Reti di Petri

primavera inizio estate

estate

inizio autunno

inizio inverno

inizio primavera

autunnoinverno

Condizioni e eventi

Gli eventi sono i quadrati e le condizioni i cerchi.Una condizione e’ soddisfatta se contiene un “token”

estate

inizio autunno

inizio inverno

inizio primavera

autunnoinverno

Condizioni e eventi

non autunno

inverno o primavera

Possiamo aggiungere condizioni

estate

inizio autunno

inizio inverno

inizio primavera

autunnoinverno

Condizioni e eventi

non autunno

inverno o primavera

Posti e transizioni

I posti possono contenere piú “token”. Quando una transizione viene eseguita si toglie un “token” da ciascun posto di ingresso e lo aggiunge a ciascun posto di uscita.

produttore

consumatori

Posti e transizioni

2 processi scrittori

Al più tre processi possono leggere la memoria contemporaneamente. Mentre un processo scrive nessuno può leggere.

4 processi lettori

pronto a leggerepronto a scrivere

letturascrittura

Si aggiungono 3 token

Definizioni di base (1)Una tripla N = (S, T, F) è chiamata rete se e solo se:1) S e T sono insiemi disgiunti (gli elementi di S sono chiamati S-elementi, gli elementi di T sono chiamati T-elementi)2) F (S T) (T S) è una relazione binaria, chiamata la relazione di flusso di N.

Graficamente S-elementi sono rappresentati come cerchi e T-elementi come quadrati, la relazione di flusso è rappresentata da archi orientati che connettono cerchi e quadrati

Notazione. Sia N = (S, T, F) una rete. Denotiamo le componenti come SN, TN, FN e scriviamo anche N per S T.

Sia N una rete. Per x N .x = { y | y FN x} è chiamato il preset di x

x. = { y | x FN y} è chiamato il postset di x

Per X N sia .X = x X .x e X. = x X x. .

Definizioni di base (2)

Per x, y N si ha x . y y x. .

Una coppia (s,t) SN TN è un self-loop se e solo se s FN t and t FN s.

Una rete N è pura se FN non contiene self-loop.

Un elemento x N è isolato se e solo se . x x . = .

Una rete N è semplice se elementi distinti non hanno lo stesso preset e postset, ossia se,

per ogni x, y N, .x = .y and x. = y. x = y.

Esempio. Una rete semplice ma non pura che non contiene elementi isolati.

Siano N e N’ due reti.

Data una biiezione : N N’ chiamiamo N e N’ -isomorfe se e solo se s SN (s) SN ’ and x FN y (x) FN ’ (y).

Questo implica tTN (t) TN ’ .

Due reti N e N’ sono isomorfe se e solo se sono isomorfe per qualche funzione .

Rappresentazioni grafiche in cui gli elementi non hanno un nome rappresentano reti a meno di isomorfismo.

Reti condizione-evento (1)Gli S-elementi rappresentano condizioni e indichiamo con B il loro insieme, i T-elementi rappresentano eventi e indichiamo con E il loroinsieme. L’insieme delle condizioni che valgono in una configurazione èun caso.Sia N = (B, E, F) una rete.1) un sottoinsieme c B è un caso2) sia e E e c B; e ha una concessione in c (è c-abilitato) se e solo se .e c and e. c = (assenza di contatto)3) sia e E, sia c B, e sia c-abilitato. Allora c’ = (c\.e) e. è il caso successore di c sotto e ( c’ risulta dall’occorrenza di e nel caso c) e scriviamo c [e > c’.Notazione. Nella rappresentazione grafica si indica che una condizione vale ponendo una marca nel cerchio che la rappresenta.

Reti condizione-evento (2)

estate

inizio autunno

inizio inverno

inizio primavera

autunnoinverno

.Esempio.

Eventi i cui preset e postset sono disgiunti possono essere combinati in un passo.

Sia N = (B,E,F) una rete.

Un insieme di eventi G E è distaccato (detached) se e solo se per ogni e1, e2 G e1 differente da e2 .e1

.e2 = = e1

Siano c, c’ casi di N e sia G distaccato. Allora g è un passo da c a c’, ossia c [G > c’ se e solo se ogni evento e G è abilitato e c’ = (c\.G) G. .

Lemma. Sia N una rete, sia G EN distaccato e siano c, c’ casi di N. Allora c [G > c’ c\c’ = .G and c’\c = G. .

Esempio.

e2 b3 e3 b4

b2 e1 b5

L’evento e1 può essere combinato in un passo sia con l’evento e2 che con l’evento e3.

e2 b3 e3 b4

b2 e1 b5

Caso b6

b6e4e5

e2 b3 e3 b4

b2 e1 b5

Passo e5 Caso b1, b2

e2 b3 e3 b4

b2 e1 b5

Passo e1, e2 Caso b3, b5

. e4e5

e2 b3 e3 b4

b2 e1 b5

e2 b3 e3 b4

b2 e1 b5

Passo e4 Caso b6

e2 b3 e3 b4

b2 e1 b5

e2 b3 e3 b4

b2 e1 b5

e2 b3 e3 b4

b2 e1 b5

Passo e1, e3 Caso b4, b5

Un passo finito può essere realizzato con l’occorrenza dei suoi eventi in un ordine arbitrario.

Lemma. Sia N una rete, c e c’ casi di N e G = {e1, …, en} un passo finito da c a c’.

Se (e1, …, en) è un ordinamento arbitrario degli elementi di G allora ci sono casi c0, …, cn tali che c = c0, c’ = cn e ci-1 [ei> ci, (i = 1, …, n).

