PDF elettrotecnica

Parte di un circuito a componenti discreti.

Parte di un circuito integrato monolitico.

Circuito elettr(on)ico analogico a parametri concentrati e costanti.

È un modello matematico adatto a studiare le proprietà elettriche di un sistema fisico.È costituito da

funzioni reali, continue, derivabili di una variabile reale continua: V(t), I(t), ...relazioni differenziali alle derivate ordinarie

rispetto alla variabile indipendente t , in generale non lineari e non omogenee ma con coefficienti costanti.

Le funzioni sono modelli matematici di grandezze elettriche.La variabile indipendente t è modello matematico del tempo.

Circuito elettr(on)ico analogico a parametri concentrati e costanti.

Se le relazioni differenziali sono lineari, possono essere rese algebriche con un metodo di trasformazione:

metodo dei fasoriper funzioni sinusoidali isofrquenziali

trasformazione di Fourierper funzioni assolutamente integrabili

trasformazione di Laplaceper funzioni nulle per t<0

Circuito connesso, elettromagneticamente isolato, descritto da un sistema di equazioni

differenziali, in generale non lineare.

Un circuito.

Bipolo A Bipolo B

Bipoli.

Se la potenza istantanea p(t)=V(t)I(t) è >0,A sta cedendo energia a B.

Relazione di proporzionalità fra una tensione e una corrente:RESISTORE LINEARE.

Rnome N+ N- valore in Ω

I(t)V(t)

V(t)=R·I(t)I(t)=G·V(t)

G·R=1

Relazione di proporzionalità fra una corrente e la derivata di una tensione:CONDENSATORE LINEARE.

Cnome N+ N- valore in F

( )( ) CdV tI tdt

I(t)V(t)

Relazione di proporzionalità fra una tensione e la derivata di una corrente:INDUTTORE LINEARE.

Lnome N+ N- valore in H

( )( ) LdI tV tdt

I(t)V(t)

E V = E = cost. ∀ I(t)

V=0 ∀ I(t):cortocircuito

V(t) = E(t) ∀ I(t)E(t)

Generatore indipendente di tensione.

I=0 ∀ V(t):ramo aperto

I = H = cost. ∀ V(t)

I(t) = H(t) ∀ V(t)

Generatore indipendente di corrente.

Esempi di risoluzione di un circuito lineare.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 00 0

0 0 0 0

C ; ; da cui ;R

cos cossin ;

RC RCsin cos cos sin

cos cos sin sin cos ;RC R

cosC RC

V t V t

dV t V t V tI t I

dtV t V t

V t V t

V V Vt

V tdV t V td

ω β ωω ω β

ω ω β ω ω β

β ω β ω

−= =

+− + + =

− − +

Vb(t)C

R I(t)

Va(t)=VA cos(ω0 t)

Con equazioni differenziali - 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

2 20 0

cos sin 0; cos sin ;RC RC RC

1tan RC; cos ;1 RC

RCsin ; ;

1 RC 1 RC

B B AB B

V V VV V

ω β β β ω β

β ω βω

− − = − =

= − =+

−= =

( )( )

( )0 0

cos arctan RC1 RC

VV t tω ωω

⎡ ⎤⎣ ⎦= −+

Con equazioni differenziali - 2

Vb(t)C

R I(t)

( )( )

( )0 0

cos arctan R C1 R C

VV t tω ωω

⎡ ⎤⎣ ⎦= −+

( ) 0Re ?j tjb BV t V e e ωβ=

( ) 0Re j ta AV t V e ω=

( ) ( )

20 0 0

; 1 R CR C R C

; ;1 R C 1 R C 1 R C

arg arg arctan R C1 R C

j t j tjj tj jB A

j A A AB B

V e e V ej V e e V e j V

V V VV e Vj j

ω ωβωβ β

ω ω ω

β ωω

+ = + =

= = =+ + +

⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟+⎝ ⎠

Con fasori -1

Circuito lineare tempo-invariante: se VA cos(ω0 t) → VB cos(ω0 t+β),allora VA cos[ω0 (t-π/2ω0)]= VA sin(ω0 t) → VB cos[ω0 (t-π/2ω0)+β]=VB sin(ω0 t+β)e qundi VA [cos(ω0 t) +j sin(ω0 t)] → VB [cos(ω0 t+β)+j sin(ω0 t+β)]

( ) ( )( ) ( )

Ammettenza del condesatore di capacità C: =

1 IYZ V

X t X t X e

dX t d X tj

d t d t

ϕω ϕ

= + ⇔ =

⇔ ⇔ −

ZR Z j RCω

= =+ +

Con fasori -2

( )( )

( )0 0

cos arctan RC1 RC

VV t tω ωω

⎡ ⎤⎣ ⎦= −+

R I(t)

Vb(t)C( ) ( )0

0 0cos 0a

per tV t

V t per tω<⎧

= ⎨ ≥⎩

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0

0 2 2 2 20 0

0 0: 0 ?

; 0 ...

b a Ab

x t X s L x t x t e d t x t s X s x

V s V s Vs sL t sV ss R C R C R C s

ωω ω

∞−

⇔ = = ⇔ −⎡ ⎤⎣ ⎦

= + = =⎡ ⎤⎣ ⎦ + +

Con trasformata di Laplace - 1

( ) ( ) ( )

2 2 2 22 0 00 2 2

0 0 02 2 20

cos sin1

V sV sR C ss

V RC s RCs ssR C R CR C

VV t e t R C tR C

ωω ω

ω ω ωω

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= =

+⎜ ⎟+⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟+ +

+ +⎛ ⎞ ⎜ ⎟++ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎡ ⎤

= − + + =⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

2 2 2A A0 0 02 2 2 2 2 2

V e V- + 1 + ω R C cos ω t - arctan(ω R C1 + ω R C 1 + ω R C

Con trasformata di Laplace - 2

n-polo.

