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Risposta meccanica di Risposta meccanica di un elastomero realeun elastomero reale

Studente: Giovanni RilloRelatore: Dr. Tullio ScopignoCorrelatore: Dr. Carino Ferrante

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Perché la gomma?Perché la gomma?Esempio di sistema

termodinamico (f, L, T)Proprietà macroscopiche peculiari

Modello microscopico basato su macromolecole (polimeri)

Alta elasticità

Coefficiente di dilatazione termica negativo

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Equilibrio termodinamico

In condizioni di equilibrio termodinamico possiamo studiare il comportamento elastico dell’elastomero

Misure statiche: forza vs elongazione

Condizioni dinamiche

In condizioni dinamiche l’elastomero non è un sistema conservativo: possiamo studiare il suo comportamento viscoelastico

Misure dinamiche: forza vs tempo a elongazione costante

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Il modello di Kuhn:Il modello di Kuhn:un network di cateneun network di catene La singola molecola può essere assimilata a una lunga

catena: i legami tra i singoli atomi costituenti la catena possono ruotare liberamente.

Deboli forze tra le singole catene Le catene sono tra di loro connesse in pochi punti, detti

crosslinks

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La singola catenaLa singola catenaLa singola catena consta di n giunzioni di lunghezza l: ogni giunzione ha una direzione completamente random nello spazio. Tale assunzione porta alla densità di probabilità di un estremo della catena nello spazio:

dxdydzzyxbb

dxdydzzyxp )}(exp{),,( 2222

2

3

3

22

2

3

nlb

EntropiaEntropia

Definizione di Boltzmann: s=k ln(N) N configurazioni

2222 lncostlnln rc-kb( dV) k r)-kb(k ) dV] [ p(x,y,zk s

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Processo di deformazioneProcesso di deformazione

X=1 X0

Y=2 Y0

Z=3 Z0

})1()1()1{( 20

23

20

22

20

21

20 zyxkbsss

•Deformazione affine: il rapporto L/L0 è uguale per la singola catena e per il materiale nel suo insieme•Il volume del materiale rimane costante durante il processo di deformazione (=1)

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Entropia e forzaEntropia e forzaPosto che la direzione di una catena nello spazio sia completamentecasuale, si ha

20

20

20

20

20 3

1

3

1rNrzyx

)3(2

1 23

22

21 NksS

Configurazioni assumibili da catene sono isoenergetiche tT

TsdTdsdwcos

)(

Mancanza di interazione TSW

Derivando

ii

Wf

)1

(21

11 Gf NKTG

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Dati sperimentaliDati sperimentali

Fit eseguito a partire dalla funzione

)(2

20

0 L

L

L

LGf

NG 02.001.1 cmL 10.006.70

Risultati:

Confrontabile con il valore di L0 misurato sperimentalmente:

cm1.07.7

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Il modello di Mooney-Il modello di Mooney-RivlinRivlin

Assunzioni:•Isotropia•Incompressibilità•Invarianza sotto rotazioni attorno a un asse

Dipendenza da i2

È quindi possibile cercare opportune funzioni W a partire dai più semplici polinomi rispondenti a queste caratteristiche:

.23

22

211 I 2

123

23

22

22

212 I 2

322

213 I

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Il modello di Mooney-Rivlin: Il modello di Mooney-Rivlin: la forzala forza

La generica funzione W sarà esprimibile come

ji

jiij IICW )3()3( 21

0,0

La funzione lineare di I1 e I2 più generale è invece

3)-111

(C)3(C

3)-(IC3)-(IC

23

22

21

0123

22

2110

201110

W

Nel caso di estensione semplice, derivando rispetto a otteniamo

))(1

(21

01102

11

CCf

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Dati sperimentaliDati sperimentali

Fit eseguito a partire dalla funzione

))((2 001102

20

0 L

LCC

L

L

L

Lf

NC 009.0909.02 10

cmL 04.001.80

Risultati:

NC 04.078.02 01

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Seconda parte: panoramica Seconda parte: panoramica dei rilassamentidei rilassamenti

Elastico sollecitato a lunghezza costante

•Sollecitazioni termiche, effettuate riscaldando la gomma

•Sollecitazioni meccaniche, effettuate contraendo e rilassando rapidamente la gomma

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Rilassamenti termiciRilassamenti termicifdlQdU

cost,cost,

lpTp T

f

l

S

Nel modello di Kuhn S=S(S(l)

Variazione di forza esercitata dall’elastomero ricondotta alla variazione di temperatura nel processo

cost

lTf

Thdt

TdC

dt

dQ

)(t

eTT

)0(

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Solido standard lineareSolido standard lineareTeoria viscoelastica lineare:Oggetto schematizzabile come insieme di molle e dissipatori viscosi variamente connessi

•Molla: f =-kx•Dissipatore: f=-x’

Insieme di equazioni lineari

021

21

xxx

xkx

t

efff

txkxkf

))()0((

)(|| 113

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Dati sperimentaliDati sperimentaliRilassamenti termici:Lo schema basato sul trasporto conduttivo riproduce bene i risultati sperimentali

s2015

Rilassamenti viscoelastici:Il modello dei solido standard lineare non riesce a riprodurre il rilassamento.

Non definito

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Il modello di Maxwell Il modello di Maxwell generalizzatogeneralizzato

Presupponendo più tempi caratteristici di rilassamento una generalizzazione naturale è quella mostrata in figura

i

iff 121 iiiiiii xxxkf

i

t

iieCf

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RisultatiRisultati

2121

tt

eCeCff

Fit eseguito con due tempi di rilassamento a partire dalla funzione

In generale ogni rilassamento viscoelastico risulta scisso significativamente in due esponenziali con molto diversi tra loro

s1051 s2001002

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ConclusioniConclusioni