Post on 09-Jan-2016
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Principi fisici di conversione avanzata (Energetica L.S.)
G.Mazzitelli
ENEA
Quarta/Quinta Lezione
2
Terza/Quarta Lezione• Le reazioni nucleari
• La fusione
-Reazioni di Fusione -Bilancio Energetico
-Plasma -Moto delle particelle cariche in presenza di campi E e/o B -Il Tokamak
-Principio di funzionamento-Equilibrio-Riscaldamento-Stabilità
3
Reazioni Nucleari
In un tipico esperimento di laboratorio abbiamo:
x + X y + Y
dove x è la particella incidente su un target di nuclei X e y e Y sono i prodotti della reazione rispettivamente un nucleo Y e una particella y
Esempio:
34
64
3034
63
291
2
1 ZnnCuH
4
Reazioni Nucleari
• Come in una reazione chimica, in una reazione nucleare il numero di protoni e di nucleoni deve essere conservato
• La reazione deve conservare l’energia, l’impulso e il momento angolare
Calcoliamo il Q della reazione
5
Reazioni NucleariAssumiamo che X si fermo e che le energie cinetiche delle particelle siano molto inferiori alla loro energia a riposo (cinematica non relativistica)
Energia iniziale = Energia finale
)!conserva! si (Z atomiche masse le indica m dove
)()()(
:ovverosia2
2222
xYy
Yyx
TTTQcYmymXmm(x)
TcYmTcymcXmTcxm
6
Reazioni Nucleari
• Possiamo avere due casi:
Q>0 energia nucleare è convertita in energia cinetica - reazione esotermica
Q<0 l’energia cinetica della particella incidente è convertita in energia di legame reazione endotermica
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Reazioni NucleariEsercizio:
In una reazione endotermica l’energia cinetica della particella incidente deve essere sufficiente anche per l’energia a riposo in più dei prodotti di reazione. Ciò significa che il processo avviene al di sopra di una certa energia minima o soglia. Trovare la formula per l’energia di soglia (trattare il problema nel sistema di riferimento del centro di massa)
8
Reazione di fusione
La reazione nucleare consiste nella fusione di due nuclei leggeri che producono un nucleo più pesante di massa inferiore alla somma delle masse iniziali. La reazione determina un rilascio di energia sotto forma di energia cinetica dei prodotti di reazione.
E = mc 2
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Reazione di fusione
• La più promettente reazione di fusione è:
1D2 + 1T3 2He4 +
0n1
3.5 MeV + 14.1 MeV = 17.6 MeV
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Reazione di fusione Calcoliamo il bilancio delle masse:
D = (2 - 0.000994) mp T = (3 - 0.006284) mp
= (4 - 0.027404) mp n = (1+0.001378) mp
m = 0.01875 mp
=mc2=2.818x10-12joules = 17.59 MeV
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Reazione di fusione
La sezione d’urto a basse energie è piccola a causa della repulsione coulombiana che impedisce ai nuclei di avvicinarsi
rm=raggio del nucleo
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Reazione di fusione
L’effetto tunnel della meccanica quantistica fa si che il picco della sezione d’urto per la reazione D-T avviene ad energie minori di quelle richieste per superare la barriera coulumbiana. Il picco si ha per energie dei nuclei intorno ai 100 KeV. Assumendo che le nostre particelle abbiano una distribuzione di velocità maxwelliana il numero di medio reazioni di fusione per unità di tempo e di volume è:
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Reazione di fusione
dTmmT
nnRdd
td
exp
182
2/32/1
vnnR td
14
Bilancio Energetico
E’ possibile a “priori” determinare a quali condizioni un plasma termonucleare può produrre energia per mezzo delle reazioni di fusione ?
W/m3
Energia prodotta da reazioni nucleari D-T
: Calcoliamo
v
P nD nT
15
Bilancio Energetico
W/m 3
l
energia persa e energia prodotta si ha: Uguagliando
Assumendo T
dell’energia di confinamentotempo
P
Energia persa
E v
kT n
nkT W v
n
n =n T
) T ( nk T/
E
E n
T n D e i =
E
E
e i
12
3
4
2
2) (3
16
Bilancio Energetico
keVs m x nT
.
