 3
3111 2
( ) (1 ) 1lim ( )
3 3[ ]
z
nzn
z a z anI d
a an a n
es:
=→∞
+ += − = −
+ −∫ℤ
2 3 3
3991 2
( 7)lim ( ) 1,125115095141..
217
z
nzn
z zn d
n n
→∞=
= − + + ++ −
− + + + ++
+ + + + + + +
∑ i
i i i i
i
i
22
3122
1
2 2 2
2
2 2 2
lim ( ) log( ( ) )8
3 ( ) [ ( ) (2 424 ( )
) 2 ( 2)] 2[3 ( ) 3 2 ]
z
zn
n aI z a z
n a n
zz z a z a z z
a z a
a z z z z a z a
2[ 0 0]a n a≠ + >
=→∞
+ + += +
+ −
+ + + =
−∫i
i i
2 2 32
3130 2
2
( ) (2 ) 2lim ( )
8
log( ( ) ) log( )8 8
z
nzn
z z a z a znI d
an a n
a az a z a
2[ 0 0]a n a≠ + >
es:
=→∞
+ + += + + + −
+ −=−∫
iℤ
2 2 322
4000 2
( 3) (2 3) 2 3lim ( ) log( ( 3) ) 0,911979608250..
24 83
z
nzn
z z z zn d z z
n n
112
→∞=
=+ − +
+ + + + − + +
+ + + + − +
+ + + + + + +
+ −
−∑
i
i i
i
i i
i i i
i i i
i i
i
32 3
3142 2 5
1
2 4 2 2 2 2
2 3 2 4 3 2 2
3 2 6 4
2
1lim ( ) (12
720 ( )
56 88 35 ) 2
12 ( ) ) (6 15 2 4 )
(6 15 10) 120 2 (105 8)
2 (45
[
]
z
zn
nI z z
n a n a z a
z a z a z a z a z a
z a z a z z a z a
z z z z z a
a z a
− − + +ii2 4 2 21) 3 6 ( 4 2 ) a z z a z a
2[ 0 0]a n a≠ + >
=→∞
+ + − += =
+ −
=
−∫i i
3 5 4 2 2 2
3150 2
32
3 (3 2 )lim ( )
15
215
[ ]z
nzn
n z z a z a n aI d
an a n
a
es:
=→∞
+ + − += =
+ −−∫
iℤ
3 5 4 2 2
4010 2
3 (3 2 8) 2lim ( ) 0,3771236166328253463..
302
z
nzn
n z z z n d
n n
Poi
→∞=
+ ++= + + − + +
+ −
− + + + = −
−∑ii
i
i
ℤ
32 2
2402
21
(2 1) ( 1)[ ( 1)]lim ( ) (4 12 7)
12 3 8
1log[2 ( 1) 2 1] 0,0426940..
16
z
zn
z z zn z z z z z
n n n
z z z
→∞=
= + + + + − + + +++ −
+ + + + + + + =
∑ i i
i i i i
ℤ
34 3 2
4032
1
2 2
5 1lim ( ) log[2 ( 1) 2 1] [(48 152 142
128 192( 1)
45 15) ( 1) 48 ( 1)( 2 1)] 0,002604758014503962636837..
z
zn
n z z z z z z
zn n n
z z z z z z z
Tipo 4
1 2 3
( )
( ) ( ) ( )sr
f n
f n f n f n+ ±
→∞=
= − ++ − +
+ + + − + + +
+ + + +
∑ i i
i
i i i i
i
316
1
2 2 3
1lim ( ) 4
120
[12 (4 15) 8 ] 3 (4 5)
5[3 ( ) 3 2 ]
z
zn
nI z a
n a n a z a
z a z z a a z z
z z a z a
[ 0 0]a n a≠ + >
113
→∞=
= − ++ − +
+ + + − + +
+ + − + + +
+ +
∑ i i
i
i i i
i i
2
317
1
3 2 2 3
7 5 7
1lim ( ) 4
840
[60 3 (4 35) 16 32 ]
60 105 32 35 (5
5 5 )
z
zn
nI z a
n a n a z a
z a z z a a z a
z z a z z z a
z a
[ 0 0]a n a≠ + >
→∞=
= + + +−+ − +
−∑ i318
1
1lim ( ) [4 3( 1)]
3( ))
z
zn
zI z a b
a bn a n b
[ 0 0 0]a b a b≥ ≥ − ≠ Ad es:
→∞=
= + = −+ − +
−∑ℤ i404
1
1lim ( ) [4 78] 7,257119466861188060..
2717 8)
z
zn
z z
n n
→∞=
= + = −+ − +
−∑ℤ i405
1
1lim ( ) [4 846] 2232,383330291391578608393412..
3141 )
z
zn
z z
n n b
la illary reale è
→∞=
= + +−+ − +
− + −
−∑ i3
319
0
3
1 2lim [ ( )
3( )
1( ) ]
2
( )
z
zn
I z aa bn a n b
z b z
es:
→∞=
=
−
= + − + −+ − +
=
−∑ℤ i3 3
406
0
40,740591152016248280519214400401838962950945861384643670603670374..
1 1 1lim [ ( 17) ( 15) ]
3 217 15( )
z
zn
z z zn n
17a = 15b =
→∞=
=
−
= + − + −+ − +
= =
−∑ℤ i
ℤ
3 3406
0
407 4,488125191134888261582718620359683564267343033569810924814696784822846247226..
1 1 1lim [ ( 5) ( 3) ]
3 25 3( )
z
zn
z z zn n
Poi
=→∞= + + + =
−+ − +
= − +−
−∫ i
i
3 3320
0
3 3
1 2lim ( ) [ ( ) ( ) ]
3( )
2( )
3( )
z
nznI d z a z b
a bn a n b
a ba b
es:
=→∞= + + + =
+ − ++∫ℤ i
3 3408
05,349719698301..
1 2lim ( ) [ ( 1) ( 2) ]
31 2
z
nzn d z z
n n
114
→∞=
= + − +−+ + +
−∑ i3 3
321
0
1 2lim ( ) [ ( ) ( ) ]
3( )
z
zn
I z a z ba bn a n b
[ 0]a b− ≠ es:
→∞=
= + − + = −+ + +
−∑ℤ i3 3
409
0
1 2lim ( ) [ ( 4) ( 3) ] 1,732050807..
34 3
z
zn
z zn n
=→∞
= + − + =−+ + +
= − −−
−∫ i
i
3 3322
0
3 3
1 2lim ( ) [ ( ) ( ) ]
3( )
2( )
3( )
z
nznI d z a z b
a bn a n b
a ba b
=→∞= + − + = − − = −
+ + +−∫ℤ i i
3 3 3 3410
0
1 2 2lim ( ) [ ( 4) ( 3) ] ( 4 3 ) 1,869231718195..
3 34 3
z
nzn d z z
n n
Poi
→∞=
+ + += − +
−+ − +
− − − − + −
− + −−
− + − −
− + + −
∑i i
i i
i i i i i
i i
i
i i i
i
i i i i
323
0
2
3
2( )1lim ( )
( )log
( )( )[
]
z
zn
a z b p z qI
a pa n b p n q
a q b p a q b p a p p z q
z a p b qa p
a p a z b a q b p
a p a z b a q b p
− ≠ + − + ≠ − + − ≠
− + + − ≠
i i i
i i i i
[ 0 0 ( ) 0]
[ 0]
a p a n b p n q n a p b q
a p a z b a q b p e
es: 11a = 5b = 7p = 4q = =ℤ411 1,294125..
7a = 4b = 3p = 2q = = −ℤ412 2,25906696..
→∞=
= + +−+ − +
+ + − + + +−
+ + −−
−∑
i i
i
2324
2 21
2 2
2
1lim (
2( )
1) [ log( )
2( )
log( )]
( )
z
zn
zI z a
a bn a n b
z b a z a z ba b
z z b z
a b
2 2[ 0 0 0]n a n b a b+ > + > − ≠ es:
→∞=
= + + + − + + ++ − +
+ + + − = −−
−∑ i
i
ℤ2 2 2
4132 2
1
2
1 1lim ( 11 7) [11 log( 11 )
8 811 7
7 log( 7 )] 3,203519040..11 7
( )z
zn
z z z z z
n n
z z z
115
=→∞= + + + +
−+ − +
− + + − + + =− −
= − +−
−∫ i
i i
i i
2 2325
0 2 2
2 2
1lim ( )
2( )
log( ) log( )2( ) 2( )
1[ log( ) log( )]
4( )
)(Z
nz
zI z a z b
a bn a n b
a b z a z z b z
a b a b
a a b ba b
es:
=→∞= + + + − + + − + + =
+ − +
= −
−∫ i i iℤ2 2 2 2
4140 2 2
1 7 6lim ( 7 6) log( 7 ) log( 6 )
2 2 27 66,092981964..
)(Z
nz
z z z z z z z
n n
→∞=
= +−+ + − + +
+ + + + + − − + + +
+ + − − + + + +−
−
−
∑ i
i i i i i
i i
3262 2
1
1 1lim 2(2 1)
8( )
[ ( 1) ( 1)] (4 1)log[2 ( 1)
2 1] (4 1)log[2 ( 1) 2 1]
( )
z
zn
I za bn n a n n b
a z z b z z a a z z
z z b b z z z
a b
2 2[ 0 0 0]a b n n a n n b− ≠ + + > + + > es: = 21a = 15b =ℤ415 7,624591225..
=→∞= +
−+ + − + +
+ + + + + − − + + +
+ − − + + + +−
+ − − + − − +
−
−=
∫ i
i i i i i
i i i
i i i
3270 2 2
1 1lim 2(2 1)
8( )
[ ( 1) ( 1)] (4 1)log[2 ( 1)
12 1] (4 1)log[2 ( 1) 2 1]
8( )
4 4 (4 1)log(2 1) (4 1)log(2 1)
)
[
(z
nzI z
a bn n a n n b
a z z b z z a a z z
z b b z z za b
a b a a b b ]
es:
=→∞= + + + + + + +
+ + − + +
− + + + + − + + + +
−
=
∫ i i i
i i
ℤ4160 2 2
1 1lim 2(2 1)[ 2 ( 1) 1 ( 1)]
82 1
7log[2 2 ( 1) 2 1] 3log[2 1 ( 1) 2 1] 0,983073508..
)
(z
nz z z z z z
n n n n
z z z z z z
Poi
→∞
=
+ −=
−+−∑
i ii i i
i i
328
1
(4 3) ( )lim ( )
6( )[ ]
z
zn
d z a z p zd nI
a pa n p n
[ 0 0 0]a p a p> > − ≠ es:
→∞=
+ −= = −
+
−∑i
ℤ417
1
5 5(4 3)( 4 3 )lim ( ) 0,278514730.
63 4.501184231062236402363621768143018741504541772523..
z
zn
n z z z
n n
116
Il seguente integrale per n=0 è perfetto. per n=1
=→∞= −
−+
= − −−
− =
∫i
i i i
i i
i
i329
1
2lim ( ) ( )
3( )
2( )
3( )
[ ]z
nz
d n d zI dn a z p z
a pa n p n
da p
a p
es:
=→∞= − = −
+−∫ iℤ418
1
3lim ( ) ( 7 3 ) 0,456850251..
27 3
z
nzn
n zd z z
n n
e
→∞=
+ +=
−−−∑
i ii i i
i i
330
1
(4 3) ( )lim ( )
6( )[ ]
z
zn
d z a z p zd nI
a pa n p n
[ 0 0 0]a p a p> > − ≠ es:
→∞=
+ += = −
−
+∑i
ℤ419
1
4 2(4 3)( 3 2 )lim ( ) 2,616260090591966308878362.
33 2.445183212332890144658456706459949965..
z
zn
n z z z
n n
Anche il seguente integrale per n=0 è perfetto. Per n=1 abbiamo
=→∞= +
−−
= − +−
− =
∫i
i i i
i i
i
i331
1
2lim ( ) ( )
3( )
2( )
3( )
[ ]z
nz
d n d zI dn a z p z
a pa n p n
da p
a p
es:
=→∞= + = −
−−∫ iℤ420
1
5 5lim ( ) ( 4 2 ) 5,690355937..
34 2
z
nz
n zdn z z
n n
Poi
→∞
=
+ + −=
−+−∑
i i i i
i i
i22
332
1
(16 20 5) ( )lim ( )
40( )[ ]
z
zn
d z z a z p zd nI
a pa n p n
[ 0 0 0]a p a p> > − ≠ es:
→∞=
+ + −= = −
+
−∑i
ℤ
2 2
421
1
2 (16 20 5)( 7 6 )lim ( ) 0,010003531381734098148.
207 6.7093077681472495430149012965183286..
z
zn
n z z z z
n n
Anche il seguente integrale per n=0 è perfetto. Per n=1 abbiamo
=→∞= −
−+
= − −−
− =
∫i
i i i
i i
i
i2 2
3331
2lim ( ) ( )
5( )
2( )
5( )
[ ]z
nz
d n d zI dn a z p z
a pa n p n
da p
a p
117
es:
=→∞= − = −
+−∫ iℤ
2 2
4221
2 2lim ( ) ( 5 3 ) 0,2016068679723..
55 3
z
nz
n zdn z z
n n
Poi
→∞=
+ + +=
−−−∑
i i i i ii
i i
23
334
1
(48 84 35)( )lim ( )
168( )[ ]
z
zn
d z z z a z p zd nI
a pa n p n
[ 0 0 0]a p a p> > − ≠ es:
→∞=
+ + += =
−−−∑
i iℤ
3 2
423
1
7 7 (48 84 35)( 5 3 )lim ( ) 0,1182866477606793714218..
168(5 3)5 3
z
zn
n z z z z z
n n
Anche il seguente integrale per n=0 è perfetto. Per n=1 abbiamo
=→∞= − =
−+
= − −−
−∫i
i i i
i i
i
i3
3351
2lim ( ) ( )
7( )
2( )
7( )
[ ]z
nz
d n d zI dn a z p z
a pa n p n
da p
a p
es:
=→∞= − = −
+−∫ iℤ
3
4241
3 2lim ( ) ( 5 2 ) 0,234815547179055613..
75 2
z
nz
n zdn z z
n n
Poi l’eccezionale serie divergente con [ 0 0 0 0 0 0]a p a p a n b p n q a n b p n q> > − ≠ + > + > + − + ≠i i i i
→∞=
− −= −
+ − + −
−− + − −
− + −
− + − −−
−− + + −
+ −
∑i i i
i
i i
i i i i i i i
i
i i i i
i i
i ii i i i
i
i
3365
1
2
2
2
(
(
(
( )lim ( )
( )
( )log [ ( ) ) ]
( )
[ ( ) ) ] 16 ( )( ) )
1
(
z
zn
q b a q b pnI
a n b p n q a p
b qa p a z b a q b p
z a p b q
a p p z q a q b p
a p a pa p a z b a q b p
a z b p
+ + − ++
+ − − + − + + +
+ − + − + +
+ + − − − −
+
i i i i i i i i
i
i i i i i i i
i i i i i i
i i i i i
2 2
2 2 2
4 [ ( ))
(3 2 ) ] [ ( ) ]
4 ( ) [3 2 (3 4 )
(12 3 4 )] 4 [ (3 2 )]
a z b p a z b a z a pz q
a q b b p a q a p b q bp p z q
a p z p a ap z a a p q
p b p q a q a q p b q
118
Poi
→∞=
= − − + ++
− +
∑i
i i
i i
i
i i
23 66
337 2 331
36
4
2 3 6lim ( ) ( )
6log( )
[
]
z
zn
d z b z bI d z
a a aa n b n
d ba z b
a
≠ + ≠ + >i i i
3 6[ 0 0 0]a a n b n a n b es: 11a = 4b = = 6d
→∞=
= − − + − + =+
=
∑i
i i i
i
ℤ
3 66 6
425 2 3 431
6 2 12 94 2304lim ( ) 6 ( ) log(11 4)
11 11 11 1111 4448,395243..
z
zn
z zz z
n n
per = = =[ 1]a b d abbiamo
→∞=
= − + − + + = −+
∑ℤ6 3 6
4263
1
1lim ( ) 6 3 2 6log( 1) 0,57..
z
zn
z z z zn n
=→∞= − − + +
+
+ + =
∫ i i i i i
i i
i i
i ii
2 26 3 6338
330
3 36
4 4
lim ( ) (2 3 6 )
6 6log( )] log( )
z
nz
d dI dn n a z a b n b
aa n b n
d b d ba n b b
a a
es:
=→∞= − + + + + =
+∫ℤ
6 3 6 6427
30
5lim ( ) 5 [ 3 12] 120log(2 4)] 166,355323343868742..
2 4
z
nzdn z z n n
n n
Poi
→∞=
= − + + + + − − − ++
− + = −+
+
+
∑ℤ
3 3 6 63 2 4 5 73 6
4283
1
6
66
5 7 2 3 3 13 6 6lim ( )
2 2 3 2 4 2 5 71
log( 1) 0,0888..2(1 )
z
zn
n z z z z zz z z z
n n
zz
→∞=
= + + − + + − − ++ + +
− + − − + − + − − +
+ − = −
+∑ℤ
2 26
42923 6 6
1
3 6 6 3 3 6 6 35 7 13 11 5 3 4 7 5 2
3 6
3 21 1 41lim ( ) 6log(1 )
2 2 8 72(1 ) 72(1 )2 3 6 6 3 7 5 19 17
25 7 13 11 5 6 4 14 1065 475
0,00957856..18 72
z
zn
n zz z z
n n z z
z z z z z z z z z z
z z
Tipo 5
4 1 2 3
( )
( ) ( ) ( ) ( )s tr
f n
f n f n f n f n± ± ±
Queste illary sono molto complesse, e anche per la funzione più elementare
119
+ +32 4
1
a n b n c n
si devono scrivere intere pagine di formule. Rimandiamo ad altri scritti la loro classificazione.
CAP IX - RADICI DI POLINOMI Alcune di queste funzioni producono Illary abbastanza semplici; una di queste è
→∞=
+ − −− − −
= + + + + + +∑ i i i
i i
i ii
2k-1 k-2 12
2
k-1 k-2
k-
-1 -2339 2 1
0
1 (2 ) 2 ( 1)log
2 2 2
lim ( ... )[
]
zk k k k
zn
a k k a k az z z
k k
I n a n a n a n a
Per
+ + + + + > ≥ > i i ik-1 k-2-1 -2
2 1 1[ ... 0 0 1 ]k k kn a n a n a n a a se k è pari e k sempre La funzione antagonista di questa illary è influenzata solo dal grado della radice e dalle prime due costanti del polinomio k-1 k-2( ),a a ; le altre costanti determinano solo la rapidità della convergenza della serie. Esempio
→∞=
= + + + + + + +
− − + =
∑ i i i i i
i
ℤ
i i
7 7 6 5 4 2430
0
2
lim ( 117 83 461 81 23 2457)
1 241 40486log 3452,986026427..
2 14 49
z
zn
n n n n n n
z z z
Nel caso sia = = k-1 k-2[ 0 0]a a la funzione (234) perde il logaritmo
→∞
=
+= + + + + −∑ i i i
ik-3340 k-3 2 1
0
( 1)
2lim ( .... )[ ]
zk k
zn
z zI n a n a n a
es:
→∞=
= + − − =∑ i i iℤ7 7 4 2 2
431
0
1 1lim ( n +8n +3n 2) 3,33062..
2 2
z
zn
z z
Abbiamo poi
→∞
=
= −+ + + + +
∑i i ik-1 k-2
341-1 -2
0 2 1
1lim ( ) log
...[ ]
z
k k k kzn
I zn a n a n a n a
+ + + + + ≠ i i ik-1 k-2
-1 -22 1[ ... 0 ]k k kn a n a n a n a sempre e
+ + + + + > i i ik-1 k-2-1 -2
2 1[ ... 0 ]k k kn a n a n a n a se k è pari es:
→∞=
= =+ +
−∑ℤ4322
0
1lim ( ) log 0,8326..
1
z
zn
zn n
→∞=
= − = −+ + +
∑ℤ4333 3 2
0
1lim ( ) log 1,9926..
27 131 477
z
zn
zn n n
120
Più complesse sono le illary delle serie
→∞=
+ + + + +∑ i i ik-1 k-2-1 -2
2 1
0
lim ( ... )[ ]z
s k k k
zn
n a n a n a n a
per le quali bisogna utilizzare l’algoritmo generale, la cui formulazione verrà descritta nell’ultimo capitolo. Poi
→∞
=
+= + − −∑ i i342
0
4 3lim
6( )
z
zJ
zI j a z a z
>[ 0]a
es: →∞
=
+= + − − = −∑ℤ434
0
4 3lim 5 5 6,354150594919326908349891..
6
z
zJ
zj z z
o anche
→∞
=
= + − + −∑ 3343
0
2 1lim ( )
3 2[ ]
z
zJ
I j a a z z
es:
→∞=
= + − + − = −∑ℤ
32435
0
2 1lim 5 ( 5) 6,354150594919326908349891..
3 2
z
zJ
j z z
=→∞
= + − + = −∫3 3
3440
2 2lim ( ) ( )
3 3[ ]
z
jznI j a d a z a
es:
=→∞
= + − + = −∫ℤ3
4360
2lim ( 5) (5 ) 7,4535599249992..
3
z
jznj d z
Abbiamo la illary di base
→∞
=
+ −=
+− −∑ i
1 1 1345
10
lim log2
[ ]( )z
zJ
j c c dI z
j dz
> >1 1[ 0 0]c d
es: →∞
=
+= = −
+− −∑ℤ i437
0
7lim 2 log 1,4403862..
3( )
z
zJ
jz
jz
La illary reale è più complessa, ed è
→∞=
+ −= + −
+
+ +−
− +
− +∑ i i
i i
1 1 1346 1 1
10
1 1 2
1 1 1
lim ( ) ( )2
( )log ( 1)[ ]
( )
z
zJ
j c d cI z d z c
j d
z d z c
c d z d
+ +
> ≥ − ≠ − >− +
i1 1 2
1 1 1 11 1 1
( )[ 0 0 0 ( 1) 0]
z d z cd c c d
c d z d
es:
→∞=
+ + += + + + − = −
+ +−∑ℤ i
2438
1
7 ( 3) 7lim ( 3)( 7) 2 log ( 1) 6,440386..
43 3( ) [ ]
z
zJ
j z zz z
j z
121
Poi
=→∞
+= + + − − + +
+
+ + = − − +
−
−
∫ i i
i i
1347 1 1 1 1 1
01
1 1 1 1 1 1 1
lim ( ) ( ) ( ) ( ) log(
) ( ) log( )
[
]
z
jzn
j cI d c z d z c d c z
j d
d z c d c d c d
es: 1 7c = 1 3d = = −ℤ439 10,48876289114044..
Si può estendere il risultato a frazioni della forma
→∞
=
+ + + + − +=
+ + +− −∑ i
1 2 1 2 1 2348
1 20
( ) ( )lim log
4[ ]( )
z
zJ
j c j c c c d dI z z
j d j d
> > ≥ ≥1 2 1 2[ 0 0 0 0]d d c c
es:
→∞=
+ + += =
+ + +− −∑ℤ i440
0
229 217 95lim log 125,410201..
4183 168( )
z
zJ
j jz z
j j
Più in generale se 1 2 1 2( , ,..., , ,..., )k kc c c d d d sono numeri interi positivi, si ha
= =
→∞=
−+ + + + + +
=+ + + + + +
− −∑ ∑
∑ i1 2 1 1
349
1 20
...lim log
2...[ ]( )
k k
s fz
k s f
zkJ
c dj c j c j c
I z zkj d j d j d
> > .... > > > .... >1 2 1 2[ 0 0 0 0 0 0]k kd d d d d d
→∞=
+ + + + += =
+ + + + +− −∑ℤ i441
0
3 5 4 2lim log 0,4179733..
32 4 2( )
z
zJ
j j jz z
j j j
es: 1 3c = 2 5c = 3 4c = 1 2d = 2 4d = 3 2d = =ℤ441 0,4179733.. La illary reale della serie precedente è notevolmente complessa.
CAP X - RADICALI MULTIPLI
Tipo 1 2r rf f±
Questo tipo di funzioni fornisce delle interessanti costanti.
→∞=
+ += + − − = −∑ℤ
3
442
1
8 6 3 loglim 0,0626736..
12 16
z
zJ
z z z zj j
=→∞
+ −= + − − =∫ℤ
3
4430
8 6 3 loglim ( ) 0,069198..
12 16
z
jzj
z z z zj j d
122
La costante reale della serie precedente è
→∞=
= + − + + − + − + + + = −∑ iℤ3
444
1
2 1 1lim ( ) (2 1) log(2 2 1) 0,381..
3 4 8( )
z
zJ
j j z z z z z z z z
ed è chiaramente più complessa di quella di base. Si ha pure
→∞=
= − − − − + − + − + − = −∑ iℤ3
445
1
2 1 1lim ( ) (2 1) log(2 2 1) 0,149..
3 4 8( )
z
zJ
j j z z z z z z z z
e
→∞=
+ + + += + − − + − +
+ + + + + = −
∑i i i
i
ℤ
39 3 33 4 2 233 3 92 23 3446
1
3 33 3 9 92 2 2 4
2 1 (3 1) 1lim ( ) log[ 1 ]
4 61
log 1 1 ] 0,2969805..12
z
zn
z z z z zj j z z
z z z z
Poi
→∞=
+= + − + +
− +
∑i
i i i ii2
350 20
2 2
lim ( ) [8(330
2 ) 15 ]
z
zn
b z aI a b n b z a b z
b
a b
[ 0 0 0]a b a b n> ≠ + >i es:
→∞=
= + − + − + − + =∑ i i iℤ447
0
4 1lim ( 1 ) (3 2) 1 1 0,938336..
15 2
z
zn
n z z z z
→∞=
= + − + − + − + =∑ i i i iℤ448
0
4 1lim ( 7 5 ) (75 35 98) 5 7 5 7 3,90473..
375 2
z
zn
n z z z z
=→∞= + − + − +
=
= ∫ i i i i i i2 2
351 2052
2
4lim ( ) (3 2 )
15815
[ ]z
nzn bI a b n d b z a b z a z a
ba
b
es:
=→∞= + − + − + =∫ i iℤ449
03
4lim ( 1 3 ) (27 3 2) 1 0,0592..
135
z
nznn d z z z costante banale
ν
→∞=
= − + − − +
− − − −
∑ i i i i i
i i i
2352
2
2
4lim ( ) (3
151
2 )2
[
]
z
zn
b b
I a b n b z a b zb
a z a z a
dove 2[ 0 ( ) 1]
ab
bν
≠ = +
es:
→∞=
= − + − − − − − − = −∑ i i i iℤ450
2
5 54 1
lim ( 7 5 ) (75 35 98) 7 7 0,04754..375 2
z
zn
n z z z z
123
→∞=
= + − + +
− ++ + −
+ + +
∑ i i i
i ii i i i
i i i i i
3353
1
2 2 3
2 5
2lim ( ) ( )
3
2 24 8
log[2 ( ) 2 ]
z
zn
I a n b n a z b za
a b z a b ba z b z
a aa a z b z a z b
[ 0 0]a a n b n≠ + >i i
→∞=
= + + +
+ + + −− + + +
−− + + + +
∑ i i
i i i i
i i
i
i i i
i
i i ii
354
1
2 2
2
5
lim ( )
(2 8 6 8 3 )12
( 4 )log[ 4 ( ) 2 ]
8
z
zn
I a n b n c
a b z a z a a c ba z b z c
ab b ac
a b a z b z c a b z ba
[ 0 0 0]a b a n b n c≠ ≥ + + >i i
Tipo ±2 3
1
r
rf f
f (60)
→∞=
+= − + +
+ − +
∑i
i i i i
i
i
2355 2
1
2 2
1lim ( ) [(24 8
30
16 15 ) ]
z
zn
a b nI b z a b z
c b
a b za b
c
[ 0 0 0]b c a b n≠ ≠ + >i Poi
→∞=
+ += − +
+ +
∑ i i
i i
i
356
1
3
1lim ( ) 3
6
8 ( )
[
]
z
zn
a b n a b zI b
n b z
a b z
[ 0 0]b a b n≠ + >i
124
Tipo 2 3
1
r rf f
f
±
→∞=
+ + −= − + − ∑
i ii i357
41
lim 4 4 log[ ]( )( )z
zn
a b n b z a aI b z a a
n z
[ 0 0 0]a n b n b n a b n a a+ > + > + − >i i i i
es: →∞
=
+ + −= − + − = −∑ℤ451
41
1 1 1lim 4 1 4log[ ] 1,3282..( )
z
zn
n zz
n z
=→∞
+ + −= − + −
= − + − + −
=∫i
i i
i
35841
lim 4 4 log
4 ( ) 4 log
[ ]( )
( )
( )z
nzn
a b n b z a aI d b z a a
n z
b a a b a a
es:
=→∞
+ + −= − + − −=∫ iℤ452
41
5 2 2 5 5lim 4 2 5 4 5 log 2,601398389335..( )( )z
nzn
n zd z
n z
Poi →∞
=
+ + + + −= − − ∑
i i i i i ii359
41
(8 1)lim 4 log[ ]
2 ( )
z
zn
a n b n z a z b z a b z aI a
n z z
[ 0 0 0]a n b n a b n a b n a+ > + > + − >i i i i es:
→∞=
+ + + + −= − − = −∑ iℤ453
41
3 2 (8 1) 3 2 3 2 3lim 48 log( ) 2,923460025..
2( )
z
zn
n n z z z z
n z z
e
→∞=
+= − + − + + + −=∑ℤ454
1
lim ( ) 2 log 2 2 1 3,81..( )z
zn
n nz z z z z
n
=→∞
+= − + − + + + = −∫ i iℤ i455
1
3 7 7lim 2 3 7 log 2 9 21 6 7 19,160829528..
3( )( )z
nzn
n nd z z z z z
n
La illary della serie seguente
→∞
=
+ +
+ ∑
i i
i1
lim ( )z
zn
a n b n c
p n q
occupa più di una pagina; vedremo il suo sviluppo in altro scritto.
Tipo 4
1 2 3r r
f
f f f+ ± (61)
Le più semplici sono:
125
→∞=
− += − =
+∑
iℤ456
1
1 4( 2) 1lim ( ) 2,246183..
31
z
zn
z z
n
→∞=
= − + + + + + = −+
∑ℤ457
1
1lim ( ) 2 log 2 2 1 0,6909123..( )
z
zn
z z z z zn n
→∞=
+ += − = −
+∑ℤ
2
458421
1 4lim ( ) log( ) 0,7858..
3
z
zn
z z z
zn n
→∞=
= −+ + + +
− + + + + + +
+ − + + + −
+ + − + +
+ − − + +
∑ i
i i i
i i i i i i
i i i i i
i i i i i
i i i
36021
2
2
2 2
2 2 2
1 1lim ( )
3 ( )
12 ( ) ( ) log( )
12 ( ) ( ) log( ) 2
)[ 2(2 3 )] 4
2 (3 2 ) 8 12
z
zn c a b n b c a b z
c a c c b z a c a b z
c c a c a b z a c c
a b z b z a c b z
b z c a a a c
I
23 b
≠ + + ≠ + ≥i i[ 0 0 0]b c a b n a b n La funzione antagonista della serie
+ +
n
c a b n
è molto grande, il suo sviluppo occupa più di una pagina di questo libro; ma ancor più grande è quella della funzione
+ + i
2n
c a b n
Esse verranno discusse in altri scritti.
Tipo 4 5
1 2 3
r r
r r
f f
f f f
±
+ ± (62)
anche queste funzioni hanno illary molto complesse. La più semplice di esse è
126
→∞=
−+
= + −+
+ + ++ − +
+
++ + + − −
+
∑i
i i i i i i i
ii
i i i i
i i i i i i i i
i i
i
i i i i i i i i i i
i
3613 5
1
1lim ( ) (3 )( )
2
( ) ( )log (2 3 )
1(3 )
2
[ ]
z
zn
a n bI a d b c a d b c
a cc n d
c a z b a c z da c a c z a d b c
a d b c
a z ba z b c z d a b c d a d b c
c z d
≠ ≠ > > + > + >
+ > + >
i
i i i i
[ 0 0 0 0 0 0]
[ ( ) 0 ( ) 0]
a c ad bc c n d a n b e
c a z b a c z d
Tipo ± +1 2 3r s tf f f (63)
→∞=
+
= + + − +
+ + + ++ +
+
+ + + + + + +
+ + + +− + +
+
∑ i i i i i
i i i i
i i i i
i i i i i
i i i i
i i
3362
51
2
1lim ( ) 3 ( )
24
[ ( ) ] ( )log 2
2 ( ) 2 [2 ( )
[ ( ) ] ( )8 3( )]
z
zn
I a n b n c n b ca
a z b c b c z b ca b a c
b c
a z b c b c a a z b c
a z b c b c z b ca z b c
b c
+ + +i i i26 ( ) a z b c a z
≠ > + > + + > + ≥
+ + + >
i i i i i
i i
[ 0 0 0 0 0]
[ ( ) 0]
a c b c a n b n c n b n c n e
a n b c b c
CAP XI - SERIE CON FRAZIONI CONTINUE Molto interessanti sono anche i limiti γ
→∞=
++ − − = =∑
2
1
1lim [ ( ) ln ] 0,577215..
2
z
zj
z zj z
j
127
=→∞
+ − − = −∫2
1
1 1lim [ ( ) ln ]
2 2
z
nzj
zj d z
j
→∞=
+= + − − = −
+
∑i
ℤ459
1
1 ( 1)lim ( ) ln 0,0946478..
1 2[ ]
z
zj
z zj z
jj
=→∞= + − − = −
+
∫ℤ
2
4600
1lim ( ) ln 0,846573852..
1 2[ ]
z
nzj
zj d z
jj
→∞=
+= + − − =
+
+
∑ℤ461
1
1 ( 1)lim ( ) ln 0,093067..
1 21
[ ]z
zj
z zj z
j
jj
=→∞= + − − = −
+
+
∫ℤ
2
4620
1lim ( ) ln 0,77465307..
1 21
[ ]z
nzj
zj d z
j
jj
Se il numero di frazioni è illimitato (frazione continua), avremo
→∞=
+= + − − =
+
+
+
+
∑i
ℤ463
1
1 ( 1)lim ( ) log( ) 0,0421666789....
1 21
11
...
[ ]z
zj
z zj z
j
j
j
jj
=→∞= + − − = −
+
+
+
+
∫ℤ
2
4640
1lim ( ) log( ) 0,790229..
1 21
11
...
[ ]z
nzj
zj d z
j
j
j
jj
Poi
→∞=
+= + − = ∑
iℤ465 2
1
1 ( 1)lim ( ) 1,644934..
2[ ]
z
zj
z zj
j
=→∞
+ − =∫2
21
1 1lim ( )
2 2
z
nzj
zj d
j
→∞=
+= + − =
+
∑i
ℤ46621
3
1 ( 1)lim ( ) 1,136823..
1 2[ ]
z
zj
z zj
jj
=→∞= + − =
+
∫ℤ
2
4670 2
3
1lim ( ) 1,068949..
1 2[ ]
z
nzj
zj d
jj
................................................................
128
→∞ →∞=
−
+= + − =
+
+
+
+
∑i
ℤ46821
3
4
1
1 ( 1)limlim ( ) 1,253..
1 21
.....
1
[ ]z
r zj
r
r
z zj
jj
j
jj
Poi
→∞=
−= − =−∑ℤ
32469
1
0,207886224977354566017306725397049302226..2 1
lim ( )3 2
[ ]z
zn
n z z
→∞=
−= + − =−∑ℤ
32470
1
5
2
21,668240733786941378906805877910..
3
1lim ( )[ ]
z
zn
n z zn
→∞=
= + − = −
+
−∑ℤ
32471
1
1 2 5lim ( ) 3,5282696..
1 3 2[ ]
z
zn
n z z
nn
→∞=
= + − = −
+
+
−∑ℤ
32472
1
5
2
1 2lim ( ) 3,207921..
1 31
[z
zn
n z z
n
nn
→∞=
= + − = −
+
+
+
−∑ℤ
32473
1
1 2 5lim ( ) 3,304381..
1 3 21
1
z
zn
n z z
n
n
nn
→∞=
= + − = −
+
+
+
+
−∑ℤ
32474
1
5
2
1 2lim ( ) 3,272796..
1 31
11
[ ]z
zn
n z z
n
n
n
nn
→∞=
= + − =
+
+
+
+
+
−∑ℤ
32475
1
1 2 5lim ( ) 3,283976..
1 3 21
11
1
z
zn
n z z
n
n
n
n
nn
→∞=
= + − =
+
+
+
+
+
+
−∑ℤ
32476
1
1 2 5lim ( ) 3,279927..
1 3 21
11
11
z
zn
n z z
n
n
n
n
n
nn
129
→∞=
= + − =
+
+
+
+
+
+
+
−∑ℤ
32477
1
1 2 5lim ( ) 3,281425..
1 3 21
11
11
1
z
zn
n z z
n
n
n
n
n
n
nn
→∞=
= + − =
+
+
+
+
+
+
+
+
−∑ℤ
32478
1
1 2 5lim ( ) 3,280865..
1 3 21
11
11
11
z
zn
n z z
nn
nn
nn
nn
n
Per un numero qualsivoglia di frazioni ( 1)≥ , si ha
→∞=
= + −
+
+
+
−∑ 3363
1
1 2 5lim ( )
1 3 21
1..
[ ]z
zn
I n z z
n
n
nn
La funzione antagonista è la stessa sia che la frazione continua in esame abbia un numero pari di frazioni, che dispari (anche se il loro numero è illimitato). Il limite estremo della illary per un numero illimitato di frazioni n converge alla costante
→∞=
= + − = −
+
+
+
−∑ℤ3
479
1
1 2 5lim ( ) 3,281007..
1 3 21
1..
[ ]z
zn
n z z
n
n
nn
Se prendiamo in considerazione le radici cubiche, per un numero qualsivoglia di frazioni 1≥ (frazione continua finita), si ha
→∞=
= + − −
+
+
+
−∑ 3 34 23 3364
31
3
3
3
1 3 3 1lim ( )
1 4 2 21
1..
[ ]z
zn
I n z z z
n
n
nn
Lascio a voi il compito di calcolare la costante generata dalla frazione continua
130
→∞=
= + − −
+
+
+
=−∑ℤ3 34 23 3
480
31
3
3
3
1 3 3 1lim ( )
1 4 2 21
1..
...[ ]z
zn
n z z z
n
n
nn
Per le radici quarte
→∞=
= + − −
+
+
+
−∑ 4 45 34 4365
41
4
4
4
1 4 4 1lim ( )
1 5 3 21
1..
[ ]z
zn
I n z z z
n
n
nn
Lascio sempre a voi il compito di calcolare la costante generata dalla frazione continua
→∞=
= + − − =
+
+
+
−∑ℤ4 45 34 4
481
41
4
4
4
1 4 4 1lim ( ) ...
1 5 3 21
1..
[ ]z
zn
n z z z
n
n
nn
Per la generica potenza k, e un qualsivoglia numero di frazioni ( 1)≥ si ha
+ −
→∞=
= + − −+ −
+
+
+
−∑ 1 1366
1
1 1lim ( )
1 1 1 21
1..
[ ]z
k kk kk k
z kn
k
k
k
k kI n z z z
k kn
n
nn
es:
→∞=
= + − − = −
+
+
−∑ℤ7 78 67 7
482
71
7
7
1 7 7 1lim ( ) 1,041796289736901818..
