Calcolare i sillogismi

Ruggero Pagnan

DISI, Universita di Genovaruggero.pagnan@disi.unige.it

Proposizioni categoriche

A partire da Aristotele, le seguenti proposizioni categoriche hannogiocato un ruolo fondamentale nell’ambito della ricerca in logica:

ASP : Ogni S e P (universale affermativa)

ESP : Nessun S e P (universale negativa)

ISP : Qualche S e P (particolare affermativa)

OSP : Qualche S non e P (particolare negativa)

Le lettere S e P denotano termini del linguaggio naturale, etradizionalmente vengono chiamate soggetto e predicato.

Sillogismi

Un sillogismo e una regola di inferenza che coinvolge due premessee una conclusione:

P1,P2 |= C

dove P1, P2 e C sono proposizioni categoriche.

I Piu precisamente, un sillogismo coinvolge esattamente tretermini S , P e M come segue:

- M occorre in P1 e in P2 ma non occorre in C . Esso e iltermine medio del sillogismo.

- S occorre in P2 e in C , come soggetto di quest’ultima.- P occorre in P1 e in C , come predicato di quest’ultima.

I Esempio:OPM ,EMS |= ISP

Sillogismi

Un sillogismo e una regola di inferenza che coinvolge due premessee una conclusione:

P1,P2 |= C

dove P1, P2 e C sono proposizioni categoriche.I Piu precisamente, un sillogismo coinvolge esattamente tre

termini S , P e M come segue:

- M occorre in P1 e in P2 ma non occorre in C . Esso e iltermine medio del sillogismo.

- S occorre in P2 e in C , come soggetto di quest’ultima.- P occorre in P1 e in C , come predicato di quest’ultima.

I Esempio:OPM ,EMS |= ISP

Sillogismi

Un sillogismo e una regola di inferenza che coinvolge due premessee una conclusione:

P1,P2 |= C

dove P1, P2 e C sono proposizioni categoriche.I Piu precisamente, un sillogismo coinvolge esattamente tre

termini S , P e M come segue:

- M occorre in P1 e in P2 ma non occorre in C . Esso e iltermine medio del sillogismo.

- S occorre in P2 e in C , come soggetto di quest’ultima.- P occorre in P1 e in C , come predicato di quest’ultima.

I Esempio:OPM ,EMS |= ISP

Sillogismi validi

Un sillogismo valido e un sillogismo per il quale non e possibileverificare le sue premesse e non verificare la sua conclusione.

I sillogismi elencati nella tabella

AMP ,ASM |= ASP EPM ,ASM |= ESP IMP ,AMS |= ISP APM ,EMS |= ESP

EMP ,ASM |= ESP APM ,ESM |= ESP AMP , IMS |= ISP IPM ,AMS |= ISP

AMP , ISM |= ISP EPM , ISM |= OSP OMP ,AMS |= OSP EPM , IMS |= OSP

EMP , ISM |= OSP APM ,OSM |= OSP EMP , IMS |= OSP

sono validi.I logici medievali hanno dato loro dei nomi come ad esempiobArbArA, fErIO, cElArEnt, dIsAmIs, al fine di poterli ricordare.

Sillogismi validi

Un sillogismo valido e un sillogismo per il quale non e possibileverificare le sue premesse e non verificare la sua conclusione.I sillogismi elencati nella tabella

AMP ,ASM |= ASP EPM ,ASM |= ESP IMP ,AMS |= ISP APM ,EMS |= ESP

EMP ,ASM |= ESP APM ,ESM |= ESP AMP , IMS |= ISP IPM ,AMS |= ISP

AMP , ISM |= ISP EPM , ISM |= OSP OMP ,AMS |= OSP EPM , IMS |= OSP

EMP , ISM |= OSP APM ,OSM |= OSP EMP , IMS |= OSP

sono validi.I logici medievali hanno dato loro dei nomi come ad esempiobArbArA, fErIO, cElArEnt, dIsAmIs, al fine di poterli ricordare.

