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Dispensa a cura del Prof. D. Piperis - ITIS “G. Marconi” - Bari - Corso Serale Progetto “Sirio”
ITIS “G. MARCONI” – BARI
CORSO SERALE PROGETTO SIRIO
DISPENSA DI MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE
N° 4
LA TRASMISSIONE DELLA POTENZA
Ruote dentate a denti elicoidali
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RUOTE DENTATE CILINDRICHE A DENTI ELICOIDALI
Le ruote dentate a denti elicoidali sono una variante rispetto alle ruote cilindriche a denti diritti.
Esempi di ingranaggi con ruote a denti elicoidali:
1 Ingranaggio cilindrico a denti elicoidali.
2 Ingranaggio conico a denti elicoidali.
3 Vite senza fine-ruota a denti elicoidali.
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pe
π dp
90°
Le ruote dentate a denti elicoidali sono così chiamate perché il dente viene a costituire un tratto di
elica cilindrica (fig. 4):
4 Generazione di una ruota cilindrica a denti elicoidali.
dp = diametro primitivo della ruota (uguale al diametro di base del cilindro)
b = larghezza della ruota
= angolo di inclinazione dell'elica
pe = passo dell'elica = altezza cilindro primitivo
La relazione che lega tra loro passo dell'elica, diametro del cilindro (uguale al diametro
primitivo della ruota) e angolo di inclinazione dell'elica si può ricavare osservando che se
avvolgiamo attorno al cilindro un triangolo rettangolo avente i due cateti rispettivamente uguali
alla lunghezza della circonferenza di base e all'altezza del cilindro medesimo, l'ipotenusa
riproduce esattamente l'elica cilindrica disegnata (fig. 5).
5 Relazione tra le grandezze geometriche
fondamentali di una ruota elicoidale.
dp
b
elica cilindrica cilindro primitivo ruota elicoidale
pe
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Pertanto si ottiene:
π dp = pe tg
L'angolo =5° ÷ 30° per ruote semplici; = 20° ÷ 45° per ruote bielicoidali (fig. 6).
6 Ruote bielicoidali.
Le ruote a denti elicoidali possono essere distinte in base al verso dell’elica in ruote ad elica destra o
sinistra (le ruote di un ingranaggio cilindrico ad assi paralleli hanno uguale angolo
d’inclinazione dell’elica ma opposti versi d’elica):
7 Ruote elicoidali ad elica destra e sinistra.
Nelle dentature elicoidali distinguiamo tre passi (a parte il passo di avvolgimento dell'elica):
- passo circonferenziale o frontale pc: è la distanza tra gli assi di due denti consecutivi misurata
perpendicolarmente all'asse della ruota;
- passo normale pn: è la distanza tra gli assi di due denti consecutivi misurata
perpendicolarmente agli assi stessi;
- passo assiale pa: è la distanza tra gli assi di due denti consecutivi misurata parallelemente
all'asse della ruota.
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8 Passi di una ruota cilindrica a denti elicoidali.
Per determinare le relazioni tra i diversi passi, basta considerare gli assi di due denti consecutivi e
tracciare tre segmenti rappresentativi dei suddetti passi:
9 Rappresentazione schematica dei passi di una ruota elicoidale.
Dai triangoli rettangoli (v. fig. 9) si ricavano:
pc= pn /cos = pa tg
Ai suddetti tre passi corrispondono tre moduli, circonferenziale, normale e assiale, tra i quali
esistono le stesse relazioni trovate per i passi:
mc= mn /cos = ma tg
Naturalmente valgono anche le seguenti relazioni tra passi e moduli:
pc pn
pa
Assi di due denti
consecutivi
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mc = pc / dp / z
mn = pn /
ma = pa /
N.B. Affinché possano ingranare tra loro, due o più ruote dentate cilindriche a denti elicoidali con
assi di rotazione paralleli devono avere uguali passi normali e circonferenziali.
Il rapporto di trasmissione di un ingranaggio cilindrico a denti elicoidali si può calcolare, come già
visto per quello a denti diritti, con le relazioni seguenti:
i = ω1/ω2 = n1/n2 = z2/z1
La seguente relazione invece è valida solo se gli assi di rotazione delle due ruote sono paralleli:
i = rp2/rp1 = dp2/ dp1
STUDIO DINAMICO
La forza totale F scambiata tra due denti in presa si scompone secondo tre componenti pertanto il
sistema di forze non è più piano come per le ruote a denti diritti ma è spaziale; infatti oltre alle due
componenti tangenziale Ft e radiale Fr compare una componente assiale Fa che tende a spostare
assialmente la ruota (la cui azione può essere contrastata da cuscinetti obliqui (o assiali) oppure
accoppiando due ruote elicoidali con inclinazione dell'elica opposte) (figg. 10-11-12-13):
10 Forze applicate al dente di una ruota elicoidale: vista dall’alto.
Ft Fn
Fa
Fn
F
Sezione del
dente con un
piano normale
al proprio asse Fr
Fr
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11 Forze applicate al dente di una ruota elicoidale: vista frontale.
