Setti in C.A. -Trave parete forata

Rif. Bibliografico Pozzati, vol IIa pag.379

Consideriamo una parete di

irrigidimento costituito da un setto in

c.a. in cui sono praticate delle aperture

(es. parete di un vano ascensore)

La parete viene idealizzata come unLa parete viene idealizzata come un

sistema formato da 2 ritti o mensole,

aventi le sezioni appiattite e costanti

a1s1 ed a2s2, e collegati da dei traversi

aventi luce a e sezione di momento di

inerzia Jtr

Pensiamo distribuite le sollecitazioni

applicate ai ritti dai traversi

Setti in C.A.Risultano allora uguali:

•le linee elastiche dei 2 ritti

(v1=v2=v)

• le rotazioni delle sezioni rette

(ϕϕϕϕ1111==== ϕϕϕϕ2222====dv/dx)

•le curvature

Tra i momenti flettenti dei ritti

sussiste la relazione

Dove:2

2

1

1

J

M

J

M =

12

saJ,

12

saJ

32

2

3

11 ==

Il traverso

Deformata

antisimmetrica

Il momento flettente si annulla in mezzeria e le sollecitazioni agli

estremi valgono ( trascurando lo sforzo normale):

ϕ===2

trtrcb a

lEJ6MMM ϕ====

3trtr

trcb a

lEJ12

a

M2TTT

Il traverso

Supponiamo che i traversi siano diffusi sull’altezza dei ritti

Alla sezione di una lamella di ritto alta dx compete un

momento di inerzia

Le sezioni estreme di un generico traverso ruotano di ϕ e si

spsotano relativamente di u= ϕ(a1+a2)/2= ϕ(l-a), quindi agli

estremi

h/dxJtr

2trtr

trcb a

lEJ6)

a

u(

a

EJ6MMM

ϕ=+ϕ===

Il traverso

ϕ=== la

EJ6MMM

2tr

trcb

Cui corrisponde il taglio

h/dxJtr

dxl

kdx

ha

lEJ12dxt

3tr ϕ=ϕ=

ha

lEJ12k

3

2tr=

Cui corrisponde il taglio

dove

Setti in C.A.

Rif. Bibliografico

Pozzati, vol IIa pag.379

Setti in C.A.

Il momento flettente sull’intera mensola costituita dai due ritti vale

Dove M0 è il momento dovuto ai carichi esterni ed l è la distanza tra

gli assi dei ritti

( ) )]x(v)H(v[k)x(Mdvk)x(Mltdx)x(M)x(M 0

H

x

0

H

x

0 −+=+=+= ∫∫

gli assi dei ritti

Tra la linea elastica v(x) ed M sussiste la relazione:

dove

)aa(12

sJJJ 3

23121tot +=+=

)x(Mdx

vdEJ

2

2

tot −=

L’equazione dove

Diventa

Setti in C.A.

( ) )]x(v)H(v[k)x(Mdvk)x(Mltdx)x(M)x(M 0

H

x

0

H

x

0 −+=+=+= ∫∫

)x(Mdx

vdEJ

2

2

tot −=

)aa(12

sJJJ 3

23121tot +=+=

2 k)H(kv)x(M)x(vd +

Che ammette l’integrale generale somma della soluzione particolare vp e

della soluzione dell’omogenea associata

Dove A e B sono costanti da determinare imponendo le condizioni al

contorno

tot

2

tot

022

2

EJ

k

EJ

)H(kv)x(M)x(v

dx

)x(vd =α+−=α−

)x(vxsinhBxcoshA)x(v p+α+α=

Integrali particolari

Carico uniforme q (rivolto secondo y>0)

2tot0

p

2

0

k

qEJ

k

)x(M)H(v)x(v

2

)xH(q)x(M

−+=

−−=

kk

Integrali particolari

Carico concentrato P

k

)x(M)H(v)x(v

)xH(P)x(M

0p

0

+=

−−=

k)H(v)x(vp +=

Sollecitazioni

Nota la linea elastica, si ricavano le sollecitazioni

Per esempio per il ritto i-esimo in caso di carico distribuito q

Lo sforzo normale al livello x è

k

qEJ)xsinhAxcoshA(EJ)x(''vEJ)x(M i

2iii +α+αα−=−=

kkHH

Per un traverso

)]x(v)H(v[l

kdv

l

kdN)x(N

H

x

H

x

ii −=== ∫∫

dx

dv

a

lEJ6M

2tr

tr =

Estensioni

Si possono trattare anche casi di due file di aperture o pareti su

pilastri

Osservazioni

Considerando il traverso dotato di

rigidezza flessionale si ottiene uno

stato di sollecitazione intermedio tra

quello in cui si ha un’unica mensola

costituita dai 2 ritti funzionanti comecostituita dai 2 ritti funzionanti come

trave unica e quello in cui i ritti sono

collegati da semplici bielle e si

comportano come 2 travi separate

Metodo di Rosman-Beck

Ora si tiene in conto la deformabilità assiale dei ritti

Si considera l’influenza della deformazione nei ritti per sforzo assiale

Metodo di Rosman-BeckSi consideri lo spostamento verticale relativo totale ∆∆∆∆u delle

sezioni C e C’

