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- Claudio Palandra -

ALGORITMI PER IL CALCOLO DEL PREZZO E DELLA COPERTURA DI

OPZIONI EUROPEE

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI ROMA

“TOR VERGATA”

Corso di laurea in ingegneria dei modelli e dei sistemi

Studente:

Claudio Palandra

Relatore:

Prof. Giovanni Bellettini


Ringraziamenti

Ringrazio tutti i presenti per la partecipazione.

Claudio Palandra


Sommario

• Introduzione: proprietà del mercato ed opzioni;

• Modello Cox-Ross-Rubinstein;

• Programmazione in C++.


PROPRIETA’ DEL MERCATO FINANZIARIO

Studieremo un mercato finanziario con proprietà quasi sempre non riscontrabili; senza discostarci troppo dalla realtà avremo però grandi facilitazioni dal punto di vista dello studio matematico.

Proprietà:• Esiste di un tipo di investimento non rischioso detto

bond, a tasso r costante; • i costi di transazione(cambio valuta, acquisto azioni...)

sono nulli;• è ammessa la vendita allo scoperto;• sono permesse operazioni che riguardano frazioni di

bene.


Derivati

• un prodotto derivato è un titolo il cui valore è basato sul valore di mercato di altri beni;

• nati inizialmente con lo scopo di coprire il rischio; tuttavia si prestano bene a scopi speculativi;

• vasta diffusione sui mercati;

• i principali derivati sono futures e opzioni.


Opzioni

Particolare tipo di derivato che conferisce al possessore la possibilità ma non l’obbligo di comprare o vendere il bene(sottostante) sul quale l’opzione è sottoscritta, ad un determinato prezzo prefissato fino a una particolare data prefissata(maturità).

Europee: è possibile esercitare solo a maturità.

Americane: è possibile esercitare in qualsiasi momento


Payoff

• È una quantità che caratterizza l’opzione;• rappresenta il guadagno del detentore del contratto;

• dal payoff possiamo dedurre qualsiasi tipo di opzione (asiatica, digital, barriera...)

Grafico del payoff di una put

KSC TT TT SKP

Grafico del payoff di una callTS TS


Opzioni:

Possiamo domandarci:

Cos’è il premio di un’opzione?

Cos’è una strategia replicante?


Modello C.R.R.• Sul mercato sono presenti solo 2 titoli: uno non

rischioso e uno rischioso;• il prezzo del sottostante tra 2 istanti successivi

può assumere solo 2 valori;


Note sul modello C.R.R.

Sia il valore del sottostante al tempo n e a, b tali che

-1<a<b; allora:

Affinchè il modello CRR sia privo di arbitraggio e completo è necessario che:

a<r<b

nS

1

1

1n

nn

S aS

S b

con probabilità p;

con probabilità (1-p);


In generale...

Se h è il payoff di una opzione il prezzo è dato da:

Seguendo la strategia replicante sarò in grado di generare a maturità esattamente il valore h. Nel caso particolare di una call standard il prezzo sarà:

hrE N )1(

N

j

jNjjNjN KbaSppj

Nrc

000 ,1111


Programmazione C++

• Calcolo del prezzo di opzioni path dependent

• Calcolo della copertura dinamica di un’opzione

• Verifica della velocità di convergenza


Path dependentLe opzioni path dependent hanno payoff dipendente in maniera non banale dalla storia del prezzo del sottostante.

In genere non esistono formule chiuse per il calcolo del prezzo.

K = 100

So= 100

T = 1

12 < N < 365

10^4 < M < 10^6

SIMULAZIONI

PREZZO OPZIONE

INTERVALLI CONFIDENZA


Path dependent

Asiatiche Barriera

• no forma chiusa

simulazioni

Prezzo

• no forma chiusa

simulazioni


Asiatiche

• Il payoff dipende dalla media aritmetica dei valori del sottostante nel corso della vita dell’opzione:

0

1

1

T

tt

h S KT


Asiatiche

Visto che non è facile trovare formule chiuse, nel programma ricorriamo a simulazioni:

• generiamo M volte il payoff;• per M molto grande la media empirica ci fornisce una

buona approssimazione del valore che cerchiamo:

Codice back

( )

1 0

1 1(1 )

1

M NN m

nm n

prezzo r S KM N


2

34

5

N

++ ++ ++

0

0

1

1 2 3 4 5 N

N+1

Cosa succede......

