01 Lezioni_sicurezza (1)

Politecnico di Torino Prof. Giuseppe Mancini Corso di TECNICA DELLE COSTRUZIONI1

SicurezzastrutturaleSicurezza

strutturale


Sicurezza strutturale

Requisito fondamentale in ogni operazione di:1. progettazione2. costruzione3. utilizzazionedelle opere strutturali

Metodi di valutazione della sicurezza che consentano diverificarne la positività in tutti gli stati in cui verrà a trovarsi la struttura

Misura positiva della sicurezza nei diversi stati =

struttura “affidabile”


Metodi di misuradella sicurezza

nelle costruzioni

deterministicitensioni ammissibili

calcolo a rottura

probabilistici

di livello 3

di livello 2

di livello 1(semiprobabilistico)


Metodo delle tensioni ammissibili

La misura della sicurezza avviene nello spazio delle tensioni.

k

eRRS o anche

ke

RRS


tensione “puntuale” nel materiale dovuta alleazioni di esercizio e valutata con analisi elasticalineare in presenza di qualunque tipo di azione(dirette e indirette)

eS

frattile 5% della distribuzione di frequenza delle resistenze (resistenza caratteristica)

kR

tensione ammissibile

kRR

coefficiente di sicurezza

rappresenta la combinazione tensionale (tensione ideale) cui si fa riferimento nel caso di stati disollecitazione combinati

eS


Svantaggi del metodo delle tensioni ammissibili

1. sollecitazioni valutate in modo deterministico senza considerare alcuna incertezza e/o aleatorietà

2. elasticità lineare che non consente di tener conto di fenomeni anelastici e reologici (fessurazione, fluage, ...) e della eventuale non-linearità di comportamento del materiale

3. coefficienti di sicurezza necessariamente ampi perchè devono coprire tutte le cause di incertezza lato azioni e resistenze effetto psicologico pericoloso

4. misura reale della sicurezza artificiosa o impossibile


Vantaggi del metodo delle tensioni ammissibili

1. facilità di determinazione delle sollecitazioni per la possibilità di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti

2. facilità nell’individuazione delle combinazioni di carico più gravose (linee di influenza)

3. buona attendibilità (in campo statico) delle sollecitazioni determinate nei campi usuali di impiego

4. buon comportamento nelle numerose strutture realizzate


Metodo di calcolo a rottura

La misura della sicurezza avviene nello spazio delle forze.

ueue AAG


e distinguendo le azioni permanenti :eG

ueue AAG

con :

azioni permanenti di esercizioeG

azioni variabili di esercizioeA

azioni variabili ultimeuA

coefficiente di sicurezza ultimou


Svantaggi del metodo di calcolo a rottura

1. misura della sicurezza ancora deterministica2. non valuta le condizioni di esercizio3. coefficienti di sicurezza necessariamente ampi perchè

devono coprire tutte le cause di incertezza lato azioni e resistenze effetto psicologico pericoloso


Vantaggi del metodo di calcolo a rottura

1. possibilità di presa in conto di fenomeni anelastici o reologici o di non-linearità di comportamento dei materiali

2. valutazione corretta degli effetti delle deformazioni impresse

3. possibilità di controllo sperimentale della sicurezza ultima

In ogni caso entrambi i metodi deterministici presentano notevoli lacune nella valutazione della sicurezza strutturale


Condizione di stato limite

In ambito strutturale, il concetto di stato limite legato aduno specifico requisito è interpretabile come uno statodella struttura, raggiunto il quale, essa non è in grado disoddisfare il requisito.

Il requisito di stato limite divide lo spazio n -dimensionalein un dominio di insuccesso (nel quale il requisito non èsoddisfatto) e in un dominio di successo, detto anche dominio di sicurezza (nel quale il requisito è soddisfatto);il confine tra i due domini è detto stato limite.

Si definisce probabilità di insuccesso la probabilità di nonsoddisfacimento del requisito di stato limite.


Funzione di stato limite

La funzione di stato limite è la rappresentazione analiticadella condizione di stato limite. Quindi, la funzione distato limite esprime analiticamente una condizione raggiunta la quale, la struttura non può più svolgere lefunzioni o non soddisfa più le condizioni per cui è stataprogettata.


Metodo probabilistico di livello 3

La misura della sicurezza nei confronti di un genericostato consiste nella determinazione della relativaprobabilità di insuccesso e nel suo confronto con unvalore di riferimento sufficientemente piccolo prefissato

*rr PP

rP*

rP


*rP

75 1010 rottura fragile (acciaio in trazione, cls incompressione, terreno, instabilità, ...)

54 1010 rottura duttile (acciaio o c.a. in flessione, cedimenti fondali, ...)

condizioni di esercizio 32 1010 (deformazioni, fessurazione,vibrazione, ...)