Consideriamo il primo ritto avente J1, A1

soggetto a momento M1 e sforzo normale N

I

II

L’incremento di spostamento in mezzeria del traverso causato

dall’incremento ∆∆∆∆T (verso x<0 ) si scrive come

(freccia mensola sotto forza concentrata lunga a/2)

Metodo di Rosman-Beck

tr

3

III EJ3

)2/a(Tu

∆−=∆

Pensando diffusa la presenza dei traversi, alla generica lamella dx compete

un taglio tdx ed un momento di inerzia Jtrdx/hInoltre, l’incremento infinitesimo di sforzo assiale dN nel ritto dN=tdx,

mentre l’allungamento infinitesimo si può scrivere come

tr

3

2

2

tr

3

tr

3

III EJ24

ha

dx

Nd

dxEJ24

hadt

hdxJ

E24

adtdu

−=−=−=

Metodo di Rosman-Beck

Per la lamella lunga dx, l’allungamento si può scrivere come

tr

3

2

2

IIIIII EJ24

hdxa

dx

Nddxduu −==∆

I

Metodo di Rosman-Beck

2

aa

EJ

dx)x(Mu 1

1

1I

+=∆

L’incremento di spostamento dovuto al momento flettente è

dato dalla rotazione per il braccio

IIIl momento sul ritto 1 sarà dato da

[ ] 101

x

0

01 l)x(N)x(M)tdx(l)x(M)x(M ρ+=ρ

+= ∫

21

11 JJ

J++++

====ρρρρDove il coefficiente di ripartizione è

Metodo di Rosman-Beck

IIIIII uuuu ∆∆∆∆++++∆∆∆∆++++∆∆∆∆====∆∆∆∆

normalesforzodaassialeospostamentEA

dxxNu

braccioperrotazioneaa

EJdxxM

u

II

I

;)(

;)(

2

1

1

1

1

====∆∆∆∆

++++====∆∆∆∆

Lo spostamento relativo di due sezioni C e C’ distanti dx risulta

I

II

traversosultagliodiincrementodallcausatoEJ

dxhaNu

tr

III '24

3

1

′′′′′′′′−−−−====∆∆∆∆

Metodo di Rosman-Beck

0

22

2

2

Ml

Ndx

Nd α=λ−

Analogamente si può scrivere la relazione per il ritto

2, per il quale lo spostamento deve essere uguale a

quello del ritto 1

Eguagliando tali spostamenti si ottiene

02M

lN

dx=λ−

++=λ=α2

21

21tot22

tot3

2tr2

lAA

)AA(J1a

hJa

lJ12dove

Metodo di Rosman-Beck

)(sinhcosh xNxxAN p++++++++==== λλλλλλλλ B

L’integrale generale si scrive come

Dove l’integrale particolare nel caso di carico

distribuito uniforme

02

2

4

2

Mll

qxN p λλλλ

ααααλλλλαααα −−−−====)(

distribuito uniforme

Mentre A e B sono da determinare con le condizioni

ai limiti

Metodo di Rosman-Beck

Esempio

Diagrammi per il calcolo semplificato

Esistono delle soluzioni dell’equazione differenziale

alla Rosman-Beck relative a casi tipici

Nel seguito analizziamo il caso di una mensola con

aperture incastrata alla base e soggetta ad un carico aperture incastrata alla base e soggetta ad un carico

uniforme

Pozzati, II B pag 345

Diagrammi per il calcolo semplificato

Hλλλλββββ ====

Variazione dello N

con

Da cui si può

ricavare

totJJ

NlMM 101 )( ++++====

Diagrammi per il calcolo semplificato

Hλλλλββββ ====

Variazione del

taglio con

Osservazioni

-Se la rigidezza dei traversi tende all’infinito, anche λλλλ e ββββtendono all’infinito

Gli sforzi tendono al valore che avrebbero se il complesso dei

due ritti si comportasse come un’unica trave

-Se la rigidezza dei traversi tende a divenire molto piccola,

sforzo normale N e taglio t si annullano ed il momento flettente

tende al valore

Osservazioni

L’esame dei diagrammi rivela che la

presenza dei traversi dà un

contributo significativo soltanto per

valori di ββββ circa superiori a 0.5valori di ββββ circa superiori a 0.5

Per ββββ >=10 non si commettono

errori sensibili se si considerano i

traversi infinitamente rigidi

Setto forato di controventamento

q=0.583 t/m

Setto forato di controventamento

Setto forato di controventamento

Particolari costruttivi in tre dimensioni delle armature dei setti sismici.

Pareti in CA, verifiche

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530383&name=DLFE-101520.pdf

Pareti in CA, verifiche

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Pareti in CA, verifiche

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Pareti in CA, verifiche

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armatura

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Minimi di armatura

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Minimi di armatura

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