, 11 1

0 0 1 1n n

k k kk k

I t V t n

Doppio bipolo.

Bipolo BipoloDoppio bipolo

2-porte

Elaborazione di segnali.

doppio bipolo

autonomo

bipolo

autonomo

bipolo

autonomo

Curva di risposta di ampiezza, diagramma di Bode - 1.

1 20 02

Una funzione di variabile complessa razionale propria1 ( )( )1 ( )

ha zeri, radici dell'equazione ( ) 0e poli, radici dell'equazione ( ) 0,

quindi ( )

n s n s n s N sH s H H h kd s d s d s D s

h N sk D s

s s sz z z

Hs s sp p p

La sua restrizione all'asse immaginario è

j j jz z z

H j Hj j jp p p

Il logaritmo del modulo è log log log 1

log 1 log 1 log 1 log 1 log 1h k

jH j Hz

j j j j jz z p p p

Quindi ogni rappresentazione grafica del logaritmo del modulo si può costruire sommando algebricamente un certo numero di grafici elementari.

Nel caso di uno zero o un polo reale il cui modulo venga chiamato :

1 1 1 , avendo posto .j u u

Si vuole rappresentare log 1 in funzione di log ,cioè

1disegnare il grafico della funzione log 1 10 log 1 100 .2

A tale scopo sono utili le seguenti osservazioni:100' ;

1 100lim

jy x u

dyy xdx

0; lim ' 0; lim ; lim ' 1

10 log 2 0.15 3 .2

Si veda dunque il grafico seguente.

x x xx y x y x y x

−2 −1 0 1 2

x=logω

gol»H

HjωL»

0.01ωi 0.1ωi ωi 10ωi 100ωi

»HHjωL»

Ma è più comodo scrivere sugli assi del medesimo grafico i numeri che ci servono invece dei logaritmi:

20dB/decade

s1 -1 0H s = 5 0 s1 +1 0

Ad edempio, nella figura successiva è riportato in rossoil diagramma di Bode delll’ampiezza della funzione

e in blu i tre grafici componenti; è anche evidente che tracciando gli asintoti di ciascun componente e sommando i grafici asintotici si ottiene una spezzata che approssima la curva desiderata.

100 1000 10000 100000. 1. ×106 1. ×1070.1

Silicio monocristallino nel cui reticolo un atomo di Si ogni 103÷105 è sostituito da un atomo di B (o

altro elemento trivalente)p-Si

Silicio monocristallino nel cui reticolo un atomo di Si ogni 106÷108 è sostituito da un atomo di P (o

altro elemento pentavalente)

giunzione

Diodo a giunzione p/n.

Ianodo

catodo

Modello esponenziale.

• I = IS (eV/VT -1)• V = VT· ln(1+I/IS)

I @ IS eV/VT , V @ VT ln(I/IS) se V>qualche VTI @ 0 se V<0

VT (tensione termica) = k·T/q

k (costante di Boltzmann) @ 1.38·10-23 J/°Kq (carica elettronica) @ 1.6·10-19 CT =temperatura assoluta= temperatura in ºC+273.15

VT(17°C) = 25mVVT(28°C) = 26mV

VT(40°C) = 27mVIS (corrente di saturazione): si esprime spesso in fA ma

è proporzionale all'area del diodo.

Caratteristica esponenziale in scala semilogaritmica (1)

V0 0.8V0.40.2 0.6

100μA

1 21 2

VTln ; VTln

10 26 10 ln10 626 10 V3 0m2.

I IV VI I

IV V VI

V − −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

⇒ Δ = − = ⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⇒ ≅ ⋅ = ⋅ ⋅Δ ≅

Caratteristica esponenziale in scala semilogaritmica (2)

0.6V 0.66 0.72 0.78V

100μA

60mV/decade

Modello a soglia e resistenza.

• I = 0 per V < Vγ

• V = Vγ +RS I per I ¥0

Modello a soglia.

• I = 0 per V < Vγ

• V = Vγ per I ¥0

Modello a soglia nulla.

• I = 0 per V < 0• V = 0 per I ¥0

a soglia nulla: VD=0; I = E/Ra soglia Vγ : VD=Vγ ; I = (E - Vγ)/Responenziale: VD = VT ln(1+I/IS)

1 0 0S

E VT- ln 1 ; iterazioni numeriche:R R I

E-VE VT E- ln 1 con o anche R R I R R

II I Iγ+

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= + = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Circuiti con diodi.

Punto fisso di una funzione iterata.

Problema: calcolare un valore X* tale che X* = f(X*)

Si può risolvere per approssimazioni successive se la successione X0, X1, ... Xk, Xk+1 ... definita in modo ricorrente

Xk+1 = f(Xk)è convergente.

Convergenza al punto fisso:se Xk=X*+ε, Xk+1 = f(X*+ε) @ f(X*)+f '(X*)·ε = X*+f '(X*) ·ε

| Xk+1 – X*| < | Xk – X*| se | f '(X*) | < 1

Punto fisso di una funzione iterata.