K( )+


N=365 N=52 N=12

M=10.000 5.86649 5.81128 5.72745

M=100.000 5.75327 5.8062 5.76763

M=1.000.000 5.76844 5.75854 5.73879

Asiatiche

Nella tabella possiamo vedere alcuni risultati facendo variare il numero di simulazioni M ed il numero di periodi nell’anno N:


Asiatiche intervalli confidenza

DA A

M=10.000

N=365

5.70815

6.02483

M=100.000

N=365 5.70399 5.80256

M=1.000.000

N=365 5.7528 5.78407


Barriera

Sono opzioni che si attivano o si disattivano se il valore del sottostante, in un momento qualsiasi della vita di un’opzione, raggiunge una determinata soglia detta “barriera”.

barriera

opzione attiva


Barriera

• Hanno prezzo inferiore delle normali call/put perchè hanno la possibilità di entrare in stati disattivati o uscire da stati attivati.

• Se U è il valore della barriera, il payoff di una call up-and-in risulta:

0:1nT n S Uh S K


Barriera

Visto che non è facile trovare formule chiuse nel programma ricorriamo di nuovo a simulazioni.

Codice back

( )

1

11

MN m

m

prezzo r hM


BarrieraNella tabella possiamo vedere alcuni risultati

facendo variare il numero di simulazioni M ed il numero di periodi nell’anno N:

N=365 N=52 N=12

M=10.000 10.4029 10.3257 10.1298

M=100.000 10.3233 10.351 10.2859

M=1.000.000 10.2945 10.3045 10.2506


Barriera intervalli di confidenza

DA A

M=10.000

N=365

10.115

10.6908

M=100.000

N=365 10.2316 10.415

M=1.000.000

N=365 10.2655 10.3234


Variazioni sulla barriera

U PREZZO INTERVALLO

200 0.0661976 0.0611827 0.0712124

140 4.57489 4.54883 4.60294

110 10.2945 10.2655 10.3234

103 10.4336 10.4048 10.4624

CALL S. 10.4358 ---------------------

Nella tabella abbiamo fissato M=1.000.000 e N=365; facendo variare il valore della barriera si ottiene:


Barriera

• consideriamo una opzione barriera up-and-in;

n=0 flag=0

flag=1

simulo veloce fino a n=N

n=1

continuo il ciclo

n=2 .......

0S

1S

1S U

1S U


Stima empirica velocità di convergenza

• Il modello C.R.R. converge per N molto grande al modello B.S.; trovare la velocità di convergenza è cosa piuttosto complessa;

• un tentativo “fattibile” è una stima empirica con il calcolatore:

No

N

cPPN

1



• se passo alla scala logaritmica:

ascissa

ordinata

posso graficare e stimare con il coeff.angolare...

||log PPN ||log PPN

log | | log | | logNP P c N

logN

logN



• L’estrapolazione di Romberg fornisce una verifica della correttezza del risultato, oltre che una stima più precisa:

Codice back

21

2112

22

1

2 22

NN

N

N PP

NoP

No

N

cPP

No

N

cPP


Copertura dinamica• voglio fare il venditore di opzioni: necessito costruire una

strategia replicante, cioè una strategia che dia a maturità un valore di portafoglio pari al payoff dell’opzione:

• simulo la traiettoria del valore del sottostante, e ad ogni istante decido le quantità che dovrò acquistare all’istante successivo di sottostante e di titolo non rischioso per garantirmi la copertura;

Codice back

0 0 ( )N N N N N NV S S S K


Copertura dinamica

• ad ogni passo k osservo , ricavo le funzioni prezzo:

da cui posso facilmente risalire alle quantità da acquistare tramite il sistema:

1kS

))1(,( 1 bSkc k

))1(,( 1 aSkc k

kk ,0

01 1

01 1

1 (1 ) ( , (1 ))

1 (1 ) ( , (1 ))

n

n n n n

n

n n n n

r S a c n S a

r S b c n S b


Copertura dinamica

1 11

1

00 1 1 1 1

( , (1 )) ( , (1 ))( , )

( )

1( , ) (1 ) ( , (1 )) ( , (1 )) ( , (1 ))

n nn n

n

nn n n n n

c n S b c n S an S

S b a

an S r c n S a c n S b c n S a

b a

Risolvendo il sistema si ricavano le quantità cercate:

Analizzando la prima delle 2 funzioni vediamo come questa misuri la sensibilità della variazione del prezzo dell’opzione al tempo n rispetto ad una variazione del prezzo del titolo di base.


Sviluppi per il futuro

• studio di opzioni americane;

• studio di algoritmi efficienti per prezzare opzioni americane path-dependent:

articoli di Barraquand/Pudet e di Hull/White

• studio nel continuo.

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