Reti condizione-evento (17)Eventi che abbiano in comune pre o postcondizioni sono in conflitto.

In un caso come nell’esempio, in cui si può avere o non avere conflitto, si ha confusione.

Si ha conflitto se e2 occorre prima di e1, ma non si ha conflitto se e1 occorre prima di e2, ma tra le occorrenze di e1 e e2 non è specificato alcun ordine.

e2 occorre prima di e1. Conflitto tra e1 e e3

e1 occorre prima di e2. Nessun conflitto

Sistemi condizione-evento (1)Un sistema condizione-evento consiste di una rete (B,E,F) e di un insieme di casi C con le proprietà seguenti:

- Se un passo G E è possibile in un caso c C allora G porta a un caso in C- Se un caso c C risulta da un passo G E allora anche la configurazione di partenza è un caso di C- Tutti i casi di C possono essere trovati ragionando in avanti o all’indietro- C è tale che i) per ogni evento e E c’è un caso in C in cui e ha una concessione, ii) ogni condizione b B appartiene ad almeno un caso di C, ma non a tutti (cosí si escludono condizioni isolate e self-loop).

Si vogliono escludere anche eventi isolati perché si vuole che gli eventi siano osservabili. Inoltre si chiede che due condizioni non abbiano lo stesso preset e postset (non sarebbero distinguibili). Analogamente per gli eventi.

Sistemi condizione-evento (2)

Una quadrupla = (B,E,F,C) è un sistema condizione-evento (sistema C/E) se e solo se:

1. (B,E,F) è una rete semplice senza elementi isolati.

2. C (B) è una classe di equivalenza della relazione di raggiungibilità RS = (r r-1)*, dove r (B) (B) è data da c1 r c2 G E c1 [G> c2 . C è la classe dei casi di .

3. Per ogni e E esiste c C tale che e ha una concessione in C.

La classe dei casi di un sistema C/E S è completamente determinato da un elemento arbitrario della classe.

Esempio. La classe dei casi dell’esempio seguente è {{b1},{b2},{b3},{b4}}.

Lemma. Sia un sistema C/E. 1. B e E e F sono differenti da .

2. Per c C, c’ B, G E

c [G > c’ c’ C

c’[G > c c’ C.

3. Per ogni bB , c,c’ C con bc and bc’.

4. S è puro.

Sistemi ciclici e vivi (1)

Un sistema C/E è ciclico se e solo se per ogni c1,c2 C c1 r* c2 .

Proposizione. Sia un sistema C/E ciclico e sia c C . Allora C = {c’ | c r

* c’}.

Un sistema C/E è vivo se e solo se per ogni c C e ogni e E

c’ C tale che c r* c’ e e è c’-abilitato.

Proposizione. Ogni sistema C/E ciclico è vivo.

Sistemi ciclici e vivi (2)

Osservazione. Non ogni sistema C/E vivo è ciclico.

Equivalenza di sistemi (1)

Siano e ’ due sistemi C/E.

1. Date biiezioni : C C’, : E E’, e ’ sono ()-equivalenti se solo se per tutti i casi c1,c2 C e tutti gli insiemi di eventi G E c1 [G> c2 (c1) [(G)> (c2), dove (G) = {(e) | e G}. e ’ sono equivalenti se solo se sono ()-equivalenti per qualche coppia di biiezioni ().

2. e ’ sono isomorfi se e solo se le reti (B,E,F) e (B’,E’,F’) sono -isomorfe per qualche biiezione e se

c C {(b)|bc} C’ .

Se e ’ sono equivalenti scriviamo ~ ’.

Proposizione. La relazione ~ è una relazione di equivalenza.

Proposizione. Sistemi C/E equivalenti hanno lo stesso numero di casi, eventi e passi. Possono avere un numero differente di condizioni.

Esempio. I casi sono {b1,b2} primavera, {b1,b3} estate,

{b2,b3} autunno, inverno

inizio autunno

inizio estate

inizio primavera inizio inverno

Esempio. I casi sono {b1,b2} primavera, {b1,b3} estate, {b2,b3} autunno, inverno

inizio autunno

inizio estate

primavera estate

autunnoinverno

inizio autunno

inizio estate

primavera estate

autunnoinverno

inizio autunno

inizio estate

primavera estate

autunnoinverno .

inizio autunno

inizio estate

primavera estate

autunnoinverno .

Proposizione. Siano e ’ due sistemi C/E equivalenti.1. è ciclico se solo se ’ è ciclico.2. è vivo se solo se ’ è vivo.

Lemma. Siano e ’ sistemi C/E tali che per ogni c C C’ |c| = 1.

e ’ sono equivalenti se e solo se sono isomorfi.

Sistemi senza contatti (1)Un sistema C/E può essere trasformato in uno equivalente senza contatti.

Contatto: in un caso c, .e c e e. c

Sia un sistema C/E e siano b, b’ elementi di B .

1. b’ è il complemento di b se e solo se .b = b’. and b. = .b’.2. è completo se ciascuna condizione b B ha un complemento b’ B .

Lemma. Sia un sistema C/E e sia b B .

1. b ha al piú un complemento b^.

Se b ha un complemento b^, allora

2. b^ ha un complemento b^^ e b^^ = b.

3. Per ogni c C b c oppure b^ c.

Se è completo allora

4. Per ogni e E |.e | = |e. |.

5. Per ogni c C | c | = 1/2 | B |.

Sistemi senza contatti (2)

Sia un sistema C/E e sia B B l’insieme delle condizioni che non hanno complemento in B . Per ogni b B, b^ denoti un nuovo elemento.