1 8 6 21
[ ]z
zn
n z z z
n
nn
Superserie del primo Ordine
Una superserie di primo ordine è la somma di d ( 1;2;3;4..)d = frazioni continue finite, di cui ognuna che segue ha un elemento in più di quella precedente. Quindi la prima è data solo dalla variabile j, poi il numero di variabili j aumenta di un’unità ad ogni frazione che segue, fino ad arrivare all’ultima che ha d variabili j e ( 1)d − frazioni.
∞
→∞=
− + = ∑ i
1
1lim ( 1) 0
2[ ]
zj
j z z
γ∞
→∞=
+ + − + − = = ∑ i
1
1lim ( ) ( 1) log 0,5772157..[ ] z
j
j j z z zj
131
→∞=
= + + + + − + − =
+
∑ iℤ483
1
1 1 3lim ( ) ( ) ( 1) 2log 0,4825..
1 2[ ]
z
zj
j j j z z zj
jj
→∞=
= + + + + + + − + − =
+ +
+
∑ iℤ484
1
1 1 1lim ( ) ( ) ( ) 2 ( 1) 3log 0,57563..
1 11
[ ] z
zj
j j j j z z zj
j jj
jj
→∞=
= + + + + + + + + − + − =
+ + +
+ +
+
∑ iℤ485
1
1 1 1 1 5lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) 4log 0,59883..
1 1 1 21 1
1
[ ] z
zj
j j j j j z z zj
j j jj
j jj
jj
→∞=
= + + + + + − + − =
+
+
+
+
∑ iℤ486
1
1 1lim ( ) ... ( ) 3 ( 1) 5log 0,6475..
11
11
[ ] z
zj
j j j z z zj
j
j
j
jj
→∞=
= + + + + + − + − =
+
+
+
+
+
∑ iℤ487
1
1 1 7lim ( ) ..... ( ) ( 1) 6log 0,68652..
1 21
11
1
[ ] z
zj
j j j z z zj
jj
jj
jj
→∞=
= + + + + + − + − =
+
+
+
+
+
+
∑ iℤ488
1
1 1lim ( ) ..... ( ) 4 ( 1) 7log 0,72921..
11
11
11
[ ] z
zj
j j j z z zj
j
jj
j
j
jj
→∞=
= + + + + + − + − =
+
+
+
+
+
+
+
∑ iℤ489
1
1 1 9lim ( ) ..... ( ) ( 1) 8log 0,77049..
1 21
11
11
1
[ ] z
zj
j j j z z zj
jj
j
jj
j
jj
Se d è il numero di variabili j dell’ultima frazione, si ha la illary
132
→∞=
= + + + + + + + +
+ +
+
+
+
− + − −
∑
i i i
490
1
1 1 1lim ( ) ( ) ... ( )
1 11
11
.....
( 1) ( 1) log2
[ ]
z
zj
I j j j jj
j jj
j
j
j
dz z d z
La 490I è valida sia per d pari che per d dispari, anche se le due funzioni pari e dispari crescono in modo diverso. Non è noto se il limite della illary precedente per d → ∞ assume un valore finito (o addirittura due valori: uno per d pari e uno per d dispari) o è divergente.
Superserie del secondo ordine
Una superserie del secondo ordine è la somma di p superserie del primo
ordine, di cui ognuna che segue ha una frazione continua finita in più di quella precedente. Quindi la prima è data solo dalla variabile j, poi il numero di frazioni aumenta di un’unità ad ogni somma successiva, fino ad arrivare all’ultima che ha p variabili j e ( 1)p − frazioni. Sono del tipo
∞
→∞=
− + − = ∑ i i
1
1lim ( 1) 0 log 0
2[ ]
zj
z z zj
γ∞
→∞=
+ + − + − =+ ∑ i
1
1 3lim ( ) ( 1) log
2 [ ]
zj
j j z z zj
j
∞
→∞=
= + + + + + + + − + − =
+
+ ∑ iℤ491
1
1 1 1lim ( ) ( ) ( ) 3 ( 1) 3log 1,05978..
1 [ ] [ ]
zj
j j j j j z z zj j
jj
j
∞
→∞=
= + + + + + + +
+
+ + + + + + + − + − =
+ +
+
+ +
+
∑
i
ℤ492
1
1 1 1lim ( ) ( ) ( )
1
1 1 1( ) ( ) 5 ( 1) 6log 1,6354..
1 11
[ ] [ ] [ ]
[ ]
zj
j j j j jj j
jj
j j j j z z zj
j jj
jj
j
se p è il numero di elementi che compone una superserie del secondo ordine, allora la illary è
∞
→∞=
= + + + + + + +
+
+ − − + −
+ + +∑ +
i ii
493
1
1 1 1lim ( ) ( ) ( )
1
( 1) ( 1)( 1) log
4 2
[ ] [ ] [ ] ... [..]
zj
j j j j jj j
jj
p p p pz z z
I j
133
E' chiaro che esistono superserie di ordine superiore al secondo e di grandezza qualunque, ma il calcolo delle costanti da loro derivate, diventa più complesso, soprattutto per le dimensioni di queste funzioni. E’ possibile inoltre studiare altre superserie, sostituendo la variabile j con altre funzioni (ad esempio la k j ), ma lascio al lettore questo compito. Frazioni Ultracontinue Data la funzione = +
+
+
+
+
11
( ) ( )1
( )1
( )...
( ) ..1
...( )
f j f j
f j
f j
f j
f j
(64)
Se 1( )f j viene inserita infinite volte al posto di ( )f j si ottiene una frazione ultracontinua. Il risultato di questa operazione iterativa, diventa interessante per i nostri studi, quando ( )f j è un valore numerico. Ad esempio se =( ) 1f j si ottiene
+= =1
1 5( ) 1.61803398874989484820458683436..
2f j
che è il numero aureo. In questo caso si ha una frazione ultracontinua di grado zero. Sostituendo 1( )f j al posto di ( )f j , si ottiene
=2( ) 2.09529398522391449274681671886628258316....f j Ripetendo più volte l’operazione si ottiene la successione di valori
=
=
=
=
=
=
=
3
4
5
6
7
8
9
( ) 2.495943999834190789978..( ) 2.847169959075708987721..( ) 3.16329593080699954820..( ) 3.45290697646130371681..( ) 3.72160803037113114939..( ) 3.97328870931490353474..( ) 4.2107746997
f j
f j
f j
f j
f j
f j
f j
=
=
=
10
11
12
3444904758..( ) 4.4361931961317594635..( ) 4.6511918527469267026..( ) 4.8570769973603366744..
f j
f j
f j
=
=
=
=
=
=
13
14
15
16
17
18
( ) .....................................( ) 5.0549046649966105862..( ) 5.2455427086725641416..( ) 5.4297144562047498137..( ) 5.7810103308929177847..( ) 5.9491029015786003289..
......
f j
f j
f j
f j
f j
f j
.....................................
e al limite estremo per n → ∞ , la funzione probabilmente converge verso il
numero Ultraaureo = =ℤ222 6,10333..( )zf j . Un buon programmatore può facilmente vedere se è verificata questa condizione o se occorre introdurre la funzione log.
134
E’ chiaro che si può applicare nella funzione precedente, al posto di 1j = , un valore costante noto, ad esempio π . Come chiameremo questa nuova
costante: Ultrapigreca! Per avere altre costanti, si può ad esempio sostituire a j altre funzioni. CAP XII - FUNZIONI SPECIALI Funzione Del per i numeri naturali.
Se n è un numero naturale, a un numero intero ( 1)a ≥ , e ε un numero reale
( 0,1,2,3,... )n = ∞ ε< ≤1
0a
si ha la funzione
ε
ε −
= − = − −
( )neln n n n
Da a a a
(65) La funzione ( )nelD produce la successione numerica seguente
−a-1 (a),(a+1),(a+2) (2a-1) (2a),(2a+1),(2a+2) (3 1)( ),0, 1, 2 ,... ,... ,..,..., ,
1, 0, 0, ... 0, 1, 0 , 0, ... 0, 1, 0 , 0, ... 0,..an
Del
(66) Questa funzione genera solo unità o zeri. Le unità si ripetono alla distanza di a numeri. La funzione ( )aelD assume valore 1 per n uguale
n k a= i ( 0,1, 2,3...)k = mentre per tutti gli altri valori di n vale zero. Per spostare l’unità nella successione (66) di un posto, e avere la successione
a-1 (a),(a+1),(a+2) (2a-1)( ),0, 1, 2 ,...,..., , ...0, 1, 0, ... 0, 0, 1 , 0, ... 0, ...
n
Del
(67)
si utilizza ε
ε − − − − −
= − = − −
( )1 1 1 1
neln n n n
Da a a a
Per spostare l’unità in avanti di r posti con 0 r a< < ( 0,1,2,3,... )n = ∞
ε
ε − − − − −
= − = − −
( )neln r n r n r n r
Da a a a
(68) Potremo chiamare r vettore numerico. Per avere una successione di uno e zero a due valori
135
→
→
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15...1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ...
n
Del
(69)
si pone nella (65) 2a = ε< ≤1
02
ε
= − −
2( )2 2
neln n
D
(70) Se inizia con zero
→
→
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15...0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1...
n
Del
(71)
Si ha ε− −
= − −
2( )1 1
2 2nel
n nD
(72) Le successioni ( )aelD sono utili in molti campi di lavoro, fra questi, lo studio delle costanti generate dalle serie alternate, che vedremo nel cap. XV. Ma l’utilità principale della funzione ( )aelD si trova principalmente in un campo della matematica che si chiama Teoria Dell'Interferizzazione (TDI), che ho ideato in gioventù, ma della quale per ora non ho pubblicato risultati. La TDI è nata dalla necessità di semplificare le formule che operano sugli interi. In pratica si cerca di ridurre più formule ad una sola. Ad esempio se esiste per un dato problema, una formula per i numeri pari e una per i numeri dispari, si cerca di crearne una che sia valida per tutti i numeri naturali. In questo libro mi limiterò a dare solo alcuni accenni della TDI, per la quale in passato ho fatto molti studi. Essa sarà discussa per esteso in uno dei prossimi libri che riguardano un argomento per il quale ho dedicato venti anni della mia vita: la Teoria Delle Onde Numeriche e Antinumeriche. In questa teoria propongo un nuovo metodo generale per affrontare alcuni problemi matematici. Vediamo alcune applicazioni della TDI. Si voglia trovare una funzione ( )P n che per n pari dia un valore intero m1, e per n dispari m2 (33). Per risolvere questo problema, associamo ad m1 la successione (69) e a m2 la (71)
→
→
→ 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15...5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7 5 7...1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0.
n
P
m
→ ... 2
..0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1m
(73) avremo
136
1 21 1
2 2 2 2( ) ( ) ( )n n n n
s nP m mε ε− −
− − + − − = i i
Si voglia poi trovare una funzione che ripeta in modo continuo tre cifre diverse in funzione di n, come in figura (74). Associamo alla successione tre altre successioni derivate dalla (68), di cui la prima al numero 1m , la seconda a 2m e la terza a 3m
→
→
→ 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15...4 9 1 4 9 1 4 9 1 4 9 1 4 9 1 4...1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1.
n
P
m
→ ...
→ ...
2
3
..0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 00 0 1 00 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0
m
m
(74)
1 2 31 1 2 2
3 3 3 3 3 3( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n
s nP m m mε ε ε− − − −
= − − + − − − − += i i i
Possiamo estendere il problema e trovare una funzione di n per una successione ripetitiva di a cifre diverse fra di loro. Esempio
→
→ ...
→ 1
(a-1) (a+1)(a+2)(a+3)(a+4) (2a-1)0 1 2 3 4 .. a .. ... 7 5 3 8 1 .. 9 7 5 3 8 1 .. 91 0 0 0
n
P
m
...
→ ...
→
2
3
0 .. 0 1 0 0 0 0 .. 00 1 0 0 0 .. 0 0 1 0 0 0 .. 00 0 1 00
m
m
...
.............................. ........................................................................
→
.. 0 0 0 1 0 0 .. 0
0am .. ... 0 0 00 1 0 0 0 0 0 .. 1
1 21 1 1 1
( ) ...( ) ( ) ( )an n n n n a n a
a a a a a as n mP m mε ε ε
− − − + − + − − + − − − −
+ += ii i
Che si può anche scrivere
1
0
( 1)( ) ( )[ ]a
j
jn j n j
a as nP m ε
−
=
+− −
− − =∑ i
Può darsi che questa formula possa essere ulteriormente semplificata, ma certo non è compito facile. Per avere una successione similare alla (66) nella quale i valori (+1) si alternano ai valori di (-1) + − +( 1)0000..( 1)0000..( 1)0000.. Si procede così. Iniziamo a raddoppiare gli zeri raddoppiando a 1000000000..1000000000..1000000000.. con la funzione
137
( )
2 2el n
n nD
a a
εΩ
− = −
(75) invertiamo poi +1 con -1
ε
−Ω
− = − −
( )
2 2el n
n nD
a a
− − −( 1)000000000..( 1)000000000..( 1)000000000.. Sfasando il posto delle unità negative e posizionandole sulla metà degli zeri si ha la successione − − −0000 10000..0000 10000..0000 10000.. con
ε−
Ω − − −
= − −
( )2 2
el nn a n a
Da a
da cui sommando questa con la successione (75) otteniamo la successione cercata
ε ε
±Ω − − − −
= − − −
( )2 2 2 2
neln n n a n a
Da a a a
(76)
+ − + −( 1)0000..( 1)0000..( 1)0000..( 1)0000.. Per spostare le unità mantenendo invariata la loro distanza, utilizziamo il vettore r
ε ε
±Ω − − − + − + − −
= − − −
( )2 2 2 2
neln r n r n a r n a r
Da a a a
Se r è positivo le unità si spostano a destra lungo la retta della successione, se r è negativo si spostano a sinistra. Per ogni variazione di r multipla di a, la successione ritorna ad essere la stessa. Per = 1a si ha
ε ε±
− − − − = − − − =
−( )
1 12 2 2 2
( 1)el nnn n n n
D
cioè la successione + − + − + − + − + −( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)..
Funzione Del per i numeri reali Se la variabile R è un numero reale, e vogliamo ottenere la successione 101010101010101010101.. in modo tale che siano rispettati i limiti
138
< ≤ →
< ≤ →
< ≤ →
< ≤ →
0 12 0
2 3 13 4 0
R b
b R b
b R b
b R b
< ≤ →
< ≤ →
< ≤ →
< ≤ →
4 5 15 6 06 7 17 8 0
b R b
b R b
b R b
b R b
Suddiviso ciascuno in un intervallo b. La successione in questo caso viene prodotta da
ε
ε
−
+ − = − − =
2( )1 ( 1)
2 2 2
R
b
el R
R R
b bD (77)
Se a è un intero, e R e b numeri reali, con la funzione
ε
= − − −
( )ela R
R R
b bD
a a ε< ≤1
0a
(78)
si ha la successione
−a-1 (a),(a+1),(a+2) (2a-1) (2a),(2a+1),(2a+2) (3 1)( ),0, 1, 2 ,... ,... ,../ ,..., ,
1, 0, 0, ... 0, 1, 0 , 0, ... 0, 1, 0 , 0, ... 0,..aR B
Del
Tutte le funzioni appena viste hanno delle funzioni corrispettive nel campo della trigonometria (cioè che danno gli stessi risultati); ma a differenza di queste sono molto più semplici. Ad esempio la successione
0,1,2, 3,4,5, 6,7,8, 9,10,11, 12
( ) 1,1,1, 2,2,2, 3,3,3, 4, 4, 4, 5,...
n
t n
→
→
viene descritta a pagina 94 del libro: “Le sequenze dei numeri interi” (editrice Hoepli), dalla funzione di P. Barry,
0
2 3 2 ( )( ) ( 1)cos[ ]
3 3 6
n
k
n kt n k
π π
=
−= + +∑
per la quale ( ; )n k sono interi. Ma si può però ottenere la stessa successione con la semplice funzione
( ) 13
nt n
= +
Un’altra successione di P. Barry
139
0
( ) 1( ) ( 1)cos[ ] [2cos( ) 1 ( 1) ] 1
2 4 2
nn
k
n k nt n k
π π
=
−= + + + + − −∑
genera la successione dei numeri dispari ripetuti quattro volte
0,1,2, 3, 4,5, 6,7, 8, 9,10,11, 12...
( ) 1,1,1, 3,3,3,3, 5, 5, 5, 5, 7, ...
n
t n
→
→ 1,
Ma forse è più semplice utilizzare
( ) 1 24
nt n
= +
i
A volte dunque, basta studiare i problemi con un'altra ottica, per arrivare a soluzioni più semplici e risultati più interessanti. Questa particolarità della matematica ci rivela qual è la sua natura: la semplicità. Se ora operiamo in un contesto più generale, e vogliamo realizzare la successione dei numeri naturali ripetuti a volte
0,1,2, 3, 1), , (3 1),
( ) 1,1,1, 3, 3, 3,
n a a a a a a a
t n
→ .. , ( − ( +1),...(2 −1), (2 ), (2 +1),..., −
→ 1, ..., 1, 2, 2, ... 2, ...
la formula è ( ) 1n
t na
= +
Per la successione dei numeri pari (ripetuti a volte)
0,1, 2, 3, 1), , (3 1),
( ) 2, 2, 2, 6, 6, 6,
n a a a a a a a
t n
→ .. , ( − ( +1),...(2 −1), (2 ), (2 +1),..., −
→ 2, ..., 2 4, 4, ... 4, ...
Si ha ( ) 2 1 )( nt n
a
= + i
Per la successione dei dispari (a volte)
0,1,2, 3, 1), , (3 1),
( ) 1,1,1, 5, 5, 5,
n a a a a a a a
t n
→ .. , ( − ( +1),...(2 −1), (2 ), (2 +1),..., −
→ 1, ..., 1 3, 3, ... 3, ...
abbiamo ( ) 1 2n
t na
= +
i
Funzione ERF
Uno dei pochi casi in cui la funzione di base è uguale alla funzione reale è quello della funzione ERF:
→∞=
−= =−∑ℤ494
1
0,161999047947126363532308322455797170752..lim ( )[ ]z
zn
ERF n z
140
π
−
→∞=
−= −− =∑ℤ i
2
495
1
0,161999047947126363532308322455797170752..lim ( ) ( )[ ]zz
zn
eERF n z erf z
→∞=
= =−∑ℤ496
1
0,29360003..1 log
lim ( )0,886226990..
[ ]z
zn
zERF
n
→∞=
+= =−∑ℤ497
1
1/ ( ) 0,006598712118577101034007308509834132498582.
.439188431647138..
( 1)lim
2[ ]
z
zn
erf n z zn
→∞=
= =−∑ℤ498
1
1lim 0,191382628839711223566861153..
( )[ ]
z
zn
zERF n
→∞=
= = −− +∑ℤ499
1
0,29360003..1 log
lim ( )0,886226990..
[ ]z
zn
zERFC
nz
Funzione Digamma
ψ→∞
=
= −− −∑ i i i369
1
1 1lim ( ) log
2log[( 1)!][ ]
z
zn
I a n za
a z
es:
ψ→∞
=
= = −− +∑ℤ500
1
1lim ( ) log 0,418938533..
2log( !)[ ]
z
zn
n zz
ψ→∞
=
= =−− −∑ iℤ501
1
1 1lim (2 ) 2 log 0,4546..
2 2log[( 1)!][ ]
z
zn
n zz
ψ→∞
=
= =−− −∑ iℤ502
1
1 1lim (7 ) 7 log 0,882631707....
7 2log[( 1)!][ ]
z
zn
n zz
ψ→∞
=
= −− −∑ i370
1
1lim ( ) log
2log[( 1)!][ ]
z
zn
nI a z
a a
z
es:
ψ→∞
=
= = −−− −∑ℤ503
1
1lim ( ) 5 log 11,476724487....
5 5 2log[( 1)!][ ]
z
zn
nz
z
Vediamo ora alcune costanti che non derivano da serie o integrali
ψ γ→∞
= − +i i371 lim [ ( )] ( ) z
a zI z z
z a
es:
ψ γ→∞
== − +i iℤ504 8,2246703342411321823620758332301259460947495060339921886..5
lim ( ) ( )5z
zz z
z
ψ γ→∞
== − +i iℤ505 18,09427473533049080119656683310627708140844891327478281..11
lim ( ) ( )11z
zz z
z
Con a numero reale si ha
141
ψ→∞
= −i372 lim ( ) log z
I a z z
ψ→∞
= − =ℤ506 lim (311 ) log 5,739792..z
z z
ψ→∞
= −373 lim ( ) log z
zI z
a
ψ→∞
= − = −ℤ507 lim ( ) log 1,945910149055..7z
zz
Funzione di Fibonacci
φ→∞=
= − =−∑ℤ508
1
1 loglim 0,37708416..
2,010682079..( )[ ]
z
z nn
z z
Fibonacci n
dove φ+
=5 12
è la sezione aurea.
φ→∞=
= =−∑ℤ509
3
1 loglim 0,179624844..
log[ ( )] log[ ]
z
zn
z
Fibonacci n
dove log 0,481211825059603447497758913424368..φ =
→∞=
= =−∑ℤ510
1
1/ ( ) 3,4001437654231426772909801485024792..lim [ ]z
zn
Fibonacci nn z
→∞=
−= =−∑ℤ 1/ ( )511
1 [ ( )]1,73906465377100628181..
1lim [ ]
Fibonacci n
z
zn
Fibonacci nz
→∞=
−= =−∑ℤ 1/ ( )512
1 [ ( )]0,843156090791932020136096992522..
1lim [ ]
Lucas n
z
zn Fibonacci n
z
→∞=
−= =−∑ℤ 1/ ( )513
1 [ ( )]1,754823573364202839060347233879213826..
1lim [ ]
Pell n
z
zn
Fibonacci nz
→∞=
−= =−∑ℤ1/ ( )
514
1
0,05046157713917954984455461240968945194121486125..[ ( )]lim z Pell n
zn
Fibonacci n z
Funzione di Lucas
φ
→∞=
= − =−∑ iℤ515
2
0,3507322672841311349.
.43330416965308044748977249..
( )
1lim ( 1)[ ]
z
z nn Lucas n
z
142
dove 5 11
2φ
−− =
φ→∞=
−= =−∑ℤ516
2
0,983223373..( )
1 loglim
log[ ] log[ ]
z
zn Lucas n
z
→∞=
= =−∑ℤ517
1
1/ ( ) 1,25342565188860252.
.179063110309259629085716969535955527245..
lim [ ]z
zn
Lucas nn z
Funzione di Eulero
→∞=
= + + =∑ℤ518
2
1 loglim ( ) 1,2077..
4,13971124..[ ]
z
zn
EULERz
zn
→∞=
= − = −−∑ℤ519
2
1 loglim ( ) 0,219091516..
4,13971124..log[ ]
z
zn
EULERz
n
→∞=
= − = −∑ℤ520
2
1/ (1/ )lim 0,2327..log[ ]z
zn
Euler nn z
→∞
= +i374 lim [ ( )] z
aI z Euler z
z
es:
→∞= + = −iℤ521
7lim[ ( ) ] 1,690951326893433112837..z
z Euler zz
Funzione di Pell
→∞=
= − = −+
−∑ℤ522
2
1 loglim 0,21078167..
1,25669596..( ) 1 2[ ]
z
z nn
z z
Pell n
→∞=
= =+
−∑ℤ523
3
1 loglim 1,100616..
log ( ) log(1 2)[ ]
z
zn
z
Pell n
→∞=
= =−∑ℤ524
2
1/ ( ) 1,3088952479361590.
.27433373842432946559585105328717664723..
lim [ ]z
zn
Pell nn z
Funzione Catalan(n)
→∞=
= − =∑ℤ525
1
1/ ( ) 0,823412245356850534506016305691194462875476228..lim [ ]z
zn
Catalan nn z
143
Funzione Bell(n)
→∞=
= − =∑ℤ526
1
1/ ( ) 0,7999213238372962.
.8084081751312400976633012426009824303..
lim [ ]z
zn
Bell nn z
Funzione potenza
→∞=
−= − =∑ℤ3
527 31
(1/ ) 0,552748734..1
lim [( ) ]z
zn
n
nz
→∞=
= − =∑ℤ3
528
1
(1/ ) 0,20322045..lim ][z
zn
nn z
Funzione zeta(n)
ζ
→∞ =
= −∑ i( )
375
2
lim [ ] z
n
zn
I a a z
es: ζ
→∞=
= =−∑ iℤ( )
529
2
0.780579231180330868990518..lim [ ]z
n
zn
e e z
ζ
→∞=
= =−∑ℤ( )
530
2
1,3588307141505289584835..lim 3[3 ]z
n
zn
z
Poi la illary
ζζ
→∞ =
= −∑ i( )( )
376
2
lim [ ]nz
n
zn
I aa z
Ad esempio ζζ
→∞ =
= =−∑ℤ( )
531
2
0,6769771983507049389231551565489..lim ( )[ ]z
n
zn
n z
ζζ
→∞ =
= =−∑ℤ( )( )
532
2
..2 1,41860470443626955099lim [2 ]nz
n
zn
z
ζζ
→∞ =
= =−∑ℤ( )( )
533
2
..7,564462522404745783881754821lim 3[3 ]nz
n
zn
z
ζζ
→∞ =
= =−∑ℤ( )( )
534
2
..17,75848464911064084888279616lim 4[4 ]nz
n
zn
z
ζζ
→∞ =
= =−∑ℤ( )( )
535
2
..32,26960910499863997321877606lim 5[5 ]nz
n
zn
z
Poi
ζ→∞
=
−= =−∑ℤ2
536
2
0,9156530613853137292..lim ( )[ ]z
zn
n z
ζ→∞
=
= Γ −=−∑ℤ537
3
lim [ ( )] 1,33772281155913537.. z
zn
n z
144
ζ
Γ
→∞=
−= =−∑ℤ
( )
538
2
57,52953463253331713631198..1
lim( )
[ ]z n
zn n
z
Partizioni Parts(n)
π→∞
= − + = −ℤ5392
lim log[ ( )] log 1,935600853166..3x
Parts x z z
→∞=
= − =∑ℤ540
1
1/ ( ) 2,179747162584059419195610964293..lim [ ]z
zn
Parts nn z
Numeri Primi
→∞=
− =∑2
loglim log [ ( )] 0,013..
0,4573..
z
zx
z p x
Serie Armonica Generalizzata
La serie armonica generalizzata
∞
=
∑1
1( )s
n n
ha nel piano cartesiano questo grafico
L’area sottesa dalla curva nel piano positivo è
=→∞=
= − =∑∫ℤ5411
1
1,727..1
lim ( )[ ] zz
sszn
sdn
z
Funzione parte intera.
→∞=
=+
− ∑377
3
1lim log[ ]
z
zn
cI z
an b a
c
→∞=
= = −+
−∑ℤ542
3
1 11lim log 3,13298211266..
3 7 311
[ ]z
zn
zn
mentre
145
→∞=
= = −+
−∑ℤ543
3
11 11lim log 4,937..
3 7 3( )
z
zn
zn
→∞=
= = −−∑ℤ544
3
11 11lim log 1,55020..
3 3( )
z
zn
zn
Vediamo ora altre costanti non derivate da serie o integrali.
Funzione Superesponenziale (Spe) La funzione
→∞
21
... )( )( )0lim ( )[ ]
zRRR
zR
(79)
per un numero illimitato di esponenti ( )z → ∞ , verrà identificata in seguito, come Funzione Superesponenziale Complessa (Spec). Per questa funzione sia la base 0( )R che gli esponenti 1 2( , ,.... )zR R R , sono numeri reali.
Ad esempio se 1
zRN
= dove N sono i numeri naturali (esclusa l’unità), e
consideriamo un numero dispari di potenze (base esclusa), si ha
→∞== ℤ
1...( )1
( )41
( )3545 0,6584523634..
1lim ( )
2[ ]
z
z
Per un numero pari di potenze
→∞== ℤ
1 ....( )1( )3546 0,6903089373..
1lim ( )
2[ ]
z
z
Al posto della successione dei numeri naturali nella precedente Spec, si possono utilizzare molte altre successioni. Se siete interessati a studiare queste funzioni, provate le successioni di Neil Sloane dell’ OEIS. Naturalmente penso che non le proverete tutte, poiché ad oggi mentre scrivo, sono all’incirca 250.000! Se però questo accadesse, avremmo un elenco di 250.000 nuove costanti. Se nella funzione (79) gli esponenti sono uguali alla base, si ha la Funzione
Superesponenziale Banale (Speb)
=ℤ...RRR (80)
Utilizziamo una semplice annotazione per indicare il numero di potenze di una funzione Speb. Per z esponenti (base esclusa) si ha l’uguaglianza
146
→∞=
...
lim( )z
RR
zR R
La curva della funzione Speb nel piano cartesiano, presenta due figure diverse a seconda che sia z sia pari o dispari. La due curve nel piano negativo sono molto complesse e qui non verranno studiate. Nel piano positivo la funzione è molto semplice e interessante. Per i numeri reali x, con
1
0,0662293..15,099046..
x > =
la curva è identica per qualsiasi valore di z. Per i valori di x compresi fra 0 0,0662293..x< < la curva assume due forme diverse a seconda che sia z pari o dispari. Per z dispari la funzione vale uno per 0x = , ed è decrescente fino al valore di
0,0662293..x = , dove si incontra con la curva avente z pari. Per z pari la funzione vale zero per 0x = , ed è crescente fino al valore
0,0662293..x = Il grafico per la funzione Speb per z dispari è simile a quello della funzione
=15
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^x x x x x x x x x x x x x x xx x il cui grafico è rappresentato dalla figura (81)
(81) (82) Per z pari il grafico è simile al grafico della funzione (82)
=16
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^x x x x x x x x x x x x x x x xR x Il valore
1,4446678610097661336583391085964302230585954532422531658205226 ex e= =
147
che chiameremo 547ℤ , rappresenta il punto sull’asse x in cui la funzione superesponenziale per valori superiori a questo, non genera più costanti. Abbiamo quindi sull’asse y il valore
→∞=
= =ℤ
...( )( )548 2,4311664343785363695628406492271944124024.
.9078275832780514963274063759..
lim ( )[ ]e ee ee
ze
che chiameremo costante limite dei numeri reali positivi per la funzione Speb. Cioè per ogni numero reale R
1 e
R e> si ha
→∞
= ∞....( )( )lim ( )[ ]RR
zR
Da questo teorema si trae che, non esiste nessun numero reale per cui la funzione Speb sia pari ad un numero intero maggiore di due. Ad esempio, non esiste nessun numero reale R, tale per cui sia
→∞
=....( )( )lim ( ) 3[ ]RR
zR
o
→∞
=....( )( )lim ( ) 4[ ]RR
zR
Se invece la funzione (80) è costituita da un numero finito K di esponenti eguali fra di loro, che chiameremo: Funzione Esponenziale Superiore (Fes),
=( )...( )( )[ ]Rk
RR A (83) allora, per ogni numero A reale positivo, esiste sempre un numero Reale R che soddisfa la (83). Nella funzione Speb, per ogni numero reale R
0eR e< ≤
il limite
→∞
...( )( )lim ( )[ ]RR
zR
fornisce sempre una costante numerica. L’area sotto la curva della funzione (82) per un numero di esponenti pari (base esclusa) è data da
= = =∫ℤ ℤ
1 ....( )( )
0549 1,2968301037..lim ( )[ ]
eRe
RRRp dR
Essa fornisce un’interessante costante, che chiameremo costante pari dei
numeri reali positivi. L’area sotto la curva per la funzione (81) per un numero di esponenti dispari è
= = =∫ℤ ℤ
1 ( )....( )
0550 1,2486398495..lim ( )[ ]
e ReR
RRd dR
fornisce la costante dispari dei numeri reali positivi.
148
La loro media aritmetica fornisce la costante Principale dei numeri
reali positivi, il cui valore numerico è = =ℤ ℤ551 1 1,2727349766..R
La funzione Speb
→∞
...( )( )lim ( )[ ]x xx xx
zx
è sempre convergente per 2x ≥ , e tende a uno per z → ∞ , anche se i valori della funzione per x dispari (andamento decrescente a partire da x e= ) è diversa da quella con x pari. La funzione
++
→∞+
...( )( )lim ( ) ][ x x ax x ax
zx a
per 1a ≥ assume valore infinito, per 0a < è convergente. Possiamo scrivere
per 1a ≥ →∞
+ → ∞lim ( )z
x
zx a
0a < →∞
+ →lim ( )z
x
zx a c
Se 1
Rt
= dove 1 t≤ < ∞ la funzione Speb fornisce sempre costanti. Ad esempio
1 ...( )11
( )11
( ) 11
=
= =ℤ
1 ...( )21
( )2552 0,6411857445049859844862004..
1( )2
= =ℤ
1 ...( )31
( )3553 0,5478086216540974464505754081..
1( )3
1 ...( )41
( )41
( ) 0,54
=
= =ℤ
1 ...( )51
( )5554 0,469621922935610544117803066..
1( )5
= =ℤ
1 ...( )61
( )6555 0,4480630766465..
1( )6
= =ℤ
1 ...( )71
( )7556 0,4316941264..
1( )7
= =ℤ
1 ...( )81
( )8557 0,41867..
1( )8
149
= =ℤ
1 ...( )91
( )9558 0,40800..
1( )9
= =ℤ
1 ...( )101
( )10559 0,3990129782..
1( )10
= =ℤ
1 ...( )111
( )11560 0,3913..
1( )11
= =ℤ
1 ...( )121
( )12561 0,3845..
1( )12
= =ℤ
1 ...( )131
( )13562 0,378..
1( )13
= =ℤ
1 ...( )141
( )14563 0,3733..
1( )14
= =ℤ
1 ...( )151
( )15564 0,368..
1( )15
La funzione Speb per i numeri reali 1
xt
= , è decrescente per tutti i valori di x
compresi ≤ ≤1 15,099046..x Il minimo di questa funzione è il valore
=ℤ590 15,099046.. Tale valore fornisce anche la costante
==ℤ
590
1 ...( )
590
1( )
565590
0,3681266535..1
( )z
z
z
Il primo valore intero di x che fornisce due costanti diverse è quindi il 16. Per un numero pari e illimitato di esponenti (base esclusa) si ha
=
1 ...( )161
( )16 0,25
1( )16
per un numero dispari
=
1( )1 ...16( )
161( )16 0,5
1( )16
Altri esempi della funzione Speb. Per un numero di esponenti sia pari che dispari, si hanno i seguenti limiti
150
→∞= =ℤ
...( 2 )( 2)566 lim ( 2) 2[ ]
z
→∞= ∞
...( 3)( 3)lim ( 3)[ ]z
→∞= =ℤ
...3( 3)3( 3)3567 2,48183218..lim ( 3)[ ]
z
→∞∞=
...3( 4 )3( 4)3lim ( 4)[ ]z
→∞==ℤ
...4( 4 )4( 4)4568 1,2694154073097..lim ( 4)[ ]
z
→∞= ∞
...4( 5)4( 5)4lim ( 5)[ ]z
→∞
= =ℤ
...5( 5)5( 5)5569 1,76492191..lim ( 5)[ ]
z
La ℤ566 è un risultato spettacolare, poiché è l’unico caso in cui la radice di un numero intero, utilizzato nella funzione Speb, produce un intero positivo, che è lo stesso della funzione principale.
Si ha inoltre
→∞
==ℤ
...(log2)(log2)570 0,75755822637006326262298680773446.
.52926432603953620530492345606584..
lim (log2)[ ]z
→∞==ℤ
...(log3)(log3)571 1,1100409913691264..lim (log3)[ ]
z
Abbiamo poi la funzione limite Spec seguente
→∞→
1 1( )21
( )... 3 01
lim ( )[ ]z z
che sembra tendere a zero. FRAZIONI CONTINUE
La funzione
+
+
++
11
11
...
x
xx
x
(84)
per un numero illimitato di frazioni continue genera altre costanti relative ai numeri reali. La figura geometrica della funzione in oggetto è
151
L’area descritta dalla funzione nel quadrante positivo ha un valore finito, che si calcola con
∞
+= = =
+
+
++
∫ℤ ℤ5720
31,7134119..1
11
1...
( ) xR d
x
x
xx
Anche l’area descritta dalla funzione in oggetto nel quadrante negativo rispetto agli assi cartesiani, genera una superficie di valore finito, e pari a
−∞−= = =
+
+
++
∫ℤ ℤ0
573 31,5310904..1
11
1...
( ) xR d
x
x
xx
La superficie totale è quindi
= =ℤ ℤ574 2 62,244502..R che chiameremo costante N° due dei numeri reali positivi.
CAP XIII - SERIE ESPONENZIALI La serie seguente
2 43 5
1
lim(1 2 3 4 5 .... )( )j j
jj
j j=∞
=
∞
= + + + + + +∑
(85) dà origine a una delle costanti più interessanti e spettacolari di questo libro, la cui funzione antagonista è condivisa da molte altre serie algebriche e trigonometriche che vedremo in questo libro e nei prossimi.
152
→∞=
= − =−∑ℤ
2
575
1
(log )lim 0,988550589905...
2( )j
zj
z zj z
Il relativo integrale
=→∞= − − =∫ℤ
2
5760
(log )lim ( ) 0,066084907..
2
zj
jzn
zj d z
La serie (67) per i soli radicali dispari
+
=∞=
∞ −+ = + + + + +∑ 73 52 1
0
12 1 lim(1 3 5 7 ... )
2( )j z
jj
zj (86)
fornisce la costante
−
+
→∞=
−− −
= + − − =−∑ℤ i
1 22
2 1577
0
1[log( )]1 1 12lim ( 2 1) log2 log( ) 1,5203..
2 4 2 2
z
j
zj
zz z
j
E l’integrale
−+
=→∞
−− −
= + − − =−∫ℤ i
21
2 125780
1[log( )]1 1 12lim ( 2 1) log2 log( ) 0,65350143035..
2 4 2 2
zj
jz
zz z
j
Per i radicali pari
+
=∞=
∞ −+ = + + + + +∑ 2 4 6 82 1
0
22 1 lim( 2 4 6 8 ... )
2( )j z
jj
zj (87)
da cui la costante
−
+
→∞=
−− −
= + − − =−∑ℤ i
2 22
2 2579
0
2[log( )]2 1 22lim ( 2 2) log2 log( ) 1,708..
2 4 2 2
z
j
zj
zz z
j
E l’integrale
−+
=→∞
−− −
= + − − =−∫ℤ i
22
2 225800
2[log( )]2 1 22lim ( 2 2) log2 log( ) 0,514975763..
2 4 2 2
zj
jz
zz z
j
Introducendo nella funzione (85) un numero intero positivo b, si ottiene il limite 32lim (1 2 3 .... )z
zb b b z b
→∞+ + + + + + + +
(88) da cui si ricava la illary
→∞=
= + −− −∑2
378
1
(log )lim )
2([ ]j
zj
z zI b j b z
Per 1b = e 2b = [ =[ ( 1;2)]di solito scriveremo b la 378I fornisce le costanti
153
→∞=
= + − =− −∑ℤ
2
581
1
(log )lim 1 1,7974..
21( )j
zj
z zj z
→∞=
= + − =− −∑ℤ
2
582
1
(log )lim 2 2,5004..