T x . v
E21
2 24
10 3
5 3
10 1
1
la condizione per l' ignizione diventa :
MeV così che usando E
T in keVs ,m
Ma tra 10 – 20 keV il rate della reazione dentro un 10% è
3 -1
n = densità =1020m-3
T = temperatura=10keV E= tempo di confinamento dell’energia=3s
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Bilancio Energetico
Con questi valori del triplo prodotto n,T e E la reazione si autostiene. Ovverosia l’energia cinetica delle particelle riscalda il plasma senza apporto dall’esterno
Quando si raggiunge questa condizione si ha I’ignizione.
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Il Plasma
• Il plasma (quarto stato della materia) è un gas ionizzato
• In un plasma gli atomi sono dissociati nei loro costituenti ioni ed elettroni.
• Un plasma, come un gas, può essere descritto in termini di densità e temperatura delle particelle.
19
14
20
Il Plasma
Un plasma ha due caratteristiche proprie:
– Complessivamente è quasi-neutro;ovverosia le cariche di un certo segno non sono mai in eccesso rispetto a quelle di segno contrario.
– Campi elettrici e magnetici cambiano sensibilmente le proprietà fisiche del plasma.
21
Il Plasma Quasi-neutralità
Questa condizione è ciò che caratterizza un plasma e permette di definirlo “quantitativamente ” tramite il raggio di Debye:
n
Te costD
Affinchè un plasma possa essere considerato come un gas di particelle cariche,macroscopicamente neutro, è necessario che la sua dimensione tipica L sia molto più grande di D
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Il Plasma Come in un gas in equilibrio termodinamico, la distribuzione delle velocità delle ioni ed elettroni in un plasma è Maxwelliana:
dove A è una costante, ½ mu2 è l’energia cinetica, K è la costante di Boltzmann (K=1.38x10-16 erg/ºK),
f(u)du rappresenta il numero di particelle per cm3che hanno velocità compresa tra u e u+du
la densità, o il numero di particelle per cm3 sarà:
n f (u ) du
e KT mu A u f /
2
1 exp ) ( 2
23
Il Plasma Supponiamo di perturbare lo stato di equilibrio del plasma con un campo elettrico generato da una particella test di carica positiva +q posizionata nell’origine.
Calcoliamo il potenziale elettrostatico (r). La funzione di distribuzione adesso deve tener conto della nostra particella test e diviene:
La densità sarà:
i,e ioni ed elettroni
KTrqmuAuf /
2
1exp 2
KTre
ei eNrN /
0,
24
Il Plasma Se assumiamo che la perturbazione al potenziale elettrostatico è debole,cioè:
q(r)/KTAllora possiamo riscrivere l’eq. per la densità
e per la densità di carica
KTreNKTreNr
KTreNrN ei
/1/1
/1
00
0,
KTreNr /2 2
0
25
Il Plasma
Se consideriamo la prima eq. di Maxwell e la relazione tra il campo elettrico e il potenziale scalare
Otteniamo l’equazione di Poisson:
0
2 / rr
rrEdivE / 0
26
Il Plasma
) / r exp( r
e ) r (
otteniamo : risolvendo
e N / KT
dove
Assumendo simmetria sferica abbiamo:
D D
D
2 4 2
2 0
222 /2///1 Drrdrdrdrdr
27
Il Plasma
Pertanto il potenziale decade esponenzialmente e l’effetto della particella test è neutralizzato su una distanza pari alla lunghezza di Debye che in una utile forma diventa:
D=2.35x105(T/n)1/2 m, T in eV
In un tokamak
0.01<D<0.1 mm
28
Il Plasma
• Se applichiamo una piccola differenza di potenziale nel plasma scorre corrente.
• Se applichiamo un campo magnetico il moto delle ioni ed elettroni non è più random
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Moto delle particelle
L’equazione del moto di una particella di massa mJ
e carica eJ in presenza di un campo magnetico è:
B x v =e dt
dv m
J J
Se B è uniforme e diretto lungo l’asse z abbiamo:
0 dt
dv v
dt
dv v
dt
dv z x cj
y y cj
x
= =
30
Moto delle particelle
è la frequenza ciclotronica .
Se separiamo vx e vynell’eq. precedente si ha:
j
j cj m
B e
dove
è :soluzione cui la
tvvtvv cjycjx cos sin
2
2
2
2
2
2
ycj
y
xcjx v
dt
vdv
dt
vd
31
Moto delle particelle
Larmor di raggio il è
B e
v m v r
dove
t sen r y t cos r x
: abbiamo ancora egrando int
cui per dt / dy v e dt / =dx v ma
j
j
cj Lj
cj Lj cj Lj
y x
32
Moto delle particelle
Pertanto le particelle descrivono delle eliche nella direzione del campo magnetico. La direzione delle rotazione è tale che il campo magnetico generato è tale da opporsi al campo esterno.