E - in alternativa: VT ln 1 ;

I RD kk

VIV I +

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

I0=E/R

Raddrizzatore a semionda.

Modello a soglia nulla:

I = max0,Vin/R

Vout = R I = max0,Vin

ω0 t0

VoutVin1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

/ 2 / 2

1 0/ 2 / 2

1 0 10 0

/ 2 / 2

/ 2 0/ 4 / 2

/ 211 0 1 0

1 1 cos

2 1cos cos

2 1cos cos sin

in in inT T

out out outT

V t V t dt V t dtT T

V t dt V dT

V t V t dt V t dtT T

VV t dt V dT

ω α απ

ω α α απ π

− −

= = = =⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫ in1Vπ

Circuiti raddrizzatori a doppia semionda.

Con modelloa soglia nulla:

Vout = |Vin|

ω0 t0T/2

Circuiti raddrizzatori a doppia semionda.

( ) 12

nt iouV t Vπ

Rivelatore di cresta - 1

Modello a soglia:Vout = Vin-VγoppureVout>Vin-Vγ

Modello a soglia nulla:Vout = VinoppureVout>Vin

0.65+Vout

R ö¶

R di valore finito

RC troppo grande

Rivelatore di cresta che demodula un'oscillazione modulata in ampiezza.

RC troppo grande

IOP+i VOP+v

IOP VOP i v=f(i)

polarizzazione segnali

Polarizzazione e segnali.

V=F(I); v=F(IOP+i)-F(IOP)=f(i)

i v=rD irD

Piccoli segnali, circuito equivalente.

dV Iresistenza differenziale del diodo : =

dI Vconduttanza differenziale del diodo : =

VTr =I

Ig =VT

IOP gD=IOP/VT rD=VT/IOP

1mA 40 π 38.5mA/V4.0 π 3.85mA/V400 π 385mA/V

25 π 26W100µA 250 π 260W10mA 2.5 π 2.6W

Parametri differenziali del diodo.

Schemi elettrici - 1

Schemi elettrici - 2

R1R2D1

Equazione nodale.

3 21 2 4 2

0V VV V V VR R R

−− −+ + =

Equazioni nodali modificate.

V V h IR

d IV V Ld t

−− + =

− − =

Simboli per transistori.

bipolare NPN bipolare PNP

MOS a canale n MOS a canale p

( )ca baI F V= ( )ac abI F V=B

tipo N

tipo P

Transistori ideali.

Connessione a bipolo (o a diodo)

I=F(V)

Specchi di corrente - 1

Iin=F(V) Iout=F(V)=Iin

Iin+Iout

Iin=F(V) Iout=F(V)=Iin

Iin+Ioutpozzo

sorgente

Specchi di corrente - 2

Iin Iout=b·Iin

Iin+Iout

Iin Iout=b·Iin

Iin+Iout

sorgente

se Iout=b·F(V):

“Generatori” di corrente costante(resistori a resistenza differenziale infinita)

I0 = F(E)E

F(E) î

I0 = (E/R)-(V/R)E

F(V) îVI0

Coppia differenziale - 1

( ) ( )

1 1 2 2

1 2 1 2

I F V V I F V VI I I

V V V V V V V

= − = −

= − = − − −

Si dimostra:( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 2

01 2 1 2

01 2 12

2 2 2 2

I I f V V

I VII I I I

I VII I I

= − = − =

+ −= + = + =

+ −= − = − =

Coppia differenziale - 2

Id=I1-I2=f(V1-V2)=Id(Vd)u

Stadio differenziale a transconduttanza - 1

vd gmd·vd

Vd Id (Vd)

dI VdV

gmd=gm

( ) ( )( ) ( )

1 1 2 2 1 2 0

1 m1 1 2 m2 2 1 2

01OP 2OP 1OP 2OP m1 m2 m

1 2 m 1 2 m

g ; g ; 0

, g g g2

d a a d

I F V V I F V V I I I

i v v i v v i i

dF VIV V I IdV

i i i v v v v v

= − = − + =

= ⋅ − = ⋅ − + =

= ⇒ = = = = =

= − = − − + = ⋅

Vd Id (Vd)

Vout (Vd) = R Id (Vd)-E

p.s. : vout = gmd R vd = Ad vd

Facendo passare la corrente di uscita di uno stadio differenziale a transconduttanza in un resistore si ottiene uno stadio amplificatore

differenziale di tensione.

In alternativa, prima si converte in tensione e poi si fa la differenza:Stadio differenziale con carichi resistivi

in1 in2

out2Vout

( )( )

01 cc 1 cc

02 cc 2 cc

2 1 1 2

IV R V2

R A2 2

out out

mout d d

out m d d

IV I R

V V I I

gv v v

v g v v

+⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞= − = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

= − = − =

⋅= ⋅ = ⋅

⋅= − ⋅ = − ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

Connettendo sottocircuiti già noti ...

b1·I0

b2·I0

emettitore n-Sibase p-Si

collettore n-Si

Transistore bipolare a giunzioni (BJT) di tipo npn

Modello di Ebers e Moll -1

VT VTS=I

be bcV V

tI e e⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

S SVT VTI I1 ; 1

be bcV V

be bcF R

I e I eβ β

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Modello di Ebers e Moll – 2

( ) ( )

VT VTS S

1 ; 1 ;

