LEZIONI DI MATEMATICA

PRIME NOZIONI E SIMBOLOGIA• Nozioni primitive:

– insieme lettera maiuscola

– oggetto lettera minuscola

– proprietàlettera maiuscola corsiva

• Notazioni:

– quantificatore esistenziale

– quantificatore universale

• Proprietà definita in un insieme:– implicazione logica in S;

– equivalenza

– sottoinsieme

– inclusione

– inclusione stretta

– insieme vuoto

,a b a b S, Sa a

A BA B

A B

A B

OPERAZIONI TRA INSIEMI• Insieme universo • Unione: proprietà dell’unione

• Intersezione: proprietà dell’intersezione

• Complemento: proprietà del complemento• Differenza: proprietà della differenza

– complemento di B rispetto ad A

• Prodotto cartesiano: proprietà del prodotto cartesiano

• Prodotto cartesiano di n insiemi

• Insieme delle parti di un insieme S, P(S)• Partizione di un insieme

A B

A B

A B

A B A A

1 2A A An

RELAZIONI ED APPLICAZIONI

• Relazione• Applicazione

– iniettiva– suriettiva– biiettiva– inversa– composta

• Relazione binaria– proprietà relazione binaria

• riflessiva• simmetrica • transitiva• asimmetrica

– relazione d’equivalenza• classi di equivalenza

– relazione d’ordine • relazione d’ordine stretto• relazione d’ordine totale

– massimo e minimo di un sottoinsieme di un insieme totalmente ordinato• relazione d’ordine parziale

CARDINALITÀ degli INSIEMI• Insiemi con la stessa cardinalità• Insiemi finiti• Insiemi infiniti

– cardinalità del numerabile

– cardinalità del continuo

NUMERI

• Naturali• Interi• Razionali• Reali• Sottoinsieme denso in un insieme

– razionali ed irrazionali densi in

• Rappresentazione di a mezzo di una retta• Prodotto cartesiano di due copie di ;• Rappresentazione di ; piano cartesiano• Riferimento cartesiano monometrico ortogonale• Rappresentazione di ; lo spazio fisico• Successione

2 2

3

METODI per DIMOSTRARE i TEOREMI

• Direttamente• Per induzione• Contronominale• Per assurdo

METODO DI INDUZIONE I• Principio di induzione

– vera– se è vera allora è vera anche

• Sommatoria– proprietà associativa – proprietà commutativa

• Produttoria– proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma

• Potenze ad esponente intero non negativo• Progressione aritmetica

– ragione– primo termine nullo

• proporzionalità• additività

– progressione armonica– successione armonica– somma dei primi n termini di una progressione aritmetica

(1)P1n ( )P n ( 1)P n

1

2

nn a d

METODO DI INDUZIONE II

• Progressione geometrica– ragione

• •

– somma dei primi n termini di una progressione geometrica

• Fattoriale• Coefficiente binomiale

– triangolo di Tartaglia

– sottoinsiemi di un insieme

– combinazioni

– permutazioni

0 1q 1 q 1

1

nq

q

PROPRIETA’ delle POTENZE

• Definizione radice– radice di ordine pari dispari

• Potenze ad esponente razionale• Potenze ad esponente reale• Proprietà delle potenze• Valore assoluto

–

–

–

–

• Binomio di Newton

a a a a b a b a b a b

a b a b

INTERVALLI

• Definizione• Classificazione

– limitati• aperti• chiusi• aperto a destra• aperto a sinistra

– illimitati• Aperti• Chiusi

• Estremo inferiore• Estremo superiore• Intervallo limitato come combinazione lineare convessa

PUNTO di ACCUMULAZIONE

• Intorno• Intorno circolare (intorno completo simmetrico)