Sia F = {(e, b^) | (b,e) F e b B} {(b^, e) | (e, b) F and b B}.

Per c C sia f (c) = c {b^ | b B and b c}.

Allora il sistema C/E ^ = (B {b^ | b B}, E, F F, f(C) ) è il completamento di e f(c) è il completamento di c.

Esempio. Una condizione e il suo complemento.b

Proposizione. Sia un sistema C/E e c C . Vale

1. ^^ = ^

2. Per ogni b B , c C b f(c) b^ f(c)

3. c = f(c) B .

Lemma. La funzione f : C C^ come definita sopra è biiettiva.

Notazione. Denotiamo con -e ed e- preset e postset di e in ^.

Proposizione. Sia un sistema C/E, sia G E e B l’insieme delle condizioni che non hanno complemento in B. Vale:

1. -G = .G {b^ | b B and b G.}, G- = G. {b^ | b B and b .G}

2. .G = -G B ,

G. = G- B.

* elemento nuovo

Esempio. Un sistema C/E e il suo completamento ^.

* elemento nuovo

Sistemi senza contatti (6)Teorema. Se ^ è il complemento di un sistema C/E , allora ^ è equivalente a .

Dimostrazione. Bisogna dimostrare che per ogni c1, c2 C , per ogni G R c1 [G> c2 f(c1) [G> f(c2).

Un sistema C/E è senza contatti se per ogni e E e ogni c C 1. .e c e. B \c2. e. c .e B \c

Teorema. 1. Ogni sistema C/E completo è senza contatti.2. Per ogni sistema C/E ce ne è uno equivalente senza contatti.3. Se è senza contatti allora per ogni e E .e diverso da e. diverso da .

Grafo dei casi (1) Il grafo dei casi ha come nodi i casi e come archi i passi del sistema C/E.

Sia un sistema C/E, S l’insieme di tutti i passi di , P = {(c1, G, c2) C S C | c1 [G> c2}.

Il grafo = (C, P) è chiamato grafo dei casi di .

Grafo dei casi (2)b3

{b2,b3}

{e1}{e2}

{b2,b5}

{b4,b5}{e3,e4}

{e4} {e3}

{b4,b3}{e3} {e4}

Grafo dei casi (3)

Osservazione.

Non ogni grafo può essere interpretato come il grafo dei casi di un sistema C/E.

Teorema. Un sistema C/E è vivo se e solo se per ogni c0 C e ogni e E esiste un cammino in c0 j1 c1 … jn cn con jn = {e}.

Teorema. Due sistemi C/E sono equivalenti se e solo se i loro grafi di casi sono isomorfi.

Grafo dei casi (4)

Teorema. Un sistema C/E è ciclico se e solo se il suo grafo dei casi è fortemente connesso.

Teorema. Sia un sistema C/E, siano c1 ,c2 , c3 C e G1 ,G2 E .

1. Se c1 G1 c2 G2 c3 è un cammino in allora G1 G2 = .

2. Sia G1 G2 = . Allora se c1 ( G1 G2) c3 è un arco in allora

esiste c C tale che c1 G1 c G2 c3 è un cammino in .

Processi di sistemi C/E (1)

Si vuole una descrizione che mostri cambiamenti di condizioni e occorrenze di eventi anche concorrenti.

Un T-elemento rappresenta l’occorrenza dell’evento denotato dalla sua etichettatura.

T-elementi distinti con la stessa etichettatura denotano occorrenze differenti del medesimo evento.

Un S-elemento s mostra con la sua iscrizione b che b è stata soddisfatta dall’occorrenza di .s e ha cessato di valere con l’occorrenza di s..

I conflitti sono stati risolti e tutti gli S-elementi non hanno diramazioni.

Processi di sistemi C/E (3)Una relazione binaria r A A su un insieme A è una relazione di similarità se e solo se1. Per ogni a A: a r a (r è riflessiva)2. Per ogni a,b A: a r b = b r a (r è simmetrica)Un sottoinsieme B A è una regione di una relazione di similarità r se e solo se1. Per ogni a,b B: a r b (r è full su B)2. Per ogni a A: a B b B: not (a r b) (B è un sottoinsieme massimale su cui r è full)Proposizione. Sia A un insieme e r A A una relazione di similarità.1. Ogni elemento di A appartiene ad almeno una regione di r.2. Regioni di un insieme non vuoto A sono non vuote e nessuna regione è un sottoinsieme proprio di un’altra regione.3. Se r è una relazione di equivalenza allora le regioni di r sono esattamente le classi di equivalenza di r.

Notazione. Una relazione di similarità finita su un insieme A può essere rappresentata in modo unico come un grafo non orientato, di cui A è l’insieme dei nodi e K = {(a,b) | a b a r b} è l’insieme degli archi.

La regioni sono {1,2,4}, {2,3,4,6}, {4,5}, {7}.

Sia A un insieme parzialmente ordinato:1. li A A è tale che a li b a < b b < a a = b.2. co A A è tale che a co b (not a li b) a = b (ossia a co b not (a < b b < a).

Sia A un insieme parzialmente ordinato e siano a,b A :1. a li b a co b.2. a li b a co b a = b.

Teorema. Per un qualsiasi insieme parzialmente ordinato A, li e co sono relazioni di similarità. Esempio.

La regioni di li sono {1,2,5,6,7}, {1,2,3}, {4,6,7}.Le regioni di co sono {3,7}, {3,6}, {3,4,5}, {1,4}, {2,4}.