22( )j
zj
z zj z
La serie Armonica Radicale
2 43 5
1
1 1 1 1 1 1 1lim ( .... )
1 2 3 4 5( )
zj zj j z→∞=
∞
= + + + + + +∑
(89) è pure divergente. Essa genera la costante
→∞=
= − + =∑ℤ
2
583
1
1 (log )lim 1,0089..
2( )
jzj
z zz
j
Si può notare che nella ℤ575 il segno davanti a 2(log )
2z
è positivo, mentre nella ℤ583 è negativo. Questo fatto fa pensare che le serie abbiano proprietà analoghe ai logaritmi, i quali trasformano prodotti in somme, e frazioni in differenze. Abbiamo anche
=→∞= − + = −∫ℤ
2
5841
1 (log )lim ( ) 0,05940453777..
2
z
jjzn
zd z
j
La serie Armonica Radicale per gli interi dispari
→∞
=
∞
= + + + + +∑ 73 51
1 1 1 1 1 1lim ( .... )
1 3 5 7( )
zj zj j z
(90) è divergente. Si hanno i limiti
−
+→∞=
−− −
= + + =+
−∑ℤ i
1 22
5852 1
0
1[log( )]1 1 1 12lim ( ) log2 log( ) 1,4528..
2 4 2 22 1
z
jzj
zz z
j
−
= +→∞
−− −
= + + =+
−∫ℤ i
1
2
0
2
5862 1
1[log( )]1 1 1 12lim ( ) log2 log( ) 0,350516371..
2 4 2 22 1
z
j jzn
zz z
dj
La serie Armonica Radicale per gli interi pari
→∞
=
∞
= + + + +∑ 4 61
1 1 1 1 1lim ( .... )
2 4 6( )
zj zj j z
(91) è pure divergente. Si ha
154
−
=+→∞
−− −
= + + =+
−∑ℤ i
2
2
0
2
5872 2
2[log( )]1 2 1 22lim ( ) log2 log( ) 1,3157..
2 4 2 22 2
z
jjz
zz z
j
e
−
= +→∞
−− −
= + + =+
−∫ℤ i
2
2
0
2
5882 2
2[log( )]1 2 1 22lim ( ) log2 log( ) 0,455480731..
2 4 2 22 2
z
j jzn
zz z
dj
Poi abbiamo
→∞=
= − + − = −∑ℤ i589
2
1lim log [log(log ) 1] 1,706497216..
log( )
jzj
z
z z zj
=→∞= − + − = −∫ℤ i590
2
1lim ( ) log [log(log ) 1] 2,84808255..
log
z
jjzz z z
j
Introducendo nella (90) al denominatore il valore costante a , si presentano due casi diversi. Il primo produce la funzione
1
1lim ( )
jzj
z
a j→∞= +∑
(92) che porta alla funzione generatrice di costanti
→∞=
= − ++ ++
∑379
1
21 1 loglim
1 2 1( ) ( )[ ]
jzj
z z zI
a aa j
Per =( 1;3)a genera le costanti
→∞=
= − + = −+
∑ℤ2
591
1
1 1lim log / 2 0,02592..
2 21( ) )(
jzj
z zz
j
→∞=
= − + = −+
∑ℤ2
592
1
1 1lim log / 4 0,02587..
4 23( ) ( )
jzj
z zz
j
L’unico valore positivo della funzione 379I si ha per a=0. Il limite estremo per a → ∞ è
2
1
1 1 loglimlim 0
1 2 1( ) ( )
ja zj
z z z
a aa j→∞ →∞=
− + =+ ++
∑
La sommatoria di tutte le costanti generate dalla 379I per =[ 1;2;3;4;..; ]a R è
→∞ →∞= =
= − + = −+ ++
∑ ∑ℤ2
593
1 1
1 1 loglim lim ] 0,177896..
1 2 1[ ( ) ( )
R
jR za j
z z z
a aa j
E se consideriamo nella sommatoria anche a=0 si ha =ℤ593 ' 0,831..
155
→∞=
= − = −+
∑ℤ594
1
1lim log 0,5455..( )
jzj
z
zj j
Più in generale abbiamo
→∞=
= − ++ ++
∑ i2
380
1
1 loglim ( ) ( )
1 2 1[ ]
z
j kzj
z k zI
a aa j
es:
→∞=
= − + = −+
∑ℤ i2
5953
1
1 3 loglim ( ) ( ) 0,1619..
6 2 65
z
jzj
z z
j
Il secondo caso è dato dalla funzione
1
1lim ( )
jzj
z
j a→∞= +∑ (93)
che conduce alla illary
→∞=
= − ++
∑2
381
1
1 (log )lim
2( )[ ]
jzj
z zI z
j a
Per =( 1;2)a si ha
→∞=
= − + =+
∑ℤ
2
596
1
1 (log )lim 0,10906..
21( )
jzj
z zz
j
→∞=
= − + =+
∑ℤ
2
597
1
1 (log )lim 0,362..
22( )
jzj
z zz
j
Più generale è
→∞=
= − ++
∑ i2
382
1
1lim ( ) (log )
2[ ]
z
j kzj
kI z z
a j
ad es:
→∞=
= − + =∑ℤ
2
5982
1
1lim ( ) log 3,6844044..( )
z
jzj
z zj
→∞=
= − + =+
∑ℤ i
2
5994
1
1lim ( ) 2 log 12,0763574..
11( )
z
jzj
z zj
Dalla serie esponenziale
1
( )j
j
a∞
=
∑ (94)
dove a è un intero positivo, si passa alla illary
156
→∞=
= − − −∑ i383
1
lim ( ) log log[ ]z
j
zj
I a a z a z
I primi 7 valori interi di a, portano alle costanti negative
→∞= + + + + − − − = −ℤ i
32600 lim (2 2 2 .... 2) 2 log2 log 1,126051947..z
zz z
→∞= + + + + − − − = −ℤ i
32601 lim (3 3 3 .... 3) 3 log3 log 1,025091560..z
zz z
→∞= + + + + − − − = −ℤ i
32602 lim (4 4 4 .... 4) 4 log4 log 0,862256139..z
zz z
→∞= + + + + − − − = −ℤ i
32603 lim (5 5 5 .... 5) 5 log5 log 0,6780100283..z
zz z
→∞= + + + + − − − = −ℤ i
32604 lim (6 6 6 .... 6) 6 log6 log 0,4866922380..z
zz z
→∞= + + + + − − − = −ℤ i
32605 lim (7 7 7 .... 7) 7 log7 log 0,2943393711..z
zz z
→∞= + + + + − − − = −ℤ i
32606 lim (8 8 8 .... 8) 8 log8 log 0,1037243468..z
zz z
Per tutti i valori interi di 9a ≥ le costanti sono positive. La funzione 383I si annulla per un valore reale di a approssimato a =ℤ607 8,55.. Il valore esatto si può calcolare dall’uguaglianza
3 52 4lim ( .... ) log log 0z
za a a a a a a z a z
→∞+ + + + + + − − − =i
Casi particolare della 383I sono
→∞= + + + + − − − = −ℤ
32608 lim ( ..... ) log 1,062877433981..z
ze e e e e z z
π π π π π
→∞= + + + + − − − = −ℤ
32609 lim ( ..... ) log 1,00434086734902..z
zz z
Non è nota la funzione antagonista della sommatoria delle costanti generate dalla funzione 383I ; cioè della serie doppia
2 1
lim ( )z z
j
za j
a→∞
= =
∑∑
Se a è un numero reale positivo la 383I è ugualmente valida. Esempio
→∞=
= =− +∑ℤ i610
1
1lim [ ] log[log(2)] log 0,3327788..
log(2)
z
z nn
zz
157
→∞=
= = −− +∑ iℤ611
1
1lim log[log(3)] log 0,0471744..
log(3)[ ]
z
nz
n
zz
→∞=
= = −− −∑ iℤ612
1
lim [ log(2)] log[log(2)] log 0,11017770044..z
n
zn
zz
→∞=
= =− −∑ iℤ613
1
lim log(3) log[log(3)] log 0,06173..[ ]z
n
zn
zz
→∞=
= =− −∑ iℤ614
1
loglog[log(3)]lim log[log(3)] log 1,5386.. z
n
zn
zz
→∞=
= =− −∑ iℤ615
1
loglog[log(16)]lim loglog[log(16)] log log 4,2221.. z
n
zn
zz
→∞=
=
=
+
−
−
∑
i
ℤ616
1
logloglog[log(3814280)]
loglog loglog[log(3814280)] 48,35231..
lim
log
z
n
zn
z
z
Si può semplificare la scrittura della funzione log multipla con un semplice simbolismo; ad esempio se la funzione log è ripetuta s volte sulla variabile x, possiamo scrivere
=log( ) log...loglog[log( )]...s x x (s logaritmi) per 4s = 4log( ) logloglog[log( )]x x= La costante precedente si può scrivere
→∞=
= =− −∑ iℤ4 5
617
1
48,35231..log(3814280) log(3814280)lim log[ ]z
n
zn
zz
I numeri x delle precedenti costanti
→ − − − − − − − − −
→ − − − − − − − − ≈ −1656520
1 2 3 4 5
1 3 16 3814280 2,33150439.10x
s
appartengono ad una interessante successione: essi sono i più piccoli valori interi per i quali la funzione logaritmo multiplo ha un valore reale. Si ha quindi
( 1)log 0 logs sx x+ < < Penso sia praticamente impossibile calcolare il valore della costante per il quinto termine di questa successione (anche con l’aiuto di computers potenti):almeno nel momento in cui scrivo. Abbiamo anche
=
= = −−∑ℤ618
11,4460042063298014283314282933777963186496994771600799..( loglog3)n
zn
j
z
158
La funzione (76) per i soli radicali dispari è
−
+
→∞=
− −= − − −∑ i
1
22 1
384
0
1 1 1lim ( ) log( ) log( )
2 2 2[ ]
z
j
zj
z zI a a a
es:
→∞
− −= + + + + − − − = −ℤ i
3 5619
1 1 1lim (2 2 2 .... 2) 2 log2 log( ) 0,453482..
2 2 2Z
z
z z
→∞
− −= + + + + − − − = −ℤ i
3 5620
1 1 1lim (3 3 3 .... 3) 3 log3 log( ) 0,366606..
2 2 2Z
z
z z
→∞
− −= + + + + − − − = −ℤ i
3 5621
1 1 1lim (4 4 4 .... 4) 4 log4 log 0,275260..
2 2 2Z
z
z z
→∞
− −= + + + + − − − = −ℤ i
3 5622
1 1 1lim (5 5 5 .... 5) 5 log5 log( ) 0,186148..
2 2 2Z
z
z z
→∞
− −= + + + + − − − = −ℤ i
3 5623
1 1 1lim (6 6 6 .... 6) 6 log6 log( ) 0,100821..
2 2 2Z
z
z z
→∞
− −= + + + + − − − = −ℤ i
3 5624
1 1 1lim (7 7 7 .... 7) 7 log7 log( ) 0,0194882..
2 2 2Z
z
z z
→∞
− −= + + + + − − − =ℤ i
3 5625
1 1 1lim (8 8 8 .... 8) 8 log8 log( ) 0,058038..
2 2 2Z
z
z z
In particolare
→∞
− −= + + + + − − − = −ℤ i
3 5626
1 1 1lim ( .... ) log( ) 0,39210..
2 2 2Z
z
z ze e e e e
La funzione precedente si annulla per un valore approssimato pari a =ℤ642 7,24..
Per 8a ≥ le costanti della illary 384I sono sempre positive. Per i radicali pari
−
+
→∞=
− −= − − −∑ i
2
22 2
385
0
2 1 2lim ( ) log( ) log( )
2 2 2[ ]
z
j
zj
z zI a a a
es:
→∞
− −= + + + + − − − = −ℤ i
64627
2 1 2lim ( 2 2 2 .... 2) 2 log2 log( ) 0,69212..
2 2 2Z
z
z z
→∞
− −= + + + + − − − = −ℤ i
64628
2 1 2lim ( 3 3 3 .... 3) 3 log3 log( ) 1,3969..
2 2 2Z
z
z z
→∞
− −= + + + + − − − = −ℤ i
64629
2 1 2lim ( 4 4 4 .... 4) 4 log4 log 2,12604..
2 2 2Z
z
z z
→∞
− −= + + + + − − − = −ℤ i
64630
2 1 2lim ( 5 5 5 .... 5) 5 log5 log( ) 2,87621..
2 2 2Z
z
z z
e in particolare
→∞
− −= + + + + − − − = −ℤ i
64631
2 1 2lim ( .... ) log( ) 1,19588..
2 2 2Z
z
z ze e e e e
159
La somma degli inversi della (76) è
3 52 41
1 1 1 1 1 1 1lim ( .... )
z
jzzjb b b b b b b→∞=
+ + + + + + = ∑ (95)
e ci porta alla illary
→∞=
= − +∑ i386
1
1lim ( ) log log[ ]
z
jzj
I z b zb
Per =( 2;3;4;5)b si hanno le costanti
→∞
= + + + + − + =ℤ i63232
1 1 1 1lim ( .... ) log2 log 0,062488..
2 2 2 2zzz z
→∞= + + + + − + =ℤ i633
32
1 1 1 1lim ( .... ) log3 log 0,146899..
3 3 3 3zzz z
→∞= + + + + − + =ℤ i634
32
1 1 1 1lim ( .... ) log4 log 0,377352
4 4 4 4zzz z
→∞= + + + + − + =ℤ i635
32
1 1 1 1lim ( .... ) log5 log 0,595401..
5 5 5 5zzz z
poi
→∞=
= − + = −∑ iℤ636
1
1lim ( ) logln3 log 0,0471744..
ln3
z
jzj
z z
Per i radicali dispari, la (77) porta alla illary
−
+→∞=
− −= − +∑ i
1
2
3872 1
0
1 1 1 1lim ( ) log log( )
2 2 2[ ]
z
jzj
z zI b
b
→∞
− −= + + + + − + =ℤ i637
3 5
1 1 1 1 1 1 1lim ( .... ) log2 log( ) 0,066047..
2 2 2 22 2 2Zz
z z
→∞
− −= + + + + − + = −ℤ i638
3 5
1 1 1 1 1 1 1lim ( .... ) log3 log( ) 0,016204..
3 2 2 23 3 3Zz
z z
→∞
− −= + + + + − + = −ℤ i639
3 5
1 1 1 1 1 1 1lim ( .... ) log4 log( ) 0,021065..
4 2 2 24 4 4Zz
z z
→∞
− −= + + + + − + = −ℤ i640
3 5
1 1 1 1 1 1 1lim ( .... ) log5 log( ) 0,00022371..
5 2 2 25 5 5Zz
z z
→∞
− −= + + + + − + =ℤ i641
3 5
1 1 1 1 1 1 1lim ( .... ) log6 log( ) 0,03048..
6 2 2 26 6 6Zz
z z
e in particolare
160
→∞
− −= + + + + − + = −ℤ i642
3 5
1 1 1 1 1 1 1lim ( .... ) log( ) 0,00509..
2 2 2Zz
z z
e e e e
Questa illary si annulla per due valori di b, di valore
=ℤ643 2,6..
=ℤ644 5,01.. Per i radicali pari la (77) porta alla illary
−
+→∞=
− −= − +∑ i
2
2
3882 2
0
1 2 1 2lim ( ) log log( )
2 2 2[ ]
z
jzj
z zI b
b
di cui in particolare
→∞
− −= + + + + − + =ℤ i645
64
1 1 1 1 2 1 2lim ( .... ) log2 log( ) 0,89099..
2 2 22 2 2 2Zz
z z
→∞
− −= + + + + − + =ℤ i646
64
1 1 1 1 2 1 2lim ( .... ) log3 log( ) 0,90158..
2 2 23 3 3 3Zz
z z
→∞
− −= + + + + − + =ℤ i647
64
1 1 1 1 2 1 2lim ( .... ) log4 log( ) 0,93748..
2 2 24 4 4 4Zz
z z
→∞
− −= + + + + − + =ℤ i648
64
1 1 1 1 2 1 2lim ( .... ) log5 log( ) 0,98001..
2 2 25 5 5 5Zz
z z
e
−→∞
− −= + + + + − + =ℤ i649
2642
1 1 1 1 2 1 2lim ( .... ) log( ) 0,89451..
2 2 2zz
z z
e e ee
Questa funzione non si azzera mai, ma ha un minimo per b pari all'incirca a
=ℤ650 2.2.. Abbiamo poi
→∞ →∞
∞
=
= + + + + + + − = −∑2 43389
1
1lim ( 1 2 3 4 .... ) lim )( kk k kk z
z z
j
j
I z z zj
Interessante è la serie per 1K ≥
1
lim( 1 2 3 .... )k k k k k
jj
j j∞
→∞=
+ + + + = ∑
(96) la cui illary è
161
→∞=
+ += −
+∑
i
i390
1
2 1lim ( )
2( 1)[ ]
zkk
zj
k z kI j z
k
Per =( 1;2;3;4;5;)K si hanno le seguenti costanti 1
lim (1 2 3 ................ ) 02z
zz z
→∞
++ + + + − =i
→∞
+= + + + + − = −
iℤ i
2 2 22651
4 3lim ( 1 2 3 .... ) 0,207886224977354566...
6z
zz z
→∞
+= + + + + − = −
iℤ i
3 3 3 33652
3 2lim ( 1 2 3 .... ) 0,2773430478401295269...
4z
zz z
→∞
+= + + + + − = −
iℤ i
4 4 4 44653
8 5lim ( 1 2 3 .... ) 0,3204512642285772827...
10z
zz z
→∞
+= + + + + − = −
iℤ i
5 5 5 55654
5 3lim ( 1 2 3 .... ) 0,3496662805983141371...
6z
zz z
Il limite estremo della funzione (78) è
1
2 1 1limlim ( )
2 ( 1) 2
zkk
k zj
k z kj z
k→∞ →∞=
+ +− = −
+∑
i iii
Interessanti sono i limiti della serie (16) per i numeri dispari della variabile
1
2
0
1lim lim ( 1 3 5 7 .... )
2( 2 1)
z
k kk k k
z z
k
j
zj
−
→∞ →∞=
−= + + + + ++∑ (97)
Non è difficile dimostrare che la serie (78) porta alla illary
−
→∞=
+ + − − += + −
+∑
i i i i i
i
1
2
391
0
(2 1) 1 ( 1)lim ( 2 1)
2 ( 1)[ ]
z
k k
k
zj
z k z k z k zI j
k
per =( 2;3;4;5)k si hanno le costanti
→ ∞
+ − − += + + + + − =
i i i iℤ
2 22 22 2
655(4 3) 1 (2 1)
lim ( 1 3 5 .... ) 0.0861092938161..6z
z z z zz
→∞
+ − − += + + + + − =
i i i iℤ
3 33 33 3
656(6 4) 1 (3 1)
lim ( 1 3 5 .... ) 0.0720872961..8z
z z z zz
→∞
+ − − += + + + + − =
i i i iℤ
4 44 44 4
657(8 5) 1 (4 1)
lim ( 1 3 5 .... ) 0.0606316592..10z
z z z zz
→∞
+ − − += + + + + − =
i i i iℤ
5 55 55 5
658(10 6) 1 (5 1)
lim ( 1 3 5 .... ) 0.0519948007..12z
z z z zz
Se la variabile assume solo valori pari, si ha
162
−
→∞=
++ +
= −+
∑i
i
2
2
392
0
2 21
lim ( )2( 1)
[ ]z
k k
zj
jk z k
I zk
per =( 2;3;4;5)k
→∞
+= + + + + − = −ℤ
3 3 3 33660
3 4lim ( 2 4 6 .... ) 0,3494303440157800288704715..
8z
zz z
→∞
+= + + + + − = −ℤ
4 4 4 44661
4 5lim ( 2 4 6 .... ) 0,3810829234322410602914367..
10z
zz z
→∞
+= + + + + − = −iℤ
5 5 5 55662
5 6lim ( 2 4 6 .... ) 0,40166108132121510695579855..
12z
zz z
Il limite degli inversi della funzione precedente, cioè 1 1 1 1 1 1
lim ( .... )1 2 3 4 5k k kk kj k j→∞
+ + + + + +
è uno dei limiti più interessanti. Esso ci porta a
−
→∞= −
= −∑ i
1
393
1 1
1lim ( )[ ]
K
K
z
z kj
K
KI
jz
La relazione precedente è valida per qualsiasi numero reale 1k > . Per ( 2;3;4;5)k = k si hanno le costanti
ζ→∞
= + + + + − = − =ℤ i
12663
2 2 2 2
1 1 1 1 1lim ( .... ) 2 1,46035450880958681288949.. ( )
21 2 3jj
j
ζ→∞
= + + + + − = − =ℤ i
23664
3 3 3 3
1 1 1 1 3 1lim ( .... ) 0.9733602483507827154688.. ( )
2 31 2 3jJ
j
ζ→∞
= + + + + − = − =ℤ
34665
4 4 4 4
1 1 1 1 4 1lim ( .... ) 0.8132784052618916565214.. ( )
3 41 2 3jJ
j
ζ→∞
= + + + + − = − =ℤ
45666
5 5 5 5
1 1 1 1 5 1lim ( .... ) 0.7339209249214958606908.. ( )
4 51 2 3jJ
j
La funzione zeta per le frazioni degli interi, hanno quindi perso il loro alone di mistero. Il limite estremo della funzione è
163
1
1
1 1lim lim ( )
1 2
KzK
z k kj
Kz
Kj
−
→∞ →∞=
− = −−
∑ i
Caso particolare
−
−
→∞=
= = −−
−∑ℤ i
11/
667
1
lim ( ) 1,05262288412..1
[ ]ez
e e
zn
en z
e
Si osserva che nella 393I k può assumere un valore reale qualsiasi ( RK ). Per cui possiamo scrivere
ζ ζ= =ℤ1
( ) ( )A
R
sK
con 1
R
sK
=
Se prendiamo un valore RK compreso fra
< < + 1R R RK K K
il valore di ℤA sarà diverso per ogni numero reale e sarà compreso fra
+> >ℤ ( 1)R RAK KZ Z Poiché il numero reale RK dovrà essere 1 RK< < ∞ si avrà 0 1s< <
E’ pure evidente anche che 1
lim KRs
Z→
= ∞
La 393I per RK π= o RK e= assume valori numerici interessanti. Da notare inoltre che nella funzione antagonista della 393I esiste una perfetta simmetria fra il termine / ( 1)k k − davanti a zeta e il suo esponente. Questo ci porta ancora una volta a meditare sul significato di equilibrio matematico, che discuteremo ampiamente in un prossimo libro sulle Onde Numeriche e Antinumeriche, che hanno impegnato le mie sere degli ultimi vent’anni. Dal limite degli inversi delle radici k-esime dei numeri dispari 1 1 1
lim ( ....)1 3 5k k kj→∞
+ + +
(98) è facile risalire alla formula che genera le costanti
− −
→∞=
− + −−+
= ∑ i i
1 1
394
0
21 1
lim ( ) ( 1) (2 )1 22 1
][ K KzK K
kj
Kz z
KjI
j
Alcuni esempi
→∞=
= − −+
∑ℤ i66820
1lim ( ) (2 2z+1 2z )=-0.427727932693..
2 1
z
zj j
164
→∞=
− −+
∑ℤ i i2 23 3669
30
1 3lim ( ) 2 (2z+1) (2 ) =-0,200803707..
42 1[ ]
z
zj
zj
=
→∞=
− −+
∑ℤ i i3 34 4670
40
1 2lim ( ) 2 (2z+1) (2 ) =-0,129395509..
32 1[ ]
z
zj
zj
=
Dal limite degli inversi delle radici k-esime dei numeri pari
1 1 1lim ( ....)
1 4 6k k kj→∞+ + +
si arriva a
−
−
→∞= −
−+
= ∑ i
2
2 1
395
0 1
1 1lim ( ) ( )
22 2 2[ ]
z
K
K
kkj
K
K
z
jI
j
es:
= + + + − = −ℤ6711 1 1 1
.... 1,0326265761156085915683825333756113495938071..2 4 6
zz
= + + + − = −iℤ
23672
3 3 33 3
1 1 1 1 3.... ( ) 0,772556541088030190202681271791964..
22 4 6 16
z
z
= + + + − = −iℤ
34673
4 4 44 4
1 1 1 1 4.... ( ) 0,683882895587982389035400157133210715..
22 4 6 162
z
z
= + + + − = −iℤ
45674
5 5 55 5
1 1 1 1 5.... ( ) 0,6389152745833217212966258319123..
22 4 6 2048
z
z
La sommatoria degli inversi delle radici dei numeri naturali, considerata a termini alterni positivi e negativi 1 1 1 1 1 1 1 1
lim ( .... )1 2 3 4 5 6 j-1k k kk k kj k k j→∞
− + − + − + −
è per k>1 sempre convergente. Notevole è anche la costante
→∞=
= − = −∑ℤ
i
675
1
1lim ( ) ln 0.25164..[ ]
z
jzj
zj j
Passiamo ora ad alcune serie con potenze
→∞=
−
= − + + =
∑ iℤ3 2
676
1
0,02548520188983303.
.5949542986910704745469024984600972996834645498332..
1lim ( ) (16 20 5)
40
z
zj
j z z z
165
→∞=
= − + + =∑ℤ5 3 2
677
1
..
0,008516928777850.
.330542358567028344486936275
1lim ( ) (48 84 35)
168
z
zj
j z z z
→∞=
= − + + − =
∑ iℤ7 4 3 2
678
1
0,00444101.
.133547943195853465801781977508621435..
1lim ( ) (256 576 336 21 )
1152
z
zj
j z z z z z
....
→∞=
= − + = −∑ iℤ32 23679
1
1lim ( ) (6 5) 0,155196900037119891..
10
z
zj
j z z
→∞=
= −
= − + +
∑ iℤ4 233680
1
0,04006132995626422.
.975537275681133413054660149119816719257181577096386164..
1lim ( ) [54 63 14]
126
z
zj
j z z z
→∞=
−
= − + + =
∑ iℤ35 2 23681
1
0,0143735419136671001318.
.98150359693797197324424708220015496..
1lim ( ) (27 36 10)
72
z
zj
j z z z
→∞=
= − + + =
∑ iℤ37 4 23682
1
0,006963951.
.471432480320400515581..
1lim ( ) (54 90 35)
180
z
zj
j z z z
....
→∞=
−= − + =∑ iℤ43 34683
1
0,133642774433..1
lim ( ) (8 7)14
z
zj
j z z
Che si può scrivere anche
→∞=
+= − = −∑ℤ i i i684
1
8 7lim ( ) 0,133642774436..
14
z
zn
zn n z z
→∞=
−
= − + + =∑ iℤ5 244685
1
0,048908867626854812508.
.0173416271949231903369515920976274915736801472384561065..
1lim ( ) (64 72 15)
144
z
zj
j z z z
→∞=
−
= − + + =
∑ iℤ47 3 24686
1
0,00990137762367.
.0547403935771064834775245376130505735843304..
1lim ( ) (192 264 77)
528
z
zj
j z z z
→∞=
= − + + =∑ iℤ49 5 24687
1
0,0057 .
.1631779131056742..
1lim ( ) (64 104 39) 58893968061519
208
z
zj
j z z z
166
....
→∞=
= −= − +∑ℤ52 25688
1
0,247165460831714836348231744..1
lim ( ) (10 7)14
z
zj
j z z
→∞=
= −= − +∑ iℤ53 35
689
1
0,174595711938013376..1
lim ( ) (5 4)8
z
zj
j z z
→∞=
−= − − =∑ iℤ54 45690
1
0,12198707766978..1
lim ( ) (10 9)18
z
zj
j z z
→∞=
−
= − + + =∑ iℤ6 255691
1
0,05478844124388042331.
.7868056873070509273729611390692067556406318265075535602935..
1lim ( ) (50 55 11)
110
z
zj
j z z z
→∞=
−
= − + + =
∑ iℤ57 2 25692
1
0,0337649876940475777.
.93080598656698161026552670112434338964..
1lim ( ) (25 30 7)
60
z
zj
j z z z
→∞=
−
= − + + =∑ iℤ58 3 25693
1
0,018448986678963696.
.3424463043531297675486727202702283376000679..
1lim ( ) (150 195 52)
390
z
zj
j z z z
→∞=
−
= − + + =∑ iℤ59 4 25694
1
0,00752293477659.
.682572538444046047268271377987119582189..
1lim ( ) (50 70 21)
140
z
zj
j z z z
→∞=
= − + + =∑ℤ511 6 25695
1
0,004879212359303.
.594697375307632320838..
1lim ( ) (75 120 44)
240
z
zj
j z z z
→∞=
= − + + =
∑ i512 12 25696
1
1lim ( ) (50 85 34) 0,0077130239874243.
170
.431068236149568409746915334553685414..
z
zj
I j z z z
→∞=
−= − + =∑ iℤ65 56
697
1
0,114699961..1
lim ( ) (12 11)22
z
zj
j z z
→∞=
−
= − + + =∑ iℤ7 266698
1
0,05896521935784930681.
.4348343316727603345712360511178723222318537462051235543372..
1lim ( ) (432 468 91)
936
z
zj
j z z z
→∞=
−
= − + + =∑ iℤ611 5 26
699
1
0,006055679707.
.380367090538055488224792001395227010622..
1lim ( ) (432 612 187)
1224
z
zj
j z z z
167
→∞=
= − + + =∑ iℤ613 7 26700
1
0,00422256716729.
.666465470589179861492276..
1lim ( ) (432 684 247)
1368
z
zj
j z z z
→∞=
= − + + =∑ iℤ617 11 26701
1
0,0090069462..1
lim ( ) (432 828 391)1656
z
zj
j z z z
....
→∞=
= − + =∑ iℤ72 27702
1
0,3011785231722912958877858567752..1
lim ( ) (14 9)18
z
zj
j z z
→∞=
−= − + =∑ iℤ73 37703
1
0,23525848497891526558325746..1
lim ( ) (7 5)10
z
zj
j z z
→∞=
= − + = −∑ iℤ74 47704
1
1lim ( ) (14 11) 0,1835628157645341603..
22
z
zj
j z z
→∞=
= − + = −∑ iℤ75 57705
1
1lim ( ) (7 6) 0,1425381852606..
12
z
zj
j z z
→∞=
= − + = −∑ iℤ76 67706
1
1lim ( ) (14 13) 0,1097177..
26
z
zj
j z z
→∞=
−
= − + + =∑ iℤ8 77707
1
0,062081077055425691621.
.2418250019362113864234128478725377263567009181506468248054..
1lim ( ) (98 105 20)
210
z
zj
j z z z
....
→∞=
= − + + − =
=
∑ iℤ134 4 4 3 213708
1
1lim ( ) (12288 26112 14144 663)
52224
0,006619476587572221143039611..
z
zj
j z z z z
→∞=
= − + + − +
+ − = −
∑ iℤ
317 8 7 6 4
709
1
2
lim ( ) (1376256 6537216 9261056 752460813074432
4434144 969969) 0,004416032873004889808388..
z
zj
z j z z z z
z
ππ π π π
π
−
→∞=
= −
= − + + + + =+
∑ i i i i i
i
ℤ
( )2 2 2
710
1
0,06038280726897295366498054106771274568010151672037.
.044344332336402385356712603463912547553120936551452865.
lim ( ) [12 (6 6 ) ( )]12 ( )
e eze
zj
z j e z z e e e
e e
322249247708..2665498665532868730057211328842268492469635
0087419142816759012358127075147476020465...
Interessanti sono anche le serie
→∞=
∑1
1lim ( )
z
rz kj
j
168
che conducono alle costanti
→∞=
−
.
.
= − + =∑ℤ71132 231
2,44758073623365 .
042230052130154522357579949254785890161890958962097535.
055059873856868326406729313..
1 1lim ( ) (6 1) 82310909957
2
z
zj
zj z
→∞=
−
.
.
= − + =∑ℤ71243 341
3,441285386945222894395139960.
7093154615763811821550455012908432231298318938796509607.
5141715589703715203237562210263..
1 1lim ( ) (8 1)
2
z
zj
zj z
→∞=
−
.
= − + =
∑ℤ71352 251
1,134797783866981565213528026.
03937181050590229775055882578561380920574490396457033571.
7916105185..
1 1lim ( ) (10 3)
6
.296107
z
zj
zj z
→∞=
−
.
= − + =
.
∑ℤ71453 351
1,9526614482240007304237335.
64739351379523008808842916278166727417561175721624581.
37169032510110371008070730603..
1 1lim ( ) (5 1)
2
z
zj
zj z
→∞=
−
= − + =∑ℤ71554 451
4,4375384158955504718736 .
.1490281256405510438595491112075857654727524665526381170927.
.6927841468964951226461816101..
1 1lim ( ) (10 1) 4672502
2
z
zj
zj z
→∞=
−
= − + =
∑ℤ71665 561
5,435053237370820864 .
.8000213272912668073389128227097464613001178201440001413267.
.820943747333425015452409814..
1 1lim ( ) (12 1) 2581243126
2
z
zj
zj z
→∞=
−
= − + =∑ℤ71772 271
0,8771165417117920 .
.1168895251383544870600026395894114112141662694734073143963309..
1 1lim ( ) (14 5) 31258190651948
10
z
zj
zj z
→∞=
−
= − + =∑ℤ71873 371
1,21590089957829666190476835285032314.
.29053949700929178752934459156330318380027233600964894881193087..
1 1lim ( ) (7 2)
4
z
zj
zj z
→∞=
−
.
= − + =∑ℤ71974 471
1,78818408338642225072
197367952529358850494037644585508196689488479768792596606291373257..
1 1lim ( ) (14 3) 1054992417260632.
6
z
zj
zj z
169
→∞=
−
= − + =∑ℤ72075 571
2,943975745543279700556819969983794.
.3217055703737812801010448161214104348173670306814866095119902.
.303450515472134..
1 1lim ( ) (7 1)
2
z
zj
zj z
πγ γπ
π π γ
π γ→∞=
.
+ −= + =
−∑
i i
i
ℤ722
1
297957536727177114190264258085.
.6049 9494556156948509056980937576908649316457192865647188.
377783067152861235041772785031905058090261
(2 )lim ( )
2( )
,
z
zj
e e z
j z
.
259815396934621.
019425820893751996060260962628235706594392869467029591597.
.648148158040228040985220915986686032088103514384001985786.
.601005471466530329843190344341170426274233046..
→∞=
−
.
.
= − + =∑ℤ72176 671
6,433284441275557291810865811484.
28407418143021689153334345865174628362696549210441819436228.
2567528628258326218872383..
1 1lim ( ) (14 1)
2
z
zj
zj z
La funzione j j elevata a se stessa un numero m qualsiasi di volte, produce la illary
→∞=
= − −∑1 ...
1
( )1 2
( )396
1
(log )lim ( )
2[ ]j
jjzjj
zj
zI j z
es:
→∞=
= − − =∑ℤ
11 2
723
1
(log )lim ( ) 3,77075802..
2j
zjj
zj
z j z
→∞=
= − − =∑ℤ
111 2( )
724
1
(log )lim ( ) 4,67..
2
jjjz
jj
zj
z j z
Il massimo valore della illary 396I si ha per 10m =
→∞=
= − − =∑ℤ
1 1 1 1 2
725
1
(log )lim [( )^( )^( )^....^ ( )] 5,90319..
2
zj j j j
zj
zj j j j z
Nel caso estremo per m → ∞
→∞ →∞=
= − − =∑ℤ
1 1 2
726
1
5,8788..(log )
limlim [( )^.....^ ( )]2
zj j
m zj
zj j z
Poi
→∞=
+= + − =∑
iℤ727
1
1,276900159214600630337235607049886387.
.10233152447126170462389942345284539727976437157489874074359..
( 1)lim ( 1 )
2
zn n
zn
z zn
170
→∞=
−= + + − − =∑
iℤ728
1
2,7181643131597398771.
.6673145317208171572186358583560443583610438217267392..
( 1)lim [ 1 ( 1 1) ]
2
zn n nn
zn
z zn
→∞=
−= + + + − − − =∑
iℤ729
1
4,543485635581806218
350649659431645478350649659405441971289626565.
.57471582575157615907248915531958965429108253
.
.892190182759431645478
( 3)lim [ 1 [ 1 ( 1 1) 1] ]
2
zn n n n nn
zn
z zn
214..
Per k di radici si ha la illary
→∞
=
− += + + + − − −∑
i397
1
( 2 3)lim [ 1 [ 1 ....( 1 1) 1] ]
2
zn n n n nn
zn
z z kI n
Poi
→∞=
= + − − =∑ℤ
2
730
1
(log )lim ( ) 3,0641..
2
zn n
zn
zn n z
→∞=
= + + − − =∑ℤ
2
731
1
(log )lim ( ) 4,2168971..
2
zn n n
zn
zn n n z
→∞=
= =− −∑ℤ i
2
732
1
(log )lim ( ) 2,253..
2
zn n
zn
zn n z
CAP XIV - SERIE DI NEPERO La costante di Nepero entra a far parte in una numerosa quantità di serie e integrali divergenti di notevole interesse. Queste serie ci permettono di studiare nuovi tipi di costanti. In effetti se alla generica serie divergente
→∞
=
∑1
lim [ ( )]z
zn
f x
sostituiamo a x
= +1
(1 )nxn
o = −1
(1 )nxn
otteniamo una quantità enorme di nuove funzioni da studiare.
Ad esempio:
→∞=
+= − =
+∑ℤ733
1
1 2 loglim [ ] 0,01127..
1 2(1 )
z
z nn
z z
e
n
=→∞
+= − =
+∫ℤ734
0
1 2 loglim [ ] 0,185123213..
1 2(1 )
z
nz n
nz z
de
n
→∞=
−= − − = −∑ℤ735
2
1 2 loglim [(1 ) ] 0,349763..
2
zn
zn
z z
n e
171
=→∞−
−= − − =∫ℤ736
10,478741998903..
1 2 loglim (1 )
2
zn
nzn
z zd
n e
∞
→∞=
−= + − =∑ℤ i737
1
1 2 loglim [(1 ) ] 0,48595..
2n
zn
z ze
n
=→∞
−= + − = −∫ℤ i738
0
1 2 loglim (1 ) 0,171475809881..
2
zn
nzn
z zd e
n
→∞=
+= − = −
−∑ℤ i739
2
1 2 loglim [ ] 2,074983..
1 2(1 )
z
z nn
z ze
n
=→∞
+= − = −
−∫ℤ i740
2
1 2 loglim 5,529252344..