Sia il vettore rappresentativo delle n variabili aleatorieche intervengono nella definizione della sicurezza; sia inoltre la funzione di densità di probabilità congiuntadelle n variabili aleatorie, tali che:

X

Xf

nnX dxdxdxxxxf ...),...,,( 2121

...)()[( 22221111 dxxXxdxxXxP

)](... nnnn dxxXx


Se è noto il dominio di insuccesso , la probabilità diinsuccesso può essere immediatamente calcolata,come la probabilità che il vettore si trovi all’internodi :

'rD

rPX

'rD

'

...),...,,( 2121

rDnnXr dxdxdxxxxfP

Ammesso di poter separare le n variabili aleatorie in favorevoli e sfavorevoli, si possono definire le duevariabili aleatorie R ed S, tali che:

),...,,( 21 mR XXXgR

),...,,( 21 nmmS XXXgS


Pertanto, considerata la variabile aleatoria E=R-S, la probabilità di insuccesso è calcolata nel seguentemodo:

'

),(0 ,

rDSRr drdssrfEPP

con :

dominio di insuccesso (insicurezza), nel quale cioè

'rD

densità di probabilità congiunta delle due variabilialeatorie R ed S

SRf ,

0e

(1)


Integrando la (1) per strisce si ha:1. in orizzontale

2. in verticale

drdssrfP

rSRr ),(, (2)

(3)

dsdrsrfP

s

SRr ),(,


Se R ed S sono indipendenti, la probabilità congiuntacorrisponde al prodotto delle probabilità

semplici:

quindi la (2) e la (3) diventano:

),(, srf SR

)()(),(, sfrfsrf SRSR

drrFrfdrdssfrfP SR

rSRr )(1)()()(

dssFsfdsdrrfsfP RS

s

RSr )()()()(


ed, in rappresentazione grafica:

in orizzontale


in verticale


Qualora R ed S, oltre che indipendenti, abbiano anchedistribuzione normale:

RRRNR ;

SSSNS ;

= valore medio

= scarto quadratico medio

anche la variabile aleatoria Z=R-S è normale:

ZZZNZ ;

e risulta eSRZ 22SRZ


La probabilità di esito negativo vale:

0

)(0 dzzfZPP Zr

Utilizzando la variabile normale standard ,è sostituita da e si ottiene: Z

ZZU

ZZZN ; 1;0UN

rUUr PFduufPZZ

1)(/


Utilizzando le variabili standardizzate ridotte:

R

RR

S

SS

si ottiene , ,RRR SSS

0 SSRRSR o anche:

0 SRSR Retta di distanza “d” dall’origine

con:

22SR

SRd


22SR

SRd


Il coefficiente è l’indice di sicurezza e corrisponde

all’inverso del coefficiente di variazione della variabile

aleatoria Z

Z

Z

Z

ZZc

2220

0

2

2

2

222

1

SR

S

S

R

R

S

S

S

R

SR

SR

Z

Z

cc

con coefficiente di sicurezza centraleS

R

0

Risulta srrr ccPP ,,0


Utilizzando le precedentirelazioni per coppie di valori si possono disegnare le curve

sr cc ,

0rr PP

Si può notare come per valori elevati di (curve )anche un sensibile aumento di non riesca a confinare

entro valori sufficientemente bassi

rc 1690

rP


Per valori bassi di (curve ) risulta invece significa -tiva la variabilità di S.

rc 81

Il coefficiente di sicurezza centrale non è pertanto unbuon indice per la misura della sicurezza.


Si possono definire ulteriori coefficienti di sicurezza:

k

kk S

R coefficiente di sicurezza caratteristico

k

dd S

R coefficiente di sicurezza di calcolo

011

k SR R R R R Rk

k S S S S R S S

R k k cS k k c

011

d SR R R R R Rd

k S S S S R S S

R d d cS k k c


“k” e “d” individuano i frattili

Per distribuzione normale:

645.1Rk645.1Sk09.3Rd


Utilizzando le espressioni precedenti è possibile tracciarela probabilità in funzione di e al variare di e rP k d rc

sc


Si può osservare che utilizzando , il fascio di curve è ancora molto aperto, quindi valgono, anche se in modoridotto, le osservazioni già fatte per .

k

0

Pertanto non è un buon indice per misurare la sicurezzaa collasso.

k


Nel caso di , si osserva che con i valori usuali di(curve ) un valore di comporta unaprobabilità di rottura compresa tra e ,quindi sensibilmente costante.

d rc129 5.1d

4105 510


Pertanto può essere utilizzato come parametro per lavalutazione della sicurezza.

d

Si utilizza per scopi scientifici e di taratura dei metodiapprossimati di livello inferiore.

Il metodo di livello 3 risulta però di difficile applicabilitàper la mancata conoscenza delle leggi di distribuzionedi frequenza delle variabili aleatorie da prendere in conto.