Processi di sistemi C/E (6)Sia A un insieme parzialmente ordinato e sia B A:1. B è una linea se e solo se B è una regione di li.2. B è un taglio se e solo se B è una regione di co.

Sia A un insieme parzialmente ordinato e siano B, C A. 1. A è limitato (bounded) se e solo se esiste n N tale che

per ogni linea L di A |L| n. 2. B precede C (scritto B C) se e solo se per ogni b B e

per ogni c C b < c or b co c ( scriviamo B < C per B C and B C) 3. B- = {a A | {a} B}, B+ = {a A | B {a}}. 4. oB = {b B | per ogni b’ B, b co b’ b < b’}, Bo = {b B | per ogni b’ B, b co b’ b’ < b}.

oB è l’insieme degli elementi minimali di B e Bo è l’insieme degli elementi massimali di B.

Teorema. Se A è un insieme parzialmente ordinato limitato allora oA e Ao sono tagli. Proposizione. Sia A un insieme parzialmente ordinato, sia L una linea e sia D un taglio di A. Allora |L D| 1. Un insieme parzialmente ordinato è K-denso se ogni linea ha un’intersezione non vuota con ogni taglio.Esempio. Un insieme che è parzialmente ordinato ma non K-denso. Infatti {3,2} {1,4} = .

Una rete K = (SK , TK, FK) è una rete di occorrenze se e solo se:1. Per ogni a, b K: a (FK

+) b b (FK+) a (K è senza cicli)

2. Per ogni s SK : |.s| 1 |s.| 1 (gli S-elementi non hanno diramazioni)

Proposizione. Sia K una rete di occorrenze. La relazione <, definita da a < b a (FK

+) b, per ogni a, b K, è un ordine parziale su K.

Segue che per una rete di occorrenze sono definite linee, tagli, limitatezza, K-densità.

Dato un insieme parzialmente ordinato, sia L una linea e sia D un taglio di A. Allora |L D| 1.

Una slice di una rete di occorrenze K è un taglio contenente solo S-elementi.

Denotiamo sl(K) l’insieme delle slice di K.

Esempio.

(s3,t2,s4,t3,s6) è una linea, (t1,s4,s5) è un taglio, (s1,s3) è una slice.

Teorema. Ogni rete di occorrenze non vuota e limitata è K-densa.

Esempio. Una rete di occorrenze non limitata che non è K-densa. Infatti la linea {s0,t1,s1, …} e il taglio {s1’,s2’,…} hanno intersezione vuota.

s2t1 t2

s2’ s3’

Processi di sistemi C/E (11)Descriviamo i processi come funzioni da reti di occorrenze limitate a sistemi C/E senza contatti soddisfacenti due richieste: 1. Ogni slice corrisponde a in un caso2. La corrispondenza di un T-elemento rispetta l’ambiente dell’evento.

Sia K una rete di occorrenze limitata e un sistema C/E senza contatti. Una funzione p: K è un processo di se e solo se per ogni slice D di K e ogni t TK :

1. p|D è iniettiva e p(D) C

2. p(.t) = . p(t) p(t.) = p(t).

Nelle rappresentazioni grafiche di processi p: K ogni elemento x di K è etichettato dalla sua immagine p(x). Ogni linea rappresenta una successione di elementi casualmente dipendenti (sottoprocesso sequenziale), un taglio è un’istantanea (snapshot) del processo. La K-densità garantisce che ogni sottoprocesso sequenziale è rappresentato in ogni snapshot.

Teorema. Per ogni processo p: K :

1. p(SK) B p(TK) E (il tipo degli elementi e’ preservato).

2. Per ogni x,y K, x FK y p(x) F p(y) (p rispetta la relazione di flusso)

3. Per ogni x, y K, p(x) = p(y) x li y (eventi e condizioni non sono concorrenti con loro stessi).

4. Per ogni t TK , .t and t. (eventi hanno prerequisiti e

conseguenze).5. Per ogni taglio D di K p|D è iniettiva.

. .. . e1 e2b1

b1 b2e1

b2 e2 b3

. .. . e1 e2b1

b1 b2e1

b2 e2 b3

Perche’ sistemi C/E senza contatti

Teorema. Sia p: K un processo, sia T TK tale che per ogni

t1, t2 T, t1 co t2. Allora c1,c2 C tali che c1 [p(T)> c2.

Due processi p1: K1 , p2: K2 di un sistema C/E sono isomorfi se e solo se K1 è b-isomorfo a K2 e per ogni x K1 p1(x) = p2(b(x)).

Teorema. Siano 1 e 2 due sistemi C/E senza contatti e sia pi l’insieme dei processi di i (i=1,2). Allora p1 = p2 1 = 2.

Processi di sistemi C/E (14)Lemma. Se p: K è un processo oK e Ko sono slice di K.

Lemma. Siano pi: Ki (i=1,2) due processi con p1(K1o) = p2(oK2). Allora esiste, a meno di isomorfismo, esattamente una rete di occorrenze K con una slice D e un processo p: K tale che p|D- = p1 e p|D+ = p2.Siano p, p1, p2 come sopra. Allora p è la composizione di p1 e p2, (p = p1 o p2).

Proposizione. Siano 1 e 2 due sistemi C/E senza contatti e sia pi l’insieme dei processi di i (i=1,2). Allora p1 = p2 1 = 2.

b5b2b2

Un processo è elementare se descrive un passo singolo. I processi sono decomponibili in un numero finito di processi elementari.

