Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione

Espansioni asintotiche localilegate alla quantizzazione geometrica

di varieta di Kahler con simmetria

Simone Camosso

27 Nov 2012

Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione

Indice

1 Varieta proiettive polarizzate

2 Il nucleo di Szego

3 In presenza di simmetria

4 Generalizzazione

Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione

Varieta proiettive polarizzate

Definizione

Una varieta proiettiva polarizzata e una varieta proiettivacomplessa n-dimensionale (M, J) a cui viene associata la coppia(A, h) con A fibrato in rette ampio hermitiano su M e h strutturahermitiana.

Sia

Θ =curv(∇) = −2iω;

π : (A, h)→ (M, J) la proiezione del fibrato in rette;

X ⊆ A∗ fibrato in cerchi unitario;

π|X : X → M la proiezione del fibrato in cerchi.

Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione

Varieta proiettive polarizzate

Osservazione

(M, J, 2ω) e una varieta di Kahler.

Definizione

Si definisce spazio di Hardy lo spazio H(X ) = L2(X )∩Ker(∂b) cheammette la seguente decomposizione

H(X ) =⊕k

Hk(X )

dove i sottospazi

Hk(X ) = {f ∈ C∞(X ) : f (e iϕx) = e ikϕf (x)} ∩ Ker(∂b)

sono detti k-spazi di Hardy e l’operatore ∂b e l’operatore al bordodi Cauchy-Riemann.

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Il nucleo di Szego

Definizione

Si definisce proiettore di Szego equivariante il proiettore ortogonaleΠk : L2(X )→ Hk(X ) dove ∀f ∈ L2(X ) si ha che

Πk(f ) =∑j

〈f , s(k)j 〉L2(X )s

(k)j

dove (s(k)j )dkj=1 e una base ortonormale di Hk(X ) ∼= H0(M,A⊗k).

Espandendo la scrittura si ha

(Πk(f )) (x) =∫X

∑j s

(k)j (x)s

(k)j (y)f (y)dVX (y).

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Il nucleo di Szego

Definizione

Si definisce nucleo di Szego equivariante

Πk(x , y) =∑j

s(k)j (x)s

(k)j (y).

Osservazione

Se x = y e π(x) = m si ha la funzione distorsiva di Kempf

Kk(m) =∑dk

j=1 ‖s(k)j (m)‖2

m =∑dk

j=1 |s(k)j (x)|2;

vale la seguente espansione asintotica

Kk(m) ∼(kπ

)d [1 + a1k

−1 + a2k−2 + · · ·

]con

aj ∈ C∞(M)(Tian, Yau, Zelditch);

se x 6= y allora Πk(x , y) = O(k−∞).

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Il nucleo di Szego

Osservazione

Per x , y ∈ X e x → y esiste un limite riscalato

Πk(x , y) = Πk

(x + w√

k, x + v√

k

)∼(

kπ

)neψ2(w ,v)+ik(θ−ϕ)

(1 +

∑j≥1 aj(x ,w , v)k−

j2

)dove

ψ2(w , v) = w · v − 12‖v‖

2 − 12‖w‖

2. Il termine dominanteuniversale riproduce il nucleo di Szego del gruppo ridotto diHeisenberg Hn

red , fibrato in cerchi unitario del fibrato in retteCn × C dotato di metrica hermitianah((z ,w), (z ′,w ′)) = ww ′e−zz

′. In questo caso le coordinate

di Heisenberg centrate in (0, 1) sono (·, ·) : Cn × (−π, π)→ Xe ad ogni (z , θ) 7→ (z , e−‖z‖

2/2+iθ).

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In presenza di simmetria

Si consideri G un gruppo di Lie compatto connesso g -dimensionaletale per cui

G y (M, 2ω, J) hamiltoniana;

0g∗ un valore regolare per ΦG (mappa momento associata allaforma 2ω);

sia M ′ = Φ−1G (0).

Definizione

Siano {V$}$∈Θ le rappresenzationi irriducibili di G , per ogni$ ∈ Θ si definisce isotipo H0

$(M,A⊗k) il piu grande sottospazio diH0(M,A⊗k) equivariante isomorfo a coppie di V$.

Si consideri pertanto la decomposizione

H0(M,A⊗k) =⊕$∈Θ

H0$(M,A⊗k).