Il calcolo

Introduciamo un formalismo grafico che consente di riformulare leproposizioni categoriche come diagrammi aristotelici:

SASP // P S

ESP// • Poo

SISP•oo // P S

OSP•oo // • Poo

Esempio

AMP ,ASM |= ASP

SASM // M M

AMP // P

SASM // M

AMP // P

SASP // P

Esempio

AMP ,ASM |= ASP

SASM // M M

AMP // P

SASM // M

AMP // P

SASP // P

Esempio

AMP ,ASM |= ASP

SASM // M M

AMP // P

SASM // M

AMP // P

SASP // P

Esempio

AMP ,ASM |= ASP

SASM // M M

AMP // P

SASM // M

AMP // P

SASP // P

Esempio

EPM , ISM |= OSP

SISM• //oo M M

EPM// • Poo

SISM•oo // M

EPM// • Poo

S •oo OSP // • Poo

Esempio

EPM , ISM |= OSP

SISM• //oo M M

EPM// • Poo

SISM•oo // M

EPM// • Poo

S •oo OSP // • Poo

Esempio

EPM , ISM |= OSP

SISM• //oo M M

EPM// • Poo

SISM•oo // M

EPM// • Poo

S •oo OSP // • Poo

Esempio

EPM , ISM |= OSP

SISM• //oo M M

EPM// • Poo

SISM•oo // M

EPM// • Poo

S •oo OSP // • Poo

Esempio

APM ,OSM |= OSP

S •oo OSM // • Moo M PAPMoo

S •oo OSM // • Moo PAPMoo

SOSP•oo // • Poo

Esempio

APM ,OSM |= OSP

S •oo OSM // • Moo M PAPMoo

S •oo OSM // • Moo PAPMoo

SOSP•oo // • Poo

Esempio

APM ,OSM |= OSP

S •oo OSM // • Moo M PAPMoo

S •oo OSM // • Moo PAPMoo

SOSP•oo // • Poo

Esempio

APM ,OSM |= OSP

S •oo OSM // • Moo M PAPMoo

S •oo OSM // • Moo PAPMoo

SOSP•oo // • Poo

Esempio

AMP ,AMS |= ISP

S MAMSoo M

AMP // P

S MIMMAMSoo •oo // M

AMP // P

SISP•oo // P

Esempio

AMP ,AMS |= ISP

S MAMSoo M

AMP // P

S MIMMAMSoo •oo // M

AMP // P

SISP•oo // P

Esempio

AMP ,AMS |= ISP

S MAMSoo M

AMP // P

S MIMMAMSoo •oo // M

AMP // P

SISP•oo // P

Esempio

AMP ,AMS |= ISP

S MAMSoo M

AMP // P

S MIMMAMSoo •oo // M

AMP // P

SISP•oo // P

Nel Paese delle Meraviglie. . .

Ogni amico del cappellaio matto disobbedisce agli ordini della regina.

Nessun animale parlante disobbedisce agli ordini della regina.

Dunque, nessun animale parlante e amico del cappellaio matto.

S=“animale parlante”M=“disobbedisce agli ordini della regina”

P=“amico del cappellaio matto”

SESM// • Moo M P

APMoo

SESM// • Moo P

APMoo

SESP// • Poo

Nel Paese delle Meraviglie. . .

Ogni amico del cappellaio matto disobbedisce agli ordini della regina.

Nessun animale parlante disobbedisce agli ordini della regina.

Dunque, nessun animale parlante e amico del cappellaio matto.

S=“animale parlante”M=“disobbedisce agli ordini della regina”

P=“amico del cappellaio matto”

SESM// • Moo M P

APMoo

SESM// • Moo P

APMoo

SESP// • Poo

Nel Paese delle Meraviglie. . .

Ogni amico del cappellaio matto disobbedisce agli ordini della regina.

Nessun animale parlante disobbedisce agli ordini della regina.

Dunque, nessun animale parlante e amico del cappellaio matto.

S=“animale parlante”M=“disobbedisce agli ordini della regina”

P=“amico del cappellaio matto”

SESM// • Moo M P

APMoo

SESM// • Moo P

APMoo

SESP// • Poo

Nel Paese delle Meraviglie. . .

Ogni amico del cappellaio matto disobbedisce agli ordini della regina.