Un processo p: K è elementare se solo se SK = oK Ko .

Proposizione. 1. p: K è un processo elementare se e solo se

p(oK) [p(TK) > p(Ko) è un passo di .

2. Se p: K è elementare allora per ogni t1,t2 TK t1 co t2.

Un processo è vuoto se e solo se TK = .

Proposizione. 1. Ogni processo vuoto è elementare.2. Se p’ è un processo vuoto ed è definito p o p’ (oppure p’ o p)

allora p = p o p’ (oppure p = p’o p).

Teorema.

Se p: K è un processo, allora esiste un numero finito di processi elementari p1, …, pn tali che p = p1 o …o pn.

Processi e grafi dei casi (1)

Processi elementari corrispondono ad archi in grafi dei casi. Piú cammini in un grafo dei casi possono corrispondere allo stesso processo.

Lemma. Sia un sistema C/E senza contatti. Allora p: K è un processo elementare se e solo se c’è un arco v = (c1, G, c2) in tale che p(oK) = c1, p(Ko ) = c2, p(TK) = G.Sia un sistema senza contatti.

1. Se v è un arco in , allora v denota il processo corrispondente a v.

v è il processo di v, v è l’arco di v .

2. Siano v1, …, vn archi e sia w = v1 … vn un cammino in . Allora

w = v1 o … o vn è il processo di w e w è un cammino di w.

Esempio

Per ciascun cammino di un grafo dei casi c’è esattamente un processo corrispondente; a un singolo processo possono corrispondere piú cammini.

3,42,5

1 c 5 d 6

a 2 b 3

Sia un sistema C/E, siano c1,c2,c3 CS e G1,G2 ES .

1. Se u1 = (c1, G1, c2), u2 = (c1, G2, c3), v = (c1, G1 G2, c3) sono archi in , il cammino u1 u2 è una decomposizione di v, v è una unificazione di u1 u2.

2. Dati cammini w, w’, w’ è una permutazione di w se e solo se esistono cammini u1, …, u4 tali che w = u1 u2 u3, w’ = u1 u4 u3 e u4 è una decomposizione o una unificazione di u2.

3. Dati cammini w1, …, wn in , (w1, …, wn) è una sequenza di permutazione se e solo se per ogni i = 1, …, n-1, wi+1 è una permutazione di wi.

Proposizione. Sia un sistema C/E senza contatti, siano c1, c2, c3 C e siano

G1, G2 E disgiunti e non vuoti.

1. Se v = c1 (G1 G2) c2 è un arco in , allora esiste una decomposizione di v della forma c1 G1 c G2 c2, per un qualche c C .

2. Siano u1 = c1 G1 c3 e u2 = c3 G2 c2 archi in e sia u1 o u2 : K . Allora per ogni t1, t2 TK: t1 co t2 se e solo se c1 (G1 G2) c2 è un arco in .

Reti posto-transizione (1)

Esempio. Un sistema produttore-consumatore con limitata capacità di buffer, multipla generazione e multiplo consumo di token, limitato accesso al buffer, un contatore dei token prodotti.

K=1K =

produttore consumatore

buffer

contatore

Una sestupla N = (S,T,F,K,M,W) è una rete P/T se e solo se :

1. (S, T, F) è una rete finita, gli elementi di S sono i posti, gli elementi di T sono le transizioni.

2. K : S N {} dà la capacità di ciascun posto.

3. W : F N \ {} dà un peso a ciascun arco della rete.

4. M : S N {} è la marcatura iniziale tale che M(s) K(s) per ogni s S.

Reti posto-transizione (3)Denotiamo le componenti di una rete P/T N con SN, TN, FN, KN, MN,

Sia N una rete P/T.1. Una funzione M : SN N { } è una marcatura di N se e solo se M(s) K(s).2. Data una marcatura M, una transizione tTN è M-abilitata se e

solo se per ogni s. t M(s) ≥ WN (s,t) e per ogni s t. M(s) + WN

(t,s) KN (s). 3. Una transizione M-abilitata tTN può dare una marcatura

successiva M’ di M che per ogni s è:M(s) - WN (s,t) se e solo se s .t \ t .

M(s) + WN (t,s) se e solo se s t. \ .tM(s) - WN (s,t) + WN (t,s) se e solo se s . t t .

M(s) altrimenti.Diciamo che t porta da M a M’ e scriviamo M[t> M’.

4. Sia [M > il piú piccolo insieme di marcature tale che M [M > e, se M1 M e per qualche t TN M1 [t> M2 allora M2

1. Rete abilitata (si omettono: 1 sugli archi, sui posti)

2. Reti non abilitate

3. Selfloop non abilitate

.... 3 2

Una marcatura di una rete P/T ha un contatto per una transizione t TN se t non è M-abilitata solo perché i posti in to non hanno la capacità sufficiente.

Una rete P/T N è senza contatti (contact-free) se e solo se per ogni M [MN> e per ogni t TN

se s . t M(s) WN (s,t) allora s t . KN (s) - WN (t,s) M(s)

Reti posto-transizione (5)Costruzione della rete completata:

Data una rete P/T N la corrispondente rete N’ è ottenuta aggiungendo nuovi posti e nuovi archi. Per ogni posto s di N aggiungiamo un nuovo posto s e per tutti gli archi (t,s) e (s,t) di FN aggiungiamo nuovi archi (s,t) e (t, s), rispettivamente, tali che WN’ (s,t) = WN (t,s) e WN’ (t,s) = WN (s,t).