I I; ;

t be bc e c

e cbe bc b be bc

Rc t bc e c

Fe b c be t e c

X e X e

I V V X X e e

X XI I I I I

I I I X X

I I I I I X X

β ββ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞

= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

= = = +

+= − = −

+= + = + = −

Regione (di conduzione) Diretta:

be bc be bc

⇒ > ⇒ − >

⇒ + > ⇒

Regioni di funzionamento (diretto) del BJT

NORMALE:la giunzione B-E è ON e la giunzione B-C è OFF

SATURAZIONE:entrambe le giunzioni sono ON

INTERDIZIONE:entrambe le giunzioni sono OFF

Tensione di saturazione Vcesat

Nella regione normale diretta si trascura Ibc rispetto a Ibe:

10 100 100 1000 10

VT ln 10 3 5 VT ln10

3 5 60mV

bc be ce

V VS S

be bcF R

V V VF F

ce cesatR R

I II I e K e K

e e K V K V

180 ÷ 300mV

∼ ∼ ∼

Regione Normale (Diretta):

bc be c t S e S

I I I I I X I e

eβ β

⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

TVsI beVe

FI Iβ

Modello del BJT semplificato per la regione normale: VCCS+diodo

0.5 0.6 0.7 0.8V

Vce=50mVVce>150mV: RN

Caratteristiche Ic(Vbe) di un BJT NPN.

1.0V 2.0V 3.0V

VceVcesat

Ib=40μA

Ib=0μA

Vce>Vcesat: Regione Normale

Caratteristiche di Collettore di un BJT NPN.

Caratteristiche di Collettore.options tnom=16.96.temp=16.96Q1 C B 0 nome_modello.MODEL nome_modello NPN IS=1fAVCE C 0IB 0 B.DC VCE 30m 3 10m IB 0U 50U 10U.PROBE.END

Caratteristiche di Collettore di un BJT NPN.cir

Riassunto

Un BJT NPN con Vce ¥ 0 è in

• interdizione se Vbe § Vγ : Ic = Ib = Ie = 0

• normale se Vbe > Vγ e Vce ¥ Vcesat : Ic=IS·eVbe/VT, Ib=Ic/βF

• saturazione se Vbe ¥ Vγ e Vbc ¥ Vbe-Vcesat: Vce = Vcesat

Esercizio

Vcc=6V; Rc=4k; Rb=10k;Re=0.4k; IS=1fA; βF=100;VT=25mV.

Sia VinOP=1V: calcolare VceOPe determinare il valore di Vinche rende saturo il transistor supponendo Vcesat=0.2V.

Verificare i risultati con Pspice.

Risoluzione

( )15OP OP OP

OP OP OP OP

cc cesat

R 1 R1R R R R

1504 ; 0.6mA; VT ln 10 0.678V

5041iterando: 636μA; R R 3.20V

V Vβ +1Rβ

b F ec Fin b b be e e b e c be c be

c be c be c

Fc ce cc c c e c

IV I V I I V I V

VI V I V I

I V V I I

βββ β β

+ ++= + + = + + = + =

−= ⋅ + ≅ ≅ = ⋅ ⋅ ≅

+= = − − =

+( )15 3

5.8 1.32mA; VTln 10 1.32 10 0.698V4.04kR

β +1R R 10k 13.2μ+0.698 404 1.32m=1.36Vβ β

csatinsat besat csat

IV V I

−= = = ⋅ ⋅ =

= + + = ⋅ + ⋅

Esercizio BJT 1.options tnom=16.96.temp=16.96Vin 1 0 DC 1Rb 1 2 10kQ 3 2 4 bjtmod.model bjtmod NPN+ IS=1fA BF=100Re 4 0 400Rc 5 3 4k Vcc 5 0 6.OP.dc Vin 0 3 0.1m.probe.END

NAME Q MODEL bjtmod IB 6.36E-06 IC 6.36E-04 VBE 6.79E-01 VBC -2.52E+00 VCE 3.20E+00 BETADC 1.00E+02 GM 2.54E-02 RPI 3.93E+03

Verifica con PSpice.

0V 0.5V 1.0V 1.5V 2.0V 2.5V 3.0VV(3)

6.0VIC(Q)

1.0V 2.0V 3.0V

VceIn regione normale Ic non è indipendente da Vcema un poco crescente: effetto Early.

Effetto di Early

Ic(mA)

Vbe (V)

0.65 0.70 0.75

Ad alte correnti la Vbe è un po' più grande di quella che corrisponde a una Ic(Vbe) esponenziale.

Alte Ic

' VT'S

Vb eVcbV e

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠

b eVe Vb'e

VAF (tensione di Early) ~ 102 V; RBB’ (resistenza di base) ~ 102 W

Modello del BJT NPNin RN con effetto Early e resistenza di base

VT'' ' S

VT'' S

VT '' S

, I 1 oppureV

, I 1V

, I 1 1V V

oppure , β 1V

Vcbc b e cb

Vce b ec b e ce

cec ceb b

VI V V e

V VI V V e

V VI V V e perché

VI I V I

⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞−

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞≅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Modello del BJT NPNin RN con effetto Early e resistenza di base

