Quantization
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
Espansioni asintotiche localilegate alla quantizzazione geometrica
di varieta di Kahler con simmetria
Simone Camosso
27 Nov 2012
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
Indice
1 Varieta proiettive polarizzate
2 Il nucleo di Szego
3 In presenza di simmetria
4 Generalizzazione
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
Varieta proiettive polarizzate
Definizione
Una varieta proiettiva polarizzata e una varieta proiettivacomplessa n-dimensionale (M, J) a cui viene associata la coppia(A, h) con A fibrato in rette ampio hermitiano su M e h strutturahermitiana.
Sia
Θ =curv(∇) = −2iω;
π : (A, h)→ (M, J) la proiezione del fibrato in rette;
X ⊆ A∗ fibrato in cerchi unitario;
π|X : X → M la proiezione del fibrato in cerchi.
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
Varieta proiettive polarizzate
Osservazione
(M, J, 2ω) e una varieta di Kahler.
Definizione
Si definisce spazio di Hardy lo spazio H(X ) = L2(X )∩Ker(∂b) cheammette la seguente decomposizione
H(X ) =⊕k
Hk(X )
dove i sottospazi
Hk(X ) = {f ∈ C∞(X ) : f (e iϕx) = e ikϕf (x)} ∩ Ker(∂b)
sono detti k-spazi di Hardy e l’operatore ∂b e l’operatore al bordodi Cauchy-Riemann.
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
Il nucleo di Szego
Definizione
Si definisce proiettore di Szego equivariante il proiettore ortogonaleΠk : L2(X )→ Hk(X ) dove ∀f ∈ L2(X ) si ha che
Πk(f ) =∑j
〈f , s(k)j 〉L2(X )s
(k)j
dove (s(k)j )dkj=1 e una base ortonormale di Hk(X ) ∼= H0(M,A⊗k).
Espandendo la scrittura si ha
(Πk(f )) (x) =∫X
∑j s
(k)j (x)s
(k)j (y)f (y)dVX (y).
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
Il nucleo di Szego
Definizione
Si definisce nucleo di Szego equivariante
Πk(x , y) =∑j
s(k)j (x)s
(k)j (y).
Osservazione
Se x = y e π(x) = m si ha la funzione distorsiva di Kempf
Kk(m) =∑dk
j=1 ‖s(k)j (m)‖2
m =∑dk
j=1 |s(k)j (x)|2;
vale la seguente espansione asintotica
Kk(m) ∼(kπ
)d [1 + a1k
−1 + a2k−2 + · · ·
]con
aj ∈ C∞(M)(Tian, Yau, Zelditch);
se x 6= y allora Πk(x , y) = O(k−∞).
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
Il nucleo di Szego
Osservazione
Per x , y ∈ X e x → y esiste un limite riscalato
Πk(x , y) = Πk
(x + w√
k, x + v√
k
)∼(
kπ
)neψ2(w ,v)+ik(θ−ϕ)
(1 +
∑j≥1 aj(x ,w , v)k−
j2
)dove
ψ2(w , v) = w · v − 12‖v‖
2 − 12‖w‖
2. Il termine dominanteuniversale riproduce il nucleo di Szego del gruppo ridotto diHeisenberg Hn
red , fibrato in cerchi unitario del fibrato in retteCn × C dotato di metrica hermitianah((z ,w), (z ′,w ′)) = ww ′e−zz
′. In questo caso le coordinate
di Heisenberg centrate in (0, 1) sono (·, ·) : Cn × (−π, π)→ Xe ad ogni (z , θ) 7→ (z , e−‖z‖
2/2+iθ).
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
In presenza di simmetria
Si consideri G un gruppo di Lie compatto connesso g -dimensionaletale per cui
G y (M, 2ω, J) hamiltoniana;
0g∗ un valore regolare per ΦG (mappa momento associata allaforma 2ω);
sia M ′ = Φ−1G (0).
Definizione
Siano {V$}$∈Θ le rappresenzationi irriducibili di G , per ogni$ ∈ Θ si definisce isotipo H0
$(M,A⊗k) il piu grande sottospazio diH0(M,A⊗k) equivariante isomorfo a coppie di V$.
Si consideri pertanto la decomposizione
H0(M,A⊗k) =⊕$∈Θ
H0$(M,A⊗k).