12 Forze applicate al dente di una ruota elicoidale: vista spaziale.
13 Forze applicate al dente di una ruota elicoidale: scomposizione della forza totale F.
Le relazioni tra le varie forze sono le seguenti:
Ft
F
Fr
Fa Fn
Ft
Fa
Fr
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Ft = Mt/rp = Fn cos
Fr = F sen
Fn = F cos
Fa = Ft tg
Il numero minimo di denti delle ruote a denti elicoidali è più piccolo di quello delle ruote a denti
diritti a parità di angolo di pressione e si calcola con la formula:
z min,e = z min,d cos (numero minimo di denti)
in cui z min,d è il numero minimo di denti di una ruota a denti diritti di un ingranaggio avente lo
stesso rapporto di trasmissione di quello a denti elicoidali.
Il diametro primitivo della ruota e le dimensioni del dente si calcolano con le seguenti formule:
dp = mc z (diametro primitivo)
ha = mn (addendum)
hd = 1,25 mn (dedendum)
h = 2,25 mn (altezza del dente)
b = mn (larghezza della ruota)
Il modulo normale si calcola con il metodo di Lewis già illustrato per le ruote a denti diritti (v.
dispensa n. 3):
3cos
ammv
tn
zf
Mcm
(mm)
in cui il coeff. c si ricava dalla stessa tabella vista nelle ruote dentate cilindriche a denti diritti ma in
funzione del numero di denti ideale:
z id = z /cos3
Nella formula di mn, gli altri simboli hanno il significato già noto.
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VERIFICA AD USURA
Anche per le ruote elicoidali per la valutazione della pressione specifica si utilizza la teoria di Hertz
che fornisce la seguente relazione:
)11
(2
2
211
1max
ppcp
tm
ddsenbd
Mfp
(N/mm
2)
in cui il coefficiente fm ha i seguenti valori:
fm = 380 N1/2
/mm per acciaio su acciaio
fm = 310 N1/2
/mm per acciaio su ghisa
fm = 269 N1/2
/mm per ghisa su ghisa
c = arctg(tgcos (angolo di pressione circonferenziale)
La pressione massima così calcolata deve risultare minore della pamm :
645,2
hn
HBpamm
(N/mm
2)
in cui HB è la durezza Brinell in N/mm2, n è la frequenza di rotazione in giri/min e h è il tempo di
funzionamento in ore.
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ESEMPIO CALCOLO DI RUOTE DENTATE CILINDRICHE A DENTI ELICOIDALI
Proporzionare un ingranaggio che deve trasmettere la potenza di N = 4.25 kW, con numero di giri
n1 = 1200 g/min e con rapporto di trasmissione i=1.5. Tempo di funzionamento previsto 100 ore.
L’angolo d’inclinazione dell’elica è di 25°.
N.B. I calcoli si effettuano sempre sul pignone.
Scelta del fattore di servizio fs per servizio intermittente e lieve sovraccarico:
fs =1.2 (consultare il manuale di meccanica 3^ ed. Zanichelli a pag. 684).
Calcolo della potenza di calcolo Nc
È data dal prodotto della potenza della macchina per il fattore di servizio:
Nc = N fs = 4.25 1.2 = 5.1 kW = 5100W
Calcolo tabellare di z min,d che dipende dall’angolo di pressione , dal rapporto di ingranaggio u e
dall’angolo :
Per u = 1.5 e si ha z min,d = 15 e di conseguenza si ricava:
z min,e = z min,d cos =15·cos25°=14°
u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
z min,d
15° 21 25 26 27 28 28 29 29 29 29
20° 13 15 15 16 16 16 17 17 17 17
25° 9 10 10 11 11 11 11 11 11 11
momento motore
momento resistente
Mt2
Mt1
velocità angolare
ruota motrice
velocità angolare
ruota condotta
pignone
(conduttore)
corona
(condotta)
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pertanto si assume z 1=20.