Il plasma è diamagnetico
33
Moto delle particelle Se adesso consideriamo la presenza di un campo elettrico l’equazione del moto diviene:
m
accelerata è particella la
E =e v
// j // j
dt
d
// Bche Esemplice
caso più nel
B )x v E q( dt
v d m
34
Moto delle particelle
Ma cosa succede se il campo magnetico ha un gradiente parallelo a B
35
Moto delle particelle
• Assumiamo che le variazione del campo B siano molto piccole su una distanza dell’ordine del raggio di Larmor rL e che il campo sia assisimmetrico ovverosia la componente in sia nulla.
• Partiamo dall’eq .di Maxwell :
0 ·B
36
Moto delle particelle
• In coordinate cilindriche
∂z
B rB
∂r
cui per ∂B
r e B ma
B
z r
∂
∂
·
1
0 1
0
∂ r
r
∂ z
∂B r
rB z r
∂
0 1 ∂B∂
r∂
=
37
Moto delle particelle
Integrando nell’intervallo di un rL abbiamo:
te tan cos mo consideria lo r
ervallo int ' nell poco ia var z
B se
L ,
z
∂∂
0 < r
dr z
B r dr rB
r z
r
∂
∂
∂
∂L r
0
L r
0
Lr
z
Lr
r rdrz
BrB
00
38
Moto delle particelle
Pertanto:
qB
m v r ma
z
B r v q B v B v q F
la componente z della forzaCalcoliamo
B lo sostituiamo conpoco ia var B Se
z / B ) / r ( B
L
L r z
z
L r
∂∂
∂
2
2 ∂
39
Moto delle particelle
Per cui si ha:
z
B F
:
allora B
mv
come te tan ruo particella della magnetico momento il definiamo se
z
B
B
mv F
z
z
∂∂
∂∂
2
2
2
1
2
1
40
Moto delle particelle
è molto importante perche è un invariante adiabatico cioè come la particella si muove in zone di campo più forte o più debole cambia il suo raggio di Larmor ma rimane invariato.
Dimostriamolo!
41
Moto delle particelle
. d.v. c dt
d che ì cos
conserva si particella della energia ' L
dt
dB mv
dt
d
v
z
per forza la iamo Moltiplich z
0
2
1 2
cui perdtdz
zB
mvdtd
dtdv
mvFv zz
zzz
2
2
1
0
02
1
2
1 22
Bdtd
dtdB
mvmvdtd
z
42
Moto delle particelle
Ma torniamo all’espressione della forza:
∂z
notiamo che:
• Non dipende dalla carica elettrica • Respinge le particelle verso le zone di campo B
più debole
B B
mv Fz
∂
2
2
1 =
43
Moto delle particelle
Sulla scala di rL le particelle girano rapidamente intorno al centro di guida ma in presenza di:
E(t)4
B di Curvatura 3
B 2
B E 1
B
Il centro di guida si sposta (drift) perpendicolarmente
44
2 B
ExB vd
Moto delle particelle
Drift elettrico
B
E ioni
elettroni
45
Moto delle particelle
v
B
B x B r v Lj d 2 2
1
B
Drift dovuto ad un gradiente
B
ioni
elettroni
V=
46
Moto delle particelle
2
2
2
1
B
B x B v v
cj
//
d
Drift dovuto alla curvatura del campo
v 2
=
47
Moto delle particelle
dt
E d
B v
cj
d
Drift di polarizzazione
B
E
1
48
Confinamento magnetico• Abbiamo visto che in presenza di un gradiente di
campo parallelo a B si ha:
B
mvcon
z
BFz
2
2
1
49
Confinamento magnetico
• Per ovviare alle perdite longitudinali, l’idea più ovvia e quella di richiudere il cilindro su stesso a formare un toro.
RBt
1
50
Confinamento magneticoSolo un campo magnetico toroidale non confina le particelle.E’ necessario sovrapporre un campo magnetico poloidale. La configurazione magnetica risultante sono delle superfici chiuse l’una dentro l’altra e le particelle si avvolgono su di esse.
51
Confinamento magnetico• Si indica con q il rapporto tra il numero di
giri in direzione toroidale m e il numero di giri in direzione polidale n
• q è chiamato fattore di sicurezza. Più è alto e maggiore è la stabilità del plasma .