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
In presenza di simmetria
Sotto le ipotesi precedenti valgono le seguenti stime
Se x 6∈ G · y (o x , y 6∈ M ′) allora Π$k(x , y) = O(k−∞);
se x , y ∈ M ′ e x → y vale la seguente stima con limiteriscalato
Teorema (1)
Sia x ∈ X e ΦG (π(x)) = 0, si scelga un sistema di coordinate diHeisenberg centrato in x, allora per ogni $ ∈ Θ e w , v ∈ Tπ(x)Mvale la stimaΠ$k
(x + w√
k, x + v√
k
)∼(kπ
)n− g2 eQ(wv+wt ,vv+vt)+ik(θ−ϕ)·
·∑
g∈GmA$,k(g , x) · eψ2(wgh,vh) ·
(1 +
∑j≥1 a$j(x ,wg , v)k−
j2
).
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
In presenza di simmetria
Osservazione
Nel teorema precedenteψ2(wgh, vh) = wgh · vh − 1
2 (‖wgh‖2 + ‖vh‖2),eQ(wv +wt , vv +vt) = −‖vt‖2−‖wt‖2 + i [ωm(wv ,wt)−ωm(vv , vt)]e a$j sono polinomi in wg , v con coefficienti dipendenti da x e $.
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
In presenza di simmetria
Esempio
Si consideri la rappresentazione unitaria di S1 su C2 data dat · (z0, z1) = (t−1z0, tz1), discende da un’azione simplettica su P1
(linearizzazione sul fibrato in rette iperpiano). La mappa momentoassociata
Φ : P1 → R [z0 : z1] 7→ −|z0|2 + |z1|2
|z0|2 + |z1|2.
Chiaramente ogni [z0 : z1] ∈ Φ−1(0) ha sottogruppo stabilizzatore{±1}. Dal fatto che ogni S1-orbita in S3 ha lunghezza 2π edoppiamente riveste la sua immagine in P1 il volume effettivo e π
su Φ−1(0) e A$,k([z0 : z1]) =
{ √2π k ≡ $( mod 2)0 k 6≡ $( mod 2)
. Dato che
µt(zl0z
k−l1 ) = t2l−kz l0z
k−l1 si ha che per $ ∈ Z e k ∈ N
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
In presenza di simmetria
Esempio
H0$(P1,OP1(k)) =
span
{z
$+k2
0 z−$+k
21
}k ≡ $( mod 2)
0 k 6≡ $( mod 2)
si supponga che k = $ + 2s, s ∈ N, scelto (z0, z1) ∈ S3 cheinterseca [z0 : z1] per l’espressione matematica delle sezioni su
H0(Pn,O(k)) cioe SkJ =
√(k+n)!πnJ! zJ e per la formula di Stirling si
ha che
Π$k([z0 : z1], [z0 : z1]) ∼ 1
π
√s
π2$+2s+1|z0|2($+s)|z1|2s .
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
In presenza di simmetria
Esempio
Se [z0 : z1] ∈ Φ−1(0), si ha |z0|2 = |z1|2 = 12 , si ottiene
Π$k([z0 : z1], [z0 : z1]) ∼ A$,k([z0, z1])
√k
π.
come afferma il teorema 1. Nel caso in cui |z0| 6= |z1| si hadecrescenza rapida.
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
In presenza di simmetria
Si consideri adesso T1 toro unidimensionale (analogamente per Tg )tale per cui
T y (M, 2ω, J) hamiltoniana;
t∗ = R;
0t∗ non appartenente all’immagine di ΦT (si suppongaΦT > 0).
Esempio
Se l’azione del toro e triviale allora ΦT = 1 e l’azione e quellastandard di S1.
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
In presenza di simmetria
Sia µ : T1 ×M → M l’azione hamiltoniana del toro e sia µ ilsollevamento che in generale dipende dalla mappa momento. Perogni k ∈ Z si definisce
Definizione
Hk(X ) = {s ∈ H(X ) : s(µt−1(x)) = tks(x)∀t ∈ T, x ∈ X}.
Osservazione
Nel caso standard di S1 con H(X ) = H(A) =⊕
k∈ZHk(A) =⊕k∈Z Hk(X ) = H0(M,A⊗k).
In generale lo spazio Hk(X ) e diverso dallo spazio delle sezioniglobali olomorfe di qualche potenza di A.