1. difficoltà operative del livello 3 superate con il livello 22. la funzione di S. L. g(s, r)=0 è approssimata:

a) g(s, r)=0 lineare o linearizzata FORMb) g(s, r)=0 non lineare approssimata con funzione

di secondo ordine SORM


FORM

FOSM (First Order Second Moment) (MVFOSM)

AFOSM (Advanced First Order Second Moment)


- FOSM ignora la legge di distribuzione delle variabilicasuali

- AFOSM considera la legge di distribuzione delle variabili casuali

a1) FOSM (MVFOSM): basato su una approssimazione di primo ordine in serie di Taylor della funzione di S. L. linearizzata ai valori medi ed usa solo medie e covarianze delle variabili casuali (normali e log-normali)

),...,,()( 21 nXXXgXgZ


Sviluppando in serie di Taylor nell’intorno dei valorimedi:

n

iXi

iX i

XXggZ

1)(

...21

1 1

2

ji XjXi

n

i

n

j ji

XXXXg

da cui:

),...,,(21 nXXXZ g

jij

n

i

n

j iZ XX

Xg

Xg ,cov

1 1

2


La covarianza di due variabili casuali , è il momentodel 2° ordine rispetto alle rispettive medie e

iX jXiX jX

Se le variabili sono indipendenti:iX

n

ii

iZ XVar

Xg

1

22

Valutati e si ottiene Z ZZ

Z

1,282 2,326 3,090 3,719 4,265 4,753 5,199

rr PP 110 210 310 410 510 610 710


a2) AFOSM (Hasofer-Lind per variabili normali):usa le variabili normali standard

i

i

X

Xii

XX

' i=1, 2, …, n

ha media nulla e deviazione standard unitaria'iX

L’indice di sicurezza è definito come distanzaminima dall’origine degli assi rispetto alla superficiedi S.L.

HL


22SR

SRHL

R

RRR

'

S

SSS

'


La funzione di S. L. è: 0'' SRSR SR

AFOSM e FOSM danno valori coincidenti se R ed S sononormali e la funzione di S. L. è lineare

Per funzioni di S. L. non lineari, la determinazione didiventa un problema di ottimizzazione. Si può utilizzare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

HL


2

1

*

1

**

n

i i

n

i ii

HL

Xg

Xgx


b) SORM (Second Order Reliability Method)


Entrambe le approssimazioni delle funzioni di S. L.hanno la stessa distanza e l’approccio di FORMfornisce lo stesso livello di sicurezza; in realtà la probabilità di rottura dell’approssimazionenon lineare della funzione dovrebbe essere minore pervia della sua forma. FORM ignora la curvatura dellafunzione di S. L. perchè usa un’approssimazione di solo1° ordine.


SORM migliora l’approccio di FORM includendo informazioni sulla curvatura della funzione di S. L.Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione nonlineare nell’intorno del valore

vale:),...,,()( 21 nXXXgXg

**2

*1 ,...,, nxxx

n

i iiinn X

gxxxxxgXXXg1

***2

*121 ,...,,),...,,(

...21 2

*

1 1

*

jijj

n

i

n

jii xx

gxxxx

SORM tiene conto delle derivate di secondo ordinementre FORM si ferma a quella di 1° ordine


Secondo Breitung, la probabilità di insuccesso può esserecalcolata come:

1

1

21

1n

iif kP

dove sono le curvature principali nel punto di minimadistanza e è valutato tramite FORM.

ik


Le tecniche di simulazione consentono di valutare laprobabilità di insuccesso nel caso di funzioni di S. L. esplicite ed implicite. La tecnica di simulazione piùnota è il Metodo Montecarlo; consiste nei seguenti passi:- definizione del problema considerando tutte le

variabili casuali- quantificazione di tutte le variabili casuali tramite le

PDF- generazione dei valori delle variabili casuali- valutazione deterministica per ogni insieme di valori

delle variabili casuali (sperimentazione numerica)- valutazione di informazioni probabilistiche da N

valutazioni deterministiche- valutazione dell’accuratezza ed efficienza della

simulazione

Tecniche di simulazione


La generazione dei valori delle variabili casuali avvienetramite un generatore di numeri casuali, compresi tra 0 e1. Il numero casuale generato viene eguagliato alcorrispondente valore della CDF della variabileconsiderata e tramite questa si perviene al valore della variabile casuale tramite la PDF.

La probabilità di insuccesso si calcola come:

NN

P ff

casi sfavorevoli (g < 0)

casi totali investigati


Se si valuta una probabilità di insuccesso pari a 10-5

solo 1/10-5 casi sarà sfavorevole, si raccomanda quindi diutilizzare almeno 10x105 = 106 simulazioni per ognivariabile casuale.