Nessun animale parlante disobbedisce agli ordini della regina.

Dunque, nessun animale parlante e amico del cappellaio matto.

S=“animale parlante”M=“disobbedisce agli ordini della regina”

P=“amico del cappellaio matto”

SESM// • Moo M P

APMoo

SESM// • Moo P

APMoo

SESP// • Poo

Nel Paese delle Meraviglie. . .

Ogni amico del cappellaio matto disobbedisce agli ordini della regina.

Nessun animale parlante disobbedisce agli ordini della regina.

Dunque, nessun animale parlante e amico del cappellaio matto.

S=“animale parlante”M=“disobbedisce agli ordini della regina”

P=“amico del cappellaio matto”

SESM// • Moo M P

APMoo

SESM// • Moo P

APMoo

SESP// • Poo

Nel Paese delle Meraviglie. . .

Ogni suddito della regina e abituato alla vita di corte.

Qualche amico del Bianconiglio non e abituato alla vita di corte.

Dunque, qualche amico del Bianconiglio non e suddito della regina.

S=“amico del Bianconiglio”M=“abituato alla vita di corte”

P=“suddito della regina”

SOSM• //oo • Moo M P

APMoo

SOSM• //oo • Moo P

APMoo

SOSP•oo // • Poo

Nel Paese delle Meraviglie. . .

Ogni suddito della regina e abituato alla vita di corte.

Qualche amico del Bianconiglio non e abituato alla vita di corte.

Dunque, qualche amico del Bianconiglio non e suddito della regina.

S=“amico del Bianconiglio”M=“abituato alla vita di corte”

P=“suddito della regina”

SOSM• //oo • Moo M P

APMoo

SOSM• //oo • Moo P

APMoo

SOSP•oo // • Poo

Nel Paese delle Meraviglie. . .

Ogni suddito della regina e abituato alla vita di corte.

Qualche amico del Bianconiglio non e abituato alla vita di corte.

Dunque, qualche amico del Bianconiglio non e suddito della regina.

S=“amico del Bianconiglio”M=“abituato alla vita di corte”

P=“suddito della regina”

SOSM• //oo • Moo M P

APMoo

SOSM• //oo • Moo P

APMoo

SOSP•oo // • Poo

Nel Paese delle Meraviglie. . .

Ogni suddito della regina e abituato alla vita di corte.

Qualche amico del Bianconiglio non e abituato alla vita di corte.

Dunque, qualche amico del Bianconiglio non e suddito della regina.

S=“amico del Bianconiglio”M=“abituato alla vita di corte”

P=“suddito della regina”

SOSM• //oo • Moo M P

APMoo

SOSM• //oo • Moo P

APMoo

SOSP•oo // • Poo

Nel Paese delle Meraviglie. . .

Ogni suddito della regina e abituato alla vita di corte.

Qualche amico del Bianconiglio non e abituato alla vita di corte.

Dunque, qualche amico del Bianconiglio non e suddito della regina.

S=“amico del Bianconiglio”M=“abituato alla vita di corte”

P=“suddito della regina”

SOSM• //oo • Moo M P

APMoo

SOSM• //oo • Moo P

APMoo

SOSP•oo // • Poo

Un esercizio

Determinare premesse che consentano di concludere

SESM// • Moo M P

APMoo

SESM// • Moo P

APMoo

SESP// • Poo

Un esercizio

Determinare premesse che consentano di concludere

SESM// • Moo M P

APMoo

SESM// • Moo P

APMoo

SESP// • Poo

Un esercizio

Determinare premesse che consentano di concludere

SESM// • Moo M P

APMoo

SESM// • Moo P

APMoo

SESP// • Poo

Sillogismi validi

TeoremaUn sillogismo e valido se e solo se la sua conclusione segue dallesue premesse come risultato di un calcolo.

Osservazione: il calcolo e il teorema si estendono ai sillogismi conn termini, n ≥ 1.

Sillogismi validi

TeoremaUn sillogismo e valido se e solo se la sua conclusione segue dallesue premesse come risultato di un calcolo.