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
In presenza di simmetria
Esempio
Si consideri ad esempio l’azione T× C2 → C2 definitat · (z0, z1) = (tz0, t
sz1) con s ≥ 1, questa determina una azione su
P1 con Φ([z0 : z1]) = |z0|2+s|z1|2|z0|2+|z1|2 , A = OP1(1), l’azione sul duale e
quella indotta dalla corrispondenza di incidenza{(v , [z ]) : v ∧ z = 0} ⊆ C2 × P1 e preserva la sfera S3 di C2. Inquesto caso Hk(A) e generato dei monomi Z a
0Zb1 con a + sb = k,
se k = sk0 + k1 con 0 ≤ k1 < s allora(a, b) = (k1, k0), (k1 + s, k0 − 1), · · · , (k , 0) e dim(Hk) = k0 + 1.Inoltre se a = k1 + js e b = k0 − j allora a + b = k1 + k0 + j(s − 1)e se s ≥ 2, nessuna coppia dei generatori sono sezioni di A⊗l peruguali l , quindi Hk(A) non puo essere interpretato come spaziodelle sezioni di qualche potenza di A.
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
In presenza di simmetria
Teorema (2)
Sia µ : T1 ×M → M l’azione olomorfa e hamiltoniana su (M, 2ω)e µ : T1 × A→ A la sua linearizzazione, si assuma che h siaµ-invariante allora
Πk = 0 ∀k ≤ 0;
∀ε,C > 0, uniformemente per distX (T · x ,T · y) ≥ Ckε−12 si
ha Πk(x , y) = O(k−∞) per k → +∞;
Uniformemente per x ∈ X e vl ∈ TxX tale per cui
vl ∈ ξX (x)⊥, ‖vl‖ ≤ Ck19 , per k → +∞ si ha
Πk
(x + v1√
k, x + v2√
k
)∼(kπ
)nΦT(m)−(n+1)e i
√k(θ1−θ2)/ΦT(m)(∑
t∈TmtkeE(dx µt−1 (v1),v2)
)·(
1 +∑
j≥1 Rj(m, v1, v2)k−j2
).
con Rj polinomi in vl .
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
In presenza di simmetria
Osservazione
Se x ∈ X e vj = (θj , ~vj) ∈ TxX la funzione E : TX ⊕ TX → C edefinita comeE (v1, v2) = 1
ΦT(m) ·{i[θ2−θ1ΦT(m)ωm(ξM(m), ~v1 + ~v2)− ωm(~v1, ~v2)
]−1
2‖(~v1 − ~v2)− θ2−θ1ΦT(m)ξM(m)‖2
}.
Se (θ2 − θ1)ξM(m) = 0, allora E (v1, v2) = ψ2(~v1,~v2)ΦT(m) .
Corollario
Sotto le ipotesi del teorema precedente vale l’espansione perk → +∞Πk(x , x) ∼
(kπ
)nΦT(m)−(n+1)
∑g∈Tm
gk ·(
1 +∑
j≥1 Bj(m)k−j).
![Page 19: Quantization](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071821/55b74a88bb61eb036b8b464d/html5/thumbnails/19.jpg)
Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
Generalizzazione
Si consideri G un gruppo di Lie compatto connesso g -dimensionalee T un toro unidimensionale tale per cui
G y (M, ω, J) hamiltoniana con mappa momento ΦG ;
T y (M, ω, J) hamiltoniana con mappa momento ΦT;
L’azione di G commuta con l’azione di T;
Idea: Se nel caso standard G agiva su ogni Hk(X ) ∼= H0(M,A⊗k)in modo unitario e si considerava la decomposizioneHk(X ) =
⊕$ H$k(X ) quello che si vuole fare ora e un’analisi
analoga con H$k(X ) sostituito da H$k(X ) e quindi Π$k(x , y)sostituito da Π$k(x , y) definito in modo analogo
Π$k(x , y) =∑j
s($,k)j s
($,k)j
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Varieta proiettive polarizzate Il nucleo di Szego In presenza di simmetria Generalizzazione
Generalizzazione
dove{s
($,k)j
}d$,k
j=1e un sistema ortonormale per H(X )$k . Quindi
per ogni k si avra un’azione unitaria indotta di G su Hk(X ), si puoconsiderare la decomposizione Hk(X ) =
⊕$ H$k(X ) e per ogni $
fissato studiare il limite riscalato di Π$k(x , y) per k → +∞.