• Calcoliamolo:
2
q
52
Confinamento magnetico
1a/R zioneapprossimanell'
:sono campo di linee delle eq.L'
p
t
p
t
p
t
p
t
B
B
R
r
B
B
R
rds
B
B
Rq
B
B
ds
Rd
002
21
2
1
ds
cost
53
Calcolo della linea di forza
0Bxdl è condizione la e
)magnetiche (superfici costr superfici
sulle giaccione forza di linee le : Assunzioni
dRd con
)Rd,rd(dr, sd
moinfinitesi oSpostament
cosR
rR
00 1
54
Confinamento magnetico
1
2
1’
2’
Due particelle che partono da punti con lo stesso angolo θ dopo un giro toroidale hanno un θ diverso.
In altri termini il campo magnetico e dotato di “shear”
55
Confinamento Magnetico
• Abbiamo visto che è possibile confinare le particelle medianti opportuni campi magnetici.
• Ma è impossibile, studiare le proprietà del plasma, seguendo il moto delle singole particelle. Come per un gas, dobbiamo avere una descrizione statistica.
56
Confinamento Magnetico• Senza addentrarci nei dettagli matematici, l’eq. Cinetica
Collisionale per un plasma è quella di Fokker-Planck
cj
j
t
f
v
fBxvE
m
e
x
f.v
t
f
•Per molte applicazioni possiamo trattare il plasma come un fluido che ha una densità di particelle n(x,t), una velocità v(x,t) e una pressione p(x,t)funzioni di sole quattro variabili
57
Confinamento Magnetico• Le eq. che descrivono n,v e P sono ottenute prendendo i
momenti di ordine =0,1 e 2 dell’eq.di Fokker-Planck(FP)
p e v per teAnalogamen
n
continuità di eq.l' otteniamo
velocità delle spazio nello FP di eql' integriamo se
0
nvt
vdt
fvd
v
f.BxvE
m
evd
x
f.vvd
t
f
vd)t,v,x(fn
:Cioè
cj
j
58
c.v.d. 0
e.m. forze leper 0
0
.
.
nvt
n
vdFv
fvdFfv
vdt
f
vdt
fvdF
vfvdFf
vm
evfdv
xvdf
t
vdt
fvd
v
fF
m
evd
x
fvvd
t
f
t
f
v
fBxvE
m
e
x
fv
t
f
c
cj
j
cj
j
cj
j
particelle di numero il cambiano non collisioni le
59
Confinamento Magnetico
• MHD cioè Magnetoidrodinamica è il nome dato alla descrizione fluida del plasma. In questo modello non si distinguono ioni ed elettroni.
• Le eq. che descrivono il plasma nel modello mhd ideali sono quelle ricavate dalla eq. Cinetica collisionale più le eq. di Maxwell dell’elettromagnetismo cioè:
60
Confinamento Magnetico
ohm di Legge (5)
Maxwell di Eq. (4)
tàadiabatici assume Si t
(3)
moto del Equazione
massa della oneConservazi t
(1)
jBvE
t
B - Ej; μB
vppvp
pBjvvt
v)(
v
0
2
0
0
61
Confinamento Magnetico
•Per qualunque sistema la condizione di equilibrio è che su ogni punto del plasma la forza netta sia zero.
•Ciò significa che il primo membro dell’eq.2 deve essere zero ovverosia che la pressione deve essere bilanciata dalla pressione magnetica
P = j x B
62
Confinamento magnetico• Da questa equazione abbiamo:
Non ci sono gradienti di pressione lungo le linee di forza del campo magnetico e le superfici magnetiche sono superfici in cui p=cost. Inoltre anche le linee di corrente giacciono sulle superfici magnetiche
P=0
P=0
B·
J·
63
Il Tokamak
64
Il Tokamak• Torniamo all’eq. di equilibrio
2
2
1
4
4
4
BBBp
xBxBp
B
BJp
2
2
2
c
vettoriale relazione la outilizzand e
c
oSostituiam
cj
Maxwell di eq.dall' J Ricaviamo
65
Il Tokamak
(6) cc
riscrivere possiamo che Eq.