' OP T

VOP OP

m S' AF

VTS OP

AF AF OP

AF OP AF

g I 1V VT VT

c b e ce b e

Vc ce c

ce ce ce

cei v v v

I V IeV

I e Ir V V

⎛ ⎞∂= = + =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

∂= = =

Linearizzazione delle relazioni costitutive del BJT in regione normale - 1

'm ' m m b'e

OP0 F 0 F

g g g r

β β 1 ; β β 'V

b eb e

I V se si trascural effetto EarlyI

= ⇒ = = ⋅

⎛ ⎞∂= = + =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

' ' ' 'be bb b e bb b b e b be bv v v r i r i r i= + = + =

Linearizzazione delle relazioni costitutive del BJT in regione normale - 2

Circuito quivalente per piccoli segnali del BJT in RN

gmvb’e=β0 ibvb’e

βr =g

rbb’ B’

Circuito quivalente a 3 parametri: rbe, β0, rce

0 Tbb' be

β V r + rI

ββ =rb be

g v= ⋅

Se si trascura l'effetto Early, rce =¶: circuito equivalente a 2 parametri

0 0 mM

be bb' b'e bb' b'e

β β ggr r r 1 r r

= = =+ +

OSSERVAZIONE

Trascurando sia l'effetto Early che la corrente di base, il modello del BJT si riduce a un transistore ideale:

; ; ;VT

b c e S

cce be m

I I I I I e

Ir r gβ

= = = =

= ∞ = ∞ = ∞ =

Applicazione alla coppia differenziale

1 2 1 2

VT VT1 2

1 2VT VT VT VT

1 2 0 1 0 1 01 VT VT

11 2 0 2 0 2 0

VT 2 VT

1 2 0 0VT

be be d d

S SV V V VV V

I I e I I e

I Ie e e eI I

I I eI I I I I I II e eII I I I I I II e

e e eI I I I Ie

− −−

= = = =

⎛ ⎞+ = ⇒ + = ⇒ = =⎜ ⎟

⎝ ⎠ + +⎛ ⎞

+ = ⇒ + = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠ +

− −= − = =

02 VT 2 VT

tanh2 VT

− =+

Esempi numerici

0 ' AF

OPOP m

0be bb' b'e bb'

OP m be b'e

100; 100 ; VT 25mV; V 50V

1mA g 40mA/VVT

Vr 50kΩ

VT 100 25mr = r + r r + 100 100 2500 2.60kΩ1m

100μA g 4mA/V; r =100 25000 25.1kΩ rVr 500kΩ

= = Ω = =

= ⇒ = =

⋅= = + = + =

= ⇒ = + = ≅

= m be

100mA g 4A/V; r =100 25 125ΩVr 500Ωc

⇒ = + =

Stadio con emettitore comune

Stadio con emettitore comune – p.s.

be c ce 0 c ceM

g be c ce be c ce

0 c ce

g be c ce

r R r β R r; R ; g RR +r R +r r R +r

β R rR +r R +r

outin g

⋅ ⋅= = = − = − ⋅

⋅= − ⋅

vin=vbe

vout=vce

βr bev

Stadio con emettitore comune

Vout=Vcc - Rc Ic : retta di carico

Vcc/Rc

Stadio con collettore comune

Un circuito equivalente per piccoli segnali dello stadio con collettore comune.

ioutvout

β0 ib rce

Stadio con base comune

vg rbe

ibβ0ib Rc

ioutvout

iin vin

(iout-β0ib)

Un circuito equivalente per i piccoli segnali:

ioutvout

iin vin

β +1r 0

ββ +1

Un altro circuito equivalente per piccoli segnali dello stadio con base comune.

Matrici di doppi bipoli lineari autonomi

matrice di ammettenze

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦i r1 1

f o2 2

1 i 1 r 2

2 f 1 o 2

y yI V=

y yI V

I = y V + y VI = y V + y V

matrice di impedenze

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦i r1 1

f o2 2

1 i 1 r 2

2 f 1 o 2

z zV I=

z zV I

V = z I + z IV = z I + z I

matrice ibrida

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦i r1 1

f o2 2

1 i 1 r 2

2 f 1 o 2

h hV I=

h hI V

V = h I + h VI = h I + h V

Relazioni fra i parametri y, z, h dei 2-porte lineari autonomi.(Dx=xixo-xrxf)

o r h ri r

y y o o

f fif o

y y o o

ro ri r

i iz z

ff hif o

i iz z

z r ri r

o o i i

f f yf o

o o i i

z y hy y D h

z z D D h hz

y hyz zD D h h

hz zy y

h hD Dy

hz Dz y yh hD D

D z yh h

h h y yh

z y Dh h

z z y y

Funzioni di rete con i parametri y di un 2-porte lineare autonomo.

r fin i r v i

r fout o

y Yy y

Y y y A yy Y

y yY y

y yy y

yi + Y

yf - Y

yr - Y

yo + Y

Connessione di un bipolo in parallelo a un doppi bipolo.

z zz z

zi + Z

zf + Z

zr + Z

zo + Z

Connessione di un bipolo in serie a un doppi bipolo.

Darlington

F1 F2 2

F1 F2 1

F1 F2 F1

β ββ ββ β β 1β

I II II II

+ =+ =

F F2 F1 F2 F1β β β β β= ⋅ + +

Quasi-PNP

Ib( )( )( )

β 1 β

F Fn Fp Fpβ β β β= ⋅ +

Esercizio difficile:*calcolare la resistenza differenziale*del resistore con terminali 1 e 0*che si ottiene asportando il generatore Vop.**************************************************.OPTIONS TNOM=40.TEMP=40Vcc 4 0 DC 5Re 4 3 400Q1 2 2 4 modQ2 1 2 3 mod.MODEL mod PNP BF=1G IS=1F VAF=50R 2 0 4KVop 1 0 1.OP.TF I(Vop) Vop.END

Esercizio.

