Sillogismo e Algebra BooleanaSillogismo e Algebra Booleana

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SillogismoSillogismo Il Sillogismo (sun + lego = ragionamento concatenato) è un metodo deduttivo studiato Il Sillogismo (sun + lego = ragionamento concatenato) è un metodo deduttivo studiato

da da AristoteleAristotele

Nel sillogismo esistono tre giudizi concatenatiI primi due rappresentano la premessa

Il terzo la conclusione deduttiva

Nelle due premesse è necessario che vi sia un termine in comune definito medio.

SillogismoSillogismo Esempio classico:Esempio classico:

Premessa uno: I Greci sono uominiPremessa due : Gli uomini sono mortalideduzione logica: I Greci sono mortali

premessa uno (errata) : I greci si considerano dei;premessa due (giusta): Gli dei sono immortali;deduzione (sbagliata): I Greci sono immortali.

Al contrario con una o tutte e due le premesse errate, anche la deduzione lo sarà:

Il termine comune (medio) è “uomini” e le due premesse sono giuste, quindi anche la deduzione risulterà giusta.

SillogismoSillogismo

Date le due seguenti premesse, qual è la deduzione logica giusta?Date le due seguenti premesse, qual è la deduzione logica giusta?Premessa 1: I pianeti girano intorno al solePremessa 1: I pianeti girano intorno al solePremessa 2: La terra è un pianetaPremessa 2: La terra è un pianeta

A) La Terra gira su se stessa

B) La Terra gira intorno al Sole

C) Il Sole è una stella

George Boole (1815 - 1864), logico e matematico inglese sviluppò i concetti sul sistema binario già espressi da Leibniz:

Leibniz (1646-1716) , costruì la prima calcolatrice meccanica capace di eseguire moltiplicazioni e divisioni. Sviluppò inoltre la forma moderna del sistema di numerazione binaria.

Algebra BooleanaAlgebra BooleanaGeorge Boole creò gli strumenti matematici logici che sono alla base del funzionamento del Computer. (Algebra Booleana)

L’ Algebra Booleana, si basa su una serie di porte logiche secondo il principio in cui dato uno o due termini in entrata, corrisponderà un termine logico univoco in uscita.(Sillogismo)

Algebra BooleanaAlgebra Booleana

Le porte logiche sono rappresentate da una serie di operatori logici dove ad una o più entrate, corrisponde in uscita un termine che sarà rapportato al tipo di operatore utiilizzato.

Gli operatori logici fondamentali sono :

NOT, (invertitore di segnale)AND, (prodotto logico)OR, (somma logica)

In entrata e in uscita i termini logici sono rappresentati dalle condizioni logiche “1” e “0”.(In alcune situazioni i termini di entrata e uscita sono indicati con Vero e Falso. ( in inglese True (1) e False (0))

Ogni operatore logico avrà una tabella della verità in cui è indicato in modo inequivocabile in rapporto al/ai termini di entrata, quale sarà il termine d’uscita.

Algebra BooleanaAlgebra BooleanaNOT (Invertitore) è l’operatore logico più semplice poiché se in entrata vi è 1 in uscita vi sarà 0 e viceversa; quindi se in entrata c’è Vero in uscita c’è Falso e viceversa:

Entrata (input = A) Uscita (output = Y)

1 (Vero) 0 (Falso)

0 (Falso) 1 (Vero)

Tavola della verità della porta logica NOT

Algebra BooleanaAlgebra BooleanaAND corrisponde al prodotto logico dove solo se tutti e due i termini sono a 1 si ha in uscita il termine 1 (Vero):

Entrata (A) Entrata (B) Uscita (Y)

1 (Vero) 1 (Vero) 1 (Vero)

1 (Vero) 0 (Falso) 0 (Falso)

0 (Falso) 1 (Vero) 0 (Falso)

0 (Falso) 0 (Falso) 0 (Falso)

Tavola della verità della porta logica AND

Algebra BooleanaAlgebra BooleanaOR corrisponde alla somma logica in cui almeno uno dei due termini in entrata dovrà trovarsi a 1 per avere in uscita il termine 1:

Entrata (A) Entrata (B) Uscita (Y)

1 (Vero) 1 (Vero) 1 (Vero)

1 (Vero) 0 (Falso) 1 (Vero)

0 (Falso) 1 (Vero) 1 (Vero)

0 (Falso) 0 (Falso) 0 (Falso)

Tavola della verità della porta logica OR

Algebra BooleanaAlgebra BooleanaL‘uso di porte logiche nasce dall’esigenza di far si che il computer attraverso i circuiti logici di cui è fornito, sia in grado di fare nel più semplice dei casi le operazioni matematiche fondamentali sino ad arrivare a prendere decisioni autonome.