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In presenza di simmetria

Sotto le ipotesi precedenti valgono le seguenti stime

Se x 6∈ G · y (o x , y 6∈ M ′) allora Π$k(x , y) = O(k−∞);

se x , y ∈ M ′ e x → y vale la seguente stima con limiteriscalato

Teorema (1)

Sia x ∈ X e ΦG (π(x)) = 0, si scelga un sistema di coordinate diHeisenberg centrato in x, allora per ogni $ ∈ Θ e w , v ∈ Tπ(x)Mvale la stimaΠ$k

(x + w√

k, x + v√

k

)∼(kπ

)n− g2 eQ(wv+wt ,vv+vt)+ik(θ−ϕ)·

·∑

g∈GmA$,k(g , x) · eψ2(wgh,vh) ·

(1 +

∑j≥1 a$j(x ,wg , v)k−

j2

).

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In presenza di simmetria

Osservazione

Nel teorema precedenteψ2(wgh, vh) = wgh · vh − 1

2 (‖wgh‖2 + ‖vh‖2),eQ(wv +wt , vv +vt) = −‖vt‖2−‖wt‖2 + i [ωm(wv ,wt)−ωm(vv , vt)]e a$j sono polinomi in wg , v con coefficienti dipendenti da x e $.

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In presenza di simmetria

Esempio

Si consideri la rappresentazione unitaria di S1 su C2 data dat · (z0, z1) = (t−1z0, tz1), discende da un’azione simplettica su P1

(linearizzazione sul fibrato in rette iperpiano). La mappa momentoassociata

Φ : P1 → R [z0 : z1] 7→ −|z0|2 + |z1|2

|z0|2 + |z1|2.

Chiaramente ogni [z0 : z1] ∈ Φ−1(0) ha sottogruppo stabilizzatore{±1}. Dal fatto che ogni S1-orbita in S3 ha lunghezza 2π edoppiamente riveste la sua immagine in P1 il volume effettivo e π

su Φ−1(0) e A$,k([z0 : z1]) =

{ √2π k ≡ $( mod 2)0 k 6≡ $( mod 2)

. Dato che

µt(zl0z

k−l1 ) = t2l−kz l0z

k−l1 si ha che per $ ∈ Z e k ∈ N

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In presenza di simmetria

Esempio

H0$(P1,OP1(k)) =

span

{z

$+k2

0 z−$+k

21

}k ≡ $( mod 2)

0 k 6≡ $( mod 2)

si supponga che k = $ + 2s, s ∈ N, scelto (z0, z1) ∈ S3 cheinterseca [z0 : z1] per l’espressione matematica delle sezioni su

H0(Pn,O(k)) cioe SkJ =

√(k+n)!πnJ! zJ e per la formula di Stirling si

ha che

Π$k([z0 : z1], [z0 : z1]) ∼ 1

π

√s

π2$+2s+1|z0|2($+s)|z1|2s .

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In presenza di simmetria

Esempio

Se [z0 : z1] ∈ Φ−1(0), si ha |z0|2 = |z1|2 = 12 , si ottiene

Π$k([z0 : z1], [z0 : z1]) ∼ A$,k([z0, z1])

√k

π.

come afferma il teorema 1. Nel caso in cui |z0| 6= |z1| si hadecrescenza rapida.

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In presenza di simmetria

Si consideri adesso T1 toro unidimensionale (analogamente per Tg )tale per cui

T y (M, 2ω, J) hamiltoniana;

t∗ = R;

0t∗ non appartenente all’immagine di ΦT (si suppongaΦT > 0).

Esempio

Se l’azione del toro e triviale allora ΦT = 1 e l’azione e quellastandard di S1.

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In presenza di simmetria

Sia µ : T1 ×M → M l’azione hamiltoniana del toro e sia µ ilsollevamento che in generale dipende dalla mappa momento. Perogni k ∈ Z si definisce

Definizione

Hk(X ) = {s ∈ H(X ) : s(µt−1(x)) = tks(x)∀t ∈ T, x ∈ X}.

Osservazione

Nel caso standard di S1 con H(X ) = H(A) =⊕

k∈ZHk(A) =⊕k∈Z Hk(X ) = H0(M,A⊗k).