I1 I2Q1 Q2

Suggerimenti per l’esercizio precedente.

Qual’è il valore della tensione termica VT?Quale modello si deve usare per i transistori?Calcolare iterativamente la corrente I1OP in

Q1.Calcolare la tensione VbcOP di Q2.Calcolare il fattore di Early per Q2Ricavare la funzione da iterare

per calcolare la corrente I2OP in Q2.Calcolare I2OP.Calcolare la transconduttanza gm2 di Q2.Calcolare la resistenza rce2 di Q2.Ricavare l’espressione della resistenza

differenziale cercata che corrisponde al modello usato per i transistori.

Calcolare tale resistenza.

Risoluzione.

• VT = 27mV; Ib =0; effetto Early: SI• I1=Vcc/R-(VT/R)ln[I1/IS]; I1OP=1.06mA• VbcOP=R I1OP-VOP=3.25V; Early = 1+VbcOP/VAF=1.065

11 2 e 2

12 2OP

VT ln =REarly

VT Earlyln ; 141μAR

IV V II

• gm2 = I2OP/VT = 5.21mA/V; rce2 = 379kΩ

• r = Re+rce2(1+gm2 Re)=1.17MΩ

( ) ( )0

01 1lim e be b ece e ce m e

e be b e be b

R r R Rr R r g RR r R R r Rβ

β→∞

⎛ ⎞⎡ ⎤+ ⎛ ⎞+ + = + + ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠

Esempio di carico attivo

Stadio a simmetria complementare - 1

Vin-V0

Stadio a simmetria complementare - 2

( )0 0

V VVTVT VT VT

VVT VT VT

OP OP0

R I I R I

R I R I 2sinhVT

VT arcsinh ; 0 02 R I

in out out inebpben

in out in out

V V V VVV

V V V Vin out

outin out out in

in out

V e e e e

V Ve e e

VV V V V

+ − − +

− −−

⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞ −⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞

= + ⋅ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

VT2 R I 2 R I

2 g RVT 1 1 2 g R1 1

2 R I 2 g R

outout out

in inout in

v vv v

= +⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= = =++ +

Vout = S(Vd )V+- V- = Vd

Amplificatori operazionali.

Amplificatore operazionale tipo 741.

Amplificatore operazionale tipo 725.

Struttura tipica di un amplificatore operazionale.

Stadioamplificatoredifferenziale

Stadioamplificatore

invertente

Stadiodi uscita(buffer)

Vout=S(Vd)

S(Vd )

Amplificatori operazionali ideali.

Vout =

VM se Vd > VM /Ad0

-VM se Vd < -VM /Ad0

Ad0·Vd se |Vout| §VM

Vout VM

dVout /dVd= Ad0-VM/Ad0

Approssimazione lineare a tratti della caratteristica ingresso-uscita di un amplificatore operazionale.

Una precisazione.

Vout = S(Vd) p. s. vout = S’(VdOP)·vd

VdOP = 0 vout = S’(0)·vd = Ad0·vd

Approssimazione lineare a tratti di S(Vd):

M0 Vout

out d d VV A V

≤= ⋅

Convertitore corrente-tensione -1

Vout = S( Vd )Vd+

out d inV V R I= − − ⋅

Convertitore corrente-tensione - 2

-R Iin

1V : 1

out out ind

d out in

V V R IA

A V R I

⎛ ⎞≤ + = − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠− ⋅

Convertitore corrente-tensione logaritmico

ln inout T in S

IV V I II

⎛ ⎞= − ∀ >>⎜ ⎟

⎝ ⎠

Amplificatore invertente - 1

Vout = S( Vd )Iin

se V e A 1

trascurando A

rispetto a e a :

out in

out in in

V VRV R I VR

= − ⋅ = −

out in d

in in d

V I VV I V

= − −= −

arctan[-R2/R1]

1/(R1+ R2)

CORTOCIRCUITO VIRTUALE.

Se V , ;A

se inoltre , cioè A ,A

si può trascurare nelle equazioni, cioèconsiderare il terminale di ingresso invertenteallo stesso potenziale di quello non in

outout d out

out outd in

VV V V

V VV VV

vertentecome se fossero in cortocircuito.Ma tra loro c'è un ramo aperto:

il cortocircuito è solo VIRTUALE!

Esempio di uso dell’approssimazione del cortocircuito virtuale.

_ Z2(s)

Vin(s)

Vout(s)

( ) ( )( )

( )( )

ZZ Z Z

outin outv

V s sV V A sV s s

= − ⇒ = = −

Integratore

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

out in in

out out in

Z sV s V s V s

Z s sRC

V t V V x dxRC

= − = −

= − ∫

Amplificatore non invertente

Vout = S( Vd )

perché1

n tRV V V

V RV R

1 2 1 1M do

1 1 2 do 1 2

V , A :A

outout in out out

VR R R RV V V VR R R R R+

≤ = ++ +

Inseguitore di tensione o stadio separatore o buffer.

se V e A 1:

out iin d

V V= −

Utilità degli stadi separatori - 1

Doppio bipolo lineareVin

Thévenin:Vout

Z + Zout eV V

Utilità degli stadi separatori - 2

=out eV V

Doppio bipolo lineareVin

Buffer

Ve +_Ve

Combinazione lineare, sommatore.

