Perché le bolle di sapone sono perfettamente sferiche?

La diseguaglianza isoperimetrica

Luciano ModicaConvegno GFMT, Lucca, 10 settembre 2018

BOLLE DI SAPONE (da Wikipedia)

La forma sferica è dovuta alla tensione superficiale.

La tensione superficiale porta alla formazione di una sfera perché questa possiede la minima superficie per un dato volume.

Matematica

Minima superficie per un dato volume

Arte e matematica

Minima superficie per un dato volume

Passando dallo spazio a dimensione 3 al piano a dimensione 2:

Minimo perimetro per una data area

Matematica e storia

Massima area per un dato perimetro

Minimo perimetro per una data area

=

Massima area per un dato perimetro

TEOREMA

Se una figura piana è l’unica (a meno di traslazioni e rotazioni) a realizzare il minimo perimetro a parità di area,

allora

la stessa figura è l’unica (a meno di traslazioni e rotazioni) a realizzare la massima area a parità di perimetro.

E viceversa.

IL FURBIZIA DI DIDONE:

Ottenere per la fondazione della sua nuova città (Cartagine) la massima area di terreno che è possibile recingere con una pelle di bue.

Devenere locos ubi nunc ingentia cernis

moenia surgentemque novae Karthaginis arcem,

mercatique solum, facti de nomine Byrsam,

taurino quantum posset circumdare tergo.

(Eneide, libro I, vv. 365-368)

Giunsero in questi luoghi, ov’or vedrai sorger la gran cittade e l’alta rocca della nuova Carthago, che dal fatto Birsanomassi, per l’astuta merce che, per fondarla, fer di tanto sito quanto cerchiar di bue potesse un tergo.

Il problema di Didone per i rettangoli:

Qual è il rettangolo che, a parità di perimetro, ha area massima?

Un po’ di algebra elementare

� � � � � �� � �� � 2��� � � � � �� � �� � 2��

� � � � � � � ��� 4��

� � � � ��

e vale il segno = se e solo se a=b.

Il problema di Didone per i rettangoli:

Qual è il rettangolo che, a parità di perimetro, ha area massima?

Siano a e b i lati del rettagolo R. Quindi

Area R = ab ; Per R = 2(a+b)

Visto che� � � � � 4��

si ottiene che

��� ��� 4� � �� � 16 �� � 16 ���� �

��� ��� �� Area R

(e vale il segno = se e solo se a=b).

Il problema di Didone per i rettangoli:

Qual è il rettangolo che, a parità di perimetro, ha area massima?

E’ il quadrato!

Sia R un rettangolo di perimetro P e sia Q il quadrato con lo stesso perimetro. Si ha

���� � �� ! "

#

�

.

Allora

$��� % �� ! "

#

�

�� ! &'

()� $��� R

quindi il quadrato ha area maggiore di qualunque rettangolo con lo stesso perimetro.

Si noti che per ogni quadrato vale l’eguaglianza

��� ��� 16 ���� �

Diseguaglianza isoperimetricaper i rettangoli

��� ��

$��� �� �� *++��*

$��� �

��� ��,

�

��

Tra tutti i rettangoli il quadrato ha

• minimo perimetro per una data area

• massima area per un dato perimetro

Notare che il rapporto ��� ��

$��� �è invariante per

omotetie.

Diseguaglianza isoperimetrica per i parallelogrammi Sia P un parallelogramma di lati a e b e sia R il

rettangolo con gli stessi lati.

Allora

$��� � � �ℎ , �� � ���� �

,1

16��� � � �

�

����� ��

a

bh

a

b

Diseguaglianza isoperimetricaper i parallelogrammi

��� ��

$��� �� �� *../��

$��� �

��� ��,

�

��

Tra tutti i parallelogrammi il quadrato ha

• minimo perimetro per una data area

• massima area per un dato perimetro

Diseguaglianza isoperimetricaper i quadrilateri

Dopo aver generalizzato dai rettangoli ai parallelogrammi, ora generalizziamo dai parallelogrammi ai quadrilateri convessi e poi ai quadrilateri generici anche non convessi.

TEOREMA DI ERONE (II sec. d.C.)

Siano r e s due rette parallele. Su r fissiamo due punti A e B e consideriamo tutti i triangoli con vertici A e B e con il

terzo vertice sulla retta s. Tra tutti questi triangoli quello di perimetro minimo è il triangolo isoscele di base AB.

Dimostrazione. Sia r’ la retta simmetrica di r rispetto a s e sia B’ il punto su r’ simmetrico di B rispetto a s. Allora, se

prendo C sul segmento AB’ si ha AC+CB = AC+CB’ < AD+DB’ = AD + DB e dunque il triangolo isoscele ACB ha perimetro

più piccolo di ogni altro triangolo ADB.

r

s

A B

B’

C D

r’

TEOREMA DI ZENODORO (II sec. a.C.)

Sia C un qualunque quadrilatero convesso. Supponiamo che C realizzi la massima area tra tutti i quadrilateri convessi a

parità di perimetro. Allora i lati di C sono tutti eguali fra loro e dunque C è un parallelogramma.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che due lati contigui AB e BC del quadrilatero ABCD siano diversi tra loro.

Costruiamo B’ in modo che AB’C sia isoscele.

Per il Teorema di Erone AB’+B’C < AB+BC mentre l’area di ABC è eguale all’area di AB’C. Dunque il quadrilatero AB’CD

ha la stessa area ma perimetro minore di ABCD, contro l’ipotesi.

A

B

C

D

B’

Diseguaglianza isoperimetrica per i quadrilateri convessi

(con l’ipotesi che esista un quadrilatero convesso di massima area a parità di perimetro)

Sia F un qualunque quadrilatero convesso. Allora

��� 0�� �� $��� 0.