In generale lo spazio Hk(X ) e diverso dallo spazio delle sezioniglobali olomorfe di qualche potenza di A.

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In presenza di simmetria

Esempio

Si consideri ad esempio l’azione T× C2 → C2 definitat · (z0, z1) = (tz0, t

sz1) con s ≥ 1, questa determina una azione su

P1 con Φ([z0 : z1]) = |z0|2+s|z1|2|z0|2+|z1|2 , A = OP1(1), l’azione sul duale e

quella indotta dalla corrispondenza di incidenza{(v , [z ]) : v ∧ z = 0} ⊆ C2 × P1 e preserva la sfera S3 di C2. Inquesto caso Hk(A) e generato dei monomi Z a

0Zb1 con a + sb = k,

se k = sk0 + k1 con 0 ≤ k1 < s allora(a, b) = (k1, k0), (k1 + s, k0 − 1), · · · , (k , 0) e dim(Hk) = k0 + 1.Inoltre se a = k1 + js e b = k0 − j allora a + b = k1 + k0 + j(s − 1)e se s ≥ 2, nessuna coppia dei generatori sono sezioni di A⊗l peruguali l , quindi Hk(A) non puo essere interpretato come spaziodelle sezioni di qualche potenza di A.

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In presenza di simmetria

Teorema (2)

Sia µ : T1 ×M → M l’azione olomorfa e hamiltoniana su (M, 2ω)e µ : T1 × A→ A la sua linearizzazione, si assuma che h siaµ-invariante allora

Πk = 0 ∀k ≤ 0;

∀ε,C > 0, uniformemente per distX (T · x ,T · y) ≥ Ckε−12 si

ha Πk(x , y) = O(k−∞) per k → +∞;

Uniformemente per x ∈ X e vl ∈ TxX tale per cui

vl ∈ ξX (x)⊥, ‖vl‖ ≤ Ck19 , per k → +∞ si ha

Πk

(x + v1√

k, x + v2√

k

)∼(kπ

)nΦT(m)−(n+1)e i

√k(θ1−θ2)/ΦT(m)(∑

t∈TmtkeE(dx µt−1 (v1),v2)

)·(

1 +∑

j≥1 Rj(m, v1, v2)k−j2

).

con Rj polinomi in vl .

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In presenza di simmetria

Osservazione

Se x ∈ X e vj = (θj , ~vj) ∈ TxX la funzione E : TX ⊕ TX → C edefinita comeE (v1, v2) = 1

ΦT(m) ·{i[θ2−θ1ΦT(m)ωm(ξM(m), ~v1 + ~v2)− ωm(~v1, ~v2)

]−1

2‖(~v1 − ~v2)− θ2−θ1ΦT(m)ξM(m)‖2

}.

Se (θ2 − θ1)ξM(m) = 0, allora E (v1, v2) = ψ2(~v1,~v2)ΦT(m) .

Corollario

Sotto le ipotesi del teorema precedente vale l’espansione perk → +∞Πk(x , x) ∼

(kπ

)nΦT(m)−(n+1)

∑g∈Tm

gk ·(

1 +∑

j≥1 Bj(m)k−j).

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Generalizzazione

Si consideri G un gruppo di Lie compatto connesso g -dimensionalee T un toro unidimensionale tale per cui

G y (M, ω, J) hamiltoniana con mappa momento ΦG ;

T y (M, ω, J) hamiltoniana con mappa momento ΦT;

L’azione di G commuta con l’azione di T;

Idea: Se nel caso standard G agiva su ogni Hk(X ) ∼= H0(M,A⊗k)in modo unitario e si considerava la decomposizioneHk(X ) =

⊕$ H$k(X ) quello che si vuole fare ora e un’analisi

analoga con H$k(X ) sostituito da H$k(X ) e quindi Π$k(x , y)sostituito da Π$k(x , y) definito in modo analogo

Π$k(x , y) =∑j

s($,k)j s

($,k)j

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Generalizzazione

dove{s

($,k)j

}d$,k

j=1e un sistema ortonormale per H(X )$k . Quindi

per ogni k si avra un’azione unitaria indotta di G su Hk(X ), si puoconsiderare la decomposizione Hk(X ) =

⊕$ H$k(X ) e per ogni $

fissato studiare il limite riscalato di Π$k(x , y) per k → +∞.