3 31 2

1 2out in in

R RV V VR R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2 ,: out in kk

R R V V= = −∑

Amplificatore differenziale

( )2 2 2 21 2 2 1

1 1 11 2

1out in in in inR R R RV V V V VR R RR R

⎛ ⎞=− + + = −⎜ ⎟⎜ ⎟ +⎝ ⎠

Vin2R1

Vin1R1

Esercizio.

1k 1nF1nF

Usando l’approssimazione del cortocircuito virtuale calcolare ilguadagno Av(s)=Vout(s)/Vin(s); calcolarne zeri e poli; descriverne la curva di risposta di ampiezza; calcolare la risposta Vout(t) all’ingresso

( )0 0

1V 0in

per tV t

per t<⎧

= ⎨ ≥⎩

Risoluzione - 1

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

1 2 11

Z 11Z 1 1

RV s s sCR sCRA sV s s sCR sCRR

+= = − = − = −

Disoluzione - 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 6

4 6 4 6

4 61 2

10 1010 1 10 1 10 10

0; 10 ; 10

vs sA s

s s s s

− −

⋅ ⋅= − = −

⋅ + ⋅ + + +

= = − = −

La curva di risposta di ampiezza è passa-banda con frequenza di taglio inferiore prossima a 104/(2π) @ 1.59kHz e frequenza di taglio superiore prossima a 104/(2π) @ 159kHz

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

4 6 4 6

10 1 1010 10 10 10

100 1 199 10 10

out v insV s A s V s

ss s s s

⋅= = − = − =

+ + + +

⎡ ⎤⎢ ⎥− −

+ +⎢ ⎥⎣ ⎦ 4 6-10 t -10 tout

100V t = - e - e99

Vout = S( Vd )Iin

È un amplificatore invertente? Posso usare il cortocircuito virtuale?

R; ???R R R

in out out

V V VV

= − = −NO, perché...

Una domanda ...

1 2R Rin d d out

inV V V VI

2 2out d in

R RV = 1+ V + VR R

VinOP=0

Possono esserci 3 punti di riposo!

In quale andrà il circuito?

... e la risposta

Esercizio a sorpresa

Calcolare Vout(t)

( ) c o sR Cin

tV t ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

R k·R

VdVout

Tentativo di risoluzione

;1 1 1

con l'approssimazione del cortocircuito virtuale:

1da cui 1

1 1 1 1

outout in out in

out in

VsRC kR R kV V V V V VsRC R kR R kR k k

k sRCVsRC kV V V kVsRC k k sRC

ksRCV kVsRC

sRC + 1V s = k

1 2 2; ;1 1 1

arctan arctan4 4

arctan

outj jV k k k

RC jk k k

out in out in

out in

V V V V

k 2 t πV t = cos + + kRC 41+ k

V sksRC - 1

Verifica con PSpice - 1

Un circuito con stato di riposo instabile..PARAM PI=3.14159XOPAMP 3 2 6 OPAMPVin 1 0 DC 0 AC 1 SIN(0 1 50/PI)R1 1 2 10KR2 2 6 100K R 3 0 10KC 3 6 1U.SUBCKT OPAMP PIU MENO OUT Gout 0 OUT Value=10000/PI*arctan(PI*20k*V(PIU,MENO))Rout OUT 0 1m.ENDS.TRAN .1m 500m 0 .1m .probe.end

Verifica con PSpice - 2

Analisi critica - 1

Se i calcoli sono giusti ma il risultato è sbagliato, significa che almeno una delle ipotesi originali non è verificata.L’ipotesi fondamentale per il calcolo della risposta di un circuito alle variazioni dell’ingresso è:

fintanto che Vin = VinOP, risulta Vout = VoutOP.

Se ciò non è vero, infatti, è assurdo presumere che alle variazioni di Vin nell’intorno di VinOP corrispondano delle variazioni di Vout nell’intorno di VoutOP.

Analisi critica - 2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

outout

1Dalla relazione si ricava-1

e quindi, se V ( ) 0, -1 0

cioè l'equazione differenziale cui soddisfa V è

VV 0 la cui soluzio

out in

sRCV s k V sksRC

ksRC sRC

t ksRC

d tk RC t

V s k V sV s

( ) ( )

out out

ne è V V 0

Quindi: lim 0 0 :

V non mantiene il valore di riposo iniziale;

lo stato di riposo si dice .

out outt

V t V→∞

= ∞ ∀ ≠⎡ ⎤⎣ ⎦

INSTABILE

Analisi della stabilità.degli stati di riposo di un circuito dinamico - 1

1) Determinare gli stati di riposo: problema adinamico non lineare.2) Linearizzare il circuito nell'intorno di uno stato di riposo e

renderlo autonomo annullando gli eventuali ingressi.3) Determinare le relazioni esistenti fra le trasformate di Laplace

dei piccoli segnali; sia Y(s) la variabile di uscita.4) Se il circuito avesse un ingresso X(s), si otterrebe

Y(s)=H(s)X(s) = N(s)X(s)/D(s), con N e D polinomi. Quindi D(s)Y(s)=N(s)X(s) ma siccome il circuito lineare dinamico è autonomo, si deve ottenere D(s)Y(s)=0.

5) D(s) è il polinomio caratteristico.6) D(s)=0 è l'equazione caratteristica: le sue radici sono

gli zeri del polinomio caratteristico.

