SPAZI VETTORIALI E OPERAZIONI SUI SOTTOSPAZI

Definizione di spazio vettoriale

Per definire uno spazio vettoriale in generale bisogna assegnare un campo K di scalari. Possiamo supporreper il momento che K sia il campo dei numeri reali R oppure il campo dei numeri complessi C. La cosaimportante e’ che , qualunque sia K, i suoi elementi si devono poter sommare, sottrarre, moltiplicare edividere e che ci devono essere in K due elementi particolari: 0 (elemento neutro rispetto alla somma) e 1(elemento neutro rispetto a prodotto).

Definizione. Sia dato un campo K e un insieme non vuoto V in cui sono definite due operazioni:

- la somma u + v di u,v ∈ V

- il prodotto ku di k ∈ K con u ∈ V .

V si dice spazio vettoriale su K se:

per ogni u,v,w ∈ V

1) u + v=v + u

2) (u + v) + w=u + (v + w)

3) esiste un vettore 0 tale che v + 0=v, per ogni vettore v

4) Per ogni v diverso dal vettore 0, esiste il vettore −v tale che v + (−v) = 0

per ogni a, b ∈ K:

5) a(bv) = (ab)v

6) 1v = v

7) (a + b)v = av + bv

8) a(v + w) = av + aw

Osserviamo che gli elementi di V si dicono vettori anche se non e’ detto che assomiglino ai vettori diRn. Osserviamo inoltre che la somma v + (−w) si scrive di solito v −w (differenza tra due vettori).

Una immediata conseguenza di questi 8 assiomi e’ che, dato qualsiasi v ∈ V

0v + 0v = (0 + 0)v = 0v

da cui, sottraendo 0v si ottiene0v = 0

percio’ dagli assiomi segue che 0v e’ il vettore nullo.

Esempi

1) Supponiamo K = R; in questo caso V si dice spazio vettoriale reale. Un esempio di spazio vettoriale realee’ ovviamente V = Rn con le operazioni viste precedentemente. Un altro esempio e’ V = Rm,n (matrici am righe ed n colonne) con le operazioni di somma tra matrici e di prodotto di una matrice per un numeroreale.

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2) Ricordiamo che un polinomio nell’indeterminata x e’ un’espressione del tipo

p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn

dove i coefficienti possono appartenere a qualsiasi campo K. Il polinomio ha grado n se an 6= 0. Il terminecostante del polinomio e’ il termine

a0 = p(0)

che e’ il valore assunto dalla funzione x 7→ p(x) nel punto 0; a0 e’ nullo se e solo se il polinomio p(x) e’divisibile per x.

Proposizione. L’insieme Kn[x] dei polinomi in x di grado minore o uguale a n a coefficienti nel campo Ke’ uno spazio vettoriale su K.

Dimostrazione. Definiamo le due operazioni di spazio vettoriale nel seguente modo: per ogni k ∈ K e perogni polinomio di Kn[x]

(p1 + p2)(x) = p1(x) + p2(x)

(kp)(x) = kp(x)

Dalla definizione di polinomio segue che la somma di polinomi e’ un polinomio, il prodotto di un polinomioper uno scalare e’ un polinomio ed e’ immediato verificare le 8 proprieta’.

Combinazioni lineari e sottospazi

Come nel caso dello spazio vettoriale Rn, dati i vettori v1, · · ·vk di uno spazio vettoriale V sul campoK, denotiamo con L(v1, · · ·vk) l’insieme di tutte le combinazioni lineari a1v1 + · · · + akvk al variare deicoefficienti a1, · · · ak ∈ K.

Analogamente, in uno spazio vettoriale V sul campo K

Definizione. Un sottoinsieme W di V si dice sottospazio vettoriale se :

1 - W 6= Φ

2 - per ogni coppia di vettori u ∈ W e v ∈ W , risulta u + v ∈ W

3 - per ogni vettore u ∈ W e ogni numero k ∈ K, risulta ku ∈ W

Ne segue (come nel caso di Rn) che un sottospazio e’ in particolare uno spazio vettoriale: infatti leoperazioni che vi sono definite soddisfano gli 8 assiomi perche’ li soddisfano in V . Analogamente al casodi Rn, i sottospazi vettoriali possono essere descritti assegnando generatori o assegnando equazioni lineariomogenee.

Definizione. In uno spazio vettoriale V sul campo K, i vettori v1, · · · ,vk si dicono linearmente indipendentise l’equazione:

x1v1 + · · ·+ xkvk = 0

(con xi ∈ K) ha solo la soluzione x1 = · · · = xk = 0.

Applicazioni lineari

Siano V,W due spazi vettoriali sul campo K

Definizione. Una applicazione f : V → W si dice lineare se:

1 - f(u + v) = f(u) + f(v) per ogni u,v ∈ V

2 - f(ku) = kf(u) per ogni k ∈ K,u ∈ V .

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Una conseguenza della definizione e’ che

f(0) = 0

cioe’ f manda il vettore nullo di V nel vettore nullo di W .

Siano V,W due spazi vettoriali sul campo K e f : V → W una applicazione lineare; come nel caso dellospazio vettoriale Rn, valgono in particolare le

Definizioni. (a) Ker f = {v ∈ V |f(v) = 0} si dice nucleo di f ;

(b) Im f = {f(v)|v ∈ V } si dice immagine di f ;

(c) f−1(w) = {v ∈ V |f(v) = w} si dice insieme delle controimmagini del vettore w ∈ W ;

Vale, con la stessa dimostrazione, la seguente

Proposizione. Sia f : V → W una applicazione lineare; f e’ iniettiva se e solo se Ker f = 0.