1 2(1 )
z
nz n
nz z
d e
n
Si notino le perfette simmetrie fra le espressioni precedenti. Interessanti sono anche
−
→∞=
= + − − ∑1
398
1
1lim (1 ) log[ ]k
zn
kzn
I z zn
e
−
=→∞= + − − ∫
1
3990
1lim (1 ) log[ ]kz
n
knznI d z z
n
ad es:
→∞=
= + − − =∑ℤ741 21
1lim (1 ) log 0,8035382767..
zn
zn
z zn
=→∞= + − − =∫ℤ742 20
1lim (1 ) log 1,273706536..
zn
nznd z z
n
→∞=
= + − − =∑ℤ2
743 31
1lim (1 ) log 0,877105975..
zn
zn
z zn
=→∞= + − − =∫ℤ
2
74430
1lim (1 ) log 0,9788234908..
zn
nznd z z
n
Interessante è il limite estremo
−
→∞ →∞=
= + − − =∑ℤ1
745
1
0,937..1
limlim (1 ) logk
zn
kk zn
z zn
Poi
−
→∞=
= − − + ∑1
400
2
1lim (1 ) log( )[ ]k
zn
kzn
I z zn
−
=→∞= − − + ∫
1
4011
1lim (1 ) log( )[ ]kz
n
knznI d z z
n
es:
172
→∞=
= − − + = −∑ℤ2
746 32
1lim (1 ) log( ) 0,31321..
zn
zn
z zn
=→∞= − − + = −∫ℤ
2
747 31
1lim (1 ) log( ) 0,67819..
zn
nznd z z
n
→∞=
= − − + = −∑ℤ3
748 42
1lim (1 ) log( ) 0,29721..
zn
zn
z zn
=→∞= − − + = −∫ℤ
3
749 41
1lim (1 ) log( ) 0,647186..
zn
nznd z z
n
e i limiti estremi
−
→∞ →∞=
= − − + = −∑ℤ1
750
1
1limlim (1 ) log( ) 0,2687..
kz
n
kk zn
z zn
Poi la illary
→∞=
= + − ∑ i402
1
1lim (1 )[ ]k
zn
kzn
I e zn
fornisce una costante diversa per ogni valore di 2k ≥ Similmente per 2k ≥ si ha
=→∞= + − ∫ i403
0
1lim (1 )[ ]kz
n
knznI d e z
n
es:
→∞=
= + − = −∑ℤ i3
751 31
1lim (1 ) 0,9734..
zn
zn
e zn
=→∞= + − = −∫ℤ i
2
752 20
1lim (1 ) 2,3169100766..
zn
nznd e z
n
Il suo limite estremo
1
1limlim (1 ) 2 2,71828182..
kz
n
kk zn
e z en→∞ →∞
=
+ − − = − = −∑ i
Nella 402I la serie ricorda il limite
1lim (1 )n
ne
n→∞+ =
Abbiamo poi per 2k ≥
→∞=
= − − ∑404
2
1lim (1 )[ ]k
zn
kzn
zI
en
e
173
=→∞= − − ∫405
1
1lim (1 )[ ]kz
n
knzn
zI d
en
→∞=
= − − = −∑ℤ2
7532
2
1lim (1 ) 0,493583..
zn
zn
z
en
=→∞= − − = −∫ℤ
2
75421
1lim (1 ) 0,591517..
zn
nzn
zd
en
→∞=
= − − = −∑ℤ5
755 52
1lim (1 ) 0,374749..
zn
zn
z
en
=→∞= − − = −∫ℤ
3
75631
1lim (1 ) 0,484253..
zn
nzn
zd
en
Interessante è il suo limite estremo
2
0,3678794411..1 1
limlim (1 )k
zn
kk zn
z
e en→∞ →∞=
−− − = − =∑ La serie nella 404I ricorda il limite
1 1
lim (1 )n
n n e→∞− =
Se k ed s sono due interi positivi, e ≥ ≥[ 2]k s si ha
−
→∞=
= + − ∑406
1
1lim (1 )[ ]k s
zn
kzn
I zn
es:
→∞
=
= + − =∑ℤ5
757 81
1lim (1 ) 1,210794..
zn
zn
zn
Per = + >[ 1 ]k s k n si ha
1
1limlim (1 ) 1
zn
kk zn
zn→∞ →∞
=
+ − =∑
(99) Mentre il limite
→∞=
= + − =∑ℤ758
1
1lim (1 ) 1,69523256713814031..
zn
nzn
zn
Per ≥ ≥[ 2]k s
−
→∞=
= − − ∑407
2
1lim (1 )[ ]
k szn
kzn
I zn
Poi
174
→∞=
=−= ∑ℤ i
2
759
1
8,800119..log1
lim ( )z
n
zn
zen
=→∞=−= ∫ iℤ
2
7601
3,683671..log1
lim ( )z
n
nzn ze d
n
→∞=
= =−∑ℤ761
1
lim ( ) 2 2,06467..nz
zn
ez
n
=→∞= =−∫ℤ762
1lim ( ) 2 0,41..
nz
nzn
ed z
n
Per ≥ 1k abbiamo
→∞
=
= + −−∑i
i i408
1
1lim (1 ) ) ( log )
2[ ]
zk
zn
k n kI z z
ne
e
=→∞
= + −−∫i
i i4090
1lim (1 ) ( log )
2[ ]z
k
nz
k n kI z z
ne
es:
→∞=
= + − =−∑ℤ i2
763
1
21lim (1 ) ( log ) 3,9152492554..[ ]
z
zn
n e z z
n
=→∞= + − =−∫ℤ i
2764
0
21lim (1 ) ( log ) 1,2036092923..
z
nz
nnd e z z
n
→∞=
= + − =−∑ℤ i3
765
1
31 3lim [(1 ) ] ( log ) 20,576..
2
z
zn
n z z
ne
=→∞= + − =−∫ℤ i
3766
0
31 3lim (1 ) ( log ) 11,896183881..
2
z
nz
nn d z z
ne
→∞=
= + + = −−∑ℤ i2
767
1
1 11lim [ (1 ) ] log 0,48446..
2 12( )
zn
zn
e n z z
n
=→∞= + − + =−∫ i iℤ
2768
0
1 11lim [ (1 ) ] log 0,075238943..
2 12( )z
n
nzn
e n d z z z
n
→∞=
= + + + − =−∑ iℤ i i2 2
769
1
1 21lim [ (1 ) ] (8 6 9) log 0,477828..
24 2[ ]
zn
zn
e n z z z z
n
=→∞= + − + − = −−∫ iℤ i i
2 2770
1
1 21lim [ (1 ) ] (8 6 11) log 0,04276131645..
24 2[ ]z
n
nzn
e n d z z z z
n
→∞=
+ + −= + = −− +∑ i iℤ
3 23
771
1
1 (12 16 11 14) 2447lim [ (1 ) ] log 0,471627823..
48 5760[ ]
zn
zn
z z z z n e z
n
175
→∞=
= − − − = −∑ iℤ i2
772
2
1 1 5lim [ (1 ) ] ( log ) 0,18214931863..
2 12
zn
zn
n z zn e
→∞= − − − − = −∫ i iℤ i773
1
1 1 5lim [ (1 ) ] [ ( 1) log ] 0,0589242..
2 12
zn
zn n d z z z
n e
→∞=
= − + − − = −−∑ i iℤ i2 2
774
2
1 1lim [ (1 ) ] 2 (8 6 7) 5log 0,1086556..
48[ ]
zn
zn
n z z z zn e
=→∞= − − − − =−∫ iℤ i i
2 2775
1
1 1lim [ (1 ) ] 2 (8 6 5) 5log 0,011111368603..
48[ ]z
n
nznn d z z z z
n e
→∞=
−= + =−∑ i i iℤ776
1
1 4 3lim [ (1 ) ] 3,766912..
6
zn
zn
z n z
ne
=→∞
−= + =−∫ i i iℤ777
0
1 2 3lim [ (1 ) ] 4,04798259..
3
zn
nz
z n dn z
ne
→∞=
+= − = −∑ iℤ778
1
1(1 )
lim [ ] 2 6,56094..
nz
zn
n e zn
=→∞
+= − = −∫ iℤ779
0
1(1 )
lim [ ] 2 4,62525..
n
z
nznn d e z
n
→∞=
+= − =∑ iℤ780
1
1(1 )
lim [ ] log 0,157338007..
nz
zn
n e zn
=→∞
+= − = −∫ iℤ781
1
1(1 )
lim [ ] log 0,969..
n
z
nz
n e zn
La serie 1
1(1 )
lim [ ]
nz
kzn
n n→∞
=
+
∑
è convergente per 2k ≥ . Poi
→∞=
= =
+
−∑i
ℤ782
1
1 loglim [ ] 0,4501433626..
1(1 )
z
z nn
z
en
n
=→∞= =
+
−∫i
ℤ7831
1 loglim [ ] 0,1547326..
1(1 )
z
nz n
nz
de
nn
→∞=
= =
−
−∑i
ℤ i784
2
1lim [ ] log 0,157338022..
1(1 )
z
z nn
e z
nn
=→∞= = −
−
−∫i
ℤ i7852
1lim [ ] log 0,969105..
1(1 )
z
nz n
n d e z
nn
176
→∞=
= + − =
+
−∑ iℤ i786
1
1 5lim [ ] ( 2) log 0,001789..
1 2 12(1 )[ ]
z
z nn
n z z z
en
=→∞= + − = −
+
−∫ iℤ i7870
1 5lim [ ] ( 1) log 0,058928476405..
1 2 12(1 )[ ]z
nz n
nn
d z z ze
n
→∞=
= + + −
−
− =∑ i iℤ788
2
11log
12lim [ ] ( 2) 3,43264..
1 2(1 )[ ]
z
z nn
zn
z z
n
e
=→∞= + + −
−
− =∫ i iℤ7892
..11
log12
lim [ ] ( 1) 8,2030093801 2(1 )
[ ]z
nz n
n zn
d z z
n
e
→∞=
= + + + = −
+
−∑ iℤ i
22
790
1
1lim [ ] 2 (8 18 5) 5log 0,003147..
1 48(1 )[ ]
z
z nn
n z z z z
e
n
=→∞= + − + =
+
−∫ iℤ i
22
7910
1lim [ ] 2 (8 6 5) 5log 0,024053019941..
1 48(1 )[ ]z
nz n
nn
d z z z ze
n
→∞=
+ += −
−
+− =∑i
iℤ
2 2
792
2
(8 18 21) 7lim [ ] log 4,68368..
1 24 16(1 )[ ]
z
z nn
n z z z z
n
e →∞
=
+ += −
−
+− =∑i
iℤ
2 2
793
2
..(8 6 11) 7
lim [ ] log 12,48885412511 24 16(1 )
[ ]z
z nn
n z z z z
n
e
→∞=
= + + + − =
+
−∑ iℤ i
33 2
794
1
1 337lim ( ) (12 32 19 4) log 0,002729..
1 48 120(1 )[ ]
z
z nn
n z z z z z
e
n
Sommatorie
→∞=
+=
− + −
=−∑ iℤ79521
3log( ) 2,75006
2 8
1lim [ ] ..
1 1(1 ) (1 )
2
[ ]z
z n nn
ez z
n n
=→∞+ −=
− + −
=−∫ iℤ7961 2
3log( ) 0,606985005
2 8
1lim [ ] ..
1 1(1 ) (1 )
2
[ ]z
nz n n
ne
z zd
n n
→∞=
= + = −
+ + +
−∑ iℤ797
1 2
1 1 3lim [ ] log 0,027231..
2 41 2(1 ) (1 )
( )z
nzn n
z ze
n n
=→∞= + =
+ + +
−∫ iℤ7980
2
1 1 3lim [ ] log 0,06951649059..
2 41 2(1 ) (1 )
( )z
nnzn
dn z ze
n n
→∞=
= + =
+ + +
−∑ iℤ2
799
12
1 1 loglim [ ] 0,061255..
1 1 2 4(1 ) (1 )( )
z
z n nn
z z
e
n n
177
=→∞= + =
+ + +
−∫ iℤ2
8000
2
1 1 loglim [ ] 0,166703236475..
1 1 2 4(1 ) (1 )( )z
nz n n
nz
d ze
n n
Prodotti
→∞=
= + =
+ +
−∑ i
i
ℤ801 221
1 1 3lim [ ] log 0,0330597..
1 1 4(1 ) (1 )2
( )z
z n nn
z ze
n n
=→∞= + =
+ +
−∫ i
i
ℤ802 20 2
1 1 3lim [ ] log 0,1667032364..
1 1 4(1 ) (1 )2
( )z
nz n n
n d z ze
n n
→∞=
= + = −
− −
−∑ i
i
ℤ2
80322
1 3lim [ ] log 4,704..
1 1 4(1 ) (1 )2
( )z
z n nn
e z z
n n
=→∞= + = −
− −
−∫ i
i
ℤ2
8042 2
1 3lim [ ] log 15,109758524..
1 1 4(1 ) (1 )2
( )z
nz n n
n d e z z
n n
→∞=
− −=
+ −
=∑ℤ
i
80521
31lim [ ] log 0,73778..
1 1 4(1 ) (1 )2
z
z n nn
Z z
n n
=→∞− −= −
+ −
=∫ℤ
i
8061 2
31lim [ ] log 0,874395544..
1 1 4(1 ) (1 )2
z
nz n n
n Zd z
n n
→∞=
−= −
− +
=−∑ℤ
i
80722
31lim [ ] log 0,78806..
1 1 4(1 ) (1 )2
z
z n nn
Z z
n n
=→∞−=
− +
= −−∫ℤ
i
8082 2
31lim [ ] log ..
1 1 4(1 ) (1 )2
2,152289275z
nz n n
n Z d z
n n
→∞=
= = −
− +
− −∑ℤ
i
809
2 2
1 3lim [ ] log 1,2255..
21 2(1 ) (1 )
z
nzn n
z
n n
z
=→∞= = −
− +
− −∫ℤ
i
8102
2
1 3lim [ ] log 2,788518114..
21 2(1 ) (1 )
z
nnzn
n d z
n n
z
→∞=
= = −
+ −
− −∑ℤ
i
811
3 2
1 3lim [ ] log 1,8092..
21 2(1 ) (1 )
z
nzn n
z
n n
z
178
=→∞= = −
+ −
− −∫ℤ
i
8123
2
1 3lim [ ] log 3,488666283..
21 2(1 ) (1 )
z
nnzn
dn z
n n
z
→∞=
= + =
+ +
−∑ℤ
i
8132
1 2
1 1 3lim [ ] log 0,026612..
21 2(1 ) (1 )
( )z
nzn n
z ze
n n
=→∞= + =
+ +
−∫ iℤ
i
81420
2
1 1 3lim [ ] log 0,24642125404..
21 2(1 ) (1 )
( )z
nnzn
n d z ze
n n
→∞=
= + = −
− −
−∑ i
i
ℤ2
815
3 2
1 3lim [ ] ( log ) 10,14418192..
21 2(1 ) (1 )
z
nzn n
z z
n n
e
=→∞= + = −
− −
−∫ i
i
ℤ2
8163
2
1 3lim [ ] ( log ) 23,349..
21 2(1 ) (1 )
z
nnzn
n d z z
n n
e
Abbiamo poi
+ + + +
→∞=
= + + + + −−∑2
1 1 1(1 ... )
4102
1
1 1 1lim [(1 ... ) ] logk
zn n n
kzn
I z zn n n
e
+ + + +
=→∞= + + + + −−∫
2
1 1 1(1 ... )
41121
1 1 1lim [(1 ... ) ] logkz
n n nknz
nI d z zn n n
es: +
→∞=
= + − =−∑ℤ
1(1 )
817
1
3,355004177..1
lim [(1 ) ] logz
n
zn
z zn
+
=→∞= + − =−∫ℤ
1(1 )
8181
0,397891735..1
lim [(1 ) ] logz
n
nzn d z z
n
+ +
→∞=
= + + − =−∑ℤ2
1 1(1 )
819 21
1 1lim [(1 ) ] log 27,802184023..
zn n
zn
z zn n
+ +
=→∞= + + − =−∫ℤ
2
1 1(1 )
820 21
1 1lim [(1 ) ] log 5,983401014..
zn n
nzn d z z
n n
+ + +
→∞=
= + + + − =−∑ℤ2 3
1 1 1(1 )
8212 3
1
1 1 1lim [(1 ) ] log 257,541..
zn n n
zn
z zn n n
+ + +
=→∞= + + + − =−∫ℤ
2 3
1 1 1(1 )
8222 31
1 1 1lim [(1 ) ] log 26,184745083..
zn n n
nzn d z z
n n n
+ + + +
→∞=
= + + + + − =−∑ℤ2 10
1 1 1(1 ... )
823 2 101
1 1 1lim [(1 ... ) ] log 285311670613,3483592.
zn n n
zn
z zn n n
+
+
→∞=
= + − =−∑ℤ
1(1 )1(1 )
824
1
..15,732111
lim [(1 ) ] logn
nz
zn
z zn
179
++
=→∞= + − =−∫ℤ
1(1 )1(1 )
8251
..2,67596157991
lim [(1 ) ] logn
nz
nzn d z z
n
+
++
→∞=
= + − =−∑ℤ
1(1 )1
(1 )1(1 )
826
1
..65536,0111
lim [(1 ) ] log
nn
nz
zn
z zn
++
+
=→∞= + − =−∫ℤ
1(1 )1(1 )1(1 )
8271
..1
lim [(1 ) ] log 949,330908235
nn
nz
nzn d z z
n
Il valore numerico delle costanti generate dalla illary
+
→∞=
+
= + − −∑
1...(1 )
412
1
1(1 )1lim [(1 ) ] log
nz
zn
nI z z
n
cresce in modo superesponenziale rispetto al numero di esponenti. Similmente si comporta la illary
+
=→∞
+
= + − −∫
1...(1 )
4131
1(1 )1lim [(1 ) ] log
nz
nz
nnI d z z
n
Una crescita superesponenziale delle illary, si ha anche per
+ + +
→∞=
+ + +
= + + + − −∑
1 1....(1 ... )
414
1
1 1(1 ... )1 1lim [(1 ... ) ] log
kn nk
z
kzn
n nI z zn n
+ + +
=→∞
+ + +
= + + + − −∫
1 1....(1 ... )
4151
1 1(1 ... )1 1lim [(1 ... ) ] log
kn nkz
knz
n n nI d z zn n
Abbiamo poi
−
→∞=
= − + = −−∑ℤ
1(1 )
828
2
1lim [(1 ) ] log 0,007431..
zn
zn
z zn
−
=→∞= − + = −−∫ℤ
1(1 )
8291
1lim [(1 ) ] log 0,1307766738..
zn
nzn d z z
n
+
→∞=
= − + = −−∑ℤ
1(1 )
830
2
1lim [(1 ) ] log 1,06669..
zn
zn
z zn
+
=→∞= − + = −−∫ℤ
1(1 )
8311
1lim [(1 ) ] log 1,5540236933..
zn
nzn d z z
n
180
−
→ ∞=
= + − = −−∑ℤ
1(1 )
832
1
1lim [(1 ) ] log 1,11896..
zn
zn
z zn
−
=→∞= + − = −−∫ℤ
1(1 )
8331
1lim [(1 ) ] log 2,067245401..
zn
nzn d z z
n
Per ogni numero dispari di esponenti (base esclusa), si ha la illary
→∞=
+= −∑
1 ...( )1( )1 2( )
416
1 2
1 (log )lim ( )[ ]
nnz
n
zn
zz
I n
es:
→∞=
= =− +∑ℤ
1 2( )834
1
1 (log )lim ( ) ) 1,009018..
2[ ]
zn
zn
z
nz
L’integrale della funzione precedente, ha la medesima funzione antagonista
=→∞+= − ∫
1 ...( )1( )1 2( )
4171 2
1 (log )lim ( )[ ]
nnz
n
nzn z
zI d
n
es:
=→∞+= = −−∫ℤ
1 2( )835
1 2
1 (log )lim ( ) 0,0587..[ ]z
n
nzn
z d
nz
=→∞+= = −−∫ℤ
1( )1( )1 2( )
8361 2
1 (log )lim ( ) 5,6048022819..[ ]
nnz
n
nzn
z d
nz
Per ogni numero pari di esponenti (base esclusa) si ha
→∞=
= −∑...1( )
418
1
1( )1lim ( ) log( ) [ ]
nz
zn
nI zn
es:
→∞=
= =−∑ℤ
1( )1
( )837
1
1lim ( ) ) log 2,743055..[ ]
nzn
zn
zn
La stessa funzione antagonista si ha per l’integrale della funzione precedente, con un numero pari di esponenti
=→∞= −∫
...1( )
4191
1( )1lim [( ) ] log( )
nz
nz
n nI d zn
181
=→∞== −∫ℤ
1( )1( )
8381
log 2,175..1
lim ( ) )nz
n
nzn z d
n
=→∞== −∫ℤ
1( )1
( )1( )1( )
8391
log 3,19191044496..1
lim ( ) )
nn
nzn
nzn z d
n
Poi
→∞= +
+=
− −∑ i
2420
1
lim ( ) [ ] nz
a
zn a
n aI
n az e
e
= +→∞
+=
− −∫ i
2421
1lim ( )[ ]z
n a
n azn
n aI d
n az e
→∞=
−+
= =−
−∑ iℤ2
840
2
3,7330498..1
lim ( )1
[ ]nz
zn
nz e
n
=→∞−
+= =
−−∫ iℤ
2841
212,089747345..
1lim ( )
1
zn
nzn
nd z e
n
→∞=
+= =
−−∑ iℤ
4842
3
2lim ( ) 58,1854708..
2[ ]
nz
zn
nz e
n
=→∞
+= = −
−−∫ iℤ
4843
3
2lim ( ) 39,0593..
2
zn
nzn
nd z e
n
→∞=
+= =
−−∑ iℤ
6844
4
3002,17409255..3
lim ( )3
[ ]nz
zn
n
nz e
=→∞
+= =
−−∫ iℤ
6845
4
3lim ( ) 1341,700418..
3
zn
nzn
nd z e
n
→∞=
= −+
= −−
−∑ iℤ2
846
1
log4,948..
0,20300..
1lim
1[( ) ]
z
zn
n znz e
n
=→∞= −
+= −
−−∫ iℤ
2847
2
log15,0434.
0,20300..
1lim
1)(z n
nzn
znd z e
n
+
→∞=
= +
+
− −∑ i i2
422
1
lim (log ) log2( )
[ ] a
nz n
z nn
n aI z a z
an
n
z
182
+
=→∞= − +
+
−∫ i i2
4231
lim [ ] (log ) log2( )
a
nnz
nz n
nn a
I d z z a za
nn
es:
+
→∞=
= + =
+
− −∑ℤ i
1
2848
1
1lim (log ) log 0,324848..
1 2( )[ ]
nz n
z nn
nz z
nn
z
+
=→∞= + = −
+
− −∫ℤ i
1
2849
1
1lim [ ] (log ) log 0,372100786..
1 2( )
nnz
nz n
nn
d z z
nn
z
+
→∞=
= + =
+
−∑ℤ i
5
2850
1
5lim (log ) 5log 13.49..
5 2( )[ ]
nz n
z nn
nz z
nn
+
=→∞= + =
+
− −∫ℤ i
5
2851
1
5lim [ ] (log ) 5log 12,994239..
5 2( )
nnz
nz n
nn
d z z
nn
z
+
→∞=
= − =
−
− −∑ℤ i
1
2852
2
1lim (log ) log 1,385..
1 2( )[ ]
nz n
z nn
nz z
nn
z
+
=→∞= − = −
−
− −∫ℤ i
1
2853
2
1lim ] (log ) log 0,4322878505..
1 2( )[
nnz
nz n
nn
d z z
nn
z
−
→∞=
= − = −
−
− +∑ℤ i
1
2854
2
1lim (log ) log 0,8486959..
1 2( )[ ]
nz n
z nn
nz z
nn
z −
=→∞= − = −
−
− +∫ℤ i
1
2855
2
1lim (log ) log 2,0220592954..
1 2( )[ ]
nnz
nz n
nn
d z z
nn
z
−
→∞=
= + =
+
− +∑ℤ i
1
2856
1
1lim (log ) log 2,02145..
1 2( )[ ]
nz n
z nn
nz z
nn
z
−
=→∞= + =
+
− +∫ℤ i
1
2857
1
1lim [ ] (log ) log 1,248484399..
1 2( )
nnz
nz n
nn
d z z
nn
z
183
→∞=
++
= + + =
+
−∑ℤ858
1
1(1 )11
4 6,42595770,1476540268..
1 loglim [(1 ) ] ..
11
z
zn
n z z
n
Poi
→∞=
= − − ∑ i i424
1
lim [ ( 1)] log z
n kn
zn
I n e k z
=→∞= − − ∫ i i425
0lim [ ( 1)] log z
n kn
nznI n e d k z
→∞=
= − − =∑ℤ i2
859
1
lim [ ( 1)] 2log 9,9170341..z
nn
zn
n e z
=→∞= − − =∫ℤ i
2860
0lim [ ( 1)] 2log 15,067025546347..
znn
nznn e d z
→∞=
= − − =∑ℤ i3
861
1
lim [ ( 1)] 3log 26,79670334..z
nn
zn
n e z
=→∞= − − =∫ℤ i
3862
0lim [ ( 1)] 3log 301,002862655..
z nn
nznn e d z
→∞=
= − − = −−∑ℤ
1
863
1
loglim ( ) 2 0,654542..
2
zn
zn
ze z z
=→∞= − − = −−∫ℤ
1
8641
loglim ( ) 2 2,619716014..
2
zn
nzn
ze d z z
→∞=
= − =∑ℤ865
1
lim ( ) 2 2,06467..nz
zn
ez
n
=→∞= − =∫ℤ866
1lim ( ) 2 0,4140..
nz
nzn
ed z
n
Abbiamo poi
→∞=
− += − − [ ]∑ i
2
426
1
2 1lim ( ) log
2 2
z
n kzn
n z k kI z z
e
=→∞
−= − − ∫ i
2
4270
2lim ( ) log
2 2[ ]z
n n kzn
n z k kI d z z
e
per =( 1;2;3)k si hanno le costanti
184
=→∞
=
−− − =∑
iℤ867
1
( 1) 1lim ( ) log 0,05677..
2 2
z
nzn
n z zz
e
==→∞
−− − =∫
iℤ868
0
( 2) 1lim ( ) log 0,461393834213..
2 2
z
nnzn
n z zd z
e
=→∞
=
−− − = −∑ iℤ869
21
3lim ( ) 2log 0,4544..
2
z
nzn
n zz z
e
==→∞
−− − =∫
iℤ870
0 2
( 4)lim ( ) 2log 0,45928764237704375..
2
z
n nzn
n z zd z
e
=→∞
=
−− − = −∑ iℤ871
31
5 9lim ( ) log 2,20867..
2 2
z
nzn
n zz z
e
==→∞
−− − = −∫
iℤ872
0 3
( 6) 9lim ( ) log 0,7911807912321..
2 2
z
n nzn
n z zd z
e
Limiti similari che generano altre costanti sono
→∞=
+ += − − ∑ ii
2
428
1
2 1lim ( ) log
2 2[ ]
zn k
zn
z k kI n e z z
=→∞
+= − − ∫ ii
2
4291
2lim ( ) log
2 2[ ]z
n k
nzn
z k kI n e d z z
es:
→∞=
+= − − =∑ iℤ i
1/873
1
3 1lim ( ) log 0,6235387..
2 2
zn
zn
zn e z z
=→∞
+= − − = −∫ iℤ i
1/874
1
2 1lim ( ) log 1,309330752..
2 2
zn
nzn
zn e d z z
→∞=
+= − − =∑ iℤ i
2/875
1
5lim ( ) 2log 4,56383....
2
zn
zn
zn e z z
=→∞
+= − − = −∫ iℤ i
2/876
1
4lim ( ) 2log 0,715841127..
2
zn
nzn
zn e d z z
→∞=
+= − − =∑ iℤ i
3/877
1
7 9lim ( ) log 17,98036..
2 2
zn
zn
zn e z z
=→∞
+= − − =∫ iℤ i
3/878
1
6 9lim ( ) log 3,73994693..
2 2
zn
nzn
zn e d z z
Poi
185
→∞=
− − + − += − + ∑
ii i
i2 2 3
430
1
2 3( 1) 3 ( 1) 1lim ( ) log
6 6[ ]
z
n kzn
n z k z k k kI z z
e
=→∞
− += − + ∫
ii i
2 2 2 3
4310
2 3 3lim ( ) log
6 6[ ]z
n n kzn
n z k z k kI d z z
e
→∞=
+= − + = −∑
iℤ
2 2
879 1/1
(2 1) 1lim ( ) log 0,03636..
6 6
z
nzn
n z zz
e
=→∞
− += − + = −∫
iℤ
2 2
880 1/0
(2 3 3) 1lim ( ) log 0,20935336140488..
6 6
z
nnzn
n z z zd z
e
→∞=
− += − + =∑
iiℤ
2 2
881 2/1
(2 3 7) 4lim ( ) log 0,08160..
6 3
z
nzn
n z z zz
e
=→∞
− += − + = −∫
iℤ
2 2
8822/0
( 3 6) 4lim ( ) log 0,7506339838158069..
3 3
z
nnzn
n z z zd z
e
→∞=
− += − + =∑
iiℤ
2 2
883 3/1
(2 6 19) 9lim ( ) log 1,28955..
6 2
z
nzn
n z z zz
e
=→∞−
− += − + =∫
iℤ
2 2
884 3/00,70880795883535..
(2 9 27) 9lim ( ) log
6 2
z
nnzn
n z z zd z
e
→∞=
− += − + =∑
iiℤ
2 2
885 4/1
(2 9 37) 32lim ( ) log 5,054..
6 3
z
nzn
n z z zz
e
=→∞
− += − + =∫
iℤ
2 2
8864/0
( 6 24) 32lim ( ) log 1,388444722432..
3 3
z
nnzn
n z z zd z
e
Abbiamo Poi
→∞=
+ + + + += − − ∑
i ii ii
2 32
432
1
2 3( 1) 3 ( 1) 1lim ( ) log
6 6[ ]
zn k
zn
z k z k k kI n e z z
=→∞
+ += − − ∫
ii i i
2 2 32
4331
2 3 3lim ( ) log
6 6[ ]z n k
nzn
z k z k kI n e d z z
es:
→∞=
+ += − − =∑
iℤ i
22 1/
887
1
(2 6 7) 1lim ( ) log 0,1764..
6 6
zn
zn
z z zn e z
=→∞
+ += − − = −∫
iℤ i
22 1/
8881
(2 3 3) 1lim ( ) log 1,286981971..
6 6
zn
nzn
z z zn e d z
186
→∞=
+ += − − =∑
ii iℤ
22 2/
889
1
(2 9 19) 4lim ( ) log 2,317560163..
6 3
zn
zn
z z zn e z
=→∞
+ += − − = −∫
iℤ i
22 2/
8901
( 3 6) 4lim ( ) log 2,495801673..
3 3
zn
nzn
z z zn e d z
Dalla serie di Knuth
π
∞
=
− = −∑i1
1( ) 0,08406950872765599646..
! 2
n
nn
n
n e n
si ricavano le relazioni
ζπ→∞
=
= − − = −∑i
ℤ891
1
1 1lim ( ) [2 ( )] 1,24926975..
2! 2
nz
nzn
nz
n e
ζπ=→∞
= − − = −∫ i
i
ℤ8920
1 1lim ( ) [2 ( )] 0,9158640..
2! 2
nz
nnzn
nd z
n e
π=→∞= − = −∫
i
ℤ8930
2lim ( ) 0,333266842..
!
nz
nnzn
n zd
n e
La illary reale è
π→∞=
= − + = −∑ i
i
ℤ894
1
1 2lim ( ) (4 1)
8 3!
nz
nzn
nz
zn e
CAP XV - SERIE ALTERNATE Se si introduce in una generica serie divergente
1
lim ( )[ ]z
zn
f n→∞
=
∑ (100)
una successione numerica ciclica ϕ , del tipo ϕ = + − + − + − + −1 ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,...) ϕ = + − + −2 ( 1,0,0, 1,0,0, 1,0,0, 1,0,0..) ϕ = + + + +3 ( 1,0,0,0,0 1,0,0,0,0 1,0,0,0,0 ..) si ottiene una serie alternata, che possiamo rappresentare con la funzione
ϕ→∞ →∞
= =
=∑ ∑ i1
1 1
lim ( ) lim ( )[ [] ]z z
z zn n
f n f n (101)
187
Teorema delle serie alternate: Data la funzione ( )f n per la quale si ha la serie divergente
1
lim ( )[ ]z
zn
f n→∞
=
∑
Supponiamo che esista per questa serie la funzione antagonista finita ( )af n , nella quale introduciamo una successione ciclica. Se questa operazione fa si che la nuova serie, abbia una funzione antagonista finita, che chiameremo 1( )af n questa risulterà diversa dalla precedente, ma molto più semplice da calcolare rispetto alla ( )af n . Tutte le prove sperimentali eseguite, sembrano dimostrare la veridicità di questo teorema, anche se a prima vista si ha l’impressione che l’introduzione della successione ciclica porti a notevoli complicazioni nel calcolo della funzione antagonista. Vediamo ora alcuni esempi che confermano il teorema (utilizzeremo in via eccezionale anche alcune funzioni trigonometriche).
Serie Alternate Semplici
→∞=
= − = −+
−∑ iℤ
2
895
1
lim ( 1) ( ) 2,2545..5 2
[ ]z
n
zn
n z
n
→∞=
−= − =
+−∑ ii
ℤ
3
896
1
( 4)lim ( 1) ( ) 11,2732..
5 2[ ]
zn
zn
n z z
n
→∞=
+= − = −
+−∑ iℤ
2
897
1
3 7 3lim ( 1) ( ) 0,95613..
4 1 8[ ]
zn
zn
n z
n
+−
→∞=
= + − − = −∑ iℤ
1[1 ]
( 1)898
1
1lim (1 ) log 0,16034..[ ] n
zn
zn
z zn
→∞=
+ += − = −−∑
ii iℤ
24
899
1
1 (6 9 2)lim ( 1) tan( ) 0,17716..
12[ ]
zn
zn
z z z n
n
→∞=
+ + −= − = −−∑
i ii iℤ
24
9002
1
( 1)1 ( 1)lim ( 1) cos( ) 0,038100566366799811..
2[ ]
zn
zn
zz z z n
n
→∞=
+ + − − += − =−∑
i ii iℤ
4 3 210
901 4 31
sin( )( 1)1 1 ( 2 2 3 3)
lim ( 1) cos( ) 0,0166855943..2
[ ]z
n
zn
zz z z z z n
n n
→∞=
= − =−∑ iℤ902
2
loglim ( 1) log( ) 0,22579..
2[ ]
zn
zn
z n
→∞=
= − =−∑ iℤ
22
903
2
[(log )
lim ( 1) log( )] 0,061..2
[ ]z
n
zn
z n
188
→∞=
−= − =−∑ iℤ
33
904
2
[ 0,022640878..(log )
lim ( 1) log( )]2
[ ]z
n
zn
z n
E in generale
→∞=
= − −∑ i434
2
[[log( )]
lim ( 1) log( )]2
kz
n k
zn
zI n
→∞=
−= =
+
−∑ℤ905
2
( 1)lim 1,47993891..
1 2log(1 )[ ]
nz
zn
z
n
Poi
→∞=
= − = −−∑ iℤ906
1
1lim ( 1) 0,3799..
2[ ]
zn
zn
n z
→∞=
= − = −−∑ iℤ3 3
907
1
1lim ( 1) 0,42151764..
2[ ]
zn
zn
n z
→∞=
= − = −−∑ iℤ4 4
908
1
1lim ( 1) 0,441714583..
2[ ]
zn
zn
n z
→∞=
= − − = −∑ℤ i5 5
909
1
1lim [( 1) ] 0,453..
2
zj
zn
n z
e in generale la illary
→∞=
= − −∑ i435
1
1lim ( 1)
2[ ]
zn k k
zn
I n z
Il limite estremo è
→∞ →∞
=
− + = −∑ i
1
1lim lim [( 1) ]
2 2
kzj k
k zn
zn
Alcune costanti con la funzione Del 1
(0 )2
ε< ≤
ε→∞
=
+ + − − − =
∑
i i
i2
1
( 1)( 2)lim ( ) 1
2 2 6[ ]
z
zn
n n z z zn
ε→∞
=
+ − − − =
∑
i
i
1
( 2)lim ( ) 0
2 2 4[ ]
z
zn
n n z zn
Alternate doppie
→∞=
+= − =
−−∑
ii i
i
ℤ
23
9102
1
(2 3)0,30742..
1lim ( 1) cos[ ]
4( 1)
zn
nzn
zz n
n
189
→∞=
−= − + = −−∑ iℤ911
1
1 ( 1)lim ( 1) ( ) log 0,0275..[ ]
nzn
zn
znn
→∞=
−= + − = −−
∑ iℤ i
i912
1
[( 1) ]1lim (1 ) 2,371..
( 1)[ ] n
z
nzn
n e zn
+
→∞=
− −= + − =−
∑ iℤ
i
( 1)913
1
[( 1) ] 0,358615..1
lim (1 )( 1)
[ ] nz
nzn
n z
en
+→∞=
− −= + − =−
∑ iℤ
i914 ( 1)
1
[( 1) ] 0,4798779..1
lim (1 )( 1)
[ ] nz
nzn
n z
en
Triple
−
→∞=
−= − − =
−−∑ i i
i
iℤ
( 1)2 2
9152
1
sin1 ( 2) 7
lim ( 1) log 0,06433049..8 12( 1)
[ ] nz
n
nzn
z z n z
n
→∞=
+ + −= − =
− −
=
−∑i
i i i
i i
ℤ
4 3 26
9162 2
1
(6 15 10 21)
0,132240208503889
1 1lim ( 1) sin cos
30( 1) ( 1)..
[ ] [ ] z
n
n nzn
z z zz n
n n
Multiple
+
++
→∞=
+
−
−
−−= − = −
−
+∑i
i
i
ℤ1
2 23 32
917
14 5
( 1)
( 1)
sin
cos
1( 2)( 1)lim ( 1) 1,358240779..
1 8( 1)
[ ]
[ ]
n
n
nzn
zn
n
z zn
n
+
+→∞=
− += =
− −+∑ ii
ℤ i ii i
( 1)11
9183 ( 2) 2 4
1
1 1 ( 1) ( 1)lim tan tan tan ( 2,693185540..
2( 1) ( 1)[ ] [ ] [ ]
nz
n nzn
z z n
n n n
+−
+
+ +
+
→∞=
−
= −
− −
+−= =+∑
i
i
i iii
ℤ
i
(2 5)3 ( 1)
4 3
7 (4 7)
4 ( 3) 7 1238
919
15 ( 1)
2
13,31922099174751016785264..
1 ( 1) ( 1)tan tan tan (
( 1)( 1)lim1 2tan
[ ] [ ] [ ]
[ ][ ]
n
n
n n
nz
zn
z zn n nn
n n
CAP XVI - SERIE LOGARITMICHE
Si possono studiare un infinità di funzioni contenenti logaritmi per le quali si ottengono serie divergenti e quindi costanti. In questo libro però elencheremo solo le funzioni più interessanti. Ad esempio per 1k ≥
190
π
→∞=
+= + − = ∑ i i i i
i436
2
2 1 log(2 )lim [log( )] log
2 2
zk
zn
zI n k z k z k
=→∞
= + − = − ∫ i i i i4372
lim [log( )] log( ) 2 (log2 1) zk
nznI n d k z k z z k
casi particolari sono π
→∞=
− + + = =∑ i
2
1 1lim [log( )] (2 1) log 0.918938533204.. log 2
2 2( )
z
zn
n z z z già nota
=→∞= − + = − = −∫ℤ i920
2lim [log( )] log 0,61370563888010938116.. 2(log2 1)
z
nznn d z z z
Per n=1 l’integrale precedente fornisce costante banale pari all’unità.