Analisi della stabilità.degli stati di riposo di un circuito dinamico - 2

È noto dall'Analisi matematicache la condizione necessaria e sufficiente

affinché risulti é che

⎡ ⎤⎣ ⎦t®¥li

tutti gli zeri del polinomio caratteristicoabbiano parte reale negat

Y t = 0

In tal caso lo stato di riposo si dice (asintoticamente) STABILE, i valori di riposo si mantengono inalterati e un segnale di ingresso può produrre variazioni della grandezza di uscita nell'intorno del suo valore di riposo.

Capacità del diodo a giunzione

( )dQ Vdt

( ) ( )d OP

dv tC V

( )d OP

v tr I

Capacità differenziale di una giunzione

-10V -8 -6 -4 -2 0 VOP

100nF Cd (VOP)

Effetto della capacità del diodo in un raddrizzatore a semionda

gmvb’e

vb’e

rbb’ B’

rcerb’e

Cb’c

Cb’e

Capacità differenziali del transistor a giunzioni in regione normale(circuito equivalente di Giacoletto e Johnson)

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

'' ' ' ' ' ' '

' 0 b'e ' 00

b'e ' ' b'e ' '' '

b'e ' ' b'e '

1 1 r 1 rr

1 1; ; ;r r1

c b ec m b e b c b e b b e b e b c b e

m b c b c

b e b c b e b cb e b c

b e b c b c

I s Vs I g V sC V I sC V sC VI s

Csg sC s Cs

s C C s C Cs C C

szz p zs C C C p

β ββ β

= = − = + +

−− −

= = =+ + + ++ +

−= = − = =

1 1b e

β⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎝ ⎠

Guadagno di corrente di cortocircuito del transistore a giunzioni in regione normale

Frequenza di taglio beta e frequenza di transizione.

20 01 1T T f fjf f

|β(jf)|

0 1; 21 - b e b c b e

fC C r

Effetti reattivi negli amplificatori operazionali – 1.

Sempre con |Vout|<VM, in luogo della relazione costitutiva adinamica Vout= Ad0Vd, per tener conto di effetti reattivi interni all'opamp si dovrà usare Vout(s) = Ad(s)Vd(s) con Ad(s) dotato in generale di zeri e poli, ma questi ultimi tutti con parte reale negativa.

Si pone allora il problema della stabilità degli stati di riposodelle diverse possibili configurazioni degli amplificatori che fanno uso di un operazionale.

Consideriamo in particolare la connessione a inseguitore nella quale si ha Vout(s) = Ad(s)Vd(s) = -Vd(s) e quindi l'equazione caratteristica può essere ricavata da

Ad(s) + 1 = 0.

1d 0 0

1Sia A = = , il polinomio caratteristico

da esaminare è allora e i suoi zeri avrebberotutti parte reale negativa se fosse sufficientemente piccol

i id dn

sz Z s

s A AP ss

D s P s A Z sA

o,perchè lim . Con 1, invece, può essere che

almeno uno degli zeri abbia parte reale positiva: ciò significa peròche, man mano che si fa aumentare , quello zero passa dal

semipiano Re 0

D s P s A

al semipiano Re 0. Deve allora esistereun particolare valore di in corrispondenza del quale lo zero

attraversa l'asse immaginario cioò la sua parte reale è nulla.c d

Si vuole dunque che sia 1Detta con 0 la sua parte immaginaria, deve risultare

0 e quindi .

Mettiamo ora in evidenza un polo reale negativo di A :

cc c c c c

Z ss A

P jD j P j A Z j A

' e quindi 1 .

È evidente che è tanto maggiore quanto minore è :se l'amplificatore operazionale possiede un polo a frequenza molto bassa,può avere 0 1 senz

Z jsP s

a che lo stato di riposo della connessionea inseguitore diventi instabile.

Condensatore di compensazione.

Stadioamplificatore

invertente

Stadiodi uscita(buffer)

Ginioutv

out in c

0out in c

G +G + C1

R || R C

outI sV s

Condensatore di compensazione più piccolo.

-AStadio

di uscita(buffer)

Iout Iin

C -A C

CC = : basta una capacità minore

out in inI I s V V I s V

Limitazione di slew-rate, dati di un costruttore.

ceqCout

outI dVdVI I SR

Limitazione di slew-rate, simulazione con un macromodello di opamp.

*Risposta di un inseguitore di tensione a un ingresso*sinusoidale in condizioni di limitazione di slew-rate.Vpiu 3 0 dc 0 ac 1 sin(0 2 100k)Vmenout 2 6* xAO 2 3 6 AO* * * OpAmp * * * * * * * * * * * * * * * * * * Connessioni: Ingresso invertente 2* Ingresso non invertente 3* Uscita 6.subckt AO 2 3 6*Rp 3 0 10MEGRm 2 0 10MEGRd 3 2 2MEGGoa1 0 10 value=1e-4/3.14159*atan(31.4159*V(3,2))

Roa1 10 0 159MEGCc 10 0 100pFGoa2 0 6 10 0 21mRuoa 6 0 75Dm 11 6 satVee 11 0 -9.3Dp 6 12 satVcc 12 0 9.3.model sat d .ends* * * * * * * * * * * * * * * * *.tran 1n 80u 50u 1n.probe .end

Limitazione di slew-rate, risultato della simulazione.

50us 55us 60us 65us 70us 75us 80usV(6) V(3)

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