Ecco i simboli usati in elettronica per indicare le tre porte logiche fondamentali.

Algebra BooleanaAlgebra Booleana

Utilizzando i simboli indicati nella precedente tabella sareste in grado di indicare quale uscita si ottiene con il seguente circuito?

1

0

Non so

Indifferentemente l’uno o l’altro risultato

Guarda tabella

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Algebra BooleanaAlgebra Booleana

Entrata (A) Entrata (B) Uscita (Y)

1 (Vero) 1 (Vero) 0 (Falso)

1 (Vero) 0 (Falso) 1 (Vero)

0 (Falso) 1 (Vero) 1 (Vero)

0 (Falso) 0 (Falso) 1 (Vero)

Alle porte logiche precedenti se ne aggiungono altre due di uso frequente:

NAND (Not+AND), costituita da una porta logica AND seguita da una porta logica NOT quindi in uscita avremo un risultato opposto (NOT) alla tavola della verità della porta AND.

Tavola della verità della porta logica NAND

Algebra BooleanaAlgebra BooleanaAltra porta logica e l’ XOR o EXOR (OR Esclusivo) in cui il risultato è “1” se uno e solo uno dei due ingressi è a “1”

Entrata Entrata Uscita

1 (Vero) 1 (Vero) 0 (Falso)

1 (Vero) 0 (Falso) 1 (Vero)

0 (Falso) 1 (Vero) 1 (Vero)

0 (Falso) 0 (Falso) 0 (Falso)

Tavola della verità della porta logica XOR

Algebra BooleanaAlgebra BooleanaUsando la porta logica XOR è possibile realizzare la somma di due numeri binari secondo le seguenti semplici regole:

1001+

0011=

Proviamo a fare la somma di due numeri binari:

1 + 1 = 0 con riporto 1

0

Con il riporto precedente addizioniamo ancora 1 + 1 = 0 con riporto 1 0

Con il riporto precedente addizioniamo 1 + 0 = 1 questa volta senza riporto

Infine l’ultima operazione 1 + 0 = 1

11

1+1 = 0 (riporto 1); 1+0 = 1; 0+1 = 1; 0+0 = 0

Algebra BooleanaAlgebra BooleanaQual’ è il risultato della somma dei numeri binari seguenti?

1111+1111=????

1000011111

11110

AristoteleAristotele

Aristotele (384 – 3 AC – 7 Marzo 3 AC) fu uno dei maggiori filosofi dell’antichità. Assieme al suo maestro Platone è considerato uno dei più influenti pensatori della tradizione filosofica tradizionale.

ERRORE

E’ vero la terra gira su se stessa ma questo non può essere dedotto dalle due premesse precedenti.

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ESATTO

Continua la lezione

Nelle due premesse è presente il termini comune “pianeta”, per cui se i pianeti girano intorno al sole e la terra è un pianeta, anch’essa gira intorno al Sole.

ERRORE

E’ vero il Sole è una stella ma questo non può essere dedotto dalle due premesse precedenti.

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ESATTO

Continua la lezione

ERRORE

Riprova !

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ERRORE

Con termini di entrata fissi il risultato finale non può che essere univoco, quindi o “1” o “0”.

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Il circuito è rappresentato da una porta NOT,

da due porte AND,e da una porta OR.

I due termini di entrata della prima porta AND sono “0” “0”;

il termine d’uscita della porta NOT è “1” che diventa il secondo termine d’entrata della seconda porta AND, mentre il primo è come si vede “1”.

1

0

A questo punto le due porte AND hanno rispettivamente come termini di uscita “0” e “1” che rappresenteranno anche i termini d’entrata della porta OR

0

1

Adesso dovrebbe essere semplice conoscere il risultato!!

(Il secondo termine è “0” poiché è comune al termine d’entrata della porta NOT).

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ERRORE

11111 è la somma di 01111+10000

Infatti: 01111+10000=

11111

Click per ogni numero

0+1 = 11+0 = 11+0 = 11+0 = 11+0 = 1

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ERRORE

10000 è la somma di 1000+1000;

Infatti: 1000+1000=00001

Click per ogni numero

1+1 = 0Con riporto 1

0+0 = 00+0 = 00+0 = 0

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ESATTO

Infatti:1111+1111=

0

Click ogni numero 1+1 = 0 Con riporto 1

1+1 = 0 Con riporto 1 il risultato 0 deve essere ulteriormente addizionato al riporto 1,quindi 0+1 = 1

Stessa cosa per le due cifre successive.

Infine rimarrà l’ultimo riporto che sarà inserito alla fine

1111

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