Basi e applicazioni lineari

Definizione. Sia W un sottospazio dello spazio vettoriale V sul campo K. Un insieme ordinato di vettoriB = (v1, · · · ,vk) ∈ W si dice una base per W se:

1 - v1, · · · ,vk sono linearmente indipendenti;

2 - W = L(v1, · · ·vk) , cioe’ i vettori v1, · · · ,vk sono generatori di V .

Sia ora B = (v1, · · · ,vn) una base di un dato spazio vettoriale reale V ; sia f : Rn → V l’applicazionedefinita da:

(a1, · · · , an) 7→ a1v1 + · · ·+ anvn

E’ facile verificare che f e’ lineare e che , per la definizione di base, e’ anche iniettiva e suriettiva, cioe’ e’un isomorfismo. In particolare f manda ogni elemento della base canonica di Rn in un elemento della basedata di V . Dunque possiamo usare f per identificare Rn con V .

Teorema. Sia V uno spazio vettoriale reale con una base B = (u1, · · · ,un) formata da n elementi. Allora(a) se m vettori v1, · · ·vm di V sono linearmente indipendenti, si ha m ≤ n;(b) se V = L(v1, · · ·vp), si ha n ≤ p.

In particolare segue che ogni base di V ha n elementi e quindi si puo’ dire che V ha dimensione n.

Dimostrazione . Come e’ noto l’enunciato vale per V = Rn. Basta infatti inserire i vettori dati come righedi una matrice M di tipo m x n nel caso (a) oppure p x n nel caso (b) e usare il concetto di rango di M :l’ipotesi di (a) implica che rg(M) = m, quindi m ≤ n; l’ipotesi di (b) implica che rg(M) = n, quindi n ≤ p.Per dimostrare (a) in generale, siano v1, · · ·vm ∈ V linearmente indipendenti e sia f : Rn → V l’isomorfismodefinito prima come (a1, · · · , an) 7→ a1u1 + · · ·+ anun; consideriamo i vettori di Rn f−1(v1), · · · , f−1(vm);si ha per linearita’

a1f−1(v1) + · · ·+ amf−1(vm) = f−1(a1v1 + · · ·+ amvm)

inoltre per ipotesi a1v1 + · · ·+ amvm = 0 se e solo se a1 = a2 = · · · = am = 0, quindi dalla relazione

a1f−1(v1) + · · ·+ amf−1(vm) = 0

deduciamo che anche i vettori f−1(v1), · · · , f−1(vm) sono linearmente indipendenti e quindi m ≤ n.

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Intersezione, unione e somma di sottospazi

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo K e siano U e W due suoi sottospazi.

Proposizione. L’intersezione U ∩W e’ un sottospazio di V .

Dimostrazione. Se u,w ∈ U ∩ W , u + w appartiene sia a U che a W , quindi appartiene a U ∩ W ; inoltreper ogni k ∈ K, se w ∈ U ∩W , kw appartiene sia a U che a W , quindi appartiene a U ∩W .

Segue che l’intersezione di un numero qualunque di sottospazi e’ un sottospazio e, poiche’ un sottospaziocontiene sempre almeno il vettore 0, tale intersezione non e’ mai vuota.

L’unione U ∪W in generale non e’ un sottospazio; lo e’ solo nel caso in cui U ⊆ W oppure W ⊆ U (ein questo caso U ∪W = U oppure U ∪W = W ).

Esempio. Siano U e W due distinte rette vettoriali in R3: e’ facile verificare che U ∪ W non e’ chiusorispetto alla somma di vettori; d’altra parte le due rette vettoriali individuano un piano vettoriale, costituitoda tutti e soli i vettori u + w tali che u ∈ U e w ∈ W .

Questa situazione ha carattere generale:

Definizione. Sia V uno spazio vettoriale e siano U e W due suoi sottospazi. Si dice somma dei sottospaziU e W l’insieme U + W costituito da tutti i vettori del tipo u + w, al variare di u ∈ U e w ∈ W .

Proposizione. U + W e’ un sottospazio vettoriale di V , contenuto in ogni sottospazio che contiene U ∪W .

Dimostrazione. Due qualsiasi elementi di U + W sono del tipo u1 + w1, u2 + w2 con ui ∈ U e wi ∈ W . Siha:

(u1 + w1) + (u2 + w2) = (u1 + u2) + (w1 + w2) ∈ U + W

e per ogni k ∈ Kk(u1 + w1) = (ku1) + (kw1)

Inoltre se un sottospazio T contiene U ∪W , deve contenere tutti i vettori u ∈ U e tutti i vettori w ∈ W epercio’ deve contenere tutti i vettori u + w ∈ U + W , ossia contiene U + W .

Ricordiamo che ogni sottospazio U di uno spazio vettoriale V e’ tale che dim(U) ≤ dim(V ) e chedim(U) = dim(V ) se e solo se U = V ; infatti una base di U puo’ sempre essere estesa a una base di V .

Teorema. (Relazione di Grassmann) Dati due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale V di dimensionefinita, si ha

dim(U) + dim(W ) = dim(U ∩W ) + dim(U + W )

Definizione. La somma U + W si dice somma diretta (e si indica con U ⊕W ) quando U ∩W = 0.

Proposizione. La somma U + W e’ diretta se e solo se ogni vettore v ∈ U + W si scrive in modo unicocome v = u + w con u ∈ U e w ∈ W .

Dimostrazione. Supponiamo v = u + w = u′ + w′; allora si ha sottraendo : 0 = (u− u′) + (w−w′), da cui(u− u′) = −(w −w′) che e’ un vettore appartenente a U ∩W ; ma U ∩W = 0, quindi la tesi.

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