Teorema Di Bayes e Decisioni Mediche di Marco Besozzi

7/23/2019 Teorema Di Bayes e Decisioni Mediche di Marco Besozzi

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Errori cognitivi,probabilità e

decisioni medichenella diagnosticadi laboratorio

M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano

Errori cognitivi

Il problema gnoseologico

Dati, informazione e conoscenza

Complessità, probabilità e teorema di Bayes

Teorema di Bayes e informazione diagnostica

Teorema di Bayes e strategie diagnostiche

Teorema di Bayes e decisioni mediche

L’argomento...

“Ci sono tre tipi di menzogne:

le bugie, le bugie fottute e le statistiche.

(Mark Twain)

Abbiamo un’urna contenente 500 palline

di colore bianco e 500 palline di colore rosso.Cosa ci possiamo attendere

dall’estrazione di una pallina?

Si sa tutto sull’urna, ovvero si conosce “l’universo”,ovvero si conosce la causa.

Si applica un ragionamento deduttivo.

Il risultato (l’effetto, l’estrazione di una pallina)può essere calcolato.

Probabilità: il problema classico

(l’aspetto induttivo e l’aspetto deduttivo compaiono nella probabilità)

Da un’urna contenente s palline estraiamo n pallinedi cui k sono di colore rosso.

Cosa possiamo concludere circail contenuto dell’urna?

Si è fatto un esperimento, si conosce l’effetto.Il problema che Bayes si pone è: esiste un qualche

ragionamento induttivo che ci consenta di “calcolare”la causa (lo specifico contenuto dell’urna)?

Probabilità: il problema inverso

(per questo il teorema di Bayes è noto anche come il teorema dellaprobabilità delle cause)

Induzione

Deduzione

(l’importanza della relazione di verosimiglianza)

... Cn

La probabilità delle cause

verosimiglianza

La conoscenza scientifica non può essere di tipoesclusivamente deduttivo.Ma, seguendo le critiche all’induzione di Hume

e Popper, non può nemmeno essere di tipoinduttivo.

Questi due fondamentali concetti possonoessere riassunti seguendo l’impostazione data

da Peirce.

Conoscenza

(Charles Sanders Peirce, 1839-1914)

REGOLA: tutti i fagioli in questo sacco sono bianchiCASO: questi fagioli provengono da questo saccoRISULTATO: questi fagioli sono bianchi (sicuramente)

La deduzione non comporta alcun accrescimentodel sapere.

Deduzione

(ragionamento deduttivo)

CASO: questi fagioli provengono da questo sacco

RISULTATO: questi fagioli sono bianchiREGOLA: tutti i fagioli di questo sacco sono bianchi(forse/probabilmente)

La induzione ci consente di allargareorizzontalmente la nostra conoscenza del mondo,

la sua essenza è la generalizzazione (semprepassibile di errore).

Induzione

(ragionamento induttivo)

RISULTATO: questi fagioli sono bianchiREGOLA: tutti i fagioli di questo sacco sono bianchiCASO: questi fagioli provengono da questo sacco

(forse/probabilmente)

Prima sapevamo solo che erano bianchi, ora

abbiamo formulato l’ipotesi che provengano daquesto sacco.

Abduzione

(ragionamento scientifico!)

Approccio scientifico ai problemi

(dall’abduzione di Peirce al falsificazionismo di Karl Popper)

RACCOLTADEI DATI

ANALISIDEI DATI

CONCLUSIONI

DISEGNO SPERIMENTALE VERIFICA

TEORIACONFUTAZIONE

ESPERIMENTO

Informazione“a posteriori”[conclusioni]

Conoscenza

Motore

inferenziale

bayesiano[regole]

Informazione“a priori”

[pre-giudizio]

Informazione fornita dall’esperienza[indizi]

(aggiungono al falsificazionismo di Popper la misura del contributodell’esperimento in termini di aumento della verosimiglianza)

4. Dati, informazione, conoscenza

P(A ∩

E’ la probabilità di due eventi congiunti, descrivela situazione in cui si verificano sia A sia B,si legge “la probabilità congiunta di A e B”ovvero “la probabilità di A e B”

La probabilità congiunta

P(A)P(B)P( A ∩

Le relazione fra probabilità condizionata eprobabilità congiunta è la seguente:

P(A ∩

B) = P(A|B) ⋅

P(B) = P(B|A) ⋅

Da cui si ricava il teorema di Bayes:

P(B|A) ⋅

P(A|B) =P(B)

Probabilità composte (teorema)

(il teorema prende il nome dal reverendo inglese che lo ha scopertonel 1700 studiando il problema inverso...)