Assumiamo la capacità KN’ (s) = KN (s).

Per i nuovi posti s la marcatura iniziale MN’ (s) = KN (s) - MN (s).La rete risultante è senza contatti: per ogni marcatura raggiungibile M si ha MN’ (s) + MN’ (s) = KN’ (s).

Date marcature M di N e M’ di N’ ogni transizione t è M-abilitata in N se e solo se è M’-abilitata in N’. Inoltre si possono sostituire tutte le capacità finite KN (s) N in N’ con senza cambiare il comportamento di N’.

2 .. ..

2K=5 K=5

Complementazione di una rete

Rappresentazione in algebra lineare (1)

Sia N = (S,T,F,K,M,W) una rete P/T.

Per una transizione t T, sia il vettore t : S Z definito come:

t (s) = W(t,s) se e solo se s t. \ .tt (s) = -W(s,t) se e solo se s . t \ t . t (s) = W(t,s) - W(s,t) se e solo se s . t t .

t (s) = 0 altrimenti

Sia la matrice N: S T Z definita come N(s,t) = t (s).

Ogni marcatura può essere rappresentata da un vettore.

1 -1 1

3 -2 3

1 -1 2

t1 t2 t3 t4 t5 marcatura

K=1K =

produttore consumatore

buffer

contatore

3 2t1 t2 t3

La rappresentazione è non ambigua solo per reti pure. In questo caso possono essere derivate le componenti. Se si chiede anche che N sia senza contatti il comportamento di N è pienamente determinato dalla matrice N e dal vettore MN.

Corollario. Sia N una rete P/T e M, M’: SN N {} due marcature

di N. Allora per ogni transizione t TN

1. Se t è M-abilitato allora M [t> M’ M + t = M’

Se N è pura, allora anche :

2. t è M-abilitata 0 M + t KN

3. N è senza contatti M [MN> : (0 M + t M + t KN ).

Per reti con capacità infinita vale la seguente proprietà dimonotonicità.

Lemma. Sia N una rete P/T con s SN : KN (s) = .

Siano M1, M2: SN N {} due marcature di N. Si ha

1. M1 [t> M M1+ M2 [t> M + M2

2. M [M1> M + M2 [M1 + M2>

Grafo di copertura (1)Idea: rappresentare le (infinite) marcature raggiungibili mediante un grafo finito. I nodi del grafo rappresentano o “coprono” le marcature raggiungibili.

Assumiamo senza perdere generalità KN (s) = per ogni s SN.

Ogni nodo E del grafo di copertura deve essere pensato come una marcatura della rete; alcuni nodi lo saranno, altri ricopriranno marcature raggiungibili.

Vediamo come nascono sequenze infinite di marcature raggiungibili. Supponiamo M, M’ raggiungibili e M’ [M>. Supponiamo che per ogni posto s sia M(s) M’(s) e M M’ (scriviamo M < M’) e che KN (s) = in tutti i posti dove M’(s) > M(s).

Allora ogni transizione abilitata in M è anche abilitata in M’ e ripetendo la catena di transizioni che ha portato da M a M’ otteniamo una nuova marcatura M” con M’ < M”.

Iterando si ha una sequenza di marcature distinte Mi, i = 1,2, …, con la proprietà che

Mi(s)=M(s) se M’(s)=M(s), mentre

Mi+1(s)>Mi(s) se M’(s)>M(s).

La sequenza sarà rappresentata nel grafo da un nodo di copertura H

con H(s)=M(s) se M’(s)=M(s)

e H(s) = se il numero di token su s è crescente.

Grafo di copertura (2)

Sia N una rete P/T con capacità infinite e sia G = G0, G1 , … la sequenza

di grafi che soddisfa le richieste seguenti:

1. G0 = ({MN}, )

2. Sia Gi = (H, P). Sia E H e sia t TN tale che

(a) t è E-abilitata

(b) nessun arco da E è t-iscritto, ossia E’ tale che (E,t,E’) P.

Allora definiamo la marcatura E~, per ogni s SN,

con E~(s) = se esiste un nodo E’ in H tale che E’ E + t e

E’(s) E(s) + t(s) ed esiste un cammino da E’ a E in Gi,

E~(s) = E(s) + t (s) altrimenti,

e sia Gi+1 = (H {E~}, P {(E,t, E~ )}).

3. Se non è possibile costruire Gi+1 seguendo 2 allora si ha Gi+1 = Gi.

G è detta sequenza di copertura e G = ( Hi, Pi) è il grafo di copertura generato da G.

Si noti che nella costruzione la marcatura può essere già contenuta in H, essendo un nodo di Gi. In questo caso in Gi+1 è aggiunto un nuovo arco (E,t, E~, ), ma non un nuovo nodo.

Grafo di copertura (5)Esempio. Si abbia la rete

La rete ha due grafi di copertura (gli indici sugli archi denotano l’ordine di generazione)

010 01w 0ww

010 0ww

Ogni marcatura raggiungibile è coperta da un nodo del grafo di copertura.

Lemma. Sia G un grafo di copertura di una rete P/T N. Per ogni sequenza MN [t1> M1 … Mn-1 [tn> Mn esiste un cammino

E0 t1E1 … En-1tnEn in G tale che MN = E0 e per ogni i = 1, …, n Mi Ei .

Sia N una rete P/T e E: SN N {}. Sia E un nodo di G.1. Sia (E)={s SN|E(s)=}

2. Per i N una marcatura M di N è una i-marcatura se e solo se s (E) M(s) i e s (E) M(s) = E(s)

3. Sia ME[MN> un insieme minimale tale che per ogni i N esiste una i-marcatura M di E in ME. Allora ME è chiamato insieme di copertura di E.