22BBBp
482
Nel caso di un cilindro il termine a secondo membro e zeroovverosia la quantità
tcosBp
c
2
2
8
66
Il Tokamak
B
jd
Basso pAlto B
Basso BAlto p
Diamagnetismo
p
67
Il Tokamak• Una grandezza fondamentale è il definito come
8
22Bc
p
magneticocampodelpressione
cineticapressione
è fondamentale poiché più è alto e più un reattore è economico per un dato campo magnetico!!A 10-15-KeV <v> ~T2 e la potenza termonucleare a p2 mentre il costo va come B2
68
Equilibrio
• Ritorniamo all’eq.(6) in un tokamak la situazione è diversa a causa della dipendenza del Bt da 1/R per cui il termine a destra dell’eq. non è più nullo
• L’anello di plasma tende ad espandersi nel verso dell’asse maggiore e per contrastarlo è necessario imporre un campo verticale creato da una scocca conduttrice o da avvolgimenti esterni
69
Equilibrio
70
Riscaldamento
• Abbiamo visto come confinare il plasma ma come lo riscaldiamo ?
• Un plasma è composto di ioni ed elettroni che subiscono collisioni. Trattandosi di particelle cariche le collisioni sono dovute all’interazione coulombiana
71
Riscaldamento
• Il campo elettrico nel plasma lo possiamo suddividere in due componenti: una macroscopica che determina il drift delle particelle e che è presente nell’eq. MHD.Il secondo è un campo rapidamente fluttuante che una particelle sperimenta all’interno della sfera di Debye.
72
Riscaldamento
• Queste collisioni sono alla base dei fenomeni di trasporto all’interno del plasma e che, tralasciando la trattazione matematica, determinano i coefficienti ed i relativi tempi caratteristici del trasporto delle particelle e dell’energia
73
Riscaldamento• Quando applichiamo un campo elettrico al plasma gli
elettroni saranno accellerati con una velocità di drift vd controbilanciata dalle collisioni
• Le collisioni si oppongono al moto esattamente come avviene in un conduttore percorso da corrente
• In assenza di B o parallelo alla corrente:
c
devmeE
74
Riscaldamento
• La legge di ohm è:
• Dove η è la resistività
jE
keV in T m ohm
:otteniamo assumiamo per Se
e
c
23
8
2
1082/
e
e
ce
e
T
.
en
m
75
Riscaldamento
• Ma ciò che è importante e la dipendenza di da T-3/2 che significa che al crescere della temperatura l’efficacia del riscaldamento ohmico dimnuisce e bisogna riscaldare il plasma con sistemi addizionali.
• La resistività del plasma per Te~1.4 keV è uguale a quella del rame
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Riscaldamento
• Due sono i sistemi principali di riscaldamento addizionale:
– Iniezioni di atomi neutri veloci– Iniezioni di onde elettromagnetiche
• Risonanza ciclotronica elettronica• Risonanza ciclotronica ionica• Risonanza alla frequenza ibrida inferiore
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Riscaldamento
• Una importante caratteristica dei sistemi di riscaldamento addizionale è la possibilità di generare corrente.
• In un reattore questo è fondamentale per un funzionamento in continuo
78
Riscaldamento
• Su FTU sono installati tre sistemi di riscaldamento addizionale:
– Ibrida Inferiore (Lower Hybrid)• 8 GHz 6MW installati di cui 2.5MW al plasma-
Antenna
– Ciclotronica elettronica per Bt= 5 T • 140 GHz 1.6 MW -Specchi
– Onde di Berstein (IBW) 4th armonica ciclotronica ionica in H a Bt=8 T• 433 MHz 1.0 MW – Antenna a guide d’onda
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Riscaldamento• Parlando di riscaldamento è naturale introdurre il
parametro di merito più importante il tempo di confinamento dell’energia E:
• Dove P è la potenza totale di input • Il confinamento è determinato dai processi
convettivi e conduttivi cosi come dalle perdite radiative
P
xdTTn eiE
32
3
80
Stabilità
• In assenza di instabilità il confinamento di una configurazione assisimmetrica toroidale è determinato dalle collisioni coulombiane ma non è così. Gli esperimenti mostrano un disaccordo per il trasporto del calore per gli elettroni che è due ordini di grandezza superiore a quello teorico. Fino ad oggi abbiamo leggi empiriche ma non ancora una soddisfacente teoria delle instabilità.
81
Stabilità• Alcuni esempi:
Kink Instability Sausage Instability
82
TokamakFTU
CircolareJET
D-Shape
ITERD-Shape
Raggio Maggiore (m) 0.935 3.1 6
Volume del plasma(m3) 1.5 80 840
Corrente di plasma(MA) 1.6 5 15
Campo Magnetico (T) 8 4 5.3
Durata impulso (s) 1.5 40 1000
83
FTU
84
FTU
85
FTU
86
FTU
87
FTU
88
JET
89
JET
90
Tokamak