Osservazione: il calcolo e il teorema si estendono ai sillogismi conn termini, n ≥ 1.

Sillogismi non validi

Il sillogismo OPM ,EMS |= ISP non e valido, dato che il calcolo

SEMS// • Moo M

OPM•oo // • Poo

SEMS// • M

OPMoo •oo // • Poo

S // • •oo // • Poo

non produce il risultato voluto.Il sillogismo EMP ,ESM |= ISP non e valido dato che le suepremesse non danno origine ad alcun calcolo.

SESM// • Moo M

EMP// • Poo

Regole del sillogismo

I Da due premesse negative nulla puo venire inferito.

I Da due premesse particolari nulla puo venire inferito.

I Da una prima premessa particolare e da una seconda premessanegativa nulla puo venire inferito.

I In un sillogismo, se una premessa e particolare allora laconclusione e particolare.

I La conclusione di un sillogismo e negativa se e solo se talerisulta essere una delle sue premesse.

Regole del sillogismo

Da due premesse negative nulla puo venire inferito.

SESM// • Moo M

EMP// • Poo

SESM// • Moo M

OMP• //oo • Poo

SOSM• //oo • Moo M

EMP// • Poo

SOSM• //oo • Moo M

OMP• //oo • Poo

Regole del sillogismo

Da due premesse negative nulla puo venire inferito.

SESM// • Moo M

EMP// • Poo

SESM// • Moo M

OMP• //oo • Poo

SOSM• //oo • Moo M

EMP// • Poo

SOSM• //oo • Moo M

OMP• //oo • Poo

Regole del sillogismo

Da due premesse negative nulla puo venire inferito.

SESM// • Moo M

EMP// • Poo

SESM// • Moo M

OMP• //oo • Poo

SOSM• //oo • Moo M

EMP// • Poo

SOSM• //oo • Moo M

OMP• //oo • Poo

Regole del sillogismo

Da due premesse negative nulla puo venire inferito.

SESM// • Moo M

EMP// • Poo

SESM// • Moo M

OMP• //oo • Poo

SOSM• //oo • Moo M

EMP// • Poo

SOSM• //oo • Moo M

OMP• //oo • Poo

Regole del sillogismo

Da due premesse negative nulla puo venire inferito.

SESM// • Moo M

EMP// • Poo

SESM// • Moo M

OMP• //oo • Poo

SOSM• //oo • Moo M

EMP// • Poo

SOSM• //oo • Moo M

OMP• //oo • Poo

Regole del sillogismoDa una prima premessa particolare e da una seconda premessanegativa nulla puo venire inferito.

SESM// • Moo M

IMP•oo // P

SOSM• //oo • Moo M

IMP•oo // P

SESM// • Moo M

OMP• //oo • Poo

SOSM• //oo • Moo M

OMP• //oo • Poo

Regole del sillogismoDa una prima premessa particolare e da una seconda premessanegativa nulla puo venire inferito.

SESM// • Moo M

IMP•oo // P

SOSM• //oo • Moo M

IMP•oo // P

SESM// • Moo M

OMP• //oo • Poo

SOSM• //oo • Moo M

OMP• //oo • Poo

Regole del sillogismoDa una prima premessa particolare e da una seconda premessanegativa nulla puo venire inferito.

SESM// • Moo M

IMP•oo // P

SOSM• //oo • Moo M

IMP•oo // P

SESM// • Moo M

OMP• //oo • Poo

SOSM• //oo • Moo M

OMP• //oo • Poo

Regole del sillogismoDa una prima premessa particolare e da una seconda premessanegativa nulla puo venire inferito.

SESM// • Moo M

IMP•oo // P

SOSM• //oo • Moo M

IMP•oo // P

SESM// • Moo M

OMP• //oo • Poo

SOSM• //oo • Moo M

OMP• //oo • Poo

Regole del sillogismoDa una prima premessa particolare e da una seconda premessanegativa nulla puo venire inferito.

SESM// • Moo M

IMP•oo // P

SOSM• //oo • Moo M

IMP•oo // P

SESM// • Moo M

OMP• //oo • Poo

SOSM• //oo • Moo M

OMP• //oo • Poo