Lemma.Sia G un grafo di copertura di una rete P/T N.Per ogni E di G esiste un insieme di copertura ME.

TeoremaOgni grafo di copertura di una rete P/T è finito.

100 001

Le due reti hanno lo stesso grafo di copertura. Non mostra che in N1 la transizione c può essere eseguita un numero qualsiasi di volte (indipendentemente da a).

c ca a

Dimostrazione di proprietà con i grafi di copertura (1)

Teorema

Sia N una rete P/T, M: SN N {} una marcatura arbitraria e G un grafo di copertura di N.Una marcatura M’ [MN> con MM’ esiste se e solo se

1. per ogni s SN, M(s) = MN(s) = 2. esiste un nodo E in G tale che M E.

Prova. Se MN(s) allora per ogni M’ [MN> si ha M’ (s) .SiaM’ [MN>, dato che esiste un nodo di G tale che M’ E, allora anche anche M E.Facilmente si vede il viceversa.

Sia N una rete P/T, S SN . L’insieme di posti S è simultaneamente illimitato se per ogni i N esiste Mi [MN> tale che per ogni s S Mi (s) i.

TeoremaSia N una rete P/T, S SN e G un grafo di copertura di N. Allora S è simultaneamente illimitato se e solo se esiste un nodo E in G tale che ogni s S E(s) = .

Sia N una rete P/T, M: SN N {} una marcatura arbitraria e sia t TN . La transizione t è M-morta se per ogni M’ [MN> t non è M’-abilitata.

TeoremaSia N una rete P/T, t TN e G un grafo di copertura di N. Allora t èMN-morta se solo se non esiste un arco (E,t,E’) in G.

TeoremaSia N una rete P/T, t TN e G un grafo di copertura di N. Allora l’insieme [MN> di marcature raggiungibili è finito se e solo se nessun nodo di G ha una componente .

Proprietà di “Liveness” (1)

In rappresentazioni di sistemi mediante reti, gli elementi attivi (processori, agenti, ...) sono rappresentati come transizioni, gli elementi passivi (buffer, memorie, ...) come posti e gli

elementi assegnabili come token.

Situazioni di blocco sono viste come transizioni che non possono piú

essere eseguite.

Queste reti non sono “vive”.

Sia N una rete P/T, sia t TN

1. t è viva se e solo se per ogni M [MN> esiste M’ [M> tale che t e’ M’-abilitata.

2. N è viva se e solo se per ogni t TN, t è viva.

Proprietà di “Liveness” (2)

Non è vero che aggiungendo token alla marcatura iniziale di una rete viva si ottiene ancora una rete viva.

Questa rete è viva.

Proprietà di “Liveness”

Non è vero che aggiungendo token alla marcatura iniziale di una rete viva si ottiene ancora una rete viva. Questa rete non è viva.

Proprietà di “Liveness”

E` stato dimostrato che esiste una successione di reti di Petri con dimensioni linearmente crescenti tali che i corrispondenti grafi di copertura crescono rispetto al numero dei nodi piú velocemente di una qualsiasi funzione ricorsiva primitiva. Si ha di conseguenza che prese due reti P/T N, N’ con SN = SN’ è decidibile, ma non in tempo o spazio ricorsivo primitivo se [MN> [MN> o se [MN> = [MN>.

Problema della raggiungibilità

Teorema. Data rete rete P/T N e una marcatura arbitraria M è decidibile se M [MN>.

Invarianti di rete (1)

Proprietà di una rete P/T possono essere studiate individuando insiemi di posti che non cambiano il loro conteggio di token durante lo sparo delle transizioni. Tali insiemi di posti sono chiamati S-invarianti e sono caratterizzati come soluzioni di sistemi di equazioni lineari calcolabili con metodi dell’algebra lineare.

Esempio.t1 s2 t2

t3 s4 t4

Consideriamo una rete P/T N con peso degli archi 1. Vogliamo caratterizzare l’insieme dei posti S SN tale che non cambia il conteggio totale dei token quando le transizioni sparano. Se S è un tale insieme di posti e s S allora per ciascuna

transizione t s. che può essere abilitata ci deve essere un

posto s’ t. che è contenuto in S (intuitivamente un token fluisce lungo gli archi (s,t) e (t,s’) da s a s’). Analogamente per

ogni transizione t .s che può essere abilitata ci deve essere

un posto s’ .t tale che un token fluisce lungo (s’,t) e (t,s) da s’ a s. Cosí S può essere caratterizzato da un insieme F di archi che soddisfa le richieste seguenti: 1) quando un arco appartenente a F parte o termina in un posto s allora tutti gli archi da e a s appartengono a F 2) per ciascun arco di F che termina in qualche transizione t c’è esattamente un arco appartenente a F che parte in t. Nell’esempio il conteggio dei token è costante per {s1,s2,s4,s5} e per {s1, s3, s4}.

Il metodo non funziona se ci sono pesi degli archi maggiori di 1. In questo caso se il conteggio su S SN non cambia

quando spara una transizione t TN allora s . tSW(s,t) = s

t . SW(t,s) che equivale a s.tS t(s) = - st.S t(s) e anche a

s.tS t(s) + s t.S t(s) = 0 e anche a

s (. t t.) S t(s) = 0 e a sS t(s) = 0. Se sostituiamo S con il

suo vettore caratteristico cS abbiamo sSN t(s) . cS(s) = 0 o anche t . cS = 0.