π→∞
=
= − + + = =∑ℤ i2
921
2
lim [log( )] (2 1) log 2 1.83787706640934548.. log(2 )z
zn
n z z z
=→∞= − + = = −∫ℤ i
2922
2lim [log( )] 2 log 2 1,2274112777602187623.. 4(log2 1)
z
nznn d z z z
π→∞
=
= − + + = =∑ℤ i3
923
2
3 3lim [log( )] (2 1) log 3 2.75681559961401822.. log(2 )
2 2
z
zn
n z z z
=→∞= − + = = −∫ℤ i
3924
2lim [log( )] 3 log 3 1,8411169166403281434.. 6(log2 1)
z
nznn d z z z
Sono pure valide per ogni numero reale positivo 1k ≥
π
→∞=
−+
= − + = ∑ i i ii438
2
log(2 )
2
1 2 1lim [log( )] log
2
z
kzn
kz
I k z k zn
=→∞
= − − = − ∫ i i i i4392
1 1lim [log( )] log( ) 2 (1 log2) z
knznI d k z k z k
zn
→∞
=
+= + − = −∑ iℤ925
2
1 2 1lim [log( )] log 0,918938533204..
2
z
zn
zz z
n
=→∞= − − = −∫ iℤ926
2
1 1lim [log( )] log( ) 0,613705638880109381165535..
z
nznd z z
n z
→∞
=
= + + − = −∑ iℤ927 22
1lim [log( )] (2 1) log 2 1.83787706640934548....
z
zn
z z zn
=→∞= − − = −∫ iℤ928 22
1 1lim [log( )] 2 log( ) 2 1,227411277760218762331071..
z
nznd z z
zn
→∞=
= + + − = −∑ iℤ929 32
(1 3
lim [log( )] 2 1) log 3 2.75681559961401822....2
z
zn
z z zn
191
=→∞= − − = −∫ iℤ930 32
1 1lim [log( )] 3 log( ) 3 1,84111691664032814349660..
z
nznd z z
zn
Gli integrali precedenti per (n=1) sono banali, e
=→∞
= − − = − ∫ i i i439'1
1 1lim [log( )] log( ) z
knznI d k z k z k
zn
Per un valore intero ≥ 2a abbiamo le funzioni generatrici di costanti
→∞
=
= + − − ∑ i440
1
1 1lim [log( )] ln log( )
z
zn
I a z a zn a
=→∞
= + − − ∫ i4410
1 1lim [log( )] ln log( ) z
nznI a d z a z
n a
Qualche esempio:
→∞
=
= + − − =∑ℤ i931
1
1 1lim [log(2 )] ln2 log 0,1207822376352455..
2
z
zn
z zn
=→∞= + − − =∫ iℤ932
0
1 1lim [log(2 )] log2 ln 0,846574..
2
z
nznd z z
n
→∞
=
= + − − =∑ℤ i933
1
1 1lim [log(3 )] ln3 log 0,1131916417403426222080712000..
3
z
zn
z zn
=→∞= + − − =∫ iℤ934
0
1 1lim [log(3 )] log3 ln 0,699537985..
3
z
nznd z z
n
→∞=
= + − − =∑ℤ i935
1
1 1lim [log(4 )] ln4 log 0,09827..
4
z
zn
z zn
=→∞= + − − =∫ iℤ936
0
1 1lim [log(4 )] log4 ln 0,596573902..
4
z
nznd z z
n
La 440I è sempre negativa, con un massimo per 1a = pari a 1
ln( )2
.
Il limite estremo di questa funzione è:
→∞ →∞
=
+ − − = = −∑ i i
2
1 1 1limlim [log( )] ln log ln( ) ln
z
a zn
a z a z an a a
→∞=
−= + + − + + =∑ iℤ937
1
0,081061466795327258219670263594..1
lim [log(1 )] (2 3) log( 1)2
z
zn
n z z z
→∞=
= + + + − + + + =∑ iℤ2 2
938
2
lim [log(1 )] 2 ( 1) log(1 ) 1,725..z
zn
n n z z z z
192
→∞=
= + + + + − + + + + +
− + =
∑ iℤ2 3 2 3
939
1
1lim [log(1 )] 3 (2 1) log(1 )
2log( 1) 3,05866..
z
zn
n n n z z z z z
z
→∞=
= + + + + + − + + + + + +
− ++ + − + − + + + =
∑ i
i i
ℤ2 3 4 2 3 4
940
1
2 2
1lim [log(1 )] 4 (2 1) log(1 )
2
5 1 5 1log[2 (1 5) 2] log[2 (1 5) 2] 3,90118..
4 4
z
zn
n n n n z z z z z z
z z z z
La funzione antagonista precedente contiene il numero aureo φ .
Poi
→∞=
= − + +
+
∑ i i442
1
lim [ ] ( 2) log( )1 2 12log(1 )
z
zn
a a aI z z z
n
=→∞= − + +
+
∫ i i4431
lim ( ) ( 1) log( )1 2 12log(1 )
[ ]z
nzn
a a aI d z z z
n
es:
→∞=
= − + + =
+∑ iℤ941
1
1 1lim [ ] ( 2) log 0,000625..
1 2 12log(1 )
z
zn
zz z
n
=→∞= − + + = −
+∫ i iℤ942
1
1 1 1lim [ ] ( 1) log 0,967525..
1 2 12log(1 )
z
nznd z z z
n
→∞=
= − + + =
+∑ iℤ943
1
2 1lim [ ] ( 2) log 0,00124..
1 6log(1 )
z
zn
z z z
n
=→∞= − + + = −
+∫ iℤ944
1
2 1lim [ ] ( 1) log 1,935050452..
1 6log(1 )
z
nznd z z z
n
→∞=
= − + + =
+∑ iℤ945
1
3 3 1lim [ ] ( 2) log 0,00187..
1 2 4log(1 )
z
zn
z z z
n
=→∞= − + + = −
+∫ iℤ946
1
3 3 1lim [ ] ( 1) log 2,902575..
1 2 4log(1 )
z
nznd z z z
n
→∞
=
= + + + − + +∑ i i i444
0
1lim log( ) log( ) ( ) log( )[ ]
z
zn
bI a n b z z z a z b
a a
[ 0 2]a b≠ ≥ es:
193
→∞=
= + + + − + + = −∑ℤ i947
0
1 3lim log(3 2) log ( ) log(3 2) 0,600184552943572339259..
3 2[ ]
z
zn
n z z z z
=→∞
+= + + −
+ = −
∫i
i i
i i
4450
lim [log( )]
log( ) log( )
z
nzn
a z bI a n b d z
a
ba z b b
a
es:
=→∞
+= + + − + = −∫ iℤ948
0
2 5lim [log(2 5)] log(2 5) 4,02359478108525093..
2
z
nzn
z n d z z
→∞=
= + + +
− − − − + +
+ − + +
∑ i i i i i
i i
i i i i i i
i i i i
4462
1
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1lim log( ) [
12 ( )
(3 3 6 ) (6 6
6 )( ) log( )]
[ ]
z
zn
I n a n b a za a z b
a z a b z a b a z a z
a b a z b a z b
[ 0 1]a a n b≠ + >i
→∞=
= + ++
− + − + − +
+ + + + +
∑ i i i i
i i
i i i i i i i
i i i i i
2447
31
3 3 2 2 2 2 3 3 3
3 2 3 3
1lim log( )
36 ( )
[4 2 3 (2 ) 12 ] 6[2
3 2 ]( ) log( )
[ ]
z
zn
I n a n b a za a z b
a z a b z a z b a b a z
a z a z b a z b a z b
[ 0 1]a a n b≠ + >i
→∞=
= + ++
+ + + +
+ − + + +
− + − + − +
∑ i i i i
i i
i i i i i i
i i i i i
i i i i i
3448 4 3
0
6 6 5 5 4 4 2 2
3 3 2 2 2 2 4 2 2
4 4 4 2 4 4
1lim log( )
720 ( )
[45 75 15 (2 3 )
15 (4 3 ) (11 30
330 ) 9 (3 50 ) 18 ( 10 )]
[ ]z
zn
I n a n b a za a z b
a z a b z a z a b
a b z a b a z a a b
b a b z a b b a b
− + − − − +
+ +
i i i i i
i i
4 4 4 3 4 2 4 4
3
6(30 60 15 30 )(
) log( )a z a z a z a b a z
b a z b
[ 0 1]a a n b≠ + >i Poi
194
→∞=
= + + + − +
+ + + +
∑ i i i i
i i i
2449
0
2
1lim log( ) 2 [(2
2
) log( )]
[ ]
z
zn
I a n b n c z a za
a b a z b z c
≠ + + >i i2[ 0 1]a a n b n c
es:
→∞=
= + + + − + + + = −∑ i i iℤ2 2
949
1
1lim log(2 5 3) 2 [(4 7) log(2 5 3)] 1,0611..
4[ ]
z
zn
n n z z z z
=→∞= + + + − +
−+ + − −
+ −+
−=
∫
i
i i i
ii i i i
i ii
ii
2450
0
22
2
2
lim [log( )] 2 ( )2
4log( ) log
2 4[ ] log( ) ( )
2 44
z
nzn
ATAN ASIN
bI a n b n c d z z
a
a c b a z b z c z
a
a z b b a c b b c
a a a ca c b
= 5a = 3b = 2c =ℤ950 0,702160198..
→ ∞=
= + + −
+ + ++ +
+ + + + + +
+ − + + − + +
+ −
∑ i i i i
i i i i i i i i
i i
i i i i i i
i i i i i
i
2
2451 2
1
2 22
3 4 2 3 2 2
2 2 2 2
2
1lim log( )
121
6 ( ) log(
) [6 6 (
12 3 ) ( 6 3 ) (
6 3 )
[ ]z
zn
I n a n b n ca
a z a z b z c a za z b z c
b z c a z a b z a z a
a c b b z a a c b c a
a c b
+ + − +
+ − + + +
i i i i
i i i i i i
2 3 4
2 2 2
] log( ) 6
2 ( 3 3 ) ( 6 )a z b z c a z
a z a a c b a b z a c
≠ + + >i i2[ 0 1]a a n b n c
195
→ ∞=
= + + −
+ + ++ +
− − + + + +
+ − + − + +
−
∑ i i i i
i i i i i
i i
i i i i i i i i
i i i i i i i i
2 2452 3
1
3 3 3 2 32
2 2 2
3 4 2 3 2 2
1lim log( )
361
6[2 3
(3 )] ( ) log(
) (8 2 2 (3 8
3
[ ]
z
zn
I n a n b n ca
a z a z a za z b z c
b a c b a z b z c a z b z
c a a z a b z a z a a c
b
z
− + − − − i i i i i2 2 2 2) 3 ( 10 4 ) 12 (2 )b z a a c b c a c b
≠ + + >i i2[ 0 1]a a n b n c
Poi
→∞=
= + + + − +
+ + + + +
∑ i i i i i i
i i i i i i i
3 2453
1
3 2 2
1lim log( ) 3 [ (2 1)
2
log( ) log( )]
[ ]
z
zn
I a n b n c n z a za
a z b z c z b a z b z c
3 2[ 0 1]a a n b n c n≠ + + >i i i
es:
→∞=
= + + + − + + + +
+ + + =
∑ iℤ3 2 3 2
951
1
2 1,852751426..
1lim log(2 3 5 ) 3 [2(2 1) log(2 3 5 )
4
3log(2 3 5)]
[ ]z
zn
n n n z z z z z
z z
→∞=
= + + + − + +
− + + + +
∑ i i i i
i i i i i i
4 3 2454
1
2
lim log( ) 4 (2 1)
1log( ) [(2 ) log( )
2
[ ]
z
zn
I a n b n c n z z
z a z a b a z b z c a
4 3 2[ 0 1]a a n b n c n≠ + + >i i i
es:
→∞=
= + + + − + − +
+ + =
∑ i i i
i
ℤ4 3 2
952
1
2 2,09167237252..
1lim log(5 4 3 ) 4 (2 1) log( ) [(10 9)
10
log(5 4 3)
[ ]z
zn
n n n z z z z
z z
→∞=
= + + + − +
+ + + + + +
∑ i i i i i
i i i i i i i
5 4 3455
1
5 4 3 2
1lim log( ) 5 [ (2
2
1) log( ) log( )]
[ ]
z
zn
I a n b n c n z a za
a z b z c z b a z b z c
1965 4 3[ 0 0]a a n b n c n≠ + + >i i i
es:
→∞=
= + + + − + + +
+ + + + + =
∑ i iℤ5 4 3 5 4
953
1
3 2
1lim log(7 2 5 ) 5 [7(2 1) log(7 2
14
5 ) 2log(7 2 5)] 4,014047472..
[ ]z
zn
n n n z z z z
z z z
→∞=
= + + + − +
− + + + +
∑ i i i i
i i i i i i
6 5 4456
1
2
lim log( ) 6 2(2 1)
1log( ) [(2 ) log( )
2
[ ]
z
zn
I a n b n c n z z
z a z a b a z b z c a
6 5 4[ 0 0]a a n b n c n≠ + + >i i i
es:
→∞=
= + + + − + − + +
+ + =
∑ i i i i
i i i
ℤ6 5 4
954
1
2 2,4844..
1lim log(3 5 2 ) 6 2(2 1) log( ) [(2 )
2
log( )
[ ]z
zn
n n n z z z a z a ba
a z b z c
In generale per tutti i valori dispari dell’esponente k si ha
− −
→∞=
− −
= + + + +
− + + + +
+ + +
∑ i i i i
i i i i i i
i i i
1 2457
1
1 2
2
lim log( )
1[ (2 1) log( )
2
log( )]
[ ]
zk k k
zn
k k k
I a n b n c n k z
a z a z b z c za
b a z b z c
2[ 0 0]a a n b n c≠ + + >i i Per valori pari di k
− −
→∞=
= + + + +
− − + − + +
+ + +
∑ i i i i
i i i i
i i i
1 2458
1
2
lim log( )
1 1( 2)(2 1) log( ) [(2
2 2
) log( )
[ ]
zk k k
zn
I a n b n c n k z
k z z a z aa
b a z b z c
1 1[ 0 0]k k ka a n b n c n− −≠ + + >i i i Poi le eccezionali uguaglianze fra queste serie e i rispettivi limiti
197
π
→∞=
→∞
= − + + =
− + + ==
∑
i
ℤ i955
2
1lim [log( )] (2 1) log 0.918938533204..=
21 1
lim [2log( !) (2 1) log 2 ] log 22 2
( )
z
zn
z
n z z z
z z z z
π
→∞=
→∞
= − + −
− + + =
=
=
=
∑ i
i
ℤ956
2
0,459469266602336370890164868202808819930698..
1lim log( ) [(2 1) log 2 ]
41 1
lim [2log( !) (2 1) log 2 ] log 24 4
[ ]
( )
z
zn
z
n z z z
z z z z
π
→∞=
→∞
= − + −
− + + =
= =
=
∑ i
i
ℤ3
957
2
0,306312844401557..
1 log(2 )lim log( ) [(2 1) log 2 ]
6 61
lim [2log( !) (2 1) log 2 ]6
[ ]
z
zn
z
n z z z
z z z z
π
→∞=
→∞
= − + −
− + + =
= =
=
∑ i
i
ℤ4
958
2
1 log(2 )lim log( ) [(2 1) log 2 ]
8 81
lim [2log( !) (2 1) log 2 ] 0,22973463330116818544..8
[ ]
z
zn
z
n z z z
z z z z
Ed in generale
π
→∞=
→∞
− + −
− + +
=
= =
=
∑ i
i
459
2
1lim log( ) [(2 1) log 2 ]
21 log(2 )
lim [2log( !) (2 1) log 2 ]2 2
[ ]
z
k
zn
z
I n z z zk
z z z zk k
Poi
→∞=
− + + += − =∑
iiℤ
2 2
959
2
3 (6 6 1) loglim log( ) 0,24875447703..
12[ ]
z
zn
z z z z n n
→∞=
− + + += − =∑
iiℤ
2 2
960
2
3 (6 6 1) loglim log( ) 0,124377238516..
24[ ]
z
zn
z z z z n n
→∞=
− + + += − =∑
iiℤ
2 23
961
2
3 (6 6 1) loglim log( ) 0,082918159015..
36[ ]
z
zn
z z z z n n
→∞=
− + + += − =∑
iiℤ
2 24
962
2
3 (6 6 1) loglim log( ) 0,06218861925..
48[ ]
z
zn
z z z z n n
In generale per [ 1]k ≥
→∞
=
− + + += −∑
ii
2 2
460
2
3 (6 6 1) loglim log( )
12[ ]
zk
zn
z z z zI n n
k
→∞=
+ + − += − =∑
i i
iℤ
2 22
463
2
[6(2 3 1)log 4 3]lim log( ) 0,0304484..
36[ ]
z
zn
z z z z z n n
198
→∞=
+ + − += − =∑
i i
ℤ
2 22
964
2
[6(2 3 1) log 4 3]lim log( ) 0,01522422..
72[ ]
z
zn
z z z z z n n
→∞=
+ + − += − =∑
i i
iℤ
2 22 3
965
2
[6(2 3 1) log 4 3]lim log( ) 0,0101494..
108[ ]
z
zn
z z z z z n n
→∞=
+ + − += − =∑
i iiℤ
2 22 4
966
2
[6(2 3 1) log 4 3]lim log( ) 0,0076121..
144[ ]
z
zn
z z z z z n n
In generale per 1k ≥
→∞
=
= − + +
+ − +
∑ i
i
i2 2
461
2
2
1lim log( ) [6(2 3
36
1) log 4 3]
[ ]z
k
zn
I n n z z zk
z z
Poi
→∞=
+ + + −= + − ∑
i i i ii462
0
(2 2 ) log( ) 2lim log( )
4[ ]
z
zn
a z a b a z b a zI a n b
a
≠ + >i[ 0 0]a a n b es:
→∞=
+ + −= + − = −∑
i
ℤ967
0
(6 7) log(3 2) 6lim log( 3 2) 0,1169902283604345543973..
12[ ]
z
zn
z z z n
→∞=
+ + + −= + −∑
i i i ii
3463
0
(2 2 ) log( ) 2lim log( )
6[ ]
z
zn
a z a b a z b a zI a n b
a
≠ + >i[ 0 1]a a n b
es:
→∞=
+ + −= + − = − ∑
iℤ
3968
0
(8 14) log(4 5) 8lim log( 4 5) 0,4241701337378106869605..
24[ ]
z
zn
z z z n
→∞=
+ + + −= + − ∑ i i i i
i4
464
0
(2 2 ) log( ) 2lim log( )
8[ ]
z
zn
a z a b a z b a zI a n b
a
≠ + >i[ 0 1]a a n b
es:
→∞=
+ + −= + − = −∑
i
ℤ4
969
1
(10 7) log(5 1) 10lim log( 5 1) 0,080573478873..
40[ ]
z
zn
z z z n
e in generale
199
→∞
=
= + − + +
+ + −
∑ i i
i
i i i
465
0
1lim log( ) [(2
2
2 ) log( ) 2 ]
[ ]
zk
zn
I a n b a z ak a
b a z b a z
per ≥ ≠ + >i[ 2 0 1]k a a n b Poi
→∞=
= + − ++
− − − + + − + +
+∑ i i i i i i i
i
i i i i i i
2 2466
21
2 2 2 2 2 2 2
1lim log( ) [ (3 3
24 ( )
6 ) (6 6 6 )( ) log( )]
[ ]
z
zn
I n a n b a z a z a b za az b
a b a z a z a b a z b a z b
≠ + >i[ 0 1]a a n b
→∞=
= + − ++
− − − + + − + +
+∑ i i i i i i
i
i i i i i i
i2 23
467 21
2 2 2 2 2 2 2
1lim log( ) [ (3 3
36 ( )
6 ) (6 6 6 )( ) log( )]
[ ]
z
zn
I n a n b a z a z a b za az b
a b a z a z a b a z b a z b
≠ + >i[ 0 1]a a n b
→∞=
= + − ++
− − − + + − + +
+∑ i i i i i i
i
i i i i i i
i2 24
468 21
2 2 2 2 2 2 2
1lim log( ) [ (3 3
48 ( )
6 ) (6 6 6 )( ) log( )]
[ ]
z
zn
I n a n b a z a z a b za az b
a b a z a z a b a z b a z b
≠ + >i[ 0 1]a a n b
E in generale
→∞=
= ++
− − − − +
+ + − + +
+∑ i i
i i i
i i i i i i i
i i i i i
i469 21
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1lim log( )
12 ( )
[ (3 3 6 ) (6
6 6 )( ) log( )]
[ ]
zk
zn
I n a n bk a az b
a z a z a b z a b a z
a z a b a z b a z b
per ≥ ≠ + >i[ 2 0 1]k a a n b es:
→∞=
= + − − − ++
− + − + + =
+∑ i i i
i
i i
ℤ27
970
1
2
1lim log( 2 3) [2 (12 18 58)
336 (2 3)
(24 24 50)(2 3) log(2 3)] 0,163241615396..
[ ] z
zn
n n z z zz
z z z z
Poi
200
→∞=
= + ++
− + − + − + + +
+ + +
+∑ i i i i
i
i i i i i i
i i i i
i2 3 3
470 31
2 2 2 2 3 3 3 3 2 3
3
1lim log( ) [4
72 ( )
2 3 (2 ) 12 ] 6(2 3
2 )( ) log( )
[ ]
z
zn
I n a n b a z a za az b
a b z a z b a b a z a z a z
b a z b a z b
≠ + >i[ 0 1]a a n b
→∞=
= + ++
− + − + − + + +
+ + +
+∑ i i i i
i
i i i i i i
i i i i
i2 3 33
4713
1
2 2 2 2 3 3 3 3 2 3
3
1lim log( ) [4
108 ( )
2 3 (2 ) 12 ] 6(2 3
2 )( ) log( )
[ ]
z
zn
I n a n b a z a za az b
a b z a z b a b a z a z a z
b a z b a z b
≠ + >i[ 0 1]a a n b
→∞=
= + ++
− + − + − + + +
+ + +
+∑ i i i i
i i
i i i i i i
i i i i
i2 3 34
472 31
2 2 2 2 3 3 3 3 2 3
3
1lim log( ) [4
144 ( )
2 3 (2 ) 12 ] 6(2 3
2 )( ) log( )
[ ]
z
zn
I n a n b a z a za a z b
a b z a z b a b a z a z a z
b a z b a z b
≠ + >i[ 0 1]a a n b
E in generale
→∞=
= ++
− + − +
− + + + + +
+
+∑ i i i
i i
i i i i i i i i
i i i i i
i i
2473 3
1
3 3 2 2 2 2 3
3 3 3 2 3 3
1lim log( )
36 ( )
[4 2 3 (2 ) 12 ]
6(2 3 2 )( )
log( )
[ ]
zk
zn
I n a n bk a az b
a z a z a b z a z b a b
a z a z a z b a z b
a z b
Per ≥ ≠ + >i[ 2 0 1]k a a n b Poi
201
→∞=
= + + − + + +
+ + −
∑ i i i i i
i
2 2474
0
1lim log( ) [(2 ) log(
4
) 4 ]
[ ]
z
zn
I a n b n c a z a b a za
b z c az
≠ + + >i i
2[ 0 1]a a n b n c
es: →∞
=
+ + + −= + + − =∑
iℤ
22
971
0
1,007..(4 5) log(2 3 4) 8
lim log( 2 3 4)8
[ ]z
z
n
z z z z n n
→∞
=
= + + − + + +
+ + −
∑ i i i i i
i i
3 2 2475
0
1lim log( ) [(2 ) log(
6
) 4 ]
[ ]
z
zn
I a n b n c a z a b a za
b z c a z
≠ + + >i i
2[ 0 1]a a n b n c
es: →∞
=
+ + + −= + + − ∑
iℤ
23 2
972
0
(3 4) log(3 5 7) 6lim log( 3 5 7)
9[ ]
z
zn
z z z z n n = 0,6115..
e in generale
→∞=
= + + −
+ + + + −
∑ i i i
i
i i i i i i
2476
0
2
1lim log( )
2
[(2 ) log( ) 4 ]
[ ]
zk
zn
I a n b n ca k
a z a b a z b z c a z
Per ≥ ≠ + + >i i
2[ 2 0 1]k a a n b n c
→∞=
= + ++ +
− − + + − + − +
+ + + − + + + +
+∑ i i
i i
i i i i i i i
i i i i i i i i
i i i2
4772 2
1
2 3 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1lim log( )
24
[6 2 ( 3 3 ) ( 6 )] (6
6 6 3 )( ) log( )
[ ]
z
zn
I n a n b n ca a z b z c
a z a z z a a c b b a c a z
a z a a c b a z b z c a z b z c
≠ + + >i i
2[ 0 1]a a n b n c
→∞=
= + ++ +
− − + − + − +
+ + + − + + + +
+∑ i i
i i
i i i i i i i
i i i i i i i i
i i i3 2
4782 2
1
2 3 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1lim log( )
36
[6 2 ( 3 3 ) ( 6 )] (6
6 6 3 )( ) log( )
[ ]
z
zn
I n a n b n ca a z b z c
a z a z z a a c b b a c a z
a z a a c b a z b z c a z b z c
≠ + + >i i2[ 0 1]a a n b n c
202
→∞=
= + + + +
− − + − + − +
+ + + − + + + +
+∑ i i
i i
i i i i i i i i
i i i i i i i i
i i i4 2
479 2 21
2 3 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1lim log( )
48
[6 2 ( 3 3 ) ( 6 )] (6
6 6 3 )( ) log( )
[ ]
z
zn
I n a n b n ca a z b z c
a z a z z a a c b b a c a z
a z a a c b a z b z c a z b z c
≠ + + >i i
2[ 0 1]a a n b n c E in generale
→∞=
= + +
− − ++ +
+ − + − + + +
− + + + +
+∑ i
i
i i i i i i i
i i
i i i i
i i i i i i i
i i i2
480 21
2 3 22
2 2 2 2 2
2 2 2
1lim log( )
121
[6 2 ( 3
3 ) ( 6 )] (6 6 6
3 )( ) log( )
[ ]
zk
zn
I n a n b n ck a
a z a z z a a ca z b z c
b b a c a z a z a a
c b a z b z c a z b z c
per ≥ ≠ + + >i i
2[ 2 0 1]k a a n b n c es:
→∞=
== + + − − ++ +
− + + + + + + −
+
=
∑ i i
i i
iℤ8 2 3
973 20
2 2 2
1lim log( 5 3 1) 5 (150 74 33)
2400(5 3 1)
(150 150 28)(5 3 1) log(5 3 1) 0,02216920..
[ ] [
]
z
zn
n n n z z zz z
z z z z z z
Poi
→∞=
= + + ++ +
+ − + − −
+ + − − − − +
+ + − − +
∑ i i
i i
i ii i i i i i i
i i i i i i
i i i i i
i i i2 2
481 3 21
3 4 2 3 2 2 2
2 2 2 3 3 3
2 3 2 2
1 1lim log( )
72
[8 2 2 (3 8 3 ) 3
( 10 4 )] 12 (2 )] 6[2 3
(3 )](
[ ]z
zn
I n a n b n ca a z b z c
a z a z a b z az a a c b bz
a a c b c a c b a z a
z a z b a c b a z + + + i i i i2) log( )b z c a z b z c
≠ + + >i i2[ 0 1]a a n b n c
→∞=
= + + + + +
+ + − + − − +
+ − − − − + + +
− − +
∑ i i
i i
i i i i i i i i i i
i i i i
i i i i
i i i32 2
482 3 21
3 4 2 3 2 2 2 2
2 2 3 3 3 2 3
2 2
1 1lim log( )
108
[8 2 2 (3 8 3 ) 3 (
10 4 )] 12 (2 )] 6[2 3
(3 )](
[ ]z
zn
I n a n b n ca a z b z c
a z a z a b z a z a a c b b z a
a c b c ac b a z a z a z
b a c b a z b z + + + i i i2) log( )c a z b z c
≠ + + >i i
2[ 0 1]a a n b n c
203
E in generale
→∞=
= + + +
+ −+ +
+ − − + − +
− − − + + −
−
∑ i
i
i i i i i i
i i
i i i i
i i i i
i
i i i2 2
4833
1
3 4 2 3 22
2 2 2 2
2 3 3 3 2 3
2
1lim log( )
361
[8 2 2( )
(3 8 3 ) 3 ( 10 4 )]
12 (2 )] 6[2 3
(3 )]
[ ]
z
k
zn
I n a n b n ck a
a z a z a bz aza z b z c
a a c b b z a ac b
c ac b a z a z a z b
ac b + + + + i i i i i i2 2( ) log( )a z b z c a z b z c
per ≥ ≠ + + >i i
2[ 2 0 1]k a a n b n c Poi
→∞=
+ + += − +
+ +
− − + + +
− +
∑i i
i
i i
i i i i i i i i i
i i i
484
1
2 1lim log( ) log( )
2
log[ ( )( )] log[ (
)( )]
[ ]
z
zn
a n b z a z bI
p n q p z q
b qa a q b p a z b p a q
a p
b p p z q
per
+≠ ≠ + ≠ >
+
− + > − + >
ii
i
i i i i i i i i i i
[ 0 0 0 1]
[ ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0]
a n ba p p n q
p n q
a a q b p a z b p a q b p p z q
es:
→∞=
+ + += − − + + + =
+ +
=
∑ i i i i iℤ974
1
5 1 2 1 5 1 1 3lim log( ) log( ) log[65(5 1)] log[26 (2 3)]
2 3 2 2 3 5 25,982012135945351012041360208217550670217862892029505667104..
[ ]z
zn
n z z z z
n z
204
=→∞
+ += − +
+ +
− + − − + +
+ − + =
= − − + −
∫i i
i i i
i i
i i i i i i i i i i
i i i i i i
i i i i i i i i i i
4850
lim [log( ) log( ) log[
( )( )] log[ ( ) ( )]
log[ ( )( )]
log[ ( )] log[ ( )]
]z
nzn
a n b a z b qI d z p
p n q p z q p
ba q bp p z q a a q b p a z b
a
qp a q b p p z q
p
b qa b a q b p p q a q b p
a p
es: = 20a = 7b = 6p = 3q =ℤ975 0,149166794719.. In particolare
→∞= +
+= −
−∑ i486
1
lim [log( )] 2 log z
zn a
n aI a z
n a
es:
→∞
=
+= − = −
−∑ℤ i976
2
1lim [log( )] 2 log 0,5826775958..
1
z
zn
nz
n
→∞=
+= − = −
−∑ℤ i977
6
5lim [log( )] 10 log 15,98721449566..
5
z
zn
nz
n
+→∞
+ += − − +
− −
+ = − + ++ +
∫ i
i i
4871
lim [log( )] ( ) log( )
2 log( ) log(2 1) 2 log( )2 1
[
]
z
azn
n a z aI d z a
n a z a
a aa a a
z a a
es:
→∞
+ += − − + = − = −
− − +∫ℤ i9782
1 1 1lim [log( )] ( 1) log( ) 2log( ) 3,2958.. log(27)
1 1 1
z
zn
n zd z
n z z
→∞
+ += − − + = −
− − +∫ℤ i9796
5 5 5lim [log( )] ( 5) log( ) 10log( ) 10,28246..
5 5 5
z
zn
n zd z
n z z
Poi
→∞=
+ + += −
+ +
+ + − + + +
+ +
+ + +
∑i i
i
i i
i ii i i
i i
i ii
2
488 21
22
2
2
2 1lim log( )
2
log( ) log( )2
log( )2
[ ]
z
zn
a n b n c zI
p n q n r
a z b z c ba z b z c
ap z q z r
qp z q z r
p
205
con 2
2[ 0 0 1 ]
a n b n ca p
p n q n r
+ +≠ ≠ >
+ +
i i
i i
es:
→∞=
+ + + + += − − + +
+ + + +
+ + + = −
∑ iℤ
2 22
980 2 21
2
2 8 3 2 1 2 8 3lim log( ) log( ) 2log(2 8 3)
25 4 1 5 4 12log(5 4 1) 6,2109..
5
[ ]z
zn
n n z z z z z
n n z z
z z
=→∞
+ + + += − +
+ + + +
−− + + + + + −
−+ ++ = +
− −
−
∫i i i i
i
i i i i
ii i i i
ii ii i
i i
2 2
4892 20
22 2
2
2 2
lim log( ) log( )
4log( ) log( )
2 2
42 2( ) ( ) log( )
24 4
log2
[ ]
z
nzn
ATAN ATAN
a n b n c a z b z cI d z
p n q n r p z q z r
b q a c ba n b n c p z q z r
a p a
p r qa z b p z q qr
p pa c b p r q
b
a
−−
− + i
22 44( ) ( ) ( )
2 2ASIN ASIN
pr qac b b qc
a pac pr
→∞
=
+= − − + +
+ − +
∑ i
i i
490 21
2
1lim log( ) [(2 2 1)
2
log( ) (2 1) log( )]
[ ]
z
zn
n aI z z a
n
z a z z
[ 0]a ≥
es: →∞
=
−
+= − − + + − +
=
=∑
i iℤ2
9812
1
2,6120857137646180511975618578637942079368..
1 1lim log( ) [(2 3) log( 1) (2 1) log( )]
2[ ]
z
zn
nz z z z z
n
→∞
=
= − +∑i
i i i i2
491
1
log( ) 1lim [log( )] log( )
2[ ]
z
zj
a nI z a z a z
n z
[ 0]a >
es: →∞
=
= − + = −∑ i iℤ2 2
982
1
log(5 ) 1lim [log(5 )] log(5 ) 0,43896826..
2[ ]
z
zj
n z z z
n z
=→∞
= − = −∫i
i i i2 2
4921
log( ) 1 1lim [ ] [log( )] (log )
2 2 z
nzn
a nI d a z a
n
es:
=→∞= − = −∫ iℤ
2983
1
log(7 ) 1lim [ ] [log(7 )] 1,893283154098235822..
2
z
nzn
n d z
n
206
Poi
→∞=
= +∑i
i i4932
1
log( ) 1lim [log( )][ ]
z
zn
a nI a z
zn
[ 0]a >
es: →∞
=
= + =∑ iℤ984 21
log(5 ) 1lim [log(5 )] 3,5849..[ ]
z
zn
n z
zn
=→∞
= + + = +∫i
i i494 21
log( ) 1 1lim [ log( ) log( ) 1] z
nz
a nI dn a z a
z zn
es:
=→∞= + + =∫ iℤ985 21
log(5 ) 1 1lim [ log(5 ) 2,60943791243410037..]
z
nz
n dn z
z zn
Poi
→∞
=
+= − + +
+ +
∑i
i i i
i
2495
1
log( ) 1lim [log( )]
2
log( )
[ ]
z
zj
a n bI z a z b
n z
a z b
+ >i[ 1]a n b
es: →∞
=
+= − + + + =∑ iℤ
2986
1
log(7 5) 1lim [log(7 5)] log(7 5) 1,6914..
2 [ ]
z
zn
n z z z
n z
=→∞
+ += −∫
i i2
4961
log( ) [log( )]lim
2[ ] z
nzn
a n b a z bI d
n
es:
=→∞
+ += − =∫ℤ
2
9871
log(3 4) [log(3 4)]lim 0,4400788..
2[ ]z
nzn
n z d
n
→∞
=
+= − +
+ +
+ + + +
∑i
i i
i i i
i i i
497
1
log( ) 1lim og(
2 ( )
)[( ) log( ) ]
[ ]
z
zj
a n bI l a z
a n b a a z b
b a z b a z b a
≠ + >i[ 0 1]a a n b
→∞=
+ + += − − =
+ + +∑ℤ
2
988
1
log(5 2) [log(5 5)] log(5 2)lim 0,11488716977..
5 2 5 2 5 2[ ]
z
zj
n z z
n z z
Caso particolare
207
→∞=
+=
+−∑
2
498
0
log( ) (log )lim
2 [ ]
z
zn
n a zI
n b
[ 1 0]a b> >
es: →∞
=
+= = −
+−∑ℤ
2
989
1
log( 8) (log )lim 0,970153901..
5 2[ ]
z
zn
n z
n
Poi
→∞
=
+= − + +
+ − +
∑i
i i
i
i i
2499 2 2
1
log( ) 1lim log (2
2
2 ) log( )
[ ]
z
zn
a n b aI z a z
bn b z
bz b a z b
[ 1]a n b + >i es:
→∞=
+ + −= − + + =∑ i iℤ
2
990 2 21
log(5 8) 5 5 8 4lim log log(5 8) 5,796971903504..
8 4[ ]
z
zn
n z z z z
n z
=→∞
+ += − +
+
∫i i
i
i
i i
i500 21
log( )lim log
log( )
[ ]
z
nzn
a n b a a z bI d z
b b zn
a z b
es:
=→∞
+ += − + + =∫ i iℤ991
21
log(6 4) 3 3 2lim log log(3 2) 5,75646273..
2[ ]z
nzn
n z d z z
zn
Poi
→∞
=
+ += − −
+
∑i i
i i i
i i
501 21
2log( ) 2lim [ log
log( )]
[ ]
z
zn
a n b a a z bI a z
n zb
a z b
[ 1]a n b + >i
es: →∞
=
+ += − − + =∑ iℤ992
21
2log(6 5) 12 6 5lim [6log log(6 5)] 19,182920988..[ ]
z
zn
n z z z
n zb
=→∞
+ += − − +∫
i ii i i
2
502 21
log( ) 2lim [ [ log log( )]] z
nzn
a n b a a z bI d a z a z b
n zb
[ 1]a n b + >i
es: =→∞
+ += − − + =∫ iℤ
2
9931
log(6 5) 12 6 5lim [ [6log log(6 5)] 15,6458141744..
25]z
nzn
n z d z z
n z
Poi
208
→∞= +
= − − − +
+ − + −
−
∑ i
i
2 2 2 2503
1
lim [log( )] log( )
log( ) 2 log
z
zn a
I n a z z a
z aa z z
z a
es: = 5a = −ℤ994 13,266535..
= +→∞
+= − − − + + =
−
= − + + + + ++
∫ i i
i i
2 2 2 2504
1lim [log( )] log( ) log( ) 2
1( 1) log(2 1) log( ) 2( 1)
2 1
z
n azn
z aI n a d z z a a z
z a
a a a aa
es: = 3a = −ℤ995 5,62137104338719313573746..
→∞=
= + + − + +∑ i2 2 2 2
505
0
1lim [log( )] 2 (2 1) log( )
2
z
zn
I n a z z z a
con [ 1]a >
es: →∞
=
= + + − + + =∑ iℤ2 2
996
0
1lim [log( 9)] 2 (2 1) log( 9) 10,52..
2
z
zn
n z z z
Interessante è la illary
→∞
−
= =
= − +−
−
−∑ ∑i i506( )
2 0
!lim [log( )] [( 1) (log ) ]
( )!
(log )2
z
k
z kk j k j
n j
kI n z
k j
z
z
[ 1]k ≥ di cui in particolare
→∞=
= − − =−∑ iℤ997
2
loglim (log ) [(log ) 1] 0,918938533..
2
z
zn
zn z z
→∞=
= − + − = −−∑ iℤ
22 2
998
2
(log )lim (log ) [(log ) 2(log ) 2] 2,0633..
2
z
zn
zn z z z
→∞=
= − + − − =−∑ iℤ
33 3 2
999
2
(log )lim (log ) [(log ) 3(log ) 6(log ) 6] 6,0047..
2
z
zn
zn z z z z
→∞=
= − + − + − = −−∑ iℤ
44 4 3 2
1000
2
(log )lim (log ) [(log ) 4(log ) 12(log ) 24(log ) 24] 23,9962..
2
z
zn
zn z z z z z
209
→∞=
= − + − + − − =−∑ iℤ
55 5 4 3 2
1001
2
(log )lim (log ) [(log ) 5(log ) 20(log ) 60(log ) 120(log ) 120] 120,01541..