– appartenenza all’intorno

• Definizione di punto di accumulazione• Punto isolato

UGUAGLIANZE e DISUGUAGLIANZE• Uguaglianza• Equazione

– equazioni equivalenti

– sistema di equazioni

• Disuguaglianze– tipi di disuguaglianza

• Disequazioni– sistemi di disequazioni

SPAZI VETTORIALI

• Vettore– vettore nullo

• Scalare• Somma• Prodotto di uno scalare con un vettore• Spazio vettoriale ad n dimensioni• Rappresentazione geometrica

– punto di applicazione

– direzione

– verso

– lunghezza

• Interpretazione geometrica delle operazioni

DIPENDENZA LINEARE

• Combinazione lineare• Vettori linearmente dipendenti• Vettori linearmente indipendenti• Vettore linearmente dipendente da altri vettori• Teorema sul numero di vettori l.i. di uno spazio vettoriale• Rango di un insieme di vettori

MATRICI

• Matrice– ordini di una matrice

• matrici conformi

– trasposta di una matrice

– matrice quadrata• diagonale principale• diagonale secondaria• matrice simmetrica

– matrice diagonale

– matrice scalare

– matrice identità

DETERMINANTI• Determinante

– di ordine 1, 2, 3

– di ordine n

– proprietà dei determinanti• sviluppo su di una linea qualsiasi• due linee uguali• determinante trasposta

– definizione geometrica determinante

• Minore di ordine k• Caratteristica di una matrice

–

• Rango e caratteristica– n vettori linearmente indipendenti di

– rango vettori colonna e vettori riga

0 min ,p m n A

nS

SISTEMI LINEARI• Sistema di equazioni lineari

– compatibile• determinato• indeterminato

– incompatibile– 2 equazioni in 2 incognite– 2 equazioni in 3 incognite– m equazioni in n incognite– matrice completa ed incompleta di un sistema lineare

• Teoremi fondamentali– Cramer

• teorema di esistenza ed unicità• regola di Cramer

– Rouché-Capelli• come si adopera il teorema• ridondanza

• Sistema in forma normale• Sistemi omogenei

– soluzione banale– autosoluzioni

AUTOVALORI ed AUTOVETTORI• Sistemi con parametri• Autovalore• Autovettore• Matrice simmetrica

– definita positiva

– definita negativa

– indefinita

PRODOTTO SCALARE

• Definizione• Lunghezza ed angolo tra i due vettori• Ortogonalità • Norma di un vettore• Ortonormalità

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE• Applicazione di

– variabile dipendente– variabile indipendente

• Funzioni in forma esplicita• Grafico di una funzione

– ascissa– ordinata

• Funzioni crescenti e decrescenti. Stretta crescenza e decrescenza • Operazioni geometriche sui grafici

– traslazioni• sull’asse delle ordinate• sull’asse delle ascisse• cambiamento dell’origine

– ribaltamenti– cambi di scala– simmetrie

• funzioni periodiche• funzioni pari• funzioni dispari

• Funzioni implicite

X Y

( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( )g x f x g x f x g x f x

FUNZIONI ELEMENTARI• Restrizione e prolungamento di una funzione• Funzione lineare• Funzione affine

– rette e pendenze– combinazioni lineari– combinazioni lineari convesse

• Funzione potenza– esponente intero positivo– esponente intero negativo– funzioni – esponente razionale– esponente reale

• Polinomi– polinomi di secondo grado– polinomi di grado qualsiasi

• Funzioni razionali fratte• Funzione inversa

– simmetrie della funzione inversa• Funzione esponenziale• Funzione logaritmica

– proprietà logaritmi

n nax ax

PROPRIETÀ delle FUNZIONI

• Funzioni composte– crescenza e decrescenza funzioni composte

– inversa funzione composta

• Convessità• Concavità• Estremi di un insieme

– estremo inferiore

– estremo superiore

– minimo

– massimo

• Funzioni limitate– limitata inferiormente

– limitata superiormente

– limitata

– massimo di una funzione, punti di massimo

– minimo di una funzione, punti di minimo

CONTINUITÀ

• Funzione continua in un punto• Funzione continua• Operazioni tra funzioni continue• Compattezza