Se il conteggio su S SN non cambia sotto sparo di transizioni arbitrarie la condizione t . cS = 0 deve essere soddisfatta per tutte le transizioni ti TN e quindi deve valere N’. cS = 0 con N’ la trasposta di N. Viceversa ogni soluzione c di N’. x = 0 è vettore caratteristico di un insieme di posti con conteggio costante.

Data una rete P/T N un vettore i: SN Z è un S-invariante di

N se N’. i = 0.

Lemma. Se i1, i2 sono S-invarianti di una rete N e m Z anche m . i1 e i1 + i2 sono S-invarianti di N.

Esempio

t1 t2 t3 t4 t5 i1 i2 i3 i4 s1 -1 -1 1 1 1 2

s2 1 -1 1 1 1

s3 1 1 -1 1 1 1

s4 1 -1 1 1 2

s5 1 1 -1 1 1 1

I vettori i1 e i2 sono vettori caratteristici e il fatto che siano S-invarianti è interpretato che gli insiemi di posti {s1, s3, s4} e {s1, s2, s4, s5} hanno un conteggio dei token costante.

Possiamo dare un’interpretazione anche alle soluzioni che non sono vettori caratteristici. Il vettore i3 ci dice che un token su s1 conta quanto un token su s2 e un token su s3. Similmente un token su s4 conta quanto un token su s3 e un token su s5.

I token su s1 e s4 hanno un peso doppio rispetto ai token su s2. S3e s5. Se consideriamo questi pesi abbiamo conteggi di token pesati che rimangono costanti durante gli spari della rete.

Siano M1 e M2 due marcature della rete dell’esempio e sia t una transizione tale che M1 [t> M2. Allora

2M1(s1) + 2M1(s4) + M1(s2) + M1(s3) + M1(s5) = 2M2(s1) + 2M2(s4) + M2(s2) + M2(s3) + M2(s5)

Con l’invariante i3

M1 . i3 = M2 . i3

Gli insiemi di posti con conteggio costante dei token sono ottenuti da insiemi di archi che portano da un posto in .t a un posto in t. . Si ha il lemma seguente.

Lemma. Sia N una rete P/T con un S-invariante positivo i e sia S = {s SN | i(s) > 0}. Allora .S = S..

Teorema. Sia N una rete P/T. Allora, per ciascun invariante i di N e ciascuna marcatura raggiungibile M [MN>, M . i =

MN . i.

Prova. Siano M1, M2 [MN> e tTN tale che M1[t>M2.

Allora M1 = M2 + t e t . i = 0 perché i è un invariante. Perciò M2 . i = (M1 + t ) . i = M1 . i.

L’inverso del teorema assume che ogni transizione possa sparare almeno una volta, e quindi è vero in particolare per reti vive.

Teorema. Sia N una rete P/T viva e sia i: SN Z un vettore di

posti tale che, per ogni M [MN>, M . i = MN . i. Allora I è un

S-invariante.

Una rete P/T è coperta da S-invarianti se per ciascun posto s SN esiste un S-invariante positivo i di N con i(s) > 0.

Corollario. Se una rete P/T è coperta da S-invarianti esiste un invariante i con i(s) > 0 per ogni s SN .

Prova. Dal fatto che la somma degli invarianti è un invariante.

Una rete P/T è limitata se e solo se MN è finita ed esiste un n N tale che, per ogni M [MN> e s SN , n M(s).

Teorema. Sia N una rete P/T e MN sia finita. Se N è coperta da S-invarianti allora N è limitata.

Verifica di proprietà con gli S-invarianti (1)

Esempio. Supponiamo che a n processi in un sistema operativo sia consentito l’accesso a un buffer in lettura e scrittura. Quando nessun processo scrive nel buffer fino a n processi possono leggere, ma l’accesso al buffer per scrivere è consentito a un processo fin quando nessun altro processo sta leggendo o scrivendo nel buffer.

Ogni processo è in uno di cinque stati rappresentati dai posti s0: processi inattivi, s1: processi pronti a leggere, s2: processi che leggono, s3: processi pronti a scrivere, s4: processi che scrivono, s5: sincronizzazione. Nello stato iniziale tutti i processi sono inattivi, quindi in s0 contiene n token. Il posto s5 contiene k token, quanti sono i processi che possono leggere nel buffer concorrentemente. Quando siano state eventualmente effettuate fino a k letture fino a n processi possono scrivere nel buffer

t0 t1 t2 t3 t4 t5 i1 i2 MN

s0 -1 1 -1 1 1 n

s1 1 -1 1

s2 1 -1 1 1

s3 1 -1 1

s4 1 -1 1 k

s5 -1 1 -k k 1 k

Usando l’invariante i1 abbiamo per ciascuna marcatura M [MN>

4 i 0 M(si) = 4 i 0 MN (si) = n

Ossia il numero dei processi rimane costante e ogni processo è in uno degli stati s0, s1, s2, s3, s4.

Usando l’invariante i2 abbiamo per ciascuna marcatura M [MN>

M(s2) + k.M(s4) + M(s5) = MN (s2) + k.MN (s4) + MN(s5) = k

Quindi s4 contiene al piú un token sotto M, ossia un solo processo può scrivere. Quando s4 ha un token s2 e s5 sono vuoti, ossia nessun processo può leggere il buffer. Il posto s2 ha al più k token, ossia al più k processi leggono concorrentemente (questo avviene quando M(s4)=0.

Si può anche vedere che la rete è viva.

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