2
z
zn
zn z z z z z z
Le costanti generate da questa funzione hanno un valore pari all'incirca a
+≈ − i506
( 1)( 1) !sI k per cui se sottraiamo dalla 506I tale valore, avremo una nuova Illary, che genera una diversa successione di costanti
−
→∞= =
+
= − +−
− − −
−∑ ∑i i
i
( )507
2 0
( 1)
!lim (log ) [( 1) (log ) ]
( )!
(log )( 1) !
2
z kk j k j
zn j
kk
kI n z
k j
zk
z
da cui le costanti
= 1k =ℤ1002 0,081061467.. = 2k =ℤ1003 0,0633.. = 3k =ℤ1004 0,0047.. = 4k =ℤ1005 0,0037.. = 5k =ℤ1006 0,01541..
Gli integrali della funzione (log )sn portano alle costanti
=→∞= − − = − + = −−∫ iℤ1007
2lim (log ) [(log ) 1] 1 2log2 1 0,386294361119890..
z
nznn d z z
=→∞= − + + = − + − = −−∫ iℤ
2 2 21008
2lim (log ) [(log ) 2(log ) 2] 2 2(log2) 4(log2) 2 0,1883173..
z
nznn d z z z
=→∞= − + − − =
= − + − + = −
−∫ iℤ3 3 2
10092
3 2
lim (log ) [(log ) 3(log ) 6(log ) 6] 6
2(log2) 6(log2) 12(log2) 6 0,101097387187994..
z
nznn d z z z z
=→∞= − + − + +
= − + − + − − = −
−∫ iℤ4 4 3 2
10102
4 3 2
lim (log ) [(log ) 4(log ) 12(log ) 24(log ) 24] 2
2(log2) 8(log2) 24(log2) 48(log2) 240(log2) 24 0,0572806484141002..
z
nznn d z z z z z
=→∞= − + − + − − =
= − + − − + − + = −
−∫ iℤ5 5 4 3 2
10112
5 4 5 3 2
lim (log ) [(log ) 5(log ) 20(log ) 60(log ) 120(log ) 120] 120
2(log2) 10(log2) 2(log2) 40(log2) 120(log2) 240(log2) 120 0,0336021534439997..
z
nznn d z z z z z z
La illary generale è
−
=→∞=
+ − +
=
= − +−
− − = − + −−
− ∑∫
∑
i i i
i i ii i
( )508
20
( 1) ( ) ( 1)
0
!lim (log ) [( 1) (log ) ]
( )!
!( 1) ! 2 [( 1) (log2) ] ( 1) !
( )!
kzk j k j
nzj
kk j k j k
j
nk
I n d zk j
kk k
k j
z
210
Serie del tipo →∞
=
∑2
[log( )]lim
pz k
zn
n
n
In particolare per 2k = e p dispari
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ1012
2
(log ) 1lim [ ] [ log (4 log 3)] 0,171408725..
6
z
zn
nz z z
n z
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ
33
1013
2
(log ) 1lim [ ] (log ) (4 log 5) 0,02936543221..
10
z
zn
nz z z
n z
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ
55
1014
2
(log ) 1lim (log ) (4 log 7) 0,0011433..
14
z
zn
nz z z
n z
La illary generale è
→∞
=
= −+
+ +
∑ i i
i
i i
509
2
(log ) 1lim [ ] (log )
2( 2)
(4 log 2)
pzp
zn
nI z
n p z
z z p
per 3k = e p coprimo con k
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ
331015
2
(log ) 1lim [ ] (log ) (3 log 2) 0,22909477..
4
z
zn
nz z z
n z
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ
23231016
2
(log ) 1lim [ ] (log ) (6 log 5) 0,128850549..
10
z
zn
nz z z
n z
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ
43431017
2
(log ) 1lim [ ] (log ) (6 log 7) 0,04023878..
14
z
zn
nz z z
n z
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ5 53 3
1018
2
1lim (log ) (log ) (6 log 8) 0,0210042..
16
z
zn
n z z zz
→∞
=
= −+
+ +
∑ i i
i
i i
33510
2
(log ) 1lim (log )
2( 3)
(6 log 3)
pzp
zn
nI z
n p z
z z p
211
per 4k = e p coprimo con k
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ
441019
2
(log ) 1lim [ ] (log ) (8 log 5) 0,2656635..
10
z
zn
nz z z
n z
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ
34341020
2
(log ) 1lim [ ] (log ) (8 log 7) 0,111785455..
14
z
zn
nz z z
n z
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ
54541021
2
(log ) 1lim [ ] (log ) (8 log 9) 0,046844332..
18
z
zn
nz z z
n z
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ
74741022
2
(log ) 1lim [ ] (log ) (8 log 11) 0,01758295..
22
z
zn
nz z z
n z
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ
94941023
2
(log ) 1lim [ ] (log ) (8 log 13) 0,0044841..
26
z
zn
nz z z
n z
in generale
→∞
=
= −+
+ +
∑ i i
i
i i
44511
2
(log ) 1lim (log )
2( 4)
(8 log 4)
[ ]
pzp
zn
nI z
n p z
z z p
per 5k = e p coprimo con k
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ
551024
2
(log ) 1lim [ ] (log ) (5 log 3) 0,0044842..
6
z
zn
nz z z
n z
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ2 25 5
1025
2
1lim (log ) (log ) (10 log 7) 0,20383022..
14
z
zn
n z z zz
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ
35351026
2
(log ) 1lim [ ] (log ) (5 log 4) 0,14438575..
8
z
zn
nz z z
n z
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ
45451027
2
(log ) 1lim [ ] (log ) (10 log 9) 0,10264733..
18
z
zn
nz z z
n z
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ
65651028
2
(log ) 1lim [ ] (log ) (10 log 11) 0,05124587..
22
z
zn
nz z z
n z
→∞=
= − + = −∑ i i iℤ
75751029
2
(log ) 1lim [ ] (log ) (5 log 6) 0,03554463..
12
z
zn
nz z z
n z
..........
212
→∞
=
= −+
+ +
∑ i i
i
i i
55512
2
(log ) 1lim (log )
2( 5)
(10 log 5)
[ ]
pzp
zn
nI z
n p z
z z p
La illary estesa a tutte le radici k, con k coprimo con p è
→∞
=
= −+
+ +
∑ i i
i
i i i
513
2
(log ) 1lim (log )
2( )
(2 log )
[ ]
pz kpk
zn
nI z
n p k z
k z z p k
Interessanti sono anche le costanti generate dalle serie tipo
→∞
=
∑ i
2
lim [ (log ) ]z
k
zn
n n (102)
es:
→∞=
= − + + + − =∑ i iiℤ2 2
1030
2
1lim (log ) (6 6 1)log( ) [ 3] 0,248754477033785..
12[ ]
z
zn
n n z z z z
→∞=
= − + + + + − + = −∑ i i i i iℤ2 2 2 2
1031
2
1lim (log ) (6 6 1)(log ) 2 log 3 [ 2 log 1] 0,2502044241..
12[ ]
z
zn
n n z z z z z z
→∞=
= − + + + + − +
+ − =
∑ i i i i i
i
ℤ3 2 3 2 2 2
1032
2
1lim (log ) 2(6 6 1)(log ) 6 (log ) 3 [ 6 (log )
246 log 3] 0,382531524..
[ ]z
zn
n n z z z z z z
z
→∞=
= − + + + + − +
+ − + = −
∑ i i i i i
i i
ℤ4 2 4 3 2 3
1033
2
2
1lim (log ) (6 6 1)(log ) 4 (log ) 3 [ 4 (log )
12
6 (log ) 6 log 3] 0,74748643..
[ ]z
zn
n n z z z z z z
z z
→∞=
= − + + + + − +
+ − + − =
∑ i i i i i
i i i
ℤ5 2 5 4 2 4
1034
2
3 2
1lim (log ) 2(6 6 1)(log ) 10 (log ) 3 [ 10 (log )
24
20 (log ) 30 (log ) 30 log 15] 1,8738512..
[ ]z
zn
n n z z z z z z
z z z
→∞=
= − + + + + − +
+ − + − + = −
∑ i i i i
i i i
ℤ6 2 6 5 2 5
1035
2
4 3 2
1lim (log ) 2(6 6 1)(log ) 12 (log ) 3 [ 12 (log )
24
30(log ) 60 (log ) 90 (log ) 90 log 45] 5,62682..
[ ]z
zn
n n z z z z z z
z z z z
→∞=
= − + + + + − +
+ − + − + − =
∑ i i i i i
i i i i
ℤ7 2 7 6 2 6
1036
2
5 4 3 2( (
1lim (log ) 4(6 6 1)(log ) 28 (log ) 3 [ 28 (log )
48
84(log ) 210 (log ) 420 (log ) 630 log ) 630 log ) 315] 19,6866..
[ ]z
zn
n n z z z z z z
z z z z z
213
→∞=
= − + + + + − +
+ − + − + +
− + =
∑ i i i i
i i i i i
i
ℤ8 2 8 7 2 7
1037
2
6 5 4 3 2(
(
1lim (log ) (6 6 1)(log ) 8 (log ) 3 [ 8 (log )
12
28 (log ) 84 (log ) 210 (log ) 420 (log ) 630 log )
630 log ) 315] 78,7495732695..
[ ]z
zn
n n z z z z z z
z z z z z
z
→∞=
= − + + + + − +
+ − + − + +
− + − =
∑ i i i i i
i i i i i
i i
ℤ9 2 9 8 2 8
1038
2
7 6 5 4 3
2( (
1lim (log ) 2(6 6 1)(log ) 18 (log ) 3 [ 18 (log )
24
72 (log ) 252 (log ) 756 (log ) 1920 (log ) 3780 (log )
5670 log ) 5670 log ) 2835] 354,376
[ ]z
zn
n n z z z z z z
z z z z z
z z 02255..
→∞=
= − + + + + − +
+ − + − + +
− + −
∑ i i i i i
i i i i
i i i
ℤ10 2 10 9 2 9
1039
2
8 7 6 5 4
3 2( (
1lim (log ) 2(6 6 1)(log ) 20 (log ) 3 [ 20 (log )
24
90 (log ) 360 (log ) 1260 (log ) 3780(log ) 9450 (log )
18900 (log ) 28350 log ) 28350 l
[ ]z
zn
n n z z z z z z
z z z z z
z z + −=og ) 14175] 1771,87..z
La illary generale è
→∞=
− −
−=
= − + + +
+ + [(−1)−
∑
∑
i i i
i i i i i
i
2514
2
1 2 ( )3
1
1lim (log ) [4 (6 6 1)(log )
48
!4 (log ) (log ) ]
2 ( )!
[ ]z
k k
zn
kk j k j
jj
I n n z z z
kk z z z
k j
e poiché è
+
+≈ − i
( 1)514
( 1)
!( 1)
2k
k
kI
si ha
→∞=
− −
+ −=
= − + + +
+ − + (−1)−
+ [
∑
∑i
i i i
i i i i i
i
2515
2
1 2 ( )( 1) 3
1
1lim (log ) [4 (6 6 1)(log )
48
! !4 (log ) ( 1) (log )
2 2 ( )!]
[ ]z
k k
zn
kk k j k j
k jj
I n n z z z
k kk z z z
k j
che genera costanti di valore diverso dalle precedenti, ma di piccolo valore numerico . Gli integrali della funzione (84) sono più semplici
=→∞= − − = − = − +−∫ iℤ
2
10402
lim [ (log )] [2log( ) 1] 1 0,386294361119890.. 2log2 14
z
nzn
zn n d z
=→∞= − + + = − = − + −−∫ iℤ
22 2 2
10412
lim [ (log ) ] [2(log ) 2(log ) 1] 2 0,5746116667.. 2(log2) 2(log2) 14
z
nzn
zn n d z z
214
=→∞= − + − =
= − + − +
−∫ iℤ
23 3 2
10422
3 2
lim [ (log ) ] [4(log ) 6(log ) 6(log ) 3] 0,1958681960..8
32(log2) 3(log2) 3(log2)
2
z
nzn
zn n d z z z
=→∞= − + − + =
= − + − + − = −
−∫ iℤ
24 4 3 2
10432
4 3 2
lim [ (log ) ] [2(log ) 4(log ) 6(log ) 6(log ) 3]4
2(log2) 4(log2) 6(log2) 6(log2) 3 0,8534065893..
z
nzn
zn n d z z z z
=→∞= − + − + − =
= − + − − + − + =
−∫ iℤ
25 5 4 3 2
10442
5 4 5 3 2 1,813511077..
lim [ (log ) ] [4(log ) 10(log ) 20(log ) 30(log ) 30(log ) 15]8
2(log2) 10(log2) 2(log2) 40(log2) 120(log2) 240(log2) 120
z
nzn
zn n d z z z z z
Abbiamo poi serie del tipo
→∞
=
∑ 2
2
lim [ (log ) ]z
k
zn
n n
e in particolare
→∞=
= − − + + + + =∑ i i iℤ2 2 2
1045
2
lim [ (log )] [ 4 3 6(2 3 1) log ] 0,03044845..36
z
zn
zn n z z z z
→∞=
= − − − + + + = −∑ i i i iℤ2 2 2 2 2 2
1046
2
lim [ (log ) ] [4 3(4 3) log 9(2 3 1)(log ) ] 0,06576347013..54
z
zn
zn n z z z z z z
→∞=
= − − + − − +
+ + + =
∑ i i i i
i
ℤ2 3 2 2 2 2
1047
2
2 3
lim [ (log ) ] [ 8 24 log 9(4 3)(log )108
18(2 3 1)(log ) ] 0,08321..
z
zn
zn n z z z z z
z z z
→∞=
= − − + − −
+ + + = −
∑ i i i i i
i i
ℤ2 4 2 2 2 2 2
1048
2
3 2 4
lim [ (log ) ] [16 48 log 72 (log ) 18(4 3)162
(log ) 27(2 3 1)(log ) ] 0,0984132407..
z
zn
zn n z z z z z z
z z z z
→∞=
= − − + − +
+ − + + + =
∑ i i i i i
i i i
ℤ2 5 2 2 2 2 2
1049
2
3 2 4 2 5
lim [ (log ) ] [ 160 480 log 720 (log ) 720972
(log ) 135(4 3)(log ) 162(2 3 1) (log ) ] 0,16153227..
z
zn
zn n z z z z z z
z z z z z z
→∞=
= − − + − +
+ − − + + + = −
∑ i i i i
i i i
ℤ2 6 2 2 2 2 2 3
1050
2
2 4 2 5 2 6
lim [ (log ) ] [160 480 log 720 (log ) 720 (log )486
540 (log ) 81(4 3)(log ) 81(2 3 1)(log ) ] 0,326605..
z
zn
zn n z z z z z z z
z z z z z z z
Gli integrali della stessa funzione sono più semplici:
=→∞= − = − + = −−∫ i iℤ
32
1051 22
8 8lim [ (log )] [3log( ) 1] log2 0,9595035926..
3 93
z
nzn
zn n d z
=→∞= − + = − + − = −−∫ iℤ
32 2 2 2
1052 32
8 16 16lim [ (log ) ] [9(log ) 6(log ) 2] (log2) (log2) 0,6415389753..
3 9 273
z
nzn
zn n d z z
215
=→∞= − + − =
= − + − + =
−∫ i iℤ
32 3 3 2
1053 32
3 2
lim [ (log ) ] [9(log ) 9(log ) 6(log ) 2]3
8 8 16 16(log2) (log2) (log2) 0,2465267632..
3 3 9 27
z
nzn
zn n d z z z
=→∞= − + − + =
= − + − + − = −
−∫ i iℤ
32 4 4 3 2
1054 42
4 3 2
lim [ (log ) ] [27(log ) 36(log ) 36(log ) 24(log ) 8]3
2(log2) 4(log2) 6(log2) 6(log2) 3 0,286857911877368..
z
nzn
zn n d z z z z
=→∞= − + − +
+ − = − + − + +
− + =
−∫ i iℤ
22 5 5 4 3 2
10552
5 4 3 2
lim [ (log ) ] [4(log ) 10(log ) 20(log ) 30(log )8
8 40 160 16030(log ) 15] (log2) (log2) (log2) (log2)
3 9 27 27320 320
(log2) 0,051422659109904..81 243
z
nzn
zn n d z z z z
z
Abbiamo poi le serie del tipo
→∞
=
∑ 3
2
lim [ (log ) ]z
k
zn
n n
→∞=
= − − − + + − =
= −
∑ i i iℤ3 2 2 4 3 2
1056
2
1lim [ (log )] [5 (3 4) 2(30 60 30 1) log ]
2400,02065635413555..
z
zn
n n z z z z z z
→∞=
= − − − + + + +
+ − = −
∑ i i
i
ℤ3 2 4 4 2 4 3
1057
2
2 2
1lim [ (log ) ] [45 4(45 60 11)log 12(30 60
1440
30 1)(log ) ] 0,0309245287119..
z
zn
n n z z z z z z
z z
→∞=
= − − + − − − +
+ + + + − =
∑ i i
i i
ℤ3 3 4 4 4 2
1058
2
2 4 3 2 3
1lim [ (log ) ] [ 45 12(15 8)log 8(45 60
1920
11)(log ) 16(30 60 30 1)(log ) ] 0,02262027088..
z
zn
n n z z z z z
z z z z z
→∞=
= − − + + − +
− − + + + + − = −
∑ i i
i i
ℤ3 4 4 4 4 2
1059
2
4 2 3 4 3 2 4
1lim [ (log ) ] [135 12(45 16) log 72(15 8)(log )
5760
32(45 60 11)(log ) 48(30 60 30 1)(log ) ] 0,0273199202..
z
zn
n n z z z z z
z z z z z z z
→∞=
= − − + − +
+ − − − + + + +
+ − =
∑ i i
i
i
ℤ3 5 4 4 4 2
1060
2
4 3 4 2 4 4 3
2 5
(1
lim [ (log ) ] [ 675 2700 log 120(45 16) log )23040
480(15 8)(log ) 160(45 60 11)(log ) 192(30 60
30 1)(log ) ] 0,02433432..
z
zn
n n z z z z z
z z z z z z z
z z
e la serie
→∞
=
∑ 4
2
lim [ (log ) ]z
k
zn
n n
→∞=
= − − + − + + +
+ − = −
∑ i
i
ℤ4 4 2 4 3
1061
2
2
lim [ (log )] [ 72 5(30 13) 60(6 151800
10 1) log ] 0,00798380..
z
zn
zn n z z z z
z z
216
→∞=
= − − − − + +
+ + + − =
∑ i i i
i
ℤ4 2 4 4 2
1062
2
4 3 2 2
lim [ (log ) ] [9(16 25) 10(72 150 65) log9000
300(6 15 10 1)(log ) ] 0,0057376..
z
zn
zn n z z z z
z z z z
→∞=
= − − − + − − +
− + + + + − =
∑ i i i
i i
ℤ4 3 4 4 4
1063
2
2 2 4 3 2 3
lim [ (log ) ] [ 144 125 45(16 25) log 25(7215000
150 65)(log ) 500(6 15 10 1)(log ) ] 0,01078..
z
zn
zn n z z z z
z z z z z z
→∞=
= − − + − −
− − + + + + − = −
∑ i i i i
i i
ℤ4 4 4 4 4 2
1064
2
4 2 3 4 3 2 4
lim [ (log ) ] [864 30(144 125)log 675(16 25)(log )112500
250(72 150 65)(log ) 3750(6 15 10 1)(log ) ] 0,162..
z
zn
zn n z z z z z
z z z z z z z
Più semplice è trovare l’integrale della funzione
ilog( )sn n
+
=→∞
+ −= =
+ +−∫
i ii
1
516 2 21
[( 1) log( ) 1] 1lim [ log( )]
( 1) ( 1)
mz
s
nzn
z m zI n n d
m m
Dalla famosa illary di Stieltjes
+
→∞=
=+
−∑( 1)
1
(log ) (log )lim [ ]
1
k kz
zn
n zI
n k
passiamo allo studio di una serie più generica
→∞
=
∑1
(log )lim [ ]
kz
szn
n
n
dove 2s ≥ . Questa serie genera illary a convergenza lenta; e quindi è difficile calcolare per le sue costanti anche poche cifre, soprattutto se il valore di k è elevato. Sarebbe quindi molto utile trovare la funzione di equilibrio, poiché attraverso essa si arriva al calcolo delle costanti con rapidità. Per s=2 abbiamo
→∞= =
= −−
+∑ ∑i
i
( )
5172
2 0
-j(log ) 1 !(log )lim [ ] [ ] !
( )!
kkz k
zn j
n k zI k
z k jn
di cui alcuni casi particolari per ( 2)s = sono
→∞=
= + − = −+∑ℤ1065 22
(log ) 1lim [ ] (log 1) 1 0,0624518..
z
zn
nz
zn
→∞=
= + + − = −+∑ iℤ
22
1066 22
(log ) 1lim [ ] [(log ) 2 log 2] 2 0,0107197666493899..
z
zn
nz z
zn
217
→∞=
= + + + − =+∑ iℤ
33 2
1067 22
(log ) 1lim [ ] [(log ) 3(log ) 6 log 6] 6 0,0001458026643..
z
zn
nz z z
zn
→∞=
= + + + + − =+∑ iℤ
44 3 2
1068 22
(log ) 1lim [ ] [(log ) 4(log ) 12(log ) 24 log 24] 24 0,0014863903409..
z
zn
nz z z z
zn
Per ( 3)s = si hanno le costanti
→∞=
= + =+∑ℤ10693 2 2
2
(log ) 1lim [ ] [2log 1] 0,19812624....
2
z
zn
nz
n z
→∞=
= + + =+∑ℤ
22
1070 3 2 22
(log ) 1lim [ ] [2(ln ) 2ln 1] 0,239746917..
2
z
zn
nn n
n z
→∞=
= + + + =+∑ℤ
33 2
1071 3 3 22
(log ) 1lim [ ] [4(ln ) 6(ln ) 6ln 3] 0,37404368238..
2
z
zn
nz z z
n z
→∞=
= + + + + = ≈+∑ℤ
44 3 2
1072 3 2 22
(log ) 1 3lim [ ] [2(ln ) 4(ln ) 6(ln ) 6ln 3] 0,750751104..
42
z
zn
nz z z z
n z
→∞=
= + + + + +
= ≈
+∑ℤ
55 4 3 2
10733 3 2
2
(log ) 1lim [ ] [4(ln ) 10(ln ) 20(ln ) 30(ln ) 30ln 15]
215
1,87562791..8
z
zn
nz z z z z
n z
→∞=
= + + + + +
+ + = ≈
+∑ℤ
66 5 4 3 2
10743 3 2
2
(log ) 1lim [ ] [4(ln ) 12(ln ) 30(ln ) 60(ln ) 90(ln )
245
90ln 45] 5,6252368..8
z
zn
nz z z z z
n z
z
→∞=
= + + + + + +
+ + = ≈
+∑ℤ
77 6 5 4 3 2
10753 4 2
2
(log ) 1lim [ ] [8(ln ) 28(ln ) 84(ln ) 210(ln ) 420(ln ) 630(ln )
2315
630ln 315] 19,687471216
z
zn
nz z z z z z
n z
z
che si possono disporre nella forma
→∞=
++∑ 3 2 22
(log ) 1lim [ ] [2log 1]
2
z
zn
nz
n z
→∞=
+ ++∑2
23 3 2
2
(log ) 1lim [ ] [4(ln ) 4ln 2]
2
z
zn
nn n
n z
→∞=
+ + ++∑3
3 23 4 2
2
(log ) 1lim [ ] [8(ln ) 12(ln ) 12ln 6]
2
z
zn
nz z z
n z
→∞=
+ + + ++∑4
4 3 23 5 2
2
(log ) 1lim [ ] [16(ln ) 32(ln ) 48(ln ) 48ln 24]
2
z
zn
nz z z z
n z
→∞=
+ + + + ++∑5
5 4 3 23 6 2
2
(log ) 1lim [ ] [32(ln ) 80(ln ) 160(ln ) 240(ln ) 240ln 120]
2
z
zn
nz z z z z
n z
→∞=
+ + + + + ++∑6
6 5 4 3 23 7 2
2
(log ) 1lim [ ] [64(ln ) 192(ln ) 480(ln ) 960(ln ) 1440(ln ) 1440ln 720]
2
z
zn
nz z z z z z
n z
218
→∞=
+ + + +
+ + + +
+∑7
7 6 5 43 8 2
2
3 2
(log ) 1lim [ ] [128(ln ) 448(ln ) 1344(ln ) 3360(ln )
2
6720(ln ) 10080(ln ) 10080ln 5040]
z
zn
nz z z z
n z
z z z
e che ci portano alla illary
−−
+→∞= =
= −
+∑ ∑i
i i( )
5183 1 2
2 0
(log ) 1 2 !lim [ ] [ (log ) ]
( )!2
k k jz kk j
kzn j
n kI z
k jn z
Dalle precedenti costanti si ricavano le successioni
→ − − − − − − − − − − −
→ − − − − − − − − − − −
→ − − − − − − − − − − −
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121 3 3 15 45 315 315 2835 14175 155925 4677754 8 4 8 8 16 4 8 8 16 8
k
A
B
in cui A
B è il valore approssimato della illary 517I . Per induzione si ricava
+≈518 ( 1)
!2 k
kI (103)
Togliendo tale valore dalla 502I abbiamo una nuova successione di costanti
−
+→∞= =
−
+
= −
−
+∑ ∑i
i i
i
i
519 3 1 22 0
( )( 1)
(log ) 1 2 !lim [ ] [
( )!2
!(log ) ]
2
k k jz k
kzn j
k j
k
n kI
k jn z
kz
che inizia con
= 2k = −ℤ1076 0,010253083.. = 3k = −ℤ1077 0,00095631762.. = 4k =ℤ1078 0,000751104.. = 5k =ℤ1079 0,00062791.. = 6k =ℤ1080 0,0002368.. = 7k = −ℤ1081 0,0000288..
.......... Per ( 4)s = si hanno le costanti
→∞=
= + =+∑ℤ1082 4 2 31
(log ) 1lim [ ] [3log 1] 0,0689112658961253798....
3
z
zn
nz
n z
→∞=
= + + =+∑ℤ
22
1083 4 3 31
(log ) 1lim [ ] [9(log ) 6log 2] 0,0650581613678806618..
3
z
zn
nz z
n z
→∞=
= + + + =+∑ℤ
33 2
10844 3 3
1
(log ) 1lim [ ] [9(log ) 9(log ) 6log 2] 0,0726408498913213719..
3
z
zn
nz z z
n z
219
→∞=
= + + + + =+∑ℤ
44 3 2
10854 4 3
1
(log ) 1lim [ ] [27(log ) 36(log ) 36(log ) 24log 8] 0,09900741002444262..
3
z
zn
nz z z z
n z
→∞=
= + + + + + =
=
+∑ℤ
55 4 3 2
1086 4 5 31
(log ) 1lim [ ] [81(log ) 135(log ) 180(log ) 180(log ) 120log 40]
30,16500265892561166..
z
zn
nz z z z z
n z
→∞=
= + + + + + + =
=
+∑ℤ
66 5 4 3 2
1087 4 5 31
(log ) 1lim [ ] [81(log ) 162(log ) 270(log ) 360(log ) 360(log ) 240log 80]
30,32943678572188956..
z
zn
nz z z z z z
n z
→∞=
= + + + +
+ + + + =
+∑ℤ
77 6 5 4
1088 4 6 31
3 2
(log ) 1lim [ ] [243(log ) 567(log ) 1134(log ) 1890(log )
3
2520(ln ) 2520(log ) 1680log 560] 0,7682262262602..
z
zn
nz z z z
n z
z z z
→∞=
= + + + + +
+ + + + =
+∑ℤ
88 7 6 5 4
1089 4 7 31
3 2
(log ) 1lim [ ] [729(log ) 1944(log ) 4536(log ) 9072(log ) 15120(log )
3
20160(log ) 20160(log ) 13440log 560] 2,0484281087877..
z
zn
nz z z z z
n z
z z z
→∞=
= + + + + +
+ + + + + + =
+∑ℤ
99 8 7 6 5
10904 6 3
1
4 3 2
(log ) 1lim [ ] [243(log ) 729(log ) 1944(log ) 4536(log ) 9072(log )
3
15120(log ) 20160(log ) 20160(log ) 13440log 560] 6,1453419037077..
z
zn
nz z z z z
n z
z z z z
Che possiamo mettere sotto la forma
→∞=
++∑ 4 2 31
(log ) 1lim [ ] [3log 1]
3
z
zn
nz
n z
→∞=
+ ++∑2
24 3 3
1
(log ) 1lim [ ] [9(log ) 6log 2]
3
z
zn
nz z
n z
→∞=
+ + ++∑3
3 24 4 3
1
(log ) 1lim [ ] [27(log ) 27(log ) 18log 6]
3
z
zn
nz z z
n z
→∞=
+ + + ++∑4
4 3 24 5 3
1
(log ) 1lim [ ] [81(log ) 108(log ) 108(log ) 72log 24]
3
z
zn
nz z z z
n z
→∞=
+ + + + ++∑5
5 4 3 24 6 3
1
(log ) 1lim [ ] [243(log ) 405(log ) 540(log ) 540(log ) 360log 120]
3
z
zn
nz z z z z
n z
→∞=
+ + + + + ++∑6
6 5 4 3 24 7 3
1
(log ) 1lim [ ] [729(log ) 1458(log ) 2430(log ) 3240(log ) 3240(log ) 2160log 720]
3
z
zn
nz z z z z z
n z
→∞=
+ + + +
+ + + +
+∑7
7 6 5 44 8 3
1
3 2
(log ) 1lim [ ] [2187(log ) 5103(log ) 10206(log ) 17010(log )
3
22680(log ) 22680(log ) 15120log 5040]
z
zn
nz z z z
n z
z z z
La illary generale è
−−
+→∞= =
= −
+∑ ∑i
i i
i
( )520 4 1 2
2 0
(log ) 1 3 !lim [ ] [ (log ) ]
( )!3
k k jz kk j
kzn j
n kI z
k jn z
220
Estendendo i risultati a qualsiasi esponente s ( 2)s ≥ , abbiamo una funzione che possiamo chiamare funzione di Stieltjes generalizzata del primo ordine
−−
+→∞= =
−=
−−+∑ ∑
ii i
i
( )521 1 2
2 0
(log ) 1 ( 1) !lim [ ] [ (log ) ]
( )!( 1)
k k jz kk j
s kzn j
n s kI z
k jn s z
Anche per questa funzione, come avviene per la serie armonica generalizzata, si nota che esiste un profondo abisso nella forma della funzione e nel suo comportamento, nel caso in cui sia 1s = e per 2s ≥ . Inoltre poiché per ( 2)s ≥ è
+≈
−520 ( 1)
!( 1) k
kI
s
Avremo una nuova illary, che chiameremo: funzione di Stieltjes
generalizzata del secondo ordine
−
+→∞= =
−
−=
−−
−
+∑ ∑i
i i i
i
522 1 22 0
( )
(log ) 1 1 ( 1) !lim [ ] [
( )!( 1)
(log ) ] !
k k jz k
s kzn j
k j
n s kI
k jn s z
z k
Essa genera una diversa successione di costanti rispetto alla 521I . Interessanti e variegate, sono le costanti generate dalle serie tipo
→∞=
∑ i
2
lim [ (log ) ]z
ks
zn
n n
es:
→∞
=
= + − + =∑ i i iℤ1091
1
lim [ log( )] [8 3(4 3) log ] 0,3655..18
z
zn
zn n z z z
→∞=
= + − + =∑ i i iℤ
33
1092
1
lim [ log( )] [9 4(3 2) log ] 0,48..16
z
zn
zn n z z z
→∞=
= + − + =∑ i i iℤ
44
1093
1
lim [ log( )] [32 5(8 5) log ] 0,557..50
z
zn
zn n z z z
→∞=
= + − + =∑ i i iℤ
55
1094
1
lim [ log( )] [25 6(5 3) log ] 0,612..36
z
zn
zn n z z z
Esse derivano dalla illary generale
221
→∞
=
= + − + ++
+ +
∑ i i i i i
i
2523 2
1
lim [ log( )] [2 ( 1)(22( 1)
1) log( )]
szs
zn
zI n n s z s s z
s
s z
Dalla funzione
i2[log( )]s n n
si ricavano le costanti
→∞=
= − − + + = −∑ i i i iℤ2 2
1095
1
lim [log( )] [32 48 log 9(4 3)(log ) ] 0,60711..54
z
zn
zn n z z z z z
→∞=
= − − + + = −∑ i i i iℤ
32 23
1096
1
[lim log( )] [27 36 log 8(3 2)(log ) ] 0,85159..32
z
zn
zn n z z z z z
→∞=
= − − + + = −∑ i i i iℤ
42 24
1097
1
lim [ [log( )] ] [256 320 log 25(8 5)(log ) ] 1,02922..250
z
zn
zn n z z z z z
→∞=
= − − + + = −∑ i i i iℤ
52 25
1098
1
lim [log( )] [125 150 log 18(5 3)(log ) ] 1,1628226..108
z
zn
zn n z z z z z
la cui illary generale è
→∞
=
= + − ++
+ + + + +
∑ i i i i
i i i i i
2 3 2524 3
1
2 2
[
(
lim log( )] [4 4 (2( 1)
1) log ( 1) (2 1) log ) ]
szs
zn
zI n n s z s s
s
z z s s z s z
Effettuiamo ora lo studio della serie
→∞=
∑2
(log )lim [ ]
kz
szn
n
n (104)
tenendo costante il valore di k e variando il valore s. Per 1k = si ha
→∞=
= − − =∑ iℤ10992
2
log( )lim [ ] 2 [log( ) 2] 3,9218..
z
zn
nz z
n
La convergenza delle costanti ricavate dalla funzione (86) per > 2s è molto lenta: cioè è difficile ottenere attraverso calcoli numerici anche poche cifre decimali di queste costanti. Ad esempio per = 3s e 810z = è difficile calcolare due cifre della costante.
222
Poi
→∞=
= − − =∑ iℤ
231100
32
log( ) 3 3lim [ ] [log( ) ] 2,103..
2 2
z
zn
nz z
n
→∞=
= − − =∑ iℤ
341101
42
log( ) 4 4lim [ ] [log( ) ] 0,912..
3 3
z
zn
nz z
n
In generale è
−
→∞=
= − −− −
∑ i
1
525
2
log( )lim [ ] [log( ) ]
1 1
szs
szn
n s sI z z
s sn
Per ( 2)k =
→∞=
= − − + = −∑ℤ
22
1102
2
[log( )]lim 2 [log( )] 4log( ) 8 16,19..
z
zn
nz n n
n
La convergenza di queste costanti per > 2s tende ad essere ancora più lenta che nel caso della funzione precedente. La illary generale di questa funzione è
−
→∞=
= − +−
− +− −
∑ i i
i
122
526
2
2 3
2 3
[log( )]lim [ (ln )
1
2 2(ln ) ]
( 1) ( 1)
szs
szn
n sI z
sn
s sz
s s
z
Per 3k =
−
→∞=
= − +−
− + −− − −
∑ i i
i i
133
527
2
2 3 42
2 3 4
[log( )]lim [ (ln )
1
3 6 6(ln ) ln ]
( 1) ( 1) ( 1)
szs
szn
n sI z
sn
s s sz z
s s s
z
es:
→∞=
= − − + −∑ℤ
33 2
1103
2
[log( )]lim 2 [log( )] 6[log( )] 24log( ) 48
z
zn
nz n n n
n
La illary generale per ogni esponente ( , )k s è
223
−
−
→∞=
− −
= − + +− −
− − − − − +
− −
∑i
i i i
i i i i ii i
1 21
528 22
3 42 3
3 4
[log( )]lim (log ) (log )
1 ( 1)
( 1) ( 1)( 2)(log ) (log ) ..
( 1) ( 1)
[
]
skzk ks
szn
k k
n s k sI z z
s sn
k k s k k k sz z
s s
z
Poi abbiamo
→∞
=
+= − + +
+ +
+ + − +
∑i
i i
i i i
i i i
529
1
log( ) 1lim [ ] [(4
2
4 ) log( ) 8( )]
z
zn
a n bI a z a
a n b a a z b
b a z b a z b
[ 0 0]a a n b≠ + >i es:
→∞=
−+ + + + − +
= −+ +
=∑i i
i
ℤ1104
1 80,2964973..
log(4 7) (16 4 28) log(4 7) 8(4 7)lim [ ]
4 7 4 7
z
zn
n z z z
n z
→∞
=
+= − + +
+ +
+ + − +
∑i
i i
i i i
i i i
5303 3
1
[
]
log( ) 1lim [ ] 2(3
4
3 ) log( ) 9( )
z
zn
a n bI a z a
a n b a a n b
b a z b a z b
[ 0 0]a a n b≠ + >i es:
→∞=
+ + + + − += − =
+ +∑
i
i
ℤ11053 3
1
log(3 2) 2(9 3 6) log(3 2) 9(3 2)lim [ ] 0,297463..
3 2 12 3 2
z
zn
n z z z
n n
→∞
=
+= − + +
+ +
+ + − +
∑i
i i
i i
i i i
5314 4
1
[
]
log( ) 1lim [ ] 3(8 3
18
8 ) log( ) 32( )
z
zn
a n bI a z a
a n b a an b
b a z b a z b
[ 0 0]a a n b≠ + >i es:
→∞=
−+ + + − +
= −+ +
=∑i
i
ℤ11064 4
1
1,780950..log(3 7) 3(24 65) log(3 7) 32(3 7)
lim [ ]3 7 54 3 7
z
zn
n z z z
n n
224
→∞
=
+= − + +
+ +
+ + − +
∑ i i
i i
i i i
5325 5
1
[
]
log( ) 1lim [ ] 4(5 2
16
5 ) log( ) 25( )
z
zn
an bI a z a
a n b a an b
b a z b a z b
[ 0 0]a a n b≠ + >i
es: →∞
=
+ + + − += − −
+ +=∑
i
i
ℤ11075 5
1
log(5 3) 4(25 25) log(5 3) 25(5 3)lim [ ] 0,428123..
5 3 80 5 3
z
zn
n z z z
n n
E per un generico valore intero ( 1)s >
→∞=
+=
+ − +
− + − + + +
− +
−∑i
i
i i i i i
i i i i i i i i
i i
5332
2
2
log( ) 1lim [ ]
2 ( 1)
( 1) [2 ( 1) 2 ] log( )
2 ( )
z
s szn
a n bI
a n b a s a n b
s s a z s a s b a z b
s a z b
Per la quale è [ 0 1]a a n b≠ + >i Poi abbiamo
→∞=
−+
= − =∑i i
ℤ1108
2
0,036407922..log( ) log ( log 1)
lim4
[ ]z
zn
n z z z
n z
→∞=
−+
= − =∑i i
ℤ
3
1109
2
0,024271948..log( ) log ( log 1)
lim6
[ ]z
zn
n z z z
n z
→∞=
−+
= − =∑i i
ℤ
4
1110
2
0,018203961..log( ) log ( log 1)
lim8
[ ]z
zn
n z z z
n z
e in generale
→∞=
+= −∑
i i
i
534
2
log( ) log ( log 1)lim
2[ ]
kz
zn
n z z zI
n k z
Ancor più generica è però la seguente
→∞=
+= −∑
i i i
i
535
2
log( ) log ( log 1)lim
2[ ]
pz k
zn
n p z z zI
n k z
es:
→∞=
−+
= − =∑i i i
ℤ
114
1111
2
0,20024357..log( ) 11 log ( log 1)
lim8
[ ]z
zn
n z z z
n z
225
Poi
→∞
=
+= − +
+ +
+ + + − +
∑i
i i
i i i
i i i
536
0
log( ) 1lim [ ] [(4
4
4 ) log( ) 8( )]
z
zn
a n bI a z
a n b a a z b
a b a z b a z b
[ 0 1]a a n b≠ + >i
es: →∞
=
+ + + − += − =
+ +∑
iℤ1112
0
log( 5 7) (20 33) log(5 7) 8(5 7)lim [ ] 0,2123512..