Infatti, se C è il quadrilatero convesso che ha la massima area tra quelli che hanno lo stesso perimetro di F, si ha

���� 1 , ���� 2

D’altra parte, per il Teorema di Zenodoro, C è un parallelogramma, quindi

���� 2 ,(

()��� 2 � �

(

()��� 1�

Diseguaglianza isoperimetricaper i quadrilateri convessi

��� 3�

$��� 3� �� *../��

$��� 3

��� 3�,

�

��

Tra tutti i quadrilateri convessi il quadrato ha

• minimo perimetro per una data area

• massima area per un dato perimetro

TEOREMA

Sia C un qualunque quadrilatero. Supponiamo che C realizzi la massima area tra tutti i quadrilateri a parità di

perimetro. Allora C è convesso e dunque è un parallelogramma.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che il quadrilatero ABCD non sia convesso in B.

Preso il simmetrico B’ di B rispetto ad AC, si ottiene un nuovo quadrilatero AB’CD, adesso convesso, che ha lo stesso

perimetro di ABCD ma ha area maggiore, contro l’ipotesi.

A

B’

C

D

B

Diseguaglianza isoperimetrica per i quadrilateri

(con l’ipotesi che esista un quadrilatero di massima area a parità di perimetro)

Sia F un qualunque quadrilatero. Allora

��� 0�� �� $��� 0.

Infatti, se C è il quadrilatero convesso che ha la massima area tra quelli che hanno lo stesso perimetro di F, si ha

���� 1 , ���� 2

D’altra parte, per il Teorema di Zenodoro, C è un parallelogramma, quindi

���� 2 ,(

()��� 2 � �

(

()��� 1�

Diseguaglianza isoperimetricaper tutti i quadrilateri C

��� 3�

$��� 3� �� *../��

$��� 3

��� 3�,

�

��

Tra tutti i quadrilateri il quadrato ha

• minimo perimetro per una data area

• massima area per un dato perimetro

Diseguaglianza isoperimetricaper i poligoni di 5, 6, …, N lati

Dopo aver generalizzato la diseguagianza isoperimetrica dai rettangoli a tutti i quadrilateri (poligoni di 4 lati), ora generalizziamola ai poligoni di un numero qualunque di lati.

TEOREMA DI ZENODORO (II sec. a.C.)

Sia P un qualunque poligono di N lati. Supponiamo che P realizzi la

massima area tra tutti i poligoni di N lati a parità di perimetro.

Allora P è un poligono regolare, cioè ha tutti i lati e gli angoli

eguali.

Dimostrazione. Il fatto che i lati sono tutti eguali tra loro si

dimostra esattamente come nel caso dei quadrilateri. Il fatto che

gli angoli sono tutti eguali tra loro si dimostra in modo elementare

anche se leggermente più complicato. Qui omettiamo la

dimostrazione che può essere trovata sul libro di Tikhomirov.

CALCOLO DELL’AREA E DEL PERIMETRO DI UN POLIGONO REGOLARE DI N LATI

Sia P il poligono regolare di N lati, ciascuno lungo a. Allora

Per P = Na.

D’altra parte ogni angolo interno di P ha ampiezza

4 �24

5(con π indichiamo l’ampiezza dell’angolo piatto), quindi l’apotema di P è data da

�

2 67 45

dunque l’area di P è

���� � � 5 �

2

�

2 67 45 �

5���

4 5 6745

� ��� ��

4 5 6745

Diseguaglianza isoperimetricaper tutti i poligoni G di N lati

��� 8�� �9:;<

9$��� 8

Tra tutti i poligoni di N lati il poligono regolare ha

• minimo perimetro per una data area

• massima area per un dato perimetro

COEFFICIENTE k DELLA DISEGUAGLIANZA ISOPERIMETRICA

��� =�� > ���� =

PER POLIGONI DI N LATI AL VARIARE DI N

N ? � � 9 :;<

9

4 16

5 14,5308…

6 13,8564…

7 13,4840…

10 12,9967…

20 12,6707…

… …

∞ 4π = 12,566370…

Diseguaglianza isoperimetricaper tutte le figure piane A

«approssimabili» con poligoni

Per i poligoni vale che

��� 8�� �9:;<

9$��� 8 � �9

<

9$��� 8 � �<$��� 8

quindi, per approssimazione, vale che

��� $�� �<$��� $

per ogni figura piana A approssimabile con poligoni.

SOLUZIONE DEL PROBLEMA DI DIDONE

Nella diseguaglianza

��� $�� �<$��� $

si noti che, se A è un cerchio di raggio r, allora

��� $�� �<��� � �< $��� $

quindi il quindi il quindi il quindi il cerchio cerchio cerchio cerchio ha, tra tutte le figure piane,ha, tra tutte le figure piane,ha, tra tutte le figure piane,ha, tra tutte le figure piane,

• minimo perimetro minimo perimetro minimo perimetro minimo perimetro per una data areaper una data areaper una data areaper una data area• massima area massima area massima area massima area per un dato perimetroper un dato perimetroper un dato perimetroper un dato perimetro

PROBLEMA ISOPERIMETRICO

• Dimostrazione classica di Zenodoro nel piano (II sec. a.C.)

• Prime dimostrazioni moderne di Steiner (1838) e Schwartz (1884)

• Dedekind osserva che occorre DIMOSTRARE che la figura di massima area per un dato perimetro esiste

• Soluzioni complete di Weierstrass, Lebesgue, Hurwitz, etc.

• Soluzione definitiva in qualunque dimensione di De Giorgi (1958)

Grazie dell’attenzione!