P(B|A) ⋅

P(A|B) =P(B)

Chiavi di lettura

(sostituendo A con M+ e B con T+ si ottiene la visione diagnostica)

probabilità a posteriori

probabilità a priori

P(B|A) ⋅

P(A|B) =P(B)

Chiavi di lettura

(la causa | dato l’effetto) (l’effetto | data la causa)

P(B|A) ⋅

P(A|B) =P(B)

Chiavi di lettura

(la causa | dato l’effetto) (l’effetto | data la causa)

P(B|A) ⋅

P(A|B) =P(B)

Chiavi di lettura

(il fattore di Bayes è la misura della verosimiglianza [likelihood] checollega la probabilità a priori alla probabilità a posteriori)

verosimiglianza standardizzata o fattore di Bayes

Essendo:

odds = P / (1 - P) e inversamente:probabilità = odds / (1 + odds)

Esempioprobabilità 80% cioè P = 0,8odds = 0,8 / (1 – 0,8) = 0,8 / (0,2) = 4 cioè 4:1

odds 4:1probabilità = 4 / (1 + 4) = 0,8

Reinterpretazione con gli odds

(gli odds sono la probabilità espressa dal bookmaker come rapportotra la vincita e la posta giocata)

Essendo:

LR = rapporto di verosimiglianza = likehood ratio

LR+ (LR per un test positivo) è uguale al rapporto

tra il risultato del test nei malati e nei sani:P(T+|M+) / P(T+|M-) ovverosensibilità / (1 – specificità)

LR- (LR per un test positivo) è uguale al rapportotra il risultato del test nei malati e nei sani:P(T-|M+) / P(T-|M-) ovvero(1 – sensibilità) / specificità

Malattia

P(T+|M+)

P(T+|M-)

P(T-|M+)

P(T-|M-)

Tutte le probabilità in gioco

P(M+) = prevalenza della malattiaP(M-) = 1 - prevalenza

sensibilità

specificità

1 - sensibilità

1 - specificità

Ricavando in base alla definizione di odds che:

P(A)O(A) =

P(non A)

P(A|B)O(A|B) =

P(non A|B)

Essendo in base alla definizione di odds

P(B|A)Λ(A|B) = = LR+

P(B|non A)

P(non B|A)Λ

(A|B) = = LR-P(non B|non A)

O(A|B) = Λ(A|B) ⋅ O(A)

(il rapporto di verosimiglianza è la misura della verosimiglianza che collegala probabilità a priori alla probabilità a posteriori)

odds post-test odds pre-test

rapporto di verosimiglianza o likelihood ratio (LR)

O(A|B) = Λ(A|B) ⋅ O(A)

(al fine di evitare di trasformare la probabilità in odds e successivamente diritrasformare gli odds in probabilità si usa il nomogranna di Fagan)

odds post-test odds pre-test

rapporto di verosimiglianza o likelihood ratio (LR)

Nomogramma di Fagan

Sangue occulto nelle feciSensibilità = 50% = 0,5

Specificità = 97% = 0,97Prevalenza = 0,3% = 0,003Valore predittivo test + = 0,048

(probabilità di essere ammalato se èrisultato un test positivo)

Nomogramma di Fagan

Specificità = 97% = 0,97Prevalenza = 0,3% = 0,003Valore predittivo test + = 0,048P

pre-test = 0,003LR+ = 16,67P post-test= 0,048

(probabilità di essere ammalato se èrisultato un test positivo)

Nomogramma di Fagan

Specificità = 97% = 0,97Prevalenza = 0,3% = 0,003Valore predittivo test - = 0,998

(probabilità di essere sano se èrisultato un test negativo)

Nomogramma di Fagan

Specificità = 97% = 0,97Prevalenza = 0,3% = 0,003Valore predittivo test - = 0,998

P pre-test = 0,003LR- = 0,515P post-test = 0,002

(probabilità di essere ammalato se èrisultato un test negativo)

Informazione“a posteriori”[conclusioni]

Conoscenza

Motore

inferenziale

bayesiano[regole]

Informazione“a priori”

[pre-giudizio]

Informazione fornita dall’esperienza

[indizi]

(aggiungono al falsificazionismo di Popper la misura del contributodell’esperimento in termini di aumento della verosimiglianza)

4. Dati, informazione, conoscenza

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