5 7 20 5 7
z
zn
n z z z
n z
→∞
=
+= − +
+ +
+ + + − +
∑i
i i
i i i
i i i
3
5373 3
0
log( ) 1lim [ ] [2(3
12
3 ) log( ) 9( )]
z
zn
a n bI a z
a n b a a n b
a b a z b a z b
[ 0 1]a a n b≠ + >i
es: →∞
=
+ + + − += −
+ +=∑
i
i
ℤ
3
11133 3
0
0,0738994..log( 2 5) 2(6 17) log(2 5) 9(2 5)
lim [ ]2 5 24 2 5
z
zn
n z z z
n n
→∞
=
+= − +
+ +
+ + + − +
∑ i i
i
i i i
4
5384 4
1
log( ) 1lim [ ] [3(8
72
3 8 ) log( ) 32( )]
z
zn
an bI a z
an b a an b
a b a z b a z b
[ 0 1]a a n b≠ + >i
es: →∞
=
+ + + − += − =
+ +∑
i i
i
ℤ
4
11144 4
1
log( 3 2) 3(24 25) log(3 2) 32(3 2)lim [ ] 0,172792..
3 2 216 3 2
z
zn
n z z z
n n
→∞=
+ + + + − += −
+ +∑
i i i i
i i
5
5395 5
1
log( ) 4(5 2 5 ) log( ) 25( )lim [ ]
80
z
zn
an b a z a b a z b a z bI
a n b a an b
[ 0 1]a a n b≠ + >i E per un generico valore intero ( 1)s >
→∞=
+=
+ − +
− + − + + +
− +
−
∑i
i
i i i i i i
i i i i i i i i
i i
5402
2
2
log( ) 1lim [ ]
2 ( 1)
( 1) [2 ( 1) 2 ] log( )
2 ( )
sz
s szn s
a n bI
a n b a s a n b
s s a z s a s b a z b
s a z b
226
[ 0 1]a a n b≠ + >i Poi
→∞=
+= − −∑ i541
1
1 2 1lim [log( )] log
2
z
szn
z zI z
s sn
es:
→∞=
+= + − = −∑ℤ1115
2
1 2 1lim [log( )] log 0,45946926660233649..
4 2
z
zn
z zz
n
→∞=
+= + − = −∑ℤ1116
32
1 2 1lim [log( )] log 0,30631284440155758333631..
6 3
z
zn
z zz
n
→∞=
+= + − = −∑ℤ1117
42
1 2 1lim [log( )] log 0,2297346333011691..
8 4
z
zn
z zz
n
Poi
→∞=
= −∑i
i542
2
lim ( ) log(log )log
[ ]z
zn
aI z
n na
→∞=
= =−∑ℤi
1118
2
1lim ( ) log(log ) 0,794678..
log
z
zn
zn n
→∞=
= =+∑i
ℤ1119 22 (
1 1lim ( ) 2,109742801471..
loglog )
z
zn zn n
→∞=
= =+∑i
ℤ1120 7 61 (
1 1lim ( ) 6,7159263333..
log ) 6(log )
z
zn n n z
Più in generale per ogni >( 1)k si ha
−→∞=
= +∑i i
543( 1)
1 (lim ( )
log ) ( -1) (log )[ ]
z
k kzn
a aI
n n k z
E ancor di più
−
→∞=
= −−
−∑i
i544
1(
1lim [(log ) 1]
log )[ ]
k pzk
pzn k
kI z
k pn n
es:
→∞=
= − =−∑i
ℤ i
271121 5
1 7(
1 7lim ( ) [(log ) 1] 0,724116..
2log )
z
zn
z
n n
Interessante è
227
→∞ →∞= =
+ −= + = +
−
+ −+
−
=
∑ ∑i
i
545 log log1 1
log
log
1 2 1 log 1lim ( ) lim ( )
2(log 1)2 1 log
2(log 1)
[ ] [
]
z z
n az zn n
a
a
z aI
a na
z a
a
z
z
es:
→∞=
= −
+ −= − =
−
∑i
ℤ1122log
1log2
2,70446488474283691771815099058371726748577289217..
1 2 1 log2lim ( )
2 2(1 log2)
z
nzn
z
z
→∞=
+ −= + =
−∑
i
ℤ1123 log1
log5
1 2 1 log5lim ( ) 2,26058438216763561524241294952898..
5 2(log5 1)[ ]
z
nzn
z
z
Costanti Speciali La serie divergente del reciproco del logaritmo,
→∞
=
∑1 ( )
1lim [ ]
log
z
zn n
è di tipo speciale, poiché la sua funzione antagonista è composta da infiniti termini. E’ però interessante osservare che, esistono funzioni contenenti la funzione precedente che hanno una funzione antagonista con un numero finito di termini. Ad esempio
→∞=
+ += + =
=
−∑i i
ℤ1124
2 ( ) ( )
1 (2 1) log( ) log[log( )] 1lim log[log( )]
log 2log1,29371245..
z
zn
z z zn
n z
→∞=
+ + −= − =
=
[ ]−∑i i
ℤ
2
1125 32 ( )( )]
1 1 (2 1) log( ) 2 log( ) 2lim
2log( ) 4log[log5,08240453..
z
zn
z z z z
n zn
→∞=
+ − += + =
=
−∑i i i
ℤ
2
11262 2
2 ( ) ( )
1 (2 1)[log( )] log[log( )] 2 log( ) 1lim log[log( )]
[log ] 2[log ]4,640245..
z
zn
z z z z zn
n z
228
→∞=
= + +
+
+ =
−
∑i
i i i i
i
i
ℤ1127
3 ( )
( )
1lim loglog[log( )]
log log[log( )]1
(2 1) log( ) log[log( )]2log log[log( )]
loglog[log( )] 1 12,4180681..
z
zn
nn n
z z zz z
z
La spiegazione di questo fatto è semplice. Provate a scoprirla! CALCOLI SULLE SERIE CONVERGENTI. La serie
→∞
=
∑1
log( )lim [ ]
z
szn
n
n (105)
è convergente per > 1s . La Illary della serie precedente
→∞
=
= + − −−
− + −
∑ i
i
i i
545 22
log( ) 1lim [ ] [2 ( 1)
2( 1)
(2 1) log( ) 2 ]
zs
s szn
nI z s
n s z
z s z z
converge allo stesso valore, poiché la funzione antagonista
→∞
→− − − − + −−
i i
i2 0
1lim [2 ( 1) (2 1) log( ) 2 ]
2( 1) s
szz s z s z z
s z
E’ importante notare che le illary reali delle serie convergenti permettono di calcolare il valore della serie stessa con una precisione molto più elevata del calcolo diretto della serie. Ad esempio per 2k = e = 610z la serie (87) permette di calcolare 4 cifre esatte dopo la virgola (i calcoli della sommatoria si possono fare con numeri di 60 cifre)
=
=∑610
21
log( )lim [ ] 0,9375..
n
n
n
Con la illary
→∞
=
+ + =∑310
21
log( ) 1lim [ ] [log( ) 1] 0,9375..z
n
nz
zn
si ottiene la stessa precisione con appena 1000 somme. Utilizzare la illary reale di una serie convergente per il calcolo delle costanti è in generale un modo per ridurre i tempi di calcolo della costante stessa. Tutto questo a patto che non si conosca la funzione equivalente, attraverso la quale i calcoli della serie diventano banali. Un altro esempio:
poiché è 2
21
1lim ( )
6
z
z x
π→∞
= ∑
229
per cui
2
1
16 lim ( ) 3,141592653589793238462643383279..
z
z xπ
→∞= =∑
Nel calcolo di questa serie con 610z = si ottengono sei cifre esatte di pigreca 3,14159..π = Con la illary e il medesimo numero di somme si ha
610
21
1 16 ( ) 3,14159265359..[ ]
x zπ = + =∑i
cioè 11 cifre esatte.
CAP XVII - FRAZIONI E LIMITI Interessanti sono anche le serie divergenti dei numeri figurati. Per i numeri Triangolari si ha
1 1 1 1 1 1 1lim ( .... ) 2
( 1)1 3 6 10 15 212
j j j→∞+ + + + + + =
+
Per i numeri Tetraedrici
1 1 1 1 1 1 1 3lim ( .... )
( 1)( 2)1 4 10 20 35 56 26
j j j j→∞+ + + + + + + =
+ +
Pentaedrici
1 1 1 1 1 1 1 4lim ( .... )
( 1)( 2)( 3)1 5 15 35 70 126 324
j j j j j→∞+ + + + + + + =
+ + +
Di tutti i numeri figurati, questi sono forse gli unici per i quali il limite o è un intero, o una frazione. Questo è dovuto al fatto (come vedremo fra breve) che il denominatore delle espressioni precedenti, è composto di monomi della forma ( )j t+ , dove j è la variabile, e la costante t assume valori crescenti (quelli dei numeri naturali). Si può osservare infatti che sussiste l’uguaglianza per ≥( 0)t
1
[ ] 1( 1)( 2)...( )
g
j
M
j j j j t
∞
=
=+ + +
∑ (106)
in breve
=
=
∞
+
=
∏∑
01 ( )
1[ ]t
s
g
j j s
M
dove i numeri gM appartengono alla successione seguente
230
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 4 18 96 600 4320 35280 322560 3265920 36288000g
t
M
= − − − − − − − − − −
= − − − − − − − − − −
per la quale si ricava per induzione
!gM t t= i per cui la (88) diventa
=
= +
∞
=
∏∑ i
0
1 ( )1![ ]
t
s
j j s
t t
(107) Se t=1 dalla (89) si ricava la serie di Mengoli. Per − > 0j t si ha anche l’uguaglianza
∞
= +
=− − −
∑1
[ ] 1( 1)( 2)...( )
G
j t
G
j j j j t
(108)
dove !GG t t= i
e quindi
∞
= +
=
=
−∑
∏
i
1
1
!1
( )[ ]
tj t
p
t t
j p (109)
Teorema delle Serie di monomi positivi
Nella serie convergente [ 2]k ≥
1 2 k-11 1
1 1[ ] [ ]
( ) ( ) ( ) ..... ( ) ( )jr
kj jP j j r j r j r j rϕ
∞ ∞
= =
= =+ + + +
∑ ∑i i i i
(110)
se ( )P j è un polinomio che si può scomporre nel prodotto di k monomi di primo grado, cioè
1
( ) ( )k
p
p
P j j r=
= +∏ (111)
e se la successione di numeri interi positivi
1 2 k-1( , ,....., , )kr r r r (112) non presenta due elementi identici, il suo valore è un numero razionale
231
jrA
Bϕ =
con A e B interi positivi. Se ora moltiplichiamo la serie iniziale per il numero intero /B A otteniamo
1
1 ( )
1[ ]t
k
t
j
B
j rA=
∞
= +
=
∏∑
i
Se invece nella successione (93) vi sono due elementi uguali, allora jrϕ è
irrazionale (forse trascendente e funzione di π ). La serie (92) è detta a convergenza rapida se
1 0r = e 2 1r =
(113) In questo caso le ridotte del numero risultante dalla sommatoria di una grande quantità di valori di j, presenta pochi dislivelli di grandezza (esponenzialmente ridotti in grandezza a partire dal primo). Questo si può facilmente verificare con prove sperimentali; come pure il fatto che i numeri A, B presentano ordini di grandezza relativamente modesti. Ad esempio per i quadrati dei primi interi positivi si ha
ϕ∞
=
= =+ + +
∑i i i
2 2 21
1 13429[ ]
907200( 1 ) ( 2 ) ( 3 )jr
j j j j j
Per la serie dei primi quattro numeri Triangolari, si ha:
1
1 13997[ ]
( 1) ( 3) ( 6) ( 10) 6350400jr
j j j j j jϕ
∞
=
= =+ + + +
∑i i i i
Per la serie dei primi tre numeri Ottaedrici
1
1[ ]
( 1) ( 6) ( 19)jr
j j j j jϕ
∞
=
=+ + +
∑i i i
la frazione /A B si può rappresentare con le ridotte R[ ]=[0, 177, 1, 2, 2, 52, 37, 2, 2, 5, 1, 2, 2, 1, 1, 11, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 2]A B Per la serie dei primi cinque numeri tetraedrici
1
1[ ]
( 1) ( 4) ( 10) ( 20) ( 35)jr
j j j j j j jϕ
∞
=
=+ + + + +
∑i i i i i
La frazione /A B è notevolmente grande. Possiamo rappresentarla con le ridotte
232
R[ ]=[0, 58662, 3, 1, 26, 1, 2, 1, 4, 1, 7, 1, 2, 3, 14, 1, 1, 6, 2, 22, 1, 1, 4, 10, 4 ,3,10, ,3, 4, 1, 3, 1, 1, 1, 2, 3, 7, 1, 1, 1, 15, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 5]
A B
Se si ha si ha − >>k+1 k 1r r (114) la serie (92) converge verso una frazione ( / )A B molto più lentamente della serie in cui sia − =k+1 k 1r r Possiamo chiamare la serie (96) “a singhiozzo”: poiché le ridotte del numero risultante dalla sommatoria di una grande quantità di valori di k presentano molti dislivelli di convergenza, di tipo decrescente, e poco diversi fra di loro: come si può verificare facilmente da prove sperimentali. Come conseguenza le serie a singhiozzo, producono valori di A, B
esponenzialmente più grandi del valore −k+1 k( )r r . Ad esempio la convergenza della serie
1
1[ ]( 1) ( 3) ( 31)
jr
j j j jϕ
∞
=
=+ + +
∑i i
nella quale 1 1r = e 2 3r = =3 31r converge alla frazione
R[ ]=[0, 88, 1, 2, 12, 2, 3, 1, 1, 2, 6, 11, 1, 1,..,1,2,3, 1, 1, 2, 3, 4, 1, 1, 835, 1, 11, 6, 2, 8]
A B
e la serie
1
1[ ]
( 50)js
j j jϕ
∞
=
=+
∑i
in cui 1 0r = =2 50r converge verso una frazione enorme, le cui ridotte sono: R[ ] [0, 11, 8, 1, 5, 2, 2, 19, 1, 2, 1, 7, 2, 2, 4, 14, 6, 96, 1, 16,1,3,2,4, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 1, 2, 1, 8, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 3, 4, 1, 1, 1]
A B =
Chissà quanto saranno grandi i numeri ( , )A B per la serie
2 3
1
1[ ]
( 50) ( 50 ) ( 50 )js
j j j j jϕ
∞
=
=+ + +
∑i i i
Più in generale, se nel polinomio
1 2 k-11
1[ ]( ) ( ) ..... ( ) ( )k
jr
kj r j r j r j r j rϕ
∞
= +
=+ + + +
∑i i i i
in numeri 1 2 k-1( , ,....., , )kr r r r sono positivi o negativi, con 1 2 k-1..... kr r r r< < < <
233
esso converge al numero razionale ( )A B se j assume i valori della successione 1,2,3,4,5,...,∞ , partendo da
= +min 1 sj r
In cui sr è il più grande valore assoluto del numero negativo sr .
E quindi si esclude dalla serie tutti i valori di j inferiori a tale valore. Ad esempio:
6
1 6212081[ ]( 5) ( 3) ( 11) 161441280
jr
j j j jϕ
∞
=
= =− − +
∑i i
Volendo, si potrebbe estendere la somma di tutti i valori di j da zero a infinito, escludendo da essa solo i valori di j che annullano il polinomio
( )P j .
CAP XVIII – SOMMATORIE DOPPIE.
La sommatoria
1 1
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1limlim 1 ....
2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 11 ....
2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 1 1
1 ....2 3 4 5 6 7
y z
sy zs j zj
z
z
→∞ →∞= =
= + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
∑∑
4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1 1 11 ....
2 3 4 5 6 7......................................................
1 1 1 1 1 1 11 ....
2 3 4 5 6 7s s s s s s s
z
z
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
(115)
di tutte le serie armoniche, converge o diverge? Si dimostra facilmente che la sommatoria di tutte le serie armoniche ad esponente intero positivo è divergente, e vale
γ→∞ →∞
= =
= − + +∑∑1 1
1limlim ( ) 1 log
y z
sy zs j
s zj
(116)
Se togliamo da questa, la serie armonica semplice ( 1)s = , allora la sommatoria è convergente, e vale
2 1
1limlim ( ) 1
y z
sy zs j
sj→∞ →∞
= =
= −∑∑ (117)
La dimostrazione si ottiene facilmente sommando i termini in colonna. Si ottengono ( 1)z − somme
234
s 2 3
2 3
2 3
2 3
1 1 1 11 ...
2 2 2 21 1 1 1
1 ...3 3 3 31 1 1 1
1 ...4 4 4 4
.........................................1 1 1 1
1 ...
s
s
s
sz z z z
µφ = + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
Ognuna di queste è una progressione geometrica di ragione r, con 1 1r− < < + per cui ogni progressione è pari a
2 3 4 1 11 ...
1nr r r r r
r−+ + + + + + =
−
s2 3 4 5 1 1 1 1 1 1
.... ( ) 1 ( ) ....1 2 3 4 1 1 2 3 1
zz s z z s
z z z zµφ = + + + + + − − = − − − − + + + + + +
− −
s1 1 1 1 1 1
1 ....1 2 3 1
sz z z
µφ = − − + + + + + +−
e quindi
s1
lim 1 logs
s zz
µ γφ→∞
= − − + +
Senza la serie armonica
s1
lim 1s
sz
µφ→∞
= − −
che per
slimlim 1z s
sµφ→∞ →∞
= −
La somma dei termini pari della funzione di Riemann è:
ζ ζ ζ ζπ π π ππ
→∞ →∞
∞
= =
+ + + + − = + + + + + − =
= − = =∑∑
2 4 6 8 2
21 1
lim[ (2) (4) (6) .. (2 )] lim[ ... ]6 90 945 9450
1 30,75
4
R
p p
p
pp j
p p pg
pj
(118) e la somma dei termini dispari (di cui non si conosce l’espressione formale,
ma che quasi sicuramente è funzione di 2 1pπ +
)
ζ ζ ζ ζ∞
+→∞= =
+ + + + − − − = − − = − = −∑∑ 2 11 1
1 3lim[ (3) (5) (7) .. (2 1)] ( 1) ( 1) 0,75
4
p
ppp j
p p pj
(119)
Perché Pigreca nell’espressione (100), scompare nei meandri degli infiniti termini della sommatoria?
235
Le serie hanno la straordinaria proprietà di trasformare i numeri trascendenti in numeri razionali, e i numeri razionali in numeri trascendenti. Probabilmente esse sono il ponte di unione fra i numeri algebrici e i numeri trascendenti. Attraverso esse forse un giorno qualche matematico riuscirà a trovare una funzione che identifica questi numeri. Dalla (99) si ricava facilmente la relazione
( ) 2 ( 1) 1n nζ ζ≈ + −i
(120) La differenza fra le due espressioni è tanto più piccola quanto più è elevato n. Infatti lim ( ) [2 ( 1) 1] 0
nn nζ ζ
→∞− + − =i
lim [2 ( 1) ( )] 1
nn nζ ζ
→∞+ − =i
Ad esempio per (71) 2 (72) 1ζ ζ≈ −i
la differenza fra il valore reale e quello dato dall’espressione (102) è inferiore
a 3010− .
Per 541n = si ha
(541) 1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000013892242184281734271516958839
ζ =
191000605703278509155673709272441143554222555961680235222307761014380094056443415
ζ − =i2 (542) 1 1.00000000000000000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000138922421842817342715169588391910006057032785091556737092724411435542225559616802352223077610143549589..
La differenza col valore esatto è inferiore a 26410− Poiché è (3) 2 (4) 1ζ ζ≈ −i
e
2 1 2
21
1 2(2 ) lim ( )
(2 )!
p pz
pz
pBp
pj
πζ
−
→∞= =∑
i
per p=2 si ricava
4 42(3) 1 1 1,164646..
90 45π π
ζ ≈ − = − =i
In realtà è (3) 1,202056..ζ =
poiché n è troppo piccolo, e la (102) è poco approssimata. In generale si ha
236
(2 1) 2 (2 ) 1p pζ ζ− ≈ −i
2 1 2
21
1 2(2 ) lim ( )
(2 )!
p pz
pz
pBp
pj
πζ
−
→∞= =∑
i
Per cui
2(2 )(2 1) 1
(2 )!
ppB
pp
πζ − ≈ −
i
La funzione inversa della (102) è
( ) 1
( 1)2
nn
ζζ
++ ≈ (121)
SERIE ARMONICHE ALTERNATE Possiamo vedere che la serie doppia
1 1
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
( 1) 1 1 1 1 1 1 1limlim [ ] (1 .... )
2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1(1 .... )
2 3 4 5 6 71 1 1 1 1
(12 3 4 5 6
sy z
sy zs j zj
z
→∞ →∞= =
−= − + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
− + + + + + +
∑∑
3 3
4 4 4 4 4 4 4
1 1.... )
71 1 1 1 1 1 1
(1 .... )2 3 4 5 6 7
.....................................................1 1 1
(12 3 4s s s
z
z
+ +
+ + + + + + + + +
+ + + +
1 1 1 1
.... )5 6 7s s s sz
+ + + + +
(122) porta alla costante
γ→∞ →∞
= =
−= + = =∑∑ℤ1129
1 1
0,9227843350..( 1) 3
limlim [ ] ln2
sy z
sy zs j
zj
-
Essa ha una certa similitudine con la serie
1 1 1 1 11 .. ln2
2 3 4 5 6− + − + − + = −
Escludendo la serie armonica semplice, abbiamo
237
2 2 2 2 2 2 22 1
3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4
( 1) 1 1 1 1 1 1 1limlim [ ] (1 .... )
2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1(1 .... )
2 3 4 5 6 71 1 1 1 1 1 1
(1 .... )2 3 4 5 6 7
sy z
sy zs j j z
z
z
→∞ →∞= =
−= + + + + + + + + +
− + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
∑∑
5 5 5 5 5 5 5
1 1 1 1 1 1 1(1 .... )
2 3 4 5 6 7......................................................
1 1 1 1 1 1 1(1 .... )
2 3 4 5 6 7s s s s s s s
z
z
− + + + + + + + +
− + + + + + + + +
(123) che porta alla costante
2 1
( 1) 3limlim [ ]
2
sy z
sy zs j j→∞ →∞
= =
−=∑∑
(124) e che ha una certa similitudine con la serie
+ − + − + − = − =1 1 1 1 1
.. 1 log2 0,30685281..2 3 4 5 6
Abbiamo anche la costante generata dalla serie
−→∞ →∞= =
=−
= +∑∑ℤ11302 1
2 1
0,5933..( 1)
limlim [ ] logsy z
sy zs j
zj
Questa serie, ha una certa similitudine con la serie
1 1 1 1 1.. 1 0.2146018366
3 5 7 9 11 4π
+ − + − + = − =
SOMMATORIA DELLE POTENZE Il problema in antitesi al precedente è la sommatoria di tutte le potenze
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4
1 2 3 4 5 6 7 ....
1 2 3 4 5 6 7 ....
1 2 3 4 5 6 7 ....
1 2 3 4 5 6 7 ....
.................................
z
z
z
z
ςω = + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + +
.....................
1 2 3 4 5 6 7 ....s s s s s s sz+ + + + + + + + +
(125)
238
Sappiamo che la formula generale della sommatoria di potenze è
1 1 31 21 ( 1)( 2)
1 2 3 4 5 6 7 .... ...1 2 2! 4!
s s ss s s s s s s z B sz B s s s z
z zss
+ − −− −+ + + + + + + + = + + − +
+
i
(126)
Per le difficoltà intrinseche di questa formula, nessuno si sentirebbe in grado di utilizzarla per operare in termini generali, su tutte le sommatorie delle s potenze. Si può però ricorrere a un artificio che semplifica notevolmente questo calcolo. Sommiamo le colonne delle serie precedenti
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 1 1 1 ... 1
2 2 2 2 ... 2
3 3 3 3 ... 3
4 4 4 4 ... 4..............................
...
s
s
s
sz z z z z
ςω = + + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
(127) Spostando tutte le unità della prima riga, la (2’) diventa
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
4 4 4 4 4 .... 4
.............................................
(s+1
2 2 2 2 2 .... 2
3 3 3 3 3 .... 3
.....
s
s
s
ss s s s s s
ςω =
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
1 2 3 4
1 2 3( 1)(s+1) (s+1)) ..
.......................................
... s
ss
z z z z z
++ + + +
+ + + + +
(127’)
La (2’’) è la somma di due gruppi di progressioni geometriche semplici con fattore di scala 1a = e ragione 1r > , il cui valore si calcola con la formula generale
1
1 2 3 1..
1
ss r
a ar ar ar ar ar
+ −+ + + + + =
−i
quindi si ha
1 1 1 1 1
2
2 1 3 1 4 1 1 1... (z-s-1) ( ) (z-s-1)
1 2 3 1 1
s s s s sz
j
z j
z jςω
+ + + + +
=
− − − − −= + + + + − = −
− −∑ (128)
È anche
2391 1 1 12 3 4
lim ... (z-s-1) log( 1)1 2 3 1
[ ]s s s s
z
z z
zς γω
+ + + +
→∞= + + + + − − + −
−
(128’) Si può mettere questa espressione sotto una forma simile alla (126)? Esiste una formula più semplice della (128’)? Sommatorie di interi Nel primo libro avevamo visto che
1 1 1 1 12 1 3 1 4 1 5 1 1.... ( 1)
1 2 3 4 1
s s s s szz sςω
+ + + + +− − − − −= + + + + + − − −
Vediamo alcuni particolari valori di ςω per = (1,2,3,4,5,6,7,8)s .
1z ( 1)
2zω +
=i
2z(z+1) ( 2)
3zω +
=i
2
3z (z+1) (3 7 8)
12z zω + +
=i i
2
4z (z+1) ( 2) (12 9 19)
60z z zω + + +
=i i i
6 5 4 3 2
55 21 35 35 35 19 60)
30z z z z z zω + + + + + +
=
7 6 5 4 3 2
630 140 252 245 210 245 138 210)
210z z z z z z zω + + + + + + −
=
8 7 6 5 4 3 2
835 180 350 336 245 280 350 464 1960)
280z z z z z z z zω + + + + + + + −
=
9 8 7 6 5 4 3 2
9280 1575 3300 3150 1848 2205 3080 3150 4092 15120)
2520z z z z z z z z zω + + + + + + + + −
=
in ordine
2
1z
2zω +
=
3 2
22z +6z +4
6zω =
4 3 2
36z 20 30 16
24z z zω + + +
=
5 4 3 2
424z 90 140 150 76
120z z z zω + + + +
=
6 5 4 3 2
5120 504 840 840 840 456 1440
720z z z z z zω + + + + + +
=
240
7 6 5 4 3 2
6720 3360 6048 5880 5040 5880 3312 5040)
5040z z z z z z zω + + + + + + −
=
8 7 6 5 4 3 2
85040 25920 50400 48384 35280 40320 50400 66816 282240)
40320z z z z z z z zω + + + + + + + −
=
9 8 7 6 5 4 3 2
940320 226800 475200 453600 266112 317520 443520 453600 589248 2177280)
362880z z z z z z z z zω + + + + + + + + −
=
CAP XIX - LIMITI PARTICOLARI E RELAZIONI APPROSSIMATE
Dato il numero intero 0a ≥ poiché è
γ→∞
=
= +∑1
1lim ( ) log
z
zj
zj
è facile vedere che
γ→∞
= =
= + + −+
∑ ∑1 1
1 1lim ( ) log( ) ( )
z a
zj j
z aj a j
(129)
mentre
γ→∞
= +
= − +−
∑1
1lim ( ) log( )
z
zj a
z aj a
(129’) e poiché in questo caso deve essere j a≠ , è più interessante la sommatoria
γ− −
→∞= = + =
+ = − + −− − −
∑ ∑ ∑1 1
1 1 1
1 1 1lim ( ) ( ) log( ) ( )
a z a
zj j a j
z aj a j a j a
Che si potrebbe scrivere più elegantemente
γ≠ − −
−
→∞= =
= − + −− −
∑ ∑1
1 1
1 1lim ( ) log( ) ( )j a
z a
zj j
z aj a j a
(130)
Interessante è anche la sommatoria del tipo
6 5 4 3 2 16 7 8 9 10 11
+ + + + +
in cui il valore della prima frazione è data da a
a, e i valori al numeratore
decrescono con ragione 1 fino ad arrivare ad uno, mentre al denominatore crescono fino al valore (2a-1). La sommatoria di queste a frazioni, si può scrivere in diversi modi, ad esempio:
241
1
1 0
( ) ( )2
a a
j j
j a j
a j a j
−
= =
−=
− +∑ ∑
Tale sommatoria, diverge al crescere di a, ma per a → ∞ è facile dimostrare che
−
→∞=
−− =
+∑ − i
1
0
1lim ( ) (log4 1)
2
a
aj
a ja
a j
(131) Se la sommatoria è del tipo
2 2 2 2
2 2 2 2 2
5 4 3 2 15 6 7 8 9
+ + + +
con 2
2
a
a prima frazione, possiamo dimostrare che
− − −
→∞= = =
−+ − − − = −
+∑ ∑ ∑i i
21 2 1 12
2 2 20 1 1
1 1lim ( ) (log16 1) (2 ) [ ( ) ( )] 1
a a a
aj j j
a ja a
a j j j
Notevolmente più complicato è lo studio delle serie di questo tipo
+ + + + +log6 log5 log4 log3 log2 log1log6 log7 log8 log9 log10 log11
Lasciamo a chi è interessato a questi argomenti di trarre qualche conclusione. La illary
−
→∞= +
−−−
∑ i1
1
1lim ( )
1
zR R
Rzn a
Rz
Rn a (132)
ci permette di scrivere
1 1
1 1( ) ( )
RRn a nn a n
∞ ∞
= + =
=−
∑ ∑
2 1
1 1( ) ( )
1RRn a nn a n
∞ ∞
= + =− +=∑ ∑
3 1
1 1( ) ( )
2RRn a nn a n
∞ ∞
= + =− +=∑ ∑
4 1
1 1( ) ( )
3.................................
R Rn a nn a n
∞ ∞
= + =− +=∑ ∑
Con pochi passaggi si arriva all’uguaglianza
242
1
1 1
1 1 1( ) ( )
1n a n a
a c
R R Rn nn a n a n c
≠ ≠
+ − ∞
= =
−− − + −
=∑ ∑ (133)
Uguaglianza che è valida per qualsiasi numero intero positivo ( , )a c purché sia n a≠ . Chiameremo questa uguaglianza fra sommatoria e serie:Teorema Del
Passaggio. La (116) ha quindi il grande pregio di trasformare una sommatoria in una serie, e viceversa. Il teorema del passaggio trasformato nella sua forma più semplice, ci porta per all'uguaglianza
1
1 1
1 1 1( ) ( )
1
a c
n nn a n a n c
+ − ∞
= =
= −− − + −
∑ ∑
≠[ ]n a Infatti se
1
1 1( ) ( )
1n n a cn c n a
∞ ∞
= = +
=+ − −
∑ ∑
aggiungendo ad ambo i membri
1
1
1( )
a c
n n a
+ −
= −∑
1 1
1 1 1
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
1
a c a c
n n n n a cn a n c n a n a
+ − ∞ + − ∞
= = = = +
+ = +− + − − −
∑ ∑ ∑ ∑
1 1
1 1 1
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
1
a c a c
n n n a c nn a n a n a n c
+ − + − ∞ ∞
= = = + =
= + −− − − + −
∑ ∑ ∑ ∑
1
1 1 1
1 1 1( ) ( ) ( )
1
a c
n n nn a n a n c
+ − ∞ ∞
= = =
= −− − + −
∑ ∑ ∑
1
1 1
1 1 1( ) ( )
1
a c
n nn a n a n c
+ − ∞
= =
= −− − + −
∑ ∑
CAP XX - COSTANTI COMPLESSE Le costanti complesse sono generate da funzioni divergenti contenenti una o più serie o produttorie. Alcune di queste funzioni seppure molto complesse, hanno una funzione antagonista molto semplice, la quale spesso genera soltanto costanti algebriche e banali: questo succede quasi sempre per la funzione logaritmo delle serie algebriche, di cui vedremo in seguito molti esempi.
243
Alcune costanti sono facili da classificare, altre meno. Radici con frazioni continue
Per un numero qualsiasi di frazioni continue troncate, contenenti la n , si ha
→∞=
−= + = −
+
+
+
=−∑ℤ1131
1
0,405465108108164381..1 3 3
limlog ( ) log log( )1 2 2
11
..
[ ]z
zn
n z
n
n
n
Esponenziali
→∞=
= =−∑ℤ
1
1132
1
limlog ( ) log 0,00635..[ ]z
n
zn
e z
→∞=
= =−∑ℤ1133
1
loglimlog ( ) 0,694....
2[ ]
nz
zn
e z
n
→∞=
= =−∑ℤ i1134
1
limlog ( ) log 0,00445..[ ]z
n n
zn
zn n
→∞=
= = −+∑ℤ1135
1
loglim log ( ) 0,46024..
! 2[ ]
nz
zn
n z
n
→∞
=
− =∑ log
2
limlog ( ) log 1[ ]z
n
zn
n z
1
lim log (2 ) 1) log2([ ]z
n
zn
z→∞
=
≈ +∑ i
o con maggior approssimazione
→∞
=
− →−∑ i2
1lim log ( ) log 0[ ]
zn
zn
n zez
z
1
1limlog ( ... ) log[ ]
zn n n
zn
zn n n z
z→∞=
++ + + ≈∑
mentre
→∞=
= = − = −+ −∑ℤ1136
1
lim log 2log 0,69314718055.. log2[ ] z
n n n
zn
n zn
→∞=
= = −− +∑ℤ1137
1
loglim log ( ) 0,460261..
! 2[ ]
nz
zn
n z
nz
→∞=
+ += = −−∑546
1
1 1lim log ( ) log log( ) [ ]
za
zn
a aI n z
a a
[ 0]a ≠
244
→∞=
= = −−∑ℤ5
1138
1
6lim log ( ) log 0,182321
5[ ]
z
zn
n z
→∞=
+= = − +−∑ i547
1
( 1)lim log ( log log( 1))
[ ] kz
nzn
kn
I z kn
→∞=
= = −−∑ iℤ
3
1139
2
4lim log ( log 1,38629436111989..)
[ ]z
nzn
n z
n
→∞=
= = −+
−∑i
ℤ1140
2
2lim log ( ) log 0,36651..
( 1)[ ]
nz
zn
log zn n
→∞=
= =−
−∑ℤ2
1141
2
lim log ( ) ) 0,95867..1
[ ]z
n
zn
n z
n
Si ha il limite
( )1
1 0
n1 ( 1)lim log (1 ) )[ ]
k k j jz k
zn j
z
n k j
−−
→∞= =
−+
−≈∑ ∑
i
valido per 3k ≥ , di cui diamo qualche esempio
→∞=
+ − =∑1
n1lim log (1 ) ) log 1[ ]
z
zn
n
z
2
1
n1lim log (1 ) ) 0[ ]
z
zn
n
z→∞
=
+ →−∑
→∞=
+ =− +∑3
2
1
n1 1lim log (1 ) )
2 3[ ]
z
zn
z
nz
→∞=
+ + = −− −∑4 2
3
1
n1 1lim log (1 ) )
2 3 4[ ]
z
zn
z
n
zz
→∞=
+ + + =− −∑5 3 2
4
1
n1 1lim log (1 ) )
2 3 4 5[ ]
z
zn
z z
n
zz
→∞=
+ + + − = −− −∑6 4 3 2
5
1
n1 1lim log (1 ) )
2 3 4 5 6[ ]
z
zn
z z z
n
zz
mentre
1
n1lim log (1 ) )[ ]
kz
zn
n→∞
=
−∑
per 2k ≥ è sempre convergente. Poi
→∞
=
+= + =−
−∑ i i548
1
1)1
lim log ( ) log log log( )1
([ ] p
nz
zn
za
I a p zan
[ 1]a > Per la funzione
245
→∞
=
∑1
lim log ( ) [ ]rz
n kzn
n
e
si hanno tre illary: se k r=
→∞=
= +−∑561
1
lim log ( ) ( 1)log( ) [ ] rz
n kzn
nI k z
e
es:
→∞=
= = −−∑ℤ
3
11763
1
lim log ( ) 4log 1,38629.. [ ]z
nzn
nz
e
se k r>
→∞=
= −−∑ i562
1
lim log ( ) ( ) log( ) [ ] rz
n kzn
nI k r z
e
es:
→∞=
= = −−∑ℤ
3
11777
1
log lim ( ) 4log 1,3863.. [ ]z
nzn
nz
e
se k r<
→∞=
= −−∑ i563
1
lim log ( ) 2( ) log( )[ ] rz
n kzn
nI
er k z
es:
→∞=
= = −−∑ℤ
11
11785
1
log lim ( ) 12log 2,48496..[ ] z
nzn
n
ez
Poi
→∞=
= = −− ∑ℤ1179
1
loglim log ( ) 0,46024..
! 2[ ]
nz
zn
n z
n
→∞=
= = −− ∑ℤlog
1180
2
loglim log (log ) 21,985..
0,195826..[ ]
zn
zn
zn
Ecco un limite al di fuori delle serie
π
→∞
= − = i i iℤ2
1181 0,0306566200976201934.