– insiemi compatti

– insiemi convessi• epigrafo di una funzione

• Teorema di Weierstrass– massimo e minimo funzione strettamente monotona

– invertibilità di una funzione continua e strettamente monotona

FUNZIONI CIRCOLARI• Radiante

– Misura degli angoli in radianti

• sin• cos• tan• Relazione fondamentale tra sin e cos• Continuità funzioni circolari

LIMITI I

• Convergenza– convergenza al finito

• convergenza e continuità

– limite dx e sx• continuità dx e sx

– convergenza all’infinito• asintoti orizzontali

• Divergenza– divergenza al finito

• asintoti verticali

– divergenza all’infinito

LIMITI II

• Proprietà dei limiti– unicità del limite– permanenza del segno

• diretta • Inversa

– Teorema del confronto– Operazioni sui limiti

• somma• prodotto• rapporto

• Forme indeterminate:–

00, 0 , , , 0 , 1

0

sin x

x

INFINITESIMI ed INFINITI

• Funzione infinitesima in un punto– ordine di un infinitesimo

– infinitesimo campione• o piccolo• infinitesimo di ordine n• funzioni che differiscono a meno di un infinitesimo di ordine n• somma (differenza) di 2 infinitesimi

• Funzione infinita in un punto– ordine di un infinito

– infinito di ordine n

– polinomio di grado n

– somma di 2 infiniti

SUCCESSIONI e SERIE

• Successione numerica– limite di una successione

• convergente• divergente

• Serie– convergenza di una serie

– serie armonica

– serie geometrica• condizioni per la convergenza di una serie geometrica

DERIVATE I

• Rapporto incrementale• Definizione di derivata

– derivata dx e sx

• Interpretazione geometrica della derivata– retta tangente

• Derivabilità– funzione derivabile

– derivabilità e continuità

• Funzione derivata• Derivate di ordine superiore

DERIVATE II

• Regole di derivazione– derivata di una costante per una funzione

– derivata di una somma

– derivata di un prodotto

– derivata di un rapporto• caso di

– derivata della funzione inversa

– derivata della funzione composta

• Derivate delle funzioni elementari–

–

–

–

–

1

( )f x

x

( )nP x

, logxaa x

sin , cos , tanx x xarcsin , arccos , arctanx x x

APPROSSIMAZIONE• Definizione di differenziale• Elasticità

– significato geometrico

• Approssimazione del primo ordine– errore

– relazioni con il differenziale

• Approssimazioni di ordine superiore– formula di Taylor

– resto n-mo

– formula di Mc Laurin

ESTREMI LOCALI• Massimo relativo

– Punto di massimo relativo

• Minimo relativo– punto di minimo relativo

• Condizione necessaria per estremi• Punto stazionario• Estremi e non derivabilità• Condizione sufficiente per estremi• Th. di Rolle• Th. di Lagrange

– relazione tra Taylor e Lagrange

– funzione a derivata nulla

– crescenza

– decrescenza

CONVESSITÀ• Convessità locale• Concavità locale• Punto di flesso

– flesso ascendente

– flesso discendente

• Relazione tra convessità e derivata seconda• Relazione tra flessi e derivata terza

– flesso ascendente

– flesso discendente

• Forme indeterminate e th di De L’Hospital

INTEGRALE DEFINITO

• Rettangoloide• Integrale definito

–

–

• Proprietà integrale definito– linearità

– additività

– Teorema della media

• Funzione integrale• Teorema fondamentale del calcolo integrale

( ) 0a

a

f x dx

( ) ( )b a

a b

f x dx f x dx

INTEGRALE INDEFINITO

• Primitiva• Integrale indefinito• Relazione tra integrale definito ed indefinito• Regole di integrazione

– integrazione per parti

– Integrazione per sostituzione

• Tabella integrali