Risposta meccanica di Risposta meccanica di un elastomero realeun elastomero reale

Studente: Giovanni RilloRelatore: Dr. Tullio ScopignoCorrelatore: Dr. Carino Ferrante

Perché la gomma?Perché la gomma?Esempio di sistema

termodinamico (f, L, T)Proprietà macroscopiche peculiari

Modello microscopico basato su macromolecole (polimeri)

Alta elasticità

Coefficiente di dilatazione termica negativo

Equilibrio termodinamico

In condizioni di equilibrio termodinamico possiamo studiare il comportamento elastico dell’elastomero

Misure statiche: forza vs elongazione

Condizioni dinamiche

In condizioni dinamiche l’elastomero non è un sistema conservativo: possiamo studiare il suo comportamento viscoelastico

Misure dinamiche: forza vs tempo a elongazione costante

Il modello di Kuhn:Il modello di Kuhn:un network di cateneun network di catene La singola molecola può essere assimilata a una lunga

catena: i legami tra i singoli atomi costituenti la catena possono ruotare liberamente.

Deboli forze tra le singole catene Le catene sono tra di loro connesse in pochi punti, detti

crosslinks

La singola catenaLa singola catenaLa singola catena consta di n giunzioni di lunghezza l: ogni giunzione ha una direzione completamente random nello spazio. Tale assunzione porta alla densità di probabilità di un estremo della catena nello spazio:

dxdydzzyxbb

dxdydzzyxp )}(exp{),,( 2222

2

3

3

22

2

3

nlb

EntropiaEntropia

Definizione di Boltzmann: s=k ln(N) N configurazioni

2222 lncostlnln rc-kb( dV) k r)-kb(k ) dV] [ p(x,y,zk s

Processo di deformazioneProcesso di deformazione

X=1 X0

Y=2 Y0

Z=3 Z0

})1()1()1{( 20

23

20

22

20

21

20 zyxkbsss

•Deformazione affine: il rapporto L/L0 è uguale per la singola catena e per il materiale nel suo insieme•Il volume del materiale rimane costante durante il processo di deformazione (=1)

Entropia e forzaEntropia e forzaPosto che la direzione di una catena nello spazio sia completamentecasuale, si ha

20

20

20

20

20 3

1

3

1rNrzyx

)3(2

1 23

22

21 NksS

Configurazioni assumibili da catene sono isoenergetiche tT

TsdTdsdwcos

)(

Mancanza di interazione TSW

Derivando

ii

Wf

)1

(21

11 Gf NKTG

Dati sperimentaliDati sperimentali

Fit eseguito a partire dalla funzione

)(2

20

0 L

L

L

LGf

NG 02.001.1 cmL 10.006.70

Risultati:

Confrontabile con il valore di L0 misurato sperimentalmente:

cm1.07.7

Il modello di Mooney-Il modello di Mooney-RivlinRivlin

Assunzioni:•Isotropia•Incompressibilità•Invarianza sotto rotazioni attorno a un asse

Dipendenza da i2

È quindi possibile cercare opportune funzioni W a partire dai più semplici polinomi rispondenti a queste caratteristiche:

.23

22

211 I 2

123

23

22

22

212 I 2

322

213 I

Il modello di Mooney-Rivlin: Il modello di Mooney-Rivlin: la forzala forza

La generica funzione W sarà esprimibile come

ji

jiij IICW )3()3( 21

0,0

La funzione lineare di I1 e I2 più generale è invece

3)-111

(C)3(C

3)-(IC3)-(IC

23

22

21

0123

22

2110

201110

W

Nel caso di estensione semplice, derivando rispetto a otteniamo

))(1

(21

01102

11

CCf

Dati sperimentaliDati sperimentali

Fit eseguito a partire dalla funzione

))((2 001102

20

0 L

LCC

L

L

L

Lf

NC 009.0909.02 10

cmL 04.001.80

Risultati:

NC 04.078.02 01

Seconda parte: panoramica Seconda parte: panoramica dei rilassamentidei rilassamenti

Elastico sollecitato a lunghezza costante

•Sollecitazioni termiche, effettuate riscaldando la gomma

•Sollecitazioni meccaniche, effettuate contraendo e rilassando rapidamente la gomma

Rilassamenti termiciRilassamenti termicifdlQdU

cost,cost,

lpTp T

f

l

S

Nel modello di Kuhn S=S(S(l)

Variazione di forza esercitata dall’elastomero ricondotta alla variazione di temperatura nel processo

cost

lTf

Thdt

TdC

dt

dQ

)(t

eTT

)0(

Solido standard lineareSolido standard lineareTeoria viscoelastica lineare:Oggetto schematizzabile come insieme di molle e dissipatori viscosi variamente connessi

•Molla: f =-kx•Dissipatore: f=-x’

Insieme di equazioni lineari

021

21

xxx

xkx

t

efff

txkxkf

))()0((

)(|| 113

Dati sperimentaliDati sperimentaliRilassamenti termici:Lo schema basato sul trasporto conduttivo riproduce bene i risultati sperimentali

s2015

Rilassamenti viscoelastici:Il modello dei solido standard lineare non riesce a riprodurre il rilassamento.

Non definito

Il modello di Maxwell Il modello di Maxwell generalizzatogeneralizzato

Presupponendo più tempi caratteristici di rilassamento una generalizzazione naturale è quella mostrata in figura

i

iff 121 iiiiiii xxxkf

i

t

iieCf

RisultatiRisultati

2121

tt

eCeCff

Fit eseguito con due tempi di rilassamento a partire dalla funzione

In generale ogni rilassamento viscoelastico risulta scisso significativamente in due esponenziali con molto diversi tra loro

s1051 s2001002

ConclusioniConclusioni