.662936475134550722871..
lim ! 2[ ] x x
x
xx x
ex
Frazioni Il logaritmo della serie della frazione di due polinomi
r-1r-1 1 0
s-1s-1 1 01
...lim log ( )
...[ ]
rzr
sz sn
c n c n c n c
d n d n d n d→∞=
+ + + +
+ + + +∑
i i i
i i i
per ( ) 1r s− ≤ converge, per ( ) 0r s− ≥ diverge, e la sua illary è
246
→∞=
+ + + +=
+ + + +
= −
+
−
∑
i
i
i i i
i i i
r-1r-1 1 0
549s-1
s-1 1 01
(r-s+1)(r-s+1)
...lim log ( )
...
loglog [ ]
[ ]
rzr
sz sn
r
s
c n c n c n cI
d n d n d n d
c
dz
p
0
[ 1 0 0 ( ) 0]s
ps
p
r s d d n=
− + ≠ ≠ >∑ i
es:
→ ∞=
+ += −
+ +=−∑
i iℤ
i ii
61 17
1142 14 81
48127 48 13
lim log ( ) 4,734121789199175..301 61 107
log[ ]z
zn
n n
n nz
e 4,734124189198175..(r-s+1)
log[ ]r
s
c
d−=
i
Abbiamo poi
→∞
=
− +
+ + + +=
+ + + ++
−
∑
i
i i i
i i i
r-1r-1 1 0
550s-1
1 s-1 1 0
( 1)
... )lim log (
...
log
[ ]
k rzr
h szn s
srk h
c n c n c n cI
d n d n d n d
z
jp j
0 0
[ 0 0 ( ) 0 ( ) 0]s r
p
p j
k h d n c n= =
≠ ≠ > >∑ ∑i i
es:
→ ∞=
+ + += − +
+ + +=−∑ i
i i iℤ
i i i
9 4 3
11435 3 2
1
(11 7 3 28) 34lim log ( 1)
9 55 9 4 17log 0,113..[ ]
z
zn
n n n
n n nz
La serie
r-1
r-1 1 0
s-11 s-1 1 0
... )lim log (
...[ ]
k rzr
h szn s
c n c n c n c
d n d n d n d→∞=
+ + + +
+ + + +∑
i i i
i i i
è convergente per 2s r
h k− ≥
Interessante è pure la illary del logaritmo della frazione delle radici di due polinomi
=
→∞
=
−
+ + + +
=
+ + + +
−∑
∑i
i i i
i i i
r-1r-1 1 0
1553
s-1s-1 1 0
1
(( ... )
lim log )( ... )
log[ ] z
k rr
nzz
h ss
n
srk h
c n c n c n c
I
d n d n d n d
z
In breve
247
= =
→∞
= =
−= −∑ ∑
∑ ∑i
i
i
jj
1 0553'
p
1 0
(
( ( )
lim log )
( ( )
log[ ] z r
k
n j
z szp
h
n p
srk h
c n
I
d n
z
j
p j
0 0
[ 0 0 ( ) 0 ( ) 0]s r
p
p j
k h d n c n= =
≠ ≠ > >∑ ∑i i
Ad esempio
=
→ ∞
=
−
+ + +
=
+ + +
= −−∑
∑i
i i i
ℤ
i i i
6 7 5
11152
9 4 3 2
1
7 4(6 9
( 5 3 7 41)lim log )
( 8 6 5 63)log 0,36827..[ ]
z
nzz
n
n n n
n n n
z
=
→∞
=
−
+ + +
=
+ + +
=−∑
∑i
i i i
ℤ
i i i
2 3 2
11153
7 4 3 2
1
3 4(2 7
( 5 3 7 19)lim log )
( 8 6 5 12)log 0,0433..[ ]
z
nzz
n
n n n
n n n
z
Più in generale si ha
→∞=
=
= =
+
= + + + +
+ + + +
+ + + + −
∑
∑
∑ ∑
i i i i
i i i i i
i i i i i
1 1 r1-1554 1 r1-1 11 01
1
2 2 r2-12 r2-1 12 02
1
rt-1rt-1 1 0
1 1
( )
lim log ( ... ) ...
( ... ) ...
( ... ) log
[ ]
[ ]
[ ]
t
zk r
rz
n
zk r
r
n
z tjk rt
rt t t
jn j
t
I c n c n c n c
c n c n c n c
rc n c n c n c
kz
che si può abbreviare con
→∞= = = =
= = =
+
=
−
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ i
i i i i
i i
1 21 2
1 2554' r1-j r2-j
1 0 1 0
rt-j
1 0 1
( )
lim log ( ) ( ) ..
.. ( ) log
[
[ ]
[ ] ]
z r z rj j
k kz
n j n j
z rt tjjt
kt
jn j j
t
I c n c n
rc n
kz
o
→∞= = ==
+= −∑ ∑ ∑∏ i i554'' rs-j
1 0 11
( )lim log ( ) log[ ] s
ss
t z r tjj
z jn j js
k tr
Ik
c n z
esempio
→ ∞= = =
= − + − + + − +
=−
∑ ∑ ∑ +
i
ℤ i i i i i i i i3 827 5 5 2 11 10 2
1154
1 1 1
lim log ( 121 103 401) ( 63 61 107) ( 144 135 21 1857)
22124
log 0,9697..
[ ][ ][ ] z z z
zn n n
n n n n n n n
z
248
Si ha anche
= ==
→ ∞
= =
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
∑ ∑
∑ ∑
i
i i i i i i
i
i i i i i i
1 21 r1-1 2 r2-11 r1-1 11 01 2 r2-1 12 0 2
1 1555
1 21 d1-1 2 r2-11 s1-1 11 01 2 s2-1 12 02
1 1
( ... ) ( ... )lim log
( ... ) ( ... )
[ ] [ ]
[ ] [ ]
z zk kr r
r r
n nz zz
h hd rs s
n n
c n c n c n c c n c n c n c
I
d n d n d n d d n d n d n d
=
= =
=
+ + + +
−
+ + + +
∑∑ ∑
∑ −i i i
i i i
i i i
rt-1rt-1 1 0
1
rp-1 1 1sp-1 1 0
1
... ( )( ... )
( ... )log
[ ]
[ ]
zkt rt
rt t t ptj jn
zj jhp rp j j
sp p p
n
c n c n c n cr s
k hd n d n d n d
z
= = = = = =
→∞
= = = = = =
= +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑
i i i i i i
i i i i i i
1 11 2
1 2r1-j r2-j rt-j
1 0 1 0 1 0555'
1 21 2
1 2r1-j r2-j rt-j
1 0 1 0 1 0
( ( )) ( ( )) ... ( ( ))
lim log
( ( )) ( ( )) ... ( ( ))
[ ][ ] [ ]
[ ][ ] [ ]
z r z r z rtj j jt
ktk k
n j n j n j
spz z s z s zj j jt
hth h
n j n j n j
c n c n c n
I
d n d n d n
= =
− −− ∑ ∑ i
1 1
( ) log ptj j
j jj j
r r
k hz
dalla quale si arriva all'incredibile illary
= ==
→∞
= ==
= =
=
−−
∑ ∑∏
∑ ∑∏
∑ ∑
+
i
i
i
m-
m-
r j
1 01555''
s j
1 01
1 1
l
)
( )
lim og
( )
( ) ( log
[
[
[ ]
]
]
m
m
m
m
mm
t z rj
n jm
s zzj
n jm
t sj j
j jj j
k
s
h
I
d n
r s
k h
c n
z
Volendo si potrebbe estendere la sommatoria a più frazioni, ma il compito si complicherebbe ulteriormente. Sommatorie di sommatorie Abbiamo
=
→ ∞=
∑= −∑ 1
( , )
1( )
551
1
loglim log ( )[ ]
z
hn
k h
znk
zn
zI n
c
per tutti i valori ≥ ≥[ 1 2]k h
Dove ( , )k hc è una costante che si calcola con un particolare procedimento che descriverò nel prossimo libro, e di cui ora mostrerò solo alcuni risultati. Possiamo anche scrivere
249
ζ
→ ∞=
= −∑( , )
( )551'
1
loglim log ( )[ ]
k h
z hk
zn
zI n
c
Esempio ζ
→∞=
= = −−∑ℤ(2)
1144
1
loglim log ( ) 1,140181410642852..
0,3039635509270133..[ ]
z
zn
z n
ζ
→∞=
= = −−∑ℤ2 (2)
1145
1
loglim log ( ) 1,807144779888271385882..
0,20264236728467554288..[ ]
z
zn
z n
ζ
→∞=
= = −−∑ℤ(3)
1146
1
loglim log ( ) 0,833202353297691993..
0,41595368629035373434156..[ ]
z
zn
z n
ζ
→∞=
= = −−∑ℤ3 (7)
1147
1
loglim log ( ) 1,397868917273876077051..
0,24792996395961107..[ ]
z
zn
z n
Per 1h = la illary è
=
→ ∞=
∑= −−∑ i1
1( )]
2552
1
(k+1)log
lim log ( ) (log )[ ] z
n
znk
z kn
zI n
cz
es:
=
→ ∞=
∑= − = −−∑ iℤ 1
1( )]
21148
1
2log
lim log ( ) 0,40010169..2,1678584..
(log )[ ] z
n
zn
zn
z n z
=
→ ∞=
∑= − = −−∑ iℤ 1
1( )]
2 21149
1
3log
lim log ( ) 0,6341453..1,57969..
(log )[ ] z
n
zn
zn
z n z
=
→∞=
∑= − =−∑ iℤ 1
1( )]
3 21150
1
4log
lim log ( ) 0,7998397..1,0839557..
(log )[ ] z
n
zn
zn
z n z
=
→ ∞=
∑= − = −−∑ iℤ 1
1( )]
17 21151
1
18log
lim log ( ) 1,67623..0,133343..
(log )[ ] z
n
zn
zn
z n z
In questo ultimo esempio kc è uguale o poco diverso da 215
....
Sommatorie di potenze Abbiamo anche
→∞=
= = − = −−∑ℤ1155
1
limlog ( ) 2log 0,693147.. log2[ ]z
zn
n z
→∞=
= = = −−∑ℤ2
1156
1
limlog ( ) 3log 1,0986122.. log3[ ]z
zn
n z
→∞=
= = = −−∑ℤ3
1157
1
limlog ( ) 4log 1,386294.. log4[ ]z
zn
n z
e in generale
250
→∞=
= + = − +−∑ i556
1
lim log ( ) ( 1) log( ) log( 1)][ z
k
zn
I n k z k
Il suo limite estremo è
1
1limlim log ( ) ( 1) log log( 1)
2[ ]
zk
k zn
k n k z k
z→∞ →∞=
++ + + ≈−∑ i
Poi
→∞=
= = − = −−∑ℤ1158
1
3 3limlog ( ) log 0,405465108108.. log
2 2[ ]
z
zn
n z
→∞=
= = − = −−∑ℤ3
1159
1
4 4limlog ( ) log 0,287682072451.. log
3 3[ ]
z
zn
n z
→∞=
= = − = −−∑ℤ4
1160
1
5 5limlog ( ) log 0,2231435513142097.. log
4 4[ ]
z
zn
n z
e in generale
→∞=
+ += = −−∑ i557
1
1 1lim log ( ) log( ) log( )[ ]
zk
zn
k kI n z
k k
Radici di radici
→∞=
−= = −=−∑ℤ1161
1
0,405465108108164381978013115..3 3
limlog ( ) log log2 2
[ ]z
zn
n z
→∞=
= + = −−∑ℤ1162
1
3limlog ( ) log 0,3979..
2[ ]
z
zn
n n z
→∞=
= + + = −−∑ℤ1163
1
3limlog ( ) log 0,403085..
2[ ]
z
zn
n n n z
→∞=
= + + + = −−∑ℤ1164
1
3limlog ( ) log 0,404714..
2[ ]
z
zn
n n n n z
→∞=
= + + + + = −− ∑ℤ1165
1
3lim log ( ) log 0,404714..
2[ ]
z
zn
n n n n n z
e il limite estremo per un numero illimitato di radici
→∞=
= + + − ∑558
1
3lim log ( ... ) log
2[ ]
z
zn
I n n n z
Poi
→∞=
−= − == −∑ℤ3
1167
1
log(0,2876820724517809274392190..4 4
limlog ( ) log )3 3
[ ]z
zn
n z
251
→∞=
= + = −−∑ℤ3 3
1168
1
4limlog ( ) log 0,28767668..
3[ ]
z
zn
n n z
→∞=
= + + = −−∑ℤ3 3 3
1169
1
4limlog ( ) log 0,28767379..
3[ ]
z
zn
n n n z
→∞=
= + + + = −−∑ℤ3 3 3 3
1170
1
4limlog ( ) log 0,287673610..
3[ ]
z
zn
n n n n z
E per un numero illimitato di radici
→∞=
= + + + = − =−∑ℤ3 3 3
1171
1
4 4limlog ( ..... ) log 0,287682.. log( )
3 3[ ]
z
zn
n n n z
→∞=
+= + − ∑559
1
1lim log ( ) log[ ]
zr r
zn
rI n n z
r
→∞=
= + = −− ∑ℤ5 5
1172
1
6lim log ( ) log 0,1822..
5[ ]
z
zn
n n z
→∞=
+= + + − ∑ 560
1
1lim log ( ) log[ ]
zr r r
zn
rI n n n z
r
→∞=
= + + = −− ∑ℤ7 7 7
1173
1
8lim log ( ) log 0,1334..
7[ ]
z
zn
n n n z
E più in generale per un numero illimitato di radici
→∞=
+= + + + −∑561
1
1lim log ( ... ) log[ ]
zr r r
zn
rI n n n z
r
→∞=
+= + + + − ∑ℤ1174
1
1lim log ( ) log[ ]
zr r r r
zn
rn n n n z
r
Poi
→∞=
= =−∑ℤ i1175
1
loglimlog ( log ) 1,217568..
0,488021..[ ]
z
zn
zn n
PSEUDOCOSTANTI Le pseudocostanti sono piccoli valori numerici generati da una pseudo illary, cioè una illary, composta da una pseudofunzione antagonista. Data una serie qualsiasi, è abbastanza facile creare delle pseudofunzioni antagoniste, cioè funzioni che per un ben determinato valore di z grande a piacere, generano valori della illary, quasi uguali a quelli della serie in oggetto.
252
La loro differenza è una pseupseudocostante. Ad esempio data la serie
−
→∞=
∑1
0
lim ( )z
zx
x x
per 1000000z = si ha
−
→∞=
− − + = −∑15 3132 2
0
2 1 5lim ( ) ( ) 0,0254852..
5 2 4
z
zx
x x z z z
per cui si è portati a pensare che
− +15 332 22 1 5
( )5 2 4
z z z
sia la funzione antagonista della serie precedente. Ma se calcoliamo la funzione
−
→∞=
− − +∑15 3132 2
0
2 1 5lim ( ) ( )
5 2 4
z
zx
x x z z z
per 100000z = , essa da il valore -18,516.., e per 10000000z = da 125,954.. Non descriverò qui il procedimento per generare tali pseudocostanti, poiché forse non è di interesse ad alcuno. Il capitolo che segue però tratta dell’argomento più importante del libro.
CAP XXII - FORMULA GENERALE DELLE COSTANTI MATEMATICHE Esiste una formula generale per generare le costanti matematiche? Certamente! Possiamo ricavarla da un algoritmo noto da più di cento anni: l’algoritmo di Eulero-MacLaurin
=
− − −
= + − + − +
− − + − −
− + + − −
∑ ∫ i i
i i i
i i
21 (2 1) (2 1)
1 1( ) ( ) [ ( ) ( )] [ '( ) '( )]
2 121 1 1
[ '''( ) '''( )] [ ( ) ( )]720 30240 1209600
[ ( ) ( )] .... ( 1) [ ( ) ( )](2 )!
II II
n n
mx m
v v
pv v p p p
F x F x dx F n F m F n F m
F n F m F n F m
BF n F m F n F m
p
(134) L’algoritmo di Eulero-MacLaurin si può utilizzare in molteplici campi, ma come scoprirete fra breve, il suo compito primario è quello di permettere il calcolo delle costanti generate dalla serie divergenti di una qualsiasi funzione continua
( )F x differenziabile un qualsivoglia numero di volte. La formula base per le Illary è sicuramente sfuggita anche a questi favolosi e incredibili matematici. Forse, se il grande Eulero avesse avuto a disposizione un computer, avrebbe sicuramente scoperto ciò che la sua formula nascondeva! L’algoritmo di Eulero-MacLaurin esteso agli integrali impropri, e troncato al p-esimo termine, permette di scrivere la illary generale per quasi tutte le funzioni
253
∞
→∞=
− − −
= − − − − − +
+ − − − +
− − + − −
∑ ∫
i
i
21 (2 1) (2 1)
1 1lim ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ '( ) '( )]
2 121 1 1
[ '''( ) '''( )] [ ( ) ( )]720 30240 1209600
[ ( ) ( )] .... ( 1) [ ( ) ( )](2 )!
II II
z
mzx m
v v
pv v p p p
I F x F x dx F x F m F x F m
F x F m F x F m
BF x F m F x F m
p
(135) I termini di questa sommatoria, si possono interrompere dal [2( 1) 1]p + − -esimo termine, se si ha
(2 1)lim ( ) ( )p
x
df x
dx
−
→∞ = ∞
e
[2( 1) 1]lim ( ) ( )p
x
df x c
dx
+ −
→∞ =
dove c è un numero reale (anche se questo valore è spesso uguale a zero). Infatti da tale termine in poi tutti gli elementi della Eulero-MacLaurin non forniranno variabili in x, ma solo costanti, la cui somma è pure una costante. Nel calcolo della illary, troveremo in questo numero, anche il resto escluso della Eulero-MacLçaurin. La (135) dopo aver sostituito la z alla variabile x, si può semplificare in
∞
→∞=
− −
= − − − + +
− + + − + −
∑ ∫021 (2 1)
1 1 1lim ( ) ( ) ( ) '( ) '''( )
2 12 7201 1
( ) ( ) .... ( 1) ( ) (136)30240 1209600 (2 )!
II
z
zx m
pv v p p
I F x F x dx F z F z F z
BF z F z F z
p
Il valore di m può essere preso a piacere. E su questa, si può effettuare un’ulteriore semplificazione, togliendo ad ogni passaggio di derivazione la parte numerica della funzione (indipendente dalla variabile x). Ad esempio per la funzione 5( ) lnf x x x= i il terzo termine di derivazione della Eulero-MacLaurin è
51 120log 274 120log 274( ) ( ln )
30240 30240 30240 30240
Vd x xx x
dx
+= − = − −i i
La parte numerica 274 30240− si può quindi togliere dalla (119) poiché è una costante (togliendolo dalla funzione essa rientra nella costante). Occorre quindi introdurre una nuova funzione per eliminare ad ogni derivazione la parte numerica. Con la funzione ( )f x si intende indicare che nella funzione ( )f x si esclude la
parte numerica. In definitiva quindi si ha
254
( )− −
=
= − − − +
+ − + +
− + −
∫∑
21 (2 1) 137
1 1( ) ( ) '( )
2 12
1 1 1'''( ) ( ) ( )
720 30240 1209600
.... ( 1) ( )(2 )!
( )
II
n
m
v v
pp p
n
k m
I Fk dk F n F n
F n F n F n
BF n
p
F k
Vediamo con un esempio il calcolo di una illary generica.
Sia =+i
2
( )x
F xa x b
con 0a x b+ >i
La serie
→∞
=
+
∑i
2
1
lim ( )z
zx
x
a x b
è divergente, continua nel campo fissato, e derivabile un qualsivoglia numero di volte, per cui si può utilizzare la (137). Si ha
=→∞
− + + − = − +
+∫
i i i i i
i
2 2 2 2 5 2
3 30
2(3 4 8 ) 16lim ( )
15 15
z
xz
x a z a b z b a z b bdx
a aa x b
→∞ − = −
+i
21lim ( )
2 2z
zF x
a z b
→∞
+ − = −
+
i i
i3
1 (3 4 )lim '( )
12 24 ( )z
z a z bF x
a z b
Essendo il limite della derivata terza pari a zero, il valore di p in questo caso è uno
→∞ →∞
+ + [ = [ =
+
i i i i
i i
2 2 2
7
1 3 ( 4 8 )lim '''( )] lim ] 0
720 5760 ( )x x
a a x a b x bF x
a x b
Togliendo quindi la parte numerica 5 2
3
1615
b
a all’integrale, e sommando i
termini della Eulero-MacLaurin, si ha la illary
→∞=
− + + + − − −
+ + +∑
i i i i i i i
i i i
2 2 2 2 2
3 31
2(3 4 8 ) (3 4 )lim ( )
15 2 24 ( )
z
zx
x a z a b z b a z b z z a z b
aa x b a z b a z b
Come esempio numerico, prendiamo [ 2 3]a b= =
→∞=
− + + + − − − = −
+ + +∑
i i i i i
i i i
2 2 2
31
2(12 24 72) 2 3 ( 2)lim ( ) 2,07990233068194716515..
1202 3 2 2 3 4 (2 3)
z
zx
x z z z z z z
x z z
255
CAP XXI-TRASFORMAZIONE DELLE ILLARY IN SERIE CONVERGENTI. Data la serie divergente
→∞=
∑1
lim [ ( )]z
zn
f n
se esiste una funzione antagonista ( )af z di questa serie, tale per cui si abbia la illary
→∞=
= − =∑ 1
1
lim [ ( )] ( )z
az
n
I f n f z C
questa si può trasformare nella serie convergente
∞
=
∑ 1
1
[ ( )]n
f n (138)
per la quale si ha
∞ ∞
= =
= − =∑ ∑1 2 2
1 1
[ ( )] [ ( ) ( )]n n
f n f n f n C
Il valore numerico della costante 1C è di solito diverso da 2C . La funzione 2( )f n si calcola dopo aver sostituito la variabile n alla zeta, attraverso una relazione simile alla serie di Taylor
+−= − + − + +
1
21 1 1 ( 1)
( ) '[ ( )] ''[ ( )] '''[ ( )] [ ( )] ... [ ( )]2 6 24 !
kIV k
a a a a af n f f n f f n f f n f f n f f nk
In forma ridotta
+
=
−= ∑ i
1
2
1
( 1)( ) [ ( )]
!
jkj
a
j
f n f f nj (139)
Se il procedimento di derivazione termina dopo k derivazioni, si ha
=[ ( )] 0kaf f n
In questo caso la funzione 2( )f n sarà composta da un numero finito di elementi Se il procedimento non porta da avere mai la derivata k-esima pari a zero, allora
2( )f n sarà composta da un numero illimitato di elementi. Da un certo valore di k in poi tutte le approssimazioni della 2( )f n forniranno serie convergenti. Si ha quindi una costante diversa per ogni ulteriore derivazione aggiunta (sia come funzione che come valore numerico). Ad esempio, se prendiamo la costante già vista in precedenza,
256
→∞=
= − − − = −∑ iℤ i2
763
2
1 1 5lim [ (1 ) ] ( log ) 0,18214931863..
2 12
zn
zn
n z zn e
e operiamo con due derivazioni:
−= − =i
i
221 5 24 5
'[ ( )] '[ ( log )]2 12 24
an
f f n f n ne e n
+
− = − − = −i
22
2
1 1 1 5 24 5''[ ( )] ''[ ( log )]
2 2 2 12 48a
nf f n f n n
e en
Si ha quindi
∞
=
− += − − + = −∑
i
ℤ i
2 2
11822
2
1 24 5 24 5(1 ) 0,07487546..
24 48[ ]n
n
n nn
n e n en
Poiché la funzione in oggetto non ha mai una derivata k-esima nulla, è chiaro che dalla seconda derivazione in poi tutte le derivazioni saranno adatte per creare serie convergenti (ognuna con valore diverso). Inoltre se l’operazione di derivazione è illimitata, si può calcolare il valore della funzione iniziale come limite estremo per n → ∞
−
− = − + + +i 2 3 4
1 2 1 5 1 1 1 1(1 ) ( ..)
2 24 2 3 4]n n
nn e e n n n n
dalla quale ricava la interessante relazione
∞
→∞=
+ + + = = − − −∑ i i
i2 3 4
1
1 1 1 1 1 12 1lim( ..) ( ) [2 1 2 (1 ) ]
2 3 4 5n
jnj
n enn n n n j n n
e
+ + + ≈ − − −i i i2 3 4
1 1 1 1 12 1.. [2 1 2 (1 ) ]
2 3 4 5nn e n
n n n n n
Naturalmente, questa relazione sarà tanto più approssimata quanto più è grande n. Prendiamo ora la funzione
=i
( )!
n
n
nf n
n e
si può ricavare la illary (che in questo caso è una costante)
π→∞
=
−= − = − =∑i
ℤ882
1
0,666666..2 2
lim ( )3!
nz
nzn
n z
n e
Derivando una volta sola la funzione antagonista
π π
= =22 1
( ) ( )2
d nf n
dn n
Da essa si ottiene la serie convergente
π
∞
=
− = −∑i1
10,08406950872765599646..
! 2( )
n
nn
n
n e n
che è la famosa serie di Knuth.... Vediamo un altro esempio utilizzando in via eccezionale una funzione trigonometrica che verrà discussa in uno dei prossimi libri
257
→∞
=
+ −− = −∑
i i
i2
1
1 ( 2)(2 1)lim [ cos( )] 0,06705..
6
z
zn
z z z n
n
poiché è +−
= − + − + +
1
21 1 1 ( 1)
( ) '[ ( )] ''[ ( )] '''[ ( )] [ ( )] .... [ ( )]2 6 24 !
kIV k
a a a a af n f f n f f n f f n f f n f f nk
si ha
+ −= + −
i i 2( 2)(2 1) 1'[ ]
6 3n n n
f n n
+ −− = − −
i i1 ( 2)(2 1) 1''[ ]
2 6 2n n n
f n
+ −+ = −
i i1 ( 2)(2 1) 1'''[ ]
6 6 3n n n
f
+ −− =
i i1 ( 2)(2 1)[ ] 0
24 6IV n n n
f
Sommando questi risultati fra di loro, si ottiene
= −22
1( )
2f n n
Si ha quindi la serie convergente
∞
=
− − =∑ i2 2
1
1 1[ cos( ) ( )] 0,06706..
2n
n nn
che più elegantemente si può scrivere
∞
=
− − =∑ iℤ2
1
0,06706..1 1
[1 cos( )]2
n
= nn
Prendiamo in considerazione un’altra costante già studiata
→∞=
= =− −∑ℤ
2
575
1
(log )lim ( ) 0,98855..
2[ ]
zn
zn
zn z
con due derivazioni, si ottiene la serie convergente
∞
=
= − + + + =∑ iℤ1183 21
11 [1 (2 1) log ] 1,4149..
2 n
n
n n nn
Mentre dalla costante già vista
→∞
=
= =− +∑ℤ
2
583
1
1 (log )lim ( ) 1,009018..
2[ ]
z
nzn
z
nz
si ottiene
∞
=
= − − − + =∑ iℤ1184 21
1 11 [1 (2 1) log ] 0,582..
2
nn
n nnn
Dalla illary
→∞=
= − −∑ i383
1
lim ( ) log log[ ]z
n
zn
I a a zz
si passa alla serie convergente
258
∞
=
+ + + +− −∑ i
i2 3
1
1 1 1 1log ( ... )
2 31[ ]n
kn
an n n k n
a
dove k è il numero di derivate di ( )af z . Esempio
∞
=
= + + =− −∑ iℤ1185 2 31
3,20239..71 1 1
7 log ( )2 3
1[ ]n
n n n n
Si ricava facilmente anche la serie convergente
∞
=
+ + + +− +∑ i
i2 3
1
1 1 1 1 1log ( ... )
2 31[ ]
knn n n n k na
a
dove k è il numero di derivate di ( )af z . Esempio
∞
=
= + + + =− +∑ iℤ1186 2 3 41
..5 3,92841 1 1 1 1
log ( )2 3 45
1[ ]n
n n n n n
Dalla costante
φ→∞=
= − =−∑ℤ
1
1 loglim 0,37708416..
2,010682079..( )[ ]
z
z nn
z z
Fibonacci n
con una derivazione si passa
φ
∞
=
= − =−∑ℤi
1187
1
1 1 10,090007..
2,010682079..( )[ ]
nn nFibonacci n
Dalla costante
→∞=
= + =+∑ℤ
2
1 loglim ( ) 1,2077..
4,13971124..[ ]
z
zn
EULERz
zn
con una derivazione →
∞
=
= + =+∑ℤ1188
2
log
4,13971124..1,347..
1( )[ ]
n
nEULER n
n -
Dalla costante
→∞=
= − = −+
−∑ℤ
2
1 loglim 0,21078167..
1,25669596..( ) 1 2[ ]
z
z nn
z z
Pell n
con una derivazione →
∞
=
= + − =−∑i
ℤ1189
2
1 11 2 0,5398..
1,25669596..( )[ ]
nn nPell n
Poi
→∞=
= =+
−∑ℤ
3
1 loglim 1,100616..
log ( ) log(1 2)[ ]
z
zn
z
Pell n
con tre derivazioni →
∞
=
= + + =+
−∑ iℤ1190 2 33
1 1 1 1 1( ) 1,894..
log ( ) 2 3log(1 2)[ ]
n Pell n n n n
259
Questo tipo di trasformazioni, mostra un universo di funzioni nuove e interessanti, ma per le quali purtroppo, non ho il tempo materiale di fare uno studio approfondito e quindi una classificazione. CALCOLO DELLA PRIMITIVA DELLA FUNZIONE ANTAGONISTA DI UNA
SERIE IMPERFETTA
Data la funzione antagonista di una serie divergente imperfetta ( )af z è possibile calcolare la funzione primitiva ( )f n ? Sappiamo che esistono infinite funzioni antagoniste diverse per ogni serie divergente imperfetta
→∞
=
∑1
lim [ ( )]z
zn
f n
viene di conseguenza spontaneo pensare che sia vera anche la condizione opposta, e cioè che esistano infinite funzioni primitive di una ( )af z . Non ho per ora chiara visione di come sia possibile calcolare la (o le) funzioni primitive della ( )af z , però posso immaginare che il primo passo per arrivare alla soluzione sia quello di calcolare
+
→∞=
−≈ ∑ i
1
1
( 1)( ) lim [ ( )]
!
jzj
az
j
f n f f nj
e operare su questo risultato con qualche trasformazione...
Se invece la ( )af z è imperfetta, e sussiste l’uguaglianza
→∞
=
= +∑1
lim [ ( )] ( )z
a nz
n
f n f z Z (140)
non sempre è possibile dalla ( )af z risalire alla funzione primitiva ( )f n . Un tentativo
∞ ∞
= =
= − =∑ ∑1 2 2
1 1
[ ( )] [ ( ) ( )]n n
f n f n f n C
si ricava
∞ ∞
= =
= +∑ ∑ 2 2
1 1
[ ( )] [ ( )]n n
f n f n C (141)
Per avere l’uguaglianza (8889) le funzioni ( )f n e 2( )f n devono avere molte analogie in comune (anche se espresse in modo diverso). La costante 2C fa si che la ( )f n abbia infinite rappresentazioni diverse (tutte aventi come funzione
base la 2( )f n ). Però data una qualsiasi 2( )f n non è facile trovare la sua simile
( )f n , che generi la ( )af z . PRIMITIVA DELLA FUNZIONE ANTAGONISTA DI UNA SERIE PERFETTA
260
Data la funzione antagonista perfetta ( )af z , generata dalla serie divergente perfetta
→∞
=
∑1
lim [ ( )]z
zn
f n
poiché sussiste l’uguaglianza
→∞
=
=∑1
lim ( ) ( )z
az
n
f n f z
è facile ricavare dalla ( )af z la funzione primitiva ( )f n con la (122). Esempio : quale è la ( )f n che genera la serie
→∞
=
+=∑
i2 2
1
( 1)lim [ ( )]
4
z
zn
z zf n
Si ha +−
= − + − + + =
+ + + + += − + − + =
i i
1
2
23
1 1 1 ( 1)( ) '[ ( )] ''[ ( )] '''[ ( )] [ ( )] ... [ ( )]
2 6 24 !( 1)(2 1) 6 6 1 2 1 1
02 4 2 4
kIV k
a a a a af n f f n f f n f f n f f n f f nk
z z z z z zz
Interessante è pure il Teorema di trasformazione delle serie convergenti in illary
Data la serie convergente
∞
=
=∑ 1 2
1
[ ( )]n
f n C
e posto = −1( ) ( ) ( )s tf n f n f n come differenza di due funzioni continue e derivabili k volte, nella quale ( )sf n può essere scelta a piacere ma tale per cui la serie
∞
=
∑1
[ ( )]n
sf n
sia divergente. Avremo quindi
∞
=
− =∑ 2
1
[ ( ) ( )]n
s tf n f n C (142)
che si può ora trasformare nella illary
261
→∞ →∞= = =
= − = − =∑ ∑ ∑ 1
1 1 1
lim [ ( )] [ ( )] lim [ ( )] ( ) z z z
atz z
n n n
s t sI f n f n f n f z C
Per far questo bisogna calcolare la funzione antagonista
=
=∑1
[ ( )] ( )z
at
n
tf n f z
attraverso la (119). Esempio: dalla serie di Knut
π
∞
=
− = −∑i1
10,08406..
! 2( )
n
nn
n
n e n
si passa
π
∞ ∞
= =
− = −∑ ∑i1 1
1( ) 0,08406..
! 2( )
n
nn n
n
n e n
e poiché
π π π π π
π π π
π ππ π
→∞=
− −
= + + − +
+ − + + − =
= + − + −
∑ ∫
i
i i
11
21 (2 1)
3 72 2
1 1 1 1 1 1 1 1lim ( ) ( ) ( ) '[( )] '''[( )]
2 12 7202 2 2 2 21 1 1 1 1
[( )] [( )] .... ( 1) [( )]30240 1209600 (2 )!2 2 2
2 1 1 1...
2 2 24 2 384 2
II
z z
zn
pv v p p
dk F Fn n n n n
BF F F
pn n n
z
zz z
Poiché z → ∞ i termini dell’uguaglianza dopo il primo tendono tutti a zero, e quindi vengono eliminati. Si ha
π→∞=
= − = −∑i
ℤ1191
1
2 2lim ( )
3!
nz
nzn
n z
n e
PRIMITIVA DELLA FUNZIONE ANTAGONISTA DI UN INTEGRALE
PERFETTO. Con gli integrali, il discorso è più semplice. Se è nota la funzione antagonista ( )af z dell’integrale
=→∞∫ 0
lim [ ( )]z
nzf n
è molto facile calcolare la funzione primitiva ( )f n . Infatti basta derivare la
funzione antagonista ( )af z , sostituendo n a zeta, per ottenere la ( )f n .
CALCOLO DEGLI INTEGRALI
Per calcolare la funzione antagonista di una serie esistono metodi diversi dall’utilizzo dell’algoritmo di Eulero-MacLaurin. Quando questo è possibile, si
262
può calcolare con un certo grado di approssimazione anche l’integrale della funzione stessa. Infatti se
→∞
=
= +∑ ℤlim [ ( , )] ( )z
az
x m
f n x f z
dove ℤ è una costante numerica. Dalla 117 sostituendo alla serie + ℤ( )af z si ha
− − −
= + − − − − + −
− − + − +
... + − −
∫ ℤ
21 (2 1) (2 1)
1 1 1( ) ( ) [ ( ) ( )] [ '( ) '( )] [ '''( ) '''( )]
2 12 7201 1
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ...30240 1209600
( 1) [ ( ) ( )](2 )!
II II
n
am
v v v v
pp p p
xF x d f n F n F m F n F m F n F m
F n F m F n F m
BF n F m
p( ) 143
Il calcolo della funzione antagonista dell’integrale, termina quando il limite della derivata
[2( 1) 1]lim ( ) ( )p
x
df x c
dx
+ −
→∞ =
è pari a zero. Non abbiamo in questo caso calcolato la funzione che determina la costante numerica, però è un bel passo in avanti aver calcolato la funzione antagonista. Più preciso sarebbe il calcolo dell’integrale, se fosse nota la funzione di
equilibrio ( )ae nf della serie della funzione in oggetto:
− − −
= − − − − + −
− − + − +
... + − −
∫
21 (2 1) (2 1)
( )1 1 1
( ) [ ( ) ( )] [ '( ) '( )] [ '''( ) '''( )]2 12 720
1 1[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ...
30240 1209600
( 1) [ ( ) ( )](2 )!
II II
n
aem
v v v v
pp p p
x nF x d f F n F m F n F m F n F m
F n F m F n F m
BF n F m
p( ) 144
Tentativi per risolvere le equazioni nelle illary. Uguagliando a zero la generica illary di una serie divergente
→∞
=
− =∑0
lim [ ( , )] ( ) 0z
az
x
f n x f z
si ottiene una interessante equazione nell’incognita x. La soluzione di questa equazione, è facile se si conosce la funzione equivalente della illary. Ma poiché per ora, non abbiamo a disposizione, un metodo semplice per trovare tale funzione, bisogna quindi analizzare caso per caso. Prendiamo ad esempio l’equazione
→∞
=
+ − − =∑ 2
0
lim ( ) log 02
z
zn
xn x n z (145)
Dalla formula di Eulero-MacLaurin (escludendo i termini il cui il lim 0
z→∞= ) si ha
263
→∞=
+ ++ − = − + + + + + +∑ ℤ
22 2
0
( 1)lim ( ) ( 1) log( )
2 2 2
z
zx
z z z x xn x n z z z x
Dove ℤ è la costante generata da x. Sostituendo tale valore nella (888) si ottiene l’equazione
+ ++ + + + + =ℤ
2
2
( 1)( 1) log(1 1 )
2 2 2z x x x z z
zz
Si tratta ora di calcolare x in funzione di z, e da questa espressione calcolare il valore limite di x per zeta tendente a infinito. Per una soluzione generale delle equazioni nelle illary, forse potrebbe venire
utile il calcolo della ( )ae nf attraverso la (127):
− − −
= + − + − − −
+ − − − +
... + − −
∫
21 (2 1) (2 1)
( )1 1 1
( ) [ ( ) ( )] [ '( ) '( )] [ '''( ) '''( )]2 12 720
1 1[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ...
30240 1209600
( 1) [ ( ) ( )](2 )!
II II
n
aem
v v v v
pp p p
n xf F x d F n F m F n F m F n F m
F n F m F n F m
BF n F m
p
ma non conosco un metodo semplice per esplicitare tale funzione. CAP XXII - ACCENNI ALLE SERIE DIVERGENTI DOPPIE. Naturalmente per trovare le costanti generate dalle serie doppie, triple o multiple (attraverso le quali possiamo generare un maggior numero di costanti rispetto alle serie semplici), le difficoltà aumentano. Occorre trovare una formula di equivalenza fra le serie multiple e gli integrali multipli (bisogna estendere la Eulero-MacLaurin alle serie multiple e agli integrali multipli) o magari utilizzare la funzione zeta di Hurwitz. Devo però precisare che quasi tutte le costanti descritte in questo libro, e alcuni integrali, sono stati determinati con un algoritmo diverso da quello descritto nel capitolo precedente. In molti casi questo mi ha permesso di calcolare le costanti anche la dove la formula di Eulero-MacLaurin mostrava i suoi limiti: infatti il calcolo dell’integrale della funzione in oggetto è a volte difficile da effettuare. Inoltre dopo aver calcolato la costante di una determinata serie divergente con questo algoritmo, essa può essere utilizzata, attraverso la (120) per calcolare facilmente l’integrale della funzione in oggetto. In uno dei prossimi libri mostrerò come calcolare vari integrali di cui al momento attuale non è nota la risolubilità. Ho studiato poche funzioni relative alle serie divergenti doppie, poiché il calcolo numerico di queste funzioni è di estrema difficoltà. Aspettiamo che, qualche volonteroso trovi la relazione di equivalenza degli integrali doppi con le serie doppie.. Accontentiamoci per ora di questi pochi risultati:
→∞= =
= − = −∑∑ℤ2
1192
1 1
1lim [sin( )] log( ) 1,12..
z zy
zy x
zx
→∞= =
= − =∑∑i
ℤ1193
1 1
1lim [cos( )] 1,3056..
z z
zy x
zx y
264
γ γ
γ
→∞ →∞= =
= − + + + − + =
= − = −
∑∑ i
i
iℤ1194
1 1
2
1limlim ( ) [log( 1) ] log( 1) log( 1)
0,333177..
w z
w zy x
w z wx y
γ→∞ →∞
= =
− + + + − = − ∑∑ i i
1 1
1 1limlim ( ) ( 1)[log( 1) ]
2 2 24
w z
w zy x
x zz w
y
Alcune relazioni approssimate
→∞= =
≈ +∑∑ i2
1 1
1 1lim [sin( ) sin( )] (log ) log
z z
zy x
z zx y
→∞= = = =
− ≈∑∑ ∑∑1 1 1 1
1 1lim [tan( )] [sin( )] log
z z z zy y
zy x y x
zx x