Dato il tipo di materiale C 10 avente σr =540÷930 N/mm2, si assume σr= 540 N/mm
2.
Si determina la σamm che è data dal rapporto n
r, che per n=3 vale:
σamm = n
r=
3
540=180 N/mm
2
Calcolo di λ
Si assume λ=15 (tabulato, consultare il manuale a pag. 684).
Calcolo del fattore c
Esso dipende dal numero di denti ideale z id = z1 /cos3cos
325 = 27 di conseguenza:
79,135,0
2233
yc
(c si può ricavare anche dal Manuale di meccanica 3^ ed. Zanichelli a pag. 684).
Si assume la velocità periferica di progetto vp = 4m/sec (velocità di tentativo).
Calcolo di fv (fattore di velocità)
Il fattore di velocità per ingranaggi veloci e buona precisione:
fv = 6/(6 + vp)= 6/( 6+4)= 6/10 = 0.6
Calcolo del momento motore
Il momento motore Mt1 è dato dal rapporto tra la potenza di calcolo Nc e la velocità angolare:
ω1= 2 π n1 / 60 = 2· 3.14 · 1200 / 60 = 125.66 rad/sec
Mt1= Nc/ ω1 = 5100 / 125.66 = 40.58 N m = 40580 N mm
Calcolo del modulo normale
mmfz
Mcm
ammv
tn 93.1
1806.02015
4058079.1 33
1
1
Scelta del modulo normale
Moduli unificati (mm) (in grassetto i moduli consigliati) (v. Manuale di meccanica 3^ ed. Zanichelli
a pag. 680):
0.50 0.75 1 1.125 1.25 1.375 1.5 1.75 2 2.35 2.5 2.75 3 3.25
3.25 3.5 3.5 3.75 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 8 9 10
11 12 14 16 18 20 22 25 28 32 36 40 45 50
Si considera il modulo normale unificato uguale a 2 mm, esso serve per dimensionare il modulo
circonferenziale mc= mn /cos =2,2 che, a sua volta serve per calcolare il raggio primitivo rp1
che è dato dalla relazione che segue:
rp1= mc z1 / 2 = 2,2 · 20 / 2 = 22 mm = 0.022 m
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Calcolo la velocità periferica della ruota 1:
vp1 = rp1 ω1 = 0.022 (2 · 3.14 · 1200 / 60) = 2.8 m/sec
Verifica della velocità periferica
Dato che si è assunta inizialmente la velocità periferica vp = 4 m/s si ha che vp1 < vp quindi la
verifica è soddisfatta.
Calcolo della larghezza delle ruote
La larghezza è data dal prodotto di λ per il modulo normale:
b = λ mn = 15 · 2 = 30 mm
Calcolo dell’altezza del dente
L’altezza è data dalla somma delle due altezze: addendum ha e dedendum hd,:
ha = mn =2 mm
hd = 1.25 mn = 2.5 mm
h = ha + hd = 2+2.5 = 4.5 mm oppure h = 2.25 · m = 2.25 · 2 = 4.5mm
Calcolo dei passi:
pc = π mc = 6.9 mm
pn = π mn = 6.28 mm
pa = π ma = π mc / tg = 14.8 mm
Calcolo del diametro primitivo
dp1 = mc · z1 = 2.2·20 = 44 mm
Calcolo del diametro di testa
da1 = dp1+ 2mn = 44 + 2·2 = 48 mm
Calcolo del diametro di piede
dd1 = dp1– 2.5 mn = 44 – 2.5·2 = 39 mm
Diametro primitivo della ruota 2
rp2 = rp1 · i = 22·1.5 = 33 mm
Calcolo dei numeri dei denti della ruota 2
z2 = z1 · i = 20·1.5 = 30.
Verifica ad usura
Calcolo della pmax:
)11
(2
2
211
1max
ppcp
tm
ddsenbd
Mfp
(N/mm
2)
c = arctg(tgcos = 21.88° (angolo di pressione circonferenziale)
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592)66
1
44
1(
76.434430
405802380max
senp N/mm
2
Per il calcolo della pamm si sottopone l’acciaio C 10 UNI 7846 a trattamento termico di
cementazione, così facendo la durezza HB passa dal valore di 1300 N/mm2
a 2612 N/mm2:
645,2
hn
HBpamm
(N/mm
2)
9111001200
261245,2
6
ammp N/mm
2
La verifica è soddisfatta.
Infine, dati il raggio rp2, z2 e p si calcola la geometria completa della seconda ruota riapplicando
tutte le formule sopra viste.