La misura della sicurezza in un generico stato si effettuaconfrontando due valori significativi di “R” ed “S”(anziché le leggi complete di n variabili aleatorie) dettivalori di calcolo.

ESTRESTRESTR mRd xxxgR ,...,, 21

ESTRESTRESTR nmmSd xxxgS ,...,, 21

verificando che risulti:

dd SR


La scelta dei valori estremi, in linea di principio, si effettuamaggiorando le n-m variabili (S) e minorando le m variabili(R).


Per le resistenze si assumono i frattili 0.05:

05.0..

INFESTRi iX xF

Per le sollecitazioni si assumono i frattili 0.95:

95.0..

SUPESTRi iX xF


Il metodo, detto dei valori estremi, non tiene conto dellealeatorietà ed incertezze dei legami funzionalie

...Rg ...Sg

L’utilizzazione “ad litteram” della procedura può talvoltacomportare dei problemi di coerenza, ad esempio quandoun’azione interviene nello stesso tempo lato sollecitazioni e lato resistenze, in quanto dovrebbe essere, allo stessotempo maggiorata e minorata!

Il problema si risolve in tali casi assumendo per taleazione un valore deterministico anzichè due valori estremi.


Metodo semi-probabilistico agli statilimiteCon tale metodo, alcune delle variabili aleatorie da cuidipende la misura della sicurezza, vengono assuntecome deterministiche e l’effetto della loro aleatorietà edincertezza è coperto dall’introduzione di un coefficientedi sicurezza (ne esistono di 3 tipi)

m lato resistenze (m=materiale)

f lato sollecitazioni (f=forze)

n fattore di comportamento


Il metodo deriva in principio da quello di livello 1 ed èquindi definito “semi-probabilistivo”.Il termini “stati limite” sottolinea la necessità di effettuarela verifica nei riguardi di tutti gli stati che possono portarea comportamento insoddisfacente la struttura.In particolare si assumono:- le dimensioni geometriche come deterministiche- il legame funzionale come deterministico, per

la vasta messe di risultati sperimentali disponibili. In alcuni meccanismi complessi si introduce a valle del calcolo

con opportuna graduazione (riduzione) del coefficiente

...Rg

Rdn

dRd

d RR1

(incertezza di modello)

m


- lato resistenza le variabili aleatorie considerate sono le resistenze a rottura dei materiali cui si applica il coefficiente

- il legame funzionale è assunto deterministico, per cui si rende necessaria l’introduzione dei coefficienti che ne tengano conto. Anche in questo caso è possibile introdurre l’incertezza di modello con

e viene graduato (ridotto) di conseguenza

yc ff ,m

...Sg

f

Sdn

dSdd SS

f


- lato sollecitazioni le uniche variabili aleatorie considerate sono le azioni (A) di cui si considera la statistica dei massimi, per cui è necessaria l’introduzione dei coefficienti , nonchè di ulteriori coefficienti (coefficienti di combinazione) che tengono conto del riferimento unitario alla statistica dei massimi

Per le uniche variabili aleatorie considerate (f ed A) si assumono i valori caratteristici (frattile 5%),

(frattile 95%).

f

kfkA


Per le altre cause di aleatorietà si introducono:

- Resistenze

- Sollecitazioni

m

kd

ff

ik

iif ASS

i Formulazioni pratiche per

costruzioni in c.a., c.a.p., acciaio


Calcolo dei frattili per distribuzione normale e log-normale

I valori caratteristici (k) e di progetto (d) sono valutaticome frattili delle distribuzioni:

- frattile 5% per resistenza caratteristica- frattile 0.1% per resistenza di calcolo


XXkX 64.1

Per distribuzione normale:

33 XXX VV

Per distribuzione log-normale (asimmetrica) occorrevalutare il coefficiente di skewness (obliquità) :

XXdX 09.3

X

conX

XXV

coefficiente divariazione


Il valore caratteristico o di calcolo si valutano quindicon le espressioni:

220, 1/1lnexp XXpXi VVkX i = k oppure d

dove è il coefficiente della distribuzione normaleper lo stesso frattile (1.64 o 3.09)

0,pk

con 2.0XV XpXi VkX 0,exp


Esempio: calcestruzzo con ,MPa 30X MPa 5X

20.0167.0305

XV

Log-normale(scelta consigliata)

MPa 8.22167.064.1exp30 kR

MPa 9.17167.009.3exp30 dR

Normale MPa 8.21564.130 kR

MPa 6.14509.330 dR


Rappresentazione unitaria dei metodi di verifica della sicurezza (A. Migliacci)


Livello 3: '2

,,D

SRr drdssrfP

Livello 2: 0 SREPPrEE *

Tensioni ammissibili: punto M

Livello 1: punto 1M

Risulta perchè la sicurezza sulle azioni ètrasferita sulle resistenze.

dRR

SeS quindi è più prossimo all’origine di M 1M

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